La metodología de las raíces unitarias, cointegración , vectores autorregresivos y estabilidad de parámetros:

Autor: Gustavo Herminio Trujillo Calagua

Evaluación de proyectos y economía matemática

04-2004

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ABSTRACT: 

Este trabajo tiene por objeto introducir un desarrollo importante en el análisis econométrico de series de tiempo en una forma relativamente elemental. Con este fin se enfatiza la utilización práctica de la metodología y su aplicación al análisis de algunos problemas relevantes para la discusión sobre política económica en Perú. La presentación se hará en seis secciones. En la introducción se hace una justificación de la metodología de Cointegración en términos de los así llamados problemas de “regresión espuria” y de “especificación dinámica”, así como una respuesta de la Econometría como corroboración de relaciones teóricas al enfoque de series de tiempo. La segunda se concentra en el concepto de nivel de integración de una serie y en la prueba estadística de su representación como un proceso estacionario o no. En la tercera sección se presenta la metodología de la Cointegración propiamente dicha y su representación como un mecanismo de corrección de error. En la cuarta sección se ilustra esta técnica mediante la presentación de una aplicación estimada para el caso peruano. Cabe la pena mencionar que los resultados aquí expuestos no contienen resultados definitivos sobre los problemas tratados, más bien constituye una exploración preliminar del tema que debe considerarse como ilustraciones de la metodología presentada. En la quinta sección se presenta la metodología de los Vectores Autorregresivos y su instrumentalización, analizando las funciones de impulso-respuesta y de descomposición de la varianza; igualmente se analiza los Test de Cointegración para sistemas VAR y su uso como evaluador de la política económica. Finalmente, se exponen las conclusiones derivadas del estudio, las mismas que constituyen solo una aproximación exploratoria al tratamiento de las series de tiempo.

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I. Introducción.

Es muy conocido que una gran parte de los procedimientos normalmente utilizados en Econometría están basados en regresiones lineales con muy diversas modificaciones; estos procedimientos tienen propiedades adecuadas si se cumplen ciertas suposiciones; la suposición que será modificada en este artículo es la de la estacionariedad de las series que entran en la relación que se desea estimar.

Una serie de tiempo es estacionaria si su distribución es constante a lo largo del tiempo; para muchas aplicaciones prácticas es suficiente considerar la llamada estacionariedad débil, esto es, cuando la media y la varianza de la serie son constantes a lo largo del tiempo. Muchas de las series de tiempo que se analizan en Econometría no cumplen con esta condición, cuando tienen una tendencia.

Desde hace mucho tiempo[1] se conoce que cuando no se cumple esta suposición se pueden presentar problemas serios, consistentes en que dos variables completamente independientes pueden aparecer como significativamente asociadas entre sí en una regresión, únicamente por tener ambas una tendencia y crecer a lo largo del tiempo; estos casos han sido popularizados por Granger Y Newbold (1974) con el nombre de “regresiones espurias”[2].

Para ilustrar este problema se pueden considerar dos variables X y Y, construidas construidas en cada período sumando el valor de la variable en el período anterior una variable aleatoria con distribución normal, con media cero y una cierta varianza:  

Xt = Xt-1 + et et ~ N ( 0 , se2 ).
 
Yt = Yt-1 + ht ht ~ N ( 0 , sh2 ).
 
y generando en forma independiente los términos aleatorios de las dos variables. Variables construidas de este modo reciben en la literatura econométrica de series de tiempo el nombre “paseo aleatorio” y son variables no estacionarias, cuya media y cuya varianza son proporcionales al período de observación.  

Generando las variables de acuerdo con este modelo para 240 observaciones con varianza 2 y 3 para et y ht y con valores iniciales de 1000 para X y de 12500 para Y se obtienen dos series independientes por construcción pero con una tendencia creciente en el tiempo; haciendo una regresión lineal entre las dos se encuentra:  
 
Xt = -20560 + 1.7270 Yt R2 = 0.4903 D-W = 0.07695
(-14.28) (15.01)  

Una interpretación muy común de este resultado sería que las variables están significativamente asociadas pero que el bajo valor del R2 sugiere que a la ecuación le faltan variables adicionales, la ausencia de las cuales a su vez explica el bajo valor del coeficiente de Durbin - Watson; otra explicación podría ser la de que la estructura dinámica de la ecuación no es la correcta y podría tratar de corregirse utilizando rezagos de las variables, introduciendo otras variables con rezagos o utilizando técnicas de estimación de mínimos cuadrados generalizados para tener en cuenta la autocorrelación de los residuos de la ecuación. Se recuerda que las variables son independientes pero crecientes en el tiempo.  

Este es un resultado muy frecuente, el ejemplo anterior es una ilustración de la técnica del análisis de simulación llamada de “Montecarlo”. Esta técnica fue utilizada por Granger y Newbold[3] para estudiar las propiedades de regresiones entre variables no estacionarias. Recientemente[4] se ha realizado un análisis teórico del problema, en el cual se muestra que, bajo ciertas condiciones muy generales, las principales propiedades de las regresiones  

Xt = a + bYt
 
entre variables no estacionarias son las siguientes:  

• Las distribuciones de los estadísticos “t” de los coeficientes divergen, de modo que no existen valores críticos asintóticamente correctos para las pruebas de significancia. Los valores mencionados crecen con el tamaño de la muestra. Para recordar, en el caso de regresiones entre variables estacionarias, las distribuciones de los estadísticos “t” convergen a una distribución normal y, por lo tanto, no hay una tendencia a que crezcan con el tamaño de la muestra.

