Métodos para la evaluación financiera de proyectos

  • Finanzas
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MÉTODOS PARA LA EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS
Índice
Resumen
I. Introducción
II. Fundamentos teóricos
II.1. Clasificación de los proyectos
II.2. Principios financieros
III. Métodos para evaluar proyectos
III.1. Métodos no financieros
III.1.1. Método del flujo de caja (Cash Flow)
III.1.2. Tasa de Rendimiento Contable (Accounting Rate of Return)
III.1.3. Período de recuperación (Pay Back)
III.2. Métodos financieros
III.2.1. Determinación de la tasa de descuento (Capital Asset Pricing Model, CAPM)
III.2.2. Valor Actual Neto (VAN)
III.2.3. Tasa Interna de Retorno (TIR)
III.2.4. Indice de rentabilidad
III.2.5. Comparación entre los Métodos del VAN y la TIR
III.2.6. Criterios de selección atendiendo al capital disponible en la empresa
IV. Discusión de casos
V. Conclusiones
VI. Bibliografía
VII. Anexos
VII.1. Anexo A. Términos y definiciones
VII.2. Anexo B. Deducción del Valor Actual Neto de proyectos repetidos a escala constante
en forma infinita
VII.3. Anexo C. Elementos de Estadística
VII.3.1. Anexo C1. Esperanza Matemática
VII.3.2. Anexo C2. Varianza
VII.3.3. Anexo C3. Covarianza
VII.4. Anexo D. Raíces de Números Complejos
VII.4.1. Anexo D1. Formas de Representación
VII.4.2. Anexo D2. Transformación de forma binómica a trigonométrica
VII.4.3. Anexo D3. Raíces de números complejos
VII.5. Anexo E. Determinación de las raíces de polinomios
VII.5.1. Anexo E1. Solución de la Ecuación General de Segundo Grado
VII.5.2. Anexo E2. Solución de la Ecuación General de Tercer Grado
Resumen
El desarrollo de diversos métodos de análisis de inversión, que no es otra cosa que un
planeamiento eficaz para determinar el momento más adecuado para la adquisición de un
activo, constituye una herramienta de trabajo cotidiana del personal encargado de la
administración de las finanzas.
Tomando en cuenta el impacto sobre los resultados de las organizaciones con fines de
lucro, en el presente trabajo se relacionan los Métodos utilizados para este propósito,
conjuntamente con una valoración comparativa de éstos.
I. Introducción
Una actividad permanente en el ámbito empresarial, lo constituye el análisis de la
situación económica y financiera de la misma, a partir de la cual adoptar decisiones que
contribuyan a mejorar su desempeño y con ello maximizar sus beneficios.
Para alcanzar el objetivo antes mencionado se utilizan los pronósticos financieros: a corto
plazo destinados fundamentalmente a la elaboración de presupuestos de efectivo y los de
largo plazo que se concentran en el crecimiento futuro de las ventas y los activos, así
como el financiamiento de dicho crecimiento.
Todo lo expuesto evidencia que un buen análisis financiero debe detectar la fuerza y los
puntos débiles de un negocio, en particular en el proceso de evaluación de la rentabilidad
de proyectos de inversión que, al margen de su clasificación la cual puede diferir entre
diferentes autores, se caracterizan por la ocurrencia de flujos financieros en el transcurso
del tiempo, resultan indispensables para la entidad pues incluyen aspectos tales como
reemplazo de equipos; sustitución de proyectos; diseño de nuevos productos o servicios y
expansión hacia otros mercados, para escoger aquellos que contribuyan a lograr un
incremento neto del capital.
Como se aprecia, el universo de destino de los proyectos es muy amplio a lo que debe
añadirse el impacto de la escala de la operación de la empresa y la rapidez con que deba
adoptarse una decisión (coyuntura) en un ambiente de recursos escasos.
Todo esto ha motivado el desarrollo de diversos métodos de análisis de inversión que no
es otra cosa que un planeamiento eficaz para determinar el momento más adecuado para
la adquisición de un activo, los cuales se relaciona en el presente trabajo, conjuntamente
con una valoración comparativa de éstos.
II. Fundamentos teóricos
II.1. Clasificación de los proyectos
Las empresas clasifican los proyectos en las siguientes categorías:
Reemplazo: mantenimiento del negocio, están destinados a reemplazar los
equipos dañados, depreciados en su totalidad u obsoletos moralmente.
Reemplazo: reducción de costos, que tiene como propósito reemplazar los
equipos útiles pero obsoletos. El pronóstico de estos gastos es reducir el costo de la
mano de obra, de los materiales y de otros conceptos como la electricidad.
Expansión de los productos o mercados existentes: tiene como objetivo
expandir las tiendas o las instalaciones de distribución en los mercados actualmente
atendidos.
Expansión hacia nuevos productos o mercados: se utiliza para evaluar los
gastos y beneficios esperados de un nuevo producto o servicio, con el cual se pretende
expandir la empresa dentro de un área geográfica no cubierta actualmente.
Proyectos de seguridad o ambientales: se relacionan con los gastos necesarios
para cumplir las regulaciones del gobierno, con los contratos laborales, con los términos
de las pólizas de seguros. Se denominan inversiones obligatorias o proyectos que no
producen ingresos.
A nivel microeconómico, la clasificación del proceso inversionista es la siguiente:
Económicas: adquisición de bienes y derechos.
Financieras: colocación del ahorro en el mercado financiero.
Jurídicas: adquisición de bienes y derechos que pueden ser objeto de un derecho
de propiedad y son susceptibles de formar parte del patrimonio.
A nivel macroeconómico, la clasificación del proceso inversionista sólo tiene sentido la
inversión económica, ya que las financieras y jurídicas son meras operaciones entre
organizaciones económicas.
II.2. Principios financieros
Primer Principio Financiero: «Una unidad monetaria de hoy vale más que una
unidad monetaria de mañana». Como corolario de este principio puede señalarse que el
trabajo fundamental de la actividad financiera es: «transferir de manera eficiente
recursos en el tiempo, lo cual incluye la valoración y selección de fuentes y
métodos de financiamiento».
Segundo Principio Financiero: «Una unidad monetaria segura vale más que una con
riesgo», que se fundamenta en el hecho de que la mayoría de los inversionistas evitan el
riesgo siempre que pueden hacerlo, sin sacrificar la rentabilidad. Por tanto, al contenido
de trabajo del área financiera establecido en el apartado anterior debe modificarse como
se recoge a continuación para incorporar este aspecto: «transferir con el mínimo riesgo
posible y de manera eficiente los recursos en el tiempo, lo cual incluye la valoración
y selección de fuentes y métodos de financiamiento y protección de los recursos».
III. Métodos para evaluar proyectos
Los criterios de valoración y selección de inversiones pueden resumirse de la forma que
se muestra en la tabla 1.
Tabla 1. Criterios de valoración y selección de inversiones
Tipo de criterio Característica Económica Métodos
No financieros
(estáticos)
No tienen en cuenta la cronología de
los distintos flujos de caja y el valor
del dinero en el tiempo.
Son cálculos sencillos y resultan de
utilidad para la empresa.
Flujo de Caja (Cash Flow).
Tasa de Rendimiento Contable
(Accounting Rate of Return).
Periodo de recuperación (Pay Back).
Relación Costo – Beneficio.
Financieros
(dinámicos)
Tienen en cuenta la cronología de
los distintos flujos de caja y el valor
del dinero en el tiempo mediante la
actualización o descuento.
Son muy utilizados pues
homogenizan las cantidades de
dinero recibidas en distintos
momentos.
Valor Actual Neto (VAN).
Tasa Interna de Retorno (TIR).
Indice de rentabilidad (IR).
III.1. Métodos no financieros
III.1.1. Método del flujo de caja (Cash Flow)
Este método ofrece una información de dinámica la empresa y es un instrumento contable
que refleja el flujo de los fondos generados internamente, obtenidos de una relación de
entradas y salidas de dinero (ingresos y gastos pagables) y proporciona una medida de la
autofinanciación.
Flujo de Caja Económico = Utilidad Neta + Gastos no Desembolsables
Nota: Los gastos no desembolsables son: amortización de activos fijos intangibles;
depreciación de los activos fijos tangibles; provisión de cuentas malas; amortización de
gastos diferidos; etc.
III.1.2. Tasa de Rendimiento Contable (Accounting Rate of Return)
El Método de la Tasa de Rendimiento Contable (TRC) consiste en comparar el beneficio
contable con el valor de la inversión, escogiendo aquel proyecto cuya TRC sea mayor.
La TRC se obtiene como el promedio de la utilidad después de impuestos divida entre el
importe de la inversión inicial como se indica en la siguiente expresión.
