Aspectos básicos de la teoría moderna del portafolio

1
CARTERAS DE I NVERSI ONES
I NTRODUCCI ÓN
Esta disertación se avoca a la presentación de los aspectos básicos de
la teoría moderna del portafolio considerando como fundam ental la
teoría de la utilidad como sustento teórico de los resultados obtenidos.
Este documento se divide en cinco partes. La primera de ellas, hace
referencia los conceptos básicos presentes en la inversión en portafolios
sin profundizar en aspectos matemáticos. Además se da la justificación
del estudio de éstos tópicos al presentar aspectos relevantes de la vida
real en los mercados. La parte segunda trata la teoría de la utilidad en
la que se muestra a la utilidad esperada com o el medio para elegir entre
alternativas aleatorias. La tercera parte se dedica al análisis del riesgo,
rendimiento y correlación como componentes clave en de una cartera de
inversiones. La parte cuarta indaga sobre la naturaleza de la frontera
eficiente a través de los teorem as de dos fondos y de un fondo. En la
parte quinta se deriva el CAPM para toda la econom ía y se m uestran la
aplicación de la beta en la determinación del costo de capital.
Para aclarar algunos conceptos de esta exposición se diseñó un
apéndice sobre la distribución normal y sobre definiciones de mercados.
2
1 I NTRODUCCI ÓN A LOS CONCEPTOS CLAVE
La inversión
La inversión se refiere al uso de recursos en la producción de
satisfactores con el objetivo de obtener ganancias potenciales en el
futuro. La inversión se puede realizar en dos facetas en la economía
nacional o en el extranjero:
1. Directa. Se realiza en activos tangibles tales como m aquinaria y,
activos intangibles como la educación. Esta inversión es
generalm ente de largo plazo dada la poca liquidez que presenta.
2. I ndirecta o inversión en cartera. Se refiere a la compra de
instrum entos financieros com o acciones. Generalmente de corto
plazo dada la existencia de m ercados secundarios que otorgan
liquidez a los activos financieros.
En la presente exposición se tratará del segundo tipo de inversión, no
obstante, antes de ingresar al estudio de los portafolios de inversión se
deben desm enuzar los elem entos de la definición de inversión:
o Producción de satisfactores
o Ganancias inciertas
Producción de satisfactores en la inversión
El uso de recursos para producir bienes y/ o servicios que no satisfacen
ninguna necesidad es inviable debido a que nadie desearía comprarlos.
El caso de un municipio que emite deuda para la construcción de un
puente m uestra la necesidad de crear riqueza para los habitantes y
transportistas que necesitan m ejores vías de comunicación. Por otra
parte, los tenedores de los bonos municipales son quienes aportan los
recursos financieros.
Ganancias inciertas
Las inversiones no son seguras, incluso las que se hacen en papeles
gubernamentales, pues están sujetas a riesgos de mercado, crédito y
operacional. El riesgo de una inversión condiciona la rentabilidad
ofrecida por la misma en función del coste de oportunidad. Así, se tiene
que a mayor riesgo se exige mayor rendimiento.
3
Una vez entendido el concepto de inversión el siguiente paso es analizar
la conveniencia de una inversión sobre otra. En la inversión directa
existen técnicas de evaluación de proyectos de inversión mientras que
en la inversión en cartera se hace análisis bursátil y se tiene la Teoría
del Portafolio Moderno que es el tópico de esta exposición.
Cartera de inversiones en una prim era definición.
Es un conjunto de al m enos dos instrumentos financieros en los que se
ha invertido de forma simultánea.
Los instrumentos financieros con los que se puede crear una cartera son
variados y pueden proceder de los siguientes mercados:
Mercado de dinero
Mercado de capitales
Mercado de derivados
Mercado de divisas
Mercado de commodities1
Las carteras tienen su ran de ser en la idea de la diversificación que
facilita la disminución del riesgo y sustento en el rendimiento.
Diversificación. El siguiente ejemplo brinda una idea intuitiva de lo que
significa diversificar.
La fonda
En una pequeña fonda se ofrece a los comensales limonada. En los días
calurosos, las limonadas incrementan los ingresos pero en los días
frescos la gente disminuye el consumo de bebidas frías por lo que se
siente una merma en las ventas. Si el dueño de la fonda introduce en su
carta algo de café, entonces, cuando los días sean calurosos se podría
ofrecer limonada en tanto que en los días fríos se puede ofrecer café por
lo que se dism inuye la posibilidad de pérdidas.
En este caso, la diversificación de productos conduce a la compensación
de pérdidas en la lim onada por medio de las ventas de café en los días
frescos. Cuando los días sean calurosos dism inuirá la venta de café pero
aumentará la venta de limonadas por lo que en ambos casos la
posibilidad de pérdida se reduce.
1 Siempre y cuando cuenten con la liquidez necesaria para hacer a las inversiones de corto plazo.
4
La diversificación encuentra sus orígenes en la teoría de la diana que fue
elaborada por Alfred Cowles en los años veinte. La idea de ésta teoría
indica que es preferible comprar de todo lo que se encuentre en el
mercado accionario para formar una cartera diversificada. Cowles
concluyó que la cartera diversificada es m ejor, en promedio, que seguir
las mejores estrategias de inversión de los corredores de bolsa debido al
pago de comisiones2.
Posteriormente la idea de Cowles se perfeccionó a través de la Teoría
del Portafolio Moderno iniciada por Markowitz. No debe olvidarse la frase
clásica de la diversificación no poner todos los huevos en una canasta
debida a Tobin.