• Los coeficientes no son consistentes; a*, el estimador MCO de a diverge y b*, el de b, converge a una distribución no concentrada en un punto. Para comparar, en el caso de regresiones entre variables estacionarias, las distribuciones de los coeficientes a* y b* convergen a una distribución que concentra toda la probabilidad en el verdadero valor de los parámetros.

• El estadístico de Durbin-Watson tiende a cero, aún cuando el término aleatorio de la regresión no presente autocorrelación y la distribución de R2 converge a una distribución no concentrada. Todo esto en contraste con los resultados usuales para variables estacionarias [5].  

Resultados similares se obtienen en el caso de regresiones múltiples[6].  

Estos resultados hacen que sean sospechosas las estimaciones de ecuaciones de regresión entre series no estacionarias. Las primeras recomendaciones de Granger y Newbold[7], seguidas posteriormente por muchos analistas, fueron las de usar valores de significancia más restrictivos para los estadísticos “t”, lo cual como se vio no tiene justificación teórica ya que los “t” crecen con el tamaño de la muestra; o la de convertir las series en estacionarias, ya sea por medio de diferenciaciones, por extracción de una tendencia lineal, exponencial o polinómica o usando como variables en las regresiones los residuos de una estimación de un modelo ARIMA para las series originales, esto hace que se pierda información sobre las relaciones de largo plazo de las variables, relaciones que son, en muchos casos, el objeto primordial del análisis. Por lo tanto las primeras recomendaciones de Granger y Newbold no son adecuadas para tratar el problema; `mucho mejor es el programa de encontrar procedimientos que muestran cuándo la relación encontrada entre las variables es “espuria” o no, y en el caso de que no lo sea, cuáles son las propiedades estadísticas de los parámetros estimados.

Recientemente se ha dedicado mucho esfuerzo al análisis de las propiedades de ecuaciones de regresión con variables más generales que las estacionarias, pero con algún tipo de restricción a su distribución. Un caso particular de las variables no estacionarias es el de las llamadas variables integradas.  

Se dice que una serie de tiempo Xt es integrada de orden d ( Xt ~I(d) ) si puede expresarse como:
 
( 1 - L )d A( L )Xt = B ( L ) et  

donde L es el operador de rezago: LXt = Xt-1 , A(L) es un polinomio de orden p en L que expresa el grado de autorregresión de la serie:  

A(L)Xt = Xt - a1Xt-1 - a2Xt-2 - ... - apXt-p  

B(L) es un polinomio de orden q en L que expresa la dependencia de las series en un promedio móvil de una serie de términos aleatorios independientes:  

B(L)et = et - b1et-1 - b2et-2 - ... - bqet-q  

y tanto A(L) como B(L) tienen todas sus raíces fuera del círculo unitario (son en valor absoluto mayores que la unidad). Otro modo de decir esto es decir que Xt es ARIMA(p,d,q) con un proceso estacionario e invertible. En estas condiciones la menor raíz en valor absoluto de la parte autorregresiva es la unidad y se dice que la serie tiene d raíces unitarias o que es I(d); una serie estacionaria es I(0) y el “paseo aleatorio” utilizado anteriormente es I(1).  

Combinaciones lineales de series I(0) son I(0), combinaciones lineales de series I(1) son en general I(1), con una excepción muy importante, la de las series cointegradas que son I(0) y que veremos en detalle más adelante. Esto también muestra que una serie integrada no puede ser representada adecuadamente por series estacionarias, por ejemplo una serie de niveles de empleo no puede representarse adecuadamente como una combinación de precios relativos solamente; del mismo modo una serie estacionaria no puede, en general, representarse como función de series integradas.  

Estudios hechos recientemente[8] muestran que una gran proporción de las series económicas no estacionarias son I(d), y muchas de ellas I(1). esto ha inducido una gran cantidad de investigaciones sobre las propiedades estadísticas de regresiones con series I(d)[9] y sobre pruebas de que una serie de tiempo tiene raíces unitarias, usando como hipótesis nula la de que la serie es estacionaria o la de que la serie tiene raíces menores que la unidad, y por lo tanto diverge aún más que las series con raíces unitarias. De particular importancia es la búsqueda de combinaciones lineales estacionarias de series integradas, lo que se llama el caso de la Cointegración en series[10].  