I
B
TRC
n
=
=
=
n
t
tn
B
n
B
1
.
1
donde:
n: cantidad de períodos de que consta la inversión.
Bt: beneficio que reporta la inversión en el período t.
Bn: beneficio neto anual promedio.
I: inversión.
Mi: monto inicial de la inversión.
Los principales puntos débiles de este método pueden resumirse en:
Se utilizan las utilidades contables y no los flujos de caja, por lo cual no se tiene
en cuenta el rendimiento marginal de la inversión.
No tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo.
Según este criterio son preferibles los proyectos con elevados beneficios de corta
duración, lo cual no siempre es así.
Este indicador es similar al Rendimiento Sobre Activos (ROA) o al Rendimiento
Sobre el Capital (ROE).
III.1.3. Período de recuperación (Pay Back)
Es un método sencillo, sobre todo para empresas pequeñas, que se fundamenta en
determinar el plazo de recuperación del costo de la inversión y selecciona entre proyectos
mutuamente excluyentes aquel cuya plazo de recuperación inicial es menor y la decisión
de invertir o no se toma comparando el período de recuperación del monto de la inversión
del proyecto con algún estándar predeterminado.
En la práctica, el Período de Recuperación (Pr) se determina acumulando los sucesivos
flujos anuales hasta que la suma alcance el coste inicial de la inversión es tiempo (t) que
satisface la condición mostrada en la siguiente expresión:
==
=
t
j
j
t
j
j
IC
11
donde:
Cj: flujo de caja en el período j
Ij: inversión en el período j
En el caso de que los flujos sean constantes el valor de Pr se determina a través de la
siguiente expresión:
C
C
P
r
0
=
Tabla 2. Ventajas y desventajas de este método
Ventajas Desventajas
Es fácil de calcular y aplicar.
Es barato, por eso se emplea en la
actualidad para evaluar decisiones de
pequeños gastos de capital cuando el costo
de los otros métodos es superior a los
beneficios de escoger mejores elecciones
entre las alternativas.
Proporciona una medición de la
liquidez del proyecto o de la velocidad con
que el efectivo invertido es reembolsado.
Es útil para las empresas con escasa
disponibilidad de efectivo.
Ignora los flujos de efectivo que
se extienden más al del período de
recuperación, lo cual es un sesgo para
los proyectos a largo plazo.
No considera el valor del dinero
en el tiempo.
No considera todos los flujos de
efectivo del proyecto de inversión, y por
ende no los incluye en el análisis.
Igualmente no considera el orden en que
se obtienen los beneficios, lo cual reviste
interés financiero.
Si la empresa fija una fecha como
límite sólo se aceptarán proyectos de
corta duración.
No obstante, este método puede ser atractivo en inversiones categorizadas como muy
riesgosas, en las cuales los fondos lejanos en el tiempo son menos probables en su
realización.
III.2. Métodos financieros
III.2.1. Determinación de la tasa de descuento (Capital Asset Pricing Model, CAPM)
Uno de los problemas más importantes de las finanzas consiste en poder determinar el
precio que tiene el riesgo y así poder utilizar una medida apropiada del riesgo, ya sea de
un proyecto de inversión, del riesgo de una empresa o de cualquier activo financiero.
Premisa: el rendimiento de cualquier activo financiero riesgoso en equilibrio es una
función de su covarianza con el riesgo del rendimiento del portafolio de mercado.
El CAPM es un modelo matemático que considera los siguientes supuestos acerca de los
inversionistas y del conjunto de oportunidades de inversión que existen:
Los inversionistas son individuos aversos al riesgo, que siempre maximizan la
utilidad que esperan obtener al final de un periodo de tiempo.
Los inversionistas son precio aceptantes (no pueden influir en el proceso de
formación del precio) y tienen expectativas homogéneas acerca de los rendimientos de
los activos financieros, que tiene una distribución normal.
Existe un activo libre de riesgo (instrumento del gobierno), tal que los
inversionistas pueden prestar o pedir prestado en cantidades limitadas a la tasa de riesgo
rf.
Los activos financieros existen en cantidad limitada, son bursátiles (siempre hay
compradores y vendedores) y son perfectamente divisibles.
No hay fricciones en el mercadeo de activos financieros (la tasa de interés para
prestar y pedir prestado es la misma), la información no tiene costo y está disponible para
todos los inversionistas de manera simultánea.
No hay imperfecciones del mercado como son los impuestos, regulaciones o
restricciones a las ventas.
La Caracterización del portafolio de mercado en términos de rendimiento esperado de la
La Caracterización del portafolio de mercado en términos de rendimiento esperado de la
inversión se corresponde con el mostrado en la figura 1, donde:
inversión se corresponde con el mostrado en la figura 1, donde:
E(rp): rendimiento esperado de un portafolio.
E(rm): rendimiento del portafolio de mercado.
σ(rp): desviación estándar de un portafolio
σ(rm): desviación estándar del portafolio del mercado
II’: activo riesgoso
Bajo estas condiciones, la Línea del Mercado de Capitales E(rp) viene dada por la
siguiente expresión:
)1(
)(
)(
)(
m
fm
fp
r
rrE
rrE
σ
+=
Sea un portafolio de mercado estructurado en:
activo riesgoso I: a% invertido, con tasa de rendimiento ri
portafolio de mercado M: (1-a%) invertido, con tasa de rendimiento rm.
Bajo esta condiciones, la tasa de rendimiento del portafolio combinado, compuesto por el
activo con riesgo y portafolio de mercado, rp, viene dada por:
mip
raarr )1(
+=
y la
esperanza matemática de rp viene dada por:
[ ]
)2()()1()()1()(
mimip
rEaraEraarErE
+=+=
La varianza de rp viene dada por:
[ ]
[ ]
)3()()()(
2
2
ppp
rErErV
=
[ ]
( )
[ ]
2
222
)1()1(2)(
mmiip
rarraaraErE
++=
[ ]
)4()()1();()1(2)()(
222
mmiip
rEarrEaarEarE
++=
[ ]
[ ] [ ] [ ]
)5()()1()()()1(2)()()1()()(
2
2
2
2
22
mmiimip
rEarErEaarEarEaraErE
++=+=
Sustituyendo las expresiones 4 y 5 en 3 y agrupando convenientemente se obtiene:
[ ]
[ ]
{ }
[ ]
[ ]
[ ]
{ }
2
22
2
22
)()()1()()();()1(2)()()(
mmmimiiip
rErEarErErrEaarErEarV
++=
Nótese lo siguiente:
[ ]
[ ]
{ }
2
2
)()(
ii
rErE
, representa la varianza de los rendimientos del activo con
riesgo, en lo sucesivo,
i
σ
.
[ ]
[ ]
{ }
2
2
)()(
mm
rErE
,representa la varianza del portafolio de mercado libre de
riesgo, en lo sucesivo,
m
σ
[ ]
)()();(
mimi
rErErrE
, representa la covarianza de los rendimientos entre el
activo con riesgo y el portafolio de mercado, en lo sucesivo,
mi;
σ
Por tanto la varianza y desviación típica de la rentabilidad del portafolio combinado, rp,
viene dada por las siguientes expresiones:
)6()1(2)1()(
;
2222
mimip
aaaarV
σσσ
++=
[ ]
)7()1(2)1()(
2/1
;
2222
mimip
aaaar
σσσσ
++=
Ahora la variación en la esperanza (media) y en la desviación estándar con respecto al
porcentaje del portafolio a, invertido en activos con riesgo se obtiene a partir del cálculo
de la derivada parcial de la expresiones (1) y (6) con respecto al parámetro a, como se
indica a continuación:
[ ]
)8()()(
)()1()(
)(
mi
mi
p
rErE
a
rEaraE
a
rE
=
+
=
[ ]
[ ] [ ]
mimimimimi
p
aaaaaaaa
a
r
;;
22
2
1
;
2222
2)1(2)1(22)1(2)1(
2
1
)(
σσσσσσσ
σ
+++=
[ ]
[ ] [ ]
)9(24)1(22)1(2)1(
2
1
)(
;;
22
2
1
;
2222
mimimimimi
p
aaaaaaa
a
r
σσσσσσσ
σ
+++=
El descubrimiento de Sharpe y Treynor de que en el equilibrio el portafolio de mercado ya
tiene el valor I ponderado por su valor wi , por lo cual el porcentaje a de la expresiones 7 y
8 representa el exceso de demanda por un activo con riesgo.
