Esta obra ha sido diseñada con miras a facilitar el aprendizaje de la ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA a las personas que la relacionan con sus proyectos o intereses.
Nuestra aspiración es presentar un trabajo de fácil comprensión, liberado de una abrumante teoría, con procedimientos estadísticos que requieren de un mínimo nivel matemático, sin que esto naturalmente afecte a la precisión de los resultados ni al rigor científico, que alentamos exista siempre.
Conscientes de que se puede aprender mucho y bien en la acción, nos hemos propuesto incluir en cada Unidad varios ejercicios resueltos y propuestas como asunto de aplicaciones reales que permitan que el lector adopte una actitud positiva a la evidencia utilidad que reviste el estudio de la ESTADÍSTICA.
Consideramos que la autocrítica y la autoevaluación son esenciales en el aprendizaje de la ESTADÍSTICA y su facilitación; por ello, también hacemos constar en la unidad la correspondiente REVISION y AUTOEVALUACIÓN, que permitirán conducir y conducir y afianzar los aprendizajes y, sobretodo, la confianza entre nosotros mismo sea la causa caliente nuestros mejores logros.
Para la revisión sugerimos a usted, estimado lector que observe la siguiente metodología de trabajo:
- Estudie los temas y subtemas de cada Unidad.
- Cuando desarrolle la revisión programada que existe en cada Unidad cubra con una hoja de papel la respuesta es que se hacen constar el margen; luego contrástelas Con aquellas que son el fruto de su propia elaboración.
- Los espacios y constan sin llenar en cada una de las frases están en relación a la palabra o palabras que son preciso escribir como respuesta.
La metodología que proponemos en esta obra requiere de una disposición positiva frente al estudio, fortalecida con la presencia de factores de tanta importancia como:
- La claridad en las metas y objetivos.
- La voluntad, como fuerza que nos impulsa a cumplir con nuestro trabajo
- La perseverancia, definida como la capacidad que nos permite mantenernos en el cumplimiento de una actividad.
La confianza en nosotros mismos y no te somos capaces. - El interés, que se traduce en una motivación y en el entusiasmo necesario por el estudio.
Los autores presentan en forma anticipada su agradecimiento a los estudiosos y estudiosas de la ESTADÍSTICA, por las que tenga la amabilidad de remitirnos y que posibiliten que este trabajo en futuras entregas mejore en calidad.
A continuación el documento completo, al final de esta página podrás encontrar un enlace para descargar el archivo original
Además, como complemento de estudio, te invitamos a consultar el siguiente videocurso de estadística descriptiva mediante el cual reforzarás los conceptos tratados en este documento, 13 videos.
Contenido
Introducción
Primera Unidad
NOCIONES PRELIMINARES
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
NOCIONES PRELIMINARES
POBLACION Y MUESTRA
VARIABLE
VARIABLE DISCRETA
SISTEMA CONVENCIONAL
REVISION
AUTOEVALUACIÓN
AUTOEVALUACION 2
LECTURAS RECOMENDADAS
Segunda Unidad
FRECUENCIAS
FRECUENCIA
ORDENACIÓN DE DATOS EN TABLAS DE FRECUENCIA
AMPLITUD TOTAL O RECORRIDO DE LA VARIABLE
Intervalo de clase
Límites de clase
Ancho del intervalo.
Marca de clase
Número de intervalos:
Tabulación de datos
Serie estadística
Serie estadísticas de frecuencia
Serie estadística de intervalos
Frecuencia acumulada
Frecuencia relativa
Porcentaje de la frecuencia
Ejercicios propuestos
Revisión
AUTOEVALUACIÓN
LECTURA RECOMENDADA
Tercera Unidad
REPRESENTACION GRAFICA.
AUTOEVALUACION 2
Lectura Recomendada.
Cuarta unidad
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.
MEDIA ARITMETICA.
EL SIGNO SUMATORIO
MEDIA ARITMETICA DE UNA SERIE ESTADISTICA DE FRECUENCIA/p>
MEDIA ARITMETICA DE UNA SERIE ESTADISTICA DE INTERVALOS
REPRESENTACION GRAFICA DE LA MEDIA ARITMETICA
Propiedades y aplicaciones
MEDIA
MEDIANA DE UN SERIE ESTADISTICA DE INTERVALOS
MODO
Lectura recomendada
QUINTA UNIDAD
DESVIACIÓN MEDIA DE UNA SERIE ESTADÍSTICAS DE INTERVALOS
VARIANZA DE UNA SERIE ESTADÍTICA DE INTERVALOS
DESVIACIÓN TÍPICA
DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA DE INTERVALOS
PROPIEDADES Y APLICACIONES.
PUNTUACIONES TIPIFICADAS
Sexta Unidad
NUMEROS ÍNDICES
LECTURA RECOMENDADA.
Anexos.
——————–
Primera Unidad
NOCIONES PRELIMINARES
CONTENIDOS:
1.1. POBLACIÓN Y MUESTRA
1.2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ESTADÍSTICA INFERENCIAL
1.3. VARIABLES
1.4. REDONDEO DE DATOS
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al terminar el estudio de esta unidad, usted estará en capacidad de:
1. Distinguir el significado de población y muestra.
2. Explicar la diferencia que existe entre estadística descriptiva e inferencial.
3. Describir en que consiste el método de la estadística descriptiva e inferencial.
4. Identificar diversos ejemplos de variables.
5. Redondear valores numéricos.
Para el logro de estos objetivos, usted debe:
1. Contestar la autoevaluación que aparece al final de cada unidad. Contraste sus respuestas con aquellas que ofrecemos al final del libro hasta alcanzar un nivel de eficiencia equivalente al ciento por ciento (100%).
2. Efectuar la revisión de la unidad comprobando sus respuestas con aquellas que hacemos constar al margen de las páginas. Consideramos que esto constituye un material de refuerzo que le permitirá repasar los aspectos fundamentales.
3. Resolver los ejercicios propuestos, pues constituyen la practica necesaria para fortalecer su grado de comprensión. NOCIONES PRELIMINARES
POBLACIÓN Y MUESTRA 1.1.1. POBLACIÓN
Es el conjunto de elementos motivos de una investigación.
Parámetros. – son los valores numéricos que corresponden a las características de la población.
1.2.1. MUESTRA.
Es una parte de la población de cuyo análisis se pueden obtener características que corresponden a la población.
Estadísticos. – son los elementos numéricos que corresponden a las características de la muestra.
A continuación, proponemos ejemplos de población y muestra:
Población. – profesores de educación media de la provincia de Loja.
Parámetro. – media aritmética de la edad de los profesores de educación media de la provincia de Loja. Muestra. – profesores de educación media del cantón Loja.
Estadístico. – media aritmética de la edad de los profesores de educación media del cantón Loja.
1.2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL
1.2.1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Se ocupa de la presentación y análisis de hechos y cosas, explicando sus diferentes partes, pero sin extraer conclusiones que puedan generalizarse a un todo.
1.2.1.1. Método De La Estadística Descriptiva. Esta rama de la estadística, para cumplir con los objetivos que le son propios, utiliza el siguiente método:
– Recolección de datos. – consiste en la obtención de datos relacionados con el problema motivo de estudio, utilizando instrumentos, tales como: cuestionarios, entrevistas, informes, memorias, etc. Así, por ejemplo: entre Los Estudiantes Que Pertenecen A La Especialidad De Agronomía De Un colegio “x”, recogemos los datos correspondientes a: origen de los estudiantes, residente actual, escuelas de las que provienen.
– Análisis de datos. – se lo hace tomando en cuenta factores, como: indignación y estudio de cada alumno, para luego anotar el valor de cada aspecto; así:
ORIGEN DE LOS ESTUDIANTES RESIDENCIA ACTUAL ESCUELA DE LAS QUE PROVIENEN
NOMINA
PROVINCIA DE LOJA
OTRAS PARROQUIA
N.N. …
Diferenciación De La Presidencia Y El Lugar De Residencia Actual De Cada Individuo. En el caso, motivo de análisis, tal como el origen de los estudiantes, anotamos el número de estudiantes de: Loja, Zamora, Morona Santiago, Tungurahua, Chimborazo; y, también los estudiantes que no contestan.
Con relación al a la especto <<escuelas de los que provienen>>, se aprecia que hay estudiantes que han realizado estudios primarios en la ciudad de Loja, en la provincia de Loja y en otras provincias.