La conexión de la metodología de la Cointegración con los mecanismos de corrección de errores reconcilia dos puntos de vista divergentes en investigación económica: por una parte, el de los teóricos de la economía, quienes concentrándose en las relaciones de largo plazo enfatizan la pérdida de la información sobre estas relaciones implicado en el análisis en diferencias; del otro lado, los practicantes de las series de tiempo quienes despreciando aquellas relaciones teóricas debido a su falta de información acerca de la dinámica de corto plazo de los procesos, se limitan a la representación de esta dinámica. En este sentido, en lo que se conoce como el procedimiento en dos etapas, la metodología de Cointegración preserva tanto la posibilidad de retener la información en niveles como la de permitir a los datos parametrizar su representación, podemos superar los problemas de especificación dinámica y de regresión espuria[11]. En esta forma, la posibilidad de complementar las relaciones de equilibrio de largo plazo de la ecuación de Cointegración con la dinámica que incorpora el mecanismo de corrección de errores enfatiza la significancia de la metodología de Cointegración como una respuesta de la Econometría, como corroboración de relaciones teóricas al enfoque de las representaciones de series de tiempo.  
 
II. Raíces Unitarias  

Como se comento en la sección anterior, las series de tiempo no estacionarias que presentan raíces unitarias son un caso muy especial muy importantes de las series no estacionarias, tanto por su frecuencia en economía como por lo que se conoce de sus propiedades estadísticas; en los ;últimos años se ha realizado una gran cantidad en trabajo para el diseño de pruebas de hipótesis de que una serie tiene raíces unitarias. En esta sección se hará una presentación de algunas de estas pruebas. Es necesario anotar que no se trata de realizar una presentación exhaustiva de las pruebas ideadas hasta ahora sino solamente mostrar cuáles son las utilizadas más frecuentemente. Asimismo, como ene l resto de este artículo, al tratarse de un artículo de divulgación, se omiten completamente las pruebas, remitiendo al lector interesado a la literatura pertinente.  

El problema estadístico teórico que se presenta es el de la existencia de una discontinuidad en las distribuciones, como funciones de a cuando esta toma el valor de 1, para otros valores puede utilizarse en muestras grandes las distribuciones “t” y “F” usuales, pero para este valor especial es necesario encontrar nuevas distribuciones.

Las pruebas de raíz unitaria que se han desarrollado dependen del modelo básico que genera la serie. El más sencillo de la forma:  
 
xt = axt-1 + et  
 
donde la hipótesis nula es de la forma Ho: a = 1.  

Esta hipótesis ha sido analizada en varias ocasiones con enfoques ligeramente diferentes y da origen a pruebas distintas, muchas veces según que la prueba obtenida sea del tipo de relación de verosimilitud (estimación del modelo bajo la hipótesis nula y bajo la hipótesis alternativa y prueba basada en la diferencia de los valores de los logaritmos de la función de verosimilitud en las dos situaciones), de multiplicadores de Lagrange (estimación bajo la hipótesis nula y prueba basada en cambios a partir de esta hipótesis) o de Wald (estimación bajo la hipótesis alternativa y prueba basada en movimientos hacia la hipótesis nula)[12].  

Evans y Savin (1981,1984) desarrollan una prueba de multiplicadores de Lagrange consistente en encontrar la distribución de a*, el estimador de máxima verosimilitud de a, bajo la hipótesis de que a=1. Ellos calculan los valores de la distribución normalizada ((T/Ö2)( a* -1)) por métodos numéricos y presentan gráficos y tablas de dicha distribución. El método de ellos es entonces estimar xt = axt-1 + et por máxima verosimilitud (mínimos cuadrados ordinarios si se puede mantener que et es normal), calcular ((T/Ö2)( a* -1)) y consultar las tablas que ellos presentan.  

Phillips (1987) muestra que este procedimiento, con una pequeña modificación consistente en corregir la expresión de Evans y Savin por un factor que tiene en cuenta la posible autocorrelación de et, se aplica a los modelos más generales, de la forma ARIMA(p,1,q), y, aún, a modelos en los cuales aparecen variables exógenas, siempre y cuando que estas variables puedan expresarse de forma similar y no tengan a su vez raíces unitarias. Las pruebas pueden aplicarse sin necesidad de estimar el modelo ARIMA o su análogo con variables exógenas, y sin siquiera conocer las órdenes de los polinomios autorregresivo y de promedio móvil.  

Dickey y Fuller (1979,1981) presentan pruebas de relación de verosimilitud para un modelo un poco más general que el de Evans y Savin:  
 
xt = m + bt + axt-1 + et
 
donde m es el llamado coeficiente de deriva (drift) y b es la tendencia de la serie. En este caso e es ruido blanco (un proceso independiente a lo largo del tiempo, con medio cero y varianza constante). Ellos presentan varias pruebas de hipótesis:
m = b = 0, es el mismo caso tratado por Evans y Savin. Ellos lo tratan de dos modos diferentes: en primer lugar[13] transforman la ecuación restando xt-1 de los dos lados de la ecuación con lo cual obtienen:
 
Dxt = -(1- a)xt-1 + et
 
bajo la hipótesis nula de existencia de raíz unitaria, el coeficiente de xt-1 debe ser cero. Fuller (1976) trae una tabla con la distribución de ese coeficiente bajo la hipótesis nula. por otro lado[14] Dickey y Fuller presentan pruebas de hipótesis de las hipótesis nulas m = 0 y b = 0 por separado y conjuntamente con la  a =1 para ellos estiman el modelo bajo la hipótesis alternativa:
 
xt = m + bt + axt-1 + et
 
y obtienen la distribución de los coeficientes “t” de m y de b y de la relación de verosimilitud de la hipótesis completa.
 