activoslostodosdemercadodevalor
individualactivoundemercadodevalor
w
i
=
En el equilibrio, el exceso de demanda por el activo con riesgo es igual a cero y os precios
se ajustaran hasta que todos los activos pertenezcan a los inversionistas. Por tanto si se
evalúan las expresiones 7 y 8 para a igual a cero, es posible determinar la relación de
precios en el equilibrio como se indica a continuación:
)10()()(
)(
0
mi
a
p
rErE
a
rE
=
=
[ ]
[ ] [ ]
)11(
2
)(2
22
2
1
)(
2
;
2
;
2
;
2
1
2
0m
mmi
m
mmi
mmim
a
p
a
r
σ
σσ
σ
σσ
σσσ
σ
=
==
=
De las ecuaciones anteriores puede determinarse que la pendiente de la curva descrita
por la relación existente entre el rendimiento esperado del activo con riesgo y la varianza
de esta Mr viene dada por:
)11(
)()(
2
;
m
mmi
mi
r
rErE
M
σ
σσ
=
Ahora en el punto del equilibrio del mercado (Mr) debe ser igual a la pendiente de la Línea
de Mercado de Capitales (Mc), de donde, igualando las expresiones (1) y (11), se tiene:
m
fm
m
mmi
mi
rrE
rErE
σ
σ
σσ
=
)(
)()(
2
;
[ ]
fmfm
m
mi
m
fm
m
mmi
mi
rrErrE
rrE
rErE
+=
=
)()(
)(
)()(
;
2
;
σ
σ
σσ
σσ
Simplificando el término
)(
m
rE
en la expresión anterior se obtiene la ecuación del CAPM:
[ ]
fm
m
mi
fi
rrErrE
+=
)()(
;
σ
σ
La ecuación anterior indica que la tasa de rendimiento requerida por cualquier
activo, tiene dos componentes:
Tasa libre de riesgo, rf.
Tasa de riesgo: recoge el rendimiento esperado por el riesgo, obtenida como el
producto de la prima por riesgo obtenida de la diferencia
fm
rrE
)(
por la cantidad de
riesgo obtenida como
m
mi
σ
σ
β
;
=
.
III.2.2. Valor Actual Neto (VAN)
Es un indicador de recuperación de valores, ya que compara el valor presente de los
beneficios futuros esperados de un proyecto con el valor presente del costo esperado.
El Valor Actual Neto (VAN) es el valor presente de los rendimientos futuros descontados al
costo de capital de la empresa, menos el costo de la inversión y para su determinación se
utiliza la siguiente expresión, donde:
( ) ( )
( )
( )
0
1
0
2
2
2
1
1
1
1
1
.......
11 C
r
C
C
r
C
r
C
r
C
VAN
n
t
t
i
t
n
n
n
+
=
+
++
+
+
+
=
=
C1, C2, ... Cn: Flujos netos de efectivo en cada período.1
ri: Tasa de descuento apropiada o costo de capital del proyecto en cada periodo
C0: costo inicial del proyecto (inversión inicial)
n: Cantidad de períodos de duración del proyecto (vida esperada)
A los efectos del análisis del VAN, se aceptan lo proyectos cuyo VAN sea positivo y si es
negativo, debe ser rechazado, en tanto si dos o más proyectos son mutuamente
excluyentes, deberá elegirse el que tenga el VAN más alto mientras mayor sea el valor del
VAN más atractivo resulta.
Un VAN positivo indica que la inversión en el proyecto produce excedentes superiores, en
la cuantía del VAN, a los que podrían obtenerse invirtiendo esa misma cantidad a la tasa
de inversión.
La ventaja fundamental de este método es que considera el valor del dinero en el tiempo y
su inconveniente principal es la dificultad de especificar el tipo de descuento o de
actualización, ri, el cual debe considerar además del tipo de interés, el riesgo que
representa el proyecto.
Otro factor que debe considerarse previo a la elección de un cartera de proyectos
excluyentes es si existen diferencias entre la cantidad de periodos de cada uno,
para proceder a homogenizarlos, asumiendo que se repiten en el tiempo hasta el
infinito.
Para este propósito se puede utilizar la siguiente expresión2 que se deduce al considerar
el VAN del flujo de proyectos repetidos a escala constante en forma infinita.
+
+
=
1)1(
)1(
)(),(
n
n
r
r
nVANnVAN
Esta alternativa, si bien homogeniza los proyectos con duración diferente, tiene como
inconveniente, que no es real que la tasa de descuento que pueda aplicarse para la
duración real de los proyectos, se mantenga más allá de este periodo.
1 Los flujos futuros de efectivo se definen como los flujos netos anuales de entradas de efectivo esperados de
las inversiones, o como el ingreso neto en operación después de impuestos más la depreciación
2 Para conocer la deducción, véase el Anexo B.
III.2.3. Tasa Interna de Retorno (TIR)
Este indicador es el máximo beneficio que puede esperarse del proyecto y se basa
en obtener la tasa que iguale el valor presente de los beneficios con el costo
(desembolso inicial), es decir, es la tasa de descuento que hace que el VAN del
proyecto sea igual a cero.
Por tanto, la Tasa de Rendimiento Interno (TIR), es la tasa de descuento que iguala al
valor presente de los flujos futuros de efectivo esperados con el costo inicial del proyecto,
por lo que corresponde al rendimiento al vencimiento sobre un bono. Es un método de
flujo de efectivo descontado.
La TIR es la tasa de descuento que iguala el valor presente de los flujos futuros de
efectivo esperados, o ingresos, con el costo inicial del proyecto, que matemáticamente se
expresa según la ecuación donde r es un valor tal que la suma de los ingresos
descontados sea igual al costo inicial del proyecto con lo que se iguala la ecuación a cero.
Matemáticamente, el valor de la TIR se obtiene resolviendo la siguiente ecuación, donde
los símbolos tiene el mismo significado que en el caso del VAN.
( ) ( ) ( )
)1(0
1
.......
11
0
2
2
1
1
=
+
++
+
+
+
C
TIR
C
TIR
C
TIR
C
n
n
El criterio de selección de un proyecto, una vez obtenida la TIR a través de la resolución
de la ecuación anterior se corresponde con uno de los tres casos siguientes:
TIR > i , y la inversión interesa.
TIR = i, y la inversión es indiferente.
TIR < i, y la inversión se rechaza.
Una ventaja de este método es que se puede calcular a partir de los flujos proyectados de
la inversión, sin necesidad de conocer el costo de capital de la empresa, que requiere de
cálculos más complejos.
Las limitaciones del empleo de la TIR en la evaluación de proyectos, se debe
fundamentalmente a:
Se basa en la hipótesis de reinversión o financiación de los cobros o pagos netos
intermedios a la tasa r, es decir, lo pagos netos se vuelven a reinvertir a un rendimiento r y
el costo de los pagos netos es r, lo cual es irreal.
La existencia de varios tipos de rentabilidad en algunas inversiones, cuando se
requiere de préstamos en periodos intermedios del proyecto como se ilustra en la tabla 3.
En este caso la Regla de Cambio de Signo de Descartes establece que existirán tantas
raíces positivas para 1+r, como cambios de signo en los valores de flujo que definen la
inversión.
Tabla 3. Flujos de caja proyectados para cuatro proyectos con TIR múltiples
Proyecto Períodos
0123456
A-100 45 25 15 40 30 30
B-100 40 33 30 30 28 -15
C-100 56 45 -20 37 30 25
D-100 54 48 37 -25 40 -20
: Indica los cambios de signo en los flujos actualizados
Tabla 4. Criterio de Descartes para el ejemplo de la tabla 3.
Proyecto Períodos Cambios
de signo
Cantidad de raíces
reales
0 1 2 3 4 5 6
A- + + + + + + 1 una
B- + + + + + - 2 dos o ninguna
C- + + - + + + 3 tres o una
D- + + + - + - 4 cuatro; dos o ninguna
Atendiendo a este comportamiento, las inversiones pueden clasificarse en:
Simple: cuando existe un sólo valor de r y por tanto no hay cambios de signo en
los flujos actualizados.
No simple: cuando existen dos o más raíces positivas. En estos casos existen
varios cambios de signo en los flujos de efectivo y en la práctica pueden ser consideradas
como la suma de varias inversiones independientes.
Mixta: son aquellas inversiones en la cuales de tener múltiples raíces, en alguno
de los periodos intermedios el flujo actualizado se vuelve negativo, lo cual ocurre en los
proyectos que reciben la mayor parte de su rendimiento en un momento determinado
como se ilustra en el ejemplo recogido en la tabla 5.
Tabla 5. Ejemplo de comportamiento de los flujos de caja en inversiones mixtas
Flujo: Períodos Σ
0 1 2 3 4 5 6
De caja -1500 600 700 1200 -900 150 143.75 ----
Descontados
al 15% -1500 521.74 529.30 907.37 -680.53 113.42 108.70 0
En el ejemplo se aprecia que los flujos descontados al final del segundo año son positivos
y que el importe del capital empleado a partir del segundo año es negativo, ya que es el
proyecto el que financia a la empresa. En este caso existirán raíces múltiples positivas o
un valor único de la TIR que no sea económicamente significativo.
