Teoría de la cartera. Frontera eficiente y mercado de capitales

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El atractivo más importante que presenta este Mercado es que la rentabilidad promedio que reporta un capital es mucho mayor que la tasa pasiva que ofrece el Mercado Bancario; sin embargo el riesgo puede ser alto.

Debido a ello una buena administración de cartera debe mantener un nivel óptimo de rentabilidad -riesgo que permita que el portafolio se mantenga en el tiempo de manera sostenible.

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El objetivo general de este trabajo es demostrar que el Nivel de Riesgo, consecuencia de la diversificación de la cartera, es mucho menor que el riesgo generado por los activos individualmente.

El presente trabajo está dividido en tres partes con el objetivo de explicar de manera adecuada el proceso que representa todo el desarrollo de un modelo.

La primera muestra un marco teórico sobre los modelos de equilibrio más importantes en la

Teoría de la Cartera, describiendo de una forma más amplia el de la Selección de Carteras de Harry Markowitz, y el equilibrio del mercado de capitales según Sharpe en el punto de tangencia de la Frontera Eficiente con la Línea del Mercado de Capitales.

La segunda parte muestra todo el procedimiento matemático en el desarrollo de las teorías descritas en el apartado anterior.

La última parte muestra la forma más simple de elaborar una Cartera de Me rcado, sobre el desarrollo del primer paso del Teorema de la Separación. La Cartera que se presenta es POLARIS conformada por siete acciones que cotizan en la Bolsa de Valores de Lima y un bono del Sistema Financiero. La elaboración de POLARIS se divide bá sicamente en dos etapas. La primera es la recopilación de datos y la segunda es la elaboración propiamente dicha de la cartera.

Partimos de que POLARIS tiene como base la Teoría del Portafolio de Harry Markowitz que busca maximizar la rentabilidad esperada en un periodo determinado a un nivel de riesgo, u obtener el mínimo riesgo para una rentabilidad dada.

Haciendo uso de Excel para los cálculos estadísticos y la generación de gráficos, y el análisis de los resultados basados en la teoría mencionada se con cluye el presente trabajo con la demostración del objetivo que motivó el mismo.

PARTE I MARCO TEÓRICO

MARCO TEÓRICO

Los modelos de valoración de carteras se dividen básicamente en dos grupos:

  1. Modelos que se basan en los fundamentos de los inversores frente al riesgo.
  2. Modelos de rendimientos con argumentos de arbitraje.

De los primeros sobresale; el Modelo de Selección de Carteras con criterio de elección de media-varianza, desarrollado por Harry Markowitz (1952, 1959) y profundizado por el mismo Markowitz y Levy en 1978. Otro modelo perteneciente a este grupo es el Modelo de Valoración de Títulos CAPM (Capital Asset Pricing Model) desarrollado por William Sharpe en 1964 y profundizado posteriormente por Lintner (1965), Mossin (1966). Los estudios de Treynor en 1964 también ayudan a la comprensión del modelo. Hasta la actualidad éste es el modelo más difundido y estudiado, y a partir de él han nacido diferentes variaciones y/o ampliaciones al mismo; así por ejemplo, el CAPM y M -CAPM con varios periodos (Intertemporal CAPM) desarrollado desde 1973 por Merton (I-CAPM), Champbell (1996), los estudios de Chen en el 2002 (BWX-CAPM) junto con Brennan, Xiang y Wang, y más recientemente en el 2004 de Campbell y Vuolteenaho. Existen también los modelos CAPM basados en el consumo (Consumption-CAPM) desarrollados por Litzenberg, Breeden y

Gibbson en 1978. Un año antes Lanskroner postulaba el In -CAPM (Inflation CAPM). Fama y French desde 1992 han desarollado estudios sobre el CAPM Multifactorial. Modelos más recientes sobre el CAPM son el L-APM (Liquidity Asset Pricing Model) basado en la liquidez desarrollado por Holsmtröm y Tirole en el 2001. Santos y Veronesi en el 2004 de sarrollaron el M-CAPM condicional sujeto a restricciones más globales de mercado. Un tercer tipo de modelo es más ecléctico respecto  a los dos antes señalados, ya que su criterio de elección es basada en la semivarianza (MSB) y los momentos estocásticos d e distinto orden, así por ejemplo Hogan y Warren en 1974 desarrollan el modelo CAPM con desvíos negativos (Dowside CAPM) y Smith en el 2003 hace estudios sobre el modelo CAPM con momentos condicionales (Conditional Moment CAPM).

