Correlación y regresión lineal: definiciones, ejemplos teóricos y uso de software Minitab

El uso estadístico del coeficiente de correlación y la regresión lineal, nos indican que tan relacionadas se encuentran dos variables en una muestra, a continuación se ejemplifica su uso y se enseñan los pasos para resolverlos gráficamente a través del uso del software MINITAB.

Se quiere ofrecer al alumno las herramientas gráficas y estadísticas que le permitan aprender a manejar, analizar e interpretar los datos con el software MINITAB 14. No es una práctica de estadística, no es una práctica de calidad, sino una práctica para aprender a usar el software MINITAB en esas aplicaciones. Conoceremos conceptos de calidad y conceptos de estadística que son necesarios para el mejor entendimiento del programa.

Aprenderá a importar/exportar datos y resultados entre Minitab y distintos programas. Incrementará su habilidad de crear, manipular y reestructurar datos. Desarrollará la habilidad para seleccionar la herramienta adecuada para analizar sus datos y aprenderá a crear e interpretar una gran variedad de gráficas y medidas numéricas utilizadas en iniciativas de mejoramiento de la calidad. 

Definiciones introductorias:

Variable

Una variable es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado conjunto universal de la variable, universo o dominio de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable. Sea x una variable cuyo universo es el conjunto {1,3,5,7,9,11,13}; entonces x puede tener cualquiera de esos valores: 1,3,5,7,9,11,13. En otras palabras x puede reemplazarse por cualquier entero positivo impar menor que 14. Por esta razón, a menudo se dice que una variable es un reemplazo de cualquier elemento de su universo.

Medición

La medición es la determinación de la proporción entre la dimensión o suceso de un objeto y una determinada unidad de medida. La dimensión del objeto y la unidad deben ser de la misma magnitud. Una parte importante de la medición es la estimación de error o análisis de errores.

Diagramas de dispersión (incluir dibujos)

Un diagrama de dispersión es una representación gráfica de la relación entre dos variables, muy utilizada en las fases de Comprobación de teorías e identificación de causas raíz y en el Diseño de soluciones y mantenimiento de los resultados obtenidos.

Correlación y regresión lineal - Diagrama de dispersión

Correlación y regresión lineal – Diagrama de dispersión

Correlación y regresión lineal - Diagrama de dispersión

Correlación y regresión lineal – Diagrama de dispersión

Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación provee una medida de como dos variables aleatorias están asociadas en una «muestra». Es también una medida de la intensidad de la relación lineal entre X y Y.

Correlación y regresión lineal - Coeficiente de correlación

Correlación y regresión lineal – Coeficiente de correlación

Regresión entre dos variables

Este tipo se presenta cuando dos o más variables independientes influyen sobre una variable dependiente. Ejemplo: Y = f(x, w, z).

Por ejemplo: Podría ser una regresión de tipo múltiple:

Una empresa de desarrollo de software establece relacionar sus ventas en función del número de pedidos de los tipos de software que desarrolla (sistemas, educativos y automatizaciones empresariales), para atender 10 proyectos en el presente año.

En la Tabla representa Y (Ventas miles de S/.) y X (Nº pedidos de sistemas), W (Nº de pedidos de Aplicaciones Educativas) y Z (Nº de pedidos de Automatizaciones empresariales).

Ejemplos teóricos

  1. El profesor Isaac Asimov fue uno de los escritores más prolíficos de todos los tiempos. Para cuando murió (1992) había escrito casi 500 libros a lo largo de una carrera de 40 años. De hecho, a medida que avanzaba en su profesión se volvió más productivo en términos de la cantidad de libros escritos en un lapso dado. Estos datos son los tiempos que requería para escribir sus libros, en incrementos de 100:
Número de libros 100 200 300 400 490
Tiempo (en meses) 237 350 419 465 507

a. Grafique la cantidad acumulada de libros en función del tiempo mediante un diagrama de dispersión.

Correlación y regresión lineal - Diagrama de dispersión

Correlación y regresión lineal – Diagrama de dispersión

b. Describa la productividad del profesor Asimov con base al conjunto de datos graficados en el inciso a). ¿La relación entre las dos variables parece ser lineal?

Al parecer la relación entre las dos variables si tiene signos de ser lineal, esto se comprueba con tan solo mirar el diagrama de dispersión y darse cuenta de que los puntos en el diagrama forman una línea casi recta en aumento con relación al tiempo en meses y la cantidad de libros.

  1. La materia prima que se usa en la elaboración de una fibra sintética se almacena en un local que no tiene control de humedad. Las mediciones de la humedad relativa en el local y del contenido de humedad de una muestra de la materia prima (ambos en porcentajes) durante 12 días, dieron los siguientes resultados:
Humedad, X Contenido de Humedad, Y
42 12
35 8
50 14
43 9
48 11
62 16
31 7
36 9
44 12
39 10
55 13
48 11

Ajuste una línea recta y determine el contenido de humedad cuando la humedad del local de almacenamiento es de 40%.