En este caso se puede emplear el Método ampliado de la TIR, que consiste en que los
flujos de caja se descuentan al costo del capital de la empresa y no al tipo de rentabilidad
del proyecto hasta que se compensen con flujos positivos.
En la práctica, la obtención del valor de la TIR en cualesquiera de los casos anteriores, es
equivalente a la determinación de la TIR en la siguiente ecuación, obtenida mediante la
multiplicación de la expresión (1) por la magnitud (1 + r)n, donde por simplicidad se utiliza r
para representar el valor de la TIR.
(1+r)nC0 + (1+r)n-1C1 + (1+r)n-2C2 + … + (1+r)Cn-1 + Cn = 0
Si se realiza la sustitución x = 1+ r, se obtiene finalmente la expresión de trabajo siguiente,
que matemáticamente se corresponde con un polinomio de grado n, cuyos coeficientes
constituyen los flujos netos de cada período.
P(x) = C0xn + C1xn-1 + C2xn-2 + ... + Cn-1x + Cn = 0
Por tanto, la determinación de la TIR se corresponde con la búsqueda de las raíces
reales y positivas (las complejas y los valores negativos carecen de sentido
económico) de un polinomio de grado n. Matemáticamente está demostrado que un
polinomio de grado n con coeficientes reales tiene n raíces en el campo de los
números complejos, lo que conduce a las siguientes tres interrogantes:
¿Cuántos valores de TIR son matemáticamente posibles?. La respuesta a esta
pregunta la brinda la Regla de Descartes «el número de raíces positivas de la
ecuación P(x)=0 no es mayor que el número de variaciones de signo del polinomio
P(x) y puede diferenciarse de este número en una cantidad par». Por tanto, pueden
existir proyectos con múltiples valores de TIR en el sentido matemático.
Cuando existen múltiples valores matemáticos de la TIR, ¿cuál es su
interpretación?. Esta situación puede ser un índice de que la naturaleza del proyecto
consta de más de una etapa y es recomendable su división para el análisis o que requiere
de una mayor inversión inicial para que su comportamiento sea único.
¿Cómo determinar los valores de la TIR?. Para la determinación de la magnitud de
la TIR pueden emplear diversos métodos atendiendo a las características, los cuales
pueden agruparse en los cinco casos que se analizan a continuación por separado.
Caso I: Si existe un valor único de la TIR para el proyecto, sin importar la cantidad de
períodos de que consta el proyecto, puede calcularse utilizando la función TIR() de la Hoja
de Cálculo Electrónico EXCEL que tiene como argumento los valores proyectados de flujo
y un valor inicial de la TIR, que se utiliza para el algoritmo interno de cálculo y que puede
omitirse, como se ilustra en la figura 2.
Caso II: Si el proyecto consta de un período. En este caso el planteamiento del problema
se corresponde con la siguiente ecuación:
0
1
1
0
=
+
+
r
C
C
El valor de r, puede obtenerse despejando su valor en la ecuación anterior, se obtiene:
+
=
1
10
C
CC
r
Caso III: Cuando la inversión es de dos períodos. Para estas condiciones, la TIR viene
dada por:
0
)1(
1
2
21
0
=
+
+
+
+
r
C
r
C
C
Multiplicando la expresión anterior por el término (1 + r)2 y sustituyendo (1 + r) por x se
obtiene como expresión de trabajo la siguiente:
C0x2 + C1x + C2 = 0
La solución de esta ecuación equivalente se corresponde con la solución general de la
ecuación de segundo grado3 que, aplicada a la TIR adopta la forma siguiente:
)1(
2
4
0
20
2
11
C
CCCC
x
±
=
)2(1
=
xr
Nótese que si en la expresión para la determinación de x, la magnitud de la
expresión contenida en el radical es negativa, no existen valores reales de la TIR
para el proyecto analizado, lo cual puede ocurrir si se cumplen las dos condiciones
siguientes:
En el segundo periodo se requiere de un préstamo (C2: negativo).
El valor absoluto de 4C0C2 es mayor
2
1
C
.
Otro caso particular de interés, es aquel en el cual la suma de los flujos de efectivo de los
tres períodos es cero, es decir,
0
210
=++
CCC
. Bajo estas condiciones se cumple que
)(
012
CCC
+=
.
Sustituyendo la expresión anterior en (1) se obtiene:
[ ]
0
2
101
0
2
1
2
0
2
11
0
100
2
11
2
)2(
2
4
2
)(4
C
CCC
C
CCCC
C
CCCCC
x
+±
=
++±
=
+±
=
011
2
)2(
11
0
101
1
===
++
=
xr
C
CCC
x
0
1
22
0
1
0
10
0
10
0
101
2
211
)(
2
)(2
2
)2(
C
C
xr
C
C
C
CC
C
CC
C
CCC
x
===
+
=
+
=
+
=
3 Para la deducción, véase la Solución general de la Ecuación de Segundo Grado desarrollada en el Anexo E1.
de este trabajo.
En correspondencia con el hecho de que el problema modela se trata de una inversión, C0
es negativo, por tanto r2 viene dada por:
2
0
1
2
=
C
C
r
A modo de resumen de este caso,
0
210
=++
CCC
, puede señalarse que uno de los dos
valores de la TIR siempre es cero, en tanto el signo (positivo o negativo) del otro valor
depende de que la relación existente entre el monto del flujo de efectivo en el primer
período (C1) y la inversión inicial (C0), sea mayor o menor que dos, es decir, para que
exista una TIR positiva en el proyecto es necesario que el flujo en el primer periodo sea,
como mínimo, el doble que la inversión inicial.
Caso IV: Cuando la inversión es de tres períodos. Para estas condiciones, la TIR se
obtiene de resolver la siguiente ecuación:
0
)1()1(
1
3
3
2
21
0
=
+
+
+
+
+
+
r
C
r
C
r
C
C
Multiplicando la expresión anterior por el término (1 + r)3 y sustituyendo (1 + r) por x se
obtiene como expresión de trabajo la siguiente:
C0x3 + C1x2 + C2x + C3 = 0
La anterior ecuación es equivalente a la determinación de las raíces de un polinomio de
tercer grado, para lo cual se puede utilizar de manera combinada el procedimiento de
Cardano4 (Anexo E2) que conduce a una de los tres variantes siguientes:
Variante #1: Una solución real y dos complejas conjugadas, estás últimas sin
valor financiero. En este caso el único problema es cuando la raíz real sea negativa,
pues no tiene sentido económico y debe analizarse la formulación del problema y los
4 Para la deducción, véase la Solución general de la Ecuación de Tercer Grado desarrollada en el Anexo C4.
cálculos. Matemáticamente, este caso se corresponde con la condición
0
274
32
>+=
pq
D
y
el valor de la TIR viene dado por la expresión
1
+=
βα
TIR
, donde:
3
32
2742
pqq
++=
α
3
32
2742
pqq
+=
β
0
2
1
0
2
3C
C
C
C
p
=
2
0
21
3
0
3
1
0
3
327
2
C
CC
C
C
C
C
q
+=
Variante #2: Tres soluciones reales, dos de ellas iguales. En la práctica este
caso proporciona dos valores de TIR, entre los cuales debe escoger el analista aplicando
criterios adicionales que brinden racionalidad a la magnitud seleccionada.
Matemáticamente, este caso se corresponde con la condición
0
274
32
=+= pq
D
y los
valores de la TIR vienen dado por las expresiones:
1
1
=
α
TIR
;
12
2
=
α
TIR
y
3
2
4
q
=
α
.
Variante #3: Tres soluciones reales desiguales entre sí. Este caso requiere, al
igual que el anterior, un análisis financiero complementario, para escoger cual de las tres
soluciones tiene sentido económico. La determinación analítica de los tres valores
requiere de la extracción de la raíz cúbica de un número complejo, la cual se ilustra en el
Anexo D. En este caso los valores posibles de α y β viene dados por expresiones de la
tabla 6, en la cual θ0 por simplicidad se asume como cero.