En el segundo grupo de modelos encontramos la Teoría de Valoración de Títulos por Arbitraje (Arbitrage Pricing Model APM), desarrollado por Ross en 1976 y vuelto a ser revisado y ampliado en 1980 por Roll y el propio Ross, Chamberlain y Rohschlild (1984), Ingersoll (1984), Connor (1984); Roll, Ross y Chen (1986), Reisman (1992) y Nawalkha (1997, 2004).

El presente trabajo solo se enmarcará en la Teoría de Selección de Carteras de Harry Markowitz y la Línea del Mercado de Capitales como parte del Modelo CAPM.

La Teoría de la Selección de Carteras que H. Markowitz postulara en 1952 se sustenta sobre las siguientes hipótesis:

  1. La rentabilidad de cualquier valor mobiliario o cartera, es una variable aleatoria, obtenida a partir de las cotizaciones de dicho valor o portafolio, cuya distribu ción de probabilidad para el periodo histórico de base es conocida por el inversionista. El modelo acepta como medida de rentabilidad de la inversión la esperanza matemática de dicho activo.
  2. La medida de riesgo es la dispersión de la serie de rentabilidad de un valor mobiliario o cartera, medida por la varianza o la desviación estándar.
  3. El inversionista tenderá a elegir aquellas carteras con una mayor rentabilidad y menor riesgo.

Mediante esta teoría se obtiene la Frontera Eficiente, constituida por todas l as carteras con una rentabilidad esperada máxima para un nivel de riesgo determinado, en ausencia de una Tasa Libre de Riesgo. Todas las carteras que se ubiquen bajo esta frontera serán consideradas ineficientes, ya que para un mismo nivel de riesgo tienen una rentabilidad inferior a la que se encuentra sobre la frontera.

Según la Teoría de la Línea del Mercado de Capitales basado en el CAPM como una extensión del modelo de Markowitz con presencia de una Tasa Libre de Riesgo, ésta constituye el intercepto con la ordenada de rentabilidad, y cuya pendiente de la línea es el Ratio de Sharpe.

La interacción de ambas fronteras va a constituir un punto de equilibrio que se conoce como la Cartera de Mercado. De este modo se puede hablar de carteras con préstamo (Lending Portfolios) cuando una parte del presupuesto se invierte otorgando un préstamo al tipo de interés del activo sin riesgo, y de carteras con endeudamiento (Borrowing Portfolios) cuando se pide prestado fondos para invertir en la cartera de Mercado, al mismo tipo de interés. Entonces, en el primer caso se invierte parte del capital disponible en la “Cartera de Mercado” y parte en un activo sin riesgo; en el segundo caso se invierte el capital disponible más fondos recibidos a través de endeudamiento, en la Cartera de Mercado.

En pro de seguir un marco teórico adecuado se prosigue a describir el procedimiento a seguir para obtener una cartera que satisfaga la rentabilidad esperada de un inversor frente a su nivel de aversión al riesgo. Esta cartera debe de seguir un ejercicio de economía normativa según el “Teorema de la Separación”.

El primer paso es obtener la Cartera de Tangencia Óptima del Mercado.

En esta etapa, el inversionista necesita estimar los rendimientos esperados y las varianzas de todos los valores contemplados. Además, necesita estimar todas las covarianzas entre estos valores, así como determinar la tasa libre de riesgo. Una vez hecho esto, el inversionista puede identificar la composición de la cartera de tangencia así como su rendimiento esperado y su desviación estándar (nivel de riesgo). Al hacerlo, todos los inversionistas obtendrían en equilibrio la misma cartera de tangencia, bajo las suposiciones siguientes [1]:

Los inversionistas evalúan las carteras juzgando los rendimientos esper ados y desviaciones estándares de las carteras durante un horizonte de un período.

