Sistema financiero, mercado de capitales y préstamos

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El objetivo del presente capítulo es presentar al lector, el escenario en el que ocurren los movimientos de capital y los agentes responsables de transferir los recursos del ahorro a la inversión a través de los intermediarios del mercado de capitales. Asimismo, exponemos los principales productos financieros activos y pasivos existentes; desarrollamos en profundidad y extensamente, la teoría y práctica de los préstamos.

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2.Mercado de capitales

Dentro del mercado de capitales se distinguen tres agentes principales de la economía: gobierno, empresas y familias…

 En todos los países del mundo existen fundamentalmente dos mercados: el primero es el de productos y servicios, que ofrecen las diferentes personas y empresas del país; el segundo el mercado de capitales, donde negocian los excedentes de capital.

En el mercado de capitales distinguimos tres agentes principales de la economía: gobierno, empresas y familias que acuden a invertir sus recursos o a conseguir financiación.

Existen principalmente dos formas de transferir los recursos del ahorro a la inversión: la primera es por medio de la intermediación, a cargo del sistema financiero y la segunda es por medio de la transferencia de títulos, responsable el mercado de valores.

Como vimos en el primer capítulo, la principal función del sistema financiero es la de servir como intermediario entre las personas o entidades que logran hacer algún tipo de ahorro y las que necesitan recursos para  financiar inversiones o gastos.

La labor de intermediación tiene cuatro elementos principales:

  • El tiempo. El manejo de los plazos es fundamental en la labor de intermediación, no es posible distinguir entre oferentes y demandantes de dinero, si no especificamos la duración de la operación financiera, las mismas personas que hoy están ahorrando, pueden necesitar recursos en el futuro y las que invierten en el presente, seguramente obtendrán excedentes en el futuro que podrán ahorrar.
  • Los montos. Por lo general los ahorristas disponen de pequeños excedentes, mientras que los inversionistas, requieren de mayores recursos para la inversión, lo cual genera desequilibrios entre la demanda y oferta de dinero que encarece o disminuye los costos de los créditos y afecta la liquidez del sistema.
  • Los costos. Como cualquier otro mercado, el de intermediación está sujeto a las variaciones de la oferta y la demanda, por lo cual, cuando hay liquidez, las tasas de interés bajan, por el contrario, el exceso de demanda de dinero produce incrementos  en éstas.

Los gobiernos, a través de sus acciones de política fiscal de impuestos y gastos, pueden afectar la oferta y la demanda de préstamos. Sí el gobierno gasta menos de lo que recauda por impuestos y otras fuentes de ingresos tendrá  superávit  fiscal lo cual significa que el gobierno tiene  ahorros. Esto constituye una fuente de oferta de créditos. Si el gobierno gasta más de lo que obtiene por ingresos tributarios incurrirá en  déficit, luego tendrá que prestarse para cubrir la diferencia. El endeudamiento incrementa la demanda de préstamos conduciendo al incremento de la tasa de interés en general.

  • El riesgo. Inherente al negocio o inversión. A mayor riesgo, mayor tasa de interés. Ver Capítulo 1, Componentes de la tasa de interés.

 

2.1. Sistema Financiero

Conformado por el  conjunto de empresas que, debidamente autorizadas, operan en la intermediación financiera. Incluye las subsidiarias que requieren autorización de la Superintendencia para constituirse.

Actualmente, el sistema financiero peruano lo conforman: 18 Bancos, 6 Financieras, 12 Cajas Rurales de Ahorro y Crédito, 6 Almacenaras, 13 Cajas Municipales de Ahorro y Crédito, 7 Empresas de Arrendamiento Financiero, 13 EDPYMES, 4 Administradoras de Fondos de Pensiones (AFP), 17 Empresas de Seguros, 2 Cajas (Caja de Beneficios y Seguridad Social del pescador y  Caja de Pensión Militar Policial) y 2 Derramas (Derrama de Retirados del Sector Educación y Derrama Magisterial).

Encabeza el sistema bancario peruano el Banco Central de Reserva (BCR) que controla la mayoría de las operaciones en moneda extranjera. Otras operaciones bancarias del Estado, incluyendo la recaudación de impuestos, son operadas por el Banco de la Nación (BN) y otras entidades bancarias autorizadas por éste.

 

2.2. Mercado de valores

Bolsa de Valores. En el Perú, existen aproximadamente 200 grandes empresas que cotizan en la Bolsa de Valores de Lima (BVL), incluyendo bancos, financieras, compañías de seguros, empresas  industriales, mineras y  comerciales, así como algunas de servicios. Son líquidas unas 15 empresas. Las operaciones desarrolladas por estas entidades fuera de la jurisdicción peruana no están controladas por las autoridades nacionales.

 

2.3. Fuentes de Financiamiento

Toda empresa,  pública o privada,  requiere de recursos financieros (capital) para realizar sus actividades, desarrollar sus funciones actuales o ampliarlas, así como el inicio de nuevos proyectos que impliquen inversión.

 

2.3.1. Objetivos

La carencia de liquidez en las empresas (públicas o privadas) hace que recurran a las fuentes de financiamiento para aplicarlos en ampliar sus instalaciones, comprar activos, iniciar nuevos proyectos, ejecutar proyectos de desarrollo económico-social, implementar la infraestructura tecno-material y jurídica de una región o país que aseguren las inversiones. Todo financiamiento es el resultado de una necesidad.

 

2.3.2. Análisis de las fuentes de financiamiento

Es importante conocer de cada fuente:

  1. Monto máximo y el mínimo que otorgan.
  2. Tipo de crédito que manejan y sus condiciones.
  3. Tipos de documentos que solicitan.
  4. Políticas de renovación de créditos (flexibilidad de reestructuración).
  5. Flexibilidad que otorgan al vencimiento de cada pago y sus sanciones.
  6. Los tiempos máximos para cada tipo de crédito.

2.3.3. Políticas en la utilización de los créditos

  • Las inversiones a largo plazo (construcción de instalaciones, maquinaria, etc.) deben ser financiadas con créditos a largo plazo, o en su caso con capital propio, esto es, nunca debemos usar los recursos circulantes para financiar inversiones a largo plazo, ya que provocaría la falta de liquidez para pago de sueldos, salarios, materia prima, etc.
  • Los compromisos financieros siempre deben ser menores a la posibilidad de pago que tiene la empresa, de no suceder así la empresa tendría que recurrir a financiamiento constantes, hasta llegar a un punto de no poder liquidar sus pasivos, lo que en muchos casos son motivo de quiebra.
  • Toda inversión genera flujos, los cuales son analizados en base a su valor actual.
  • Los créditos deben ser suficientes y oportunos, con el menor costo  posible y que alcancen a cubrir cuantitativamente la necesidad por el  cual fueron solicitados.
  • Buscar que las empresas mantengan estructura sana.

 

2.3.4. Prototipos de fuentes de financiamiento

Existen diversas fuentes de financiamiento, sin embargo, las más comunes son: internas y externas.

  1. Fuentes internas: Generadas dentro de la empresa, como resultado de sus operaciones y promoción, entre éstas están:
  2. Aportaciones de los Socios: Referida a las aportaciones de los socios, en el momento de constituir legalmente la sociedad (capital social) o mediante nuevas aportaciones con el fin de aumentar éste.
  3. Utilidades Reinvertidas: Esta fuente es muy común, sobre todo en las empresas de nueva creación, y en la cual, los socios deciden que en los primeros años, no repartirán dividendos, sino que estos son invertidos en la organización mediante la programación predeterminada de adquisiciones o construcciones (compras calendarizadas de mobiliario y equipo, según necesidades ya conocidas).
  4. Depreciaciones y Amortizaciones: Son operaciones mediante las cuales, y al paso del tiempo, las empresas recuperan el costo de la inversión, por que las provisiones para tal fin son aplicados directamente a los gastos de la empresa, disminuyendo con esto las utilidades, por lo tanto, no existe la salida de dinero al pagar menos impuestos y dividendos.
  5. Incrementos de Pasivos Acumulados: Son los generados íntegramente en la empresa. Como ejemplo tenemos los impuestos que deben ser reconocidos mensualmente, independientemente de su pago, las pensiones, las provisiones contingentes (accidentes, devaluaciones, incendios), etc.
  6. Venta de Activos (desinversiones): Como la venta de terrenos, edificios o maquinaria en desuso para cubrir necesidades financieras.

 

  1. Fuentes externas: Aquellas otorgadas por terceras personas tales como:
  2. Proveedoras: Esta fuente es la más común. Generada mediante la adquisición o compra de bienes y servicios que la empresa utiliza para sus operaciones a corto y largo plazo. El monto del crédito está en función de la demanda del bien o servicio de mercado. Esta fuente de financiamiento es necesaria analizarla con detenimiento, para de determinar los costos reales teniendo en cuenta los descuentos por pronto pago, el tiempo de pago y sus condiciones, así como la investigación de las políticas de ventas de diferentes proveedores que existen en el mercado.
  3. Créditos Bancarios: Las principales operaciones crediticias, que son ofrecidas por las instituciones bancarias de acuerdo a su clasificación son a corto y a largo plazo. En el Perú, el financiamiento no gubernamental disponible para las empresas proviene de operaciones bancarias tradicionales, principalmente utilizando pagarés bancarios con plazos de 60, 90 ó 120 días de vencimiento, que en  algunos casos pueden ser prorrogados. Los pagarés son emitidos por el prestatario para cubrir el préstamo, que puede estar garantizado por bienes del activo fijo u otras garantías.

Los préstamos de corto y largo plazo están disponibles en empresas financieras. La SBS, en cumplimiento de la política general del gobierno dirigida a reducir la inflación, supervisa el nivel de créditos extendidos por los bancos.

Los bancos y las instituciones financieras pueden establecer sus propias tasas de interés para las operaciones de préstamo y ahorros. Estas tasas no pueden exceder de la tasa máxima establecida por el BCR. Debido a las condiciones de la economía del país, la tasa de interés para las operaciones en dólares estadounidenses excede las tasas establecidas en el mercado internacional.

 

3.Funciones y productos activos y pasivos del sistema financiero

La función principal del sistema financiero es simplemente la intermediación financiera; es decir, el proceso mediante el cual captan fondos del público con diferentes tipos de depósitos (productos pasivos) para colocarlos a través de operaciones financieras (productos activos) según las necesidades del mercado. Igualmente intermedian en la colocación de recursos provenientes de Instituciones gubernamentales, por ejemplo, COFIDE en el caso peruano.

 

3.1. Productos activos

A continuación exponemos conceptos básicos de algunos productos de crédito destinados al sector empresarial. Cada institución financiera tiene políticas y productos distintos, con bases comunes; así tenemos:

 

3.1.1.) El préstamo pagaré

Es una operación a corto plazo (máximo un año), cuyas amortizaciones mensuales o trimestrales también pueden ser pagadas al vencimiento. Por lo general, son operaciones a 90 días prorrogables a un año con intereses mensuales cobrados por anticipado. Generalmente utilizado para financiar la compra de mercancías dentro del ciclo económico de la empresa comercial (comprar-vender-cobrar).

Otra de las razones para solicitar un pagaré, es por las deficiencias temporales de caja que requieren ser puestas en positivo, producidas entre otras, por los mayores plazos de crédito frente a los plazos que otorgan los proveedores.

 

3.1.2.) El préstamo a interés

Es una operación de corto y largo plazo, que puede ir desde uno hasta cinco años. Las cuotas son por lo general mensuales, pero también pueden ser negociadas y los intereses son cobrados al vencimiento. Este tipo de crédito es utilizado generalmente para adquirir bienes inmuebles, o activos que por el volumen de efectivo que representan, no es posible amortizarlo con el  flujo de caja de la empresa en el corto plazo.

La garantía de esta operación puede ser el bien adquirido o garantías reales distintas (prendarias o hipotecarias). Adicionalmente, puede llevar las fianzas consideradas necesarias.

3.1.3.) El leasing

Operación mediante la cual, la institución financiera, adquiere  bienes muebles o inmuebles de acuerdo a las especificaciones del arrendatario, quien lo recibe para su uso y preservación por  períodos determinados, a cambio de la contraprestación dineraria (canon) que incluye amortización de capital, intereses, comisiones y recargos emergentes de la operación financiera.

Características del leasing:

  • Los bienes adquiridos son para ser arrendados, según lo solicitado por el arrendatario.
  • Durante la vigencia del contrato es responsabilidad del arrendatario mantener el bien arrendado y estar al día con el pago de las pólizas de seguro.
  • La duración del alquiler debe ser igual o menor a la vida útil estimada del bien.
  • El monto del alquiler es fijado para amortizar el valor del bien alquilado durante el período de uso determinado en el contrato.
  • El contrato le permite al arrendatario, la adquisición del bien al final del período de arriendo mediante el pago de un valor de rescate que corresponde al valor residual del bien.
  • Debe estar relacionado a equipos o bienes de producción, que el arrendatario utilizará para fines productivos o profesionales.

Tipos de arrendamiento financiero:

Arrendamiento Financiero Mobiliario. Un empresario contacta con el distribuidor de los equipos que requiere, una vez seleccionados, contrata con la entidad financiera y vía arrendamiento adquiere los bienes, durante el plazo determinado que está directamente relacionado con la duración económica de los equipos. Transcurrido el tiempo estipulado en el contrato, el cliente ejerce la opción de compra con lo cual adquiere el bien.

Arrendamiento Financiero Inmobiliario.  Es igual al anterior, con la diferencia que el bien adquirido es un inmueble que será destinado a la producción o uso profesional: Edificios, cobertizos, locales comerciales o de oficina. El plazo de este tipo de operación, es por lo general, más largo que el mobiliario, por los montos que implica y por el impacto de las cuotas en el flujo de caja de las empresas.

Sale And Lease Back. Consiste en que el cliente vende un bien mueble o inmueble al banco, para que éste a su vez,  lo arriende por  período determinado, para al final, retornar la propiedad al cliente, mediante el uso de la opción de compra. Esta operación tiene como intención, satisfacer requerimientos de capital de trabajo.

Precisamos, que no obstante el bien adquirido mediante esta modalidad es propiedad de la institución financiera, por lo tanto, es la garantía primaria. La institución financiera solicita tantas garantías adicionales como difícil sea vender el bien para cobrar el crédito fallido.

 

3.1.4.) El descuento

Generalmente, el comercio de bienes y servicios no es de contado. Cuando la empresa vende a crédito a sus clientes, recibe letras de cambio por los productos entregados. Cuando las empresas carecen de liquidez para adquirir nuevos inventarios o pagar a sus proveedores acuden a las instituciones financieras (generalmente bancos) y ofrecen en cesión sus letras de cambio antes del vencimiento, recibiendo efectivo equivalente al valor nominal de los documentos menos la comisión que la institución financiera recibe por adelantarle el pago. Esta comisión es conocida como descuento. Según van ocurriendo los vencimientos de los documentos de crédito, la institución financiera envía el cobro para que los deudores paguen la deuda que originalmente le pertenecía a la empresa.

Por política de cobranza, las instituciones financieras después de haber presentado estos documentos para el cobro por tres veces o más a sus correspondientes deudores y no haber recibido el pago, cargan el valor del o de los documento en la cuenta del cliente (descontante) con el que hicieron la operación de descuento. En estos casos el cliente es gravado con intereses de mora por el plazo que va desde el vencimiento hasta la fecha en que es cargado en la cuenta.

En las operaciones de descuento son analizados fundamentalmente los estados financieros de la empresa que realiza con el banco la operación de descuento y de manera secundaria, la situación financiera de los acreedores señalados en los documentos de crédito. Dependiendo de la situación financiera del solicitante del descuento y de los acreedores en los documentos, el banco podrá pedir garantías adicionales al descontante.

 

3.1.5.) La carta de crédito

Instrumento mediante el cual, el banco emisor se compromete a pagar por cuenta del cliente (ordenante) una determinada suma de dinero a un tercero (beneficiario), cumplidos los requisitos solicitados en dicho instrumento.

Por ejemplo: una persona en Lima desea importar un carro desde  Miami y llama  al concesionario de esa ciudad.  Este le solicita que le transfiera dólares para despacharle el carro, pero la persona en Lima le responde que hasta que el vehículo no esté en su destino, no le remitirá un céntimo. El problema es la desconfianza de ambos lados. Por esta razón existe la Carta de Crédito.