Correlación y regresión lineal - Ajuste de línea recta

Correlación y regresión lineal – Ajuste de línea recta

  1. Los estadounidenses conscientes de la salud consultan a menudo la información relacionada con los nutrientes que aparecen en los envases de los alimentos con el fin de evitar los que contengan grandes cantidades de grasa, sodio o colesterol. La siguiente información se tomó de ocho marcas distintas de queso americano en rebanadas:
Marca Grasa (g) Grasas

Saturadas (g)

Colesterol

(mg)

Sodio (mg) Calorías
Kraft Deluxe American 7 4.5 20 340 80
Kraft Velveeta Slices 5 3.5 15 300 70
Private Selection 8 5.0 25 520 100
Ralphs Singles 4 2.5 15 340 60
Kraft 2% Milk Singles 3 2.0 10 320 50
Kraft Singles American 5 3.5 15 290 70
Borden Singles 5 3.0 15 260 60
Lake to Lake American 5 3.5 15 330 70

a. ¿Qué pares de variables espera usted que estén fuertemente relacionadas?

El colesterol y las calorías, porque en tabla se observa que dependiendo la cantidad de colesterol es la cantidad de calorías que contiene cada producto, o podría ser al revés que dependiendo la cantidad de calorías es la cantidad de colesterol que contiene cada producto.

b. Trace un diagrama de dispersión para la grasa y la grasa saturada.  Describa la relación.

Correlación y regresión lineal - Diagrama de dispersión

Correlación y regresión lineal – Diagrama de dispersión

c. Elabore un diagrama de dispersión para grasas y calorías. Compare el patrón con el observado en el inciso b).

Correlación y regresión lineal - Diagrama de dispersión

Correlación y regresión lineal – Diagrama de dispersión

d. Trace un diagrama de dispersión para la grasa y el sodio, y otro para colesterol y sodio.

Correlación y regresión lineal - Diagrama de dispersión

Correlación y regresión lineal – Diagrama de dispersión

Correlación y regresión lineal - Diagrama de dispersión

Correlación y regresión lineal – Diagrama de dispersión

e. Calcule el coeficiente de correlación r para las variables de colesterol y sodio.

Propiedad X Y (X-X) (X-Xi)2 (Y-Y) (Y-Y)2 (X-X)(Y-Yi)
1 20 340 3.75 13.83 2.5 6.25 9.37
2 15 300 -1.25 1.56 -37.5 1406.25 46.87
3 25 520 8.75 76.56 182.5 33,306.25 1,596.87
4 15 340 -1.25 1.56 2.5 6.25 -3.125
5 10 320 -6.25 39.06 -17.5 306.25 109.37
6 15 290 -1.25 1.56 -47-5 2,256.25 59.37
7 15 260 -1.25 1.56 -77.5 6,006.25 96.87
8 15 330 -1.25 1.56 -7.5 56.25 9.37

Σ=1,896.84
Xi=Σ x/n
130/8  = 16.25
Yi = Σy /n
2700/8 = 337.5

√ ² Σ(x-xi)2 /n-1
√19.06  = 4.42

√ ² Σ (y-yi)2/n-1
√6,192.85 = 78.69

Covarianza
Sxy = Σ (xi – x)(yi – y) / n -1
1896.84/7  =  270.9771

Coeficiente de correlación
r = Sxy / SxSy
270.97/(4.42)(78.69)  =  0.7790

  1. Suponga que el gerente de una cadena de servicios de entrega de paquetería desea desarrollar un modelo para predecir las ventas semanales (en miles de dólares) para las tiendas individuales basado en el número de clientes que hacen las compras. Se seleccionó una muestra aleatoria entre todas las tiendas de la cadena con los siguientes resultados:
Tienda Clientes Ventas ($1000)
1 907 11.20
2 926 11.05
3 506 6.84
4 741 9.21
5 789 9.42
6 889 10.08
7 874 9.45
8 510 6.73
9 529 7.24
10 420 6.12
11 679 7.63
12 872 9.43
13 924 9.46
14 607 7.64
15 452 6.92
16 729 8.95
17 794 9.33
18 844 10.23
19 1010 11.77
20 621 7.41

a. Grafique el diagrama de dispersión.

Correlación y regresión lineal - Diagrama de dispersión

Correlación y regresión lineal – Diagrama de dispersión

b. Obtenga la ecuación que mejor ajuste a los datos.

c. Pronostique las ventas semanales (en miles de dólares) para las tiendas que tienen 600 clientes.

Las ventas serian de algunos 7,500 dólares por como se ve en la tabla la posición de las ventas y de los clientes.