1. Clasificación de tabulación de datos. Es decir, ordenarlos y expresarles por medio de tablas, así:
ORIGEN DE LOS ESTUDIANTES PROVINCIA NUMERO DE ESTUDIANTES Loja 66 Zamora 9 Morona Santiago 1 Tungurahua 1 Chimborazo 1 No contestan 1
TOTAL 79
ESCUELA DE LAS QUE PROVIENEN NOMINA NUMERO DE ESTUDIANTES Ciudad de Loja 36 Otros cantones de Loja 36 Otras provincias 7 TOTAL 79
Determinación de los valores numéricos que corresponden a la población.
Los datos expuestos en las tablas, para su mejor comprensión y divulgación, pueden ser representados mediante gráficas.
1.2.2 ESTADÍSTICA INFERENCIAL Esta rama de la Estadística extrae de la muestra conclusiones válidas que, una vez enseñadas y analizadas, pueden proporcionarnos ciertas características comunes de la población.
1.2.2.1. Método de la Estadística Inferencial. – En el campo de la investigación, la estadística inferencial al utilizar el siguiente método:
Formulación de la hipótesis. – Una vez que se han delimitado el problema motivo de estudio, es indispensable hacer en un ciado o enunciados que serán objeto de comprobación entre paréntesis hipótesis, para que sean admitidos a rechazados. Elaboración del plan de investigación. – Es la planificación del trabajo de investigación, haciendo hincapié: en la delimitación del grupo o grupos sujetos de la investigación, en los instrumentos de búsqueda de información, y, en un cronograma que garantice el cumplimiento de las etapas de investigación. El plan de trabajo inicial puede ser modificado, según las circunstancias Y sobre la marcha. Recolección de datos. – Determinados los instrumentos de búsqueda, encuestas, entrevistas, etc. que van a ser utilizados en el estudio del problema, se los aplica el grupo o grupos elegidos como muestra. Análisis de datos. – La información recolectada se lo dispone en tablas, se efectúa luego el cálculo de ciertos estadísticos y se elige la prueba estadística que más convenga a la investigación, puede ser: diferencia de medidas, diferencia de proporciones, t-student, Chi cuadrado, etc. La elección de esta prueba estadística estará supeditada, desde luego, al tipo de datos disponibles, el tamaño y número de muestras de las muestras. Aceptación o rechazo de la hipótesis. – Una vez que se ha aplicado la prueba estadística conveniente se debe realizar el ensayo de hipótesis, mediante el cual se acepta o se rechaza la hipótesis planteada, tomando en cuenta el nivel de confianza, es decir, <<las probabilidades que tenemos de que nuestra decisión al aceptar o rechazar la hipótesis sea correcta.1
Conclusiones. – Bajo el supuesto de no haber incurrido en las fallas debidas a la realización técnica de la investigación, tendríamos que tomar las decisiones finales que sean confiables y que, luego de los análisis estadísticos de las hipótesis, nos ayuden a solventar el problema motivo de la investigación. Es imprescindible también que el investigador en metas propias anunciados inferidos de la investigación.
VARIABLE Es una característica cualitativa cuantitativa, que puede tomar diferentes valores para cada uno de los elementos de la población. De acuerdo a sus valores, la variable se clasifica en: DISCRETA Y CONTINUA.
VARIABLE DISCRETA. Representa una característica cuantitativa que no puede tomar valores comprendidos entre dos números enteros consecutivos.
Así, por ejemplo:
El número de presidentes constitucionales del Ecuador.2
El número de presidentes puede ser: 0, 1, 2, …, pero es evidente que no existe 20, 5 presidentes. esta variable, en consecuencia, no puede tomar valores que estén entre dos enteros.
1 Morales V. Pedro. Técnicas de Investigación Operativa de Educación y Psicología. Página 8. 2 Números enteros: …, -2, -1, 0, 1, 2, …. 1.2.3. VARIABLE CONTINUA
Representa una característica cuantitativa que puede tomar cualquier valor numérico.
así, por ejemplo:
La edad de los presidentes constitucionales del Ecuador.
La edad puede darse en años, meses, días, Etc. La edad de un presidente puede expresar así: 50,2 años es decir, siempre hemos de encontrar otro valor entre dos enteros que puede ser tomado por la variable.
REDONDEO DE DATOS
En la actualidad con el uso de las computadoras, se pueden obtener miles de cifras decimales o interés. Hoy, pero en esta no se requiere de la precisión absoluta, sino más bien de la aproximación orden ondeo de ciertos valores. Para realizar la aproximación redondeo se utilizan los siguientes sistemas:
SISTEMA CONVENCIONAL según el cual:
1.3.1.1. Si el último dígito es menor que cinco se le suprime, y en la cantidad resultante es la misma. Ejemplos: 7,23 redondeado a la decima
10,284 redondeado a la centésima es
137,4 aproximado a la unidad es a.230 aproximado a la centenas es 1.4.1.2. Si el ultimo digito es mayor o igual que 5, se lo suprime, y el digito anterior es redondeada a la cifra inmediata superior.
Ejemplos:
8,277 redondeado a la centésima es
112,38 redondeado a la decima es
14,375 redondeado a la centés ima es
7.350 redondeado a centenas es
1.4.2. SISTEMA INTERNACIONAL (SI)
Sean los siguientes ejemplos:
a) 1,1425 redondeado a dos cifras decimales es b) 126,641 redondeado a tres cifras enteras es c) 48,85 redondeado a dos cifras enteras es d) 39,5 redondeado a dos cifras enteras es e) 74,5 redondeado a dos cifras enteras es
Concluimos que: Si la fracción decimal es menor de 5 se la deja a la misma cifra, o no se la toma en cuenta para ser retenida como en el ejemplo a). Si la fracción decimal es mayor que 5 se aumento en 1 Unida la primera cifra retenida, como ejemplos b) y c). Si la fracción decimal es exactamente 5 y si le precede al 5 una cifra impar se aumenta 1 Unidad más. Ejemplo d) si la fracción decimal es exactamente5 y se le precede al 5 una cifra para no varía el número. Ejemplo e).
En los cálculos realizados en esta obra hemos utilizado el SISTEMA CONVENCIONAL de redondeo de datos.
Ejercicios resueltos
1.3.2. ¿La calificación en la asignatura de estadística es una variable continua o discreta? Es una variable continua.
1.3.3. Utilizando el SISTEMA CONVENCIONAL redondear los siguientes números:
5,32 redondear a la decima 8,373 redondear a la centésima 249,2 redondeara la unidad 6.540 redondear a centenas Desarrollo: 5,32 redondeado a la décima es 5,3 8,373 redondeo a la décima centésima es 8.37 249,2 redondeado a la unidad es 249 6,540 redondeado a centenas es 6.500
1.3.4. Utilizando el SISTEMA CONVENCIONAL redondear los siguientes números:
5,246 redondear a la centésima 324,37 redondear a la decima 4.260 redondear a centenas Desarrollo: 5,246 redondeado a la centésima es 5,25 324,47 redondeo a la centésima es 324 4.260 redondeado a centenas es 4.300
1.3.5. Con la ayuda del SISTEMA CONVENCIONAL redondear los siguientes números:
3,1238 redondear a dos cifras decimales 328,641 redondear a tres cifras enteras 68,5 redondear a dos cifras enteras 83,5 redondear a dos cifras enteras Desarrollo 3,238 redondeado a dos cifras decimales es 3,12 328,641 redondeado a tres cifras enteras es 329
68,5 redondeado a dos cifras enteras es 68 83,5 redondeado a dos cifras enteras es 84
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.3.6. ¿La variable peso es continua o discreta?
1.3.7. Redondear los siguientes números usando el SISTEMA CONVENCIONAL:
234,28 redondear a la decima 139,3 redondear a la unidad 34,184 redondear a la centésima 2,470 redondear a centenas 1.3.8. Redondear los siguientes números usando el SISTEMA CONVENCIONAL
42,5 redondear a dos cifras enteras 87,5 redondear a dos cifras enteras 7,1125 redondear a dos cifras decimales 328,634 redondear a tres cifras enteras
REVISIÓN
1.3.9. Los Valores Numéricos De Las Características
De La Población Se Denomina parámetros
Y Los Valores Numéricos De Las Características De Los
Muestra Toman El Nombre De estadísticos
1.3.10. La Estadísticas Descriptiva Se Ocupa análisis
De La Representación Y De Los Hechos, extrae
En Cambio, La Estadística Inferencial conclusiones
1.3.11. El Número De Diputados Al Congreso Nacional Es Una Variable
discreta
1.3.12. La Edad De Los Habitantes De Vilcabamba continua
Es Una Variable_
1.3.13. Entre Los Instrumentos Utilizadas Para La Recolección De Datos Tenemos: informes hojas
El Cuestionario, La Entrevista Y de observación
1.3.14. ¿El Análisis De Los Datos Incluye La tabulación Y Cálculos Estadísticos?
. Si.