La persona en Lima (Ordenante) solicita en su banco la apertura de una carta de crédito. El banco (Banco Emisor) establece las condiciones necesarias según el riesgo del cliente  y abre la carta de crédito enviando  fax o E-mail al banco (Banco Notificador) en Miami, instruyendo al vendedor (Beneficiario) para el embarque del carro a Lima detallando las características del vehículo.

El vendedor de carros, notificado, entrega y pone el carro en el barco, por lo cual recibe el Conocimiento de Embarque, que certifica el despacho del vehículo. Este documento es entregado por el vendedor al banco de Miami, quienes verifican que el vehículo embarcado es exactamente el mismo cuyos detalles están descritos en el fax o E-mail remitido por el banco de Lima, procediendo a pagarle al vendedor.

Cuando el auto llega al puerto, en este caso El Callao, es comunicado el banco en Lima, pues el bien está a nombre y es propiedad del banco. Este convoca a su cliente, quien pasa por las oficinas, paga el auto y el banco emite la Carta de Renuncia, que  transfiere la propiedad del vehículo al cliente. Este va al Callao, paga los impuestos y retira el auto. Con esto finaliza el proceso de la carta de crédito.

Tipos de Cartas de Crédito

Existen dos tipos básicos: revocables e irrevocables Toda carta de crédito debe indicar con claridad  cuál de estas dos es.

Crédito Revocable. Puede modificarse o revocarse sin aviso previo para el beneficiario. Pero el Banco Emisor deberá rembolsar al Banco Notificador el valor pagado, la aceptación a la negociación que haya realizado en base a lo expresado en la carta de crédito, antes de haber recibido la modificación o revocación.

Crédito Irrevocable. No puede ser alterada ni anulada, sin la conformidad de las partes (Ordenante, beneficiario, Banco Emisor y Banco Notificador).

Según la forma de pago al beneficiario, las cartas de crédito pueden ser:

A la vista. El Banco Notificador paga al Beneficiario, a la presentación de los documentos que demuestran el embarque de la mercancía bajo los términos planteados.

Contra aceptación. El Banco Notificador acepta (firma como deudor) al beneficiario una letra de cambio con plazo determinado en la carta de crédito. Cuando el cliente acude al Banco Notificador al vencimiento, éste paga contra la cuenta del Banco Emisor, quien a su vez  cobra a su cliente. Para los exportadores es interesante vender sus mercancías ofreciendo plazos para pagar a través de cartas de crédito con aceptación. Entregando los documentos de embarque al banco, según lo solicitado en la carta de crédito, los exportadores obtienen a cambio una letra aceptada por el banco, que puede ser descontada en cualquier otra institución financiera a tasas preferenciales por la calidad del girador de la letra.

Con refinanciamiento. Es cuando el Ordenante no paga la carta de crédito, al momento de recibir la mercancía, sino que recibe refinanciamiento mediante  préstamo a interés para el pago al banco del monto de la carta de crédito.

También pueden clasificarse en:

De importación. Emitidas a favor del beneficiario para garantizar el pago de las mercancías a ser importadas.

De exportación. Recibidas, emitidas por bancos del exterior a favor de beneficiarios en nuestro país y en la que actuamos como banco Notificador o Pagador.

Domésticas. Son las que abrimos por cuenta del ordenante a favor del beneficiario y ambos están en nuestro país.

Hay cartas de crédito especiales que destacamos a continuación:

Stand By. Muy parecida a la fianza bancaria. El Ordenante garantiza al beneficiario, que un tercero (puede ser el mismo ordenante), cumplirá con las condiciones especificadas, las consecuencias del no cumplimiento es el pago por parte banco al beneficiario.

Con cláusula roja. Permite que el beneficiario utilice fondos de la carta de crédito antes de embarcar la mercancía. Surge, cuando por ejemplo, el beneficiario requiere fondos para elaborar la maquinaria que enviará al Ordenante.

Con cláusula verde. Permite al beneficiario cobrar la carta de crédito contra entrega del Certificado de Depósito por la mercancía puesta a disposición del comprador, pero que por falta de transporte no ha podido ser despachada al lugar de destino.

Documentos que intervienen en la operación:

Factura Comercial. Documento que da al comprador la evidencia de haber adquirido la mercancía legalmente.

Conocimiento de Embarque.  Documento emitido por el transportista mediante el cual declara haber recibido la mercancía y se compromete a llevarla hasta determinado puerto o aeropuerto, para ser entregada a la persona designada en el documento. Cuando el transporte es aéreo hablamos de Guía Aérea.

Póliza de seguro. Cubre la mercancía contra  daños que le puedan ocurrir durante el transporte,  puede ser pagado por el Ordenante o el Beneficiario, depende del acuerdo.

3.2. Los productos pasivos

Las instituciones financieras, con el fin de obtener fondos del público, desarrollan  productos con los cuales las personas puedan canalizar sus fondos de uso común o sus excedentes destinados al ahorro y obtener  beneficios a cambio por medio de intereses.

Estos productos pueden ser clasificados en tres grandes grupos:

  • Los depósitos. Son el mayor volumen pues provienen de la gran masa de pequeños y medianos ahorristas. Estos fondos son por lo general los más económicos, dependiendo de la mezcla de fondos. Esto último está referido a la proporción entre los depósitos más baratos (ningún o muy bajo interés) y los depósitos más caros (aquellos que para mantenerlos pagan altos intereses).
  • Los fondos interbancarios. Fondos que las instituciones financieras no colocan a sus clientes en forma de créditos. Estos no pueden quedar ociosos y son destinados a inversiones  o a préstamos a otros bancos cuyos depósitos no son suficientes para satisfacer la demanda de crédito de sus clientes. En el último caso, el banco que solicita los fondos, está recibiendo  «depósitos» de otro banco. Esto es una forma de depósito de gran volumen.
  • Captación por entrega de valores. En algunos casos, los bancos emiten valores comerciales para captar fondos del público. Pueden estar garantizados por la cartera de créditos hipotecarios o por la de tarjetas de crédito. En cualquier caso, la tasa de interés será casi directamente proporcional al riesgo promedio total de la cartera que garantiza la emisión. Por ejemplo, la emisión de títulos contra  cartera hipotecaria, tiene menor tasa de interés disminuye el riesgo de morosidad y las garantías son reales y de fácil liquidación en caso de falla del deudor

 

4.Las tarjetas de crédito

4.1. Breve historia

Las tarjetas de crédito empezaron a ser utilizadas en algunas tiendas al detalle y sólo podían ser usadas en el detallista que las emitía. Algún tiempo después y en vista de lo exitoso de la idea, algunas compañías petroleras emitieron tarjetas que permitían hacer consumo de gasolina en las estaciones de servicio.

Para 1936, American Airlines creó su propio sistema de crédito, llamado Universal Air Travel Plan (UATP), que inicialmente fue una libreta de cupones desprendibles emitida contra  depósitos en garantía. Este evolucionaría después a un sistema de tarjetas de crédito propias que competiría con las tarjetas de crédito emitidas por la banca.

Diners Club fue la primera de las que hoy conocemos como tarjetas de crédito bancarias y nació en 1946. Los ingresos necesarios para el financiamiento de la compañía, provenían de la tasa de descuento del 7% retenida a los comerciantes y de una comisión mensual cobrada a la tarjeta habiente (Ver numeral 4.2. El Proceso) por el uso y mantenimiento.

En 1958, American Express y Carte Blanche (que era la tarjeta propia de Hilton Hotel Corporation) ingresan al negocio de las tarjetas de aceptación general. En ese momento, entran tanto el Bank of America, el banco más grande de los Estados Unidos y el Chase Manhattan Bank.

En 1966, El Bank of America licencia su producto BankAmericard a través de los Estados Unidos. En respuesta, sus principales competidores unidos forman la Interbank Card Association, que transcurrido un tiempo es el Master Charge. A finales de los 60, ambas compañías tendrían  gran éxito en la colocación de plásticos mediante el envío de correos masivos, otorgando millones de tarjetas. Para el año 78, había más de 11,000 bancos trabajando con una de las dos marcas,  sus ventas 42 mil millones de dólares y más de 52 millones de norteamericanos tenían al menos una de las dos tarjetas.

En el 76, Bank Americard cambia su nombre a Visa con la idea de tener mayor proyección internacional. Master Charge, la siguió después cambiando su nombre a Master Card.

 

4.2.  El proceso

Un consumidor abre una de tarjeta de crédito a través de un banco emisor, quien la aprueba previa evaluación de su capacidad de endeudamiento y le otorga una línea de crédito. El consumidor, ahora es un cliente y al recibir la tarjeta es portador de una tarjeta habiente, que le permite  comprar bienes y servicios en todos aquellos comercios que aceptan esta tarjeta como forma de pago. Para hacer uso de su línea de crédito, el cliente requiere una tarjeta de plástico, con un número de cuenta y ciertos datos embozados (Texto en relieve),  cinta magnética en el reverso y ciertas características de seguridad que pueden estar en el reverso y el anverso.

Los emisores, son requeridos como resultado de su asociación con Visa o Master Card, que cumplan con ciertos requisitos específicos para cada marca, en la preparación de los plásticos con el fin de ser aceptadas en todas partes. Estas características alertan a los comerciantes ante  fraude. Por otro lado, los comerciantes acuerdan con una institución financiera que en adelante llamaremos Adquirente, la aceptación de las tarjetas de crédito como forma de pago. Con este fin, el comercio, abre una cuenta con el Banco Adquirente. Este acuerdo permite que el comerciante venda sus bienes y servicios a los clientes portadores de las tarjetas. La aceptación de las tarjetas implica en la mayoría de casos, transacciones electrónicas a través de un punto de venta al banco Adquirente, es la persona que tiene comunicación con el Emisor de la Tarjeta y solicita la autorización de pago. El Banco Emisor revisa la cuenta del cliente para verificar su conformidad y responde aprobando o negando la operación. Esta respuesta la recibe a través de su banco Adquirente en el punto de venta. La aprobación implica que el Banco Emisor acuerda reembolsar el monto de la compra al Banco Adquirente, quien a su vez lo depositará en la cuenta del comerciante.

El depósito en la cuenta es realizado al final del día, el punto de venta envía al banco Adquirente el resumen de las ventas efectuadas a través de un proceso Batch. También es posible hacerlo a través de  resúmenes de venta que el comerciante llena manualmente y que deposita en las ventanillas del banco, a este resumen anexa los comprobantes firmados por cada uno de sus clientes portadores de la tarjeta habiente.

 

5.Préstamo

Cantidad de dinero que se solicita, generalmente a una institución financiera, con la obligación de devolverlo con un interés.

Préstamo es el contrato en el que una de las partes (prestamista) entrega activos físicos, financieros o dinero en efectivo y la otra (prestatario) comprometiéndose a devolverlos en una fecha o fechas determinadas y a pagar  intereses sobre el valor del préstamo.

Así como «la suma» es la única operación matemática que existe y de la que todas las demás  derivan; el préstamo es la única alternativa que existe en el mundo de las inversiones y de la que todas las demás derivan. En matemáticas, la «resta» es una suma donde uno de los números es negativo, la «multiplicación» es una sucesión de sumas, la «división» es una multiplicación de números fraccionarios, y así todas las demás. En inversiones pasa lo mismo.

Las alternativas más comunes de inversión, generalmente lo constituyen los distintos tipos de depósito que hacemos en los bancos: cuentas de ahorro, cuentas  corrientes y plazo fijos. El banco reconoce un «interés» por nuestros depósitos (por el hecho de prestarle nuestro dinero), que los empleará para «prestárselo» a otras personas, empresas o gobierno. El banco intermedia, entonces, entre quienes tienen ahorros y los que necesitan fondos. El riesgo es la solvencia del banco para devolvernos el dinero prestado.

 

5.1.  Grupos de préstamos

Por su uso existen hasta dos grupos de préstamos: uno, el denominado préstamo de consumo o préstamos personales, para compras de las economías domésticas (familias e individuos particulares) de bienes de consumo duraderos, como automóviles y electrodomésticos, es decir para consumo privado; y, dos el de inversión o capital productivo para fábricas, maquinaria o medios de transporte público así como para el aumento del capital humano como mano de obra calificada (no como gasto sino como inversión). Las economías nacionales requieren capital productivo, a tasas de interés de inversión que permitan aumentar y desarrollar el aparato productivo (MYPES) de las naciones.

Los capitales deberían estar presentes donde son necesarios, esto corresponde a mercados normales. Es urgente para los países emergentes salir del mercado de divisas, para reactivar la demanda agregada y salir de la orientación rentista del capital financiero especulativo.

 

5.2.  Elementos de los préstamos

Crédito. Cantidad recibida por un préstamo (VA),  monto afecto a intereses. En un crédito tenemos la posibilidad de disponer  sumas de dinero hasta el límite de la línea autorizada o en cantidades menores una o varias veces, sobre los montos retirados el banco aplica intereses.

Plazos. Modalidad o tiempo en el que tenemos que devolver el crédito otorgado (n).

TEA (i). Es la tasa efectiva anual de interés. En función del plazo en días fijado se calcula la tasa de interés equivalente, adelantada o vencida, según sea el caso.

Interés. Rendimiento que obtenemos o pagamos por una inversión o  préstamo en un período determinado. Es una cantidad de unidades monetarias (VA*i).

También se utiliza  el término tipo de interés, que normalmente se refiere a la tasa nominal anual y no a la tasa del período. Ambos se formulan en tanto por ciento (%). Debemos especificar si los intereses son pagados al vencimiento o por adelantado.

Tasa de interés convencional compensatorio, cuando constituye la contraprestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien. En operaciones bancarias ésta representada por la tasa activa para las colocaciones y la tasa pasiva para las captaciones que cobran o pagan las instituciones financieras.

Cualquier exceso sobre la tasa máxima da lugar a la devolución o a la imputación de capital a voluntad del deudor. Cuando el interés compensatorio es diferente a la tasa de interés inicialmente pactada, influye en el costo anual del crédito (TEA).

Tasa de interés moratorio, cuando tiene por finalidad indemnizar la mora en el pago. No cumplimiento de una deuda en el plazo estipulado. Se cobra cuando ha sido acordada. Aplicable al saldo de la deuda correspondiente al capital. Cuando la devolución del préstamo se hace en cuotas, el cobro del interés moratorio procede únicamente sobre el saldo de capital de las cuotas vencidas y no pagadas.

Tasa de interés legal, La tasa de interés legal en moneda nacional y extranjera, es fijada,  según el Código Civil  por el BCRP,  cuando deba pagarse la tasa de interés compensatoria y/o moratoria no acordadas, en este caso, el prestatario abonará la tasa de interés legal efectiva publicado diariamente por la SBS.

Comisiones. Al recibir un préstamo (aparte de los intereses) podemos tener otros gastos. Pueden pedirnos certificaciones registrales, suscripción de una póliza de seguros, gastos de fedatario público (notario) y de registro (de la propiedad o mercantil). La entidad financiera puede también imponernos otras cantidades, como son gastos de estudios, comisiones de apertura,  mantenimiento o pago anticipado, etc. Algunas serán fijas, otras variables (con o sin mínimo), unas las pagaremos al principio del período; otras a lo largo de la vida del préstamo; y habrá otras al final. Estos gastos elevan el costo (TEA) del préstamo por encima del tipo de interés pactado.

Por esta razón para la evaluación de productos financieros similares no basta simplemente la comparación por el tipo de interés ofertado, sino que hay que tener en cuenta otras herramientas de evaluación ya estudiados en capítulos anteriores y que aplicaremos en la solución de los ejemplos y ejercicios que se presenten en este libro.

Comisión bancaria. Retribución que el banco percibe por sus servicios. La comisión puede ser por la renovación del documento y/o por los gastos y servicios que ocasiona la gestión de cobranza (protesto).

Portes. Cantidad que se paga por transportar una cosa.

Protesto. Diligencia que se realiza cuando no es pagada una letra de cambio, cheque o pagaré. Se practica a fin de no perjudicar los derechos y acciones de las personas que intervienen en el giro o en los endoses. Esta acción demanda, como es obvio, gastos notariales.

