Ecuaciones diferenciales ordinarias

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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Resumen
Una de las principales metas de la Universidad de Ciencias Informáticas (UCI)
es la formación de los habilidades que permitan la preparación independiente de
los estudiantes; estableciendo vínculos sólidos entre el desarrollo de la ciencia
en la sociedad actual.
Entre las tantas materias que se imparten a lo largo de la carrera esta incluida la
Matemática III, que tiene como objetivos esenciales contribuir a la creación de
una base sólida de conocimiento, habilidades y valores que le permitirán al
estudiante una adecuada proyección en su vida laboral como Ingeniero
Informático.
Este trabajo tiene como objetivo principal incentivar la habilidad investigativa en
los estudiantes proponiendo una estructura de trabajo investigativo que tribute al
perfil del graduado. Haciendo énfasis en la modelación matemática y resolución
de problemas de sociales.
Matemática, resolución de problema.
Introducción
Bajo el epígrafe Graduado Universitario en Ciencias Informáticas son impartidas
más de 50 materias a los largo de cinco años, en los que ofrecer una adecuada
formación al graduado para que se insertarte laboralmente en instituciones y
empresas.
En los últimos años se han creado en nuestro país miles de puestos de trabajo
relacionados con las Ciencias Informáticas en las distintas empresas y
organismos. Ello da idea de la importancia creciente que la Informática va
tomando en la sociedad actual. De hecho, no puede hablarse de una empresa
moderna y al día si no ha incorporado a sus exigencias internas una
informatización adecuada del proceso. Esta demanda continúa creciendo, hasta
el punto que se calcula que en los próximos cinco años se creará un elevado
número de puestos vinculados a esta disciplina.
La Universidad de la Ciencias Informáticas surge al calor de la Batalla de Ideas
con el objetivo de suplir esta demanda que exige la sociedad actual; la
informatización del país es uno de los objetivos fundamentales del centro. Para
lograr esta tarea es necesario formar un graduado universitario de calidad que
sea capaz de resolver las distintas situaciones creadas en su puesto de trabajo y
en su vida cotidiana.
Entre las tantas materias que se imparten a lo largo de la carrera la Matemática
III, que entre sus temas agrupa Series Numéricas, Series de Funciones,
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Funciones Vectoriales y Gradiente,
Integrales Múltiples e Integrales de Línea se plantea objetivos esenciales que
contribuyen a la creación de una base sólida de conocimiento, habilidades y
valores que le permitirán al estudiante una adecuada proyección en su vida
laboral como Ingeniero Informático.
Objetivos Generales Educativos de la Matemática III.
Como Ingeniero informático el graduado UCI debe ser capaz de modelar
matemáticamente problemas de la vida real, para luego poder computarizarlos y
hacer la entrega de un producto final.
Con el fin de contribuir a la formación del graduado la Matemática III se traza los
siguientes Objetivos Generales Educativos.
1. Contribuir a la formación de una concepción científica del mundo y del
pensamiento científico mediante la comprensión de cómo se realiza un modelo
matemático y cómo éste es un reflejo de la realidad.
2. Contribuir a la formación de la personalidad del estudiante desarrollando
hábitos de pensar reflexivamente y de evaluar críticamente los resultados de su
trabajo.
3. Contribuir a que se desarrollen las capacidades cognitivas de los
estudiantes, los hábitos de utilizar la literatura científica, la capacidad de
razonamiento y del pensar lógicamente mediante el uso de los temas de la
asignatura.
4. Contribuir a la formación computacional de los estudiantes mediante la
introducción y el uso de las técnicas de información científica.
Para cumplir estos objetivos demos crear valores en los estudiantes como:
-Independencia.
-Creatividad.
-Superación personal.
-Proyección hacia el futuro.
-Posición activa ante las tareas que se le asignen.
-Perseverancia.
Además de aquellos valores éticos y estéticos que caracterizan nuestra
sociedad socialista: La responsabilidad, la dignidad revolucionaria, la
honestidad, la modestia, el espíritu crítico, la solidaridad, el desinterés y el
patriotismo.
Tema a desarrollar,.
El presente trabajo fue realizado con el fin de crear una Activad Práctica
Investigativa que tribute a los objetivos de la asignatura, para eso nos
centraremos inicialmente en uno de los temas que la componen, Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias.
Este tema consta de los siguientes objetivos:
1. Desarrollar capacidades para caracterizar e interpretar los conceptos y
teoremas más importantes relativos a las Ecuaciones Diferenciales.
2. Resolver problemas de índole técnico que se modelen a través de
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).
¿Que sucede actualmente?