La clave de la diversificación se encuentra en la dependencia entre los
instrumentos que conforman una cartera. Tales relaciones de
dependencia se estiman con la correlación3. Mientras menor sea la
correlación de los activos, la cartera estará m ás diversificada.
Rendim iento y Riesgo. Cuando se debe elegir entre dos carteras los
indicadores más importantes son el riesgo y el rendimiento que
presentan.
El rendimiento muestra el crecimiento en el valor de la cartera. Se debe
distinguir entre rendimiento realizado y rendimiento esperado. El
primero se refiere al rendimiento que en la realidad tuvo el portafolio en
tanto que el segundo es una estimación del rendim iento futuro de la
cartera.
Frecuentemente el riesgo se define com o la posibilidad de pérdida y se
puede vincular con un mercado a la baja pero aún en este escenario es
posible obtener ganancias m ediante posiciones cortas. Por tanto para
estas notas el riesgo indica la dispersión de los rendimientos realizados
con el rendimiento esperado.
Tanto el rendimiento como el riesgo cuentan con diferentes métodos de
estim ación como promedios móviles para el rendimiento y modelos
GARCH para la volatilidad. Sin embargo, en este material se hace uso
únicamente del rendimiento promedio y de la desviación estándar com o
estim adores del rendimiento y del riesgo respectivamente.
2 Las comisiones para corredores o brokers son fijas sin importar la no existencia de ganancias.
3 Existen nuevas técnicas como las copulas (de la palabra inglesa couple) que también indican la dependencia
entre dos activos.
5
Las inversiones de los inversionistas
En los mercados financieros existen diferentes tipos de inversionistas
pero una primera clasificación considera dos clases: individuales e
institucionales. No obstante, la necesidad de invertir y las condiciones
en las que se encuentre el inversionista son los factores que determinan
los tipos de inversiones.
Bancos
Una m ism a institución financiera puede contar con distintos portafolios
con base a las políticas de la alta dirección. Así, en una institución
financiera, se pueden encontrar un portafolio de trading conformado por
instrumentos líquidos para rebalancear (cambiar la composición de la
cartera) con frecuencia y un fondo de pensiones compuesto de
instrumentos de m ayor plazo con menor liquidez pero que ofrecen la
posibilidad de explotar ciertos arbitrajes regulatorios. El arbitraje
regulatorio (solo aplicable para la banca múltiple) consiste en la
inversión en instrum entos para los cuales los organism os regulatorios
soliciten un capital regulatorio que sea menor al capital económico4.
Seguros
Las instituciones de seguros deben invertir las reservas debido a que
éstas son los recursos con los que se responde a los siniestros. En la
circular S-11.2 de la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas se
establecen las características de las inversiones en las que puede
participar una compañía de seguros. Esta circular señala límites de
inversión con base en el tipo de activos y en la clase de reserva como se
muestra en las tablas 1 y 2.
El sistema de pensiones vigente en xico
Tabla 1. Restricciones de inversión de reservas por parte de las autoridades regulatorias.
Tipo de valor Porcentaje del portafolio
Valores emitidos o respaldados por el gobierno federal Hasta el 100%
Valores emitidos o respaldados por instituciones de crédito Hasta el 60%
Cualquier inversión distinta a las anteriores Hasta el 30%
Fuente: Comisión Nacional de Seguros y Fianzas
4 Con base en el acuerdo de Basilea, los organismos reguladores exigen un porcentaje de la inversión como
capital económico para impedir que la banca pierda solvencia. El capital económico se refiere al que los
modelos de estimación de riesgo señalan como el verdadero capital para garantizar la solvencia.
6
Tabla 2. Restricciones de liquidez en las inversiones de las reservas.
Reserva Porcentaje mínimo de inversión en corto plazo
OPC 100
IBNR 75
Riesgo en Curso 50
Matemática 30
Previsión 30
Especial de Contingencia 30
Riesgos Catastróficos 20
Fuente: Comisión Nacional de Seguros y Fianzas
Estos son solo ejemplos simplificados de la realidad en los mercados
financieros. Los modelos que se muestran en este m aterial son solo el
inicio del largo proceso de aprendizaje que deben seguir quienes
pretenden involucrarse en los mercados financieros.
7
2 TEORÍ A DE LA UTI LI DAD
La decisión ante alternativas inciertas se modela a través de la teoría de
la utilidad, la cual, se presenta de forma limitada pero sin sustraer los
elementos clave para la comprensión de la selección de carteras. En los
siguientes parágrafos se m uestran los axiomas de la teoría de la utilidad
así como la derivacn de la utilidad esperada como la herram ienta para
la elección ante alternativas aleatorias. Posteriormente se tratan los
tópicos de dominancia estocástica, aversión al riesgo y el criterio de
media-varianza. La ilustración 1 indica el derrotero de este bloque de
contenido.
Ilustración 1. Sustento teórico de la selección de carteras de inversiones.
El criterio del valor esperado para valuar alternativas inciertas.