Amortización. Reembolso del principal de los préstamos recibidos, de acuerdo al calendario de vencimiento del contrato, mediante cuotas periódicas generalmente iguales. Amortizar un préstamo es determinar las diferentes combinaciones de equivalencia del dinero a través del tiempo.

La deuda pendiente crece en el interior de cada uno de los períodos en los que está dividida la operación, para disminuir al final de los mismos como consecuencia de la entrega del término amortizativo.

Es decir, en cada uno de los períodos se producen dos movimientos de signo contrario, uno de crecimiento como consecuencia de los intereses generados y otro de disminución por la amortización del principal.

La suma de estos dos movimientos proporciona la variación total de la deuda pendiente al final del período. Existirá disminución de la obligación si la amortización es mayor que los intereses generados en el período e incremento en caso contrario. Cuando el valor de la amortización coincida con la cuota  de interés no habrá variación de la deuda.

Pago (C). Es el efectuado en cada período, que no puede variar durante la anualidad. Generalmente el pago incluye el capital y el interés, no contiene aranceles, impuestos, seguros u otros gastos, que si viene reflejado en la tabla de amortización (estado de cuenta) que la institución financiera remite a sus clientes.

 

5.3. Descuento Bancario

Descuento, es el proceso de deducir la tasa de interés a  un  capital determinado para encontrar el valor presente de ese capital cuando el mismo es pagable a futuro.

Es necesario conocer cuánto recibiremos al solicitar un préstamo. También debemos conocer cuánto pagaremos en la fecha de liquidación o el pago de una parte de la deuda, son pocas las veces que los pagos de una obligación son efectuadas en la fecha de vencimiento. De acuerdo a los días transcurridos, el Banco en forma adicional, cobra otros gastos como los intereses compensatorios, intereses moratorios, portes e inclusive distintos tipos de comisiones, así como gastos notariales cuando el documento es protestado. Por otro lado, como en la mayoría de casos los pagos de las obligaciones son parciales, aparecen los intereses adicionales por la renovación del documento.

El diagrama explicativo muestra los costos adicionales en los que incurrimos al no honrar el pago de una obligación a su vencimiento.

Normalmente, los empresarios piensan que llegado el vencimiento de un documento (pagaré, letra), cuentan con 8 días de gracia adicionales para su pago. Esto no es cierto. En todo caso sería el banco el que tiene hasta 8 días para protestar el documento pudiendo hacerlo antes del plazo establecido. Sin embargo, debemos tener en cuenta que un plazo adicional de 8 días, significa nuevos costos por concepto de comisiones, gastos notariales o porque el interés compensatorio se incrementa en relación al interés inicialmente acordado (tasa activa) que repercute en el costo financiero del crédito.

El protesto del documento puede tener lugar en cualquiera de los ocho días siguientes después del vencimiento de la letra.

Si sólo  amortizamos  parte de la deuda,  deberemos pagar además de los gastos ya mencionados, intereses adelantados o vencidos, según sea el caso, por la renovación del documento.

 

5.4. Tipos de préstamos

Existen hasta cuatro clasificaciones basados en:

 

5.4.1. En el tipo de interés asociado al préstamo

Distinguimos tres tipos de préstamos:

  • De interés fijo. El tipo de interés permanece fijo durante la vida del préstamo. En este caso, el cliente tiene la cuota constante y su cálculo dependerá del plazo que escoja.
  • De interés variable. Está referenciado a un índice que viene predeterminado en el contrato, con plazo determinado (normalmente un año) y revisable periódicamente (la revisión más general es la anual). Debido a esto, la cuota varía por cada revisión.
  • De interés mixto. Mezcla de los dos anteriores. Definido como préstamo a tipo variable con período fijo inicial superior a 1 año.

 

5.4.2. En el concepto de carencia o diferimiento

Distinguimos dos clases de préstamos diferidos:

  • Préstamos sin carencia. Los más comunes. En ellos el prestatario empieza a pagar inmediatamente después de recibir el préstamo y su cuota es dividido entre intereses y amortización.
  • Préstamo con carencia. Aquellos en los que el prestatario paga sólo intereses o no paga nada al inicio del préstamo (generalmente dos años). El primer caso, paga sólo intereses y en segundo no paga capital ni intereses durante el período de gracia.

 

5.4.3.  En las diferentes modalidades de cuota

Distinguimos cuatro clases de préstamos:

  • De cuota constante. Los más comunes. Aplicados a los préstamos a tipo fijo. La composición de la cuota es la suma de intereses y capital amortizado. Estas dos partidas evolucionan inversamente, es decir, la evolución de los intereses dentro de la cuota es decreciente mientras que la amortización es creciente.
  • De cuota fija. Término utilizado para los préstamos a tipo fijo, referenciados a índices en los cuales el prestatario paga una cantidad fija periódicamente (cuota fija) independientemente de la evolución de los tipos de interés.
  • En este tipo de préstamos, la duración no es fija, es variable; es decir, la fecha de amortización del préstamo es desconocida, (si los tipos de interés suben, el préstamo es en más tiempo y viceversa). Los intereses dentro de la cuota son decrecientes y la amortización creciente.
  • De cuota creciente. En este caso la cuota aumenta un porcentaje anual previamente establecido. Los pagos aumentan con el tiempo, siendo las primeras cuotas pequeñas. Debemos considerar que la cantidad total de intereses pagados al finalizar el préstamo son mayores. La cuota es la suma de amortización e intereses. Al pagar una pequeña cuota al principio, sólo estamos amortizando los intereses del préstamo. La ventaja es el pago de cuotas pequeñas al principio, liberando en éste momento de mayores gastos al prestatario.
  • De cuota decreciente. Contraria a la anterior. Aquí, las cuotas son mayores al principio del préstamo, pagando menos con el paso del tiempo. La forma de hacerlo es pagar siempre la misma cantidad de capital,  para que  los intereses aplicados sobre el capital pendiente sean cada vez menores. Al tener una cantidad fija por amortización y otra decreciente por intereses.  El efecto es que tenemos una cuota decreciente.

 

5.4.4. En la diferente periodicidad de la cuota

En función del pago de la cuota distinguimos varios tipos:

  • Mensuales (la más común en los préstamos personales)
  • Trimestrales (poco usada)
  • Semestrales (raramente usada)
  • Anuales (Aplicable para proyectos de desarrollo)

 

6.Modalidad de pago de las deudas

Como acabamos de ver en el numeral anterior, los tipos de préstamos son varios. Según las condiciones (a interés simple o compuesto) la estructura de pago varía.  Puede ser  un sólo pago o en cuotas.  Unos pagos son mayores o constantes en los primeros o últimos períodos.

Reiteramos, los créditos consideran opcionalmente plazos de gracia (carencia), en los cuales no amortiza el préstamo, pudiendo sí consignar desembolso de intereses (pago de intereses generados en el período). Cuando la condición del préstamo es pago con interés compuesto y no considera desembolso de intereses generados, éstos capitalizan. Por lo general existen hasta cinco sistemas de pago de préstamos, estos son:

6.1. Flat,

6.2. En un sólo pago (Método americano),

6.3. En cuotas constantes (Método francés),

6.4. En cuotas decrecientes (sistema alemán),

6.5. En cuotas crecientes.

 

6.1. Sistema de pago Flat

«Sistema de pago con aplicación del interés simple»

El interés generado en este sistema de pagos es calculado únicamente sobre el principal. Los intereses causados de un período a otro no ganan intereses. Por esta razón, el valor de los intereses es constante. En este sistema de pago, distinguimos tres casos particulares:

  1. A) Préstamo con amortización única al vencimiento (Método americano simple).

La característica de este tipo de préstamos es:

  1. a) Única amortización de capital al vencimiento por el total del préstamo.
  2. b) En las demás cuotas periódicas tan sólo pagan los intereses del período.
  3. B) Pago flat en un sólo pago final

El principal y los intereses son pagados al final en un sólo pago.

  1. C) Préstamo con amortización de capital constante

En este tipo de préstamos la amortización de capital es constante en todas las cuotas. También y a efectos de simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés es constante durante toda la operación, aunque este requisito no es necesario. Calculamos fácilmente el importe de la amortización de capital constante. Basta con dividir el importe del préstamo por el número de períodos.

 

EJEMPLO 179  (Ejemplo para la aplicación de los cinco sistemas de pago)

Un pequeño empresario en expansión, requiere capital de trabajo para ampliar la capacidad de producción y acude a una EDPYME, gestionando un préstamo por UM 70,000, para su liquidación en un sólo pago o en cinco años al 22% anual. Solucione el ejemplo aplicando los tres casos del sistema flat  (A, B y C)  y calcule el costo global del préstamo:

Solución:

VA = 70,000;     n = 5;    i = 22% flat;    I = ?;     VF = ?

  1. Método americano simple:

Calculo del monto a pagar:

[8] Interés por período I1…5        = 70,000*0.22                     =  UM  15,400

Pago final período 5                       = 70,000 + 15,400             =  UM  85,400

 

  1. B) Pago flat en un sólo pago:

[5]  Pago total VF              = 70,000[1+(0.22*5)] = UM   147,000

  1. C) En cinco cuotas de amortización constante flat:

Amortización = 70,000 / 5 = UM  14,000/ anuales

I1…5      = 70,000*0.22                                     =             UM   15,400 anuales

C1…5     = 14,000 + 15,400                              =             UM   29,400 anuales

 

Calculando el costo del préstamo, tenemos:

VA = 70,000;   VF = 147,000;   iT = j

[7]  I = 147,000 – 70,000 = UM  77,000                       j = 22%*5 = 110%

Finalmente, a una tasa anual de 22%, en las tres formas de pago la tasa de interés global del préstamo es 110%.

 

6.2. Sistema de pago en  un solo pago futuro

«Sistema de pago con aplicación del interés compuesto»

Este sistema de pagos está referido a los conceptos y  fórmulas del 1º y 2º Factores Financieros de las Seis Llaves Maestras de las Matemáticas Financieras, tratado ampliamente en el Capítulo 3.

Con el ejemplo 179, consideremos el préstamo de UM 70,000 para su liquidación al final del quinto año, en una sola armada con  un interés del 22% anual. Determinar el monto a pagar transcurrido los cinco años y calcule el costo global del préstamo.

Solución:

VA = 70,000;     n = 5;    i = 0.22%;     VF = ?

Obtenemos directamente aplicando la fórmula [19]

 

[19]  VF = 70,000 (1 + 0.22)5 =  UM  189,190 pago total final

Finalmente, calculamos el costo del préstamo:

 

Respuesta: A la tasa anual de 22%, el costo global del préstamo es de 170.27%.

 

6.3. Sistema de pago en  cuotas constantes (Método francés)

«Pagos iguales efectuados periódicamente del interés compuesto y  del principal».

Caracterizado por cuotas de pago constante a lo largo de la vida del préstamo. También  considera que el tipo de interés es único durante toda la operación. El pago de la deuda es en cuotas constantes o uniformes. La cuota a pagar durante los plazos establecidos es constante hasta su liquidación. El interés es al rebatir, es decir, aplicado sobre los saldos existentes de la deuda en un período. Es muy utilizado por los bancos y tiendas que venden al crédito. Son ejemplos de este Sistema de pago los préstamos personales del sistema bancario, las ventas a crédito de los supermercados, ect..

Ahora, consideremos el préstamo de UM 70,000 para su pago en cinco cuotas anuales y uniformes, a la tasa de interés del 22% anual. Determinar el valor de cada cuota y elabore el cronograma del plan de pagos.

Solución:

VA = 70,000;     n = 5;    i = 0.22%;    C = ?

1º Calculamos el valor de cada cuota (Pago) con la fórmula [24], la función PAGO o Buscar Objetivo:

 

2º Elaboramos el CRONOGRAMA DE LA DEUDA:

 

6.4.  Sistema de pago en cuotas decrecientes (Sistema Alemán)

«Sistema de pago con aplicación del interés compuesto»

Como su nombre lo indica, las cuotas disminuyen período a período, la amortización es constante hasta la extinción de la deuda. El interés compuesto y una parte del principal son abonados periódicamente. Para la solución de casos con este sistema de pagos, conocida la amortización, necesariamente operamos con las tablas de amortización. No hay fórmulas para determinar las cuotas. El interés aplicado a los saldos es al rebatir.

Continuando con el ejemplo 179, consideremos ahora, el préstamo de UM  70,000 para su pago en cinco cuotas anuales decrecientes, a la tasa de interés del 22% anual. Determinar el valor de la amortización anual cuota y elabore el cronograma del plan de pagos.

Solución:

VA = 70,000;     n = 5;    i = 0.22%

Como la amortización es constante:

Amortización    = 70,000 / 5 = UM   14,000/ anuales

Interés                  = Saldo Inicial*0.22

PAGO                   = INTERES + AMORTIZACION

 

6.5.  Sistema de pago en cuotas crecientes

«Sistema de pago con aplicación del interés compuesto»

Esta forma de pago, por sus características resulta cómodo al deudor, por cuanto las primeras cuotas son menores. Como utiliza el factor que está en función al número de cuotas por pagar, la amortización y las cuotas aumentan en forma gradual. Aplicando la progresión aritmética, calculamos el factor por período de capitalización que multiplicado por el valor del préstamo nos proporcionará el monto de cada amortización.

Siempre con el ejemplo 179, consideremos ahora, el préstamo de UM 70,000 para su pago en cinco cuotas anuales crecientes, a la tasa de interés del 22% anual. Determinar el valor de cada cuota y elaborara el cronograma del plan de pagos.

Solución:

VA = 70,000;     n = 5;    i = 0.22%

1º Aplicando la progresión aritmética, tenemos:

FACTOR Año 1 1/15                     = 0.0667

FACTOR Año 2 2/15                     = 0.1333, así sucesivamente

Interés                                                 = Saldo Inicial*0.22

AMORTIZACION                            = PRESTAMO*FACTOR

PAGO                                                 = AMORTIZACION + INTERES

 

7.Formas de Pago de los Préstamos

Aplicando cualquiera de estos cinco sistemas de pago existen hasta tres formas de pago de los préstamos:

7.1. Préstamos con período de carencia o período de gracia

7.2. Préstamos con distintos tipos de interés

7.3. Préstamos con intereses anticipados

De los cinco sistemas de pago de los préstamos analizados, el denominado sistema de pagos en cuotas constantes o método de amortización francés, es la modalidad de amortización de uso común por la mayoría de  entidades financieras y tiendas de venta al crédito.

 

7.1. Préstamo con período de carencia

En algunos préstamos consideran un período inicial de carencia (período de gracia), con el que el prestatario dispone del plazo para que la inversión asociada al crédito, genere los ingresos para afrontar la amortización del mismo.

El período de carencia puede ser de dos tipos:

  1. a) Carencia en la amortización del capital, haciendo frente al pago de intereses.
  2. b) Carencia total. El prestatario no realiza ningún pago durante este período.
  3. a) Carencia en la amortización del capital

Durante el período de carencia, el prestatario paga cuotas constantes equivalentes a la liquidación de los intereses periódicos:

[8]  I = VA*i*n

 

(Siendo VA el importe del capital inicial del préstamo)

Finalizado este período, el préstamo discurre normalmente (del tipo que sea: cuota constante, amortización al vencimiento, etc.).

 

Ejemplo 180  (Carencia en la amortización del capital)

Un empresario tiene una obligación por UM 40,000 para su liquidación en 3 años, con pagos trimestrales con el 52% de interés anual. Considera 4 trimestres de carencia durante el cual sólo  amortizan los intereses. Transcurrido este período, la deuda es pagada normalmente con cuotas constantes.

Solución:   [n = 4AÑOS*3MESES = 12TRIMESTRES – 4 (TRIMESTRES CARENCIA)]   i = 0.52 (TASA NOMINAL)/4TRIMESTRES ANUALES

VA = 40,000;   n = 8;   i = 0.13;   I1…4 = ?

1º Calculamos los intereses pagados durante el período de carencia.

[8]  I1…4 = 40,000*0.13*1 = UM  5,200

 

2º Transcurrido los 4 trimestres, la obligación es pagada en cuotas constantes: n = 8 TRIMESTRES

 

3º Finalmente, elaboramos LA TABLA DE AMORTIZACION DE LA DEUDA:

PAGO                   : FORMULA 22, en nuestro caso la función buscar objetivo de Excel.