La forma de impartir la asignatura no tributa correctamente a los objetivos
trazados, pues los estudiantes son muy dependientes del profesor, no tiene
iniciativa investigativa, no se preocupan por su superación personal, son
incapaces de crearse una proyección futura. Esto implica que los objetivos
fundamentales de la asignatura no se están logrando; y lo que más está
afectando es la falta motivación por parte del profesor, que incentive al
estudiante a la actividad investigativa, que es una de las actividades más
eficientes para hacerle ver al estudiante cuánto puede hacer por sí solo.
Propuesta de Tarea ExtraClases
Para lograr alcanzar los objetivos y valores antes expuestos y con ello contribuir
positivamente a la formación de un mejor graduado, además de buscar un
complemento que ayude al profesor a lograr una adecuada motivación en el
estudiante hacia la asignatura, de forma tal que él mismo llegue a la conclusión
de para qué le sirve recibir la Matemática como parte de su formación básica;
surge la idea de crear una propuesta de Actividad Práctica Investigativa.
Esta Actividad estará centrada inicialmente en el tema de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias y consta de los siguientes aspectos.
El estudiante debe ser capaz de:
-Investigar en qué campos es posible aplicar el contenido dado en clases.
-Identificar cuando un problema proveniente de la vida real, tomado
íntegramente de la sociedad puede ser modelado matemáticamente a través del
uso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
-Modelar el problema usando los recursos dados en clases.
-Integrar los conocimientos adquiridos tanto en las asignaturas de la
disciplina como en el resto de las asignaturas impartidas hasta el momento.
-Dar solución al problema usando los métodos estudiados en clases.
La tarea se orientará en la primera clase del curso y se discutirá 1 semana
después de realizada la evaluación parcial del tema de EDO.
La evaluación se realizará por equipos de a lo sumo 3 y como mínimo 2
personas.
La discusión se realizará en 15 minutos auxiliándose de Presentación de Power
Point de no más de 10 diapositivas y mostrando dominio del uso de los
asistentes matemáticos.
Estructura de la Tarea ExtraClases.
Se realizará un trabajo investigativo que conste de un informe cuyo formato se
describe a continuación:
Letra Arial 12, interlineado 1.5, no más de 8 cuartillas que no incluyan los anexos
ni la bibliografía.
1. Presentación
2. Resumen de 150 palabras, en español y en inglés.
3. Introducción.
oProblemática existente (Ej. Problema que existe en empresa u
organismo.).
oQué problema resolver (qué parte le toca resolver como ingeniero
informático).
oBasamentos teóricos necesarios para resolver el problema (Además de
las EDO, qué otra materia de las que ha recibido es aplicable a la solución del
problema, de forma tal que se muestre la integración interdisciplinar).
4. Desarrollo.
oModelación matemática del problema seleccionado con sus argumentos
científicos.
oResolución del problema. Debe realizarse una comparación entre un
método aprendido en clases y otro método no recibido durante el curso.
Además, debe ser capaz de utilizar y asociar el problema con las aplicaciones
impartidas en clases u otras.
oResultados y análisis de los mismos (significado del valor obtenido,
Interpretación).
5. Conclusiones
oPara qué le sirvió la actividad.
oQué aprendió durante su desarrollo.
oVinculación encontrada de la asignatura con el perfil del Informático.
6. Bibliografía
oReferencias de la bibliografía consultada, usando la norma ISO 690 que
se encuentra en //ucistore/infotecnologia.
7. Anexos
Algunas áreas del conocimiento donde son aplicable la Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias.
Crecimiento y Decrecimiento
El problema de valor inicial
00 )( xtx
kxzdx
(1)
Donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de
distintos fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento
(desintegración).
En biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento de
algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es
proporcional a la población presente en cualquier momento. Si conocemos una
población en cierto momento inicial arbitrario, que podemos considerar definido
por
0t
, la solución de (1) nos sirve para predecir la población en el futuro,
esto es para
0t
.
En física, un problema de valor inicial como las ecuaciones (1) puede servir de
modelo para calcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia
que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuación diferencial (1)
también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría.
En química, la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se
apega a la ecuación (1).
La constante de proporcionalidad k, en (1), se puede hallar resolviendo el
problema de valor inicial, con una determinación de x en un momento
0
tt
.
Datación Con Radiocarbono
Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que emplea al
carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles.
La teoría de la datación (fechamiento o fechado) con radiocarbono, se basa
en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la
radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-l4 al carbono
ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad
proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la
de la atmósfera. Cuando muere un organismo la absorción del C-l4 sea por
respiración o alimentación cesa. Así, si se compara la cantidad proporcional de
C- 14 presente, por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe en
la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de su antigüedad. El
método se basa en que se sabe que el periodo medio del C-l4 radiactivo es,
aproximadamente, 5600 años.
