Matemáticas financieras, técnicas financieras cuantitativas

  • Finanzas
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Rodolfo Enrique Sosa Gómez 1
MATEMATICAS
MATEMATICAS
FINANCIERAS
FINANCIERAS
TECNICAS FINANCIERAS CUANTITATIVAS
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
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MATEMATICAS
MATEMATICAS
FINANCIERAS
FINANCIERAS
Las Matemáticas Financieras o Ingeniería
Económica tienen como objetivo
fundamental el estudio y análisis de todas
aquellas operaciones y planteamientos en
los cuales intervienen las magnitudes de:
Capital, Interés, Tiempo y Tasa.
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MATEMATICAS
MATEMATICAS
FINANCIERAS
FINANCIERAS
La Matemática Financiera la podemos
asociar con dos símbolos es decir el de
los números (#) y el de los pesos ($), ya,
que cuando hablamos de Matemáticas
automáticamente hacemos relación con
los números; y cuando hablamos de
Finanzas lo relacionamos con el signo
pesos; de allí la asociación.
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MATEMATICAS
MATEMATICAS
FINANCIERAS
FINANCIERAS
Variables financieras:
Capital C
Tiempo t
Tasa i
Interés I
Cuota R
Monto M
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5
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
NUNCA SE DEBEN
SUMAR VALORES
EN FECHAS
DIFERENTES
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INTERES
INTERES
ES LO QUE SE
PAGA O SE
RECIBE POR
CIERTA CANTIDAD
DE DINERO
TOMADA O DADA
EN PRESTAMO
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INTERES SIMPLE
INTERES SIMPLE
Es aquel
interes que se
genera sobre
un capital que
permanece
constante en el
tiempo.
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INTERES SIMPLE
INTERES SIMPLE
Formula general de la tasa de interés:
i = I / C
Si condicionamos esta formula a la
expresión de unidades de tiempo se
obtiene la siguiente ecuación:
I = i . C . t
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INTERES SIMPLE
INTERES SIMPLE
Clasificación del interés simple:
Interés simple comercial en forma
ordinaria
Interés simple comercial en forma exacta
Interés simple exacto en forma comercial
Interes simple exacto en forma ordinaria
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INTERES SIMPLE
INTERES SIMPLE
Clasificación del interés simple
Interés simple comercial:
360 días al año, 180 días al semestre, 90 días
al trimestre, 30 días al mes
Interés simple exacto:
365 días al año
Tabla o calculadora para las demás
equivalencias
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INTERES SIMPLE
INTERES SIMPLE
Valor futuro a interés simple:
Tambien conocido como monto. Se
deduce de la suma entre el capital y los
intereses que se generan durante
determinado período de tiempo
M = C + I
M = C + ( i . C . t ), luego por factorización
M = C ( 1 + i . t )
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INTERES SIMPLE
INTERES SIMPLE
Conceptode Equivalencia Financiera:
Es la relación de igualdad que se
establece entre una o unas deudas y uno
o unos pagos en un momento
determinado en el tiempo denominado
fecha focal (momento de la negociación)
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INTERES SIMPLE
INTERES SIMPLE
Equidad entre el tiempo y la tasa:
- La tasa y el tiempo siempre deben ir
expresadas en la misma unidad de base.
- La tasa es la que condiciona la expresión
del tiempo.
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INTERES SIMPLE
INTERES SIMPLE
Series uniformes a interés simple:
Series vencidas:
Valor presente
Valor futuro
Series anticipadas
Valor presente
Valor futuro
Valor futuro
0123456
Valor presente
Valor futuro
0 1 2 3 4 5 6
Valor presente
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Concepto:
Es el interés que se
genera sobre intereses.
Los intereses que se
generan en el primer
período de capitalización
se convierten en capirtal
para generar mas
intereses para el
segundo periódo de
capitalización y así
sucesivamente.