 

  1. b) Carencia total

En este caso, el empresario no realiza ningún pago durante el período de carencia, razón por la cual el importe del principal aumenta, debido a la acumulación de los intereses. Con el ejemplo 180,  suponiendo que hay carencia total de pago, en el lapso establecido.

Solución:

VA = 40,000;   n = 8;   i = 0.13;   I1…4 = ?

 

1º Con la fórmula [19] o la función VF de Excel, calculamos el importe (futuro) del principal al finalizar los 4 trimestres de carencia:

[19]  VF = 40,000(1 + 0.13)4 = UM 65,218.94

 

2º Durante los 8 trimestres que van desde el final del período de carencia hasta el vencimiento del préstamo los pagos son en cuotas trimestrales constantes; para el cálculo de la cuota  aplicamos la fórmula [24] o la función PAGO de Excel y la respectiva tabla de amortización de la operación:

 

7.2. Préstamo con distintos tipos de interés

Usualmente existen préstamos con distintos tipos de interés. Por ejemplo: 5% durante los tres primeros años, 8% durante el 4º y 5º año y 10% durante los dos últimos años. Suelen ser operaciones a largo plazo, en las que el tipo de interés va aumentando a medida que el plazo sube. Aparte de esta particularidad, estos préstamos pueden seguir el desarrollo de algunos de los sistemas de pago que hemos analizado (cuotas periódicas constantes, amortización de principal constante, etc.).

  1. a) Préstamos con distintos tipos de interés y cuotas constantes

Supongamos que existen 2 tramos: uno que va del inicio hasta el período «n», con un tipo de interés «i1», y un segundo tramo que va desde el período n+1 hasta el vencimiento, con un tipo de interés «i2». Entonces:

La cuota uniforme de cada tramo,  la calculamos  con la expresión [25] o la función PAGO, en la que operamos con la tasa de interés del tramo y con  n igual al total de períodos pendientes de pago. Al saldo final, deducida las cuotas del tramo calculado, aplicamos nuevamente la notación [25] para el cálculo del pago del siguiente tramo y así sucesivamente. Los valores que obtenemos con este método son cuotas constantes de un  tramo a otro. Método válido para más de dos cambios en la tasa de interés con cuotas uniformes.

Para la solución de casos de este tipo, en el presente libro,  aplicaremos este método por ser más sencillo y adecuado a casos de la vida real, por cuanto los intereses varían en el tiempo y difícilmente pueden ser pronosticados.

 

Ejemplo 181 (Cuota constante con distintos tipos de interés)

Calcular la cuota periódica constante y el cuadro de amortización de un préstamo de UM 40,000, a 6 años, con el 8% de interés durante los 3 primeros años y del 12% durante los 3 restantes. Calcular la cuota constante, con los dos tipos de interés.

Solución:

VA = 40,000;   n = 6;   i = 0.08;   C = ?

Cuotas del primer tramo:

 

Cuotas del segundo tramo:

Para el cálculo de la cuota de este tramo, elaboramos la tabla de amortización del préstamo y con el saldo pendiente de pago (VA) determinamos la cuota del segundo tramo:

 

VA (SALDO PENDIENTE) = 22,298.63;   n = 3;   i = 0.12;   C = ?

 

  1. b) Préstamos con distintos tipos de interés y devolución de principal constante

Con este tipo de préstamos amortizamos el mismo capital en todos los períodos, con independencia del tipo de interés vigente en ese momento.

 

Ejemplo 182  (Amortización constante y distintos tipos de interés)

Determinar la amortización de capital constante y elaborar el cuadro de amortización de un préstamo de UM 30,000, a 8 años, con la tasa de interés del 32% durante los 3 primeros años y del 48% durante los 5 restantes:

Solución:

VA = 30,000;   n = 3 y 5;   i1 = 0.32;   i2 = 0.48;

 

1º El monto constante de la amortización de capital lo calculamos de la siguiente forma:

 

2º Elaboramos la tabla de amortización de la operación financiera, método recomendable para la solución de casos de este tipo:

PAGO                   = INTERES + AMORTIZACION

 

7.3.  Préstamos con intereses anticipados

Es decir, los intereses son pagados por anticipado, al inicio de cada período.  El monto efectivo inicial que recibe el prestatario será el importe del préstamo menos los intereses del primero. Estos préstamos pueden ofrecer diversas modalidades, entre las que destacamos:

  1. a) Cuota constante
  2. b) Amortización de capital constante

 

  1. a) Cuota constante

Como vimos en el numeral 6.3. Plan de pago en  cuotas constantes (Método francés), esta cuota es calculada  con la fórmula [25] o la función PAGO.

 

EJEMPLO 183  (Préstamo con intereses anticipados y cuota  constante )

Si obtenemos un préstamo por UM 6,000 a la tasa de interés de 48% anual, compuesto semestralmente, con pagos de intereses anticipados y 5 pagos semestrales iguales. Determinar el importe de cada cuota y elaborar la tabla de amortización.

Solución: [i = 0.48/2 SEMESTRES]

VA = 6,000;   n = 5;   i = 0.24;    C = ?

1º Aplicando la fórmula (25) o la función PAGO, calculamos la cuota semestral a pagar por el préstamo:

 

2º Elaboramos la tabla de amortización:

 

El prestatario recibe en el momento inicial UM 4,560 (UM 6,000 del préstamo, menos los intereses de UM 1,440 del primer año). La cuota periódica de UM 2,185.49 anual, es calculada  con el  valor del préstamo y  pagada al  final de cada  período, compuesta por la  amortización de capital de dicho período, más los intereses del período anterior. La última cuota no paga intereses, por cuanto los intereses de esta cuota fueron pagadas el mes anterior.

  1. b) Amortización de capital constante

En este tipo de préstamos la amortización de capital es constante en cada período. La cuota periódica disminuye debido a que los intereses van disminuyendo.

Con el ejemplo 183, tenemos:

Solución:

VA = 6,000;   n = 5;   i = 0.24;    C = ?

AMORTIZACION = 6,000 / 5 = UM 1,200

AMORTIZACION            =             6,000/5

PAGO                                   =             INTERES + AMORTIZACION

ALDO FINAL                    =             SALDO INICIAL

 

8.Préstamos hipotecarios y préstamos personales

8.1.  Préstamos hipotecarios

Los préstamos hipotecarios son otorgados  para financiar la adquisición de viviendas. Son préstamos a largo plazo, entre 15 y 30 años, con tasas que suelen ser variables. Las cuotas de amortización son constantes en el período que va entre cada revisión de tipos. Cuando solicitamos un préstamo es necesario conocer el valor de la cuota mensual. Esta dependerá del monto del préstamo, su duración y  tipo de interés aplicado. El cálculo del importe de la cuota mensual es posible hacerlo asumiendo que la tasa no cambiará durante el tiempo que dure la operación.

Gastos asociados a la contratación de préstamos hipotecarios:

El hecho de solicitar un préstamo hipotecario lleva implícito una serie de comisiones y gastos asociados.

Gastos de corretaje. Para dar validez a las escrituras, es necesaria la firma de un corredor de comercio.  Por tanto, incurriremos en el gasto que supone pagar la minuta del corredor.

Seguros.

Seguro de vida. El hecho de solicitar  préstamos hipotecarios lleva asociado (obligatoriamente) un seguro de vida que cubra el valor del préstamo.

Ejemplo: Es permisible confeccionar tablas que determinan el importe de la cuota mensual por cada millón UM, según el tipo y el plazo.

Solución:

VA = 1’000,000;   n = 5, 10, 15, 25, 30 años;   i = 5%, 7%, 9%, 12% y 15% anual;  C MESUAL = ?

Para calcular el importe mensual por cada millón de UM aplicamos la fórmula [25]: n = (5*12) = 60 y así sucesivamente;   i = (0.05/12) = 0.004166 y así sucesivamente o la función PAGO. Operamos la fórmula o la función con la tasa mensual:

TASA                    : i/12

Nper                     : n/12

 

El sistema de préstamos hipotecarios permite a las personas naturales obtener recursos a largo plazo para comprar, ampliar bienes inmuebles, terrenos urbanizados, casas de playa o campo, oficinas o locales comerciales

Además de la tasa de interés pactada, los bancos toman dos seguros: uno para el inmueble contra todo riesgo, cuyo costo promedio es de 0.054% y es calculada sobre el saldo del préstamo. Aplicado sobre construcciones más no terrenos. Otro seguro es el de desgravámen, su costo promedio es 0.096% si es para el  titular más el cónyuge  y de 0.054% si es sólo para el solicitante. Cabe señalar que los parámetros y métodos para trabajar el Crédito Hipotecario son los mismos que  utilizan para la elaboración de la tabla de amortización de créditos tradicionales.

Opciones:

Valor del inmueble, representa el valor de adquisición del bien, es el monto a financiar por el Banco,  fijado por acuerdo de las partes. Usualmente el banco financia el 70% u  80% de dicho valor.

Detalles. Debe especificarse del monto a financiar que porcentaje corresponde a las construcciones y cual a los terrenos, por cuanto el seguro del inmueble es aplicado únicamente sobre el valor de las construcciones. El seguro de desgravámen, sin embargo, es aplicado sobre el monto total a financiar, es decir, sobre el valor de las construcciones y el valor del terreno.

Seguro Inmueble. Es el que cubre las construcciones contra todo tipo de riesgos.

Seguro de Desgravámen.  Efectivo al fallecer el titular, el seguro permite la exoneración del pago del resto del préstamo al cónyuge del fallecido.

 

8.2. Préstamos personales

El Préstamo Personal.  Es aquel en el que el prestamista otorga fondos a ser cobrados en plazos establecidos en un contrato de préstamo, a una tasa que al día de hoy puede ser conocido (tipo fijo) o desconocido (interés variable). Estos fondos son de libre disponibilidad del prestatario. Otorgados exclusivamente contra garantías personales del solicitante. El riesgo asignado por las entidades financieras a este tipo de préstamo, es superior al de los préstamos hipotecarios, lo cual repercute indudablemente en su tasa de interés.

 

8.2.1. Tipos de Préstamos Personales    

Es la misma que la indicada en el punto 5 del presente libro.

  • 1º. Según el tipo de interés distinguimos tres clases de préstamos personales:
    1. De interés fijo
    2. De interés variable
    3. De interés mixto
  • 2º. De acuerdo al concepto de carencia distinguimos dos clases de préstamos:
    1. Préstamos personales sin carencia
    2. Préstamos personales con carencia
  • 3º. La tercera clasificación tiene su base en las diferentes modalidades de cuota:
    1. De cuota constante
    2. De cuota fija
    3. De cuota creciente
    4. De cuota decreciente
  • La cuarta clasificación tiene su base en la diferente periodicidad de la cuota. En función del pago de la cuota se pueden distinguir varios tipos:
    1. Mensuales (la más común)
    2. Trimestrales (poco usada)
    3. Semestrales (raramente usada)
    4. Anuales (Existe como opción, no es de uso común, significa fuertes desembolsos).

 

8.2.2. Características            

  1. A) Límite máximo

Para el cálculo de la financiación máxima, las entidades siguen dos criterios:

La solvencia del prestatario. La entidad recaba información sobre la situación patrimonial del prestatario, boletas de pago, ingresos, etc., para asegurarse el pago de las cuotas.

Estipulan un máximo para el producto. La entidad, a la hora de comercializar el producto, e independientemente del riesgo del usuario, establece la cantidad máxima del préstamo.

  1. B) Riesgo de crédito o impago

Como ya señalamos al inicio, estos fondos pueden ser usados para cualquier fin. Como garantía, el préstamo se sustenta en la garantía personal del prestatario. A efectos de poder cuantificar el riesgo asumido, la entidad recurre a  una gran cantidad de información; obliga al prestatario a contratar seguros (como por ejemplo, seguros de vida).

  1. C) Tipo de interés

Como especificamos en los puntos anteriores, los préstamos pueden ser a tipo de interés fijo o referenciado a un índice. Los préstamos a tipo fijo tienen expresado el mismo en el contrato y es conocido desde el inicio, mientras que los referenciados a índice sólo tienen establecido en el contrato el indicador a utilizar sobre ellos, pero su evolución es desconocida y depende  del mercado.

  1. D) Comisiones y gastos asociados

Las comisiones que detallamos a continuación son aplicables a todas las modalidades de préstamos personales:

  1. Apertura. Porcentaje sobre el total concedido. Generados para cubrir  los gastos de tramitación del préstamo. Normalmente lleva asociado una cuantía mínima.  Aplicado al inicio del préstamo y cobrado una sola vez.
  2. Estudio. Porcentaje sobre el total concedido. Generado para cubrir los gastos de estudio del préstamo. Aplicado al inicio del préstamo y cobrado una sola vez.
  3. Amortización y pagos anticipados. Aplicable únicamente sobre el capital pagado con anticipación  y  existe únicamente si el hecho es llevado a cabo. Sirve para compensar a las entidades por la pérdida de beneficios que supone el pago anticipado a voluntad del prestatario. En los préstamos variables hay un máximo legal. En cambio, en los préstamos fijos, salvo en el caso de subrogación, no existe máximo establecido, debido,  en gran parte, al mayor riesgo asociado.

 

8.3. Riesgo de interés

El riesgo depende de las características del préstamo. El préstamo a tipo fijo tiene un porcentaje de riesgo diferente a un tipo variable. Distinguimos 2 situaciones:

  1. Subida de los tipos de interés: Los préstamos de tipo variable perjudican al prestatario por el incremento de los intereses, contrariamente lo benefician los préstamos de tipo fijo, las cuotas permanecen constantes. Algunas entidades ofrecen préstamos a tipo variable con un límite máximo en el tipo de interés (a través de una cláusula que limitaría la posible pérdida al prestatario).
  2. Bajada de los tipos de interés: Es la situación inversa. Los préstamos de tipo variable benefician al prestatario por la baja de los intereses, contrariamente lo perjudican los préstamos a tipo fijo, las cuotas permanecen constantes.

Desde el punto de vista de la entidad, tiene más riesgo prestar a tipo fijo que a tipo variable, por ésta razón las entidades financieras suelen asociar comisiones más altas a estos préstamos y así traspasar la demanda de préstamos a aquellos referenciados a tipos variables. Por esa misma razón, el plazo máximo para fijos es menor que el de los variables. En los préstamos a tipo fijo, la comisión suele ser alta, para que el usuario no pague el préstamo ante cualquier bajada en los tipos de interés.

  1. Valoración de los préstamos

Significa calcular el valor actual del mismo, en cualquier momento de vigencia del crédito.  En cuanto a bonos, letras, etc. es determinar el precio de venta al cual el tenedor de la obligación estaría dispuesto a venderlo.

El valor del préstamo varía a lo largo de la vida de la operación, dependiendo fundamentalmente de su saldo vivo y del tipo de interés vigente en el mercado para operaciones similares.

La regla que  cumple es la siguiente:

  1. Si las tasas para préstamos similares son superiores, su valor será inferior al importe de su saldo vivo.
  2. Si las tasas de mercado son inferiores, su valor será superior al importe de su saldo

¿A qué responde esta relación?

Si las tasas de mercado son superiores a los del préstamo, la entidad financiera obtiene un costo de oportunidad, por cuanto podría obtener la misma cuota periódica otorgando menos dinero.

Si las tasas de mercado fueran inferiores a los del préstamo, la entidad financiera estaría obteniendo una rentabilidad más elevada que la que podría obtener concediendo  monto  similar en las nuevas condiciones de mercado.

¿Cómo calculamos el valor de los préstamos?

Actualizando al momento de la valorización todas las cuotas periódicas pendientes de vencimiento, al tipo de interés de mercado en ese momento para montos similares.