1.3.15. Como medios de divulgación de los datos estadísticos se utilizan las representación graficas
1.3.16. ¿Al formular la hipótesis estamos interesados en comprobar algo? (si o no) . Si.
1.3.17. Toda elaboración sistemática sobre organización de un trabajo se llama
plan de investigacion
1.3.18. Cuando se utilizan ciertos instrumentos de medida, como son las encuestas, entrevistas, etc, se esta recogiendo datos
1.3.19. ¿Es suficiente un grupo o es mejor dos grupos para poder comparar los resultados en una investigacion dos grupos
1.3.20. El proceso estadístico mediante el cual se va a aceptar o a rechazar la hipótesis se llama:
ensayo de hipótesis
1.3.21. Para que las conclusiones sean correctas entre otras , debemos tomar en cuanta el _ nivel de confianza
1.3.22. El redondeo de datos se utiliza para la Cifras decimales o enteras. aproximación AUTO EVALUACIÓN Marque con una equis(x) el enunciado correcto de cada una de las proposiciones que a continuación formulación:
1.3.23. La población se refiere:
a) Un conjunto de elementos matemáticos
b) Un conjunto de todos los elementos de una investigación c) Una reunión de características d) Un conjunto de parámetros
1.3.24. Una de las siguientes proposiciones define lo que es muestra:
a) El conjunto de elementos de una investigación b) El conjunto estadístico c) Una parte de la población
d) Una consecuencia extraída de la población
1.3.25. La ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA trata de:
a) La representación y análisis de la población b) Características de la muestra c) Datos de una muestra para analizarlos d) Conclusiones validas de la muestra 1.3.26. La ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA extrae:
a) Conclusiones a partir de la población b) Características de la muestra c) Datos de una muestra para analizarlos d) Conclusiones validas de la muestra 1.3.27. Señale que elementos no corresponde al método de la estadística descriptiva:
a) Recolección de datos
b) Formulación de hipótesis c) Análisis de datos d) Representación grafica
1.3.28. Para el análisis de los resultados en el método de la Estadística Inferencial, se debe tomar en cuenta uno de los siguientes aspectos: a) Selección de la muestra
b) Aplicación de la encuesta c) Cálculos estadísticos d) Ensayo de la hipótesis
1.3.29. La variable estadística se define como: a) Un conjunto de elementos que pueden tomar diferentes valores b) Un conjunto de literales c) Un grupo de estadísticos
d) La frecuencia de una población
1.3.30. Analice las siguientes variables estadísticas y seleccione la variable continua:
a) Países del pacto andino
b) Peso de las señoras ecuatorianas
c) Padres de familia de los estudiantes de un colegio
d) Ministros de estado que forman el gobierno ecuatoriano
1.3.31. Señale el enunciado correcto:
a) 7,283 aproximado a la centésima es igual a 7,29 b) 16,395 aproximado a la décima es igual a 16,3 c) 18,935 aproximado a la unidad es igual a 18 d) Ninguna de las aproximaciones anteriores es correcta
Verifique las respuestas de la AUTOEVALUACIÓN en la página 339
AUTOEVALUACIÓN 2 1. Marque con una equis (x) los enunciados correctos según el Sistema internacional de redondeo de cifras: a) El numero 37,5 redondeado a dos cifras enteras en igual a 38
b) El numero 129,145 redondeado a dos cifras decimales es igual a 129,15 c) El numero 130,37 redondeado a una cifra decimal es igual a 130,3 d) El numero 5,284 redondeado a dos cifras decimales es igual a 5,28
2. Los parámetros, son:
a) Una parte de la población
b) Los valores que corresponden a las características de la muestra
c) Los valores numéricos que representan a las características de la población d) Los elementos que son motivos de una investigación 3. Estadísticos son los valores numéricos:
a) Corresponden a la población
b) Representan una característica cualitativa
c) Corresponden a la característica de la población d) Corresponden a las características de la muestra 4. Señale cuales de las siguientes variables son discretas
a) El peso de los estudiantes de un colegio b) La población analfabeta del ecuador c) La edad promedio de los estudiantes de una universidad
d) El número de profesores de educación general básica del Ecuador
5. Por medio de la muestra se extraen conclusiones válidas para
a) Una parte de la población b) Una parte de la muestra c) La población
d) Un conjunto de estadísticos
6. El rendimiento estudiantil en la asignatura de estadística es:
a) Un atributo
b) Una variable discreta c) Una variable continua d) Ninguna de las proposiciones anteriores 7. Una serie estadística cuantitativa es aquella que:
a) Representa valores exactos
b) Se fundamenta en una característica continua y discreta c) Incluye cifras numéricas d) Las proposiciones anteriores son falsas.
Verifique las repuestas de la AUTOEVALUACIÓN 2 EN LA PAGINA 340. LECTURAS RECOMENDADAS
Los Libros
Jaime Bustamante G.
“odio los libros; no enseñar mas que a hablar de lo que no se sabe”. EMILIO ROUSSEAU
En el transcurrir del tiempo, el libro ha tenido adversarios y partidarios. Eminentes pedagogos modernos y contemporáneos han fijado su posición frente al libro; Así, se menciona a Rousseau, Como el prototipo Del maestro que fustigó con mucho ardor a los libros. Pero, ventajosamente, también encontramos a prominentes maestros que defienden de una manera elocuente a libro, valorándolo en su justa medida y reconociéndolo como la memoria misma de la humanidad.
Consideramos que, en la época actual y futura, el libro es y seguirá siendo el recurso de Mayor importancia en educación; Se precisa que nuestros alumnos le enseñamos técnicas de lectura bien en definitiva una buena metodología de trabajo intelectual que les permita leer reflexivamente, así como interesarlos por lectura y por los libros que constituyen la fuente del saber.
El libro tiene perspectivas ilimitadas, pero, el mal uso que se da a los libros es lo que realmente hay que combatir por ejemplo: existen algunos profesores, inclusive, a nivel de colegios y universidades que se limitan a leer un libro durante la clase; libro que por otro lado lo llevan bien forrado, como para que sus alumnos no se entere dónde está la ciencia. También debemos destacar que con frecuencia se recomienda la adquisición de libros, pero, los alumnos no llegan utilizarlos jamás, pues, el mismo maestro utiliza como reserva otro libro como fuente de consulta.
En la juventud lojana y en personas de toda edad existe una imperiosa necesidad por estudiar, por saber. Día y noche se observa por nuestra ciudad el caminar presuroso de personas con libros y cuadernos con destino a los centros de estudio, de lo cual se deduce el afán renovado de las mujeres y hombres lejanos por la ciencia, arte y la cultura. Se aspira a un perfeccionamiento intelectual, pero a ellos debe contribuir una industria del libro, dispuesta a llevar a cabo un trabajo de calidad y en el menor tiempo posible.
Industrias editoriales que existen en el territorio nacional debe merecer del Estado ecuatoriano incentivos de carácter económico, disminuyendo por ejemplo los aranceles de importaciones de materiales y liberando por una sola vez los impuestos a la importación de maquinaria moderna, que les permita en las mejores condiciones garantizar el éxito en la composición, impresión y encuadernación de sus libros.
En fin, mucho podría ser el Estado por este renglón Que es con consustancial al mismo desarrollo del país. El abaratamiento del costo del libro se conseguirá con una hábil política que ayuden a culturizar en forma masiva al pueblo ecuatoriano. Convencidos Del papel transcendente que desempeña el libro hemos de pregonar y hacer nuestro el pensamiento de que “Los libros enseñan a los que viven y a los que han de nacer la herencia de los que fueron “y por ello todos debemos auspiciar su producción y difusión. ¿Qué es la estadística? Para iniciar estas notas, resulta muy apropiado considerar que es la estadística, ya que la palabra puede usarse con varios sentidos.
Conviene señalar, en primer término, que la mayoría de las personas asocian la palabra estadística con las publicaciones cénsales o las noticias que recogen cifras de producción, de nacimiento, de mi admitidos en la Universidad, de accidentes de tránsito, etc., O con los cuadros y gráficos que aparecen en las revistas o diarios; o con las cifras o porcentajes que usan los políticos en sus discursos, presididos de la frase ritual: “ las estadísticas muestran que… “. Éste concepto corresponde Al plural estadísticas, el cual se utiliza para indicar un conjunto de cifras, de datos estadísticos, que son organizados y presentados para mostrar las características o comportamientos de un cierto fenómeno de interés. Y esto es lo que se tiene en mente cuando se habla de estadística de población, estadísticas educativas, estadísticas de producción industrial, estadísticas de un con un campeonato de fútbol, etc.