  1. Los inversionistas nunca se sacian, de modo que cuando se da una opción entre dos carteras con niveles de riesgo idénticas, elegirán la que tenga el rendimiento esperado más alto (criterio de elección de la media varianza: máximo rendimiento).
  2. Los inversionistas son adversos al riesgo, de modo que cuando se da una opción entre dos carteras con rendimientos esperados idénticos, elegirán la que tenga nivel de riesgo más bajo (criterio de elección de la media varianza: mínimo riesgo).
  3. Los activos individuales son divisibles infinitamente, lo que significa que un inversionista puede comprar una fracción de una acción si lo desea.
  4. Hay una tasa libre de riesgo a la que el inversi onista puede prestar dinero o pedirlo prestado, es decir, la tasa es única para todos.
  5. Los impuestos y los costos de transacción son irrelevantes.
  6. Como todos los inversionistas tienen el mismo horizonte de un período, enfrentan la misma tasa libre de riesgo, y obtienen la misma información. Tienen expectativas homogéneas; es decir, comparten las mismas percepciones con respecto a los rendimientos esperados, niveles de riesgo y covarianzas de los valores.

Por consiguiente, el conjunto eficiente lineal es el mismo para todos los inversionistas porque implica simplemente las combinaciones de la cartera de tangencia y el endeudamiento libre de riesgo o el préstamo libre de riesgo acordados.

El objetivo específico del presente trabajo es presentar el modelo y la resolución de un ejemplo ilustrativo para la esta primera etapa.

El teorema de la separación afirma que “la combinación óptima de activos riesgosos y libre de riesgos para un inversionista cualquiera puede determinarse sin conocimiento alguno acerca de las preferencias de riesgo y rendimiento del inversionista”. Es decir, la combinación óptima de activos riesgosos es determinada sin ningún conocimiento de la forma de las curvas de indiferencia de un inversionista.

El segundo paso es la determinación de la Cartera Óptima de cada Inversor.

Puesto que todos los inversionistas enfrentan el mismo conjunto eficiente, la única razón de que elijan carteras diferentes es que tienen preferencias distintas hacia el riesgo y rendimiento, lo que da como resultado curv as de indiferencia particulares.

Entonces puede identificar la cartera óptima del inversionista observando en qué punto una de sus curvas de indiferencia toca pero no corta el conjunto eficiente. En ese punto de tangencia queda determinada la inversión con cierta suma de endeudamiento o préstamo a la tasa libre de riesgo, porque el conjunto eficiente es lineal.

No obstante, aunque las carteras elegidas serán diferentes, cada inversionista escogerá la misma combinación de valores riesgosos, de acuerdo a lo determinado en el paso anterior.

PARTE MODELO ANALÍTICO

MODELO ANALÍTICO

Objetivo General:

Obtener la Cartera de Mercado; es decir, aquella que constituye el punto de tangencia entre la frontera eficiente y la línea del mercado de capita les.

Objetivos específicos:

  1. Elaborar, a partir de un modelo matemático, la frontera eficiente sobre la base de la teoría de selección de carteras de Harry Markowitz.
  2. Elaborar la línea del mercado de capitales, sobre la base de la teoría de Sharpe y determinar el ratio de Sharpe.
  3. Resolver el primer paso del Teorema de la Separación; es decir, seleccionar la cartera óptima del conjunto lineal de carteras que tangencia las carteras eficientes del mercado, a partir de un conjunto de valores mobiliarios riesgo sos (activos de renta variable, principalmente acciones [2]) en un entorno de aversión riesgo por parte de los inversionistas, combinados con un activo libre de riesgo (principalmente bonos [3]), para el caso en el cual se pueden realizar ventas en descubierto.

LA FRONTERA EFICIENTE

A partir de los rasgos fundamentales de la conducta racional de un inversor, la Teoría de la Selección de Carteras que H. Markowitz postulara en 1952 se sustenta sobre las siguientes hipótesis:

  1. La rentabilidad de cualquier valor mo biliario o cartera, es una variable aleatoria, obtenida a partir de las cotizaciones de dicho valor o portafolio, cuya distribución de probabilidad para el periodo histórico de base es conocida por el inversionista. El modelo acepta como medida de rentabil idad de la inversión la esperanza matemática de dicho activo.
  2. El modelo acepta como medida del riesgo la dispersión, medida por la varianza o la desviación estándar de los valores mobiliarios a partir de la rentabilidad.
  3. El inversionista tenderá a elegir aquellas carteras con una mayor rentabilidad y menor riesgo.