Hasta antes de los años treinta del siglo XVIII se consideraba que las
personas decidían sobre alternativas inciertas con base en el criterio del
FUNCIÓN DE UTILIDAD CUADRÁTICA
SELECCIÓN DE CARTERAS
Se elige este camino por:
-Simplicidad
-No hay restricciones sobre la función de utilidad
RENDIMIENTOS DISTRIBUIDOS EN FORMA NORMAL
MEDIA-VARIANZA
AVERSIÓN AL RIESGO
PRIMA DE MARKOWITZ
AVERSIÓN ABSOLUTA AL RIESGO
AVERSIÓN RELATIVA AL RIESGO
DOMINANCIA ESTOCÁSTICA
DE1
DE2
FUNCIÓN DE UTILIDAD
UTILIDAD ESPERADA
AXIOMAS
TEORÍA DE LA UTILIDAD
Sustento teórico de la selección de carteras
8
valor esperado. La invalidez de dicho criterio se ejemplifica a
continuación:
Supóngase un individuo que tiene las siguientes alternativas:
1. Un billete de lotería que prem ia con 2000 unidades m onetarias
(u.m) con 5% de probabilidades y se pierde 2 u.m . con 95% de
posibilidad. La representación de esta apuesta es:
=0.95 2
0.05 2000
G E[G]=2000*0.05+(-2)*0.95=98.1
2. La inversión H de 100 u.m . en una cuenta de banco que paga sin
riesgo 1% de interés.
E[H]=101
3. Un juego M consistente en el lanzam iento de una moneda justa
que se detiene en la primera aparición del anverso y en este caso
paga 2r unidades monetarias donde r es el número de
lanzamientos hasta que se detiene el juego. El valor de la
probabilidad del r-ésimo lanzamiento es 2-r por lo que la esperanza
de este juego es
=
==
1r
rr 2*2]M[E
Bajo el criterio del valor esperado la tercer alternativa es la elección
correcta. Sin embargo, al contar con un premio esperado infinito el
costo de participar en tal juego es también infinito por lo que nadie
querría participar en el mismo. El juego M es mejor conocido com o la
paradoja de San Petersburgo.
La inconsistencia de este criterio se resuelve con la idea de la utilidad
esperada que en los siguientes parágrafos se construye a partir de
axiomas.
Axiom as de la Teoría de la Utilidad
Antes de presentar los axiomas de la teoría en cuestión es indispensable
el entendimiento de la idea de lotería. Una lotería es un juego en el que
se obtienen diferentes premios mutuamente excluyentes con
probabilidades asociadas y tiene la siguiente expresión:
9
=
n
2
1
p
p
p
n
2
1
n21n21
x
x
x
)p,..,p,p:x,..,x,x(G M
donde el premio i
x tiene probabilidad i
p. Esta expresión de lotería
simple se puede abreviar al agrupar a los premios5 y a las
probabilidades en vectores ),...,,( 21 n
xxx
=
x y ),...,,( 21 n
ppp
=
p por lo que
):( pxG es una notación m ás sim ple.
También existen las loterías com puestas tales como
=p1 )r:y(G
p )q:x(G
)p:G,G(G
2
1
21 en la que cada premio es una lotería.
Ejemplos. Sean dos loterías simples G1(x:q), G2(x:r) y sea G(G1,G2:p) una
lotería compuesta. Las loterías son tales que x=(2,4,6) q=(0.5,0.3,0.2) y=(6,8)
r=(0.6,0.4).
=
0.2 6
0.34
0.5 2
)2.0,3.0,5.0:6,4,2(G1
=0.4 8
0.6 6
)4.0,6.0:8,6(G2
=0.5 G
0.5 G
2
1
G
La lotería G se puede reducir a una lotería simple al entenderse como
una com binación lineal de las loterías. Es decir G=0.5G1+0.5G2 por lo que
toma la siguiente forma sim ple:
=
=
=
=
=
0.20p 8
0.40p 6
0.15p4
0.25p 2
G
Nótese que el premio con valor de 6 se ofrece en las loterías G1 y G2 por
lo que la probabilidad de éste es 0.5(0.2)+0.5(0.6). Las probabilidades de
los otros premios se calculan de forma análoga.
5 Los premios pueden ser positivos, negativos o nulos.
10
Axiom as
Ahora que se domina la idea de lotería se pueden presentar los cinco
axiomas de la teoría de la utilidad.
Sea
Γ
el conjunto de loterías concernientes a un individuo y sea el
conjunto acotado X el conjunto de resultados posibles, no negativos,
para todas las loterías.
Axiom a 1. Completez. Para todo Xy,x
el agente puede alguna de las
siguientes situaciones:
Prefiere a x sobre y denotado
x
yp
Prefiere a y sobre x denotado y
x
p
Es indiferente entre am bos )xy(
Axiom a 2. Transitividad. Se da con las siguientes situaciones para
Xz,y,x :
z
x
zyy
x
ppp
z
x
zyy
x
Axiom a 3. I ndependencia fuerte. Sean Xz,y,x
y
Γ
21 G,G . Este
axioma señala que:
()()
p:z,yGp:z,xGyx 21
.
Axiom a 4. Mensurabilidad. Sean Xz,y,x
y
Γ
G. El axioma indica
que
p!zyxzyx ffff tal que ).p:z,x(Gy
Axiom a 5. Graduación. Sean cuatro resultados Xz,u,y,x
Suponiendo que )zux()zyx( pppp se tiene por el axioma 4 que existen
loterías
Γ
21 G,G tales que )p:z,x(Gy 1
y )q:z,x(Gu 1
.
Este axioma indica lo siguiente: Si yupq p
.
11
Teoría de utilidad esperada
Para desarrollar la teoría de la utilidad esperada se requieren dos
supuestos más:
1. Los individuos siempre prefieren más riqueza
2. Para el individuo las desviaciones favorables sobre el promedio de
la riqueza no pueden compensar a las desviaciones desfavorables
sobre la riqueza promedio.