Tabla 6. Expresiones para la determinación de α y β.
k Valores de α posibles: Valores de β posibles:
0
310
r
=
α
320
r
=
β
1
+
=
3
2
3
2
cos
311
ππ
α
isenr
+
=
3
2
3
2
cos
321
ππ
β
isenr
2
+
=
3
4
3
4
cos
312
ππ
α
isenr
+
=
3
4
3
4
cos
322
ππ
β
isenr
Caso V: Cuando la inversión consta de cuatro períodos, existen cuatro, dos o ninguna
raíz con VAN positivo. Para estas condiciones, la TIR se obtiene de resolver la siguiente
ecuación:
0
)1()1()1(1
4
3
3
3
2
21
0
=
+
+
+
+
+
+
+
+
r
C
r
C
r
C
r
C
C
Multiplicando la expresión anterior por el término (1 + r)4 y sustituyendo (1 + r) por x se
obtiene como expresión de trabajo la siguiente:
C0x4 + C1x3 + C2x 2+ C3x + C4 = 0
La anterior ecuación es equivalente a la determinación de las raíces de un polinomio de
tercer grado, para lo cual se puede utilizar las expresiones de Ferrari5 , lo cual en la
práctica resulta engorroso y es preferible a partir de este número de raíces utilizar un
algoritmo iterativo. Para cantidades de períodos superiores a cuatro no existe
procedimientos algebraicos que permitan obtener las raíces de un polinomio en términos
de los coeficientes de éste.
III.2.4. Indice de rentabilidad
El Indice de Rentabilidad se utiliza para decidir entre alternativas con semejantes VAN y
TIR cuando existe una escasez de recursos, ya que este indicador mide cuanto reporta
cada unidad monetaria invertida. Para su determinación se emplea la siguiente expresión:
( )
=
=
+
==
n
t
t
n
t
t
t
I
i
C
sInversione
FlujosdeoActualizadValor
IR
1
1
1
5 Para la deducción, véase el en el Capítulo de Álgebra el aspecto Solución general de la Ecuación de Cuarto
Grado.
III.2.5. Comparación entre los Métodos del VAN y la TIR
El método de VAN indica de manera clara y exacta si la realización de un proyecto se
justifica, pues sus beneficios exceden a sus costos (inversión inicial) evaluada a una tasa
de descuento que refleja el costo de capital. Es muy útil para seleccionar entre un grupo
de proyectos, aquel que brinda mayor beneficio, ya que brinda una información integral
del proyecto y no conduce a una evaluación de las características del flujo de efectivo a lo
largo del proyecto, lo cual reviste especial interés en el caso de proyectos de larga
duración.
En el caso de la TIR, una ventaja es que se puede obtener utilizando los datos
correspondientes a los flujos de efectivo del proyecto sin necesidad de conocer el costo
de capital de la empresa.
De lo expuesto se aprecia que los criterios del VAN y la TIR pueden conducir a elecciones
diferentes debido a que ambos criterios miden cosas diferentes: la TIR proporciona la
rentabilidad relativa del proyecto y el VAN la rentabilidad absoluta.
Si dos proyectos son independientes, los criterios del VAN y el TIR coinciden.
Si los proyectos son mutuamente excluyentes se produce un conflicto cuando el
costo de capital sea inferior a la TIR y el VAN mayor que cero.
Existen dos condiciones fundamentales que pueden ocasionar conflictos entre
los criterios del VAN y la TIR: cuando existen diferencias en el tamaño (escalas) de los
proyectos, es decir, cuando el costo de un proyecto es mayor que el otro y cuando existen
diferencias de oportunidad , es decir la oportunidad de los flujos de efectivo provenientes
de los proyectos difiere de forma tal que la mayor parte de los flujos de un proyecto se
presentan en los primeros años y en el otro al final. Estos factores aconsejan, que cuando
se evalúan proyectos mutuamente excluyentes, especialmente aquellos con diferencia de
escala y oportunidad en el tiempo, debe emplearse el VAN.
III.2.6. Criterios de selección atendiendo al capital disponible en la empresa
La cantidad y tipos de proyectos que pueden escogerse varían en dependencia del capital
disponible en la empresa para inversión en nuevos proyectos, identificándose los cuatro
tipos alternativas posibles siguientes:
Empresa de capital constante y proyectos independientes: Se escogen entre
los proyectos propuestos los de mayor VAN y TIR, hasta que se alcanza el monto
del capital disponible.
Empresa de capital constante y proyectos mutuamente excluyentes: Se escoge
el proyecto de mayor VAN o TIR, cuyo monto no sobrepasa el capital constante
disponible.
Empresa de capital sin restricción y proyectos independientes: Se escogen
todos los proyectos que cumplan la condición de VAN mayor que cero y TIR mayor que el
costo de capital de la empresa.
Empresa de capital sin restricción y proyectos mutuamente excluyentes: Se
escoge el de mayor VAN y TIR.
IV. Discusión de casos
Ejemplo #1. Sean los proyectos A, B C, D, E, F y G alternativas de inversión de la
empresa Mesa&PP S.A. con los flujos de efectivo que se muestran en la tabla 7.
Seleccione el proyecto más atractivo utilizando los siguientes métodos:
a) Flujo de Caja (Cash Flow)
b) Tasa de Rendimiento Contable (Accounting Rate of Return)
c) Período de Recuperación (Pay Back)
d) Valor Actual (Present Value)
e) Valor Actual con Diferentes Duraciones
f) Indice de Rentabilidad
g) Tasa Interna de Rentabilidad (TIR)
h) Discuta de manera comparativa los resultados alcanzados en los incisos anteriores.
Tabla 7. Flujos de efectivo de los seis proyectos bajo estudio.
B C D E F G H I
período Ejemplo #1. Flujos de efectivo de los proyectos
Proyecto A Proyecto B Proyecto C Proyecto D Proyecto EProyecto F Proyecto G
40-1200.00 -1200.00 -1200.00 -6000.00 -10000.00 -6000.00 -1200.00
51200.00 300.00 1050.00 4300.00 3500.00 4900.00 400.00
621000.00 850.00 100.00 1400.00 1500.00 1050.00 850.00
73550.00 450.00 570.00 500.00 1000.00 950.00 400.00
84370.00 550.00 100.00 500.00 400.00 700.00 485.00
95 -100.00 580.00 -1500.00
10 6 300.00 600.00 3000.00
11 7 6000.00
Respuesta:
a) En la tabla 8 se muestran los resultados obtenidos al aplicar el Métodos del Flujo de
Caja a los seis proyectos evaluados, utilizando la Hoja de cálculo Electrónico EXCEL,
indicándose la ecuación de cálculo utilizada.
Tabla 8. Resultados por el Método del Flujo de Caja.
índice
Ejemplo #1. Método del Flujo de Caja (Cash Flow)
Proyecto A Proyecto BProyecto C Proyecto D Proyecto E
Proyect
o F
Proyect
o G
Cálculo
B:
SUMA(C4:
C8)
SUMA(D4:
D8)
SUMA(E4:
E10)
SUMA(F4:F
10)
SUMA(G4:
G11) a) a)
B: 920.00 950.00 820.00 1880.00 3900.00 1600.00 935.00
Selecci
ón: *
a) Los cálculos para estos proyectos se realizan de manera similar a los anteriores.
Proyecto seleccionado: E.
b) En la tabla 9 se muestran los resultados para el Método de la Tasa de Rendimiento
Contable en el caso de los seis proyectos evaluados.
Tabla 9. Resultados por el Método de la Tasa de Rendimiento Contable.
B C D E F G H I
índice
Ejemplo #1. Método de la Tasa de Rendimiento Contable
(Accounting Rate of Return)
Proyecto A
Proyect
o B
Proyect
o C
Proyect
o D
Proyecto
E
Proyecto
F
Proyecto
G
23Cálculo I: ABS(C4) ABS(D4)ABS(E4)ABS(F4) ABS(G4) ABS(H4) ABS(I4)
24
Cáculo
Bm:
PROMEDIO(C5
:C11) a) a) a) a) a) a)
25
Cálculo
TRC: C27/C26 D27/D26 E27/E26 F27/F26 G27/G26 H27/H26 I27/I26
26I: 1200.00 1200.00 1200.00 6000.00 10000.00 6000.00 1200.00
27Bm: 530.00 537.50 336.67 1313.33 1985.71 1900.00 533.75
28TRC: 0.44 0.45 0.28 0.22 0.20 0.32 0.44
29Selección: *
a) Los cálculos para estos proyectos se realizan de manera similar a los anteriores.
Proyecto seleccionado: B.
c) En la tabla 10 se muestran los resultados para el Método del Período de Recuperación
Tabla 10. Resultados por el Método del Período de Recuperación.
período
Ejemplo #1. Método del Período de Recuperación (Pay
Back)
Proyect
o A
Proyect
o B
Proyect
o C
Proyect
o D
Proyect
o E
Proyect
o F
Proyect
o G
1-1000.00 -900.00 -150.00 -1700.00 -6500.00 -1100.00 -800.00
20.00 -50.00 -50.00 -300.00 -5000.00 -50.00 50.00
3550.00 400.00 520.00 200.00 -4000.00 900.00 450.00
4920.00 950.00 620.00 700.00 -3600.00 1600.00 935.00
5 520.00 1280.00 -5100.00 1600.00
6 820.00 -2100.00 1600.00
7
$3
900.00
$1
600.00
Selecci
ón: *
Proyecto seleccionado: A.
d) En la tabla 11 se muestran los resultados para el Método del Valor Actual.