A partir de lo anterior se formula una función objetivo que debe ser optimizada, sujeta a ciertas restricciones, para lo cual es preciso elegir las variables sobre las cuales se debe optimizar la función. Así tenemos:

Función Objetivo:

  • Minimizar el riesgo de la cartera.

Restricciones:

  • Obtener un determinado rendimiento esperado de la cartera.
  • La totalidad del capital disponible debe destinarse a ser invertido en los distintos valores mobiliarios que forman parte de la cartera, no habiendo prohibiciones para realizar ventas en descubierto.

Variables de Elección:

  • Las proporciones del capital a invertir en cada uno de los activos de la cartera.

Para la elaboración de la Frontera Eficiente, se asumirá el caso de que los valores mobiliarios analizados son riesgosos en su totalidad.

Formalización del problema de optimización con valores mobiliarios riesgosos :

(Ver PDF)

LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES

La introducción de un activo mobiliario no riesgoso al conjunto de activos riesgosos genera una tasa libre de riesgo que es igual a la tasa que paga el valor no riesgoso. Es preciso formar entonces nuevas carteras de inversión, a partir de la c ombinación de los portafolios eficientes con el activo libre de riesgo, que maximicen la rentabilidad del inversionista. Esta nueva

Enrique Cayatopa Rivera

frontera debe contener carteras más eficientes que la antigua frontera y debe pasar de forma tangencial a través de la Frontera Eficiente. Esta cartera constituye un portafolio óptimo, ya que es una cartera de equilibrio que adquiere el nombre de  CARTERA DE MERCADO. A partir de lo anterior se debe formular una función objetivo que debe ser optimizada, sujeta a ciertas restricciones, para lo cual es preciso elegir las variables sobre las cuales se debe optimizar la función. Así tenemos:

Función objetivo:

-Minimizar el riesgo de la cartera que combina el activo libre de riesgo con una cartera eficiente conformada únicamente por activos aleatorios.

Restricciones:

-Obtener un determinado rendimiento esperado de la cartera combinada.

-El total del capital disponible debe destinarse a la adquisición de la cartera eficiente y/o el activo libre de riesgo.

-La proporción del capital total destinada a la cartera eficiente debe de ser invertido completamente entre los activos que componen dicha cartera (no existen prohibiciones para realizar ventas en descubierto).

Variables de Elección:

-Las proporciones del capital a invertir en el a ctivo libre de riesgo y la cartera eficiente formada por activos aleatorios y la composición interna de dicha cartera.

Formalización del problema de optimización de valores riesgosos combinados con un activo libre de riesgo:

(Ver PDF)

DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA

CARTERA DE TANGENCIA ÓPTIMA DEL MERCADO

Conocida comúnmente como la Cartera de Me rcado. Es aquella que resulta de la igualación de la rentabilidad esperada de una cartera que está sobre la curva de la frontera eficiente y la rentabilidad esperada  de una cartera que se sitúa sobre la Línea del Mercado de Capitales. De este modo se puede hablar de carteras con préstamo (Lending Portfolios) cuando una parte del presupuesto se invierte otorgando un préstamo al tipo de interés del activo sin riesgo, y de carteras con endeudamiento (Borrowing Portfolios) cuando se pide prestado fondos para invertir en la cartera de Mercado, al mismo tipo de interés. Entonces, en el primer caso se invierte parte del capital disponible en la “Cartera de Mercado” y parte en un activo sin riesgo; en el segundo caso se invierte el capital disponible más fondos rec ibidos a través de endeudamiento, en la Cartera de Mercado. Matemáticamente es resuelve como sigue:

(Ver PDF)

PARTE I

METODOLOGÍA DE LA RECOPILACIÓN DE DATOS

Una etapa muy importante y sobre la cual va a fundamentarse la investigación es la recolección de datos. No constituye tarea fácil agrupar toda la información que el mercado pueda brindar, es por eso que mediante la jerarquización de las necesidades de infor mación se opta por considerar la data pertinente.

Los datos primordiales que se necesitan para la elaboración de una Cartera de Inversión son los siguientes:

  • Las cotizaciones de cierre.
  • Las rentabilidades, que se obtienen a partir de las cotizaciones de cierre. o Los montos negociados de cada acción por jornada.
  • El número de acciones negociadas por jornada.