El supuesto 1 indica la condición lógica de individuos que siempre
desean mayor bienestar. El supuesto 2 detalla que existe aversión al
riesgo pues por m ás elevado que sea el premio la posibilidad de una
gran pérdida aleja a los individuos de eventos inciertos. Con estos
supuestos y los cinco axiomas escritos es viable el desarrollo de la
teoría.
Función de utilidad.
Es una función escalar que está definida en el conjunto de resultados X
tal que representa los grados de preferencia para los diferentes
resultados que en realidad representan niveles de riqueza. En form a
matem ática la función de utilidad toma la siguiente forma:
)x(Ux
X:U
El valor funcional U(x) es irrelevante pues lo que importa es la
preservación del orden
()
p,X al orden de los números reales por lo que
transform aciones crecientes como las potencias o transform aciones
afines V(x)=aU(x)+b con a>0. Para ejemplificar esta situación considérense
tres alternativas: peras, manzanas y naranjas. Además existe un
individuo con las siguientes preferencias sobre las frutas:
Manzana p naranja p pera
La función de utilidad del individuo es
U(manzana)=12
U(naranja)=16
U(pera)=20
12
Nótese que ahora se tienen números reales que se pueden comparar y
es claro que
U(manzana) < U(naranja) < U(pera)=20
Los valores que tom a una función de utilidad son irrelevantes pues lo
importante es que preserven el orden de preferencias mediante el orden
de los núm eros reales. De esta forma la transformación afín 2*U(x)+3 es
equivalente a la función U(x) pues preserva el orden inicial.
Teorem a. Para todo Xy,x la función de utilidad debe respetar el
orden de preferencias de la siguiente forma:
yx)y(U)x(U f>
yx)y(U)x(U p<
yx)y(U)x(U
=
Demostración
Dado que X es un conjunto acotado el elemento xI=inf(X) se denomina
equis infierno y es el peor resultado; el máximo xP=sup(X) se conoce
com o equis paraíso y es el m ejor resultado.
Para todo Xy,x se tiene IPIP xxxxxx ffff y IPIP xyxxyx ffff
Con base en el axioma 4 existen se tienen las equivalencias
xG1(xI,xP:p(x)) y yG2(xI,xP:q(y)).
Si se hace U(x)=p(x) y U(y)=q(y) entonces por el axioma 5 se tiene que:
o yx)y(U)x(U f>
o yx)y(U)x(U p<
o yx)y(U)x(U =
Teorem a de la utilidad esperada. La función de utilidad sirve para
com parar alternativas aleatorias a través de la utilidad esperada.
Demostración
Sean Xz,y,x . Partiendo de las equivalencias anteriores xG1(xI,xP:p(x))
y yG2(xI,xP:q(y)) se construye una lotería compuesta tal que zG(G1,G2:r)
com o se muestra.
13
r(z)-1
q(y)-1 x
q(y) x
y
r(z)
p(x)-1 x
p(x) x
x
z
I
P
I
P
Entonces zG(xP,xI:r(z)p(x)+(1-r(z))q(x)) y se recuerda que U(x)=p(x) y
U(y)=q(y) por lo que U(z)=r(z)U(x)+(1-r(z))U(y) que se entiende como la
utilidad esperada.
En términos m ás generales la utilidad esperada de una riqueza futura
es E[U(x)]=U(xi)pi.
Solución a la Paradoja de San Petersburgo
El teorema de la utilidad esperada da solución a la paradoja de San
Petersburgo al encontrar un valor finito.
=
<=
1r
rr 2*)2(U)]M(U[E
Características de la función de utilidad
La preferencia de los individuos por mayor riqueza asentada en el
supuesto 1 implica una función de utilidad creciente. Esta condición
equivale a que la derivada de una función de utilidad, conocida como
utilidad m arginal, es positiva U(x) />0.
El supuesto 2 significa que el individuo tiene aversión al riesgo por lo
que la utilidad m arginal es decreciente, es decir U(x)//<0, y esta condición
equivale a una función de utilidad cóncava.
Ejem plos. La función de utilidad xxU =)( es creciente y cóncava pues
0
2
1
)(
/>= x
xU y 0
4
1
)( 2
3
// <=
xxU .
14
FUNCIÓN DE UTILIDAD
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
2
10
18
26
34
42
50
58
66
74
UTILIDAD MARGINAL
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
UTILIDAD
Ilustración 2 Características de la función de utilidad raíz con derivada decreciente.
Sin embargo, la función de utilidad cuadrática U(x)=ax2+bx+c puede ser
ncava y creciente dependiendo de los parámetros a, b y c.
Asum iendo que la función es creciente se debe considerar que conforme
se avance en el nivel de bienestar se llega a un punto de inflexión en el
que la primera derivada cambia de signo por lo que la función de
utilidad es creciente y cóncava únicamente en el intervalo
a
b
2
,0 mientras que para valores m ayores a a
b
2
el individuo prefiere
cada vez m enos riqueza.
Las funciones de utilidad proporcionan la herram ienta matemática para
la toma de decisiones ante alternativas aleatorias como los rendimientos
de las acciones en una cartera. En el tema que trata este documento, un
inversionista racional opta siempre por la cartera de m ayor utilidad
esperada.
Utilidad y rendim ientos distribuidos com o una norm al.