Por este trabajo, Libby ganó el Premio Nobel de química en 1960. Su método se
usó para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas
de lino de los rollos del Mar Muerto.
Sistemas De Resorte Y Masa: Movimiento Libre No Amortiguado
Ley De Hooke: Supongamos que, como en la figura una masa
1
m
está unida
a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza
1
m
con una masa distinta
2
m
, el estiramiento, elongación o alargamiento del
resorte cambiará.
Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de
restitución,
opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la
cantidad de alargamiento s. En concreto,
kxF
donde k es una constante de
proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con
distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, este está
caracterizado esencialmente por su numero k; por ejemplo, si una masa que
pesa 10 libras estira
2
1
pie un resorte, entonces
2
1
10 k
implica que
ftlbk /20
. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8
libras estirará el resorte
5
2
de pie.
Segunda ley de Newton
Después de unir una masa
a un resorte, ésta lo estira una longitud
s
y llega
a una posición de equilibrio, en la que su peso
W
está equilibrado por la fuerza
de restauración
ks
. Recuérdese que el peso se define por
mgw
,donde
la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y
2
/32 sftg
,
22 /980/8,9 scmosm
respectivamente.
Como se aprecia en la figura la condición de equilibrio es
0ksmgoksmg
.Si la masa se desplaza una distancia
x
respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es
)( sxk
Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el
sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento
libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o
resultante, de la fuerza de restitución y el peso:
kxksmgkxmgxsk
dt
xd
m)(
2
2
(1)
El signo negativo de la ecuación (1) indica que la fuerza de restitución del
resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además, podemos adoptar
la convención que los desplazamientos medidos abajo de la posición de
equilibrio son positivos sin estirar.
Ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado Si dividimos la
ecuación (1) por la masa m, obtendremos la ecuación diferencial de segundo
orden
0
2
2
2
xw
dt
xd
(2)
Donde
mkw /
2
.Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento
armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones
iniciales obvias asociadas con (2) son
α)0(x
, la cantidad de
desplazamiento inicial, y
β)0(x
, la velocidad inicial de la masa. Por
ejemplo, si
00 βα y
, la masa parte de un punto abajo de la
posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si
00 βα y
,
la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado
α
unidades
arriba de la posición de equilibrio, etcétera.
Solución y ecuación del movimiento
Para resolver la ecuación (2) observemos que las soluciones de la ecuación
auxiliar
0
22 wm
son los números complejos
wimwim 21 ,
.
Así la solución general de (2) es:
senwtcwtctx 21 cos)(
(3)
El periodo de las vibraciones libres que describe (3) es
w
Tπ2
, y la
frecuencia es
wT
fπ21
.Por ejemplo, para
tsenttx 343cos2)(
,el
periodo es
3
2π
y la frecuencia es
π2
3
.
El número anterior indica que la gráfica de
)(tx
se repite cada
3
2π
unidades y
el ultimo numero indica que hay tres ciclos de la gráfica cada
r27
unidades o,
lo que es lo mismo, que la masa pasa por
π2
3
vibraciones completas por unidad
de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo
w
π2
es el intervalo entre
dos máximos sucesivos de
)(tx
.Téngase en mente que un máximo de
)(tx
es el desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia máxima
abajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de
)(tx
es el
desplazamiento negativo cuando la masa llega a la altura máxima arriba de esa
posición. Ambos casos se denominan desplazamiento extremo de la masa.
Por último, cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las
constantes
21 cyc
en la ecuación (3), se dice que la solución particular que
resulta es la ecuación del movimiento.
Problemas incluidos en las áreas del conocimiento anteriormente descrito
cuya solución conducen a EDO.
En esta sección presentamos una muestra de problemas reales con un enfoque
pedagógico, que tributan al cumplimiento de los objetivos de la asignatura
matemática III. El estudiante tiene que ser capaz de investigar en que área del
conocimiento está y a sus ves identificar que elementos matemáticos de los
estudiados en clases lo ayudaran a modelar el problema para darle una solución
matemática que pueda ser interpretada en el área del conocimiento identificada.
Problemas
1. En un laboratorio de biotecnología se esta haciendo una investigación
sobre un cultivo de bacteria que se piensa pueda ser usado en la elaboración de
una vacuna contra el cáncer. El equipo de investigación entre otras propiedades
del cultivo necesita conocer el crecimiento de las bacterias para cualquiera sea
la cantidad inicial
0
N
de bacterias que tenga el cultivo. Para esto se han
propuesto determinar cual es el tiempo necesario que debe transcurrir para
triplicar la cantidad inicial de los microorganismos, teniendo en cuenta que ha
trascurrido un hora, que la cantidad medida de bacterias es
0
2
3N
y la razón de
reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes.