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Comparativo entre el interés simple y el
interés compuesto
Capital 100.000$
Tasa 10% Anual
Tiempo 5 Años
Periodo Diferencia
en años Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses
0 0 0 0 0 0
1 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000 10.000 0
2 120.000 10.000 20.000 121.000 11.000 21.000 1.000
3 130.000 10.000 30.000 133.100 12.100 33.100 3.100
4 140.000 10.000 40.000 146.410 13.310 46.410 6.410
5 150.000 10.000 50.000 161.051 14.641 61.051 11.051
Interés simple
Interés compuesto
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Periodo Int. Sim. Int. Com.
en os Monto Monto
0
0,5 105.000 104.881
1 110.000 110.000
2 120.000 121.000
3 130.000 133.100
4 140.000 146.410
5 150.000 161.051
Comparativo entre el interés simple y el
interés compuesto
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
t
M = C ( 1 + i )
FORMULA GENERAL
FORMULA GENERAL
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Capital o valor presente: VA
Tasa: TASA
Monto o valor futuro: VF
Tiempo: NPER
Cuota: PAGO
EXCEL
EXCEL
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
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23
INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fecha
focal
Regla comercial:
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fecha
focal
Regla de saldos insolutos:
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
TASAS:
TASA NOMIAL
TASA EFECTIVA
TASAS EQUIVALENTES
TASAS ANTICIPADAS
TASAS VENCIDAS
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:
Periodicidad:
Modalidad
MANUAL DE INGENIEA ECONÓMICA
CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS
SIMULADOR
Para obtener la tasa efectiva
Para obtener la tasa nominal
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:
MANUAL DE INGENIERIA ECONOMICA
TABLA DE CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS
POR: RODOLFO SOSA MEZ
J
=
i
p . m
i
E.A.
i
p =
COMPLEMENTOS:
Tasa de Intes Continua
i
E.A. ó
i
p = Tasa efectiva o periódica / 100
J
= Tasa nominal% / 100
i
E.A.=
e
- 1
m
= mero de periodos contenidos en un año
e
= 2,71828182846
NOMINAL ANTICIPADA
NOMINAL ANTICIPADA
PERIODICA
NOMINAL VENCIDA
NOMINAL VENCIDA
PERIODICA
O R I G E N
C O N O C I E N D O L A T A S A:
EFECTIVA ANUAL
D E S T I N O
P A R A O B T E N E R L A T A S A:
J
=
1 +
i
E.A.
1 / m
- 1
. m
J
=
1 +
i
E.A.
1 / m
- 1
. m
1 +
i
E.A.
1 / m
- 1
1 +
J
m
m
i
E.A. =
- 1
1 +
J
m
J
m
1 -
1 +
i
E.A. =
m
- 1
J
1 -
i
VENCIDA =
i
ANTICIPADA
i
ANTICIPADA
1 +
i
ANTICIPADA =
i
VENCIDA
i
VENCIDA
J
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INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
FORMULAS
MANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA
B = Saldo insoluto
C.P.Eq. = Costo Periódico Equivalente
FORMULAS FINANCIERAS:
Pc = Precio de contado R.B.C. = Relación Beneficio Costo
Rodolfo Sosa Gómez
Ci = Cuota inicial
T.I.R. = Tasa Interna de Retorno
C = Capital o Valor Presente R1 = Valor de la primera cuota i = Rentabilidad Real
M = Monto o Valor Futuro
g = gradiente en $ o %
I = Interés V.P.N. = Valor Presente Neto F = Inflación
i = Tasa de interés V.P.I. = Valor Presente de los Ingresos D = Devaluación
t = Tiempo: mero de períodos, pagos o cuotas
V.P.E. = Valor Presente de los Egresos E = Tasa Extrangera
m = Periódos contenidos en un año V.P.Eq. = Valor Periódico Equivalente i = Tasa Total
R = Valor del pago o cuota
I.P.Eq. = Ingreso Periódico Equivalente
INTES SIMPLE: VENTAS A PLAZOS:
2 . m . I
1 i = 2M = C + I 3I = i.C.t 4M = C ( 1 + i . t ) 5i = 6I = ( R . t ) - B 7B = Pc - Ci
B ( t + 1 ) - I ( t - 1)
SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE
2t + ti . ( t - 1 ) 2t + ti . ( t + 1 )
R . R .
