Valoración de títulos financieros

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Valuación de Títulos Financieros

1.1 Emisión de Títulos Financieros

1.1.1 ¿Qué es un Titulo Financiero?

Un título Financiero es un título de propiedad (acción de una sociedad) o de un crédito u obligación con características y derechos estandarizados (cada uno por una emisión dada teniendo el mismo monto nominal, el derecho al mismo tipo de dividendos, cotizado sobre la misma línea en la bolsa, etc.).

Un titulo es un documento mercantil en el que esta incorporado un derecho privado patrimonial, por lo que el ejercicio del derecho esta vinculado jurídicamente a la posesión del derecho. Es también un documento de contenido crediticio en el que se incorpora un derecho literal y autónomo. La base del cuerpo normativo referido a los títulos financieros en nuestro país Perú está conformada por tres leyes fundamentales:

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  • Ley de Títulos Valores (Ley 27287 y com­plementarias).
  • Ley General del Sistema Financiero y de Seguros (Ley 26702 y complementarias).
  • Carta Orgánica del B.C.R.P. (Decreto Ley 26123 y complementarias).

 

El párrafo que sigue publicado en reportes@semanaeconomica.com, del 10 de septiembre del 2009 nos permite ver la importancia que tiene el estudio de este tipo de títulos ”Los activos administrados por las Sociedades Administradoras de Fondos Mutuos alcanzaron los US$3,766 millones, lo que representa un incremento de 33.7% entre diciembre del 2008 y agosto del 2009. El aumento se debería a las mejores condiciones en los mercados de renta fija y renta variable que impulsan la recuperación de los patrimonios administrados. Los fondos mutuos de mayor crecimiento son renta fija soles (55.8%), mixtos de renta variable e internacionales (42.7%) y renta fija dólares (23.6%), de un total de 51 productos disponibles en seis administradoras”.

1.2 Títulos de Renta Fija

 

Una empresa desea utilizar una fuente de recursos distinta, la cual recoge dinero del mercado (personas u otras empresas que quieren invertir) y se compromete a pagar a cada uno de los participantes una cuota fija por el dinero que aportaron a al empresa. Esta forma de obtener dinero del mercado se denomina la emisión de bonos.

 

Un bono es una promesa de pago, un “pagaré” que da el emisor del bono (que “toma” fondos) al comprador del bono (que “presta” fondos)

 

Es un Activo financiero que da al inversor derecho de recibir del emisor el repago de capital e intereses de acuerdo a lo pactado en las Condiciones de Emisión.

 

Cabe anotar que los Gobiernos Nacionales, Regionales y Locales con el propósito de financiar parte de sus presupuestos, generalmente de inversiones también emiten Bonos. El párrafo que sigue publicado en reportes@semanaeconomica.com, del 28 de agosto del 2009 nos permite ver el caso de la Municipalidad de Lima.

 

“El Ministerio de Economía y Finanzas (MEF) autorizó la emisión de bonos soberanos en el mercado interno hasta por la suma de S/.12.3 millones que serán destinados a financiar los proyectos de ampliación y rehabilitación de pistas a cargo de la Municipalidad de Lima Metropolitana”.

1.2.1 Características

Los bonos tienen características distintas a las acciones pues la finalidad de los mismos es obtener recursos para la elaboración de un proyecto y después devolverlo con ciertos intereses sin permitir que las personas que invirtieron sean propietarias de parte de la empresa.

 

Las características de los bonos son las siguientes:

 

  • Tienen un tiempo de duración determinado por la empresa que los emitió.
  • La devolución del capital y los intereses del préstamo (inversión) se realiza mediante cupones, cuyo número, monto y fechas de pago son establecidas por la empresa emisora.
  • El interés ganado por el préstamo efectuado también es determinado por la empresa emisora.
  • El bono puede ser vendido por el inversionista (el que recibe los cupones) antes que se haya culminado la devolución del préstamo (inversión) y los intereses (ganancia) a otro inversionista que desee comprarlo. Este nuevo inversionista le pagará una cantidad de dinero al inversionista anterior y ahora este nuevo recibirá los cupones.

 

1.2.2 Clases de Títulos

  • Por Tasa de Interés

– Tasa de interés FIJA.

Única.

Creciente (“Step up”).

 

– Tasa de interés FLOTANTE

Tasa de referencia directamente.

Tasa de referencia + “plus”.

 

  • Amortización

Integra al vencimiento. (“Bullet”).

Amortizaciones parciales. Las cuotas pueden ser iguales, o distintas.

 

  • Con período de gracia
  • Con capitalización de intereses.
  • Cupón Zero[1]

No pagan nada hasta el vencimiento y son emitidos a descuento

 

Clasificación de Bonos según su grado de riesgo, por las tres mas importantes Clasificadoras de Riesgo.

S&P  /  FitchMoody’sSignificado
  Bonds Investment Grade (de bajo riesgo)
AAAAaaLos más seguros, de mejor calidad, los inversores son compañías de alta estabilidad
AAAaAlta calidad de bonos con un pequeño riesgo a largo plazo
AACalidad entre alta y media, con muchos atributos de solidez pero algo vulnerables ante cambios en las condiciones económicas
BBBBaaCalidad media, seguridad corrientemente adecuada pero pueden no ser confiables en el largo plazo
  Bonos de Cierto Riesgo
BBBaLos bonos o los emisores tienen elementos especulativos con una moderada seguridad pero no totalmente fuera de peligro
BBCon capacidad para enfrentar el pago ahora pero con riesgo de default o falta de pago en el futuro
CCCCaaPobre calidad de los bonos, con claros indicios de posibilidad de default
  Junk bonds (bonos basura)
CCCaBonos de calidad altamente especulativa, a menudo terminan en default
CCBonos con la mejor calificación entre los que aun no entraron en default, pocas posibilidad de pago
DDEn default, en otras palabras, son aquellos que dejaron de estar al corriente en los pagos

 

1.2.3 Proceso de Valuación

El valor de cualquier Activo se basa en el valor presente de los CFs que se espera que produzca ese Activo. En el caso de un bono, los CFs consisten en los pagos de intereses habidos durante al vida del bono más un rendimiento del monto del principal tomado en préstamo, generalmente el valor a la par, cuando el bono vence.

 

Los obligacionistas pueden incurrir en pérdidas o ganancias de capital, dependiendo de si las tasas de interés aumentan o disminuyen después de que el bono ha sido comprado.

Cualquier cambio dado en las tasas de interés vigente, tiene dos efectos separados y contrapuestos, sobre los tenedores de bonos, 1) cambia los valores actuales de sus carteras (riesgo del precio de la tasa de interés) y 2) cambia las tasas de rendimiento a las cuales pueden reinvertirse los CFs provenientes de sus carteras (riesgo de la tasa de reinversión de la tasa de interés). En tanto más prolongado sea el vencimiento de un bono mayores serán sus cambios de precio en respuesta a un cambio dado en las tasas de interés.

 

Es decir, el precio es igual a la sumatoria de su Flujo de Caja  descontado por una tasa correspondiente al riesgo de la emisión.

 

La formula para calcular el precio de un bono, la cual usa el concepto de valor presente  (PV) es:

 

Precio del Bono =             CF1            +          CF2           +           CF3   + …   +        CFn            +         VFn

                                               (1+r)                      (1+r)2                    (1+r)3                    (1+r)n                    (1+r)n

 

donde:

CF =       Pago del cupón (coupon payment)

n =          Numero de pagos (number of payments)

r =           Tasa de interés (interest rate, or required yield)

VF =       Valor Facial (value at maturity, or par value)

 

Gráficamente:

La suma de lo anterior es igual a la formula del Valor presente de una anualidad 

 

PV =  CF x     1 – (1 + r) –n                          Donde, PV =   Valor Presente

r                                                   CF =   Pago del cupón

r =       Tasa de interés

n =      Numero de periodos

  • Siempre que la tasa de interés vigente sea igual a la tasa del cupón, un bono se venderá a su valor a la par. Normalmente la tasa de cupón se establece como igual a la tasa de interés vigente cuando se emite un bono y por lo tanto inicialmente se vende a la par.
  • Las tasas de interés cambian a lo largo del tiempo, pero la tasa del cupón permanece fija después de que el bono se ha emitido.
  • Siempre que la tasa de interés sea mayor que la tasa de cupón, el precio de un bono disminuirá por debajo de su valor a la par. Tal bono se conoce como bono de prima.
  • Siempre que la tasa de interés sea menor que la tasa de cupón, el precio de un bono se elevará por arriba de su valor a la par. Tal bono se conoce como bono de descuento.
  • El valor de mercado de un bono siempre se aproximará a su valor a la par a medida que se aproxime su fecha de vencimiento, siempre y cuando la empresa no caiga en quiebra.

 

Pricing de un bono como un portfolio de Zeros.