Hasta este punto se presentó la idea de una función de utilidad como la
representación de las preferencias de un individuo. Se supuso que tal
función es creciente U(x) />0 y cóncava U(x)//<0.
Adem ás se han dado ejemplos de funciones de utilidad com o la función
raíz y la cuadrática pero, la selección de carteras no debe estar
restringida a una familia de funciones de utilidad por lo que se precisa el
siguiente supuesto:
Supuesto. La función de utilidad se puede aproximar por un polinom io
de Taylor.
15
Si 0
x es un punto del dom inio de una función de utilidad U(x) entonces
=
=
0
0
0)(
!
)(
)(
k
k
k
xx
k
xU
xU
Sea w una variable aleatoria con esperanza µ< y varianza <
2
σ
tal
que representa el beneficio futuro de una inversión.
Si se hace
=
=
0k
k
k
)w(
!k
)(U
)w(U
µ
µ
entonces para determ inar la utilidad
esperada
=
=
0k
k
k
])w[(E
!k
)(U
)]w(U[E
µ
µ
se deben conocer todos los
momentos centrales de la variable aleatoria w. Esta situación se evita
cuando la función de utilidad es cuadrática pues las derivadas de orden
mayor o igual a tres se anulan. Lamentablemente ésta función no se
puede asignar a todos los inversionistas por lo que es preferible suponer
que w~N(µ,σ) debido a que todos los momentos de ésta variable aleatoria
se obtienen a partir de los dos primeros como se prueba en el apéndice.
Bajo el supuesto de norm alidad para w no se requieren más supuestos
para la función de utilidad solicitándose únicamente que se pueda
aproximar por un polinomio de Taylor además de ser cóncava y
creciente.
Aversión al riesgo
La concavidad de una función de utilidad es síntoma de la aversión al
riesgo del inversionista pero se puede obtener más información sobre la
cantidad de riesgo que un inversionista está dispuesto a tolerar por
medio de las siguientes medidas:
Coeficiente de Arrow-Pratt A(x)
Aversión relativa al riesgo R(x)
Previa derivación de tales m edidas se debe conocer el concepto de
equivalente cierto.
16
Equivalente cierto.
El equivalente cierto de un nivel de riqueza incierto es una cantidad
segura tal que la utilidad de la segunda es igual a la utilidad esperada
de la primera.
En términos m atem áticos el valor de C es equivalente cierto del nivel de
riqueza x cuando U(C)=E[U(x)] o de forma explícita )])([((
1xUEUC
=.
Para ejemplificar considérese a un inversionista con función de utilidad
x
exU
=)( , una riqueza actual de 10 y un riqueza nueva x=10+G tal que
=
=
=
2
1
p con 5
2
1
p con 5
G
Entones 003369.0][
2
1
)](¨[ 155 =+= eexUE por lo que el equivalente cierto
es C=-ln(-(-0.003369))=5.6931 y U(C)=0.003369.
Por lo tanto, el inversionista es indiferente entre 5.69 unidades
monetarias ciertas y el nuevo nivel de riqueza. La diferencia entre el
nivel de bienestar actual y el equivalente cierto 10-5.6931=4.3069 se
entiende como una prima de seguro que el inversionista pagaría por no
enfrentar la lotería G.
Esta diferencia es una medida de aversión absoluta al riesgo y el
desarrollo de la misma es el siguiente:
Coeficiente de aversión absoluta al riesgo de Arrow -Pratt.
Considere a un inversionista con función de utilidad U(x) tal que x es el
nivel de riqueza inicial y un nivel de riqueza final x+ε donde ε una
variable aleatoria con varianza 2
ε
σ
que representa un juego justo por lo
que E[ε]=0.
Con estos datos se desea calcular la prima Π que el inversionista pagaría
por no encarar la incertidumbre del nivel de riqueza final.
Sea C el equivalente cierto de x+ε es decir que U(C)=E[U(x+ε)]. Con el
objeto de encontrar una expresión analítica para la prima Π se hace una
aproximación de Taylor de segundo orden alrededor del nivel de x para
U(x+ε).
17
2/// )xx)(x(U
2
1
)xx)(x(U)x(U)x(U ++++=+
εεε
Se toma la esperanza de esta aproximación recordando que x es un
valor dado
2//2/// )x(U
2
1
)x(U])[(E)x(U
2
1
][E)x(U)x(U)]x(U[E
ε
σεεε
+=++=+
Si se recuerda que la prima es la diferencia entre el nivel de riqueza
actual y el equivalente cierto se tiene la siguiente expresión:
)x(U)C(UxCCx
Π
ΠΠ
=
==
Al realizar una aproximación de Taylor de prim er orden alrededor6 de x
se obtiene:
)xx)(x(U)x(U)x(U /+=
ΠΠ
Dado que C es equivalente cierto entonces )]x(U[E)x(U
ε
Π
+
=
por lo
que al igualar las aproximaciones se tiene:
)x(U
)x(U
2
1
)x(U
2
1
)x(U)x(U
2
1
)x(U))(x(U)x(U
/
//
2
//2/2///
ε
εε
σΠ
σΠσΠ
=
=+=+
Esta prima Π se conoce com o la prim a de Arrow -Pratt y dado que
2
2
1
ε
σ
es constante se hace la definición del coeficiente de aversión al
riesgo de Arrow -Pratt )x(U
)x(U
)x(A /
//
= .