2t + ti . ( t - 1 ) 2 2t + ti . ( t + 1 ) 2
8M = R . 9C = 10 M = R . 11 C =
2 2
INTES COMPUESTO
t - t Ln ( M / C )
Log ( M / C )
1 / t
12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i ) 14 t = 15 t = 16 i = ( M / C ) - 1
Ln ( 1 + i ) Log ( 1 + i )
SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO
t - t
( 1 + i ) - 1
1 - ( 1 + i ) R
17 M = R 18 C = R 19
Perpetuidad:
C =
i i i
SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO
t - t
( 1 + i ) - 1
1 - ( 1 + i ) R
20 M = R ( 1 + i ) 21 C = R ( 1 + i ) 22
Perpetuidad:
C = R +
i i i
También puede ser:
t + 1 - ( t - 1 )
( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i )
23 M = R -1 24 C = R 1 +
i i
GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE
Cálculo de la cuota uniforme: Infinito: Cálculo de una cuota:
1 t
R1g
25
R = R1 + / - g .
26 C = + 27 Cuota =
R1 + / - ( ( t - 1 ) . g )
t i i
i ( 1 + i ) - 1
( 1 + ti )
( 1 + ti )
I
C
-
2
t
r
T
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29
INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
FORMULAS
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE
Si g es diferente de i: Si g es igual a i:
t t t - t
( 1 + i ) - ( 1 + g )
R1. ( 1 + g ) . ( 1 + i ) - 1 R1. t
28
C = R1.29 C = 30 C =
t
( i - g ) . ( 1 + i )
t t t t
( 1 + i ) - ( 1 + g ) t
R1. ( 1 + g ) - ( 1 + i ) t - 1
31
M = R1. ( 1 + i ) 32 M = 33 M = R1 . t . ( 1 + i )
t
( i - g ) . ( 1 + i )
Infinito, si i es mayor que g: Cálculo de una cuota en gradientes geómetricos o exponenciales, crecientes y decrecientes:
R1
t - 1
34 C = 35
Cuota
=
R1 . ( 1 + / - g )
i - g
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE
t t t t
( 1 + i ) - ( 1 - g ) ( 1 + i ) - ( 1 - g )
36
C = R1.37 M = R1.
t
( i + g ) . ( 1 + i )
EVALUACIÓN DE PROYECTOS:
V.P.N.
38 T.M.A.R. = T.I.O. + Spreads 39 V.P.N. = V.P.I. - V.P.E. 40 V.P.Eq. =
- t
1 - ( 1 + i )
V.P.I. V.P.E.
41 I.P.Eq. = 42 C.P.Eq. = i
- t - t
1 - ( 1 + i ) 1 - ( 1 + i )
43 R.B.C. = V.P.I. / V.P.E.
i i Resultado ideal: R.B.C. > 1
Nota:
V.P.N. . ( i - i ) V.P.N. . ( i - i ) i Para V.P.N. > 0
44 T.I.R. = i - 45 T.I.R. = i +
i
> i
V.P.N. - V.P.N. V.P.N. - V.P.N. i Para V.P.N. < 0
Rentabilidad real: Rentabilidad en moneda extranjera: Suma de tasas efectivas: Resta de tasas efectivas:
i - F
1 + i
Nota:
46 i = 47 i = ( 1 + i.D ) . ( 1 + i.E) - 1 48 i = ( 1 + i ) . (1 + i ) - 1 49 i = 1 i > i
1 + F
1 + i
g - i
1 + i
( i + g )
g - i
t
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
r
r
T
1
2
T
2
1
1
2
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
30
INTERES COMPUESTO
INTERES COMPUESTO
INFLACION - I.P.C.
DEVALUACION
TASAS COMBINADAS
TASAS DEFLACTADAS
D.T.F.
T.C.C.
T.B.S.
LIBOR
PRIME RATE
TMAR = T.I.O + Spreads
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
31
ANUALIDADES
ANUALIDADES
VENCIDAS
ANTICIPADAS
PERPETUAS
DIFERIDAS
PERPETUAS DIFERIDAS
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
32
ANUALIDADES
ANUALIDADES
Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )
012345678910
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )
012345678910
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
33
ANUALIDADES
ANUALIDADES
Anualidad de 5 periodos
012345678910
10 10 10 10 10
Anualidad diferida
012345678910
10 10 10 10 10 10 10
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
34
ANUALIDADES
ANUALIDADES
Anualidad perpetua
012345
10 10 10 10 10
Anualidad perpetua diferida
012345678
10 10 10 10 10
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
35
ANUALIDADES
ANUALIDADES
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
36
ANUALIDADES
ANUALIDADES
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
37
ANUALIDADES
ANUALIDADES
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
38
GRADIENTES
GRADIENTES
LINEALES O ARITMETICAS:
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
39
GRADIENTES
GRADIENTES
EXPONENCIALES O GEOMETRICAS
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
40
GRADIENTES
GRADIENTES
1600
1400
1200
1000
01234
1000
950
900
850
01234
Gradiente lineal creciente
Gradiente lineal decreciente
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
41
GRADIENTES
GRADIENTES
Gradiente exponencial creciente
Gradiente exponencial decreciente
1.331,00
1.210,00
1.100,00
1.000,00
01234
1000
950
902,5
857,38
01234
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
42
GRADIENTES
GRADIENTES
R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en $) g (Gradiente en $)
i % (Tasa) i % (Tasa)
n (Tiempo) n (Tiempo)
Ru (Cuota Uniforme) DIV/0! Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0!