Tabla 11. Resultados por el Método del Valor Actual.
B C D E F G H I
índice
Ejemplo #1. Método del Valor Actual (VAN)
Proyecto A
Proyect
o B
Proyect
o C
Proyect
o D
Proyect
o E
Proyect
o F
Proyect
o G
46
Cálculo
VAN:
VNA($C$48
C5:C11)+C4 a) a) a) a) a) a)
47VAN: $474.20 $488.96 $440.99 $482.10
-
$713.00 $514.17 $497.90
48r (%): 10.00%
49
Selecció
n: *
a) Los cálculos para estos proyectos se realizan de manera similar a los anteriores.
Proyecto seleccionado: F.
e) En la tabla 12 se muestran los resultados para el Método del Valor Actual con
Diferentes Duraciones.
Tabla 12. Resultados por el Método del Valor Actual con Diferentes Duraciones.
B C D E F G H I
índice
Ejemplo #1. Método del Valor Actual para Proyectos con
Diferentes Duraciones
Proyect
o A
Proyect
o B
Proyect
o C
Proyect
o D
Proyect
o E
Proyect
o F
Proyect
o G
54
Cálculo VAN
infinito: a) a) a) a) a) a) a)
55VAN infinito: 281.76 290.52 281.88 308.15 -471.20 305.51 295.84
56N: 4 4 6 6 7 4 4
57Selección: *
a) C47*POTENCIA(1+$C$48 C56)/(1+POTENCIA(1+$C$48 C56))
Proyecto seleccionado: D.
f) En la tabla 13 se muestran los resultados para el Método del Indice de Rentabilidad.
Tabla 13. Resultados por el Método del Indice de Rentabilidad.
B C D E F G H I
período
Ejemplo #1. Método del Indice de Rentabilidad
Proyecto
A
Proyecto
B
Proyecto
C
Proyecto
D
Proyecto
E
Proyecto
F
Proyecto
G
62 0-1200.00 -1200.00 -1200.00 -6000.00 -10000.00 -6000.00 -1200.00
63 1181.82 272.73 954.55 3909.09 3181.82 4454.55 363.64
64 2826.45 702.48 82.64 1157.02 1239.67 867.77 702.48
65 3413.22 338.09 428.25 375.66 751.31 713.75 300.53
66 4252.71 375.66 68.30 341.51 273.21 478.11 331.26
67 5 -62.09 360.13 -931.38
68 6 169.34 338.68 1693.42
69 7 3078.95
70
Cálculo
IR: a) a) b) a) c) a) a)
71IR: 1.40 1.407 c) 1.08 0.93 1.09 1.415
72r: 10.00%
73
Selecci
ón: *
a) SUMA(C63:C66)/ABS(C62)
b) (SUMA(E63:E66)+E68)/(ABS(E62+E67))
c) (SUMA(G63:G66)+G68+G69)/(ABS(G62+G67))
Proyecto seleccionado: F.
g) En la tabla 14 se muestran los resultados para el Método de la TIR.
Tabla 14. Resultados por el Método de la TIR.
B C D E F G H I
índice
Ejemplo #1. Método de la Tasa Interna de Retorno (TIR)
Proyecto A Proyecto B
Proyect
o C
Proyect
o D
Proyect
o E
Proyect
o F
Proyect
o G
78
Cálculo
TIR:
TIR(C4:C11
$C$80)
TIR(D4:D11
$C$80) a) a) a) a) a)
79TIR: 26% 27% 30% 15% 8% 16% 28%
80
r_inicial
(%): 8.00%
81
Selecció
n: *
Proyecto seleccionado: C.
h) Discusión comparativa.
El primer resultado que resulta evidente del análisis de la selección obtenida al evaluar
por cada uno de los métodos recogidos en la literatura los siete proyectos del ejemplo, es
que: «un mismo conjunto de proyectos analizados por métodos diferentes conduce
a a selecciones diferentes que, en el límite, como se ilustra en el caso de estudio, la
selección no coincida por ninguno de los métodos». Por tanto, la selección del
método es un proceso de gran impacto y debe ser realizada cuidadosamente.
Por otra parte, cada uno de los métodos descritos exhiben una racionalidad en su
propuesta, al recoger un enfoque contable o financiero, lo cual conduce a otra conclusión
derivada del ejemplo: «utilizar más de un método proporciona niveles de
comparación de enfoques y puede ser muy útil, siempre y cuando, no constituya
una carga financiera y una demora apreciable para obtener la información necesaria
para adoptar la decisión».
Finalmente, puede extraerse otra enseñanza de este caso: «ningún método sustituye el
análisis del colectivo de Finanzas, sólo representan una herramienta que facilita la
adopción de decisiones».
Ejemplo #2. Sean los proyectos I, II, III, IV y V, alternativas de inversión de la empresa
Rich&Poor S.A. con los flujos de efectivo que se muestran en la tabla 15. Determine:
a) Las Tasas Internas de Retorno utilizando la solución general de la Ecuación de
Segundo así como la TIR y el VAN a través de la hoja de cálculo EXCEL.
b) Analice los resultados obtenidos en el inciso anterior.
Tabla 15. Flujos de efectivo de los proyectos para evaluar.
B C D E F G
período Ejemplo #2. Flujos de efectivo
Proyecto I Proyecto II Proyecto III Proyecto IV Proyecto V
40-1900 -900 -2500 -6000 -6000
512800 2800 8000 8000 5500
62-900 -1900 -6000 -2500 2500
Repuesta:
a) Los valores de la TIR obtenidos por los métodos solicitados se muestra en la tabla 16.
Tabla 16. Valores de la TIR para los proyectos analizados.
B C D E F G
índice Ejemplo #2. Método de la Tasa Interna de Retorno (TIR)
Proyecto I Proyecto II Proyecto III Proyecto IV Proyecto V
13
Cálculo suma
flujos: SUMA(C4:C6) SUMA(C4:C6) SUMA(C4:C6) SUMA(C4:C6) SUMA(C4:C6)
14Cálculo TIR1 : (-C5+RAIZ(C5*C5-4*C6*C4))/(2*C4)-1 a) a) a) a)
15Cálculo TIR2 : (-C5-RAIZ(C5*C5-4*C6*C4))/(2*C4)-1 b) b) b) b)
16TIR EXCEL : TIR(C4:C6,0.1) TIR(D4:D6,0.1) c) c) c)
17 Cálculo VAN #1 : VNA($C$25 C5:C6)+C4 VNA($C$25 D5:D6)+D4 d) d) d)
18 Cálculo VAN #2 : VNA($C$27 C5:C6)+C4 VNA($C$27 D5:D6)+D4 e) e) e)
19 Cálculo VAN #3 : VNA($C$29 C5:C6)+C4 VNA($C$29 D5:D6)+D4 f) f) f)
20Suma flujos : 0.00 0.00 -500.00 -500.00 2000.00
21TIR1 : -52.63% 0.00% 20.00% -50.00% -133.33%
22TIR2 : 0.00% 111.11% 100.00% -16.67% 25.00%
23TIR según EXCEL : 0.00% 0.00% 20.00% -16.67% 25.00%
24VAN1 : -$ 145.75 $ 98.11 -$ 80.34 -$ 933.84 $ 672.97
25Tasa1 : 15.00%
26VAN2 : -$ 191.67 $ 113.89 $ 0.00 -$ 1 069.44 $ 319.44
27Tasa2 : 20.00%
28VAN3 : -$ 236.00 $ 124.00 $ 60.00 -$ 1 200.00 $ 0.00
29Tasa3 : 25.00%
b) Análisis de los resultados
Los resultados mostrados en la tabla 16 ponen de manifiesto los siguientes aspectos:
Se comprueba que en aquellos proyectos cuyo flujo de efectivo final es cero
(I;II), uno de los valores de la TIR es nulo. Igualmente se aprecia que el otro valor de la
TIR puede ser negativo a positivo.
Se comprueba que cuando un proyecto se evalúa a un valor de la TIR, su VAN
es nulo (III;V)
Proyectos cuyos dos valores de la TIR sean positivos (III) o nulo (I), pueden
tener un VAN negativo.
El algoritmo utilizado por EXCEL escoge siempre la TIR más cercana a cero,
que se corresponde con el valor más racional.