La estadística, sin embargo, no es simplemente un conjunto de cifras, ni está interesado solamente en recoger presentar datos. Cuando se habla en estas notas de estadística, lo que se tendrá en mente es el singular estadística, El cual se refiere a un campo del conocimiento, A una disciplina desarrollada para tratar con datos numéricos o cuantitativos, obtenidos por observación o experimentación. Como disciplina científica, la estadística sólo tienen parte por objeto recoger y presentar datos; esta orientación fue predominante en las etapas tempranas de su desarrollo, en las Cuales Un gran esfuerzo se ponía en la recolección de grandes masas de datos en la sumarizacion y presentación de esa información por medio de cuadros y gráficos y en el cálculo de porcentajes, promedios y otro tipo de medidas. Dominaba básicamente algún interés por describir las características y la relaciones de los conjuntos de datos y se considerado fundamental recoger la totalidad o una gran parte de los datos de interés, a fin de garantizar que los resultados derivados de análisis estadístico fueron válidos.
Posteriormente, el desarrollo de la experimentación científica, especialmente en el campo biológico y agrícola, plantea el problema de cómo llegar a conclusiones o generalizaciones básicas para una población a partir del estudio de sólo un reducido grupo (muestra) de los elementos que la componen. Esto dio origen al desarrollo de la inferencia estadística, la cual descansa en la teoría de las probabilidades.
Más modernamente, la inferencia estadística recibió un nuevo impulso cuando una serie de necesidades de obtención de información confiable, en el campo social y económico, llevaron al desarrollo de las encuestas por muestreo que tan utilizadas son hoy en día por investigadores, burócratas, empresarios, etc. Y, para recoger datos de ingreso familiar y personal, producción agrícola e industrial, empleo, características de los hogares, opinión pública, etc. También las técnicas de inferencia estadística son ampliamente utilizadas para enfrentar los problemas de decisión bajo condiciones de incertidumbre, típicas de los negocios.
En la actualidad, la estadística constituye una disciplina dedicada al desarrollo de teorías y técnicas apropiadas para llevar a cabo, en una forma sistemática y confiable, tanto en la recolección, clasificación, presentación, análisis e interpretación de conjuntos de datos numéricos producidos por observación o experimentación, como el uso de esta información para realizar inferencias válidas y útiles para la población de la cual proviene.
Esta naturaleza especial de la estadística, unida a la tendencia generalizada que existe en el mundo moderno hacia la cuantificación y recolección de datos, Hay hecho que sea de gran utilidad en prácticamente todos los campos de la actividad humana, convirtiéndolo en una herramienta fundamental de la investigación científica empírica. Esto explica el inmenso desarrollo que ha tenido la estadística y el uso tan difundido que de ella se hace; y subraya la necesidad de que cada día un mayor número de personas tengan una idea clara de en qué consiste Y qué se puede hacer para ella y cuáles son sus principios técnicos y aplicables. Es importante distinguir entre estadística descriptiva y estadística inferencial inductiva. Por estadística descriptiva se entiende aquella técnica e instrumentos que se emplean cuando únicamente se desea describir y analizar un conjunto de datos, no importa la profundidad y detalle con que se haga, pero no se pretende a partir de esos datos hacer generalizaciones o inferencias para un conjunto mayor. La confección de cuadros y gráficos, la construcción de distribuciones de frecuencia, el cálculo de promedios, variancias Y coeficientes de correlación, Son ejemplos de técnicas utilizadas rutinariamente dentro de la estadística descriptiva.
Por estadística inferencia al o inductiva se entienden las técnicas o procedimientos que se emplean cuando el propósito perseguido es no sólo describir Los datos si no generalizar lo observado en ellos para un conjunto o universo mayor, del cual fueron seleccionados. La inferencia estadística es un proceso inductivo: se parte de una muestra y sus resultados se generalizan para el conjunto o universo del cual fue seleccionado. Como toda inferencia lleva implícita una probabilidad de error o incertidumbre, esta es medida utilizada la teoría de las probabilidades. Más adelante se explicará en detalle la naturaleza de la inferencia estadística, pero es importante señalar que en una serie de campos de acción del ser humano, Es necesario, con gran frecuencia, tomar decisiones o hacer generalizaciones a partir de información incompleta o con base en una muestra: un médico debe decidir sobre la efectividad de una vacuna a partir de lo observado en un cierto número de pacientes; un industrial debe decidir si acepta o rechaza un lote de material de prima Con base en el estudio de una parte de lote; un biólogo debe decidir si generalizar los resultados observados en una muestra de conejos, a todos los conejos de la Raza estudiada a un a los de otras razas; una trabajadora social debe decidir si los problemas que afectan a una muestra de ancianos de una ciudad pueden generalizarse – o considerarse suficientemente válidos -para todos los ancianos de la ciudad o de la zonas urbanas Del país; un funcionario del ministerio de Agricultura debe ser una estimación de la cosecha de frijoles contando con la información de una muestra de fincas; un asesor del ministerio de educación pública debe decidir, con base en un experimento llevado a cabo en una muestra de alumnos tomados de una muestra representativa de colegios, si un cierto procedimiento programado de la enseñanza de la química es superior o no al método tradicional; etc.
El cambio moderno de énfasis en la estadística, de lo descriptivo a la inferencia al, refleja su capacidad para enfrentar el tipo de problemas antes citados.
También se distingue entre teoría estadística matemática y estadística aplicada. La primera, utilizando de ciertos principios básicos Y elementos matemáticos como la teoría de las probabilidades, se preocupa por estudiar el comportamiento de los procesos aleatorios y derivar leyes (o principios y procedimientos) que permitan realizar inferencias acerca de una población a partir de muestra aleatoria, y me di la confianza que estas inferencias merezca. La estadística aplicada se ocupa de la aplicación de estas técnicas desarrolladas para la estadística teórica, para la solución de problemas concretos que se dan en la realidad.
(TOMADO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA DE MIGUEL GOMEZ BARRANTES, PAGINAS 11,12,13, Y 14)
Segunda Unidad
FRECUENCIAS
CONTENIDOS:
2.1. FRECUENCIAS
2.2. ORDENACIÓN DE DATOS EN TABLAS DE FRECUENCIAS 2.2.1. AMPLITUD TOTAL O RECORRIDO DE LA VARIABLE 2.2.2. INTERVALO DE CLASE
2.2.3. TABULACIÓN DE DATOS
2.3. FRECUENCIA ACUMULADA
2.4. FRECUENCIA RELATIVA
2.5. PORCENTAJE DE LA FRECUENCIA OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Al terminar el estudio de esta Unidad, usted estará en capacidad de:
Distinguir el significado de FRECUENCIA.
Calcular los límites reales de CLASE.
Calcular el ancho del INTERVALO.
Escribir la marca de clases de un INTERVALO.
Calcular el número de intervalos de una SERIE.
Tabular los datos estadísticos.
Escribir la frecuencia acumulada de una SERIE.
Calcular la frecuencia relativa de un conjunto de datos.
Calcular el porcentaje de la FRECUENCIA.
Para el logro de estos objetivos, usted debe:
Contestar la autoevaluación, con un nivel de eficiencia equivalente al ciento por ciento (100%), comparando sus soluciones con aquellas que ofrecemos al final del libro.
Hacer la revisión de esta Unidad contestando el material de refuerzo que proponemos.
Resolver los ejercicios propuestos. FRECUENCIAS
FRECUENCIA
Es el número de veces que se repite un mismo valor de la variable. Así, por ejemplo:
Número de estudiantes del Ecuador distribuidos por niveles de estudio:
Niveles1 Frecuencia (f) pre primario 28.504 Primario 1338119,00 Medio 469.968
TOTAL 1,836.591
ORDENACIÓN DE DATOS EN TABLAS DE FRECUENCIA
Existen muchos tipos de datos que pueden ser recogidos de variadas formas; pero, se hace fundamental proceder a su ordenamiento, con el fin de que preste mayor comodidad en el análisis y en la extracción de conclusiones.
En el proceso de una investigación resulta de suma importancia esta Unidad, pues, a través de ella, hacemos resaltar en forma continua las diversas fases que es preciso tomar en cuenta para cumplir con el ordenamiento de los datos.
AMPLITUD TOTAL O RECORRIDO DE LA VARIABLE
De los datos de una encuesta sobre edades de personas, se obtuvieron los siguientes valores:
41 39 37 20 56 25 27 32 31 28 19 47 38 43 21 32 35 34 47 49 18 25 37 29 20 43 37 40 32 31 35 46 30 32 53 50 42 31 44 37
En este conjunto de datos se aprecia que la edad más alta es de 56 y la más baja es de
18 años. La diferencia entre estos dos valores es 38(56- 18 =38). Este valor 38 constituye la amplitud total o recorrido de la variable, y se define como la diferencia que se establece entre el valor mayor y el menos de la variable.