Para determinar el precio de un bono con cupones, pensaremos en el como una colección de bonos cupón cero, de manera que podremos expresar el precio de un bono como

 

Precio del Bono =                CF1            +          CF2           +           CF3   + …   +        CFn            +         VFn

(1+r)                       (1+r)2                    (1+r)3                     (1+r)n                    (1+r)n

 

La Ley de un Solo Precio nos dice que si dos Activos tienen el mismo cash flow, el precio debe ser el mismo, de lo contrario existirían oportunidades de arbitraje que eliminarían esta discrepancia.

 

En el siguiente ejemplo numérico vemos el procedimiento con más detalle.

Ejemplo: Supongamos los siguientes datos de cinco bonos:

 

Tasa cupón      Vencimiento           Yield         Precio

Bono 1            6                      0.5                     7          99.5169

Bono 2            6                      1                        8          98.1139

Bono 3            10                    1.5                   8.5       102.0715

Bono 4            4                      2                      8.8         91.3698

Bono 5            12                    2                        ?                    ?

 

El objetivo es determinar el precio del Bono 5.

Los cash flows asociados son:

 

0.5 año            1 año         1.5 años        2 años

Bono 1            103

Bono 2            3                      103

Bono 3            5                      5                      105

Bono 4            2                      2                      2                      102

Bono 5            6                      6                      6                      106

 

Con esta información podemos determinar los factores de descuento como sigue,

103d1 = 99.5169 por lo tanto d1 = 0.966184

103d2 + 3d1 = 98.1139 por lo tanto d2 = 0.924421

105d3 + 5d2 + 5d1 = 102.072 por lo tanto d3 = 0.882081

102d4 + 2d3 + 2d2 + 2d1 = 91.3698 por lo tanto d4 = 0.841416

 

La yield implícita en los factores de descuento expresa la tasa a la que se puede invertir o pedir prestado para ese horizonte de inversión.

Entonces el precio del Bono 5 es:

B5 = 6d1 + 6d2 + 6d3 + 106d4 = 105.8262.

 

El criterio básico de valuación es replicar el pago del Activo en cuestión, construyendo un portfolio sintético de otros activos. Invocando la ausencia de oportunidades de arbitraje, obtenemos el precio del Activo que queremos valuar. Si el precio de mercado del Bono 5 fuera distinto a 105.8262, existiría una oportunidad de arbitraje.

 

Para construir este portfolio replicamos el cash flow del bono, entonces

102×4 = 106

105×3 + 2×4 = 6

103×2 + 5×3 + 2×4 = 6

103×1 + 3×2 + 5×3 + 2×4 = 6,

 

donde xi representa la cantidad de bono i necesaria para replicar el cash flow del Bono 5. Se puede verificar que

 

99.5169×1 + 98.1139×2 + 102.0715×3 + 91.3698×4 = 105.8262

Nótese que la yield de un bono con cupón en general no es igual que la yield de un zero con igual vencimiento. Esto es porque el bono con cupón paga naturalmente cupones antes del vencimiento, y los mismos están descontados a la tasa implícita en el factor de descuento para cada cupón, que no tiene porque coincidir con la tasa implícita en el  factor de Descuento del principal al vencimiento. Por ejemplo, si la estructura de tasas implica tasas de descuento mas altas para plazos mas largos, el bono con cupón tendrá una yield mas baja que un zero de igual maduración.

 

4.3 Títulos de Renta Variable

Cuando una compañía determinada desea recaudar capital una de las opciones que tiene para hacerlo es emitiendo acciones. Hay otras formas de recaudar capital, pero concentrémonos ahora en la emisión de acciones o títulos.

 

De esta manera la empresa consigue capital sin tener que verse comprometida a devolver o amortizar esos fondos a quien pone el dinero, y por lo tanto sin adquirir una deuda. Al comprarlas, quienes invierten capital en ellas se convierten en nuevos propietarios de una parte de la compañía.

 

Los inversionistas esperan que su capital se valore cada vez más en la medida en que la compañía crezca. La mecánica es simple: si las ganancias y las finanzas de la empresa crecen saludablemente de igual manera lo harán sus acciones, y el valor que éstas representan. Y en la misma medida en que la rentabilidad de las acciones aumente, su precio también tenderá a subir.

 

Por esa razón, la tendencia general entre los inversionistas es buscar compañías cuyos ingresos tiendan a crecer. Digamos que el buen desempeño de una empresa le propicia ganar $1,80 por acción, y que el valor contable (book value) de cada acción es de $12. Eso quiere decir que el rendimiento que obtiene el inversionista por acción es de 15%, una proporción nada despreciable hoy día si se la compara con el interés que puede ganarse teniendo el dinero en una cuenta de ahorro o incluso si se compra un Certificado de Depósito o un bono del Tesoro, cuyos porcentajes de rendimiento son mucho menores.

Además, algunas acciones pagan dividendos, por lo general, una vez al año. Sin embargo, no todas pagan dividendos y concentran todos sus ingresos en hacer crecer el valor de la acción.

 

1.3.1 Características

 

1.3.1.1. En torno a la Liquidez: 

La liquidez de una acción está relacionada con la mayor o menor facilidad con que un inversionista cualquiera puede comprar o vender esos papeles en el mercado. La liquidez es un concepto relativo, pues no se puede establecer claramente cuando un papel es líquido o no, sin embargo, es posible establecer comparaciones del grado de liquidez entre diferentes acciones, a través de algunos parámetros, tales como:

 

  • Montos transados
  • Presencia (días transacción en relación al total de días hábiles del período)
  • Rotación (acciones transadas en relación al total en circulación).

 

Así, acciones con altos niveles de transacción, presencia y rotación, serán más líquidas que otras con niveles más modestos.

En períodos de gran dinamismo bursátil, la liquidez de las acciones tiende a acentuarse, sobre todo la de aquellas empresas cuyo capital se encuentra distribuido en un número considerable de accionistas.

 

1.3.1.2. En torno al Retorno:

 

La rentabilidad de una acción proviene de los dividendos percibidos y de las ganancias de capital que generan las diferencias de precios entre el momento de compra y venta.

Los dividendos dependen de los resultados de la empresa y en la medida en que éstos sean positivos y permanentes, el accionista podrá disponer del flujo estable de dividendos en el tiempo.

Es importante tener presente que en una economía sana, los retornos de una acción siempre serán mayores que los de otras alternativas, como instrumentos de renta fija, por ejemplo, pues los riesgos involucrados en cada alternativa son diferentes.

 

1.3.1.3. En torno al Riesgo:

 

Cualquier inversión en el mercado de valores lleva implícito el problema de riesgo, más aún si se trata de una inversión en el mercado de acciones.

Los precios de las acciones son esencialmente variables, pudiendo subir o bajar de acuerdo al comportamiento de una serie de factores de índole político, económico, financiero, etc. Las expectativas juegan un rol fundamental en la volatilidad de los precios y en muchos casos, cuando estas expectativas se trasladan del plano personal al colectivo, conforman las tendencias positivas o negativas que se observan en el mercado.

Invertir en acciones significa asumir un riesgo que de una u otra forma debe ser compensado con el propósito de que los recursos no sean desviados hacia otras alternativas más seguras, que impidan el financiamiento de las empresas a través de este sistema. El elemento clave que permite una  inversión en acciones es la rentabilidad o retorno esperado.

Mientras más alto sea el riesgo que se asuma, mayor será el retorno que se deba exigir, es decir, altos riesgos son penalizados con tasas de rendimiento exigidas también altas.

 

1.3.2 Tipos de Títulos de Renta Variable.

1.3.2.1. Acción de Capital o Acción Común

La historia de las acciones se remonta a la primera sociedad Favercham Oyster Fishery Co., la cual emitió títulos de propiedad de la compañía en 1,198. En esa época, existía gran interés en comercializar con los nuevos territorios, pero esta actividad era sumamente riesgosa y costosa. Los viajes podrían tomar varios años y la certeza que el barco pudiera retornar era sumamente reducida. Ni siquiera la gente rica quería invertir aún cuando las rentabilidades ofrecidas eran muy elevadas.

 

Así se dio origen de las empresas «joint» que permitían que la aventura pudiera ser compartida por un gran número de personas. Si el barco no regresaba la pérdida era menor y permitía que los inversionistas pudieran diversificar este riesgo entre varios «viajes o aventuras».

 

Esto nos muestra la similitud con las empresas actuales que están inscritas o listadas en una bolsa. En primer lugar, la propiedad está separada de la gerencia de la empresa (o del viaje) aunque los propietarios pueden opinar o discutir la ruta del viaje o los objetivos que se busca con esta empresa. Esta discusión se denomina hoy derecho a voto.

 

Una vez que el barco comienza su viaje, los inversionistas ya no tienen control sobre él, pues ello le corresponde al capitán. Por ello, tanto los inversionistas del siglo XVIII como los inversionistas actuales apuestan por una buena gerencia o dirección de la empresa (o barco). Una segunda similitud se refiere a que los inversionistas esperan recibir beneficios en proporción a su inversión, si dio mas dinero espera tener más beneficios que otros que dieron menos.

