La regresión loglineal para modelos saturados y jerárquicos aplicada al avalúo inmobiliario

  • Finanzas
  • 33 minutos de lectura
LA REGRESIÓN LOGLINEAL PARA MODELOS SATURADOS Y
JERÁRQUICOS APLICADA AL AVAO INMOBILIARIO.
Abstract:
Un problema al que se enfrenta cotidianamente el Tasador es el análisis de
Variables Cualitativas (No Numéricas). Debido a que las Variables Cualitativas no
presentan un comportamiento lineal (ni reducible a lineal); al aplicar las técnicas
convencionales de regresión múltiple, pueden generar modelos irreales o
simplemente no convergen a ningún valor.
La Regresión Loglineal, es un método estadístico cuyo objetivo consiste en
estudiar la “Clasificación” de las Variables Cualitativas. Es esencialmente un
Modelo de Regresión Lineal Múltiple entre las Variables Cualitativas y el Logaritmo
Neperiano de la Frecuencia de los datos (referenciales), de la forma:
El Modelo anterior se corresponde a un modelo completo (Saturado) para las
variables Cualitativas A, B y C; sin embargo el modelo anterior supone un modelo
pesado y complejo. Por un principio elemental de parsimonia, se debe encontrar
uno o mas modelos mas simples, que generen un resultado con un grado
aceptable de precisión y los definimos como “Modelos Jerárquicos”, en el sentido
de que si un parámetro es nulo, también los serán aquellos términos de orden
inferior.
El Paquete Estadístico SPSS, permite mediante un algoritmo, determinar el
Modelo Saturado y el Modelo Jerárquico mas adecuado.
De esta manera obtenemos un Modelo cuya Variable de Respuesta sea el
Logaritmo Neperiano de la Frecuencia (“Conteo”) de los datos (referenciales) y las
Variables de Diseño aquellas variables cualitativas seleccionadas para la
determinación de Valor de un Inmueble.
Palabras Claves: regresión, correlación, análisis loglineal, análisis de
correspondencia, dicotómica, variable cualitativa, variable categorial, análisis
multivariante, tabla de contingencia, modelo jerárquico, modelo saturado.
AxBxCBxCAxCAxBCBA
frecuenciaLn
λλλλλλλµ
+++++++=
)(
1.0 Marco Teórico:
1.1 ¿Qué es la Regresión Loglineal?
Los Modelos Loglineal, a diferencia de los Modelos de Regresión Múltiple,
permiten un mejor análisis para el caso de variables cualitativas (categóricas)
dicotómicas o politómicas1.
En Análisis Loglineal, se podría entonces definir como un Método cuyo objetivo
consiste en el estudio de las relaciones entre las variables cualitativas (o no
numéricas).
La Regresión o Análisis Loglineal, es un método estadístico cuyo objetivo consiste
en estudiar la “Clasificación”2 de las Variables Cualitativas.
La Regresión Loglineal, es esencialmente un Modelo de Regresión Lineal Múltiple
entre las Variables Cualitativas y el Logaritmo Neperiano de la Frecuencia de los
datos (referenciales), de la forma:
Donde A, B y C; son Variables Cualitativas
El uso fundamental del análisis Loglineal, consiste en determinar la contribución
de las diferentes variables categoriales seleccionas, en la conformación de una
“Tabla de Contingencia”.
1.2 ¿Qué son las Tablas de Contingencia?
Se define como “Tabla de Contingencia” (Crosstabulation Tables), a una
combinación de dos o mas tablas de distribución de frecuencia, arregladas de
1 Una variable dicotómica (tal como “Con Vista al Mar” = 1 ó “Sin Vista al Mar” = 0) es un ejemplo de una
variable cualitativa / categorial. Debido a que la variable cualitativa y dicotómica “Vista al Mar” no es lineal,
al combinarlas con otras variables independientes, sean cuantitativas o cualitativas (tales como área de
construcción, edad del inmueble, etc.) en un modelo de regresión lineal múltiple, será muy poco probable
estimar o predecir correctamente la variable “Precio Unitario” en función a dichas variables mixtas.
2 Cuando se utilizan variables cuantitativas (o numéricas) se habla de “Técnicas de Predicción o Estimación”;
mientras que cuando se utilizan variables cualitativas o categoriales se hablaría entonces de “Técnicas de
Clasificación”
AxBxCBxCAxCAxBCBA
frecuenciaLn
λλλλλλλµ
+++++++=
)(
manera que cada celda o casilla de la Tabla resultante represente una única
combinación de las “variables cruzadas (crosstabuled)”.
De tal manera que la “Tabla de Contingencia” nos permita examinar las
frecuencias observadas que pertenecen a cada una de las combinaciones
específicas de dos o más variables.
Por ejemplo:
Tabla de Contingencia del análisis de la relación que existe entre la Preferencia de
la población de vivir en casa o apartamento en Dos principales ciudades:
VIVIR EN CASAS VIVIR EN APART.
CARACAS 10 40 50
VALENCIA 30 20 50
50 50 100
Examinando estas frecuencias, podemos identificar las relaciones entre las
variables de la “Tabla de Contingencia” (por ejemplo, La población de Caracas
claramente prefiere vivir en apartamentos).