V.F. ( Monto ) 0,00 V.F. ( Monto ) x DIV/0!
V.P. ( Capital ) 0,00 V.P. ( Capital ) x DIV/0!
CUOTA No. 24 CUOTA No.
VALOR 0,00 VALOR 0,00
INFINITO 0,00
R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en %) g (Gradiente en %)
i % (Tasa) i % (Tasa)
n (Tiempo) n (Tiempo)
V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00 V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00
V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00
V.F. ( Monto ) Si i = g 0,00
V.P. ( Capital ) Si i = g 0,00
CUOTA No. CUOTA No.
VALOR 0,00 VALOR 0,00
INFINITO Si i > g 0,00
GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICO
CRECIENTE
DECRECIENTE
GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO
CRECIENTE
DECRECIENTE
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
43
EVALUACIONES
EVALUACIONES
FINANCIERAS
FINANCIERAS
FLUJO DE CAJA
FLUJO DE CAJA NETO
V.P.N.
T.I.R.
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
44
U.V.R.
U.V.R.
t / d
UVR
t
= UVR
15
* ( 1 + i )
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
45
U.V.R.
U.V.R.
Del 31 de Julio al 5 de Agosto:
El DANE blica los resultados de la inflación del mes de
Julio de 2002
Del 6 de Agosto al 15 de Agosto:
El Banco de la Republica le informa los valores de la UVR
que regirán entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre.
El sistema financiero actualiza sus bases de datos
15 de Agosto:
U.V.R. $127,7596: Valor ya calculado del mes anterior
Del 16 de Agosto al 15 de Septiembre:
Nuevos valores de la U.V.R. Que aplican entre el
16 de Agosto y el 15 de Septiembre
Procedimiento para el calculo de la U.V.R.
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
46
U.V.R.
U.V.R.
- UVR t = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR
Del día t del período de calculo.
-UVR 15 = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR
el día 15 de cada mes.
- i = Variación mensual del IPC durante el mes calendario
inmediatamente anterior al mes de inicio del período de calculo
-t = Número de días calendario transcurridos desde el inicio
de un período de calculo hasta el día de calculo de la UVR.
Por lo tanto, t tendrá valores entre 1 y 31 de acuerdo con el
número de días calendario del respectivo período de calculo.
- d = Número de días calendario del respectivo período de calculo
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
47
U.V.R.
U.V.R.