 

También existen diferencias como el hecho que una vez que terminaba el viaje tanto el barco como sus Activos eran liquidados. El resultado era repartido entre los inversionistas. Por el contrario, la vida de una compañía es mucho más larga y sus Activos sólo se venderán en caso ésta se liquide. Lo que recibe a cambio un inversionista es la repartición de las ganancias generadas en un periodo determinado y que en el mercado bursátil se le denomina dividendo.

 

De acuerdo a esto, podemos decir que una empresa nace con la iniciativa de un grupo de personas que desea llevar a cabo un proyecto. Para ello, necesitan diversos activos: terrenos, edificios, maquinarias, personal, entre otros y para pagar este capital, necesitan dinero que puede obtenerlo de diversas maneras:

 

  • De accionistas: se conoce como nuevo capital
  • De préstamo de bancos: se conoce como deuda
  • De recursos propios o de las utilidades generados por el negocio si hablamos de empresas en marcha.

 

Si la fuente de financiamiento ha sido dada por los accionistas, ellos recibirán «certificados o constancias» de su aporte. Estas son las acciones y sus dueños son conocidos como accionistas. Estos accionistas tienen los siguientes derechos sobre la empresa:

 

  • Pueden opinar sobre la dirección de la empresa (de forma proporcional al número de acciones que el accionista posea de la totalidad de acciones de la empresa), es decir, tienen derecho a voto.
  • Puede vender sus acciones en cualquier momento.
  • Puede realizar aportes adicionales al negocio en función a su participación en la empresa.
  • Puede recibir beneficios y en el caso de la liquidación de la empresa tiene derecho a un parte de la misma.

 

1.3.2.2. Acción de Inversión.

En nuestro país, la creación de las acciones de inversión se remonta al año 1977, con el Régimen de Comunidad Laboral, en donde se crearon las Acciones Laborales (hoy acciones de inversión) con el fin de dar participación en las empresas a los trabajadores de las mismas. Esta política buscaba que los trabajadores de las empresas sean partícipes de todos los beneficios y ganancias que éstas generaran, sin que pudieran tomar decisiones en el manejo de las mismas.

 

Con el paso del tiempo estas acciones se convirtieron en “Acciones de Trabajo”, nombre que estuvo vigente hasta Diciembre de 1998, cuando se cambió su denominación a acciones de inversión mediante Ley No. 27028.

 

En la actualidad, las acciones de inversión no tienen el fin que originalmente propulsó su creación; cualquier persona las puede adquirir sin necesidad de ser trabajador de la empresa y pueden ser acreedores de los beneficios que las empresas generen.

 

Las acciones de inversión tienen los siguientes derechos:

  • Puede vender sus acciones en cualquier momento.
  • Puede realizar aportes adicionales al negocio en función a su participación en la empresa.
  • Puede recibir beneficios y en el caso de la liquidación de la empresa tiene derecho a un parte de la misma.
  • Tienen una única diferencia respecto a las acciones de capital: no tienen derecho a voto, es decir, no opinan en las decisiones de la empresa.

 

Clasificación según nivel de riesgo.

Respondiendo a su comportamiento y nivel de riesgo, también podemos clasificar a los títulos de renta variable de una forma diferente a su naturaleza legal, anteriormente descrita. A continuación relacionamos las categorías más aceptadas comúnmente:

 

A la cabeza de la clasificación figuran las llamadas blue chips; luego están las acciones de crecimiento (growth stocks); las acciones cíclicas (cyclical stocks), y las acciones especulativas (speculative stocks), en las que como su nombre lo indica suelen invertir aquellos que especulan con la volatilidad de esos valores en el mercado.

 

Las acciones blue chips son las preferidas en las bolsas de valores. Se trata de compañías financieramente sólidas y por lo general de larga data, que a lo largo del tiempo han mostrado sostenida estabilidad y rendimiento y que han pagado dividendos a sus accionistas no sólo durante los buenos tiempos, sino también en los malos (en la BVL: Volcan, Atacocha, Cerro Verde, Minsur, BBVA Banco Continental, Banco de Crédito, Aceros Arequipa, Telefónica, entre otras).

 

Las acciones de crecimiento corresponden a compañías que se identifican por su gran potencial de crecimiento para el futuro. De hecho, cierto tipo de inversionistas acostumbra a poner la mayor parte de su capital en este tipo de valores siguiendo una estrategia precisamente de crecimiento de su inversión. Estas compañías tienden a reinvertir las ganancias obtenidas con vista a una mayor expansión futura, por lo que no suelen pagar dividendos o lo hacen en muy poca cantidad. El precio de estas acciones en el mercado puede fluctuar con rapidez, más que el de otros valores.

 

Las acciones de ingreso son aquellas que se caracterizan por proporcionar regularmente entradas al inversionista. La clave radica en seleccionar aquellas compañías cuyos productos o servicios generen rendimientos mayores que el promedio de retorno de sus congéneres. A la hora de seleccionar una acción de ingreso es importante que la industria a la que pertenece la compañía figure en ese momento en una posición relevante.

 

Las acciones cíclicas se definen por el hecho de que las ganancias de estas compañías tienden a variar en determinadas épocas. Entre éstas figuran aquellas cuyos precios suben cuando se está en presencia de un período económico favorable, y descienden cuando ocurre a la inversa. En ocasiones la fluctuación de estas acciones es característica para todo el sector o industria al que pertenezcan.

 

No obstante, en sentido general existen acciones que son relativamente estables durante épocas en que el mercado declina. Como ejemplos más característicos están las compañías productoras de alimentos, los fabricantes de medicinas y las de servicios públicos (utilities), que en tiempos de recesión sufren menos.

 

1.3.3. Proceso de Valuación.

Al igual que como dijimos en el acápite 3.2, Métodos de Valoración de empresas, los analistas usan el concepto del valor del dinero en el tiempo para valuar Activos financieros o reales.

 

La actualización o descuento de los flujos económicos futuros se denomina valoración dinámica, porque no atienden a la situación patrimonial en un determinado momento, sino a una sucesión variable de flujos o rentas en un periodo.

 

Los métodos de valoración dinámicos suelen partir o al menos ser compatibles con una fórmula elemental que se ha llamado “principio fundamental de la valoración”. El desarrollo de este planteamiento se ha denominado análisis fundamental del valor. Puede venir referido al conjunto del capital propio de la empresa o a una estimación del precio de mercado de una acción o paquete de acciones.

Desde el punto de vista teórico, su gran función es la de definir el valor de la empresa o de los Activos como el valor actualizado de los resultados potenciales que generarán.

 

El valor de una acción se encuentra  la misma manera que el valor de otros Activos financieros, es decir, como el valor presente de la corriente de CFs esperados en el futuro. Los CFs esperados se componen de dos elementos: 1) los dividendos que se esperan en c/ año y 2) el precio que los inversionistas esperan recibir cuando vendan las acciones. El precio final esperado para la acción incluye el rendimiento de la inversión más una ganancia de capital.

 

La ecuación básica para la valuación de acciones es similar a la ecuación de bonos. Lo que cambian son los componentes del CFs. Primeramente, piénsese en un inversionista que compra una acción con la intención de mantenerla para siempre. En este caso, todo lo que el recibirá es una corriente de dividendos, y el valor de la acción al día de hoy se calcula como el valor presente de una corriente infinita de dividendos.

 

Valor de la acción =  P0SDivt
(1 + rs)t

 

Para cualquier inversionista individual los CFs esperados consisten en los dividendos esperados más el precio de venta esperado para la acción. Sin embargo, el precio de venta que reciba el inversionista ordinario dependerá de los dividendos que espere algún inversionista futuro. Por consiguiente, para todos los inversionistas actuales y futuros en total, los CFs esperados deben basarse en los dividendos esperado en el futuro. Por lo que la ecuación tiene validez sin importar que destino tenga previsto para la acción el inversionista actual.

 

La ecuación es un modelo generalizado de valuación de acciones en el sentido de que el patrón de tiempo de Divt puede sujetarse a cualquier comportamiento. Sin embargo, con gran frecuencia la corriente proyectada de dividendos sigue un patrón

 

En general, en la aplicación numérica de estas fórmulas, supondremos que se tiene información perfecta (sin limitaciones ni costes) acerca de los beneficios de la empresa, su política de dividendos, los planes de inversión, las cotizaciones, etc.

 

En el caso de las acciones, la variable renta viene dada por el dividendo

r =  Div

         Pt

 

Existen participaciones de control que no persiguen una rentabilidad financiera, sino estratégica, relacionada con el liderazgo en los mercados de productos y servicios. El dividendo a percibir es lo de menos; incluso sería interesante no repartir dividendos, a fin de reinvertir en actividades que sean complementarias con otras del accionista de control. Se incluye en este concepto el cierre de la empresa adquirida, eliminando un competidor.

