Teoría del álgebra lineal

OBJETIVOS GENERALES DE LA MATERIA:

Al concluir la materia el estudiante deberá ser capaz de:

  • -Reconocer matrices y representar problemas en forma matricial.
  • -Realizar con destreza las diferentes operaciones posibles ente matrices.
  • -Calcular el determinante de una matriz, interpretar este valor y utilizar sus propiedades convenientemente.
  • -Resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales empleando la notación matricial por los diferentes métodos.
  • -Realizar las diferentes operaciones en el trabajo con vectores y aplicar las propiedades de las mismas el la solución de diferentes problemas concretos.
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TAMA 1: MATRICES.

Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en m-filas (horizontales) y ncolumnas (verticales) encerrados entre paréntesis o corchetes.

La notación mas usada es A = [aij] donde i es el número de posición de la fila y j el de la colunna.

El tamaño de la matriz se especifica usualmente escribiendo como subíndice “mxn

Cuando m = n se dice que la matriz es cuadrada.

Diagonal principal: Solo existe en matrices cuadradas y es la línea formada por los elementos aij tales que i = j

Traza de ena matriz: es la suma de los elementos de la diagonal principal.

Traz (A) = a11 + a22 + a33 + … + ann

TIPOS DE MATRICES

 Matriz fila:  Es una matriz de orden 1 x n.

Matriz columna: Es una matriz de orden m x 1.

Matriz nula: Es una matriz cuyos elementos son todos “0”

Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = o cuando i>j

Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = o cuando i<j

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = o cuando i ≠ j

Matriz escalar: Es una matriz diagonal cuyos elementos aij = k(k ≠ 0) cuando i = j

Matriz identidad: Es una matriz diagonal cuyos elementos aij = 1 cuando i = j

Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada donde aij = aji  para i ≠ j

Matriz antisimétrica: Es una matriz cuadrada donde aij = – aji  para i≠j y aij = 0 para i=j

OPERACIONES CON MATRICES

Matriz opuesta: Sea A = [aij] su opuesta es – A = – [aij] = [– aij]

Matriz traspuesta: Sea A = [aij]  de orden m x n su traspuesta se obtiene permutando las filas con las columnas y se denota A o At = [aji] y es de orden n x m

Suma de matrices: Sean la matrices A = [aij] y B = [bij] su suma se obtiene sumando

“elemento a elemento” A + B = [aij + bij] y es del mismo tamaño.         

Nota: Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.

Multiplicación por un escalar: El producto de una matriz A = [aij] por un escalar “k” se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho escalar k·A = [k·aij]

Nota: En el trabajo con matrices se acostumbra a llamar escalar las cantidades numéricas independientes.

Multiplicación de matrices: El producto de dos matrices solo es posible cuando el número de filas de la segunda matriz es igual al número de columnas de la primera.

Sean las matrices A = [aij]mxp y B = [bij]pxn el producto es pasible porque el número de filas de B es p y es igual al número de columnas de A. La matriz resultante C es del orden m x n  C = A·B = [cij]mxn y sus elementos se obtienen multiplicando los elementos  de las filas de A por los elementos correspondientes de las columnas de B y sumando estos productos.

Combinaciones lineales: Se dice que una fila de una matriz es combinación lineal de las otras, si existen números reales k1; k2; k3;…; kn tales que la fila dada es la suma de los productos de cada número real por cada una de las otras filas de la matriz.

Operaciones entre filas de una matriz:

Entre las filas de una matriz se pueden realizar las siguientes operaciones sin que la matriz resultante deje de ser equivalente a la matriz original.

  1. Permutar dos filas de la matriz.
  2. Multiplicar una fila por un número real diferente de cero.
  3. Sumar o restar a una fila una combinación lineal de una o varias de las demás filas de la matriz.  

Inversa de una matriz:

En el trabajo con números reales se puede sustituir la división de un número “a” entre un número “b” por el producto de “a” por el inverso de “b”.

No se ha definido un método para dividir matrices directamente pero si podemos encontrar una matriz inversa a la dada entonces podemos definir (en los casos que sean posibles) la división de una matriz A ente una matriz B como el producto de A por la matriz B-1 donde

B-1 es la matriz inversa de B.