 

EJEMPLO 184 (Evaluando un préstamo MYPE)

Una MYPE obtiene un préstamo de UM 60,000 para su pago en 6 años, con tipo de interés fijo del 27% y con amortización del principal constante. La estructura del préstamo es como sigue:

Conociendo el valor del saldo al final del tercer año de UM 30,000 y sí la tasa de mercado para préstamos similares fuera en ese momento del 30% determinar:

 

  1. A) El valor actual al final del año 3 de todas las cuotas pendientes de pago:

1º Aplicando sucesivamente la fórmula [21] o la función VNA (omitiendo en este caso la sustracción del valor del préstamo):

Como vemos el valor actual del préstamo al final del año 3 es de UM 28,816.11, inferior al saldo final de la tabla (UM 30,000). Esto sucede, porque la tasa de mercado es superior al del préstamo.

  1. Considere como tasa de mercado el 18%:

Ahora el valor actual del préstamo es de UM 34,128.64, superior a su saldo vivo. Debido a que la tasa de mercado es inferior al del préstamo.

  1. C) Ahora considere como tasa de mercado el 27%:

En este caso el valor al final del tercer año del préstamo coincide con el importe de su saldo vivo,  la tasa de interés es exactamente igual al del préstamo.

EJERCICIOS DESARROLLADOS

Ejercicio 185   (Compra de Camión con pago en cuotas)

Una empresa que extrae madera de la selva amazónica compra un camión, para su pago en 10 cuotas semestrales iguales de UM 30,000 cada una a una tasa del 8% anual.

  1. a) ¿Cuánto costará el camión dentro de 5 años?
  2. b) ¿Cuánto cuesta el camión hoy?

 

Solución: (a) (i = 0.08/2 = 0.04)

C = 30,000;    i =  0.04;    n = 10;    VF = ?

1º Calculamos el valor del camión dentro de cinco años (10 semestres), aplicando indistintamente la fórmula (27) o la función PAGO:

 

Solución: (b)

C = 30,000;    i = 0.04;    n = 10;    VA = ?

2º Calculamos el valor del camión hoy, aplicando indistintamente la fórmula (24) o la función VA:

 

Respuesta:

  1. a) ¿Cuánto costará el camión dentro de 5 años?: Costará UM 360,183.21
  2. b) ¿Cuánto cuesta el camión hoy?: Al día de hoy el camión cuesta UM 243,326.87

 

Ejercicio 186  (Préstamo con distintos tipos de interés)

Un pequeño empresario accede a una línea de crédito,  pagadera en 6 cuotas uniformes, el monto es de UM 80,000 con  15% en los 2 primeros años, 18% en el 3º y 4º año y  22% en los 2 últimos años. Determinar el valor de cada cuota  por  tramos y elaborar la tabla de amortización.

Solución:

VA = 80,000;  n = 6 (2, 3 y 4, 5 y 6);   i12 = 0.15;   i3-4 = 0.18;   i5-6 = 0.22

1º Calculamos las cuotas de los dos primeros años:

VA = 80,000;   n = 6;    i = 0.15.

 

2º Con la cuota calculada, elaboramos la  TABLA DE AMORTIZACION en la que establecemos los saldos por  tramos  según tipo de interés:

Interés                                 = Saldo Inicial*i

PAGO                                   = FORMULA (25) o FUNCION PAGO

AMORTIZACION           = pago – interés

Seguidamente calculamos las cuotas del tercer, cuarto y dos últimos años, con los saldos pendientes de pago en cada caso:

VA = 60,351.25;    n = (6 – 2) = 4;   i = 0.18

 

Cuotas de los dos últimos años:

VA = 35,125.01;    n = (6 – 4) = 2;   i = 0.22

 

Respuesta:

Las cuotas para los dos primeros años es               UM 21,138.95

Las cuotas para el tercer y cuarto año es                UM 22,434.89

Las cuotas para los dos últimos años es                 UM 23,549.58

 

Ejercicio 187  (Préstamo para la compra de un automóvil)

Un pequeño empresario obtiene en préstamo UM 12,000 para comprarse un automóvil, considera la  liquidación en pagos trimestrales durante dos años. Determinar el monto que tendrá que pagar al final del octavo trimestre si paga UM  2,500 al final del primer trimestre. Asumimos una tasa de interés del 24% anual.

Solución:

VA = 12,000;    n = 8;     i = (0.24/4) = 0.06;    C1º TRIMESTRE = 2,500;      VF = ?

 

Aplicando la fórmula [19] y la función VF de Excel tenemos:

Final trimestre 1               :               VF = 12,000(1.06)1  – 2,500             =  UM   10,220.00

Final trimestre 8               :               VF = 10,220(1.06)8-1                        =   UM  15,367.10

 

Respuesta:  El monto que el empresario tiene que pagar al final del octavo trimestre, es  UM 15,367.10.

 

Ejercicio 188 (Préstamo con período de carencia o gracia)

Un préstamo de UM 70,000, a  6 años (2 de ellos de carencia o gracia) y tipo de interés fijo del  27%. Cumplido el período de carencia, el préstamo es con amortización de capital constante. Calcular las cuotas de amortización de toda la vida del préstamo, suponiendo:

  1. a) Período de carencia con pago de intereses
  2. b) Período de carencia total

Solución:

VA = 80,000;   n = 2 y 4;   i = 0.27;  AMORT. = ?;   C = ?

  1. a) Período de carencia con pago de intereses

[8]  I1 = 70,000*0.27*1  =  UM  18,900

[8]  I2 = 70,000*0.27*1  =  UM  18,900

A partir del 2º año, el préstamo tiene un desarrollo normal, con amortización de capital constante:

PAGO = Interés + Amortización

 

  1. b) Período de carencia total

Durante los dos primeros años del préstamo no  paga intereses, estos son acumulados al importe del principal. Al final de estos 2 años, el importe de los intereses acumulados al principal  asciende a UM 112,903; con este saldo en el 3º período obtenemos la Amortización.

 

Respuesta:

  1. a) La amortización con períodos de carencia y pago de intereses es UM 17,500
  2. b) La amortización con período de carencia total es UM 28,226

 

Ejercicio 189 (Anualidades Vencidas)

En un SUPERMERCADO con el cual tenemos una TARJETA DE CREDITO,  necesitamos adquirir al contado un producto que nos cuesta UM 160. Preguntamos al vendedor  ¿cuánto sería la cuota a pagar por este producto en 12 meses? Nos responde que UM 19 mensual.

 

Determinar:

  • La tasa mensual de interés y la tasa efectiva anual.
  • El FRC que aplica el SUPERMERCADO para calcular sus cuotas en 12 meses.
  • Con la tasa mensual calculada en (1) determine el FRC para 18, 24 y 36 meses y la cuota mensual de UM 160 en cada período.
  • El valor futuro de la cuota de UM 19 en 12 meses a la tasa de interés encontrada en (1).
  • Comente los criterios que utiliza el SUPERMERCADO para determinar la tasa de interés de sus créditos.

Solución: (1)

VA = 160;    C = 19;   n = 12;   i = ?

1º Calculamos la tasa mensual de interés con la función TASA:

 

2º Calculamos la TEA aplicando la fórmula (43B):

Respuesta (1):  La tasa mensual es 5.919% y la tasa efectiva anual (TEA) es 99.38%.

 

Solución: (2)

i = 0.05919;   n = 12;   FRC = ?

Aplicando el factor la fórmula (25) o la función PAGO, obtenemos el factor:

Respuesta (2): El FACTOR DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL (FRC) es 0.1187479 para 12 cuotas.

 

2º Aplicando este factor al valor contado de la venta tenemos:

160*0.1187479 = UM 19 cuota mensual

Solución: (3)

VA = -1;   i = 0.05919;   n = 18, 24 y 36;   FRC = ?

Calculamos el FRC con la función PAGO o con la fórmula [25]; en ambos casos consideramos el VA = -1:

 

Cuota en 18 meses           : 160*0.0917956 = UM 15

Cuota en 24 meses           : 160*0.0790836 = UM 13

Cuota en 36 meses           : 160*0.0677359 = UM 11

 

Solución: (4)

C = 19;   n = 12;   i = 0.05919;     VF = ?

Calculamos el VF, con la fórmula [27] o con la función VF de Excel:

 

Con la fórmula [1], calculamos la tasa global del crédito en 12 meses:

,  Resultado que coincide con el encontrado en (1).

 

Respuesta (4): El valor futuro de una cuota de UM 19 en 12 meses es UM 319.02.

Respuesta (5):  La tasa que cobra el SUPERMERCADO es la tasa de interés corriente (ic), es decir aquella tasa que considera el efecto de la inflación (F), el efecto del riesgo (ip) y el interés real (i).

 

Ejercicio 190 (Anualidades pospagables y prepagables)

Una entidad bancaria desea implementar créditos al sector informal. Para ello, la Gerencia aprueba como plan piloto inicial el programa de financiamiento con plazos de hasta 12 meses. La TEA  cobrarda por el financiamiento es del 24%.

Pedimos:

  1. Una Tabla de Factores que nos permitan calcular el pago periódico mensual vencido que debería efectuar cada cliente por los distintos montos solicitados. Considere una columna adicional que muestre a cuánto ascendería el pago periódico, en el hipotético caso que el préstamo sea por UM 20,000 a pagarse en 6, 9  y 12 meses.
  2. Calcular en (a) el VA y VF considerando pagos por adelantado.
  3. Suponga que el prestatario es cliente del Banco que pide UM  20,000 en préstamo a pagar al final de cada mes durante 12 meses; luego de haber efectuado 4 pagos, tuvo problemas de liquidez que le impidieron pagar las cuotas 5 y 6. Si el prestatario quisiera ponerse al día con el Banco y  pagar en el séptimo mes las cuotas atrasadas, más la que corresponde a ese mes, ¿Cuánto tendría que pagar?. Suponemos que no existen gastos adicionales por mora.
  4. Si el prestatario tiene la posibilidad de pagar el saldo de su deuda, luego de haber abonado las 8 primeras ¿cuánto es lo que debería pagar al Banco, teniendo en cuenta que el  préstamo solicitado fue por UM 20,000 y  que había acordado redimirlo en 12 meses?

Solución: (a) Pagos vencidos

VA = 20,000;   TEA = 0.24 anual;   n = 6, 9 y 12;    i = ?;    C  = ?

1º Como los pagos periódicos que debemos determinar serán mensuales, necesitamos encontrar la tasa mensual, a partir de la TEA del 24%, aplicando directamente la fórmula [43A]:

2º Asumiendo un VA = 1, aplicamos sucesivamente la fórmula (25) o la función PAGO y  calculamos el factor  FRC  y  la cuota periódica para el número de pagos deseado:

 

Solución: (b) Anualidades prepagables

VA = 20,000;     i = 0.0180875;     C = ?

A partir de (a) calculamos el VA y VF con pagos anticipados aplicando sucesivamente la fórmula (24) y (27) multiplicando los resultados por (1 + i) o la función VA y VF con tipo =1:

Como vimos en el capítulo 3, el VA o VF es mayor cuando los pagos son anticipados, ya que el VA o VF de las anualidades prepagables es el resultado de actualizar o capitalizar con un periódo más las pospagables.

 

Solución: (c) Anualidades pospagables

VA = 20,000;   C = 1,869.05;   n = 12;   i = 0.0180875;   VF5, 6 y 7= ?

1º En la tabla de la solución (a) vemos que a un préstamo de UM 20,000 a pagar en 12 meses, le corresponde pagos periódico de UM 1,869.05, al interés mensual de 0.01880875. Con estos datos elaboramos el cuadro siguiente:

 

2º Habiéndose el prestatario atrasado en dos cuotas,  deberá  pagar al finalizar el 7º mes (para ponerse al día) tres cuotas. No es una reestructuración de los pagos, el valor de las cuotas uniformes y  los saldos continúan invariables. Luego, procedemos a calcular el VF de las cuotas 5º, 6º y 7º, para determinar el monto que tiene que pagar al final del sétimo mes:

 

Solución: (d) Pagos vencidos

C = 1,869.05;   n = 12;   i = 0.0180875;   VA = ?

1º En la solución (a), tenemos que al préstamo de UM 20,000 a liquidar en 12 cuotas vencidas, le corresponde  pagos periódicos de UM 1,869.05,  al  0.0180875 de tasa periódica mensual. Las cuotas pendientes de pago son 4 (12-8) y debemos actualizarlas a fines del octavo mes:

Finalmente, el  prestatario deberá  pagar al Banco al finalizar el octavo mes, por las 4 cuotas pendientes la suma de UM 7,149.99, tal como mostramos en los resultados anteriores.

 

Ejercicio  191 (Anualidades pospagables)

Un pequeño empresario solicita UM 20,000 en préstamo para su pago en 12 cuotas mensuales iguales, con una TEA del 32%. Si el cliente cuando está próximo a pagar la cuarta cuota realiza un prepago por UM  4,000.  ¿A cuánto ascenderá el monto de las nuevas cuotas  para reducir únicamente el importe de las cuotas restantes y no el plazo de pago del préstamo? Considere UM 5 de portes mensuales.

Solución:

VA = 20,000;   n = 12;   TEA = 0.32;   Portes = 5;   i = ?;   C = ?

1º Como los pagos periódicos (C) que debemos determinar serán mensuales, necesitamos encontrar una tasa efectiva mensual, a partir de la TEA del 32%, utilizando la fórmula [43A]:

 

2º Con esta tasa de interés aplicando indistintamente la fórmula (25) o la función PAGO, calculamos el valor de cada una de las 12 cuotas:

 

3º Con esta cuota elaboramos el cuadro de servicio de la deuda:

En la tabla vemos que la deuda, luego de haber pagado la tercera cuota es de UM 15,508, y con el prepago de UM 4,000 queda reducido a UM 11,508.

VA = 11,508(15,508 – 4,000);   n = 8;   0.0234;   Portes = 5;   C = ?

Obviamente, las cuotas pendientes (C) serán menores. Las cuales pasamos a recalcularlas, aplicando la función financiera PAGO, también podemos calcular las cuotas con la fórmula [25]:

Finalmente, a partir del quinto mes hasta fines del mes 12  las cuotas serían  de UM 1,594.13 cada una.

Por lo general los bancos cobran adicionalmente una comisión sobre el monto pre – pago.

 

Ejercicio  192 (Descuento Bancario)

Un empresario solicita al Banco UM 80,000 contra un pagaré a 90 días. La TEA vigente en el mercado es del 22% y los intereses son cobrados por adelantado.

  1. a) Si el empresario recién paga su préstamo a los 16 días de haber transcurrido el vencimiento. ¿Cuánto pagará en total si sabemos que el interés compensatorio es del 21.5%, el interés moratorio de 4.5% y portes UM 2? Los gastos por concepto de comisiones de protesto ascienden a UM 70 y los gastos notariales a UM 20.
  2. b) Resolver el problema anterior suponiendo que el empresario depués de 16 días de vencido el préstamo, decide amortizar sólo el 40% y pagar el saldo luego de 30 días, contados desde el vencimiento inicial de la deuda. ¿Cuánto es lo que pagaría en este caso?. Los intereses son pagados por adelantado.

Solución: (a)

VA = 80,000;   n = (90/30) = 3;   TEA = 0.22;   i = ?;   D = ?

1º Para calcular la tasa del período a partir de la TEA, aplicamos la fórmula (43A):

2º Con la fórmula (20) calculamos el importe de los intereses de 3 meses, cobrados por  adelantado:

Importe a recibir hoy:     80,000 – 4,075.31 = UM 75,924.69

Es decir, que el día de hoy (período cero)  recibimos únicamente UM 75,924.69  descontado los intereses.

3º Establecemos los días de atraso en el pago, en este caso es de 16 días, para calcular los intereses moratorios e intereses compensatorios,  obviamente pagamos al final de los 16 días, el día 106; juntamente con las comisiones, gastos notariales y portes.

VA = 80,000;   n = 16;  TEAMORATORIO = 0.045;     TEACOMPENS = 0.215;

Calculamos el interés diario compensatorio y moratorio con la fórmula (43A):

Luego determinamos los importes de los intereses moratorio y compensatorio:

4º Finalmente calculamos el total a pagar a los 16 días (Consideramos los gastos por concepto de comisiones, gastos notariales y portes):

 

Respuesta: El monto que paga el día 106 es UM 80,943.99, incluye los intereses compensatorios, moratorios y portes.