 

Rentabilidad indirecta o implícita: Variación patrimonial de tipo financiero. Esta rentabilidad puede corresponder, al menos en parte, a la parte proporcional del dividendo devengado y no vencido.

 

 r = ΔPt   donde:    ΔPt = Pt – P(t-1)

          Pt

 

En términos generales, la rentabilidad esperada por el inversor será la suma de la rentabilidad implícita y explícita:

 

r =   Div  +  ΔPt

                Pt

 

En este enfoque, la política de dividendos es un factor relevante en las expectativas sobre renta y patrimonio del inversor ‘racional’. Ésta es considerada la “expresión de máxima operatividad” del denominado análisis fundamental, sin embargo, no pasa de ser un mero planteamiento teórico, pues no puede darse el caso de que se pretenda obtener el valor actual dando por conocido el valor de la empresa dentro de un periodo.

1.4 Aplicación de Métodos de valuación a Empresas Peruanas

1.4.1 Caso: Valoración de Acciones de Inversión de Minsur S.A.

 

Las acciones de Inversión de Minera del Sur S.A. (MinsurI1) representan el 7.0346% del Índice Selectivo de la Bolsa de Valores de Lima (ISBVL), siendo una acción muy dinámica (100% de liquidez), además de que se cuenta con mucha información de la empresa, la cual tiene el total de sus operaciones en el Perú. Es por ello que la hemos tomado como modelo para realizar el ejercicio de valoración siguiente.

 

Información General de la Empresa

Minsur S.A. se constituyó e inició sus operaciones el 6 de octubre de 1977, mediante la transformación de la sucursal en el Perú de Minsur Partnership Limited de Bahamas denominada Minsur Sociedad Limitada, la cual venía operando en el Perú desde 1966.

 

Las actividades de la Compañía están reguladas por la Ley General de Minería. La Compañía es subsidiaria de Inversiones Breca S.A., empresa domiciliada en Perú, que posee el 98.74% de las acciones representativas de su capital social.

 

Su actividad principal es la producción de metálico de estaño que produce en su planta de fundición ubicada en la ciudad de Pisco. El metálico de estaño se produce utilizando el concentrado de estaño que extrae de la Mina de San Rafael, ubicada en el departamento de Puno. El 99% del metálico de estaño que produce la Compañía lo comercializa en el mercado internacional a través de agentes de venta.

 

La administración de la operación de la planta de fundición está a cargo de Funsur S.A. de acuerdo con los términos del contrato de Gerencia de proyecto, de administración y de operación suscrito con ésta en mayo de 1994.

 

Valoración de la Empresa

Elevados precios del estaño mejoran la posición financiera de la compañía.

 

La combinación de inmejorables precios internacionales con una mayor producción de refinados de estaño ha contribuido a mejorar sustancialmente los márgenes financieros de la compañía, permitiéndole realizar inversiones en infraestructura minera destinadas a mejorar la eficiencia de sus procesos productivos, siendo el de mayor envergadura el referido a la utilización del gas natural como combustible.

 

Recientemente la cotización internacional del estaño alcanzó niveles de US$ 11,158 por TM no observados desde 1989, tras los recortes de producción en Indonesia y los riesgos de menores suministros del mineral proveniente de Bolivia, ambos países responsables del 35% de la oferta mundial, según se puede apreciar en el cuadro de Precios Mensuales de Estaño en LME. Asimismo, los precios del estaño se han visto favorecidos por las perspectivas de un mayor consumo del mineral como sustituto del plomo, tras las prohibiciones ambientales en la Unión Europea[2] que impiden su uso en productos electrónicos vendidos dentro del bloque de 25 naciones, una decisión que seguirían China, Japón y Corea.

 

En lo que se refiere a producción, la compañía registra un crecimiento sostenido de los niveles de tratamiento minero, los cuales han ido de la mano de una menor ley del mineral extraído, que se ha acentuado a partir del año 2003 en que se inició la recuperación de la cotización de los metales en el mercado mundial. La producción de refinados también ha venido registrando un crecimiento importante en los últimos años, como consecuencia del mayor nivel de mineral extraído y las inversiones en maquinaria, equipo e infraestructura que han permitido elevar los niveles de recuperación de estaño en los concentrados. La estructura de ingresos de la compañía ha registrado cambios drásticos en los últimos años, al mostrarse una marcada preferencia por la comercialización de productos de mayor valor agregado (estaño metálico). A nivel de mercados, EE.UU. continúa siendo el principal destino de exportación, en el año 2005 contribuyó con el 54.7% de sus ingresos seguido de Europa (38.8%) y Sudamérica (5.5%). Minsur S.A. históricamente ha registrado una escasa exposición al mercado local –en el 2005 vendieron el 1.0% de su producción en el mercado peruano.

 

Precios Promedio Mensuales del Estaño en el London Metal Exchange (LME) 
MesPrecioContango (Backwt)Stocks L.M.E.
Ene-06US$ 7,051US$ 1916,165
Feb-06US$ 8,135( US$ 29 )15,470
Mar-06US$ 7,939US$ 3814,820
Abril-06US$ 8,853US$ 4313,945
May-06US$ 8,837US$ 5512,795
Jun-06US$ 7,896US$ 4912,045
Jul-06US$ 8,350US$ 3711,095
Ago-06US$ 8,502US$ 011,635
Sep-06US$ 9,039( US$ 23 )11,505
Oct-06US$ 9,768( US$ 98 )11,985
Nov-06US$ 10,079( US$ 55 )12,175
Dic-06US$ 11,158( US$ 125 )12,970

Fuente: CRU Monitor Tin

 

Resultados Financieros de Minsur S.A. al Cuarto Trimestre del 2006 (4T06)

Durante el año 2006, las utilidades acumuladas de Minsur S.A. y subsidiarias registraron un crecimiento de 24.8% (en dólares) respecto a similar periodo del año anterior. Este comportamiento fue explicado principalmente por:

 

  • El crecimiento de 16.0% en los ingresos totales de la compañía, como consecuencia de los mayores volúmenes vendidos de estaño, y, además, a la variación de la cotización internacional del mineral. Durante el año 2006 la cotización del estaño alcanzó un promedio de US$ 8,220 TM, 7.0% superior de los precios promedio registrados durante el 2005.

 

  • El reconocimiento de una ganancia por el aumento del valor razonable de contratos a futuro celebrado por Minsur S.A. con la Bolsa de Metales de Londres.

 

  • Un crecimiento de 567.9% en el rubro otros ingresos como consecuencia del aumento del valor razonable de las inversiones disponibles para la venta (acciones de Rimac Internacional y Explosivos S.A.) en propiedad de Minsur S.A. por un valor de US$ 17.2 millones.

 

Perspectivas y Resultados de Valorización

Los principales elementos a tomar en consideración para analizar el desempeño de Minsur S.A. en los próximos años son los siguientes:

 

Comportamiento del sector:

Los ingresos de Minsur S.A. muestran una elevada sensibilidad a las variaciones de la cotización internacional del estaño (price commodity risk). Para el 2006, este mineral alcanzo un valor promedio anual de US$ 8,563 por TM, 16.0% superior a los registrados durante el año precedente. Este comportamiento alcista se explicaría básicamente en la perspectiva de un mercado físico caracterizado por un marginal déficit cercano a las 1,000 TM, a diferencia de los 4,000 TM de superávit registrados durante el año 2005. El referido déficit se explicaría por: i) la menor oferta de mineral proveniente de Indonesia, segundo productor mundial, luego de que la compañía PT Timah, la segunda mayor productora de estaño a nivel global, anunciara un recorte de 8.0% en su producción anual3, ii) la clausura de tres compañía refinadoras privadas ubicadas en la isla Bangka (Indonesia) por parte del gobierno tras inconvenientes con sus permisos mineros, y, iii) consumo mundial récord de estaño en refinados (alrededor de 380,000 TM) liderado por la demanda China, en un contexto de prohibiciones ambientales en Europa por las cuales se impide la comercialización de productos electrodomésticos que cuenten con plomo como soldadura

 

Para el año 2007, se estima que el estaño continuaría con su tendencia alcista, sobre todo durante el IS07, alcanzando un precio promedio anual de US$ 9,811 la TM que representa un alza de 12.8% respecto a los precios del año 2006. Esta tendencia se sustenta en los estimados de un mercado físico con déficit de alrededor de 3,000 TM tras la mayor demanda del mineral al completarse todo un año de prohibición ambiental en Europa. Para el largo plazo se considera un precio promedio de US$ 7,629 por TM, nivel similar al promedio de las cotizaciones anuales del estaño en términos reales de los últimos 20 años, incluido el periodo proyectado (2006-08).