� = ?����� − ?��� �� Siendo:
a = amplitud Xmayor = valor mayor Xmenor = valor menor
Intervalo de clase
A los números extremos y a los que se encuentran incluidos en ellos se los denomina intervalo de clase.
Por ejemplo: el intervalo 80 -86 esta formado por los sicuientes numerales
80, 81, 82, 83, 84, 85 y 86
Límites de clase. – son los valores extremos que forman el intervalo
Así por ejemplo el intervalo 70-75 significa que se inicia en 70 y termina en 75; pero estos límites no son verdaderos, pues, el intervalo 70-75 varía desde 69,5 hasta 75,5 Qué son los límites reales, respectivamente. Al primero se lo llama al límite real inferior (Li) y el segundo, límite real superior (Ls).
Ancho del intervalo. – Si se propone el intervalo 1820 tomado de una serie estadística sobre calificaciones escolares el tamaño o anchura del intervalo de clase se lo tiene al establecer la diferencia entre sus límites reales,así: 20,5 – 17,5 = 3
Es decir:
? = �� − �?
intervalo superior En donde:
i = ancho del
Ls = límite real
Li = límite real inferior
Cuando se trata de serie estadística, el ancho del intervalo es un número entero supuesto de preferencia impar a fin de que su marca de clase sea un número entero
Marca de clase. – es el valor medio de cada intervalo para determinarlo se suman los valores extremos del intervalo y este resultado se divide para dos.
Esta relación expresada mediante la fórmula queda de la siguiente manera:
�? + 1� ?� = 2
Por ejemplo:
intervalo Siendo:
Xm = marca de clase li = límite inferior del intervalo ls = límite superior del
En un colegio a través de una encuesta se realizó un estudio acerca de una especialidad técnica como variable la edad de los padres de familia.
La tabla de valores de la edad que daría así:
Intervalos
(x) Marca de clase
(Xm) Frecuencias
(f)
75 – 79 77 1
70 – 74 72 0
65 – 69 67 5
60 – 64 62 4
55 – 59 57 8
50 – 54 52 22
45 – 49 47 15
40 – 44 42 11
35 – 39 37 8
30 – 34 32 1
TOTAL 75
Número de intervalos: constituye un número entero que refleja la totalidad de clases para determinar el número de intervalos de una serie se divide la amplitud o recorrido para el ancho del intervalo y a este cociente se le adicción a la unidad.
Está anunciado traducido a fórmula queda así:
� �? = + 1 ?
Siendo:
ni = número de intervalos i = ancho del intervalo a = amplitud
Es conveniente utilizar un número de intervalos no menor a 5 ni mayor a 15 si el número de intervalos es menor a 5 las frecuencias estarían muy concentradas con lo cual no se permite un análisis más real de los datos Asimismo si es mayor a 15 intervalos las frecuencias estarían muy dispersas dificultando la elaboración de la tabla, su representación gráfica y sus cálculos matemáticos
Así: En una clase de 36 alumnos se han obtenido las siguientes calificaciones en la asignatura de física:
18 15 19 16 17 15 12 13 14 12 13 14 13 12 9 11 13 14 9 6 5 13 9 14 11 10 7 13 14 9 10 7 13 10 14 9
La amplitud el ancho del intervalo y el número de intervalos serían en su orden:
1. A = 19 – 5 = 14, lo cual constituye la amplitud de la serie.
2. Decidimos que el ancho del intervalo sea 3. 3. �? = ? + 1 1 �? = 14 + 1 = 5,6 = 6 intervalos 3 Esto significa que la serie tendrá 6 intervalos.
Tabulación de datos Es el proceso mediante el cual se ordena el material y se lo agrupa convenientemente de acuerdo a los fines que persigue la investigación.
Serie estadística. – constituye un conjunto de valores de una variable que se encuentran ordenados en forma ascendente o descendente.
Por ejemplo: los pesos en kilogramos de 10 personas son los siguientes 49 – 52 – 60 –
55 – 54 – 65 – 70 – 58 – 57 – 62 .
Ordenándolos en una serie estadística en forma, quedarían:
Pesos X 70
65
62
60
58
57
55
54
52
49 Serie estadísticas de frecuencia. – es la ordenación de la variable en forma ascendente o descendente. Y en la cual existen algunos valores repetidos. Los valores repetidos deben ser expresados en Tablas.
El procedimiento a utilizar en la formación de la serie estadística de frecuencia
es el siguiente:
– Se ordena la variable en forma ascendente o descendente.
– se escribe en Tablas los valores repetidos mediante rayas verticales u horizontales. – Se suma el número de rayas que existen para formar la columna de las frecuencias.
Ejemplo:
Ordenar en una serie estadística de frecuencia los datos siguientes que corresponden a estatura en centímetros de 25 personas:
159 161 165 163 167 160 160 161 163 163 167 166 163 160 162 162 165 161 160 164 161 164 166 164 162
Primero. – ordenamos la variable
167 – 166 – 165 – 164 – 163 – 162 – 161 – 160 – 159
Segundo. – escribimos en Tablas los valores repetidos
Tercero. – construimos la columna de frecuencia
Entonces, la tabla de valores queda así:
x Valores que se repiten Frecuencia (f)
167 II 2
166 II 2
165 II 2
164 III 3
163 IIII 4
162 III 3
161 IIII 4
160 IIII 4
159 I 1
TOTAL 25
Serie estadística de intervalos. – es un conjunto de valores ordenados en forma ascendente o descendente de acuerdo a los intervalos de clase que han sido previamente determinados. El proceso que se utiliza para formar una serie estadística de intervalos es el siguiente:
– Se encuentra la amplitud o recorrido de la variable
– se propone el ancho del intervalo
– Se calcula el número de intervalos que va a tener la serie estadística
– Se construye la columna de los intervalos haciendo que el límite superior del primer intervalo sea el mayor de la variable. Al límite superior se le disminuye el ancho del intervalo y se le agrega 1, obteniéndose el límite inferior, quedando así determinado el primer intervalo – Para obtener el segundo intervalo, se resta el ancho del intervalo a los límites del primer intervalo, y así sucesivamente – En el último intervalo debe estar incluido el menor valor de la variable
– Efectuamos la ubicación y el conteo de los valores repetidos
– Construimos la columna de las frecuencias
Así, por ejemplo:
En una encuesta realizada a los estudiantes de una especialidad del ciclo de bachillerato de un colegio de la ciudad de Loja se obtuvieron los siguientes datos, en lo que se refiere a la edad de los padres:
34 40 41 48 49 51 50 55 67 36 41 41 47 49 52 49 60 79 36 42 45 46 49 51 55 60 45 37 40 46 45 49 51 56 61 38 40 45 46 49 52 55 61 39 40 45 45 50 51 56 65 37 43 47 45 50 50 55 65 36 44 45 49 50 41 47 66 37 41 45 49 50 50 57 66
Ordenamos estos datos en una serie estadística de intervalos.
Primero. – se halla la amplitud de la serie: a = 79 – 34 = 45
Segundo. – proponemos que el ancho del intervalo sea 5: i = 5
Tercero. – se calcula el número de intervalos: �? = ? + 1 ?
�? = 45 + 1 5
�? = 9 + 1 = 10
Es decir que el número de intervalos es 10.
Cuarto. – se forma la columna de los intervalos: Sí el límite superior del primer intervalo es 79, Qué es el mayor valor de la variable, entonces.
79 – 5 + 1 = 75
que es el límite inferior del primer intervalo: (75-79)
Los restantes intervalos se formarán disminuyendo el ancho del intervalo(i=5) a los dos límites del intervalo anterior.
Así:
Entonces, el segundo intervalo es: 70 – 74 75 – 5 = 70 79 – 5 = 74
70 – 75 = 65 74 – 5 = 69
El tercer intervalo es: 65 – 69, y así sucesivamente.
Quinto. – se efectúa la ubicación y el conteo de los valores repetidos.
Sexto. – se construye la columna de las frecuencias haciendo corresponder a cada intervalo una frecuencia.
Frecuencia acumulada Es la suma de las frecuencias a partir del menor valor de la variable. X
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 – 34 La tabla anterior quedas y con las frecuencias acumuladas
X f Frecuencia acumulada (fa)
75 – 79 1 75 (74 + 1 )
70 – 74 0 74(74 + 0)
65 – 69 5 74(69 + 5)
60 – 64 4 69(65 + 4)
55 – 59 8 65(57 + 8)
50 – 54 22 57(35 + 22)
45 – 49 15 35(20 + 15)
40 – 44 11 20(9 + 11)
35 – 39 8 9(1 + 8)
30 – 34 1 1
TOTAL 75
Frecuencia relativa X Valores que se repiten f
75 – 79 I 1
70 – 74 0
65 – 69 IIIII 5
60 – 64 IIII 4
55 – 59 IIIIIIII 8
50 – 54 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 22
45 – 49 IIIIIIIIIIIIIII 15
40 – 44 IIIIIIIIIII 11
35 – 39 IIIIIIII 8
30 – 34 I 1
TOTAL 75 Es la relación que se establece al dividir la frecuencia de la variable para el número total de
casos.