La Regresión Loglineal, nos proporciona una manera más sofisticada de analizar
las “Tablas de Contingencia” y determinar las interacciones estadísticas de las
variables seleccionadas.
1.3 Variables de Diseño vs. Variables de Respuesta
En las técnicas de Regresión Múltiple, se hablan de “Variables Independientes” y
“Variable Dependiente”, definiendo a la Variable Dependiente como aquella que es
explicada por la combinación de Variables Independientes.
En la Regresión Loglineal, no se pueden hablar de Variables Dependientes o
Independientes, ya que se trata de relacionar únicamente la el Logaritmo
Neperiano de la Frecuencia (ocurrencia o conteo de datos) en función de una serie
de variables categoriales (cualitativas).
Entonces, hablaríamos de “Variables de Diseño” y “Variable de Respuesta”; siendo
las “Variables de Diseño” aquellas variables categoriales (Dicotómicas o
politómicas) que seleccionamos para construir nuestra Tabla de Contingencia y la
“Variable de Respuesta” la frecuencia o ocurrencia de la data.
1.4 La Bondad de Ajuste
La bondad de ajuste de una Regresión Loglineal, se basa en la “significancia” de
la desviación (residuo) entre la Frecuencia Observada de los datos y la Frecuencia
Esperada que genera el modelo loglineal.
Es decir, el modelo será mejor en función de la minimización de la diferencia entre
la Frecuencia Observada y la Esperada3.
0
ESPERADAOBSERV
FRECFREC
Se evaluará las Significancia (p) o “Bondad de Ajuste” de un Modelo Loglineal
particular, mediante: El Test del Chi Cuadrado (
2
χ
) Tradicional4 y Estadístico de
Máxima Verosimilitud de Pearson (
2
L
)5 (o Pearson Likelihood Ratio Chi-square
como es su denominación en inglés).
3 Concepto análogo a la Teoría de los Residuos que se utiliza en los Métodos de Regresión Múltiple para
identificar los Datos Atípicos contenidos en una serie de datos.
4
DISTRIBUCIÓN PROBABILIDAD CHI - CUADRADO
5 La prueba de Máxima Verisimilitud de Pearson (LRT, L2 ó G2 tal como se le conoce en diferentes textos), es
una prueba estadística de la bondad de ajuste entre dos modelos. Un modelo relativamente más complejo se
compara a un modelo más simple para ver si se comparan significativamente bien para un juego de datos en
particular. El LRT sólo es válido si compara a modelos jerárquicamente anidados. Es decir, el modelo más
complejo sólo debe diferir del modelo simple por la adición de una o más variables; de tal forma que
agregando variables adicionales se obtenga una bondad de ajuste mayor. Sin embargo, se llega a un punto
cuando agregar variables adicionales NO mejorará significantemente la bondad de ajuste del modelo más
simple. El LRT mantiene un criterio objetivo seleccionando entre los posibles modelos. El LRT se inicia con
una comparación de los Chi Cuadrados de la forma:
)(*2
2
2
1
22
χχ
LnLnL
=
Es decir, se evalúa la diferencia de los logaritmos neperianos de los Chi-Cuadrados, basados en la diferencia
de los Grados de Libertad. El LRT sigue aproximadamente al
2
χ
del modelo.
De tal manera, que se cumplan los siguientes parámetros:
1) Chi Cuadrado (
2
χ
): Máximo
2) Estadístico de Máxima Verosimilitud de Pearson (
2
L
): Máximo
3) Significancia (Sig.): Mínima (
)0001.0
<
p
2.0 El Modelo Loglineal Saturado
2.1 Definición de un Modelo Saturado
El Análisis o Regresión Loglineal, analiza el Logaritmo Neperiano (Ln) de la
Frecuencia de cada celda o casilla de una Tabla de Contingencia, por medio de un
modelo lineal.
Por lo tanto, el Ln de la frecuencia de cada celda o casilla se puede expresar
como la suma de las contribuciones de las diferentes variables que intervienen en
la formación del Modelo Loglineal.
Se define como Modelo Saturado (o Completo) a aquel que contiene TODOS
los posibles efectos principales y TODAS las posibles combinaciones
(efectos de 2do., 3er. o enésimo orden) de la Variables seleccionadas que lo
componen.
Debido a que el Modelo Loglineal Saturado, puede reproducir perfectamente la
data estudiada, debido a que contiene todas las posibles combinaciones de las
variables seleccionadas; se supone en un modelo pesado y complejo, y
usualmente no es el modelo más deseable.
Por un principio elemental de parsimonia, se debe encontrar uno o mas modelos
mas simples, que generen un resultado con un grado aceptable de precisión y los
definimos como “Modelos Jerárquicos” y que serán analizados mas adelante.