 

Comportamiento de la empresa:

Para los próximos años, los ingresos operativos de Minsur S.A. seguirían la tendencia de su producción de estaño metálico y de la cotización del mineral en el mercado mundial. Para el 2006, se proyecta que la compañía registraría un crecimiento de 13.6% en su ventas como consecuencia del aumento de la cotización del estaño y de los volúmenes vendidos del mineral en refinados. Para el 2007, se  estima que sus ingresos continuarían con su tendencia alcista al registrar un alza de 3.9% respecto de los niveles alcanzados en el año anterior tras los mayores precios del estaño en el mercado mundial.

 

En cuanto a los costos operativos, durante el 2006 la empresa registro un aumento de 6.4% en el rubro, explicado en un 66.9% por los mayores costos de tratamiento minero tras la mayor extracción de mineral de menor ley, y, en menor medida, a los mayores pagos de regalía minera que alcanzaron un total de US$ 7.4 millones.

 

Otro de los factores que afectarían los resultados financieros de la compañía en los próximos años se asocian al cambio de valor de las inversiones disponibles para la venta en propiedad de la compañía. Para el 2006 se estima que la compañía reconocería ingresos como consecuencia de los mayores precios de las acciones comunes de Rimac Internacional y Explosivos S.A. en propiedad de Minsur S.A. por un valor cercano a los US$ 25.5 millones Para el 2007 solo se considera un aumento de US$ 1.5 millones tras los niveles récord registrados en la BVL durante el año precedente. Sin embargo, para el 2008 se prevé que dichas inversiones generarían una pérdida de US$ 3.8 millones como consecuencia de la caída proyectada de los precios de los minerales en el mercado mundial que afectaría el performance del mercado accionario local.

 

Así, el flujo de caja bruto (operacional), flujo de inversiones (CAPEX) y flujo de caja libre proyectados para Minsur S.A. se muestran en el siguiente cuadro.

 

FLUJO DE CAJA LIBRE (en millones de dólares americanos)

2004    2005    2006P 2007P  2008P 2009P 2010P

Ingresos totales           380.3   296.2   336.5   349.6   317.9   312.8   319.4

Costo de Ventas /1     90.3     58.6     65.4    62.2    64.1    66.0    66.0

Gasto Operativo /2     43.2     35.2    37.7    38.9    37.0    37.5    37.7

Depreciación 14.8     10.7    11.5    12.4    13.2    14.0    14.7

EBITA                        232.0   191.7   221.8   236.1   203.7   195.3   201.0

EBITDA                    246.8   202.4   233.4   248.5   216.8   209.3   215.6

Margen EBITDA        64.9% 68.3% 65.9% 67.5% 64.1% 62.5% 62.9%

Impto sobre EBITA    88.8     62.5     61.2     61.3     52.1     52.0     52.9

NOPLAT                   143.2   129.2   160.6   174.8   151.6   143.4   148.1

Depreciación 14.8     10.7     11.5     12.4     13.2     14.0     14.7

Flujo de caja bruto   158.0   139.9   172.2   187.2   164.7   157.3   162.7

Inversión bruta           14.2     26.7     7.2       28.0     29.5     27.9     28.5

Flujo de caja libre    160.6   111.0   215.6   175.3   143.3   143.0   162.4

/1 No incluye depreciación y amortización de intangibles

/2 No incluye depreciación

 

RESULTADOS DE VALORIZACIÓN

 

Resultados                  Inversión                              Ind. de Mercado         Inversión

Valorización Actual:            S/. 6.18                       Nro. Acc. (miles)        375,909

Último Precio (29/12/06):      S/. 6.80                       PER (12m)                      14.11

Incremento Potencial:            -4.7%                          RSI (14d.)                       70.42

                                                                                   Div.Yield (12m, %)        11.56

 

PRINCIPALES INDICADORES

2004                2005                2006*              2007 P/.

Ventas (US$ MM)                 380.3               296.2               351.8               349.6

Margen EBITDA                   64.9%             68.3%              79.4%             68.7%

Margen Neto                          45.8%             47.6%              65.8%             46.7%

Cap. Bursátil (US$ MM) ** 241                  277                  799                  603

PER                                        8.9                   7.2                   10.5                 11.1

P/ V. Libros                            2.8                   2.0                   3.5                   3.5

*   Fuente: BVL. Boletín Bursátil. (T.C. = S/. 3,2 por US$)

** Solo considera acciones de inversión

 

De este modo, de acuerdo con el método de valorización de flujo de caja descontado, y bajo un escenario conservador, el valor fundamental de las acciones de inversión de Minsur S.A. es de US$ 1.60, mientras que en términos de nuevos soles, el valor es de S/. 6.18. [3]

 

1.5 Ejercicios sobre títulos de renta fija y renta variable

 

A-Valuación de Títulos de Renta Fija

1) Se tiene un bono con Valor Nominal de $1.000, tasa cupón de 7% y un rendimiento al vencimiento del 9%, Vence en 10 años. a) ¿Debería estar el precio por encima o por debajo de $1.000? Explique por qué. b) Calcule su precio.

 

Dado otro bono con Valor Nominal $1.000 con una tasa cupón del 8% que hoy cotiza a $848. Vence en 15 años, a) Calcule su rendimiento al vencimiento ¿este debiera estar por debajo o por arriba de la tasa cupón? ¿Por qué? b) Ayudándose con su conclusión de recién, calcule aproximadamente dicho rendimiento.

 

2) Se emiten bonos convertibles (VN = 1.000) que cotizan por 900$. Cada bono puede canjearse por 100 acciones a opción de su tenedor. El bono tiene una tasa cupón del 6% pagadero anualmente y vence en 12 años. La calificación de deuda de la empresa es BBB, a las deudas con esa calificación se le han fijado precios para que genere un rendimiento del 12%. Las acciones comunes de la empresa se negocian a $6 cada una. ¿Cómo calcularía el valor de este bono? ¿Cuánto valor le agrega que sea convertible?

 

3) Se cuenta con un portfolio de dos bonos. Ambos tienen: VN = $1000; tasa cupón = 10% anual (pagos anuales); vencimiento en 4 años; y rendimiento = 12% anual. El primero de ellos devuelve todo el capital al final y el otro en dos pagos iguales cada dos años. a) Calcule la Duration de ambos bonos; b) ¿Cuál de ellos es conveniente vender si se espera un aumento en las tasas del mercado?

 

4) Se planea rescatar bonos ($40.000.000, 14%/año, 15 años para maturity). Si lo hace deberá pagar un “call premium” del 8%. Intenta además emitir un nuevo bono a 15 años ($40.000.000, 10%/año),. Además, los costos asociados a esta decisión de rescate y nueva emisión son de $350.000. Conviene rescatar los bonos?. No considere impuestos. Se sabe que la empresa evalúa sus proyectos de inversión en el mercado electrónico, usando una tasa de descuento del 22%.

 

5) Una obligación con las características siguientes se encuentra disponible.

  • Valor nominal: US$ 1,000.00
  • Periodo de vencimiento: 20 años.
  • Tasa de cupón: 00 %
  • Periodicidad de los pagos:

Calcule el precio de una obligación si la tasa de interés de mercado es del:

  1. 00%
  2. 00%
  3. 00%

 

B-Valuación de acciones

 

1) La empresa RPQ acaba de repartir dividendos en efectivo de $2 por acción. Los inversores requieren un rendimiento de 16% en inversiones similares. a) Si se espera que el dividendo crezca un 8% anual constante ¿cuál es el valor actual de la acción? ¿Cuánto valdrá la acción en 5 años? b) En el problema anterior, ¿en cuánto se vendería la acción hoy, si se espera que el dividendo crezca el 20% anual durante los próximos 3 años y después se estabilice al 8% anual?

 

2) Examine la siguiente información para dos empresas financiadas por completo con capital:

 Empresa AEmpresa B
Acciones en circulación10050
Precio por acción5030

 

La empresa A estima que el valor del beneficio sinérgico de adquirir la empresa B es de $200. La empresa B señalo que aceptaría una oferta de adquisición en efectivo de $35 por acción. ¿Debe presentar la oferta la empresa A?

 

Examine la siguiente información para dos empresas financiadas por completo con capital:

 Empresa AEmpresa B
Utilidades totales1000400
Acciones en circulación10080
Precio por acción8025

 

A esta adquiriendo a B al intercambiar 25 de sus acciones por todas las acciones de B. ¿Cuál es el costo de la fusión si la empresa fusionada tiene un valor de 11000? ¿Qué le ocurrirá al UPA de la empresa A (nueva A fusionada, incluye B comprada con A)? ¿Y a su P/E?

 

3) Nautillius Marine Products Corp. paga en la actualidad dividendos de $2 por acción y se espera que este dividendo crezca anualmente 15% durante los próximos tres años, luego a 10% durante los siguientes tres años, después de lo cual se espera que crezca a una tasa del 5% para siempre. ¿Qué valor le daría usted a la acción si se necesitara una tasa de recuperación del 18%?