Frecuencia relativa = frecuencia número total de casos
Es decir:
f fr = N
En donde: fr = frecuencia relativa f = frecuencia n = número de casos
Ejemplo:
Determinar la frecuencia relativa para los datos poblacionales de un colegio. POBLACIÓN: número de estudiantes de un colegio. VARIABLE: número de estudiantes por curso X F fr
Octavo de Básica 68 0,143
Noveno de Básica 93 0,195
Décimo de Básica 77 0,162
Primero de Básica 87 0,183
Segundo de Básica 84 0,176
Tercero de Básica 67 0,141
TOTAL 476 1,000
Ejemplo:
Frecuencia relativa para el octavo de básica
f fr = N
fr = 68 476
fr = 0,143
Porcentaje de la frecuencia Es el valor que corresponde a cada frecuencia y que está dado por cada 100 casos de
un hecho investigado. Para el cálculo del porcentaje de la frecuencia se utiliza la fórmula:
? = ? . ��� ?
frecuencia En donde:
p = porcentaje de la
f = frecuencia
Ejemplo: N = número total de los casos
Porcentaje del personal docente seleccionado por el Ministerio de Educación, por provincias, para él seminario taller sobre reforma de los programas de estudio. PROVINCIAS f % Esmeraldas 23 5,53 Manabí 31 7,45 Guayas 76 18,27 El Oro 38 9,13 Carchi 22 5,29 Imbabura 17 4,09 Pichincha 40 9,62 Cotopaxi 22 5,29 Tungurahua 47 11,30 Chimborazo 24 5,77 Bolívar 25 6,00 Cañar 2 0,48 Azuay 23 5,53 Loja 23 5,53 Napo – Tena 2 0,48 Zamora – Chinchipe 1 0,24 TOTAL 416 100%
Si f = 23 y N = 416, Entonces el porcentaje de esmeraldas de acuerdo a la fórmula:
? = ? . ��� ?
Entonces:
23 . 100 p = 416
p = 5,53
Para algunas investigaciones se hace necesario determinar el porcentaje de las frecuencias acumuladas, para lo cual la fórmula utilizarse es la siguiente
? = ?? . ��� ?
frecuencia En donde:
p = porcentaje de la
fa = frecuencia acumulada N = número total de los casos
Así, por ejemplo:
Calificaciones de un curso en la asignatura de matemáticas X f fa p
17 1 32 100
16 2 31 96,88
15 3 29 90,63
14 4 26 81,25
13 8 22 68,75
12 3 14 43,75
11 4 11 34,38
10 3 7 21,88
9 2 4 12,50
8 2 2 6,25
TOTAL 32
Si tomamos fa = 32 y si p = fa . 10 0 N
Entonces p = 32 . 10 0 = 100 32
También si: fa = 31
Entonces p = 32 . 100 = 96,88 32 Ejercicios resueltos
El profesor de idioma Nacional de un colegio de la ciudad de Loja, después de la primera evaluación quimestral, obtiene las siguientes calificaciones de los alumnos de octavo año de básica
20 18 17 16 15 14 13 12 17
16 14 12 11 13 14 15 15 14
13 12 10 12 14 15
a) Ordené en una serie estadística de frecuencia
b) Construye la columna de la frecuencia acumulada c) Obtenga los porcentajes de la frecuencia x Valores que se repiten f fa %f 20 I 1 24 4,17 19 0 23 0 18 I 1 23 4,17 17 II 2 22 8,33 16 II 2 20 8,33 15 IIII 4 18 16,67 14 IIIII 5 14 20,83 13 III 3 9 12,50 12 IIII 4 6 16,67 11 I 1 2 8,33 10 I 1 1 4,17 TOTAL 24 100%
Unos estudiantes, al ser preguntado por su estatura, dieron los siguientes datos en centímetros:
149 147 165 160 161 164 168 169 170 159 158 164 162 170 160 157 149 162 165 171 168 167 151 152 154 149 153 153 154 162 169 168 167 164 168 167 168 161 150 163 167 167 165 166 169
Determinar:
a. La serie estadística de intervalo. b. La amplitud. c. El número de intervalos.
d. Los puntos medios o marca de clase de los intervalos. e. Frecuencia relativa. f. Porcentaje de frecuencia acumulada.
a = 171 – 147 = 24 si: i = 3 y ni = a + 1 i
Entonces: ni = 24 + 1 3
ni = 8 + 1
ni = 9
x f Xm fr fa %f 169 – 171 6 170 0,13 45 100 166 – 168 11 167 0,24 39 88,67 163 – 165 7 164 0,16 28 62,22 160 – 162 7 161 0,16 21 46,67 157 – 159 3 158 0,07 14 31,11 154 – 156 2 155 0,04 11 24,44 151 – 153 4 152 0,09 9 20,00 148 – 150 4 149 0,09 5 11,11 145 – 147 1 149 0,02 1 2,22 TOTAL 45 100%
Las edades de un grupo de personas han sido tabuladas en el siguiente cuadro.
Obtener. x f 52 – 55 2 48 – 51 3 44 – 47 8 40 – 43 14 36 – 39 12 32 – 35 7 28-31 4
a. La amplitud
b. El ancho de intervalo
c. La marca de clase para los intervalos d. La frecuencia acumulada e. El producto f. Xm.
f. El porcentaje de frecuencia
Si a = 55 – 28 = 27
i = 55 – 52 + 1 =4 x f Xm fr fa %f 52 – 55 2 53,5 50 107,0 4 48 – 51 3 49,5 48 148,5 6 44 – 47 8 45,5 45 364,0 16 40 – 43 14 41,5 37 581,0 28 36 – 39 12 37,5 23 450,0 24 32 – 35 7 33,5 11 234,5 14 28 – 31 4 29,5 4 118,0 8 TOTAL 50 100%
En un curso t 36 alumnos existen cinco estudiantes no promovidos con el profesor X, y en otra clase de 25 el profesor Y tiene 4 estudiantes no promovidos. Indicar con Qué profesor existen más alumnos no promovidos con relación al grupo
El porcentaje de estudiantes no promovidos en el curso de 36 es:
� . 100 � = �
5 . 100 � = 36
0 13,89
Es decir, qué con el profesor x existe el 13 como 89% de estudiantes no promovidos.
El porcentaje de estudiantes no promovidos en el curso de 25 es:
4 . 100 � = 25
= 16%
Es decir, que con el profesor x existe el 13 como 89%, mientras que con el profesor Y
existe el 16% de estudiantes no promovidos.
Luego, es con el profesor Y qué existe un mayor número de estudiantes no promovidos, de acuerdo al porcentaje anteriormente establecido
Ejercicios propuestos
Los productos tradicionales de exportación del Ecuador: Café, cacao Ivana no registraron en el año the 1979 el siguiente volumen de ventas: café, 74 millones de kilos; cacao, 14,3 millones de kilos; y, banano, 1368,8 millones de kilos Determinar:
a. El porcentaje
Haga una recopilación de datos relacionados con el número de nacimientos ocurridos en el lugar de su residencia en los últimos cinco años y determina:
a. Las frecuencias relativas
b. Las frecuencias acumuladas
c. Los porcentajes de las frecuencias acumuladas
Conociendo número de habitantes de su provincia de origen, distribuidos por cantones, encuentre:
a. El porcentaje de frecuencia b. La frecuencia acumulada
Recoge las calificaciones obtenidas en una prueba de matemáticas por sus compañeros de curso y, utilizando los intervalos de clase adecuados, dncuentre:
a. La marca de clase b. La frecuencia c. La frecuencia relativa
d. La frecuencia acumulada
e. El porcentaje de la frecuencia acumulada
En un tercer año de bachillerato se registró el siguiente conjunto de datos, que están en relación con la estatura dada en centímetros:
162 155 147 161 163 160 159 155 154 154 166 154 157 156 164 157 153 158 152 160 145 153 157 153 162 158 157 160 160 162 165 161 162 162 160 153 153 150 153 157 157 160 158 155 152 Encontrar:
a. El ordenamiento de acuerdo a una serie estadística de frecuencia b. La frecuencia relativa c. La frecuencia acumulada
d. El porcentaje de la frecuencia
Revisión Se llama frecuencia al número de veces que se repite un fenómeno estadístico
La diferencia entre el mayor valor y el menor valor de la variable en una serie se llama amplitud total Para obtener el ancho del intervalo se establece la diferencia entre los límites reales de cada intervalo
La marca de clase se obtiene de la semisuma de los límites de cada intervalo
A continuación, se Proponen 3 series estadísticas. Escriba junto a ellas el nombre correspondiente.
a b X X f 20 18 – 20 8 19 15 – 17 10 18 12 – 14 14 17 9 – 11 10 16 6 – 8 3 15 3 – 5 2
c
x f
18 2
17 5
16 3
15 2
13 1
12 1
a. Serie estadística. b. Serie estadística de intervalo c. Serie estadística de frecuencia
Para el cálculo te la frecuencia relativa debemos utilizar la fórmula.