2.2 Ejemplo de un Modelo Loglineal Saturado
Supongamos que para un estudio de valoración de apartamentos vacacionales en
una ciudad costera, queremos estudiar la relación entre las Variables Categoriales:
X: Vista al Mar
Y: Edificio con Piscina
Z: Edificio con Puestos de Estacionamiento para visitantes
La ecuación para un Modelo Loglineal Saturado, esta dado por:
XxYxZYxZXxZXxYZYX
frecuenciaLn
λλλλλλλµ
+++++++=
)(
Donde:
:)( frecuencia
Representa la Frecuencia de cada celda o cuadrícula de la
Tabla de Contingencia producto de la interacción de los Datos
(referenciales) y Variables seleccionadas
:
µ
Representa el Término Independiente de la Ecuación
:
X
λ
Representa el “efecto principal” de la Variable Cuantitativa o
Categorial X
:
Y
λ
Representa el “efecto principal” de la Variable Cuantitativa o
Categorial Y
:
Z
λ
Representa el “efecto principal” de la Variable Cuantitativa o
Categorial Z
:
XxY
λ
Representa el “efecto de segundo orden” o combinación de las
Variables Categoriales X ý Y
:
XxZ
λ
Representa el “efecto de segundo orden” o combinación de las
Variables Categoriales X ý Z
:
YxZ
λ
Representa el “efecto de segundo orden” o combinación de las
Variables Categoriales Y ý Z
:
XxYxZ
λ
Representa el “efecto de tercer orden” o combinación de las
Variables Categoriales X, Y ý Z
2.3 Desventaja del Modelo Saturado
EL Modelo Saturado, aunque evidentemente siempre se cumple, supone un
número inmanejables de ecuaciones; por ejemplo para el caso anterior Nueve
Ecuaciones. Por lo tanto es un modelo pesado y sumamente complejo.
Por lo tanto, es necesaria la búsqueda de uno o varios modelos mas simples que
den cuenta de dichas frecuencias con un grado de precisión aceptable para un
nivel dado de confianza6.
Cuando se analizan Tablas de Contingencias de Cuarto Orden o mayor, la
determinación del mejor modelo de Regresión Loglineal puede resultar altamente
dificultoso. Aquí entraría la búsqueda de una Modelo de Correlación más simple.
6 Se puede citar la analogía de este concepto al del Análisis Factorial para la Regresión Múltiple. El Análisis
Factorial, permite obtener un Modelo de Regresión Lineal Múltiple más simple y con menos variables,
mediante la eliminación de “Variables No Significativas”, pero a la vez manteniendo un resultado aceptable a
un nivel de confianza predeterminado.
3.0 Los Modelos Loglineal Jerárquicos
3.1 Definición
Se define como Modelos Loglineal Jerárquicos, a los diferentes modelos, todos
sub-juegos (ecuaciones de menor orden que el Modelo Saturado) provenientes del
Modelo Loglineal Saturado, que cumplan las condiciones siguientes:
a) Si un parámetro es nulo, también los serán aquellos términos de orden
inferior.
b) Que exista completa independencia entre las variables seleccionadas7
Si estas condiciones se cumplen, se genera un Modelo Loglineal más sencillo,
más elegante y con un grado aceptable de precisión
3.2 Relación Jerárquica
Para un Modelo con Tres (3) Variables de Diseño A, B ý C, se pueden obtener una
gran cantidad de Modelos Jerárquicos de Orden Inferior, como por ejemplo los
siguientes:
Modelo Jerárquico de Tercer Orden (Modelo Saturado):
Modelos Jerárquico de Segundo Orden
Modelos Jerárquicos de Primer Orden
7 EL test de “Completa Independencia” implica que en el modelo jerárquico todas las variables sean
independientes entre sí. Esto se obtiene al comparar los Chi-Cuadrados de cada variable, con la “Hipótesis
Nula” (
2
χ
obtenido de la Tabla para su correspondiente Grados de Libertad). Donde se debe cumplir que:
0001.0
0
22
>>
py
i
χχ
Si lo anterior se cumple, indica que el Modelo Jerárquico independiente es significantemente diferente del
Modelo Saturado, sugiriendo que ese Modelo Jerárquico contiene la variable o variables necesarias para
obtener una buena correlación o ajuste
AxBxCBxCAxCAxBCBA
frecuenciaLn
λλλλλλλµ
+++++++=
)(
CBA
frecuenciaLn
λλλµ
+++=
)(
CB
frecuenciaLn
λλµ
++=
)(
C
frecuenciaLn
λµ
+=
)(
AxBA
frecuenciaLn
λλµ
++=
)(
CAxB
frecuenciaLn
λλµ
++=
)(
AxCCB
frecuenciaLn
λλλµ
+++=
)(
AxCBxCB
frecuenciaLn
λλλµ
+++=
)(
O cualquier combinación válida:
3.3 Obtención del Modelo Jerárquico de Mejor Ajuste
3.3.1 Método General
El Método de búsqueda del Mejor Modelo Jerárquico más utilizado por los
paquetes estadísticos dedicados en el conocido como “Retro-eliminación”
(Backward Elimination).