m ¹ b = 0 le dan los mismos tratamientos del caso anterior, por medio de una transformación se obtiene que el hecho de cumplirse la hipótesis nula equivale a que el coeficiente de xt-1 en Dxt = -(1- a)xt-1 + et es igual a cero , pruebas de esta hipótesis pueden realizarse usando las tablas de Fuller (1976). Por otro lado pruebas de toda la hipótesis y de los coeficientes particulares de las variables pueden hacerse estimando la regresión bajo la hipótesis alternativa y usando las tablas de Dickey y Fuller (1981).
 
Lo mismo sucede con el tercer caso: m ¹ 0, b¹ 0 ahora la ecuación auxiliar es:

Dxt = am + b(1- a) + bat - (1- a)xt-1 + et

Dickey y Fuller hacen una ampliación de sus pruebas al caso en el cual e sigue un proceso autorregresivo de orden p, la prueba llamada de Dickey y Fuller Aumentada que consiste en estimar las ecuaciones auxiliares mencionadas, añadiéndose rezagos de los valores de Dx. Phillips (1987) también amplía al caso de modelos estacionarios más generales los resultados de Dickey y Fuller.

Es necesario anotar, sin embargo, que procesos con coeficientes muy altos en los procesos de promedio móvil presentan problemas especiales en lo que respecta al poder de estas pruebas[15].  

La otra prueba comúnmente usada es la de Sargan y Bhargava[16], esta prueba se basa en los valores de la prueba de Durbin-Watson de las regresiones de la variable sobre su valor rezagado, la distribución no es la encontrada por Durbin y Watson sino la que encuentran y calculan Sargan y Bhargava.  

III. Pruebas de Raíces Unitarias para Series de Tiempo.  

A) Prueba de Dickey - Fuller (DF).- Dickey y Fuller encontraron que el problema podría ser simplificado sacando a mt de ambos lados de , mt =rmt-1 + nt para obtener: Dmt = (r-1)mt-1 + nt
Dmt = lmt-1 +nt

cuando la hipótesis nula es ahora H0: l=0 y la hipótesis alternativa es H1: l<0. Mientras esta transformación ayudo con los problemas de la distribución, la prueba estadística no sigue con la distribución tradicional y los valores críticos para la evaluación de la prueba estadística han tenido que ser determinados a través de los extensos experimentos de Monte Carlo[17].  

B) Prueba ampliada de Dickey-Fuller (ADF).- El proceso autorregresivo de Dmt = lmt-1 +nt es muy simple y para tener en cuenta dinámicas más complejas, Dickey y Fuller propusieron pruebas para la estacionariedad basadas en la ecuación ampliada:  

Dmt = a0 + a1t + lmt-1 + SbjDmt-j + nt

donde j=1,...m, a0 toma en cuenta la dirección y t es la tendencia lineal en el tiempo.  

La mayoría de la literatura teórica y estudios empíricos han estado interesados en el caso en el cual las variables a investigarse son I(1) y sólo dos variables son consideradas en un período, pero han habido algunos interesantes desarrollos recientes en la Cointegración Multivariable y en las pruebas desarrolladas para las Raíces Unitarias y para la Cointegración (ver Engle y Granger 1991)[18].  

C) Prueba de Raíz Unitaria de Phillips-Perron (PP).- Una prueba alternativa de raíz unitaria fue desarrollada por Phillips y Perron . Al igual que la prueba ADF, la prueba PP es una prueba de hipótesis sobre p=1 en la ecuación: ∆Yt = ∆b + pYt-1 + ∆ t ; pero a diferencia de la prueba ADF, no existen términos de diferencias retardados. Más bien, la ecuación es estimada por MCO y luego el estadístico "t" del coeficiente p es corregido. La hipótesis nula H0 del test de Phillips-Perron es la trayectoria de raíz unitaria con tendencia y la alternativa la estacionariedad con tendencia, si el valor t-Student asociado al coeficiente de Yt-1 es mayor en valor absoluto al valor crítico de MacKinnon, se rechaza la hipótesis de existencia de raíz unitaria.  

D) Test de Zivot y Andrews.- Zivot y Andrews (1992) .- Zivot & Andrews elaboraron un test en el que se diferencia una trayectoria de raíz unitaria de una estacionaria cuando había cambio estructural, debido a que los tradicionales test ADF y PP estaban sesgados hacia el no rechazo de la hipótesis nula de raíz unitaria, puesto que a menudo se rechazaba incorrectamente la hipótesis alternativa de estacionariedad. La hipótesis nula es la presencia de raíz unitaria con tendencia y la alternativa, la de estacionariedad con tendencia y cambio estructural (en el nivel y/o pendiente). Zivot y Andrews presentan unos gráficos en la que se plotean por un lado, la trayecoria de la distribución t o t’s de Zivot, y por el otro los valores de la distribución t crítico. Si el valor t-Zivot es menor que los valores críticos (VCRIT), existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria, por lo que la(s) serie(s) evaluadas muestra una trayectoria de raíz unitaria. Contrariamente, si la distribución de valores t Zivot son mayores que el t crítico, no existe evidencia para rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria (no estacionariedad).