�� = � �
Determine la frecuencia acumulada para las siguientes series estadísticas
x f fa
170 1 fa 169 2 10 168 1 9 7 167 3 6 166 2 3 165 1 1 Determina el porcentaje de la frecuencia para la siguiente serie estadística de intervalos
x f fa
140 – 144 2
135 – 139 7
130 – 134 12
125 – 129 15
120 – 124 10
115 – 119 9
110 – 114 7
105 – 109 6 100 – 104 5 TOTAL 100%
%f 2,74 9,59 16,44 20,55 13,70 12,33 9,59 8,22
Autoevaluación
Instrucciones. – esta autoevaluación aspira a informarle hasta dónde ha aprendido usted los diversos temas de esta unidad. Contesta cada pregunta de esta prueba trazando una X en el cuadro de la letra apropiada. Luego de que reflexione lo suficiente sobre cada una de los temas propuestos, compare sus soluciones con nuestra hoja de respuestas
Una de las siguientes proposiciones es verdadera
a. A los números extremos Se los denomina intervalos de clase
b. El número de veces que se repite un mismo valor de la variable se llama frecuencia c. La diferencia que se establece entre dos valores cualesquiera es la amplitud total d. Las proposiciones anteriores son falsas
La palabra tabulación significa
a. Conteo de datos b. Tabla estadística c. Ordenamiento de material
d. Conjunto de valores de una variable
Se desea tabular 20 valores en una variable, Qué tipo de tabla de frecuencia utilizaría de preferencia.
a. Una tabla estadística
b. Una tabla estadística de frecuencia c. Una tabla estadística de intervalo d. No se utilizaría ninguna Señale la proposición correcta:
a. El ancho del intervalo es propuesto por el autor del libro b. El ancho del intervalo lo propone profesor de estadística c. El ancho del intervalo se lo deciden en base a la amplitud o recorrido de la variable d. El ancho del intervalo lo deciden estudiante
Identifique los límites reales de clase qué tiene el siguiente intervalo 18 20
a. 17,5 – 18,5 b. 17,5 – 19,5 c. 17,5 – 21,5 d. 17,5 – 20,5
Cuál es el ancho del siguiente intervalo 171 – 177
a. I = 7 b. i = 6 c. i = 8 d. i = 6,5
La marca de clase para el siguiente intervalo 140 151 es:
a. 145,5 b. 140,5 c. 147,5 d. 151,5
El siguiente ejemplo propuesto, sostenido la frecuencia acumulada. Determina Cuál es la verdadera columna (fa):
a. b. c. d.
x f fa fa fa fa 70 1 17 18 15 1 69 2 16 15 14 3 68 3 12 13 12 6 67 2 9 9 9 8 66 2 7 7 7 10 65 3 5 5 5 13 64 2 2 2 2 15 a. b. c. d.
¿Cuál es el error en el que se ha incurrido al determinar las frecuencias relativas en el siguiente cuadro estadístico?:
a. 0,20 b. 0,60 c. 0,30 d. 0,10 x f fr 120 2 0,20 119 4 0,60 118 3 0,30 117 1 0,10 10
La fórmula para encontrar el porcentaje de la frecuencia es:
a. � = ? . 10 ? b. � = ?? . 100 ? c. � = ? . ? 100 d. � = ? . 100 ?
Verifique las respuestas de la AUTOEVALUACIÓN en la página 339. OTRAS ACTIVIDADES DE APLICACIÓN
PRIMERA Y SEGUNDA UNIDADES
EJERCICIO No 1
1. Desarrolle las siguientes operaciones indicadas
a. 7 – 6 + 8 – 10 + 3 – 15 = b. 2 − 5 3 + 7 − 9 = 8 10 40
c. ( 3
(− 5
(− 2
1 ) = 5 3 7 3
d. (− 4 9
÷ ( 7 ) = 6
2. Redondear a dos cifras decimales los siguientes números
a. 7,705
b. 176,089 c. 521,0258 d. 72,2606
3. Escribe en menos de 100 palabras su juicio crítico respecto a la siguiente definición de estadística “La Estadística estudia el comportamiento de los fenómenos de masa. Como todas las ciencias, busca las características generales de un colectivo y prescinde de los particulares de cada elemento de dicho colectivo”
ALFONSO BARRANCHO Y
4. En menos de 200 palabras escriba su criterio respecto a la importancia de la estadística
5. Mediante una síntesis establezca la diferencia que existe entre estadística descriptiva e inductiva 6. A través de ejercicios describa el significado de VARIABLE DISCRETA y CONTINÚA
7. Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes de la asignatura de estadística 15 12 16 18 17 19 20 14
12 19 14 20 11 18 16 15
13 16 18 17 12 11 12 14
17 15 13 14 16 12 11 18
a. Encuentra la amplitud
b. Ordené los datos en una serie estadística en forma descendente
c. Escriba en un cuadro estadístico las columnas correspondientes a:
– Los valores que se repiten
– Las frecuencias
– La frecuencia acumulada
ASESORÍA:
FRECUENCIA ACUMULADA es la suma de las frecuencias a partir del menor valor de la variable
Ejemplo:
x f fa
18 1 15
17 3 14
16 4 11
15 5 7
14 2 2
15
8. Con la ayuda del siguiente cuadro estadístico encuentre las columnas de:
– Los puntos medios o marcas de clases.
– Los límites reales de cada clase.
x f
28 – 32 0
23 – 27 10
18 – 22 15
13 – 17 12
08 – 12 5 9. Si la estatura en centímetros de un grupo de estudiantes es:
96 110 105 85 95 98 115 112 100 115
116 105 80 118 119 102 86 94 92 99
108 89 120 117 93 97 107 113 111 101
91 82 114 103 88 106 117 103 106 92
96 105
a. A encuentre la amplitud
b. Ordené los datos en forma descendente con intervalos de 5 c. Determine la columna de: – Las frecuencias
– Los porcentajes de cada clase con dos decimales de aproximación
– La frecuencia acumulada
– Los porcentajes de la frecuencia acumulada con dos decimales de aproximación
EJERCICIO NO 2
1. Resuelva las siguientes operaciones indicadas:
a. – 12 + 8 – 18 + 15 – 32 + 17 =
b. 3 − 5 4 6 − 12 + 10 1 − 7 = 2 12
) 5
) (− 8) = 5 3 9
d. 11 ÷ 4 = 15 9
2. Redondear a dos cifras decimales los siguientes números
a. 3.1815 =
b. 1.536,845 = c. 2.343,375 = d. 421,2494 =
3. Escriba en forma sintética su juicio crítico relacionado con la siguiente afirmación: “Una de las razones que hacen muy útil a la estadística es el hecho de que posee técnicas que permiten llegar a conclusiones válidas, aun cuando los datos hayan sido recogidos siguiendo procedimientos errado” ALFONSO BARRANCHO
4. Escriba tres ejemplos de variable discreta y 2 ejemplos de variable continua
5. A continuación, constan las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes en la asignatura de matemáticas 20 15 12 16 18 12 11 9 14 10 19 16 14 20 17 15 17 16 14 11 12 15 19 18 20 13 16 17 11 18 14 17 18 11 13 15 14 19 10 12
a. Determinar la amplitud
b. Elabora un cuadro estadístico en el cual incluya las columnas correspondientes a: – Los valores de la variable ordenados en forma ascendente
– Los valores que se repiten
– Las frecuencias la frecuencia acumulada
ASESORÍA:
FRECUENCIA ACUMULADA es la suma de las frecuencias a partir del menor valor de la variable
Ejemplo
Determinar la frecuencia acumulada para la serie estadística que se encuentra en el siguiente cuadro
Calificación Frecuencia 20 2 19 4 18 5 17 12 16 17 40
Desarrollo: Las calificaciones están ordenadas en sentido descendente, por ello el menor valor de la variable es 16.