 

Solución: (b) Los pasos son  los mismos de (a)

VA = (80,000 – 40%) = 48,000;   n = 30 días;   i = 0.0167/30 = 0.00046

1º A partir del día 106, calculamos los intereses por renovación (los intereses los pagamos por adelantado). Debemos tomar en cuenta los días de atraso (16 días), así como el tiempo para el siguiente pago, que  cuenta a partir de la fecha de vencimiento (90 días).

Respuesta: El día 106 paga UM  32,943.99, que incluye los intereses de los UM 48,000 a pagar a los 30 días más los intereses compensatorios, moratorios  y  portes originados por el retraso de los 16 días.

 

Comentario: Cuando los pagos los hace el  prestamista en forma regular de acuerdo al cronograma establecido, carecen de razón los intereses moratorios, compensatorios y otros gastos derivados por la morosidad en los pagos.

 

Ejercicio 193 (Descuento Bancario – Pago con retraso)

Un empresario solicita al banco UM 18,000 contra un pagaré a 30 días. Si la tasa de interés vigente en el mercado es de 24.38% anual y los intereses  son cobrados al vencimiento. Sí paga 6 días después de la fecha de vencimiento, determinar el monto deudor total.

Asuma que el interés compensatorio es 48.65% y el interés moratorio es  16.74%. Además, tenga en cuenta que sólo amortiza  UM 3,600 y que el banco cobra una comisión de renovación de UM 30 y UM 15 por concepto de portes. El prestatario conviene con su banco en pagar el saldo luego de 30 días, contados desde el vencimiento inicial de la obligación.

Solución: (a)

VA = 18,000;   n = 30 y n =6;   TEA = 0.2438;  TEAMORAT=0.1674;   TEACOMP= 0.4865

1º Calculamos los intereses periódicos vigente en el mercado, moratorio y compensatorio con la fórmula:

 

2º Calculamos los intereses del período por renovación y compensatorios; con la fórmula [20].

 

3º Con los resultados obtenidos y los datos del problema referente al abono, a gastos y comisiones, elaboramos el flujo  bancario.

Debemos considerar los días de atraso (6 días) así como el tiempo a efectuarse el siguiente pago, el cual lo contaremos a partir de la fecha de vencimiento (30 días) en este caso.

Respuesta: Al sexto día de la fecha de vencimiento el empresario, paga al banco la suma de UM 3,791.37, por concepto de amortización del principal (UM 3,600), intereses, gastos y comisiones. El préstamo final es: 18,000 – 3,600 = 14,400.

 

Ejercicio 194 (Pandero de trabajadores)

Los empleados de una prestigiosa empresa, deciden juntarse, con la finalidad de acumular  UM 10,000 cada uno para afrontar gastos de la casa, vacaciones, etc. Todos acuerdan aportar una cantidad fija, durante 12 meses abonado a fines de mes, percibiendo por estos depósitos el 1.8% de interés mensual, que paga el Banco por depósitos en ahorro.

  1. a) Elabore una Tabla que indique el pago periódico que habría que efectuar en función del número de cuotas en que desee pagar su pandero hasta que haya acumulado los UM 10,000 requeridos.
  2. b) Con la misma información del caso, elabore una Tabla de Factores, suponiendo que los pagos periódicos son por adelantado.

Solución: (a) Anualidades pospagables

VF = 10,000;   n = 12;   i = 0.018;   C = ?

1º Calculamos el valor de cada cuota una de las 12 cuotas, con la fórmula [29] o la función PAGO:

 

2º Luego, elaboramos la TABLA que nos proporciona el valor de las cuotas para diferentes períodos:

 

Solución: (b) Anualidades prepagables

VF = 10,000;   n = 12;   Tipo = 1;   i = 0.018;   VF = ?

 

Como vemos, si alguien quisiera pagar su pandero en 12 meses tendría que abonar UM 740.69 mensuales por adelantado.

 

Ejercicio 195 (Refinanciamiento de préstamo)

El dueño de una empresa solicita un préstamo para la  adquisición de activos fijos por UM 150,000 para pagarlo en 24 cuotas iguales, pactándose una TEA del 18.5%. Supongamos que después de haber pagado 10 cuotas, la empresa solicita el refinanciamiento de la deuda vigente; el prestamista acepta y le otorga 24 meses manteniendo la misma tasa de interés.

Solución:

VA = 150,000;   TEA = 0.185;   n = 24;   C = ?

1º A partir de la TEA, calculamos la tasa del período:

 

2º Elaboramos el CRONOGRAMA DE PAGOS, la cuota la calculamos indistintamente con la fórmula [25],  la función PAGO o con la herramienta Buscar Objetivo, como es nuestro caso:

Como el saldo después de pagar la décima cuota es UM 93,614.22  y el plazo para pagar las 14 cuotas restantes son ampliadas a 24. A partir de éste saldo, para recalcularlas procedemos en forma similar a la metodología utilizada en la elaboración de la tabla anterior.

 

Generalmente, los créditos bancarios,  están  gravados con una comisión porcentual sobre el saldo de la deuda, como condición para aceptar  el refinanciamiento.  En muchos casos con la aprobación del refinanciamiento viene una nueva TEA.

 

Ejercicio 196 (Préstamo hipotecario)

Una persona  desea  adquirir una casa valorizada en UM  70,000,  el valor del terreno es  UM  9,000.  Para ello, solicita  un préstamo a pagar en cuotas mensuales uniformes durante 10 años, con una TEA del 10%.

Elabore la Tabla de Amortización de la hipoteca, considerando que el Banco le financiará el 75% del valor del inmueble y que, además,  pagarán dos seguros: uno para el inmueble contra todo riesgo con el costo de 0.054% (el pago del seguro del inmueble solo es por las edificaciones, más no para los terrenos); y otro seguro de desgravámen con el costo de 0.096%. Ambos son aplicados sobre el saldo del préstamo (considerar que del 75% del valor del inmueble que financia el banco (52,500), el 80% corresponde a edificaciones (42,000) y el 20% al terreno (10,500). Asuma UM 1.50 de portes por período de pago.

Solución:

VA = 70,000;   n = 120 (10*12);   TEA = 0.10;   C = ?

Valor del Inmueble                                                                                        70,000

Financiamiento bancario                                                                             52,500

Portes                                                                                                                       1.50

Datos adicionales:

80% por concepto de edificaciones                                                           42,000

20% por concepto del terreno                                                                     10,500

Seguro:

  1. Seguro inmueble 0.054%
  2. Seguro de desgravámen 0.096%

 

1º A partir de la TEA, calculamos la tasa del período:

2º Calculamos el valor de cada una de las 120 cuotas mensuales, aplicando indistintamente la fórmula (25) o la función PAGO:

3º Con los datos del caso y los últimos resultados, elaboramos la tabla de amortización de la hipoteca:

SEGURO INMUEBLE                     : Saldo Inicial*0.054%

DESGRAVAMEN                            : [(Saldo Inicial*80%)+(Saldo Inicial*20%)]*0.096%

CUOTA                                               : Fórmula [25], función PAGO o Buscar Objetivo

 

Ejercicio 197  (Pago de pagaré con retraso – Anualidades vencidas)

El  13 de mayo del 2002, Juan Pérez, empresario pide UM 8,922 contra un pagaré a 30 días. La tasa de interés vigente en el mercado es de  19.82% anual  pagados al vencimiento. Si el empresario debía liquidar el pagaré el 13 de junio del 2002 y recién se acerca el 22 de junio del 2002. ¿Cuánto tendrá que pagar en total? Considere que el interés compensatorio es  28.67% y el interés moratorio es  9.7%. El banco cobra UM 5 por concepto de portes; cuando hay retraso en el pago  UM 20 por  Gastos Notariales  y  UM 42.25 por Comisión de Protesto.

Solución: 

VA = 8,922;   n = 30 días;   TEA = 0.1982;  TEACOMPENSATORIO = 0.2867; TEAMORATORIO = 0.097;   GASTOS = 67.25;   PAGO TOTAL = ?

1º Determinamos la tasa efectiva del período, del interés moratorio y compensatorio, con la fórmula [24] o la función TASA.NOMINAL:

TASA DIARIA = TASA.NOMINAL/360

 

2º Calculamos los intereses: del período por renovación, y compensatorios; con la fórmula [20]:

3º Finalmente determinamos el costo de esta deuda y  para ello es necesario identificar la temporalidad (presente o futuro) de las cantidades (el pagaré está a VA, los intereses, gastos y el principal son pagados a los 39 días, luego están a VF):

VA = 8,922;   VF = 9,201.78;   i = ?

3.1. Con la  fórmula [1], calculamos la tasa efectiva de los 39 días:

3.2. Luego, calculamos la tasa  diaria:

3.3. A partir de esta tasa,  calculamos la TEA de la operación:

(43B)  TEA = (1 + 0.000793061)360 – 1 = 0.3303

Respuesta: En total el empresario, tiene que pagar al final de los 39 días UM 9,201.78. La TEA del pagaré es 33.03%.

 

Ejercicio 198  (Leasing – Pago con cuotas uniformes)

La empresa Constructora ABC S.A.C., solicita  un leasing para comprar una máquina perforadora, cuyo valor es de UM  295,000 (incluido el IGV). La empresa desea pagar el préstamo mensualmente durante 3 años. La tasa efectiva anual (TEA) pactada es del 10%. El costo del seguro del bien es 4% simple anual,  tomado durante la vigencia del préstamo. Los portes son pagos periódicos y ascienden a UM 0.50. Elaborar una tabla que muestre el cronograma de pagos.

Solución:

Valor del bien                                                                                                  : 295,000

n (3 años x 12 meses)                                                                                     : 36 meses

TEA                                                                                                                     : 10%

Seguro sobre valor del bien                                                                        : 4% simple anual

Portes (pagados periódicamente)                                                              : 0.50

IGV (periódicamente contra el valor de c/cuota)                                : 18%

 

1º Calculamos el monto a financiar incluido el valor del seguro del bien, con la fórmula [5] del interés simple:

[5]  VF = 295,000(1 + 0.04*3) = UM  330,400

 

2º Con la fórmula (43A) calculamos la tasa del período, a partir de la TEA:

 

3º Con esta tasa calculamos el valor de cada una de las 36 cuotas, aplicando la fórmula [24] o la función PAGO:

 

4º Con los datos del caso, los resultados y la cuota calculada, elaboramos la tabla de amortización de la operación financiera:

 

Nota: Las cuotas del leasing  han sido calculadas en función al precio de venta del bien (que incluye el IGV) y que, además, sobre este importe  pagará nuevamente el IGV tal como lo muestra la tabla de amortización. Este doble pago de IGV, encarece el costo de los créditos leasing para personas naturales, debido a que para éstos, el pago de IGV no es un crédito tributario, en consecuencia no es deducible.

 

Ejercicio 199 (Aportes constantes a una Asociación)

Sí mensualmente descuentan a 250,000 maestros nombrados UM 15 para colocarlo en una institución previsional. ¿Cuánto tendrá cada asociado al cabo de 30 años?  Si:  La institución  reserva el 20% de cada cuota para gastos de operación y capitaliza el saldo de la cuota al 4.8% anual (la banca comercial actualmente paga en promedio el 9% a los ahorristas); comparativamente ¿cuánto tendría cada persona en el mismo plazo y  tiempo en un banco?

Solución:

C = 12 (15-20%);    n = (30*12) = 360;    i = (0.048/12) = 0.04;    VF = ?

Indistintamente, aplicando la fórmula (27) o la función VF  tenemos:

El fondo que le corresponde a cada asociado después de 30 años de aportes es UM 9,626, a la tasa anual de 4.8%.

Ahora, si este dinero se ahorrara en un banco en las mismas condiciones compulsivas (S/. 15 mensual) de la asociación a una tasa del  9% anual, después de 30 años de abonar UM 15 mensuales tendríamos un fondo de UM  27,461.15  por efecto de la capitalización de los depósitos, como vemos al aplicar la función VF de Excel.

 

En la realidad, pocas son las asociaciones que capitalizan los fondos que aportan los afiliados  siguiendo patrones  técnicos. Los fondos por lo general parasitan en los bancos a cambio de exiguos intereses pactados adrede o son festinados por sus directivos.

Los asociados recibirían montos superiores a los que pagan los bancos en ahorros (por prestarle nuestro dinero).  Los directivos deberían  preocuparse en mantener estos fondos en movimiento y paralelo a ello institucionalizar las estrategias financieras, estableciendo mecanismos de participación de los asociados en los niveles de control y fiscalización de los fondos.

 

Ejercicio 200  (Crédito de Consumo del Sistema Bancario)

El Gerente de una Compañía, conviene con una entidad financiera para la colocación de computadores a través del sistema de Crédito de Consumo. El Banco proporciona a la empresa los factores 0.1895216 para 6 meses y  0.1053193 para 12 meses. El costo del dinero en este sistema es de 3.8% mensual.

Pedimos:

  • Determinar el grupo de problemas al que pertenece este caso;
  • Calcular los factores para 18, 24, 36 y 48 meses;
  • Si una computadora cuesta al contado UM 1,800, ¿cual será el valor de cada cuota en 6, 12, 18, 24, 36 y 48 meses en el crédito de consumo?.

 

Solución: (1)

Este tipo de casos corresponde al 3º Grupo de Problemas, Valor Actual de un Pago en Cuotas: «… cuando la inversión es de un solo importe y lo recuperamos en varios pagos iguales». Factor de Recuperación del Capital (FRC) de la fórmula [25].

 

Solución: (2)

n = 18, 24, 36 y 48;     i = 0.038;     FRC = ?

Aplicando sucesivamente, el factor FRC calculamos los factores para 18, 24, 36 y 48 meses.

 

Solución: (3)

VA = 1,800,   n = 6…48;    i = 0.038;     C6 … 48 = ?

Aplicando la fórmula (25) o la función financiera PAGO, obtenemos directamente cada una de las cuotas según los plazos de pago:

 

Ejercicio 201   (Préstamo para compra de sistema de cómputo)

El dueño de un negocio en expansión de venta de ropa y zapatos para damas al crédito, está considerando actualizar sus crecientes cuentas por cobrar con la adquisición de un sistema de informática. Alternativamente puede comprar un sistema básico ahora por UM 7,000 y actualizarlo al final del primer año por UM 1,500, nuevamente al final del año 3 por UM 3,000 o uno de mayor potencia con los mismos servicios que el primero y  por el mismo tiempo. Si el propietario está en condiciones de invertir al 23% anual ¿cuánto podría pagar ahora por el sistema de mayor potencia?.

Solución:

VA0= 7,000;  VF1= 1,500;   VF2= 3,000;   n= 1 y 3;   i= 0.23;   VAT = ?

Para calcular el valor actual total ( VAT ) aplicamos sucesivamente la fórmula [21] o la función VA a través de la siguiente ecuación:

VAT = VA0 +VA1 + VA2

 

Respuesta: El propietario del negocio podría pagar hoy por el sistema de cómputo de mayor  potencia  UM  9,831.66. Obviamente si llevamos al futuro (final del año 3) los UM 7,000 y los UM 1,500 tenemos que el costo futuro del equipo básico es:

El equipo básico costaría UM 18,295.42, a una tasa de 23% anual, en 3 años.

 

Ejercicio 202  (Préstamo a través de la Banca Fondista)

Tenemos la siguiente información sobre los préstamos a tasas preferenciales de interés que otorga la Banco Fondista a empresas o individuos con capacidad de proveer una Garantía Bancaria:

Información básica:

  • Proveer una Garantía Bancaria a favor del prestatario y endosarla a favor del Banco Fondista válido por 10 años y un día o en su defecto automáticamente renovable anualmente durante el plazo del contrato del préstamo. Para cubrir esta garantía es posible presentar: Certificados de Depósito CD´s, entre otros.
  • Los montos mínimos de los préstamos son de UM 10 millones y el máximo sin límite.
  • Uso de los fondos: No hay restricciones específicas, pero tienen preferencia proyectos de desarrollo y de impacto social o ambiental en países en desarrollo como América
  • Plazos: 10 años.

 

Modalidad de Pago:

  1. Comisiones, gastos legales y otros: 8% de Flat por una sola vez, descontados al desembolso de los fondos.
  2. Período de gracia, máximo 2 años, durante el cual son pagados los intereses a fines de cada año sin amortización de capital.
  3. Amortización del capital, comienza al final  del  3º año.
  4. Intereses preferenciales, 4% anual al rebatir.