En este trabajo se hacen uso exclusivo de las cotizaciones de cierre diarias.

Hace no muchos años Alvin Tofler escribió en su “Tercera ola” que estamos viviendo en la era de la información. Bajo este precepto y haciendo un uso adecuado de la misma se procede a detallar desde que fuentes y formas se pueden extraer los datos que se utilizan en la elaboración de una Cartera de Inversión.

La primera es la fuente escrita. El diario dicho sea de paso. Sobresalen entre este grupo: Gestión, en su sección Negocios y Finanzas, donde aparecen las cotizaciones diarias de las acciones que cotizan en Bolsa. Otro diario importante es El Comercio en su sección Negocios, subsección Finanzas que muestra los mismos datos y otros tantos del Mercado.

Una segunda fuente es mediante un software especializado llamado Economática, que tiene una exquisita data tanto de las cotizaciones de las acciones nacionales como de la mayoría d e América Latina. Este software está disponible al público en general en el Departamento de Información de la Comisión Nacional Supervisora de Empresas y Valores (CONASEV) de forma gratuita. Economática dispone también de un comando mediante el cual también se pueden optimizar carteras a partir de su data, sujetas a restricciones diversas.

Una tercera forma de obtener las series de las cotizaciones de cierre es mediante una solicitud dirigida a la Gerencia Comercial de la  BVL, previo depósito del costo d e las mismas en una cuenta corriente de dicha entidad.

Un cuatro mecanismo para obtener dichas series es mediante  la página Web de la Bolsa de Valores de Lima, www.bvl.com.pe. La ventaja de esta página Web es que se pueden obtener las cotizaciones en tiempo real y su mayor desventaja es que no guarda un registro histórico de las mismas; sin embargo, en el portal Web de la CONASEV, www.conasev.gob.pe sí se puede encontrar tal data, acción por acción de empresa por empresa.

Para la recopilación de datos de este trabajo se acudió a las páginas Web antes mencionadas. A la de la BVL para recopilar el Directorio de Códigos ISIN, desde donde se puede saber cual es el nemónico de cada acción que se va a analizar; además de la conformación de las diferentes Carteras de los Índices de Mercado de la BVL. Desde el portal Web de la CONASEV se recopilaron las diferentes cotizaciones de cierre de cada acción a analizar.

Todas las series que se obtienen se las registra en softwares especializados en Estadística. Entre ellos resaltan el SPSS y el E-Views, pero para un uso más didáctico se utilizará el Excel y todas sus funciones, además de la elaboración de gráficos, tanto lineales como de dispersió n.

El siguiente paso es la elaboración propiamente dicha de la cartera.

ELECCIÓN Y DESCRIPCIÓN INDIVIDUAL DE LOS VALORES MOBILIARIOS

Para la elaboración de la CARTERA DE INVERSIÓN POLARIS se han elegido los siguientes valores mobiliarios que cotizan en la Bolsa de Valores de Lima, cuyo periodo muestral fue desde el 03 de Noviembre de 2006 al 28 de Febrero de 2007 :

  1. ALICORC1 que es una acción de capital de la empresa ALICORP S.A.A.
  2. EDELNOC1 que es una acción de capital de la empresa EDELNOR S.A.A.
  3. MOROCOI1 que es una acción de inversión de la COMPAÑÍA MINERA SAN IGNACIO DE MOROCOHA S.A.
  4. ATACOI1 que es una acción de inversión de la COMPAÑÍA MINERA ATACOCHA S.A.A.
  5. MINSURI1 que es una acción de inversión de la Compañía Minera MINSUR S.A.
VOLCABC1 Lidera la cartera del Índice General de la Bolsa de Valores de Lima con el 10.8046%
CVERDEC1 Ocupa el tercer lugar en la misma cartera con una participación efectiva del 7.0956%
ATACOI1 Está ranqueada en el cuarto puesto en la mencionada cartera con un 5.2206%
MOROCOI1 Ocupa el quinto lugar en la misma cartera con una participación efectiva del 4.4632%
MINSURI1 Está ubicada en sexto lugar de la cartera mencionada con una proporción del 4.4168%
ALICORC1 Ocupa el quinto lugar en la cartera del Índice de Mercado del Sector Industrial con el 7.8507%
EDELNOC1 Ocupa el quinto puesto en la cartera del Índice de Mercado del Sector Servicios con el 13.8033%
  1. CVERDEC1 que es una acción de capital de la SOCIEDAD MINERA CERRO VERDE S.A.A.
  1. VOLCABC1 que es una acción de capital de la empresa VOLCÁN COMPAÑÍA MINERA S.A.A.
  1. PEP01000CT06 que el código ISIN de un bono emitido en Nuevos Soles por el Ministerio de Economía y Finanzas, cuyo nemónico es SB10AGO11. Tiene un valor nominal de 1000 Nuevos Soles y paga una tasa nominal anual del 16,08%.