Perron (1989) sostuvo que los tradicionales test de raíz unitaria (Dickey-Fuller, Dickey-Fuller Aumentado y Phillips-Perron) tenían poco poder para diferenciar una trayectoria de raíz unitaria de una estacionaria cuando había cambio estructural. En consecuencia, como estos test estaban sesgados hacia el no rechazo de la hipótesis nula de raíz unitaria, a menudo se rechazaba incorrectamente la hipótesis alternativa de estacionariedad. Perron encontró, por ejemplo, que las series de agregados macroeconómicos y financieros utilizados por Nelson y Plosser (1982) eran en su mayoría estacionarias con cambio estructural, en oposición a lo que los citados autores señalaban. Siguiendo esta línea, Zivot y Andrews (1992)[19] elaborarón un test en la que la fecha del punto de quiebre era determinada endógenamente.  

E) Metodologia del Filtro de Hodrick – Prescott .- De acuerdo con este metodo es preciso encontrar la serie Y*t

(tendencia) que minimice : ( Yt - Yt* )2 + l ( DYt - DYt* )2   la serie Yt* equivale a la variable potencial y l es el parámetro de suavización, en una serie estacionaria, la tendencia es casi paralela al eje X. El filtro de Hodrick – Prescott es quizá el método mas frecuentemente utilizado para determinar la tendencia de una serie estacionaria, sin embargo ha sido sujeto a criticas diversas. Entre ellas destaca el hecho de que la determinación ex ante del parámetro de suavización esta sujeta a la discrecionalidad del investigador, que los extremos de la serie de tendencias están deficientemente definidos y que induce un comportamiento cíclico espurio en los datos. Sin embargo el método representa un patrón contra el cual pueden compararse otros métodos de estimación para series estacionarias.  

   

Aquí la serie de dinero real, registra un comportamiento errático debido a la presencia de un posible quiebre estructural.

En la sección V de este artículo aparecerán ejemplos del uso de estas pruebas.

IV. Ecuación de Cointegración y Mecanismos de Corrección de Errores.  

Se dice que un vector de series de tiempo xt es cointegrado de orden d,b ( xt ~ CI(d,b)) si siendo todas las series del vector ~ I(d), existe un vector de coeficientes a tal que z = a‘x ~ I(d -b), b >0. En particular, si N=2 y d=b=1 se tiene para las series xt y yt, las cuales son I(1), que si bien en general cualquier combinación lineal de ellas es I(1), si existe un a tal que zt= xt - ayt es I(0), ellas son cointegrados de orden 1 y el parámetro de Cointegración a es único.  

Ahora bien, el hecho de que esta combinación lineal es I(0) a pesar de que las series individualmente sean I(1), en otras palabras, de que zt, por oposición a xt y a yt individualmente no tienen componentes dominantes de onda larga significa que a es tal que el grueso de los componentes de largo plazo de yt y axt se cancelan mutuamente. Por otra parte, cuando se deriva de la teoría económica la operación de fuerzas que tienden a mantener xt  y yt juntas y se postula la existencia de una relación de equilibrio de largo plazo entre ellas, se esta implicando que xt y yt no pueden alejarse mucho lo cual expresado en términos las características del error de equilibrio zt, significa que e debe ser estacionario. Por consiguiente, esta reducción del orden de integración de manera que zt es I(0) aparece como la condición de posibilidad estadística de la postulación de una relación de equilibrio entre xt y yt. O para ponerlo en términos de las pruebas de hipótesis de la representación de paseo aleatorio para zt, el equilibrio estimado sería desalentador e irrelevante.  

Resulta entonces, claro , que hacer pruebas de Cointegración entre xt y yt no es diferente de hacer pruebas de estacionariedad de zt; más precisamente, con el fin de comprobar la hipótesis nula de no Cointegración para esas series lo único que se necesita hacer es comprobar la hipótesis nula de una representación de paseo aleatorio para zt. Y por consiguiente, el procedimiento metodológico obvio con el fin de hacerlo es correr la regresión de Cointegración xt= C + ayt + et, por mínimos cuadrados ordinarios y aplicar alguna de las pruebas de raíz unitaria. Es de anotarse que un síntoma de Cointegración entre variables es un valor alto del R2 acompañado de valores no muy bajos (de acuerdo con la prueba de Sargan y Bhargava) de estadístico de Durbin y Watson.  

Granjer y Engle (1987) muestran que, en el caso de Cointegración, el procedimiento de mínimos cuadrados ordinarios produce resultados consistentes para los parámetros de la ecuación (mejor aún, superconsistentes, en el sentido de que los parámetros tienden a su verdadero valor en forma inversamente proporcional al número de observaciones y no a la raíz cuadrada de ese número como es el caso usual con series estacionarias), muestran también que las pruebas de hipótesis usuales no son válidas. Ellos muestran también que, en el caso de dos variables, la ecuación de Cointegración esta identificada (en el sentido econométrico no en el sentido de series de tiempo) por la condición de que es la única combinación lineal de las variables con varianza finita; en el caso de varias variables puede haber diversas relaciones de Cointegración y es necesario introducir criterios adicionales de identificación, normalmente por exclusión de variables como en la situación clásica.  