V. Conclusiones
Como resultado de este trabajo puede señalarse que se presentaron los diferentes
Métodos para la evaluación de Proyectos de Inversión, así como sus ventajas y
limitaciones, las cuales se ilustran en los ejemplos desarrollados para este propósito.
De igual forma, se desprende de los aspectos planteados se ratifica la importancia de la
insustituible evaluación «inteligente» de los resultados y la selección del método de
evaluación utilizado.
VI. Bibliografía
Blanco, A.M.; Domínguez, J.C.: «Elementos de Matemática Financiera»; Editorial
ENPES; Cuba; 1989.
Bronshtein, I.; Semendiaev, K.: «Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes»,
Editorial MIR, URSS, 1971.
Bueno, E.; Cruz, I.; Durán, J.J.: «Economía de la empresa», Ediciones Pirámide. S.A., 14
Edición, 1991
Caso, J.C:«Ecuaciones Cuadráticas y Cúbicas. Un Enfoque distinto»; 1999.
Caso, J.C:«Resolución de ecuaciones algebraicas, con coeficientes reales, de grado n»;
1999.
Churchill, R.V: «Elementos de variable compleja y aplicaciones»; Ediciones Ciencia y
Técnica; 1970, Cuba.
García, J.:«Contabilidad de Costos»; McGraw Hill , 1999.
Gonzalez, B.: «Las bases de las finanzas empresariales»; Editorial Academia, La Habana,
Cuba, 2001
Hadley, G.: «Linear Algebra»; Editorial Ciencia y Técnica; La Habana; Cuba; 1968.
Hdez, L.; del Castillo, A.; Bofia, A.; Pons, A:«Probabilidades»; pp: 243-54; Editorial Pueblo
y Educación; Cuba, 1981.
Hohn, F.E.: «Elementary Matrix Algebra»; Ediciones Revolucionarias; La Habana; Cuba;
1969.
Kurosch, A.G.: «Curso de Álgebra Superior»; Editorial MIR; Moscú; 1968.
Spigel, M.:«Teoría y Problemas de Estadística», Ediciones Revolucionarias, 1977.
VII. Anexos
VII.1. Anexo A. Términos y definiciones
Análisis de inversión. Planeamiento eficaz que permite determinar el momento más
adecuado para la adquisición de un activo.
Costo de oportunidad. Rentabilidad a la que se renuncia para invertir en un proyecto en
lugar de hacerlo en el mercado de capitales, es el criterio que expresa que el negocio
donde se va a realizar la inversión tiene que proporcionar mayor beneficio que colocarlo
en el banco a ganar la tasa de interés.
Nota 1: La tasa de interés es la expresión monetaria del costo de oportunidad.
Nota 2: El mercado de capitales permite transferir riqueza a través del tiempo.
Ecuación. Combinación de variables y parámetros que proporcionan un resultado
numérico conocido como término independiente.
Director de Proyectos. Es el responsable de la planificación y la supervisión del
proyecto desde su comienzo hasta el final.
Gestión de proyectos. Proceso de planificación y puesta en marcha que empezó a
utilizarse en los años sesenta en la NASA.
Incertidumbre. Es un caso particular de riesgo que ocurre cuando no se tienen
antecedentes históricos de las probabilidades de ocurrencia de eventos o situaciones y
por tanto no se puede determinar una probabilidad de ocurrencia objetiva.
Mercado. Es aquella que está compuesta por todos los activos invertidos ponderados de
acuerdo a su valor en el mercado.
Polinomio de grado n. Un polinomio de grado n, Pn(x) ,viene dado por la siguiente
expresión
nnn
nn
n
axaxaxaxaxP
+++++=
1
2
2
1
10
...)(
, que de manera compacta
puede expresarse a través de
i
n
i
inn
xaxP
=
=
0
)(
.
Parámetros. Magnitud que en la formulación de un problema para su solución su
valor es conocido, pero que puede variar de un problema a otro.
Raíces (ceros) de un polinomio. Es un valor de la variable independiente (xi) que al
sustituirse en el polinomio hace que el valor del polinomio sea cero.
0)(
=
in
xP
.
Riesgo. Es una condición desventajosa cuya tendencia es conocida, se conoce donde se
encuentran las dificultades y cual es el beneficio, permitiendo la determinación de una
probabilidad histórica.
Riesgo financiero. Es el riesgo de no estar en condiciones de cubrir los costos
financieros y está asociado al crecimiento de los costos financieros fijos de la empresa, a
cambio de lo cual se obtiene un incremento superior al pronosticado por el modelo lineal
en las ganancias por acción.
Riesgo operativo. Es el riesgo de no estar en capacidad de cubrir los costos de
operación y está asociado al incremento de los Costos Fijos de la empresa, a cambio de
lo cual las utilidades antes de intereses e impuestos experimentan un incremento superior
al pronosticado por el modelo lineal con un incremento en las ventas.
Solución de una ecuación. Valor de la(s) variable(s) independiente(s) que al ser
sustituida(s) en la ecuación hacen uno de sus miembros igual a cero.
Viabilidad de un proyecto. Es un Plan Comercial para confirmar:
a) Existencia de un mercado para dar salida a los nuevos productos o servicios.
b) Todos los gastos del proyecto se recuperan con creces y en un tiempo
suficientemente breve como para poner en peligro la estabilidad financiera de la
compañía.
c) El balance económico del proyecto ha sido desarrollado de forma realista,
justificando los costes añadidos.
Variables independientes o incógnitas. Son aquellas magnitudes cuya determinación
constituye la solución de un problema.
VII.2. Anexo B. Deducción del Valor Actual Neto de proyectos repetidos a escala
constante en forma infinita
La suma infinita de una progresión geométrica de razón x < 1, se puede obtener a
través de la siguiente expresión:
=
=
1
1
1
t
t
x
x
En el caso de un proyecto de n periodos, su repetición infinita a escala constante
VAN(n,α) se define de la forma siguiente:
=
=
1
)(),(
t
t
xnVANnVAN
donde:
=
+
=
n
t
t
t
r
C
nVAN
1
)1(
)(
n
r
x)1(
1
+
=
Nótese, que la expresión para VAN(n,α), es una serie geométrica de razón (1 + d)-n, por lo
que pude calcularse como.
+
+
=
+
=
1)1(
)1(
)(
)1(1
1
)(),(
n
n
n
r
r
nVAN
r
nVANnVANA
VII.3. Anexo C. Elementos de Estadística
VII.3.1. Anexo C1. Esperanza Matemática
Definición
Si x es una variable aleatoria discreta que puede asumir los valores x1, x2, ...xn con las
probabilidades respectivas p1, p2, ... pn, la Esperanza Matemática E(x) se define como
∑ ∑
= =
==
n
i
n
i
iii
pypxxE
1 1
1)(
Propiedades de la Esperanza Matemática
=
cxcEcxE )()(
)()()( yExEyxE
±=±
ydenteindependieesxsiyExExyE )()()(
=
VII.3.2. Anexo C2. Varianza
Definición.
Definición.
[ ] [ ] [ ] [ ]
22
2
2
2
2
)()(2)()()()(2)()()( xExExExExExExExExExV
+=+==
[ ]
2
2
)()()( xExExV
=
Propiedades de la varianza.
0)0(
=
V
=
cxVccxV )()(
2
)()()( yVxVyxV
±=±
±=±
dcyVdxVcdycxV ,)()()(
22
VII.3.3. Anexo C3. Covarianza
Definición
Definición
[ ][ ]
{ }
)()(),( yEyxExEyxC
=
Propiedades de la covarianza
[ ]
)()()(),(
2
2
xVxExExxC
==
VII.4. Anexo D. Raíces de Números Complejos
VII.4.1. Anexo D1. Formas de Representación
Los números complejos representan un punto P(a;b) en el plano complejo como se
ilustra en la figura 3 donde:
a: proyección sobre el eje X del punto P(a;b).
b: proyección sobre el eje X del punto P(a;b).
r: distancia (módulo) del punto al origen de coordenadas P(0;0), obtenida mediante
la expresión
22
bar
+=
.
θ: ángulo formado por el eje X y el segmento de recta que une el origen de coordenadas y
el punto P(a;b). Matemáticamente su valor de obtiene a través de la expresión
=
a
b
tg
1
θ
.
Analíticamente pueden representarse a través de las formas siguientes:
Forma binómica: Está constituida por dos componentes: una real (a) y otra
compleja (bi) mediante la forma
biabaP
+=
);(
, donde i es la unidad imaginaria que se
define como
1
=
i
.