Los nemónicos de las acciones se los puede encontrar en el DIRECTORIO DE CÓDIGOS ISIN ubicado en el portal de la Bolsa de Valores de Lima.

El común denominador de las acciones elegidas es que tienen participación en las diferentes carteras de los Indicadores de Mercado de la Bolsa de Valores de Lima vigente a partir del 02 de Enero del 2007. Así:

Debe notarse que de las siete acciones consideradas, cinco de ellas pertenece n al sector minero que en los últimos, hasta la fecha de análisis,  ha aportado en importante volumen al crecimiento del PBI y sus acciones han alcanzado picos históricos y rentabilidades provechosas que han aumentado el nivel de utilidades de sus accionis tas.

Para un análisis descriptivo simple se presentan los gráficos de la Evolución de la Cotización de Cierre de cada acción seleccionada, seguidos de sus mínimos y máximos de cotización y rentabilidad.

(Ver PDF)

FUENTES

  • VAN HORNE, James C.; “Administración Financiera” ; Dec. Edic. Editado por Prentice Hall
  • Hispanoamericano,S.A
  • NICHOLSON, Walter; “Teoría Macroeconómica”; Thomson Editores Spain; 8va Edición; 2004.
  • MELLI MUNDI , José; “Todo sobre la Bolsa”
  • Apuntes del Curso de Microeconomía II, dictado para el 5to ciclo (año 2007) de la Especialidad de Economía de la Universidad Católica Sedes Sapientiae.
  • http://bvl.com.pe
  • http://www.conasev.gob.pe

 Fundamentos de Inversiones, teoría y práctica ;Alexander & Sharpe & Bailey; Pearson; México; 2003. Cap. 7, 8, 9 y 10

 Son Variables Aleatorias con sus esperanzas, varianzas, covarianzas, correlación lineal entre ellos.

 No son Variables Aleatorias, son una constante cierta. Tanto su varianza, covarianza y correlación con los valores mobiliarios riesgosos es nula.

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Para complementar lo expuesto en este documento sobre teoría de la cartera te sugerimos el siguiente par de video-lecciones, que hacen parte del máster en bolsa y mercado de capitales de la Escuela de Negocios y Dirección ENyd, en ellas se abordan los temas de riesgo y rentabilidad, diversificación y se enseña el procedimiento de gestión de carteras. (1 hora y 55 minutos)

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Cayatopa Rivera Luis Enrique. (2008, septiembre 16). Teoría de la cartera. Frontera eficiente y mercado de capitales. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/teoria-de-la-cartera-frontera-eficiente-y-mercado-de-capitales/
Cayatopa Rivera, Luis Enrique. "Teoría de la cartera. Frontera eficiente y mercado de capitales". GestioPolis. 16 septiembre 2008. Web. <https://www.gestiopolis.com/teoria-de-la-cartera-frontera-eficiente-y-mercado-de-capitales/>.
Cayatopa Rivera, Luis Enrique. "Teoría de la cartera. Frontera eficiente y mercado de capitales". GestioPolis. septiembre 16, 2008. Consultado el 23 de Mayo de 2019. https://www.gestiopolis.com/teoria-de-la-cartera-frontera-eficiente-y-mercado-de-capitales/.
Cayatopa Rivera, Luis Enrique. Teoría de la cartera. Frontera eficiente y mercado de capitales [en línea]. <https://www.gestiopolis.com/teoria-de-la-cartera-frontera-eficiente-y-mercado-de-capitales/> [Citado el 23 de Mayo de 2019].
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