Esta metodología combina el uso de los k(ésimo)-ordenes y el test Chi - cuadrado
para encontrar un Modelo Jerárquico o varios Modelos Jerárquicos significativos
La lógica del proceso es la siguiente:
a) Se comienza calculando el Modelo Saturado.
b) Se analiza el Modelo Jerárquico o los Modelos Jerárquicos de más alto
orden
c) Se elimina el Modelo o Modelos de ese orden que no sean significativos (
01.0
0
22
>
py
i
χχ
)
d) Se eliminan los Modelos Jerárquicos de Orden Inferior en las mismas
variables
e) Se analizan los Modelos Jerárquicos restantes
f) El proceso se continúa hasta el punto en que no puedan seguir
eliminándose mas efectos sin sacrificar el poder predictivo del modelo (
poy )/(
2
χ
) permanezcan constantes o tiendan a disminuir
2
χ
o
aumentar
p
.
A x B x C
A x B A x C B x C
A B C
A x B x C
A x B A x C B x C
A B C
A x B x C
A x B A x C B x C
A B C
3.3.2 Uso del SPSS en la determinación de los Modelos de Regresión Loglineal
El propósito de esta monografía es en absoluto un texto sobre las técnicas de la
Regresión Loglineal.
Más bien, es la aplicación de una herramienta estadística novedosa a la resolución
de problemas relacionados con la Valuación, en el caso de la utilización de
variables no numéricas o cualitativas.
Por lo tanto, una vez expuesto en forma muy esquemática la teoría estadística
matemática de los Modelos Loglineales (Saturados y Jerárquicos), se pasará al
estudio de un caso práctico utilizando el paquete estadístico SPSS versión 10.08.
El paquete estadístico SPSS, mediante el Módulo Loglineal, permite la
determinación de Modelos Estadísticos Saturados y Jerárquicos.
8 SPSS versión 10.0 es propiedad de SPSS, Inc. Todos los Derechos Reservados.
INICIO
Calcular Modelo Saturado
Analizar Modelo Jerárquico de más alto orden
Tiende a disminuir Chi-Cuadrado
O aumentar p
o ambos permanecen constantes .
Modelo Jerárquico hallado
Eliminar Modelo no significativo
01.0
0
22
>py
i
χχ
Eliminar Modelos de Orden Inferior
en las mismas variables
Analizar Modelos Jerárquicos restantes
FIN
INICIO
Calcular Modelo Saturado
Analizar Modelo Jerárquico de más alto orden
Tiende a disminuir Chi-Cuadrado
O aumentar p
o ambos permanecen constantes .
Modelo Jerárquico hallado
Eliminar Modelo no significativo
01.0
0
22
>py
i
χχ
Eliminar Modelos de Orden Inferior
en las mismas variables
Analizar Modelos Jerárquicos restantes
FIN
Dentro de los “Modelos Jerárquicos”, el SPSS permite o bien seleccionar
automáticamente el Modelo Jerárquico de Mejor Ajuste, o permite al usuario
escoger o modelar cualquier sub-juego de variables.
El desarrollo de esta monografía se basa en la determinación automática del
Modelo Jerárquico de mejor ajuste, de acuerdo a un algoritmo propio de SPSS.
El SPSS utiliza para determinar el Modelo Loglineal de mejor ajuste el Método
denominado “Retroeliminación” (Backward Elimination), previamente citado.
Es de hacer notar, que el algoritmo de “Retroeliminación” es largo, ocupando unas
Quince (15) páginas de texto al imprimir los resultados9
Básicamente, se puede resumir el proceso de cálculo en los siguientes pasos
generales:
a) Enterar correctamente los datos a correlacionar en el “Editor de
Datos” (Data Editor) del paquete SPSS
b) Los procedimientos de cálculo en el SPSS se encuentran en el Menú
Analyze
c) Dentro del Menú Analyze se encuentra la subrutina o módulo
Loglineal.
d) Dentro del módulo Loglineal, se encuentran Tres (3) Submenús:
i. General
ii. Logit
iii. Model Selection10
e) Una vez ubicados en la pantalla Model Selection Loglineal Análisis,
se procede a:
i. Seleccionar la “Variables de Diseño” que van a ser
correlacionada.
ii. Definir los Rangos mínimos y máximos de la data que
conforman cada una de las “Variables de Diseño”11.
iii. Definir las Opciones de cálculo y salida de los modelos.
iv. E Iniciar el análisis mediante el botón OK.12
9 Sin embargo, el SPSS permite exportar íntegramente la salida como archivo de texto, permitiendo que el
Ingeniero Tasador pueda agregar al Informe de Avalúo extractos de la misma como soporte a las operaciones.
10 El Submenú Model Selection…, es la subrutina o módulo donde se encuentra el algoritmo para la
determinación de los Modelos Jerárquicos; sin embargo aquí se determina automáticamente el “Modelo
Saturado”, ya que el Método de Retroeliminación arranca con el cálculo del Modelo Saturado, tal como ya se
explicó en el texto.
11 Debido a que la Regresión Loglineal es un método enfocado a la clasificación de variables categoriales,
usualmente la data viene expresada como números enteros (por ejemplo: 0 y 1 en caso de variables
dicotómicas).
f) Una vez el SPSS finalizado los cálculos, presentará la salida de los
modelos en la pantalla SPSS Viewer, en forma de texto.
g) De allí el usuario podrá o bien imprimirlo en papel o “exportar” la
salida en un archivo de texto para su uso en un procesador de
palabras u hoja de cálculo.