Observaciones: La tasa de interés puede variar en caso que el solicitante  demorase en presentar la Garantía Bancaria. Lo cual será comunicado por el Banco Fondista al prestatario.

Para el desembolso de los fondos  utilizan  un Banco Intermediario donde el prestatario obtendrá una cuenta corriente, la selección del Banco Intermediario es a criterio del Banco Fondista.

Veamos en la práctica: Una persona, empresa o institución con capacidad de acceder a una línea de crédito a través del Banco Fondista en las condiciones indicadas, solicita UM 10 millones en préstamo.

Evaluar el costo del préstamo. Elaborar el cronograma de pagos y el flujo de caja, considerando comisiones, gastos legales y otros de 8% flat y el 15% de comisión anual contra el saldo al rebatir,  por emisión de la garantía  bancaria.

Solución

VA = 10’000,000;   i = 0.04;   i = 0.08 Flat;   n = 10;    C = ?

1º Calculamos el monto anual a pagar al final del  3º año.  Este cálculo es con el monto total del préstamo con  n= 8, por cuanto en los dos primeros años solo cancelamos los intereses del 4% anual, permaneciendo invariable el monto del préstamo:

 

2º Elaboramos el CRONOGRAMA DEL SERVICIO DE LA DEUDA Y EL FLUJO DE CAJA:

Puesto que al momento del desembolso el  Banco Fondista cobra por concepto de comisiones, gastos legales y otros el  8% Flat, tenemos:

 

Préstamo a 10 años                                                                        UM        10’000,000

(-) 8% Comisión Flat                                                                                          800,000

Cantidad recibida en el año 0                                                     UM           9’200,000

Comisión por emisión de garantía                                                          1.50% anual

 

Elaboramos el FLUJO DE CAJA DE LA OPERACION

Respuesta: El costo promedio anual del préstamo incluido los gastos emergentes de la operación financiera es de 7.07%.

 

Ejercicio  203 (Problema  con saldo de préstamo)

Tenemos  el caso de una persona que recibió un préstamo bancario y que su saldo al 15.01.01 fue  de UM  7,361.13, que al parecer ha tenido dificultades para pagar sus cuotas mensualmente; de acuerdo a su disponibilidad, ha amortizado esta deuda de la siguiente forma:

12-Feb-01                             284.50

16-Feb-01                             290.00

19-Feb-01                             125.00   Feb-01            699.50

10-May-01                                          May-01        1,075.00

05-Jun-01                             250.00

11-Jun-01                             570.00

12-Jun-01                             200.00

14/06/2001                       250.00   Jun-01          1,270.00

16-Jul-01                              135.00

18-Jul-01                                60.00

20-Jul-01                              500.00   Jul-01               695.00

16-Jul-02                                              Jul-02            1,000.00

 

Requerimiento:

  • Determinar el saldo por pagar deducido los pagos efectuados al 16/9/02. Considere como tasa nominal anual el 17.5%.
  • Determinar el costo de la deuda al 16/9/02.

Asumimos que todos los pagos efectuados por el prestatario son a fines de mes;  transcurriendo del 15/1/01 al 16/9/02,  20 meses.

 

Solución:(1)

VA = 7,361.13;    n = 20;   j = 0.175;    i = (0.175/12) = 0.014583

Elaboramos el cuadro SERVICIO DE UNA DEUDA NO CANCELADA REGULARMENTE:

 

Con una tasa mensual de  1.4583% el saldo transcurrido 20 meses y efectuado 5 pagos es de UM 4,098.48.

 

Solución: (2)  

Finalmente, el costo de la deuda es:

El costo efectivo del préstamo es : 18.97%

 

Comentario: Desde el punto de vista del prestamista (Banco) como asumimos a la tasa de interés nominal o efectiva indicada, el saldo al 16/09/02 es diferente, pero invariable. En estas condiciones la única  posibilidad de mejorar la posición del prestatario es pedir una reconsideración de la tasa de interés para reprogramar el pago de la deuda en  tiempo prudencial. Lógicamente esta negociación se llevará a cabo a partir del saldo insoluto al 16/9/02 según el Banco.

 

Ejercicio 204  (Pago de saldo de préstamo)

Un empresario adeudaba al  30/6/2001 la suma de UM 280,000, saldo de un préstamo bancario dejado de pagar por problemas económicos. Al objeto de saldar esta obligación el deudor propone al Banco 180 cuotas durante 15 años, con una TEA de 8%. La propuesta indica, que el deudor está en condiciones de pagar 36 cuotas de UM 2,500 y 36 de UM 3,500 cada una en los primeros seis años y en los siguientes 9 años 108 cuotas constantes a la tasa indicada.

  1. Elaborar el cronograma de pagos. Determinar el valor de cada cuota después del mes 72.
  2. Calcular el valor de cada cuota mensual durante los 15 años.

 

Solución (a)

VA = 280,000;    n = 180;    TEA = 0.08;   i = ?     C = ?

1º Calculamos la tasa periódica a partir de la TEA:

 

2º Con ésta tasa elaboramos el cuadro de servicio de la deuda. Para determinar el valor de cada cuota aplicamos la fórmula [25] o la función PAGO:

VA = 175,833.96;    n = 108;    i = 0.00643;     C = ?

 

El cuadro (como en muchos de los ejercicios anteriores) es el extracto del cronograma elaborado en Excel considerando los 180 meses. Como vemos: al final del mes  72 el saldo es UM  175,833.96 con el que calculamos cada una de las 108 cuotas pendientes.  El valor de cada una de las 108 cuotas mensuales a partir del primer mes del año 9 es UM 2,263.33.

 

Solución (b)     

VA = 280,000;    n = 180;    i = 0.00643;     C = ?

Comentario: La cuota constante de UM 2,630.12 es muy cercana a la capacidad de pago propuesto  por el deudor.

 

Ejercicio 205 (Préstamo de una MYPE)

Un pequeño empresario acude a una MYPE y solicita UM 50,000 ó US$ 15,000 en préstamo para ser pagado en 24 meses y pide al funcionario de la institución que le indique los requisitos y la cuota mensual que corresponde a cada unidad monetaria.

El funcionario explica al empresario que los requisitos para acceder al préstamo son:

  • Que el negocio tenga más de 6 meses de funcionamiento,
  • Que el capital sea propio,
  • Constitución de la empresa,
  • RUC del negocio,
  • Libro de Actas,
  • Ficha de Inscripción en los Registros Públicos,
  • Croquis de ubicación del negocio y
  • DNI del representante legal de la empresa.

Asimismo, le indica que la cuota que tiene que pagar mensualmente es UM 3,449.35  y  US $ 815.70  respectivamente.

 

Requerimos:

  1. Determinar la tasa periódica (mensual) y la TEA que la MYPE cobra por sus préstamos en moneda nacional y extranjera.
  2. Determine el FRC para cada uno de los préstamos.
  3. Considerando dos períodos de carencia o gracia en la amortización del principal (sólo pagamos los intereses) elabore la tabla de amortización.

 

Solución: (a)

VA1 = 50,000;   VA2 = 15,000;   n = 24;   C1 = 3,449.35;   C2 = 815.7

1º Calculamos la tasa mensual del préstamo en moneda nacional y extranjera:

2º A partir de las tasas mensuales encontradas, calculamos la tasa nominal y la TEA:

(44A)  j MONEDA NACIONAL                 = 0.045*12                           = 0.54

(44A)  jMONEDA EXTRABJERA               = 0.0225*12                         = 0.27

 

Solución: (b)

VA1 = 1;    VA2 = 1;    n = 24;    i1 = 0.045;    i2 = 0.025;    FRC1 = ?;    FRC2 = ?

1º Calculamos el FRC:

 

Así tenemos:

MN                       = 50,000*0.0689870 = UM              3,449.35 mensual

MEXT.                  = 15,000*0.0543802 = UM                  815.70 mensual

 

Solución: (c)  Préstamo en Moneda Nacional

VA1 = 50,000;   n = 22;    i1 = 0.045;    C1 = ?

 

Solución: (d)  Préstamo en Moneda Extranjera

VA2 = 15,000;   n = 22;  i2 = 0.0225;  C2 = ?

 

Para el cálculo de la cuota mensual hemos aplicado la opción Buscar Objetivo, resultado que coincide con los de la fórmula [25] y el de la función PAGO.

 

Ejercicio 206 (Préstamos de una Caja Municipal)

Una Caja Municipal ofrece créditos rápidos con pagos periódicos diarios. Exige como requisito ser puntual y haber pagado al menos cinco créditos. Los montos, plazos y cuotas diarias expresamos en el siguiente cuadro:

 

Requerimiento:

Calcular el costo real nominal y efectivo de éstos préstamos. Comente los resultados.

Solución:

1º Para el cálculo de la tasa diaria y nominal de éstos préstamos, debemos  aplicar sucesivamente la función TASA; tomaremos como referencial de análisis el monto de UM  500 de préstamo pagaderos diariamente en 30, 45 y 60:

 

2º A partir de la tasa diaria, calculamos la TEA del préstamo de UM 500, para ello aplicamos indistintamente la fórmula (43B) o la función INT.EFECTIVO:

 

Respuesta:  Con el sistema de pagos diarios, la Caja Municipal está cobrando a los micro empresarios 510.71% de Tasa Efectiva Anual para  préstamos de UM 500, con pagos diarios durante 30 días.

Evalué el préstamo con los otros montos.

 

Ejercicio 207  (Implementación de  Consultorio Médico con préstamo  personal)

Tenemos el caso de un médico recién egresado, que tiene planificado implementar su consultorio de atención a pacientes, con los siguientes costos:

Activo Fijo (mobiliario y equipos)                                                            4,320.00

Capital de trabajo (Para tres meses):

Local dos meses de garantía                                                                       1,000.00

Alquiler de local                                            500.00                                   1,500.00

Secretaria                                                            550.00                                   1,650.00

Varios                                                                  150.00                                   450.00

Teléfono con línea económica                       85.00     255.00                 4,855.00

TOTAL A. FIJO Y CAP. DE TRABAJO                                               9,175.00

 

CANT.  Mobiliario y Equipos                                    Precio Unitario

1            Camilla para examen                                     UM       200.00

1            Soporte para suero                                                           80.00

1            Lámpara cuello de ganso                                              110.00

1            Coche de curaciones                                                       140.00

1            Mesa de mayo                                                                  150.00

1            Peldaño de un paso                                                          40.00

1            Balanza con tallímetro de barras                               550.00

1            Taburete giratorio con espaldar                                 130.00

1            Silla para toma de muestra de sangre                      240.00

1            Biombo de dos cuerpos                                                  110.00

1            Camilla ginecológica                                                      300.00

1            Balanza pedriática                                                           240.00

1            Megatocoscopio de cuerpo                                           130.00

1            Tacho con pedal                                                               180.00

1             Balde quirúrgico rodante                           190.00

1             Porta lavatorio                                                 180.00

1             Vitrina de dos cuerpos                                 330.00

1             Escritorio metálico                                         240.00

1             Escritorio junio secretaria                          180.00

1             Sillón                                                                  150.00

1             Silla secretaria                                                 120.00

6             Sillas plásticas para pacientes                      90.00

2             Sillas para visita                                             240.00

                TOTAL                                               UM   4,320.00

 

El médico requiere los UM 9,175.00 para implementar y poner en marcha su consultorio. Para el financiamiento cuenta con varias líneas de crédito  para este tipo de proyectos, veremos tres prototipos:

 

LINEA PRESTAMOS PERSONALES:

  1. Un Banco otorga préstamos hasta en 24 meses, con una tasa de 3.8% mensual.
  2. Un Banco dirigido a las MYPES otorga préstamos en 12 meses con el 4% mensual.
  3. Una MYPE otorga préstamos en 12 meses con el 4.5% mensual.

 

Requisitos:

Por lo general y con algunas variantes, estas entidades solicitan:

  1. Acreditar ingreso conyugal bruto mínimo de UM 400.00 o más según el
  2. Solicitud de crédito debidamente llenada y firmada
  3. Copia del DNI del titular y cónyuge
  4. Copia del recibo de teléfono fijo

 

Sustento de Ingresos:

 

Dependientes

2 últimas boletas de pago

 

Independientes

Copia del formulario de pago de impuestos por honorarios, ventas o rentas de los últimos 3 meses, declaración jurada y copia del RUC. Si tiene ingresos de cuarta categoría y la empresa retiene los impuestos, adjuntar certificado de retención de 4ta. Categoría del año en curso.

 

Determinar:

  1. El valor de cada una de las 12 cuotas a pagar mensualmente en cada institución financiera.
  2. La tasa nominal y la TEA de cada uno de los créditos
  3. Calcular la cantidad de pacientes que el médico tiene que atender en forma mensual y diaria los primeros 90 días y los nueve meses posteriores.

 

Considere los precios por consultas de UM 10 y  UM  20 y un mes de 25 días. A partir del cuarto mes adicione al pago de la cuota los gastos normales del mes UM  1,285.

Solución: (1)

VA = 9,175;     n = 12;     i = 0.038, 0.04, 0.045;     C = ?

1º            Para determinar el valor de cada una de las cuotas, aplicamos                                                    indistintamente la fórmula (25) o la función PAGO:

 

Solución: (2)

n = 12;   i = 0.038, 0.04, 0.045;   j = ?;   TEA = ?

2º Calculamos las tasas nominales y TEA de cada institución aplicando sucesivamente la función INT.EFECTIVO:

 

3º Calculamos la cantidad de pacientes por mes y día que tenemos que                        atender:

 

La cantidad de pacientes mensuales y diarios para atención, lo obtenemos dividiendo el valor de la cuota entre el precio (UM 10 ó 20), y este resultado lo dividimos entre 25 y nos dá la cantidad de pacientes por día.

A partir del cuarto mes debemos sumar a la cuota mensual los gastos corrientes del mes = UM 1,285.

 

Ejercicio 208 (Compra de Activo Fijo con préstamo para negocios)

Los propietarios de un policlínico necesitan adquirir  equipos valorizado en UM 60,000  para ello disponen de tres propuestas:

PRESTAMOS PARA NEGOCIOS: (Capital de trabajo y Activo Fijo)

  1. Un banco tradicional otorga préstamos hasta en 36 meses, con el 21% mensual. Para créditos mayores a  UM 10,000 el banco exige garantía  inmobiliaria o efectiva.
  2. Un banco para las MYPES otorga préstamos hasta en 36 meses con el  14% mensual.
  3. Una MYPE otorga préstamos hasta en 36 meses con el 4% mensual.

Determinar:

  1. El valor de las 12 cuotas a pagar mensualmente en cada institución
  2. La tasa nominal y efectiva de los créditos (costo del dinero).

Solución: (1)

VA = 60,000;   n = 36;   i = 0.0221, 0.0314, 0.04;   C = ?

 

1º Las cuotas mensuales a pagar lo calculamos bien con la fórmula (25) o la función PAGO:

 

Solución: (2)

n = 36;   i = 0.0221, 0.0314, 0.04;   C = ?;   TEA = ?

2º Calculamos las tasas nominales y TEA de cada institución aplicando sucesivamente la función INT.EFECTIVO:

 

Respuesta: Por el costo del dinero, no obstante las mayores exigencias conviene el préstamo de la Banca Comercial, tiene un costo de 29.99% efectivo anual.

 

Ejercicio 209 (Tarjeta de Crédito Versus Préstamo Personal)

Un médico desea comprar una computadora Pentium IV – IBM, que al contado cuesta UM 769.00. El supermercado con el que el médico tiene una tarjeta de crédito, le ofrece al crédito en 12 cuotas de UM 89.80 mensual y el Banco le propone el préstamo en 12 meses con una tasa de interés del 2.8% mensual. Determine lo más conveniente en términos de costo de la operación.

Solución:

VA = 769;   n = 12;    C = 89.80;     i = ?

 

1º Calculamos la tasa de interés de la tarjeta de crédito, para ello aplicamos la función TASA, que nos proporciona la tasa mensual:

Con esta tasa calculamos la TEA de la tarjeta de crédito:

 

2º Calculamos la cuota mensual y la TEA del préstamo bancario:

VA = 769;   n = 12;   i = 0.028;   C = ?