Para analizar la aversión al riesgo de un individuo se toma la derivada
del coeficiente. Si la derivada es positiva entonces el individuo está
dispuesto a destinar m ayores recursos a inversiones riesgosas. Cuando
la derivada es negativa entonces existe aversión al riesgo por lo que
cada vez se destinarán m enores recursos a inversiones riesgosas y, si la
derivada es nula, se mantiene la m isma cantidad de unidades
monetarias en las inversiones riesgosas.
6 Alrededor de otro punto distinto de X sería ilegítimo pues la primera aproximación se hizo para ese punto.
18
Coeficiente de aversión relativa al riesgo
La aversión relativa al riesgo indica el porcentaje de riqueza que se
sacrificaría por no participar en una lotería.
Como en el caso anterior, una derivada positiva indica que el individuo
incrementa el porcentaje de riqueza destinado a inversiones riesgosas.
Si la derivada es negativa entonces existe aversión al riesgo cada vez se
destinará un menor porcentaje de riqueza a inversiones riesgosas y, si
la derivada es nula, se m antiene el mismo porcentaje de unidades
monetarias en las inversiones riesgosas. De forma análoga a como se
hizo con el coeficiente de Arrow-Pratt se obtiene el coeficiente de
aversión relativa al riesgo )x(U
)x(xU
)x(R /
//
= .
Ejemplo: Analizar a un individuo con función de utilidad xxU =)( . Por la
definición de los coeficientes se requieren las primeras dos derivadas
con respecto a la riqueza.
0
2
1
)(
/>= x
xU y 0
4
1
)( 2
3
// <=
xxU . 0
x2
1
)x(A
x2
1
)x(U
)x(U
)x(A 2
/
//
<===
Se observa que la derivada del coeficiente de aversión absoluta al riesgo
es negativa por lo que el individuo invertirá mayor cantidad de recursos
en activos riesgosos. La aversión relativa al riesgo es constante por lo
que el individuo siempre invertirá el mismo porcentaje en activos
riesgosos. En la ilustración 3 se muestra el comportamiento de ambos
coeficientes.
AVERSIÓN AL RIESGO
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
2
8
14
20
26
32
38
44
50
56
62
68
74
80
AAR
0%
50%
100%
ARR
AVERSIÓN ABSOLUTA AL RIESGO AVERSIÓN RELATIVA AL RIESGO
Ilustración 3. Coeficientes de aversión al riesgo de la función de utilidad raíz cuadrada.
0)x(R
2
1
)x(U
)x(xU
)x(R /
//
===
19
Dom inancia estocástica
Si el objetivo es elegir entre distintas carteras con base en los
indicadores de riesgo y rendimiento se debe hacer la definición de
dominancia estocástica para fincar los criterios de decisión. Para este
apartado A y B son dos activos diferentes, A
R y B
R son los rendimientos
y tienen funciones de distribución )(xFRA y )(xFRB respectivamente.
Dom inancia estocástica de prim er orden. El activo A domina en
este sentido al activo B cuando )()( xFxF RBRA
.
Para entender esta definición se requieren unas cuantas operaciones
matem áticas como se muestran:
}{}{)(1)(1)()()()( xRPxRPxFxFxFxFxFxF BARARBRARBRBRA
Es decir que es m ayor la probabilidad de obtener un rendimiento
superior con el activo A que con el activo B.
Dom inancia estocástica de segundo orden. El activo A dom ina en
este sentido al activo B cuando
t
RB
t
RA dxxFdxxF )()( .
Esta definición asum e aversión al riesgo por parte del inversionista y
significa que se preferirá al activo A pues acumula menor probabilidad
en la cola izquierda que es la m enos desfavorable sin importar la
renuncia a un mejor rendimiento.
Para aterrizar estas ideas de dominancia estocástica se muestran a
continuación las distribuciones de tres variables aleatorias normales con
distintos parámetros.
Distribución normal Media Desviación estándar
F1 0.1 0.17
F2 0.2 0.17
F3 0.21 0.3
Tabla 3. Distribuciones normales y dominancia estocástica.
20
DOMINANCIA ESTOCÁSTICA
0
0.25
0.5
0.75
1
-1 -0.5 0 0.5 1
F1 F2 F3
|
Ilustración 4. Dominancia estocástica.
En la ilustración 4 se observa que F2 domina en primer orden a F1
mientras que F3 es dominada en segundo orden por F2 pues acumula
menor probabilidad en la cola izquierda a pesar de tener una media
menor que F3 y esto muestra la aversión al riesgo.
Dom inancia estocástica y función de utilidad.
Dom inancia estocástica de prim er orden con utilidad esperada.
Se dice que el activo A domina en éste sentido al activo B cuando
)]([)]([ BA RUERUE y U />0.
Dom inancia estocástica de segundo orden con utilidad esperada.
El activo A domina en éste sentido al activo B cuando )]([)]([ BA RUERUE
y U //<0.
Dom inancia estocástica con utilidad esperada. Si se considera que
U />0 y U //<0 el activo A dom ina al activo B cuando )]([)]([ BA RUERUE .
Esta última definición de dominancia estocástica y el supuesto de
rendimientos con distribución normal conduce a criterios de dominancia
conocidos como m edia-varianza.
Criterios de m edia y varianza para la dom inancia estocástica.
Sean ),(~ AAA NR
σ
µ
, ),(~ BBB NR
σ
µ
, Y~N(µ,σ) con U />0 y U //<0 y sea 0
y el
nivel de riqueza inicial. Entonces son válidos los siguientes criterios de
dominancia.