3.4 Interpretación de la Salida del SPSS
Quizás el problema más grande para el Ingeniero Tasador es la interpretación de
la salida del SPSS.
En primer lugar, hay que tener algún conocimiento básico de lo que se pretende
realizar ya que el paquete estadístico genera una gran cantidad de información, la
cual hay que saberla identificar y evaluar. En segundo lugar hay que estar claro
que el paquete SPSS va a generar “Tablas de Contingencia” de diferentes niveles
y hay que tener el conocimiento básico para su rearmado a fin de poder interpretar
los resultados del modelo.
El paquete estadístico dedicado SPSS, presenta una salida estándar13 la cual
generalmente está compuesta por:
a) Generación del Modelo Loglineal Saturado14
b) Estadísticos de Control del Modelo Loglineal Saturado
a. Grados de Libertad (D.F.)
b. Chi Cuadrado (
2
χ
)
c. Estadístico de Máxima Verosimilitud de Pearson (
2
L
)
d. Significancia (Prob.)
e. Otros estadísticos de control
c) Procedimiento de Retroeliminación para el cálculo del Model Loglineal
Jerárquico de Mejor Ajuste, donde el software:
a. Parte del Modelo Loglineal Saturado
b. Analiza todas los posibles los Modelos Jerárquicos partiendo del más
alto orden a mas bajo orden
c. Indica para cada uno de los “Modelos Jerárquicos” sus
correspondientes estadísticos de control
d. Sugiere a final como “Modelo Jerárquico de Mejor Ajuste” aquel que
tenga
12 Para una mejor explicación e instrucciones detalladas de la operación del programa, refiérase al Manual se
Instrucciones del SPSS
13 La salida del SPSS puede variar en función de las Opciones de cálculo y salida que determine el propio
usuario
14 Los modelos Loglineal se imprimen como matrices multiniveles en la salida del paquete
i. El “Estadístico de Máxima Verosimilitud de Pearson” (
2
L
):
Máximo
ii. La “Significancia” (
p
): Mínima
d) Generación de:
a. Modelo Loglineal Jerárquico de “Mejor Ajuste”15
b. Estadísticos de Control del Modelo Loglineal Jerárquico
i. Grados de Libertad (D.F.)
ii. Estadístico de Máxima Verosimilitud de Pearson (
2
L
)
iii. Significancia (Prob.)
4.0 La Regresión Loglineal para modelos Saturados y Jerárquicos aplicada al
Avalúo Inmobiliario.
4.1 Aplicación de la Regresión Loglineal al Avalúo Inmobiliario
Un problema al que se enfrenta cotidianamente el Tasador es el análisis de
Variables Cualitativas o Categoriales (No Numéricas), tales como Vista de
apartamento, Calidad del Vecindario, Facilidades en las áreas comunes,
Seguridad; la cuales siendo “Características Intangibles”, sin lugar a dudas
contribuyen a la formación o destrucción del valor de un inmueble.
Debido a que las Variables Cualitativas o Categoriales no presentan un
comportamiento lineal (ni reducible a lineal); al aplicar las técnicas convencionales
de regresión múltiple, inclusive Técnicas de Redes Neurales; pueden generar
resultados incongruentes o simplemente no converger a ningún valor.
4.2 Valoración mediante Tablas de Contingencias
Debido a que el objetivo último del análisis Loglineal, consiste en determinar la
conformación de “Tablas de Contingencia”. La valoración de un inmueble estará en
función de la ubicación de las características del mismo dentro de esa “Tabla de
Contingencia generada”.
Por lo tanto, aquí se presentará un enfoque diferente a la Metodología Tradicional
para la elaboración de un avalúo.
Hasta ahora, se analizaban las características físicas (área, edad, ubicación, etc.)
del inmueble a fin de determinar su valor.
En este nuevo enfoque, el “Rango del Valor”16 del inmueble, va a depender de su
posición dentro de la “Tabla de Contingencia” generada por el “Análisis Loglineal”.
15 El modelo Loglineal Jerárquico se imprime como una matriz multinivel en la salida del paquete
16 Es obvio que la Variable “Precio” o “Precio Unitario” es una variable numérica o cuantitativa y por lo tanto
debe ser “transformada” en una variable cualitativa o categorial. Para esto ya no se podrá hablar de una
Variable Precio (Precio Unitario), sino de una Variable “Rango de Precio”.
Debido a que la variable “Precio” (o Precio Unitario) es ahora una solo “Variable de
Diseño” mas.
Bajo esta nueva perspectiva, se le ha disminuido la “categoría”, que hasta ahora
tenía, la Variable “Precio” (o Precio Unitario), y se ha reducido a ser un
componente más de los diferentes parámetros que conjuntamente podrán definir
la posición de un inmueble dentro de una tabla de contingencia y por lo tanto
determinar su “Rango de Valor”.
4.3 Ejemplo de Aplicación
Debido a lo novedoso del método y la complejidad de la interpretación de las
entradas / salidas de la data. Se explicará paso por paso este método, bajo el
enfoque de un modelo de valoración muy sencillo.