VALORES
VALOR DE LA UVR 127,9002
FECHA DE REGISTRO 16-Nov-02 VECES QUE SE PAGO EL CREDITO 3,35
TASA DE INFLACION 6,00% SALDO EN PESOS MAS ALTO 25.561.151,08
TASA DE INFLACION MENSUAL 0,49% MES EN EL QUE SE OBTUVO EL SALDO + ALTO 66
TASA DE INTERES E.A. 12,00% FECHA DEL SALDO MAS ALTO 18-Abr-08
TASA DE INTERES MENSUAL 0,95% INTERESES PAGADOS 35.740.735,91
VALOR PRESTAMO O DEUDA 23.000.000 CAPITAL PAGADO 41.245.432,84
TIEMPO ENOS 15 TOTAL PAGADO 76.986.168,74
TIEMPO EN MESES 180
PERI
ODO
FECHA VALOR UVR
CUOTA EN
UVR
ABONO A
CAPITAL EN
UVR
INTERESES
EN UVR
SALDO EN UVR
CUOTA EN
PESOS
ABONO A
CAPITAL EN
PESOS
INTERESES EN
PESOS
SALDO EN
PESOS
0 16-Nov-02 127,9002 179.827,7094 0,00 0,00 0,00 23.000.000,00
1 16-Dic-02 128,5228 2.087,7769 381,4290 1.706,3479 179.446,2804 268.326,86 49.022,31 219.304,54 23.062.931,35
2 15-Ene-03 129,1484 2.087,7769 385,0483 1.702,7286 179.061,2320 269.632,95 49.728,36 219.904,59 23.125.462,98
3 14-Feb-03 129,7770 2.087,7769 388,7020 1.699,0750 178.672,5300 270.945,40 50.444,57 220.500,83 23.187.582,76
4 16-Mar-03 130,4087 2.087,7769 392,3903 1.695,3866 178.280,1397 272.264,24 51.171,10 221.093,14 23.249.278,39
5 15-Abr-03 131,0435 2.087,7769 396,1136 1.691,6633 177.884,0261 273.589,50 51.908,10 221.681,41 23.310.537,33
6 15-May-03 131,6813 2.087,7769 399,8722 1.687,9047 177.484,1539 274.921,21 52.655,70 222.265,51 23.371.346,85
7 14-Jun-03 132,3223 2.087,7769 403,6666 1.684,1104 177.080,4873 276.259,41 53.414,08 222.845,33 23.431.693,98
8 14-Jul-03 132,9664 2.087,7769 407,4969 1.680,2801 176.672,9905 277.604,11 54.183,38 223.420,74 23.491.565,56
9 13-Ago-03 133,6136 2.087,7769 411,3635 1.676,4134 176.261,6270 278.955,37 54.963,75 223.991,61 23.550.948,19
10 12-Sep-03 134,2640 2.087,7769 415,2669 1.672,5101 175.846,3601 280.313,19 55.755,37 224.557,82 23.609.828,25
11 12-Oct-03 134,9175 2.087,7769 419,2072 1.668,5697 175.427,1529 281.677,63 56.558,39 225.119,24 23.668.191,89
12 11-Nov-03 135,5742 2.087,7769 423,1850 1.664,5919 175.003,9678 283.048,71 57.372,97 225.675,74 23.726.025,04
13 11-Dic-03 136,2341 2.087,7769 427,2005 1.660,5764 174.576,7673 284.426,47 58.199,29 226.227,18 23.783.313,37
14 10-Ene-04 136,8973 2.087,7769 431,2541 1.656,5228 174.145,5132 285.810,93 59.037,51 226.773,42 23.840.042,35
15 9-Feb-04 137,5636 2.087,7769 435,3462 1.652,4307 173.710,1670 287.202,13 59.887,80 227.314,33 23.896.197,16
DATOS
TABLA DE AMORTIZACION EN U.V.R.
TABLA DE AMORTIZACION EN PESOS
PAGO
RESUMEN DEL CREDITO
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
48
U.V.R.
U.V.R.
Curva de Amortización de Créditos Hipotecarios
-5.000.000
0
5.000.000
10.000.000
15.000.000
20.000.000
25.000.000
30.000.000
Periodos (Cuotas mensuales)
$
Rodolfo Enrique Sos
a Gómez
49
MATEMATICAS FINANCIERAS
TECNICAS FINANCIERAS CUANTITATIVAS
FIN DE LA PRESENTACION
RODOLFO SOSA GOMEZ

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Sosa Gómez Rodolfo Enrique. (2005, noviembre 18). Matemáticas financieras, técnicas financieras cuantitativas. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-tecnicas-financieras-cuantitativas/
Sosa Gómez, Rodolfo Enrique. "Matemáticas financieras, técnicas financieras cuantitativas". GestioPolis. 18 noviembre 2005. Web. <https://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-tecnicas-financieras-cuantitativas/>.
Sosa Gómez, Rodolfo Enrique. "Matemáticas financieras, técnicas financieras cuantitativas". GestioPolis. noviembre 18, 2005. Consultado el 14 de Diciembre de 2018. https://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-tecnicas-financieras-cuantitativas/.
Sosa Gómez, Rodolfo Enrique. Matemáticas financieras, técnicas financieras cuantitativas [en línea]. <https://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-tecnicas-financieras-cuantitativas/> [Citado el 14 de Diciembre de 2018].
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