Uno de los métodos mas utilizados para encontrar la inversa de una matriz es el método de Gauss-Jordán y consiste anotar una matriz identidad correspondiente al lado de la matriz dada, luego realizar transformaciones en las filas de ambas matrices hasta convertir la matriz dada en identidad, luego la matriz resultante de las transformaciones realizadas en la identidad será la inversa de la matriz original.

Propiedades de la aritmética matricial:

Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que sea posible realizar las operaciones indicadas:

TAMA 2: DETERMINANTES.

En estudia anteriores se ha trabajado con funciones reares de variable real por ejemplo f(x) = 3x – 2  es una función que a un número real x asocia un valor real f(x). El determinante es una función que asocia un número real a una variable matricial y se define como det (A).

  • El determinante de una matriz de primer orden (formada por un número real) es el propio número real.
  • El determinante de una matriz de segundo orden es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.

El determinante como un número real asociado a una matriz cumple las siguientes propiedades:

  1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos “0” entonces el det(A) = 0
  2. Si una matriz A tiene dos filas iguales, det(A) = 0
  3. Si A es una matriz cuadrada, det(At) = det(A)
  4. Si A es una matriz triangular, det(A) = a11٠a22٠a33٠…٠ann
  5. Si una matriz B es el resultado de sumarle a una fila de la matriz A un múltiplo de otra fila, det(A) = det(B)
  6. Si B es el resultado de intercambiar dos filas en una matriz A, det(A) = – det(B)
  7. Si una matriz B es el resultado de multiplicar una fila de la matriz A por un escalar k entonces det(B) = k٠det(A)
  8. Si A y B son matrices de igual tamaño, det(A٠B) = det(A)٠det(B)
  9. det(A + B) ≠ det(A) + det(B)

Nota: Si la matriz A es inversible  det(A) ≠ 0

Métodos de evaluación de determinantes de orden “n”.

  • Por reducción (con operaciones elementales entre filas).

Este método consiste en transformar la matriz en una matriz triangular realizando operaciones en las filas y teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes se obtiene el determinante a partir de determinante de la matriz resultante.

  • Por desarrollo de cofactores en filas o columnas (regla de Cramer).

Para explicar este método es necesario primero que es un menor y que es un cofactor o complemento.

El determinante de una matriz de orden n es la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por su correspondiente cofactor.

Inversa de una matriz usando determinante:

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por adjA, a la matriz a la matriz que se obtiene de reemplazar cada elemento de A por su correspondiente cofactor. Luego la inversa de A se puede calcular por la siguiente formula:

TEMA 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Ecuación lineal: Lineal es una igualdad donde hay una o mas incógnitas o cantidades desconocidas.

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores de las incógnitas para los cuales se cumple la igualdad.

Cuando una ecuación lineal tiene una sola incógnita entonces tiene una sola solución y se resuelve despejando la incógnita o variable.

Cuando una ecuación lineal tiene mas de una incógnita entonces tiene muchas soluciones (infinitas en la mayoría de los casos) porque al despejar la una variable esta queda en función de la otra. Para resolverla es necesario asignar el valor de un parámetro a una variable, luego las demás variables quedan en función del parámetro asignado.

Sistemas de ecuaciones lineales: Se le llama así cuando si tienen mas de una ecuación con mas de una incógnita, en este caso se pueden dar tres posibles soluciones:

  1. Que el sistema tenga una sola solución (compatible y determinado)
  2. Que el sistema tenga mas de una solución (compatible indeterminado)
  3. Que el sistema no tenga solución (incompatible)

Como una ecuación lineal representa una línea recta, las soluciones pueden interpretarse de la siguiente manera:

  1. Compatible y determinado (rectas que se cortan)
  2. Compatible indeterminado (rectas equivalentes o coincidentes)
  3. Incompatible (rectas paralelas)
  4. a) b)                               c)

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 o 3 ecuaciones con 2 o 3 incógnitas. En este curso no se trabajaran los ya aprendidos en materias anteriores a excepción del método de Cramer el cual se extenderá a sistemas de n-ecuaciones con n-incógnitas.

En forma general un Sistema de ecuaciones lineales (SEL) de m-ecuaciones con nincógnitas se puede escribir:

Como en este curso se estudiará el uso de las matrices y determinantes para resolver SEL, veamos a continuación con un ejemplo dos formas de escribir un SEL con representación matricial.

x1 +  x2 + 2 x3  = 8                        – x1 – 2 x2 + 3 x3 = 1                            3 x1 – 7 x2 + 4 x3 = 11

Métodos de solución:

  1. Método de Gauss.

El método de Gauss consiste en convertir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones en otra escalonada (convertir en triangular la parte de los coeficientes de la matriz).