 

4) Se sabe que Qwerty S.A. repartió dividendos por $2 por acción y se espera que a partir de allí crezcan en un 15% durante 3 años, 10% durante los siguientes 3 años. La empresa tiene una razón precio por acción/utilidades por acción de 8 veces al final del año 6, además se espera que sus utilidades por acción sean de $7,50 en el año 7. Si el precio de la acción hoy es de $35, ¿Cuál es el rendimiento esperado de la inversión? (Suponga que el valor final o futuro al cabo del año 6 se basa en el pronóstico de las utilidades del año 7). Sugerencia para tanteo: 15%.

 

C- Ejercicios Extra

 

1) (A) Acciones, (B) Bonos

(A) Se posee quinientas acciones de EUAC  SA, la misma que pagará dividendos de $2 por acción a un año de hoy. Dos años más tarde, cerrará y sus accionistas recibirán $17,5375 por acción debido a la liquidación de la misma. El rendimiento requerido por los accionistas de EUAC  SA es de 15% anual. (A1) ¿Cuánto vale hoy una acción de EUAC SA? (A2) Si usted prefiere recibir montos exactamente iguales de dinero en cada uno de los dos próximos años, detalle una estrategia que lo lograría y demuestre claramente que lo logra.

 

(B) Un bono (Valor nominal= 1000) a perpetuidad debe rescatarse ahora o nunca y realizar una nueva emisión, la tasa cupón de los bonos en circulación es de 15%, y la tasa de cupón nominal de la nueva emisión sería la del mercado 6,7%.  Además, redimir anticipadamente un bono cuesta 150$. ¿Conviene rescatar?

 

2) Valuación de flujos de efectivo conocidos: Bonos y Acciones

  1. Danaces S.A. ha mantenido un crecimiento extraordinario del 30% anual debido a su buena estrategia de ventas, que ha desembocado en una rápida. Se asume que esta tasa de crecimiento durará tres años más y después disminuirá al 10% anual. Si a partir de ese momento la tasa de crecimiento permanece al 10% indefinidamente, cuál es el valor total de la acción? El total de dividendos que acaba de pagar fue de 5 millones, y el rendimiento requerido es de 20 %

 

  1. Determinar el precio de un bono, y su rendimiento efectivo anual a partir de los siguientes datos: Tasa cupón 14%, rendimiento anual 16% (capitalización semestral) con pagos semestrales, el bono vence a 7 años. Valor nominal= 100.

 

ANEXO METODOLÓGICO

  • Valor Acción = Capitalización Bursátil Estimada / Número de Acciones en circulación.
  • Capitalización Bursátil Estimada = Valor Total Empresa – Valor Deuda.
  • Valor Total Empresa = Valor de Activos Operacionales + Valor Activos No Operacionales.

N

  • Valor de Activos OperacionalesFree Cash Flow para empresa +Valor Residual

n=1            ( 1 + WACC) n     

 

Se asume empresa en marcha.

“N” es el periodo explícito de proyección del Free Cash Flow para la Empresa.

 

  • Free Cash Flow = Cash Flow Bruto – Inversión Bruta – Inversión en Intangibles.
  • Cash Flow Bruto = NOPLAT + Depreciación.
  • NOPLAT (Net Operating Profit less adjusted Taxes o Ganancia operativa neta menos impuestos ajustados) = EBITA – Impuestos sobre EBITA.
  • EBITA (Earning before Interest, Taxes and Amortization o Ganancias antes de pago de intereses, impuestos y amortizaciones de intangibles) = Ingresos Operacionales – Costo de Ventas –  Gasto Operativo – Depreciación.
  • Impuesto sobre EBITA = Impuesto a la Ganancia + Escudo Fiscal por Gasto Financiero – Impuesto por Ingreso Financiero – Impuesto por Ingresos No Operativos Neto.
  • Inversión Bruta = Incremento en Working Capital + Capital Expenditures (Capex) + Incremento en otros Activos operacionales (todos los conceptos incluyen gasto en depreciación).
  • WACC = (a*COK + b*Costo de oportunidad de los acreedores) / (a + b). “a” = capitalización bursátil de las acciones de la empresa. “b” = deuda de la empresa a valor de mercado.
  • COK (Costo de oportunidad de los accionistas) = RfUS + βapalancado * (RmUS – RfUS) + λ (Country Risk) + φ

 

Rf US = Risk free rate en EE.UU.

 

Rm US = Market Return Premiun o Retorno del mercado accionario en EE.UU.

 

β = Riesgo sistemático de acciones del sector en el que opera la empresa. Se obtiene de aplicar el modelo CAPM para acciones del sector correspondiente en el mercado bursátil de EE.UU. (Fuente: Damodaran).

 

λ=     % de ingresos mcdo. doméstico empresa                             .

% de ingresos mcdo. doméstico promedio empresas del país

 

φ = ajuste por riesgo asistemático. Prima por tamaño de empresa, obtenidos de la consultora Ibbotson.

 

  • Costo de oportunidad de los acreedores = Rf US + Default Spread + λ * (Riesgo País) .

 

El valor del Default Spread es obtenido considerando el ratio de cobertura de intereses de la empresa (Fuente: Damodaran on valuation).

  • Valor a perpetuidad. La presente valorización no considera valor de perpetuidad. Se determina un valor de rescate sobre la base de los niveles de reservas y recursos mineros existentes, el nivel de certidumbre de hallazgo de mineral por tipo de recursos o reservas, leyes, recuperaciones y precios de largo plazo para cada uno de los minerales.

Continuing Value = NOPLAT T+1 (1 – g / ROICI )

WACC –  g

 

  • ROICI = The expected rate of return on net new investment

 

  • g = growth rate, o tasa de crecimiento.

 

APENDICES.

Apéndice A.  Conceptos Estadísticos. Esperanza Matemática, Media y Varianza.

A.1. Esperanza Matemática

La esperanza matemática de la variable aleatoria X es conocida como el primer momento de la distribución alrededor del origen. Se denota por E(X) ó μ y es un promedio ponderado de X, con ponderaciones correspondientes a las probabilidades de ocurrencia.

 

Por ejemplo, para una variable aleatoria discreta:

Donde f(x) es la función de probabilidad.

En general se puede calcular la esperanza matemática de cualquier función de una variable aleatoria. Esto es:

 

Propiedades de la Esperanza Matemática

 

  1. si C es una constante, E( C ) = C
  2. E(X – μ) = E(X) – μ = 0
  3. E(C g(X)) = C E(g(X))
  4. E[u(X) + v(X)] = E[u(X)] + E[v(X)]

 

B.2. Varianza de una Variable Aleatoria

Sea E(X)= μ la media de la distribución de X. Un caso especial de g(X) es cuando g(X)=(X- μ)2

El valor esperado de esta última expresión se denomina VARIANZA de la distribución:

Var(X) = s2 = E[(X- μ)2]

La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar.

 

Propiedades de la Varianza

  1. si C es una constante, Var( C ) = 0
  2. s2 = E[X2 – 2X μ + μ2] = E(X2) – μ2
  3. si a y b son constantes: Var(a + bX) = b2 s2

 

Probabilidades Conjuntas

Las funciones de probabilidad definidas sobre dos o más variables aleatorias se conocen como funciones de probabilidad conjunta.

Sean X e Y dos variables aleatorias discretas; y x e y los valores que pueden adoptar respectivamente.

La probabilidad de que X=x e Y=y se denomina función de probabilidad conjunta para X e Y: fXY (x,y)  =  Pr (X=x, Y=y)

 

Ejemplo:

Considere el experimento de arrojar un par de dados. Hay 36 resultados posibles, (1,1), (1,2), (1,3), … (6,6). Cada resultado es igualmente probable por lo que la probabilidad de un resultado típico es 1/36.

Construyamos dos variables aleatorias: X = número de 3 en un resultado; e Y = número de 5 en un resultado.

 

Así si el resultado fuera (1,5), X=0 e Y=1. Los resultados que pueden adoptar estas variables aleatorias son: X = {0, 1, 2}; Y = {0, 1, 2}

 

La función de probabilidad conjunta es:

X

0                      1                     2                     f(y)

0          16/36               8/36                 1/36                 25/36

Y         1          8/36                 2/36                   0                    10/36

2          1/36                   0                      0                      1/36

f(x)      25/36               10/36               1/36                    1

 

f(x) y f(y) se denominan las distribuciones marginales de X e Y respectivamente. En general:

es la distribución marginal de X.

 

A.3. Esperanza Matemática en un caso de dos Variables

La doble sumatoria indica que se suma sobre todos los valores de X y sobre todos los valores de Y.

 

A.4. Covarianza y Correlación

Uno de los principales puntos de interés es como están relacionadas dos variables aleatorias.

Los conceptos de covarianza y correlación son dos formas de medir la «relación» que existe entre dos variables aleatorias.