En cuanta a las pruebas de Dickey y Fuller y de Dickey y Fuller Ampliada, de nuevo se utilizan las tablas no estándar del “t” con el objeto de rechazar una hipótesis de raíces unitarias en favor de la estacionariedad; sin embargo, debe enfatizarse que en el caso de haber más de dos variables en el vector de Cointegración, caso en el cual a no es necesariamente único de manera que pueden existir varias relaciones de equilibrio, los valores críticos del estadístico “t” son ahora correspondientemente altos[20]. Por otra parte, en cuanto a la prueba de Sargan y Bhargava, en la misma forma que cuando se comprobaba la presencia de raíces unitarias, un DW de la regresión xt = c + ut significativamente mayor que cero permitía rechazar la hipótesis de que xt era paseo aleatorio, cuando se comprueba Cointegración un DW de la regresión de Cointegración (notado como CRDW) significativamente mayor que cero permite rechazar la hipótesis de no Cointegración.

Finalmente, se va a considerar el vínculo entre Cointegración y mecanismo de corrección de errores tanto desde un punto de vista estadístico como desde un punto de vista metodológico, el primero con respecto a lo que es conocido como Teorema de Representación de Granger, y el segundo al así llamado Procedimiento en Dos Etapas de Engle y Granger (2EEG)[21]. Ahora bien, antes de introducir esto se debe recordar que un mecanismo de corrección de errores postula[22] que una proporción del desequilibrio de un período es corregido es corregido en el siguiente período, y que un modelo de este tipo relacionaría el cambio de una variable con los errores de equilibrios pasados y los cambios pasados en ambas variables. Entonces, la implicación de este teorema es que series cointegradas tienen una representación de mecanismo de corrección de errores e, inversamente, un mecanismo de corrección de errores genera series cointegradas; en otras palabras: si xt , yt son I(1), sin tendencias en medias, y son cointegradas, siempre existe un mecanismo de corrección de errores de la forma:
 
xt = -g1 zt-1 + A1 (L) xt + B1 (L) yt + D1 (L)h1t
 
yt = -g2 zt-1 + A2 (L) xt + B2 (L) yt + D2 (L)h2t  

donde zt-1 es el residuo de la ecuación de Cointegración rezagado un período y todos los polinomios en términos rezagados tienen sus raíces fuera del círculo unitario. Además datos generados por un mecanismo de corrección de error debe ser cointegrado (Granger, 1986).  

Ahora bien, la existencia, dada la Cointegración, de una representación MCE que no esta sujeta a los problemas de regresión espuria, ya que todas las variables que entran en la ecuación son estacionarias, da lugar al método de dos etapas de Engle y Granger. Este procedimiento es muy sencillo, simplemente consiste en la ejecución de la regresión en niveles por mínimos cuadrados ordinarios, la realización de la prueba de Cointegración, seguida de la estimación de un mecanismo de corrección de error, estimado otra vez por MCO, este mecanismo incluye los residuos de la ecuación de Cointegración en lugar de términos en niveles de las variables que entran en ella, tal como se muestra. En esta forma, la imposición de restricción dada por la ecuación de Cointegración sobre el MCE expresa la introducción del impacto de la relación teórica de equilibrio de largo plazo sobre el modelo dinámico de corto plazo. En términos prácticos, entonces, se puede (y se debe) usar Cointegración en primer lugar como una pre - prueba a fin de evitar situaciones de regresión espuria, y únicamente después de rechazar no Cointegración pasar a la especificación en cambios rezagados, con el fin de modelar z mediante el mecanismo de corrección de errores. De manera que, el procedimiento de Engle y Granger permite producir proyecciones de corto plazo que, al ser consistentes con las de largo plazo derivadas de la teoría económica, proveen una alternativa poderosa a aquellas derivadas del análisis simple de series de tiempo y, además permite la incorporación clara de la estructura dinámica en las ecuaciones derivadas de la teoría económica, al permitir estimar conjuntamente tanto la relación de equilibrio como el comportamiento del sistema fuera del equilibrio.  
 
V. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE PARÁMETROS 
[23]

la utilidad de los estimadores MCO en la explicación y en la proyección de variables economicas depende fundamentalmente del cumplimiento de los supuestos del MLG. Por ello, un análisis econometrico completo debe verificar que no existan indicadores que hagan dudar el cumplimiento de alguno de los supuestos. Existen dos formulaciones para indagar sobre la presencia de inestabilidad, la técnica tradicional y la estimación recursiva.  