En consecuencia, la columna que corresponde a la frecuencia acumulada es:
fa 40 38 34 29 17
6. Con los datos que se encuentran en el cuadro estadístico siguiente:
x f
150 5
149 7
148 14
147 11
146 6
145 2
Determinar:
a. El porcentaje de las frecuencias con dos decimales de aproximación b. La columna de la frecuencia acumulada c. Los porcentajes de la frecuencia acumulada
7. El peso en kilogramos de un grupo de personas es:
45 52 60 65 48 54 62 46 68 65
50 55 63 69 62 46 59 68 60 56
70 61 68 49 50 57 54 59 68 48
61 68 66 51 47 49 50 66 64 70
47 69 53 46 45 58 68 48 63 60
70 62 65 49 58
a. Encuentre la amplitud
b. Ordena los datos de forma ascendente mediante intervalos de 5 c. Determine el número de intervalos d. Determine las columnas de – Las frecuencias
– Los porcentajes de las frecuencias con dos decimales de aproximación.
– La frecuencia acumulada
– Los porcentajes de la frecuencia acumulada con dos decimales de aproximación
8. Con la ayuda del siguiente cuadro estadístico Determine las columnas de a. La marca de clase para cada intervalo b. Los límites reales de cada clase
c. Los productos de la frecuencia por cada marca de clase
x f
145 – 147 2
142 – 144 9
139 – 141 11
136 – 138 15
133 – 135 16
130 – 132 8
127 – 129 6 AUTOEVALUACIÓN 2
1. La frecuencia es:
a. El valor medio de cada intervalo b. Una parte de la población c. El número de veces que se repite un mismo valor de la variable
d. Una característica cualitativa o cuantitativa que puede tomar diferentes valores
2. Señale las proposiciones que son correctas:
a. Amplitud total o recorrido de la variable es el valor mayor de la variable b. La marca de clase es el valor medio de cada intervalo c. El número de intervalos se obtiene dividiendo la amplitud para el ancho del intervalo d. Límites de clase son los valores extremos que forman un intervalo
3. La frecuencia acumulada es:
a. El número de veces que se repite un mismo valor de la variable b. Un conjunto de valores de una variable c. La suma de las frecuencias a partir del menor valor de la variable
d. Un conjunto de valores ordenados en forma ascendente o descendente
4. Es el ancho del intervalo 36 – 40 es
a. 3 b. 5 c. 7 d. Ninguno de los valores anteriores.
5. Señale la fórmula que se utiliza para el cálculo del número de intervalos:
a. �? = �? + �? 2 b. �? = ? + ? 2 c. �? = ? + 1 2 d. Ninguno de los valores anteriores.
6. ¿21 de Qué número es el 7%?
a. 120 b. 147 c. 300 d. 310
7. La frecuencia relativa se obtiene
a. Multiplicando la frecuencia por el valor total de casos b. Multiplicando la frecuencia por 100 c. Dividiendo la frecuencia por el número total de casos d. Ninguna de las proposiciones anteriores
8. La marca de clase del siguiente intervalo 55 – 59 es
a. 57 b. 58 c. 114 d. Ninguna de las proposiciones anteriores
9. Con la ayuda del siguiente cuadro estadístico Determine las columnas correspondientes a:
a. La marca de clase de cada intervalo b. Las frecuencias acumuladas X f Xm fa 75 – 79 1 70 – 74 5 65 – 69 4 60 – 64 8 55 – 59 10 50 – 54 6 34 10. Con la información que se encuentra en el siguiente cuadro estadístico.
Determine el porcentaje de las frecuencias con dos decimales de aproximación
x f % 20 1 19 5 18 10 17 12 16 9 12 2 39 Segunda Unidad
FRECUENCIAS
CONTENIDOS:
2.1. FRECUENCIAS
2.2. ORDENACIÓN DE DATOS EN TABLAS DE FRECUENCIAS 2.2.1. AMPLITUD TOTAL O RECORRIDO DE LA VARIABLE 2.2.2. INTERVALO DE CLASE
2.2.3. TABULACIÓN DE DATOS
2.3. FRECUENCIA ACUMULADA
2.4. FRECUENCIA RELATIVA
2.5. PORCENTAJE DE LA FRECUENCIA OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Al terminar el estudio de esta Unidad, usted estará en capacidad de:
Distinguir el significado de FRECUENCIA.
Calcular los límites reales de CLASE.
Calcular el ancho del INTERVALO.
Escribir la marca de clases de un INTERVALO.
Calcular el número de intervalos de una SERIE.
Tabular los datos estadísticos.
Escribir la frecuencia acumulada de una SERIE.
Calcular la frecuencia relativa de un conjunto de datos.
Calcular el porcentaje de la FRECUENCIA.
Para el logro de estos objetivos, usted debe:
Contestar la autoevaluación, con un nivel de eficiencia equivalente al ciento por ciento (100%), comparando sus soluciones con aquellas que ofrecemos al final del libro.
Hacer la revisión de esta Unidad contestando el material de refuerzo que proponemos.
Resolver los ejercicios propuestos.
Verifique las respuestas de la AUTOEVALUACION 2 en la página 340. LECTURA RECOMENDADA Breve historia de la estadística
La Estadística tiene una larga historia. Quizá la primera vez que se empleó fue cuando un primitivo Caudillo trato de saber la cantidad de guerreros disponibles en las tribus en cierto momento Hola que se necesitaría para vencer al enemigo; o quizá cuando un rey de la remota Antigüedad quiso averiguar los cambios en el número de sus súbditos o cuánto podría recaudar en forma de impuestos. En épocas más recientes, por ejemplo, la Estadística utilizada para cuantificar las tasas de defunción durante la gran peste sufrida en Londres, y en los primeros estudios de los recursos naturales. Estos usos de la estadística que constituyen un amplio campo de actividad que pueden denominarse “aritmética gubernamental” son puramente descriptivos.
En los siglos XVII y XVIII, apostadores profesionales pidieron algunos matemáticos que desarrollaron algunos principios que pudieran mejorar las oportunidades de ganar con los naipes y los dados. los dos matemáticos más notables que intervinieron en ese primer y más importante estudio de la probabilidad, fueron Bernoulli y DeMoivre en la década de 1730, el segundo, DeMoivre, desarrollo la ecuación de la curva de distribución normal durante las dos primeras décadas del siglo 19 otros dos matemáticos la plaza y gauss realizaron importantes trabajos sobre el cálculo de probabilidades. Su labor consistió en la aplicación de los principios de la probabilidad a la Astronomía.
Durante el siglo XVIII la ciencia Estadística tuvo aplicaciones de tipo matemático, político y gubernamental. A principios del siglo XIX, Quetelet, un famoso investigador belga, aplicó la Estadística en la investigación de problemas sociales y educativos. Walker (1929) atribuye a Quetelet el desarrollo de la teoría estadística como método general de investigación aplicable a todas las ciencias de la observación. Sin duda alguna, la persona que ejerció mayor influencia en la introducción y el empleo de la Estadística en las Ciencias Sociales, fue Francis Galton. En el transcurso de su larga vida contribuyó notablemente en los estudios de la herencia y de la eugenesia, de la Ppsicología, de la Antropometría y de la Estadística se le atribuye los actuales conocimientos que se tiene acerca de la correlación, es decir, la medida de la concordancia entre dos variables. El matemático Pearson colabora con Galton en años posteriores, y participó en la creación de muchas de las fórmulas de correlación y regresión qué se utilizan hoy en día. Entre las contribuciones importantes de galton hay que citar el desarrollo de los centiles (o porcentiles).
El famoso psicólogo estadounidense James Mckeen Cattell estudió en Europa en la década de 1880 y estuvo en comunicación con Galton y otros estadísticos europeos. A su regreso a Estados Unidos, él y sus discípulos, incluyendo a E.L. Thorndike, empezaron a aplicar los métodos estadísticos en problemas psicológicos y educativos. La influencia de estos hombres fue importante; al cabo de unos años ya se impartirán cursos de estadística teórica y aplicada en las universidades de ese país.
En el siglo XX se han aplicado nuevas técnicas y métodos en el estudio de muestras pequeñas. Las principales aportaciones a la teoría de las muestras pequeñas fue la del estadístico inglés R.A. Fisher. Aun cuando la mayoría de sus métodos fueron desarrollados en el campo agrícola o biológico, no transcurrió mucho tiempo antes que los sociólogos reconocieran su utilidad y aplicarán sus ideas. Actualmente, la Estadística es la principal herramienta metodológica de la investigación en las ciencias sociales. Se recomienda al lector o estudiante interesado en la historia de la estadística consultar un breve pero completó artículo de los autores Dudycha y Dudycha (1972).
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