Consideremos la función:

g(X,Y) = (X – µx)(Y – sy)

 

El valor esperado de esta función se llama covarianza entre X e Y y se denota por sxy ó por Cov(X,Y), entonces:

sxy = Cov(X,Y) = E[(X – µx)(Y – sy)]

= E(XY) – µxsy

La covarianza entre dos variables aleatorias es una medida de la relación lineal conjunta entre ellas.

 

No obstante, la covarianza es útil en identificar la naturaleza de la relación entre X e Y, tiene el problema de que su valor depende de la magnitud en que estén medidas las variables.

 

Por ejemplo, si X e Y son dos variables financieras podrían estar medidas en dólares o en miles de dólares y entonces la covarianza aumentaría multiplicada por 1000.

 

Para evitar este problema se utiliza una medida «normalizada» denominada coeficiente de correlación entre X e Y, xy .

 

xy = sxy /(sx . sy )

 

Si X e Y están positivamente relacionadas el coeficiente de correlación será positivo. Es posible que el coeficiente de correlación sea cero, en ese caso decimos que X e Y no están correlacionadas. El coeficiente de correlación varía entre menos uno y uno.

 

2 xy s1. Cuanto más cerca de 1 el cuadrado del coeficiente de correlación mayor correlación entre las variables.

Si X e Y son estadísticamente independientes, entonces

fxy (x,y) = fx (x) fy (y) y por lo tanto:

Cov(X,Y) = E(X – µx)E(Y – sy) = 0

 

Esto es, si X e Y son estadísticamente independientes, entonces no están correlacionadas.

 

La inversa no es cierta. Esto es si la covarianza entre dos variables es cero no se puede inferir que las variables sean independientes.

 

Propiedades

(a) si a y b son constantes:     Var(aX + bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2ab Cov(X,Y)

(b) si a=1 y b=1,                     Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y)

(c) si a=1 y b=-1                     Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y) – 2 Cov(X,Y)

 

Apéndice B. Factores de mercado que suelen mirarse con suma atención.

Factor de mercadoCondición para un mercado accionario favorable
Crecimiento de EPSRápida
PERBajo
PER relativo a su propia  historiaBajo
ROEAlto
ROE  relativo a su propia  historia.Alto
Tendencia Tasa Interés y rendim. BonosPara abajo
Rendim. Relativo a Rendim. mundialesAlto, relativo a su historia.
PER relativo al PER mundialBajo, relativo a su  historia.
Precio del “riesgo de las acciones”Alto
Fase del ciclo económicoCerca al fin de la recesión, crecimiento incipiente
Tendencia de la monedaFuerte
Crecimiento potencial de largo plazoFuerte
Pronostico de escenarioCrecimiento y baja inflación
Situación políticaFalta de incertidumbre, gobno pro mcdo

 

Glosario de términos financieros en ingles traducidos al castellano.

Account:                     cuenta
Accountant:                contador
Accounting:                contabilidad
Accounts payable:      cuentas por pagar
Accounts receivable: cuentas por cobrar
Accrued assets:           Activos acumulados
Acquisition costs:       costos de adquisición
Acquisition:                adquisición o compra
ADR:                          American depository receipt
Amortization, paying off: amortización
Amount:                     monto de una deuda
Anti trust laws:           leyes antimonopólicas
Assets:                        Activos
At sight:                      a la vista
Auction:                      subasta pública
Auditory:                    auditoría
Average price:            precio promedio

Back to back:                        crédito documentario

Balance of payments: balanza de pagos

Balance of trade:      balanza comercial

Balance sheet:           balance general

Balloon payment:     pago al final

Bankruptcy:              banca rota

Basis of assessment: base gravable

Be in debt:                 estar en deuda, adeudar

Bear market:                        mercado bursátil en declinación

Bench mark:             punto de comparación

Bench marking:        proceso de comparar continuamente una organización con líderes del mundo.

Bias:                           sesgo, tendencia

Bid:                            oferta

Bill of change:           letra de cambio

Bill:                            cuenta

Blue chip:                  gran compañía que cotiza en los mercados de valores y que cuenta con un índice de liquidez del 100% (se traedea todos los días)

Bond:                         bono. Titulo financiero de renta fija.

Book keeping:           Teneduría de libros. Contabilidad

Borrowing:                Préstamo

Bottom price:                        precio mínimo

Break down:             análisis de quiebre hacia abajo

Break even point:     punto de equilibrio

Budget:                      presupuesto

Bulk:                          masa, volumen

Bull market:              mercado bursátil en alza

Buyer:                        comprador

Buying power:          poder adquisitivo

 

C&F:                          valor incluyendo costo y flete

Capital flight:             fuga de capital

Capital gains:             utilidades de capital

Capital goods:            bienes de capital

Capital market:           mercado de capital

Capital stock:             acciones de capital

Cash balance:             saldo de caja

Cash cows:                 vacas lecheras

Cash flow audience:   flujo de caja del inversionista

Cash flow:                  flujo de caja

Cash on hand:             efectivo en caja

Cash payment:            pago al contado

Cash:                           contado

CEO:                           chief executive officer: presidente

Change:                      cambio

Check:                        cheque

CIF:                            valor incluyendo costo, seguro y flete

Circulating capital:     capital circulante

Claim:                         reclamo

Clearing:                     compensación

Client:                         cliente

Coaching:                   asesoría personal

COD: cash on deliver: pago contra entrega

Collateral:                   Activo dado en prenda, garantía

Collect:                       cobro en el destino

Comissions:                comisiones

Commitment fee:       comisión de compromiso

Commodity:                mercadería transable en los mercados mundiales, que cumplen con ciertas características para poder ser traedeables. Se consideran a los metales (oro, plata, cobre, zinc) granos (soja, café, maíz) y otros como el petróleo y el gas.

Company:                   compañía, empresa, firma.

Competition:              competencia

Competitiveness:        competitividad

Compound interest:    interés compuesto

Consolidated debt:     deuda consolidada

Consultation:              consulta

Consumer goods:        bienes de consumo

Consumer price index: CPI: índice de precios al consumo

Consumer:                  consumidor, cliente.

Consumption:             consumo

Contribution founds: aportación de fondos

Convertibility:            convertibilidad

Cost benefit ratio:       razón beneficio costo

Cost of living adjustment: ajustes por inflación

Cost price:                  precio de costo

Cost volume profit analysis: análisis de sensibilidad

Cost:                           costo

Counter trade:             comercio

Coupon:                      cupón, desprendible

Credit card:                 arjeta de crédito

Credit:                        crédito

Creditor:                     acreedor

Currency:                    circulante, corriente

Currency:                    moneda

Current account:         cuenta corriente

Current Liabilities       Pasivos Corrientes. Conjunto de todas las deudas de una empresa que tengan un vencimiento igual o inferior a un año o al periodo de maduración de la empresa, que se deberán financiar con el Activo circulante.

Custom house:            aduana

Customer:                   cliente

Customers duty:         derechos arancelarios

 

Deal:                           negocio
Dealer:                        vendedor
Debt limit:                  nivel de endeudamiento
Debt:                           Deuda
Default:                      incumplimiento
Deferred payment:     pago a plazos
Deferred:                    diferido
Delivery:                    entrega
Demand:                     demanda
Deposit:                      deposito
Depreciation:              depreciación
Devaluation:               devaluación
Devise:                       divisas
Disbursement :           desembolso
Discount:                    descuento
Dividend:                    dividendo
Down payment:          pago inicial
Draft:                          letra de cambio
Drawing:                     giro
Duty:                           arancel

Earning report:           estado de resultados

Economic profit:        valor económico

Economic trend:         coyuntura económica

Efective rate per annuu: tasa efectiva anual

Effective rate:             tasa efectiva

Effective:                    efectivo

Empowerment:           empoderamiento

Enterprice:                  empresa

Entrepreneur:              empresario

EPS: Earning per Share: ganancias por acción

Escision:                     partición de una sociedad en dos o entregar de parte a otras

existentes

EVA:                          economic valúe added

Exchange adjustment: ajuste de cambio

Exchange rate:            tasa de cambio, tipo de cambio

Expenditure:               desembolso

Expense:                     desembolso, gastos

Exposure:                   exposición, riesgo

Face value:                 valor nominal, o valor facial.
Factory:                      fabrica
Fair price:                   precio justo
FASB:                        normas contables
Fee:                             comisión inicial
Finance evaluation:    evaluación financiera
Financial backing:      apoyo financiero
Financial ratios:          Ratios financieras
Financing evaluation method: método de evaluación financiera
Financing:                  financiamiento.
Firm:                           compañía, empresa.
Fixed assets:               Activos fijos
Fixed price:                precio fijo
Float, floating:            cheques girados y no cobrados
Floating debt:             deuda flotante
FOB:                           Free on board, libre a bordo
Foreign exchange:      divisas
Forward:                     cobertura en moneda extranjera
Forwards:                   mecanismo de protección ( en garantía en el exterior)
Free cash flow:           flujo de caja libre
Freight:                       flete
Fund transfer:             translado de fondos
Fund:                          fondo
Future worth:              valor futuro

 

Gambling:                  apuesta
Golden parachute:      «paracaídas dorado» indemnización
Good will:                  buena imagen, diferencia entre valor de mercado y valor contable.
Goods:                        bienes
Gross benefit:             beneficio bruto
Gross income:            ingreso bruto
GDP (gross domestic product): PBI

 

Hard currency:           moneda dura
Harvesting strategy:   sacar el efectivo producido
Hedge:                        cobertura
Hedging:                     cobertura
High income housing: vivienda suntuaria
Hire purchase:            venta a plazos
Hurdle rate:                tasa de corte

IBF :                            international banking facility: transacciones en eurodolares en Estados Unidos

Importation:                importación

Income :                     Renta, Ingresos.