X Y (X-X) (X-Xi)2 (Y-Y) (Y-Y)2 (X-X)(Y-Y)
907 11.2 175.85 308358.09 2.399 77.4576 421.8641
926 11.05 194.85 287617.69 2.249 77.4576 192.601
506 6.84 -225.15 906875.29 -1.961 23.8046 441.5191
741 9.21 9.85 520273.69 0.409 77.4576 4.0286
789 9.42 57.85 453332.89 0.619 77.4576 57.241
889 10.08 158.85 328672.89 1.279 77.4576 156.571
874 9.45 142.85 346096.89 0.649 77.4576 142.201
510 6.73 -221.15 906875.29 -2.071 21.7 458.0016
529 7.24 -202.15 871048.89 -1.561 32.251 315.5561
420 6.12 -311.15 1086389.29 -2.681 11.8267 834.1931
679 7.63 -52.15 613558.89 -1.171 41.7186 61.0676
872 9.34 140.85 348454.09 0.539 77.4576 75.9181
924 9.46 192.85 289766.89 0.659 77.4576 127.0881
607 7.64 -124.15 731538.09 -1.161 41.9774 144.1381
452 6.92 -279.15 1020706.09 -1.881 25.3915 525.0811
729 8.95 -2.15 537728.89 0.149 77.4576 -0.3203
794 9.33 62.85 446642.89 0.529 77.4576 33.2476
844 10.23 112.85 382294.89 1.429 77.4576 161.2626
1010 11.77 278.85 204575.29 2.969 77.4576 827.9056
621 7.41 -110.15 707785.69 -1.391 36.2283 153.2186
∑=14623 ∑=176.02 ∑=11298592.6 ∑=1164.3893 ∑=5132.3837

Xi= ∑ X/ n
14623/20= 731.15

Yi=∑ Y/ n
176.02/20= 8.801

√ ² Σ(x-xi)2 /n-1
√ ² =11298592.6 /19 = 594662.7684
S=√ 594662.7684= 771.1438

√ ² Σ (y-yi)2/n-1
√ ²=1164.3893 / 19 =61.2836
S= √ 7.8283

Covarianza
Sxy = Σ (xi – x)(yi – y) / n -1
Sxy = 5132.3837 / 19 = 270.1254

Coeficiente de correlación
r = Sxy / SxSy
270.1254/ (771.1438)(7.8283) = 0.0447468

Solución en Minitab de correlación y regresión lineal

Instrucciones para resolver los ejercicios con gráficas, con base en uno de los ejercicios teóricos.

Dar clic en la barra de menú en la opción graph y seleccionar la opción scatterplot.

Minitab - Gráfica

Minitab – Gráfica

Después de haber seleccionado scartterplot, se selecciona la opción  simple y se da clic en ok.

Minitab - Diagrama de dispersión

Minitab – Diagrama de dispersión

Después de haber hecho esto aparece esta pequeñísima ventana y se selecciona las variables que se desea utilizar, para después dar clic en ok.

Minitab - Variables

Minitab – Variables

Hecho esto da como resultado la obtención.

Minitab - Diagrama de dispersión

Minitab – Diagrama de dispersión

Conclusiones

Como conclusión nos gustaría decir que esta práctica nos dejó muy en claro que el minitab sirve para hacer grandes cosas y además de ahorrar mucho trabajo es muy fácil utilizarlo para la obtención de diferentes conceptos de estadística como la correlación y algunos diagramas.

Experiencia de aprendizaje

Al estar trabajando en esta práctica aprendimos que con minitab se pueden hacer muchas cosas como los diagramas y obtener la correlación sin el uso de calculadoras y de tantas fórmulas que muchas veces hacen más confuso un problema, además aprendimos a organizarnos como equipo para repartir tareas y así contribuir todos al proyecto, y nos sorprendimos de cómo el minitab puede ahorrar mucho trabajo y que es de mucha ayuda por si en un futuro tendríamos necesidad de utilizarlo.

Bibliografía

  • www.wikipedia.com
  • Datos proporcionados por el profesor de esta materia.
matematicas-correlacion-y-regresion-lineal

Cita esta página

García Alonso Aarysa Yaresie. (2020, agosto 24). Correlación y regresión lineal: definiciones, ejemplos teóricos y uso de software Minitab. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/ejemplos-de-correlacion-y-regresion-lineal/
García Alonso Aarysa Yaresie. "Correlación y regresión lineal: definiciones, ejemplos teóricos y uso de software Minitab". gestiopolis. 24 agosto 2020. Web. <https://www.gestiopolis.com/ejemplos-de-correlacion-y-regresion-lineal/>.
García Alonso Aarysa Yaresie. "Correlación y regresión lineal: definiciones, ejemplos teóricos y uso de software Minitab". gestiopolis. agosto 24, 2020. Consultado el . https://www.gestiopolis.com/ejemplos-de-correlacion-y-regresion-lineal/.
García Alonso Aarysa Yaresie. Correlación y regresión lineal: definiciones, ejemplos teóricos y uso de software Minitab [en línea]. <https://www.gestiopolis.com/ejemplos-de-correlacion-y-regresion-lineal/> [Citado el ].
Copiar

Escrito por:

Imagen del encabezado cortesía de mulad en Flickr