4.3.1 Descripción del Problema
Se trata de la Valuación de apartamentos vacacionales en varias urbanizaciones
similares del Barlovento venezolano (en las cercanías de Río Chico. Estado
Miranda), tales como Los Canales, Las Mercedes, Lagunamar, etc.
Debido a que este es un simple ejemplo de aplicación, solo se seleccionaron una
pequeña muestra de 18 datos referenciales de apartamentos muy similares entre
sí.
4.3.2 Variables Categoriales Seleccionadas
Debido a que este ejemplo ilustra la demostración de la Regresión Logística, se
utilizarán únicamente las Variables Categoriales o Cualitativas siguientes:
PRECIO DE VENTA: MENOR DE 25 MM DE Bs. 1
(Categorial)
ENTRE 25 MM Y 40 MM DE Bs. 2
ENTRE 40 MM Y 55 MM DE Bs. 3
MAYOR DE 55 MM DE Bs. 4
MERCADO: APARTAMENTO USADO 0
(Categorial/Dicotómica)
APARTAMENTO NUEVO
1
PISCINA: APARTAMENTO SIN PISCINA
0
(Categorial/Dicotómica)
APARTAMENTO CON PISCINA
1
VISTA: OTRA VISTA
0
(Categorial/Dicotómica)
VISTA AL CANAL
1
4.3.3 Referenciales Seleccionados
Todos los Referenciales fueron tomados de la Oficina Subalterna de Registro
Público de Río Chico y se corresponden a Documentos protocolizados el primer
Trimestre del año 2,003.
4.3.4 Codificación de la Data
De acuerdo a los criterios utilizados en el Punto 4.3.2 con respecto a las Variables
de Diseño seleccionadas, se preparará una matriz de datos codificados17 a fin de
poder enterarlos en el paquete estadístico SPSS.
17 Obsérvese que se trata únicamente de Variables Categóricas o Cualitativas.
I.D. URBANIZACION VENDEDOR COMPRADOR
DIRECCIÓN DEL INMUEBLE
AREA M2 ESTAC
PRECIO VENTA
Bs/m2 AÑO MERC CIRC TOMO No
1 LAGUNA MAR OLGA TELEGA
SANCHEZ
APTO.11-D
45.00 1 28,000,000.00 622,222.22 1992 USADO 01 03 16
2 LOS CANALES CARLOS SCHWARZ
GUNTER
ROSEMBERG
AV.PPAL. CONDOMINIO VISTA
AL SOL 1 P/1 Nº209
46.00 1 25,000,000.00 543,478.26 1992 USADO 01 04 16
3 LAGUNA MAR
HENRY
COLMENARES
YASENKA ROJAS
AV.PPAL. CONJ.RESD.PUERTO
DEL MAR 3 Nº13B
39.00 1 17,000,000.00 435,897.44 1992 USADO 01 04 08
4 LOS CANALES FONDO COMUN,C.A. ZULAY SALAZAR
SUITES Nº10
72.00 1 30,000,000.00 416,666.67 1996 USADO 01 04 44
5 LOS CANALES REINALDO RONDON RAQUEL MORALES
DE LA LAGUNA 1 P/1 Nº108
85.00 1 35,000,000.00 411,764.71 1990 USADO 01 04 42
6 LOS CANALES CLAUDIO CILIA VICTOR GAMERO
AV. 5 CONJ.RESD.LA RIVIERA
3B P/2 Nº123B
76.00 1 26,638,500.00 350,506.58 1994 USADO 01 04 13
7 LAS MERCEDES
MAZZOCCHIN
CONST,C.A.
GINA MAZZOCCHIN
AV.PPA. EDIF.ISLA DE ORO P/1
Nº133
71.00 1 22,000,000.00 309,859.15 1980 USADO 01 03 47
8
LOS CANALES
FREDDY SCHEMIDT CAROLINA MAGGI
EDIF.A PB APTO.16-A
80.00 1 24,045,000.00 300,562.50 1981 USADO 01 03 30
9 LAS MERCEDES INV.ANECAR NERY EGAÑA
2 P/11 Nº1122
130.00 1 25,000,000.00 192,307.69 1975 USADO 01 04 21
10 RIO CHICO EDUARDO BELLO JORGE PALLARES
EDIFICIO ISLA DE ORO P/5
Nº515
41.31 0 224,500,000.00 108,932.46 1992 USADO 01 01 04
11 LOS CANALES EDITUR C.A.
GUSTAVO
BUCHAZER
AV.PPAL.C.R.ATARRAYA B PISO
4 APTO.46-B
94.00 1 92,026,000.00 979,000.00 1999 NUEVO 01 01 14
12 LOS CANALES
CANALES
ATENA VILLASMIL
LOS CANALES 7 PB APTO.7-B
45.00 1 33,000,000.00 733,333.33 2002 NUEVO 01 03 08
13
BARLOVENTO
CHICO,CA.