Forma trigonométrica: En este caso los valores de a y b se sustituyen por su
equivalente trigonométrico de la forma que se indica a continuación:
[ ]
)()cos();(
θθθ
isenrrP
+=
. Los valores del coseno y el seno de θ pueden determinarse
a traves de las siguientes expresiones:
22
)cos(
ba
a
+
=
θ
y
22
)(
ba
b
sen
+
=
θ
Forma exponencial: Esta representación utiliza la identidad fundamental de las
exponenciales imaginarias:
)()cos( tisente
ti
θθ
θ
=
. Sustituyendo la expresión anterior
en la forma trigonométrica se obtiene para P la siguiente expresión:
θ
θ
i
rerP
=
);(
.
VII.4.2. Anexo D2. Transformación de forma binómica a trigonométrica
Sea el punto
);( baP
cuya representación en forma binómica es
biabaP
+=
);(
y en
forma trigonométrica
[ ]
)1()()cos();(
θθθ
isenrrP
+=
. Además se conoce que:
)2(
22
bar
+=
)3()cos(
22
ba
a
+
=
θ
)4()(
22
ba
b
sen
+
=
θ
Sustituyendo las expresiones (2), (3) y (4)en (1) se obtiene para
);(
θ
rP
la siguiente
expresión:
+
+
+
+==+=
2222
22
cos);();(
ba
b
isen
ba
a
barPbiabaP
θ
VII.4.3. Anexo D3. Raíces de números complejos
La determinación de las raíces de un número complejo se realiza utilizando la forma
trigonométrica. Sea el número complejo
[ ]
)()cos();(
θθθ
isenrrP
+=
. Entonces la raíz n
de
);(
θ
rP
viene dada por:
+
+
+
=+==
n
k
isen
n
k
risenrrPZ
n
n
n
n
πθπθ
θθθ
22
cos)()cos();(
00
donde k toma los valores 0,1,2,...,n-1.
Por ejemplo, la raíz cúbica de un número complejo tiene tres raíces complejas que vienen
dadas por:
)0(
33
cos
00
3
0
=
+
=
kisenrZ
θθ
)1(
3
2
3
2
cos
00
3
1
=
+
+
+
=
kisenrZ
πθπθ
)2(
3
4
3
4
cos
00
3
2
=
+
+
+
=
kisenrZ
πθπθ
VII.5. Anexo E. Determinación de las raíces de polinomios
VII.5.1. Anexo E1. Solución de la Ecuación General de Segundo Grado
La ecuación general de segundo grado está dada por la expresión
0
2
=++
cbxax
, donde
los términos a, b, y c son números reales. Debe señalarse que la magnitud
0
a
, ya que
en ese caso, la ecuación de segundo grado se reduce a la forma
0
=+
cbx
, de donde el
valor de x viene dado por –c/b.
Si se dividen ambos miembros de la ecuación entre a y se suma y resta en el miembro
izquierdo de la ecuación el término b2/(2a)2 se puede operar como sigue:
0
44
2
2
2
2
2
=+++
a
b
a
c
a
b
x
a
b
x
0
4
2
2
2
2
=+
+
a
b
a
c
a
b
x
==
+
2
2
2
2
2
4
4
4
2a
acb
a
c
a
b
a
b
x
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación se obtiene:
±=
+
2
2
4
4
2a
acb
a
b
x
Despejando finalmente x en la ecuación anterior se obtiene que la solución general de la
ecuación de segundo grado tiene dos raíces (soluciones) que están dadas por la siguiente
expresión:
a
acbb
x2
4
2
±
=
Nótese que el valor de la magnitud
acb 4
2
=
, denominada determinante, conduce a
tres alternativas para las raíces, excluyentes entre sí:
a)
0
>
. En este caso los dos valores de x (raíces) que satisfacen la ecuación general de
segundo grado son reales y diferentes entre sí y se corresponden con los obtenidos de las
siguientes expresiones:
a
acbb
x2
4
2
1
+
=
a
acbb
x2
4
2
2
=
b)
0
=
. Cuando se cumple esta condición, las dos raíces de la ecuación analizada son
reales e iguales
21
xx
=
y su magnitud puede determinarse mediante la expresión
ab 2/
.
c)
0
<
. En este caso la solución de la ecuación general de segundo grado son dos
raíces complejas conjugadas y su valor viene dado por:
i
a
acb
a
b
x2
4
2
2
1
+=
i
a
acb
a
b
x2
4
2
2
2
=
VII.5.2. Anexo E2. Solución de la Ecuación General de Tercer Grado
La ecuación general de tercer grado dada por la expresión
0
23
=+++
dcxbxax
. Si se
divide la ecuación anterior por la magnitud a se obtiene
0
23
=+++
tsxrxx
, donde los
parámetros de la ecuación transformada tienen el siguiente significado: r= b/a; s= c/a y
t=d/a.
Si se efectúa la transformación x = y r/3 en la ecuación anterior se obtiene la siguiente
ecuación equivalente trasformada
0
333
23
=+
+
+
t
r
ys
r
yr
r
y
.
Desarrollando de manera independiente cada uno de los términos que constituyen la
expresión anterior se obtiene los resultados siguientes:
27333
3
3
3
3
32
23
32
23
3
ryr
ryy
rr
y
r
yy
r
y
+=
+
=
93
2
33
2
3
3
22
2
2
2
ry
rry
r
r
r
ryry
r
yr
+=
+
=
=
33
sr
sy
r
ys
Sustituyendo los resultados de las tres expresiones en la expresión transformada
se obtiene la siguiente ecuación:
0
327
2
3
32
3
=+
srr
t
r
syy
, que de forma
compacta puede representarse mediante
0
3
=++
qpxy
conocida como ecuación
reducida, donde los términos p y q tiene el significado siguiente:
p = s – r2/3.
q = t – 2r3/27 + rs/3.
En términos de los coeficientes a, b, c y d de la ecuación original, las expresiones
anteriores se corresponden con:
p = c/a – b2/(3a2)
q = d/a – 2b3/(27a3) + bc/(3a2)
Utilizando las fórmulas de Vieta y realizando operaciones de transformación algebraicas 6
se obtiene que las raíces del polinomio tercer grado vienen dadas por las siguientes
expresiones
βα
+=
1
x
;
2
2
βεαε
+=
x
y
βεαε
+=
2
3
x
; donde:
i
2
3
2
1
+=
ε
i
2
3
2
1
2
=
ε
.
3
32
2742
pqq
++=
α
3
32
2742
pqq +=
β
Si se define D = (q2/4 + p3/27), se tiene entonces que:
Si D < 0 una raíz real y= α + β.
Si D = 0 tres raíces reales, de ellas dos iguales: y1= 2α ; y2= y3=-α
Si D > 0 las tres raíces son reales y diferentes entre sí. En este caso es
necesario extraer la raíz cuadrada de un Número Complejo, pues la magnitud bajo el
radical cuadrático que forma parte de la determinación de α y de β es menor que cero. En
este caso
+
+
+
=+==
n
k
isen
n
k
risenrrPZ
n
n
n
n
k
πθπθ
θθθ
22
cos)()cos();(
00
6 Para los detalles consultar las páginas 241-42 del Curso de Álgebra Superior, A.G. Kurosch, Editorial MIR,
Moscú 1968.
donde k toma los valores 0,1,2,...,n-1.
Trabajo enviado por:
M. Ec. Lic. Jesús Mesa Oramas, Especialista de Normas y Procedimientos, Sociedad
HAVANATUR S.A., Corporación CIMEX.
e-mail: jmesa@cimex.com.cu

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Escrito por:

Especialista de Normas y Procedimientos, Sociedad HAVANATUR S.A., Corporación CIMEX Lic. Maria Josefa Peña León Especialista Inteligencia Empresarial, Sociedad Havanatur S.A., maria.josefa@cimex.com.cu Yahadih Martínez Rodríguez Lic. en Ciencias de la Información

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Mesa Oramas Jesús. (2005, julio 16). Métodos para la evaluación financiera de proyectos. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/metodos-para-la-evaluacion-financiera-de-proyectos/
Mesa Oramas, Jesús. "Métodos para la evaluación financiera de proyectos". GestioPolis. 16 julio 2005. Web. <http://www.gestiopolis.com/metodos-para-la-evaluacion-financiera-de-proyectos/>.
Mesa Oramas, Jesús. "Métodos para la evaluación financiera de proyectos". GestioPolis. julio 16, 2005. Consultado el 5 de Mayo de 2015. http://www.gestiopolis.com/metodos-para-la-evaluacion-financiera-de-proyectos/.
Mesa Oramas, Jesús. Métodos para la evaluación financiera de proyectos [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/metodos-para-la-evaluacion-financiera-de-proyectos/> [Citado el 5 de Mayo de 2015].
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