La técnica tradicional se basa en el supuesto de que se conoce la fecha del punto de quiebre[24] y en virtud de tal supuesto se realiza la conocida prueba del cambio estructural propuesta por Gregory Chow[25]. Esta prueba esta basada en el contraste F de Fisher que se distribuye con k y (n-2k) grados de libertad, si el valor F-Chow es menor que el valor tabular F con los grados de libertad apropiados y al nivel de confianza escogido, se podria aceptar la hipótesis de estabilidad de parámetros, pero si el valor calculado F-Chow resultara mayor que el valor tabular F – Fisher, no podria aceptarse la hipótesis que los parámetros poblacionales son significativamente iguales, por lo tanto se puede asumir parámetros inestables.  

Des esta manera con el test de Chow es posible evaluar según la fecha determinada, hubo o no un cambio de estructura que se manifestó en la función analizada.  

La estimación recursiva, que consiste en aplicar sucesivamente la técnica de MCO alterando en uno el numero de observaciones proporciona estimadores que poseen ciertas características que son verificables si los supuestos del MLG se cumplen. Esto a de permitir relacionar sus características con el cumplimiento de los supuestos.

A través de los estimadores recursivos es posible detectar la presencia del problema econometrcio mencionado mediante la utilización de pruebas estadísticas, tales como el Test de Residuos Recursivos y el Test CUSUMSQ. El residuo recursivo correspondiente a la observación t, se define como la diferencia entre el valor observado de la variable endógena y el valor predicho de la misma, observando que bajo la hipótesis nula de estabilidad y el supuesto de normalidad, los residuos recursivos Wn posee las mismas características que los residuos poblacionales Un y por ello se concluye que es un buen estimador de este. Si los valores de Wn no cambia de manera sistemática en el horizonte temporal de su trayectoria, por lo cual se concluye que no hay evidencia de inestabilidad en el modelo estimado.  

En la misma línea, el Test CUSUMSQ (suma acumulada de residuos al cuadrado), en un intento de evitar la limitación de aceptar la hipótesis de estabilidad por razones causales, situación que se puede presentar en el test anterior, los autores (Brown, Durbin y Evans) proponen un contraste que consiste en dibujar la serie temporal de Wn así como las líneas que limitan la banda de confianza : E (Wn) ± Co donde el valor crítico de Co se obtiene de la tabla estadística CUSUM. Nuevamente, si Wn se sale de la banda, se rechaza la hipótesis de homogeneidad del modelo. Se observara, que el algoritmo Wn es una función monótona creciente con límite en la unidad, el cual sigue una distribución beta con parámetros (s - k) / 2, y (n - s) / 2; con esperanza E (Wn) = (s - k) / (n-k).  

  

VI. Ejemplos  

En esta sección se presenta una aplicación de la metodología anterior. Cabe la pena mencionar que esta ilustración es solamente ilustrativa, y que forman parte de trabajos más completos que esta siendo desarrollado por el autor.

A. Tipos de cambio  

Es de esperarse que existan una relación de largo plazo entre el tipo de cambio oficial y el tipo de cambio paralelo, si esta no existiese se presentarían oportunidades ilimitadas de ganancia a personas que comprasen y vendiesen en los mercados.
Se trabajara en este ejercicio con datos mensuales de los dos tipos de cambio desde enero de 1980 hasta diciembre de 1999.  

El primer paso consiste en estudiar la presencia de raíces unitarias en las dos series. Para disminuir problemas adicionales de heterocedasticidad se trabajo con logaritmos de las variables.  

El procedimiento general, consiste en cinco pasos:  

- Prueba de raíz unitaria de las series.
- Estimación de la relación de Cointegración.  
- Prueba de Cointegración.
- Estimación del mecanismo de corrección de errores. Y,
- Pruebas estadísticas de esta ecuación.
 
Aplicando la prueba de Evans y Savin se raíces unitarias se tiene:

  Variable Coeficiente Prueba Significancia
  Paralelo 1.003.294 0.5590 0.85
  Oficial 1.003.388 0.5749 0.87

Como puede verse no se puede, con base en esta prueba rechazar la hipótesis de existencia de una raíz unitaria en las dos series.
 
Aplicando la prueba de Sargan y Bhargava se obtienen resultados similares:

Variable Durbin-Watson Significancia
  Paralelo 0.00177 > 0.10
  Oficial 0.00029 > 0.10

Aplicando la prueba de Dickey y Fuller se tiene:

  Variable Coeficiente t Significancia
  Paralelo 0.00329 59.842 > 0.10
  Oficial 0.00339 33.160 > 0.10

En esta prueba los coeficientes resultaron positivos, lo cual es indicio de que no se puede rechazar la hipótesis de raíz unitaria y de que es posible que existan varias. Se aplicaron las otras pruebas de Dickey y Fuller, con el resultado, en todos los casos de que no se puede rechazar la hipótesis de una raíz unitaria. En los dos casos se rechazaron las hipótesis de una tendencia no aleatoria y de una deriva (drift). La hipótesis que permaneció fue la de unos procesos con raíz unitaria.

Las mismas pruebas se aplicaron a las diferencias de las series para examinar la hipótesis de dos raíces unitarias. Para el tipo de cambio paralelo se rechaza muy claramente la hipótesis utilizando cualquier prueba. Para el tipo de cambio oficial la situación no es tan clara, se rechaza la hipótesis pero marginalmente.  

En resumen las dos series son I(1) y se les puede aplicar los métodos de la sección III para ver si son variables cointegradas.  