Income policy:           política de ingresos

Income statement:      Estado de ganancias y pérdidas

Income tax:                 impuesto sobre renta

Income yield capacity: rentabilidad

Increase:                     incremento

Inflation:                     inflación

Inherited audience:     flujo de caja del proyecto futuro

Initial investment:       inversión inicial

Input:                          insumo, entrada

Installment:                crédito

Insurance:                   seguro

Interchange:                intercambios

Interest rate:               tasa de interés

Inventory:                   inventarios

Investment:                 cartera / inversión

Invoice :                     factura

IOU:                           I owe you: le debo

IRR :                           internal rate of return: tasa interna de retorno TIR

Issuing company:       compañía emisora

Item:                           partida

 

Join- venture:             acuerdo de cooperación entre empresas de dos países, actividad empresarial conjunta entre socios de países diferentes

Junk bond:                  bono basura, bono que cuenta con la mas baja certificación crediticia y por ende tiene una alta probabilidad de entrar en default.

Label :                        etiqueta
Labor:                         mano de obra
Lakeover:                   adquisición hostil
Lend:                          prestar
Letter of credit:          carta de crédito
Leverage rate:             índice de apalancamiento
Levy:                          gravamen
Liabilities:                  pasivos
Liquidity ratios:          razón de liquidez
Liquidity:                    liquidez
Listed securities:        acción cotizada en bolsa
Load:                          cargamento
Loan:                          préstamo
Long term capital flows: flujo de capital a largo plazo
Long term debt:          deuda a largo plazo
Long term loan:          préstamo a largo plazo
Loss:                           perdida
Low income housing: vivienda popular
Lump sum:                 pago global

M&A:                         mergers and acquisitions: fusiones y adquisiciones
Manager:                    gerente
Manufacturer:             fabricante
Manufactures products: productos manufacturados
Market price:              precio de mercado
Market research:         estudio de mercado
Matched timing:         tiempo apareado
Meeting:                     asamblea
Merger:                       fusión
Monetary adjustment monetary correction: corrección monetaria
Money growth:           crecimiento del dinero
Money received:         ingresos
Monthly payment:      mensualidad
Mortage:                     hipoteca
Most favored nation treatment: tratamiento de nación mas favorecida
Movement:                 movimientos

 

National income:        ingreso nacional
Net cash flow:            flujos netos de efectivo
Net present value:      valor actual neto
Net price :                   precio neto
Net worth:                  valor neto ( patrimonio)
Net:                             red
NF: no founds:           sin fondos
Nominal rate:             tasa nominal
Non profit corporation: empresa no lucrativa
NPV:                           Net present value: valor presente neto
Number, turnover:      cifra

Offer:                          oferta
Open market:              mercado libre
Operation costs:         costos de operación
Operation expenses:   gastos de operación
Operation:                  operación
Ordinary shares:         acciones comunes
Output, production:    producción
Outstanding shares:    acciones en circulación

Pay in cash:                 pagar en efectivo

Payback period:          periodo de recuperación Método de valoración de proyectos de inversión que consiste en calcular el mínimo plazo de tiempo en el que tarda en recuperarse el desembolso inicial de la inversión.

Payment advance:       avance

Payment in arrears:     pago atrasado

Payment:                     pago

Payroll:                       nomina

Pay in:                         Porcentaje de beneficios reinvertidos en la empresa.

Pay Out:                     Dividend pay out ratio – es la relación entre los dividendos que paga una empresa a sus accionistas y su resultado neto. Esta relación varía según el tipo de industria en que nos encontremos: las empresas que tienen muy buenas oportunidades de fuerte crecimiento, prefieren que este ratio sea muy bajo, por el contrario, empresas de servicios públicos con objeto social muy acotado, reparten una alta proporción de los beneficios netos a sus accionistas.

Payout ratio=  DIV / EPS

Period:                        período
Planing:                      planificación
Political economy:     economía política

Pre investment:           pre inversión

Preference shares:      acciones preferentes

Preferential trading system: sistema de comercio preferencial

Price control:              control de precios

Price earning rate:      PER. Relación precio ganancia. Ratio resultante de dividir el precio de una acción entre los beneficios esperados por acción. Se puede interpretar como el número de teórico de años en que se recuperará la inversión.

Price elasticity:           elasticidad del precio
Price fall:                    caída de precios
Price freeze:               congelación de precios
Price list:                    tarifas
Price:                          precio
Prime rate:                  tasa preferencial
Profit margin:                         margen de beneficio
Profit:                         beneficio, ganancia, utilidad.
Project life cycle:       ciclo de vida del proyecto
Promissory note:        pagare
Promissory quota:      pagare
Providers:                   proveedores
Proyect evaluation:     evaluación de proyectos
Proyection:                 proyección
Purchase:                    compra
Purchasing power:      poder adquisitivo

 

Quota:                         cupo

 

Rate of growth:          tasa de crecimiento
Rate of interest:          tasa de interés
Rate of return:            tasa de rentabilidad
Rate:                           índice, ratio, tasa.
Raw material:                         materia prima
Real interest:              interés real
Receipt:                      recibo
Recession:                  desaceleracion
Reciprocal trade:        acuerdo comercial
Redemption:               amortización
Repayment:                reembolso
Refund:                       reembolso
Rentability:                 rentabilidad
Required return:         retorno sobre la inversión
Return on assets:        retorno sobre Activos
Return on equity:        retorno sobre el patrimonio
Revolving found:       fondo de rotación
Roucher:                     comprobante
Runaway inflation:     inflación galopante

 

Sale:                            venta

Security:                     Activo financiero de renta fija.

Set back:                     contratiempo

Settlement: s               saldos

Share turnover:           movimiento accionario

Share:                         acción

Shareholder:               accionista

Shares of stock:          acciones

Shares outstanding:    acción en circulación

Short term loan:          préstamo a corto plazo

Simple interest:           interés simple

Sinking found:            fondo de amortización

Speculation:                especulación

Statement of accounts: estado de cuentas

Stock company:          compañía (sociedad anónima )

Stock exchange:         bolsa de valores

Stock holder:              accionista

Stock holders:             patrimonio

Stock index:               indicador bursátil

Stock market:             bolsa de valores

Stock pile:                  acumulación de inventarios

Stock:                         capital

Stockbroker:               corredor de bolsa

Storing:                       almacenamiento

Sum:                           suma

Supply:                       oferta

Surcharge:                  recargo

Surrender value:         valor de salvamento

Surtax:                        sobretasa

Swap:                          permuta financiera

Tax:                            impuesto

Technical study:         estudio técnico

To debit:                     adeudar

To go into debt:          contraer deuda

To owe:                      adeudar

Trade:                         comercio

Trading year:              ejercicio económico

Transaction:                operación

Turn over:                   rotación

 

Unemployment:          desempleo
Up turn:                      alza

Valorization:              valorización
Value added network: red de valor agregado
Value engineering:     generación de valor
Venture capital:          capital de riesgo

 

Wholesaler:                mayorista
Winery:                      bodega
Winset on line:           bolsa electrónica
Working capital:         capital de trabajo

 

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http://www.investopedia.com/terms.asp

http://www.gestiondelconocimiento.com/conceptos_recursosycapacidades.htm

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Precio Histórico de las Acciones y del Índice de Precios y Cotizaciones, consultado en:

http://www.conasev.gob.pe

 

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Amaya Chapa Néstor Efraín. (2010, febrero 2). Valoración de títulos financieros. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/valoracion-de-titulos-financieros/
Amaya Chapa, Néstor Efraín. "Valoración de títulos financieros". GestioPolis. 2 febrero 2010. Web. <https://www.gestiopolis.com/valoracion-de-titulos-financieros/>.
Amaya Chapa, Néstor Efraín. "Valoración de títulos financieros". GestioPolis. febrero 2, 2010. Consultado el 17 de Octubre de 2019. https://www.gestiopolis.com/valoracion-de-titulos-financieros/.
Amaya Chapa, Néstor Efraín. Valoración de títulos financieros [en línea]. <https://www.gestiopolis.com/valoracion-de-titulos-financieros/> [Citado el 17 de Octubre de 2019].
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