Dom inancia estocástica de prim er orden. El activo A dom ina al
activo B cuando BA
µ
µ
y BA
σ
σ
=
.
21
Dem ostración.
Y=σZ+µ con Z~N(0,1)
El nivel de riqueza futuro es )Z1(y0
µ
σ
+
+
con utilidad esperada
))]Z1(y(U[E 0
µ
σ
++ .
Al tom ar la derivada parcial de esta esperanza con respecto al
parámetro de localización µ se observa que es positivo por lo que la
utilidad esperada es creciente con respecto a la media de los
rendimientos normales y se sostiene la nueva definición de dominancia
estocástica de primer orden.
dz
2
e
))z1(y(U))]Z1(y(U[E
2
z
00
2
π
µσµσ
++=++
>++=
++0dz
2
e
y)z1(y(U
))]z1(y(U[E 2
z
00
/
0
2
π
µσ
µ
µσ
pues U />0.
Con este resultado se tiene la siguiente regla:
Dado un nivel de riesgo elegir el activo o cartera de m ayor
rendim iento.
Dom inancia estocástica de segundo orden. El activo A domina al
activo B cuando BA
σ
σ
y BA
µ
µ
=
. La prueba de esta afirmación sigue la
misma tónica que la anterior pero se hace uso de la concavidad de la
función de utilidad.
Demostración.
0dz))}1z(y(U))1z(y(U{zy
2
e
dz
2
e
z))z1(y(Udz
2
e
y)z))()z(1(y(U
dz
2
e
zy))z1(y(Udz
2
e
zy))z1(y(U
))]z1(y(U[E
0
/
0
/
0
0
2
z
2
z
0
0
/
2
)z(
0
0
0
/
0
0
2
z
00
/
2
z
00
/
0
2
22
22
<++++=
+++++=
+++++=
++
∫∫
µσµσ
π
π
σµσ
π
µσ
π
µσ
π
µσ
σ
µσ
Dado que U //<0 y U es una función creciente se tiene que la derivada
parcial de la utilidad esperada con respecto a la desviación estándar es
22
negativa por lo que a m enor volatilidad se tiene afecta en menor grado
a la utilidad.
Entonces la aversión al riesgo U //<0 significa la siguiente regla:
Dado un nivel de rendim iento elegir el activo de m enor riesgo.
Para mostrar éstas ideas se tiene la siguiente lista de activos que se
identifican con base a riesgo y al rendimiento.
ACTIVO RENDIMIENTO RIESGO
A 30% 17%
B 30% 53%
C 30% 19%
D 15% 12%
E -2% 12%
F 18% 12%
Tabla 4. Ejemplos de dominancia estocástica.
Dom inancia estocástica de prim er orden.
Para aplicar este criterio se debe fijar un nivel de riesgo. Para los activos
D, E y F el nivel de riesgo es 12% por lo que a continuación se ordenan.
ACTIVO RENDIMIENTO RIESGO
F 18% 12%
D 15% 12%
E -2% 12%
Tabla 5. Dominancia estocástica de primer orden.
El activo F domina en este sentido a los activos D y E.
Dom inancia estocástica de segundo orden.
ACTIVO RENDIMIENTO RIESGO
A 30% 17%
C 30% 19%
B 30% 53%
Tabla 6. Dominancia estocástica de segundo orden.
En este caso el activo A domina a los activos C y B al tener m enor
volatilidad dado un nivel de rendimiento. En la ilustración II están los
23
seis activos. En este momento surge la pregunta sobre la preferencia
entre los activos A y F. Para responder a esta cuestión se requiere de la
utilidad esperada. Si la utilidad esperada del activo A es mayor que la
utilidad esperada del activo F entonces el activo que se elige es el A. En
caso contrario se elige a F.
DOMINANCIA ESTOCÁSTICA
E
D
B
F
AC
-10%
5%
20%
35%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
Ilustración 5. Dominancia estocástica con media y desviación típica.
3 RENDI MI ENTO, RI ESGO Y CORRELACI ÓN
Rendim iento. Com o se justifi, los rendimientos de los activos se
distribuyen en forma norm al por lo que se pasa ahora a la
determinación de los m ismos a partir de los precios de las acciones
asum iendo que no hay pago de dividendos.
Sea St el precio de un activo en el a t. Entonces el rendimiento de un
activo en ese día es
=
1
ln
t
t
tS
S
R.
Al hacer una aproximación de Taylor de primer orden alrededor del
precio anterior se obtiene otra definición para el rendimiento que es la
que considera la variación porcentual.
()
1
1
1
1
1
11
1
1
1
lnln
+
t
tt
ttt
t
t
tt
t
t
t
S
SS
RSS
S
S
SS
S
S
S
Sin embargo, desde el punto de vista teórico, el uso de esta
aproximación conduce a probabilidades positivas para precios negativos
pues al estar Rt distribuido en forma norm al cuando
01 11
1
1<<<
−∞
tttt
t
tt
tSSSS
S
SS
R partiendo de St-1>0.
24
Con el uso de los rendim ientos logarítmicos este detalle teórico se salva
pues cuando 000ln
11
>−∞
tt
t
t
t
tSS
S
S
S
S por lo que nunca
existen precios negativos al estar inferiormente acotados por cero.