La ecuación de Cointegración es:
 
Paralelo = 0.056611 + 0.990999*Oficial + e R2 = 0.99284 D-W = 0.20476
 
O, alternativamente:
 
Oficial = -0.027624 + 1.001856*Paralelo + e R2 = 0.99284 D-W = 0.20328  

Las dos ecuaciones están muy cerca de ser la una la inversa de la otra, lo cual según Engle y Granger es un síntoma de Cointegración, esto se muestra en el hecho de que el producto de los coeficientes de las variables explicatorias, en este caso 0.9928, sea muy cercano a la unidad.  

Aplicando la prueba de Sargan y Bhargava se tiene de acuerdo a la tabla publicada por Engle y Yoo (1988) que los valores críticos de la prueba son 0.29 para 1%, 0.2 para 5% y 0.16 para 10% de modo que se puede rechazar la hipótesis nula, no Cointegración o lo que es lo mismo presencia de una raíz unitaria en los residuos de la ecuación de Cointegración, a un nivel por lo menos 5%, el mismo resultado es válido usando cualquiera de las dos ecuaciones.  

Otras de las pruebas es la de aplicar Dickey y Fuller a los residuos de la regresión, para el tipo de cambio paralelo, se obtiene:  
 
Cambio Residuos = -0.103217*Residuos (-1 ) + j  
                         (-3.50105 )

Las tablas muestran como valores críticos del coeficiente “t”:-4(1%), -3.37(5%) y -3.02(10%), como en el caso de la prueba anterior, se puede rechazar la hipótesis de no Cointegración a un nivel de por lo menos 5%. Algo similar ocurre si se toma como ecuación de Cointegración aquella en la cual aparece como variable dependiente el tipo de cambio oficial. Y lo mismo sucede con las demás pruebas de Cointegración.  

Como se vio en la sección III, asociado a la ecuación de Cointegración existe un mecanismo de corrección de errores, en el cual el cambio en las variables cointegradas esta asociado a los residuos de la ecuación de Cointegración y, probablemente, a valores rezagados de los cambios de las variables y a otras variables que no entraron en la ecuación de Cointegración. Usando hasta doce rezagos de cada uno de los cambios de las variables, por tratarse de series mensuales, se estimo la ecuación de corrección de errores que aparece en el cuadro 1.

Variable Rezago Coeficiente t-Statistic Significancia
Constante 0 -0.004531 -0.935198 0.3496860
Residuo 1 -0.080057 -2.280.963 0.0225506
Ctpar 1 -0.135146 -1.823.069 0.0682929
Ctpar 2 -0.143257 -1.916.368 0.0553183
Ctpar 3 -0.128595 -1.719.982 0.0854357
Ctpar 4 -0.282954 -3.788.447 0.0001516
Ctpar 5 -0.044578 -0.578704 0.5627889
Ctpar 6 0.000977 0.012698 0.9898690
Ctpar 7 0.047242 0.616075 0.5378450
Ctpar 8 -0.017708 -0.229811 0.8182390
Ctpar 9 -0.102966 -1.399.052 0.1617970
Ctpar 10 -0.767432 -1.049.615 0.2938950
Ctpar 11 0.542212 0.758402 0.4482100
Ctpar 12 0.145937 2.069.835 0.0384670
Ctof 1 1.785.215 2.271.580 0.0231120
Ctof 2 -0.232684 -0.202017 0.8399030
Ctof 3 -1.272.581 -1.088.481 0.2763830
Ctof 4 2.186.517 1.852.417 0.0639660
Ctof 5 -0.895971 -0.750444 0.4529870
Ctof 6 1.172.320 0.983896 0.3251660
Ctof 7 -1.866.239 -1.573.436 0.1156180
Ctof 8 0.880443 0.740438 0.4590340
Ctof 9 0.034644 0.029335 0.9765980
Ctof 10 1.096.212 0.936424 0.3490540
Ctof 11 -0.886466 -0.769352 0.4416480
Ctof 12 -0.094025 -0.119790 0.9046500
R2   0.3029   Q = 44.82

Como puede verse, el coeficiente de los residuos de la ecuación de Cointegración es negativo y es significativo, lo cual constituye otra prueba de la existencia de Cointegración entre las dos variables, el signo negativo quiere decir que cuando el tipo de cambio paralelo se aleja mucho de la ecuación de equilibrio en un período, existen fuerzas que la hacen acercarse a dicha ecuación en el período siguiente. El valor del R2 es bajo, lo cual indica la necesidad, si se quiere una ecuación que explique mejor el comportamiento de la variable, de introducir en el modelo variables diferentes de las se han incorporado; el valor del estadístico Q (Box-Ljung) muestra que no se puede rechazar la hipótesis de que los residuos son ruido blanco. Como resulta siempre en una primera etapa de estos ejercicios, hay muchas variables que son significativas, reestimando la ecuación, eliminando esas variables se obtienen los resultados del cuadro 2.

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Gustavo Herminio Trujillo Calagua 

trujilloarrobaucsur.edu.pe  / gustavotrujilloarrobaviabcp.com

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