2. En China se conoce que su población aumenta con una razón
proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Con el
fin de planificar la alimentación de la población hicieron un estudio sobre el
crecimiento de la población y resultó que en 5 años se duplicó. Los
planificadores preocupados se preguntan en cuanto tiempo se triplicará y
cuadriplicará la población.
3. En un centro experimental de biología se estudia un cultivo de bacterias
cuya cantidad de microorganismos en cualquier momento dado crece a una tasa
proporcional a las bacterias presentes. Los biólogos sin saber cuantas bacterias
tenia el cultivo inicialmente lo ponen en observación y determinan que al cabo de
tres horas hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes. Para
poder dictaminar un resultado concreto sobre el crecimiento de las bacterias
necesitarán saber Cuál era la cantidad inicial de bacterias al comenzar el
esperpento.
4. En un viaje de trabajo un grupo arqueólogos encontraron un hueso
fosilizado que piensan que date de la época de los maya. Con el fin de verificar
sus suposiciones el equipo de trabajo dedicó todos sus esfuerzos a determinar
la edad del fósil, durante el análisis descubrieron que contenía la centésima
parte de la cantidad original de C-14, esto resulto ser un gran pase de avance
para ellos, ya tenían todos los datos que necesitaban solo quedaba determinar
la edad del fósil.
5. Cuando pasa un rayo vertical de luz por una sustancia transparente, la
razón con que decrece su intensidad
Z
es proporcional a
)(tZ
donde t
representa el espesor, en pies, del medio. En agua de mar clara, la intensidad a
ft3
bajo la superficie, es el 25% de la intensidad inicial le del rayo incidente.
¿Cuál es la intensidad del rayo a
ft15
bajo la superficie?
6. Cuando el interés se capitaliza (o compone) continuamente, en cualquier
momento la cantidad de dinero
S
aumenta a una tasa proporcional a la cantidad
presente:
rS
dt
dS
donde
r
es la tasa de interés anual.
a) Calcule la cantidad reunida al término de cinco anos, cuando se depositan
$5000 en una cuenta de ahorro que rinde el
%
4
3
5
de interés anual compuesto
continuamente.
b) ¿En cuantos años se habrá duplicado el capital inicial?
7. En algunos casos, cuando dos resortes paralelos de constantes
21 kyk
sostienen un solo contrapeso
w
,la constante efectiva de
resorte del sistema es
21
21
4
kk
kk
k
Un contrapeso de
lb20
estira
in6
un resorte y
in20
otro. Estos resortes están
fijos a un soporte rígido común por su parte superior y a una placa metálica en
su extremo inferior. Como se ve en la figura, el contrapeso de
lb20
está fijo al
centro de la placa del sistema. Determine la constante efectiva de resorte de
este sistema. Deduzca la ecuación del movimiento, si el contrapeso parte de la
posición de equilibrio, con una velocidad de
stf /2
hacia abajo.
Bibliografía
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11. Quinn, M. (2002). Qualitative research and evaluation methods. Thousand
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Tarea Extraclases para la Matemática III en la Universidad de Ciencias
Informáticas (UCI)
Lic. Elizabeth Rodriguez Stiven
Graduada en la Universidad de la Habana, en Ciencias de la Computación
Lic. Anelys Vargas Ricardo
Graduada en la Universidad de la Habana, en Radio Química.
Actualmente profesoras de matemática de la Universidad de la Ciencias
Informáticas (UCI). Teléfono: 8358049.

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Rodriguez Stiven Elizabeth. (2008, mayo 20). Ecuaciones diferenciales ordinarias. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/ecuaciones-diferenciales-ordinarias/
Rodriguez Stiven, Elizabeth. "Ecuaciones diferenciales ordinarias". GestioPolis. 20 mayo 2008. Web. <https://www.gestiopolis.com/ecuaciones-diferenciales-ordinarias/>.
Rodriguez Stiven, Elizabeth. "Ecuaciones diferenciales ordinarias". GestioPolis. mayo 20, 2008. Consultado el 21 de Septiembre de 2018. https://www.gestiopolis.com/ecuaciones-diferenciales-ordinarias/.
Rodriguez Stiven, Elizabeth. Ecuaciones diferenciales ordinarias [en línea]. <https://www.gestiopolis.com/ecuaciones-diferenciales-ordinarias/> [Citado el 21 de Septiembre de 2018].
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