Otra ventaja de los rendim ientos logarítm icos es que se pueden agregar
facilitando la presentación del rendimiento medio anualizado. El
rendimiento para n periodos esta dado por
=
+
=
=
1
0
1
2
1
1
lnln n
k
kt
nt
nt
t
t
t
t
nt
tR
S
S
S
S
S
S
S
SL
Generalmente se considera que un año tiene 250 días para el mercado
accionario por lo que al tenerse el estim ado del rendimiento medio
diario E[R] simplemente se multiplica por este número de días para
obtener el rendim iento medio anualizado7.
A partir de la estadística paramétrica se tiene que el estimador máxim o
verosímil del rendimiento m edio es T
R
T
1i
i
=
=µ
&& para una m uestra de
tamaño T.
Es claro que el rendimiento de un activo no puede ser menor que 1 y
que no tiene cotas superiores pero el supuesto de normalidad aún a
resulta viable pues es difícil que un activo cambie demasiado en un
periodo breve de tiempo.
Desviación Estándar
La desviación estándar indica la dispersión alrededor del rendimiento
medio de las observaciones y sirve como un estimador del riesgo que
representa la inversión en un activo. El estimador máxim o verosímil de
la desviación estándar es
()
T
XX
ˆ
T
1i
2
i
=
=
σ
pero el estimador que se
utilizará en lo siguiente es
()
1T
XX
ˆ
T
1i
2
i
=
=
σ
que es insesgado.
7 Todos los rendimientos del mercado deben presentarse en forma anual o anualizados.
25
Existen numerosos métodos para estimar a la desviación estándar y
entre ellos se encuentran los m odelos GARCH que perciben cam bios en
el tiempo la varianza condicional pero la varianza incondicional
permanece es constante. Es decir que el proceso estocástico que siguen
las acciones no es estacionario en forma local pero si lo es en form a
asintótica.
Para anualizar la volatilidad se debe considerar la regla de la raíz
cuadrada y para explicar esta idea supóngase que se tienen T
observaciones del rendimiento de un activo las cuales se consideran
independientes debido al supuesto de mercado eficiente.
Si R1,R2,...,RT son las observaciones independientes y con varianza 2
σ
entonces el agregado de estas variables es el rendimiento para un
periodo de T días por lo que la varianza de
=
T
t
t
R
1
que es la suma de las
varianzas de los rendimientos de forma individual dada la
independencia.
σσ
TRestdesvTRVarRVar
T
t
t
T
t
t
T
t
t=
==
=== 11
2
1
.)(
Es decir que la volatilidad para un periodo T es la raíz cuadrada de ese
periodo por la volatilidad diaria. Para anualizar la volatilidad diaria se
debe m ultiplicar a esta por la raíz de 250 que es el núm ero de días en
los que está activo el m ercado.
Ventas en corto
Para los em presarios, la regla de compra barato y vende caro es común
y necesaria para la viabilidad de una firma. Para un inversionista en
cartera, además de esta regla puede cumplirse la siguiente: vende caro
y compra barato la cual proviene de la posibilidad de ventas en corto.
Para una mejor explicación de este concepto se debe comprender los
significados de posición larga y posición corta.
Posición larga. Se asume una posición larga en un activo cuando se
apuesta a que el precio de éste se increm ente. Es decir, un alza en el
valor del bien beneficia al dueño. En este sentido el dueño compra
barato con la esperanza de vender caro.
26
Como ejemplo se tiene una posición larga en un futuro. Si en la fecha de
entrega el precio de contado del subyacente es m ayor que el precio de
entrega entonces el comprador habrá obtenido un beneficio debido al
incremento en el precio del subyacente.
Posición corta. La posición corta implica la posibilidad de obtener
ganancias en un m ercado a la baja. Es decir que el dueño de la posición
corta se beneficia si el precio del activo baja y el ejemplo es la venta de
un futuro.
Venta en corto. Un caso particular de posición corta es la venta en
corto. Esta idea se puede explicar a partir de los siguientes pasos:
Solicitar en préstamo un activo con la promesa de entregarlo
luego de un periodo de tiempo T.
Al tiempo de recibir el activo, éste se vende por una cantidad S0.
Transcurrido el plazo se debe com prar el activo por un precio ST y
entregarlo al dueño original.
Como se aprecia, la venta en corto significa la venta de un activo que no
se posee y esta operación brinda ganancia cuando el precio del activo
decrece. Es decir que se habrá ganado cuando S0>ST y la ganancia
realizada es S0 - ST.
Las ventas cortas implican elevados riesgos debido a que las ganancias
están acotadas pues el precio solo puede disminuir hasta cero en tanto
que la pérdida puede ser ilimitada cuando el precio tiende a infinito.
Obsérvese que el flujo de efectivo de esta operación es siempre
negativo pues al inicio es –S0 y al final -ST. Curiosamente la tasa de
rendim iento es negativa cuando se tienen ganancias pues en este caso
0
0
0
0<
> S
SS
SS T
T pero dado que la inversión inicial es –S0 se tiene
ganancia positiva 0
0
0
0
0>=
T
TSS
S
SS
S.
Debe advertirse que en la práctica las ventas cortas requieren de
garantías procuradas por el elevado riesgo que representan. Además si
en el periodo de tiempo en que la acción está tomada en préstamo
existe pago de dividendo éste debe pagarse al dueño. En la figura 5 se
muestra el pago de una venta en corto.
27
Ejem plo de venta en corto.
Suponga que un agente económico posee 1000 acciones de la emisora A
que hoy cotizan a 25 unidades monetarias. La venta en corto se
ejemplifica de la siguiente form a:
Un inversionista pide esas accione