Respuesta: Indudablemente, ante los resultados obtenidos, conviene el préstamo bancario, arroja una menor cuota mensual y el 39.29% de costo efectivo anual  frente al costo de la Tarfjeta de Crédito de 92.73%.

 

Ejercicio 210: (MYPE Préstamo bancario para capital de trabajo)

Un pequeño empresario (ubicado en un distrito popular de alta densidad poblacional) recurre al Banco que ofrece créditos para capital de trabajo a las pequeñas empresas y solicita  S/. 20,000 en préstamo. El empresario cumple con los requisitos, pero según INFOCORP mantiene obligaciones pendientes como garante, por lo cual el Banco le rebaja el préstamo a  UM 15,000 para su pago en 9 cuotas de fin de mes. El Banco en la publicidad impresa que distribuye indica que sus tasas en MN son de 2.53% mensual.

Determine el costo real del préstamo.

Solución:

VA = 15,000;   n = 9;   i = 0.0253;   TEA = ?;   C = ?

1º Calculamos la cuota mensual a pagar y el costo efectivo del préstamo, con los datos de la publicidad del Banco:

Después del abono de los S/. 15,000 en su cuenta corriente, el cliente recibe del banco el siguiente cronograma de pagos:

 

Los pagos netos mensuales según el Banco son S/. 2,004.00 en promedio.

Este cronograma lo comparamos con el elaborado por nosotros con los datos publicitados por el banco, incluyendo los portes y el seguro de desgravámen:

La cuota a pagar según nuestros cálculos es S/. 1,884.52 mensual, debiendo sumar a esta cuota  seguro y  portes.

El Banco calcula la cuota a pagar con una tasa periódica global que incluye seguro y portes. Siendo el costo real del préstamo el siguiente:

VA = 15,000;    n = 9;    C = 2,004;    i = ?

Tasa mensual TIR y TEA:

Respuesta:

El costo efectivo anual publicitado por el Banco es 39.96%

El costo efectivo anual real del préstamo bancario es 56.99%

 

Ejercicio 211  (MYPE propuesta de inversión)   

Un pequeño empresario recibe la oferta para colocar su dinero en los siguientes instrumentos bancarios de «Cash Management»:

El empresario dispone para esta operación de UM 225,000 y decide colocarlos en una proporción de UM 15,000, UM 30,000, UM 45,000 y así sucesivamente hasta agotar el total. El empresario desea saber cuál será su utilidad al final del primer año.

Solución:

1º Uniformizamos las tasas de interés, para ello aplicamos las fórmulas de equivalencias de tasas, que operan sólo con tasas periódicas:

 

iaFondo Mutuo = 0.0058;   ia Multi-inversión= 0.0086;   iv = ?

 

2º Invertimos los UM 225,000 en la proporción indicada,  de menor a mayor, para ello ordenamos las tas de menor a mayor. Cada monto de inversión varía en UM 15,000 de un instrumento a  otro:

 

3º  Para obtener el valor de fin de año aplicamos indistintamente la fórmula [19] o la función financiera VF de Excel. Todas las tasas de interés están expresadas como  tasas  vencidas:

 

4º  Para el cálculo de la ganancia a fines del primer año, elaboramos el cuadro, en el que sustraemos la inversión del  valor futuro y obtenemos la ganancia por producto financiero y la ganancia total al  final del  primer año. Para ello aplicamos la fórmula del rédito:

 

Respuesta: Finalmente la ganancia global del inversionista al final de año (FNA) es de UM  8,304.24  ó  3.69% sobre su inversión global. Estos resultados consideran el valor del dinero en el tiempo. El rendimiento de 3.69%  es la tasa global promedio de la inversión en un año. Los rendimientos por producto están expresados en el cuadro.

 

Ejercicio 212  (MYPE buscando la mejor alternativa de financiamiento)

Un pequeño empresario (conocedor de las matemáticas financieras), desea  adquirir con financiamiento una red con 30 terminales para el negocio de cabinas de internet, cuyo costo es de UM 20,000. Para esta operación cuenta con varias propuestas y solicita otra a su  banco. El banco le alcanza la siguiente oferta:

  1. 30% de inicial. Financiamiento a 48 meses, con 2 meses de gracia (en los dos primeros los abonos son solo intereses y  amortiza en las 46 restantes), a una tasa de 2.6% mensual  vencido, más 1.4% de comisión de desembolso por única vez y 0.5% adicional  mensual por seguros contra todo riesgo.  Esta propuesta la compara con otras tres: de dos bancos y un proveedor:
  2. BANCO A: 35% de inicial, con 48 cuotas iguales de UM 450, coincidiendo el pago de la primera cuota con el  día del desembolso.
  3. BANCO B: 25% de inicial, con un balance de compensación (retención que es devuelto al pago de la última cuota) de 6% sobre lo desembolsado, una tasa de interés de  12% anual adelantada y  plazo de 48
  4. COMPU S.A.: le ofrece el financiamiento con 20% de inicial, 3 meses de gracia, financiamiento a 48 meses (los 3 primeros son de gracia y 45 para amortizar) pagando 45 letras mensuales vencidas de   UM

Deseamos saber,  cuál es la TEA de cada operación y cuál resulta la mejor alternativa.

 

Solución (1): Según su  banco

VA = 14,000 (20,000 – 30% CI);    n = (48 -2) = 46;    i = 0.026;    C = ?

1º Calculamos la cuota mensual con la fórmula [25] o la opción BUSCAR OBJETIVO, a partir del tercer período.

 

2º Calculamos el costo efectivo del préstamo.

 

La TIR representa la tasa periódica del préstamo; siendo la tasa efectiva anual de la obligación:

El costo efectivo anual de su Banco es 45.59%.

Solución (2): Según BANCO A, pagos anticipados

VA = 13,000 (14,000 – 35% CI);   n = 48;   C = 450;    i = ?

1º Calculamos la tasa de interés del préstamo, aplicando la función TASA de Excel:

 

2º Elaboramos el cuadro de AMORTIZACIÓN DE LA DEUDA:

 

Como la primera cuota es pagada al momento del desembolso del préstamo y en el mes 48 no existe pago alguno. La cuota está compuesta por el interés y la amortización. El costo efectivo del préstamo del Banco A es:

El costo efectivo anual del Banco A es 3136%.

Solución (3): Según BANCO B, pagos vencidos

VA = 15,000(20,000 – 25% CI);   n = 45;   i = 0.01(0.12/12);    C = ?

 

1º Calculamos el valor de cada una de las cuotas:

2º Elaboramos la tabla de amortización de la deuda:

3º Elaboramos el flujo de caja:

 

El cliente recibe en el momento [0] inicial UM  15,000  menos los intereses del primer mes y menos la retención del 4%, que le es reembolsado al pago de la última cuota.  Esta información es pertinente para el cálculo del costo real de la deuda.  La cuota periódica de UM 395.01 mensual, es calculada con el valor nominal del préstamo y  seguimos pagando al  final de cada vencimiento. Esta cuota está formada por la amortización de capital de dicho plazo, más los intereses del período anterior. La última cuota no paga intereses, los intereses de esta cuota fueron pagados en el mes anterior.

4º Calculamos la TEA, del préstamo:

El costo efectivo del préstamo del Banco B, es de 14.30% anual

 

Solución (4): Según COMPU S.A.

VA = 16,000(20,000 – 20% CI);   n = 45 (-3);   C = 510;   i = ?

1º Calculamos la tasa periódica del préstamo, aplicando la función TASA:

 

Luego, elaboramos la Tabla de Amortización de la operación, aplicando los procedimientos ya conocidos:

 

El costo efectivo del préstamo del Banco A es:

 

El costo efectivo de COMPU S.A. es de 22.19% anual

 

CUADRO COMPARATIVO DE  COSTO EFECTIVO

 

Respuesta: A simple vista del cuadro comparativo la mejor decisión sería comprar a través del Banco B, es el que tiene el menor costo efectivo anual.

 

Ejercicio 213  (Financiamiento para asociación de gráficos)        

Los asociados de una unidad de producción gráfica, requieren financiamiento para la adquisición de una impresora offset de dos cuerpos y una guillotina trilateral. Requerimos elaborar los esquemas de pago para el financiamiento de todos los equipos, por ello consideramos:

  1. La aplicación de los sistemas de pago: de cuotas constantes (método francés) y  amortizaciones iguales con intereses al rebatir.
  2. Aplique la tasa de interés anual vencida y anual adelantada para ambos casos.
  3. La tasa de interés anual adelantada es igual a  30%.
  4. Considerar el plazo de 5 años (60 meses)
  5. El monto a financiar representa el 70% del costo total de los equipos, que totaliza UM  200,000.

 

Describa:

Cuál de los esquemas de pago conviene  a los asociados.

 

Solución:

VA = 140,000;   ia = 0.025 (0.30/12);   n = 60;   iv = ?

 

Con la fórmula de equivalencias de tasas, convertimos la tasa anticipada en tasa vencida:

 

1A)        CRONOGRAMA DE PAGO EN CUOTAS CONSTANTES CON INTERESES VENCIDOS AL REBATIR.

1B)         CRONOGRAMA DE PAGOS CON AMORTIZACIONES IGUALES CON INTERESES VENCIDOS AL REBATIR:

 

2A)        CRONOGRAMA DE PAGOS EN  CUOTAS CONSTANTES CON  INTERESES                                                  ADELANTADOS AL REBATIR:

 

2B)         CRONOGRAMA DE PAGOS CON AMORTIZACIONES IGUALES CON  INTERESES                                   ADELANTADOS AL REBATIR:

 

El cliente recibe en el momento inicial: el préstamo menos los intereses del primer mes.

Calculando la TEA de cada forma de pago:

ia = 0.025;   iv = 0.0256;   n = 60;   TEA = ?

 

Respuesta: Recomendamos asumir el préstamo en el sistema de pago en cuotas constantes con intereses vencidos al rebatir (1A). El costo efectivo del préstamo es menor.

 

Bibliografía

  1. Administración Financiera, Van Horne James C., Prentice Hall, México
  2. Administración Financiera de Empresas, Weston y Brigham, Interamericana, México
  3. Administración Financiera Internacional, 6ta. Edición, Edit. Thomson Edit. Jeff Madura
  4. Cálculo Con Aplicaciones a la Administración, Economía y Biología, Sullivan Mizrahi, UTEHA, México
  5. Casos en Administración de negocios, ESAN, Mc Graw Hill, México
  6. Criterios de Evaluación de Proyectos, Sapag Chain Nassir, Mc Graw Hill,     España
  7. Compendio de Matemáticas Financieras en la Evaluación de Proyectos, Ratios Financieros y Aritmética de la Mercadotecnia., César Aching G., 1º Edición CjA Ediciones, Lima – Perú
  8. Curso de Matemáticas Financieras, Aula Fácil.com
  9. Diccionario de Economía y Finanzas, Carlos Sabino Editorial Panapo, Caracas 1991.
  10. Enciclopedia Encarta 2004, Microsoft Corporation
  11. Evaluación de Proyectos, Baca Urbina Gabriel, Mc Graw Hill, Colombia
  12. Evaluación estratégica de proyectos de inversión, Kafka Kiener Folke, Universidad del Pacífico, Lima – Perú
  13. Facilidades Financieras de Excel, Gutiérrez Carmona Jairo, Universidad Externado, Colombia
  14. Fundamentos Matemáticos y Cálculo Financiero, Márquez Yévenes Jorge W., Universidad de Concepción, Bolivia
  15. Guía Completa de Microsoft Excel 2000, Dodge M. Y Craig Stinson, Mc Graw Hill, México
  16. Guía informativa sobre Negocios en el Perú, Pricewaterhouse Coopers en Perú, 2002
  17. Ingeniería Económica, Blank y Tarquin, Mc Graw Hill, Colombia
  18. Ingeniería Económica, Taylor A. George, Limusa, México
  19. Introducción al riesgo país, Santiago J. Alvarez, webmaster_alvarez@yahoo.com
  20. La tasa de interés y sus principales determinantes, Richard Roca, Universidad Nacional Mayor de San Marcos
  21. Las Matemáticas Financieras en el Campo de los Negocios, César Aching G., Prociencia y Cultura S.A., Lima – Perú
  22. Lecturas: Gerencia Financiera I y II, ESAN – PADE Administración
  23. Lecturas: Métodos Cuantitativos, ESAN- PADE Mercadotecnia
  24. Macroeconomía, Parkin Michael, Addison-Wesley Iberoamericana, USA.
  25. Manual de Matemáticas Financieras, Moore J.H. UTEHA, México
  26. Matemáticas Financieras, Ayres, Jr. Frank. Mc Graw Hill, México
  27. Matemáticas para Directivos de Empresa y Economistas, Lyman C. Peck, Pirámide, Madrid
  28. Serie de Matemáticas para la Dirección de Negocios (Tomo II) Springer, Herlihy, Beggs, UTEHA, México
  29. Texto modelo sobre problemas sociales, económicos y ambientales. Programa de Educación para el Desarrollo del Instituto del Banco Mundial

 

URLs Consultados:

http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/fin/finbasaplij.htm

TALLER DE FINANZAS BÁSICAS APLICADAS

http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/fin/no4/matfras.htm

PIPE

http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/22/cauetio.htm

EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN: ANÁLISIS MATEMÁTICO Y FINANCIERO DE PROYECTOS (I, II, III, IV y V)

http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/no%205/interesalinteres.htm

HAY QUE PONERLE MUCHO INTERÉS AL INTERÉS

http://www.monografias.com/

VARIOS

http://www.google.com/custom?sitesearch=gestiopolis.com&q=MATEMATICAS+FINANCIERAS&domains=gestiopolis.com&hl=es&cof=GALT%3A%230066CC%3BGL%3A1%3BDIV%3A%23FF9900%3BVLC%3A336633%3BAH%3Acenter%3BBGC%3AFFFFFF%3BLBGC%3A999999%3BALC%3A000000%3BLC%3A000000%3BT%3A0066CC%3BGFNT%3A666666%3BGIMP%3A666666%3BFORID%3A1%3B&oe=ISO-8859-1&ie=ISO-8859-1&forid=1&client=pub-2753881743271989

VARIOS

Referencias URL

[URL 1] Decisiones de inversión (CEJA, 4ª ed. 2004)

[URL 2] http://www.antroposmoderno.com/antro-articulo.php?id_articulo=441 TRANSFORMACIÓN DE LA MERCANCIA EN DINERO (Teoría del Valor de MARX)

[URL 3] http://www.gestiopolis.com/Canales4/eco/dinemo.htm DINERO, MONEDA Y FINANZAS (La ley del valor de Marx)

[URL 4] EL DINERO Y LA POLÍTICA MONETARIA

[URL 5] PREGUNTAS FRECUENTES

[URL 6] MANUAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS

[URL 7] CALIFICACION DE RIESGO PAIS

[URL 8] http://www.monografias.com/trabajos13/ripa/ripa.shtml

RIESGO PAÍS, Santiago J. Álvarez

[URL 9] http://www.gestiopolis.com/canales5/fin/espefina.htm

http://www.monografias.com/trabajos25/especulacion-financiera/especulacion-financiera.shtml

ESPECULACION FINANCIERA Y DESARROLLO ECONOMICO

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Aching Guzmán César. (2006, abril 6). Sistema financiero, mercado de capitales y préstamos. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/sistema-financiero-mercado-de-capitales-y-prestamos/
Aching Guzmán, César. "Sistema financiero, mercado de capitales y préstamos". GestioPolis. 6 abril 2006. Web. <https://www.gestiopolis.com/sistema-financiero-mercado-de-capitales-y-prestamos/>.
Aching Guzmán, César. "Sistema financiero, mercado de capitales y préstamos". GestioPolis. abril 6, 2006. Consultado el 13 de Septiembre de 2019. https://www.gestiopolis.com/sistema-financiero-mercado-de-capitales-y-prestamos/.
Aching Guzmán, César. Sistema financiero, mercado de capitales y préstamos [en línea]. <https://www.gestiopolis.com/sistema-financiero-mercado-de-capitales-y-prestamos/> [Citado el 13 de Septiembre de 2019].
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