  1. Método de Gauss -Jordán.

El método de Gauss-Jordán consiste en convertir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones en una matriz escalonada y reducida (convertir en identidad la parte de los coeficientes de la matriz).

  1. Método de Cramer.

El método estudiado en cursos anteriores es aplicable a SEL de n-ecuaciones con n-incógnitas.

  1. Método de la inversa.

Consiste en escribir el SEL de la forma A٠X = B y luego resolver X = A-1٠B aplicando la multiplicación de matrices.

Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales:

Cuando en un SEL todos los términos independientes son “0” se dice que el sistema es homogéneo y puede tener:

  1. Una única solución que es S = (0; 0; … ;0) (Solución trivial)
  2. Infinitas soluciones no triviales además de la Solución

Por lo general se resuelven por Gauss –Jordán.

TEMA 2: ESPACIOS VECTORIALES

VECTORES:

Llamamos magnitud física a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura son todas magnitudes físicas. El aroma o la simpatía, puesto que no pueden medirse, no son magnitudes físicas.

Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas. Así, por ejemplo, si decimos que José Antonio tiene una temperatura de 38 ºC, sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Rosa mide 165 cm de altura y su masa es de 35 kg, está claro que es sumamente delgada. Cuando una magnitud queda definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar.

Otras magnitudes, con su valor numérico, no nos suministran toda la información. Si nos dicen que Pedrol corría a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía.

Estas magnitudes que, además de su valor precisan una dirección se llaman magnitudes vectoriales, y se representan mediante vectores. En este tema estudiaremos los vectores y sus propiedades.

Podemos considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos. De esta forma lo podemos distinguir por cuatro partes fundamentales: punto de aplicación, módulo (norma o intensidad), dirección y sentido. Si dos vectores se diferencian en cualquiera de los tres últimos elementos, (intensidad, dirección o sentido), los consideraremos distintos.

mientras que si sólo se diferencian en el punto de aplicación los consideraremos iguales.

Siempre es posible dibujar dos vectores con la misma dirección pero sentido opuesto. Si además tienen la misma intensidad decimos que son vectores opuestos, ya que se anularían uno a otro.

Ya sabemos como  podemos representar las magnitudes vectoriales. Pero si deseamos poder trabajar con vectores, no podemos conformarnos con una representación gráfica de ellos, necesitamos poder expresarlos de forma numérica, tanto para poder operar más cómodamente como para poder estudiarlos mejor.

Cualquier vector puede dibujarse en un plano, si lo colocáramos de tal forma que su punto de aplicación coincida con el origen de coordenadas, el extremo del vector, coincidirá entonces con un punto del plano, el punto (x, y).

Cualquier punto (x, y) determina el vector que empieza en el origen de coordenadas y termina en él propio punto. Analíticamente, representaremos el vector por el punto que determina su final. A las coordenadas del vector las denominaremos componentes, y todo vector estará así definido por dos componentes, una x y otra y, que serán las componentes cartesianas del vector.

Además de por sus coordenadas cartesianas, existe otra forma de determinar numéricamente un vector: indicando su intensidad y el ángulo que forma con el eje de abscisas. Éstas (módulo y ángulo) son las coordenadas polares de un vector. En muchas ocasiones,     es      más          conveniente trabajar       con coordenadas polares que con coordenadas cartesianas.

Conocidas las coordenadas polares de un vector, determinar sus coordenadas cartesianas es inmediato aplicando la trigonometría.

x v=⋅cos ;α          y v sen=⋅ α

La determinación de las coordenadas polares del vector a partir de sus coordenadas cartesianas es también inmediata por trigonometría.

y

v = x2 + y 2 ; α= tag −1  x

VECTORES Y MATRICES:

Un vector puede ser representado como una matriz fila o una matriz columna, así de igual manera las filas y columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores.

Operaciones con vectores: 

Suma: La adición de vectores suma vectores y produce como resultado un vector. Esta operación se puede realizar, tanto gráficamente (como se ha estudiado en cursos anteriores) como analíticamente.

Nota: Es objetivo de este curso trabajar mas de esta última forma.