EVELIO DAPENA
CARIBE C Nº2C
97.00 1 69,840,000.00 720,000.00 1998 NUEVO 01 04 09
14
ISLA DE
BARLOVENTO
PROINCA 44, C.A. JOSE FERNANDEZ
AV.PPAL.VILLSA DEL CANAL M5
APTO.4
60.00 1 42,950,000.00 715,833.33 1999 NUEVO 01 03 38
15 LOS CANALES EDITUR,C.A.
CARLOS
RODRIGUEZ
AV.PPAL.CONJ.RESD.ATARRAY
A PH Nº3A
206.00 1 139,514,000.00 677,252.43 1999 NUEVO 01 04 15
16 LOS CANALES
CANALES
RODRIGUEZ
DELMAR LOS CANALES 5 P/2
71.00 1 47,782,545.00 672,993.59 2002 NUEVO 01 04 35
17 LAGUNA MAR
C.A.
GERSON CARRERO
19 APTO.219-B
49.00 1 20,438,470.00 417,111.63 1998 NUEVO 01 04 31
18 LOS CANALES
PROMOT.MARAZTEC
,C.A.
MYRIAN ESTABA
AV.PPAL. CONJUNTO
MARAZTEC V3
79.00 1 25,782,705.00 326,363.35 1999 NUEVO 01 04 02
4.3.4.1 Selección de las Variables de Diseño
4.3.4.1 Codificación de las Variables de Diseño
Variable de
Diseño 1
Variable de Diseño
2
Variable de
Diseño 3
Variable de
Diseño 4
I.D.
PRECIO MERCADO PISCINA VISTA
1
2 0 1 1
2
2 0 1 1
3
1 0 1 0
4
2 0 1 1
5
2 0 1 0
6
2 0 0 0
7
1 0 0 0
8
1 0 0 0
9
2 0 0 0
10
1 0 0 0
11
4 1 1 1
12
2 1 1 1
13
4 1 1 1
14
2 1 1 1
15
4 1 1 0
16
3 1 1 0
17
1 1 0 0
18
2 1 0 0
Variable de
Diseño 1
Variable de Diseño
2
Variable de
Diseño 3
Variable de
Diseño 4
I.D.
PRECIO VENTA
MERCADO PISCINA VISTA
1
28,000,000.00 USADO SI CANAL
2
25,000,000.00 USADO SI CANAL
3
17,000,000.00 USADO SI OTRA
4
30,000,000.00 USADO SI CANAL
5
35,000,000.00 USADO SI OTRA
6
26,638,500.00 USADO NO OTRA
7
22,000,000.00 USADO NO OTRA
8
24,045,000.00 USADO NO OTRA
9
25,000,000.00 USADO NO OTRA
10
24,500,000.00 USADO NO OTRA
11
92,026,000.00 NUEVO SI CANAL
12
33,000,000.00 NUEVO SI CANAL
13
69,840,000.00 NUEVO SI CANAL
14
42,950,000.00 NUEVO SI CANAL
15
139,514,000.00 NUEVO SI OTRA
16
47,782,545.00 NUEVO SI OTRA
17
20,438,470.00 NUEVO NO OTRA
18
25,782,705.00 NUEVO NO OTRA
4.3.5 Extractos de la Salida del Paquete Estadístico SPSS18
4.3.5.1 Especificación del Modelo Loglineal
* * * * * * * * H I E R A R C H I C A L L O G L I N E A R * * * * * * * *
DATA Information
18 unweighted cases accepted.
0 cases rejected because of out-of-range factor values.
0 cases rejected because of missing data.
18 weighted cases will be used in the analysis.
FACTOR Information
Factor Level Label
PRECIO 4
MERCADO 2
PISCINA 2
VISTA 2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4.3.5.2 Estadísticos de Control del Modelo Loglineal Saturados19
* * * * * * * * H I E R A R C H I C A L L O G L I N E A R * * * * * * * *
DESIGN 1 has generating class
PRECIO*MERCADO*PISCINA*VISTA
Note: For saturated models .500 has been added to all observed cells.
This value may be changed by using the CRITERIA = DELTA subcommand.
The Iterative Proportional Fit algorithm converged at iteration 1.
The maximum difference between observed and fitted marginal totals is .000
and the convergence criterion is .250
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Goodness-of-fit test statistics
Likelihood ratio chi square = .00000 DF = 0 P = 1.000
Pearson chi square = .00000 DF = 0 P = 1.000
18 El SPSS presenta la salida en la pantalla SPSS Viewer, en forma de texto. Esta salida puede imprimirse o
exportarse como un archivo de texto.
19 El Modelo Loglineal Saturado contiene todos los posibles “Efectos Principales” y todas las posibles
combinaciones de “Efectos de Variables Combinadas”, por lo tanto reproduce perfectamente la data (
00.1,00.0,00.0
22
===
pL
χ
). No se muestra el Modelo Loglineal Saturado en este extracto de la
salida del SPSS
4.3.5.3 Método de Retroeliminación (Backward Elimination): Lista de todos los
posibles efectos de 3°, 2° y 1° Orden
* * * * * * * * H I E R A R C H I C A L L O G L I N E A R * * * * * * * *
Tests of PARTIAL associations.