Para sumar dos o mas vectores en forma analítica es necesario primero expresarlos en coordenadas cartesianas y luego se suman como matrices filas (componente a componente). Solo se pueden sumar vectores de igual tamaño.

Como toda operación, la adición de vectores tiene unas propiedades que nos facilitan su realización:

Propiedad conmutativav + w = w + v
Propiedad asociativa(v + w) + u = w + (v + u)
Elemento neutrov + 0 = v
Elemento opuestov + (-v) = 0

Multiplicación por un escalar: Un vector puede ser multiplicado por un escalar y en ese caso cada componente del vector queda multiplicada por el escalar.

Gráficamente significa multiplicar el modulo del vector:

La multiplicación por un escalar también cumple ciertas propiedades: Sean U; V; W vectores y k; l escalares:

Asociativa            K٠(l٠U) = (k٠l)٠U

Distributiva          k٠(U + V) = k٠U +K٠V

                            (k + l)٠V = k٠V + l٠V

Elemento neutro 1٠W = W

ESPACIOS VECTORIALES

Estamos acostumbrados a representar un punto en la recta como un número real; un punto en el plano como un par ordenado y un punto en el espacio tridimensional como una terna o  trío ordenado. Pero si reconocemos un conjunto de números ordenados (a1; a2; a3; a4) como un punto en el espacio tetradimencional, aun cuando esta idea no se pueda concebir geométricamente mas allá del espacio tridimensional, es posible entenderlo considerando las propiedades analíticas de lo números en lugar de las propiedades geométricas.

Un espacio vectorial  no es mas que un conjunto no vacío de n-vectores ordenados que cumple con las propiedades de cierre y las antes mencionadas para la suma y la multiplicación por un escalar. Se denota por Rn y se clasifican así:

R1 = espacio unidimensional, línea recta real.

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.

Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.

Propiedad de cierre: Define que al operar dos elementos de un conjunto el resultado debe pertenecer al conjunto asignado en la operación.

Sean U; V; W vectores que pertenecen a Rn y k; l escalares:

Propiedad de cierre para la suma        V + W Є Rn 

Propiedad conmutativa                     v + w = w + v

Propiedad asociativa                       (v + w) + u = w + (v + u)

Elemento neutro                              v + 0 = v

Elemento opuesto                            v + (-v) = 0

Propiedad de cierre para la multiplicación por un escalar k٠W Є Rn 

Asociativa                                       K٠(l٠U) = (k٠l)٠U

Distributiva                                     k٠(U + V) = k٠U +K٠V

                                                          (k + l)٠V = k٠V + l٠V

Elemento neutro                              1٠W = W

 Producto escalar: El producto escalar; (producto punto o producto interior euclidiano) es un tipo de multiplicación definida entre vectores que es muy útil para aplicaciones a problemas reales ya que asigna un valor real a una operación entre vectores y se define de la siguiente manera:

También se define en función de sus componentes cartesianas.

             u v⋅  = u1 v1 + u2 v2

Análogamente se extiende para el espacio vectorial Rn.

Producto cruz de vectores: Es un tipo de multiplicación que se define para el espacio vectorial R3 la cual es muy usada en la solución de problemas en los que es necesario definir un vector que sea perpendicular (ortogonal) a otros dos vectores.

Sean v = ( v1; v2; v3 ) y u = ( u1; u2; u3 )  vectores que pertenecen a R3

El producto v x u es un vector que pertenecen a R3 y es perpendicular a “v” y a “u”, su sentido se puede determinar utilizando la regla de la mano derecha:

Se determina formando una matriz cuya primera fila son las componentes del primer vector y la segunda fila son las componentes del segundo vector, luego cada componente del vector resultante es el determinante de la matriz que se obtiene de suprimir en la matriz formada la columna correspondiente a la componente que se busca cambiándole el signo a la segunda componente:

Algunas aplicaciones de vectores:

El ángulo θ que forman dos vectores se puede calcular combinando las formulas del producto escalar, por la siguiente expresión:

La distancia entre dos puntos se puede determinar utilizando la formula del modulo de un vector v = x2 + y2 considerando el vector que une al punto P1(x1; y1; z1) con el punto P2(x2; y2; z2) como la diferencia entre los vectores OP2 –  OP1

El área de un paralelogramo cuyas aristas no paralelas sean consideradas como vectores en R3  v(v1; v2; v3) y u(u1; u2; u3) puede ser calculada como el modulo del producto cruz entre ambos vectores y el área de un triangulo como la mitad.

Combinación Lineal: Se dice que un vector “v”  es una combinación lineal de los vectores v1, v2, v3, …, vn en un espacio vectorial Rn si existen números reales k1, k2, … kn tales que “v” pueda ser expresado como:

V = k1v1 + k2v2 + k3v3 +… + knvn

Para comprobar si el vector “x” es combinación lineal de v, u, w є R3:

Se plantea un sistema homogéneo de ecuaciones lineales para:

k1v + k2u + k3w = x

k1( v1; v2; v3 ) + k2( u1; u2; u3 ) + k3(w1; w2; w3) = (x1; x2; x3)

k1٠v1 + k2٠u1 + k3٠w1 = x1  k1٠v2 + k2٠u2 + k3٠w2 = x2  k1٠v3 + k2٠u3 + k3٠w3 = x3

Si el sistema tiene solución el vector x es combinación lineal de v, u, w.

Dependencia e Independencia Lineal: Se dice que los vectores v1, v2, v3, …, vson linealmente dependientes si existen infinitas combinaciones lineales de estos vectores que den como resultado el vector 0.

Si la única combinación lineal que da este resultado es aquella en la que k1 =  k2 = … = kn, entonces se dice que los vectores son linealmente independientes.

 0 = k1v1 + k2v2 + k3v3 +… + knvn

Ejemplo: Para comprobar la dependencia Lineal entre los vectores v, u, w є R3:

Se plantea un sistema homogéneo de ecuaciones lineales para:

k1v + k2u + k3w = 0 k1( v1; v2; v3 ) + k2( u1; u2; u3 ) + k3(w1; w2; w3) = (0; 0; 0)

k1٠v1 + k2٠u1 + k3٠w1 = 0 k1٠v2 + k2٠u2 + k3٠w2 = 0 k1٠v3 + k2٠u3 + k3٠w3 = 0

Si este sistema solo tiene la solución trivial los vectores son linealmente independientes. Si tiene infinitas soluciones entonces son linealmente dependientes.

Espacio vectorial generado: Se dice que los vectores v1, v2, v3, …, vn generan un espacio vectorial V si cualquier vector “b” de dicho espacio se puede escribir como combinación de los vectores dados.

b = k1v1 + k2v2 + k3v3 +… + knvn

Base y Dimensión de un espacio vectorial: Un sistema de vectores libre, que permite generar todos los vectores de su espacio vectorial es una base.

Todo espacio vectorial tiene al menos una base.

El número de elementos de una base de un sistema de vectores se llama dimensión del espacio vectorial.

Por ejemplo: Los vectores (0,0,1), (0,1,0) y (1,0,0) son la base que se utiliza normalmente en un espacio de tres dimensiones.

TRANSFORMACIONES LINEALES

La transformada lineal es una función vectorial de variable vectorial w = f (v).

Donde: → El espacio vectorial “v” es la variable independiente

→ El espacio vectorial “w” es la variable dependiente

Si V y W son espacios vectoriales y F es una función que asocia un vector único en W para cada vector de V, se dice entonces que F aplica V en W y se escribe: F: V

Además si se escribe w = f (v) se dice que w es la imagen de v bajo f.

Definición. La definición de transformación lineal dice que todo espacio vectorial en V y W se puede hacer transformación lineal si cumplen con los axiomas de la distribución bajo la suma  T(u + v) = T(u) + T(v) y  la multiplicación por un escalar T(k٠u)= k٠T(u). Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus propiedades que son:

  • T(0) =  0
  • T(-v) =  – T(v)
  • T(v-u) = T(v)-T(u)

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Díaz Concepción Mijail. (2006, agosto 8). Teoría del álgebra lineal. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/teoria-del-algebra-lineal/
Díaz Concepción, Mijail. "Teoría del álgebra lineal". GestioPolis. 8 agosto 2006. Web. <https://www.gestiopolis.com/teoria-del-algebra-lineal/>.
Díaz Concepción, Mijail. "Teoría del álgebra lineal". GestioPolis. agosto 8, 2006. Consultado el 16 de Marzo de 2019. https://www.gestiopolis.com/teoria-del-algebra-lineal/.
Díaz Concepción, Mijail. Teoría del álgebra lineal [en línea]. <https://www.gestiopolis.com/teoria-del-algebra-lineal/> [Citado el 16 de Marzo de 2019].
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