Effect Name DF Partial Chisq Prob Iter
PRECIO*MERCADO*PISCINA 3 .044 .9976 3
PRECIO*MERCADO*VISTA 3 .189 .9794 2
PRECIO*PISCINA*VISTA 3 .000 1.0000 4
MERCADO*PISCINA*VISTA 1 .000 1.0000 3
PRECIO*MERCADO 3 7.869 .0488 4
PRECIO*PISCINA 3 5.039 .1690 3
MERCADO*PISCINA 1 .629 .4276 4
PRECIO*VISTA 3 5.917 .1157 4
MERCADO*VISTA 1 .777 .3779 4
PISCINA*VISTA 1 7.530 .0061 2
PRECIO 3 8.089 .0442 2
MERCADO 1 .223 .6370 2
PISCINA 1 .896 .3438 2
VISTA 1 .896 .3438 2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4.3.5.3 Método de Retroeliminación (Backward Elimination): Selección del Modelo
Jerárquico de Mejor Ajuste20
Step 9
The best model has generating class
PRECIO*MERCADO
PRECIO*VISTA
PISCINA*VISTA
Likelihood ratio chi square = 6.33129 DF = 18 P = .995
20 El paquete SPSS, llega a la determinación del Modelo Loglineal Jerárquico de “Mejor Ajuste”, partiendo
del Modelo Saturado y eliminando aquellos efectos de cualquier orden que no contribuyen significativamente
al modelo; de manera que el “Estadístico de Máxima Verosimilitud de Pearson” (
2
L
) sea Máximo y la
“Significancia” (
p
) sea Mínima
* * * * * * * * H I E R A R C H I C A L L O G L I N E A R * * * * * * * *
The final model has generating class
PRECIO*MERCADO
PRECIO*VISTA
PISCINA*VISTA
The Iterative Proportional Fit algorithm converged at iteration 0.
The maximum difference between observed and fitted marginal totals is .000
and the convergence criterion is .250
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Siendo el Modelo Loglineal de Mejor Ajuste el siguiente:
4.3.5.4
Determinación de las Frecuencias Observadas y Esperadas del Modelo Loglinear
Jerárquico21:
Observed, Expected Frequencies and Residuals.
Factor Code OBS count EXP count Residual Std Resid
PRECIO 1
MERCADO 0
PISCINA 0
VISTA 0 3.0 2.5 .45 .28
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
PISCINA 1
VISTA 0 1.0 1.5 -.45 -.38
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
MERCADO 1
PISCINA 0
VISTA 0 1.0 .6 .36 .46
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
PISCINA 1
VISTA 0 .0 .4 -.36 -.60
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
PRECIO 2
MERCADO 0
21 El modelo Loglineal Jerárquico presenta la “Tabla de Contingencia” como una matriz multinivel en la
salida del paquete. Ahora se procederá a “armar” esta salida en forma matricial, para una mas fácil
interpretación del mismo. Se utilizarán las “Frecuencias Esperadas” como coeficientes de la “Tabla de
Contingencia”.
VISTA*PISCINAVISTAPRECIO*MERCADOPRECIO*
)(
λλλµ
+++=
frecuenciaLn
PISCINA 0
VISTA 0 2.0 1.7 .30 .23
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
PISCINA 1
VISTA 0 1.0 1.0 .03 .03
VISTA 1 3.0 3.3 -.33 -.18
MERCADO 1
PISCINA 0
VISTA 0 1.0 .8 .15 .16
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
PISCINA 1
VISTA 0 .0 .5 -.48 -.70
VISTA 1 2.0 1.7 .33 .26
PRECIO 3
MERCADO 0
PISCINA 0
VISTA 0 .0 .0 .00 .00
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
PISCINA 1
VISTA 0 .0 .0 .00 .00
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
MERCADO 1
PISCINA 0
VISTA 0 .0 .6 -.64 -.80
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
PISCINA 1
VISTA 0 1.0 .4 .64 1.06
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
PRECIO 4
MERCADO 0
PISCINA 0
VISTA 0 .0 .0 .00 .00
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
PISCINA 1
VISTA 0 .0 .0 .00 .00
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
MERCADO 1
PISCINA 0
VISTA 0 .0 .6 -.64 -.80
VISTA 1 .0 .0 .00 .00
PISCINA 1
VISTA 0 1.0 .4 .64 1.06
VISTA 1 2.0 2.0 .00 .00
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Goodness-of-fit test statistics
Likelihood ratio chi square = 6.33129 DF = 18 P = .995
Pearson chi square = 4.96161 DF = 18 P = .999
4.3.6 Ploteo de la Tabla de Contingencia22
FRECUENCIAS ESPERADAS
PRECIO NUEVO PISCINA VISTA
FRECUENCIA
OBSERV.
FRECIENCIA
ESPERADA
DIFERENCIA
(Residuo)
1 0 0 0 3 2.5 0.5
1 0 0 1 0 0.0 0.0
1 0 1 0 1 1.5 -0.5
1 0 1 1 0 0.0 0.0
1 1 0 0 1 0.6 0.4
1 1 0 1 0 0.0 0.0
1 1 1 0 0 0.4 -0.4
1 1 1 1 0 0.0 0.0
2 0 0 0 2 1.7 0.3
2 0 0 1 0 0.0 0.0
2 0 1 0 1 1.0 0.0
2 0 1 1 3 3.3 -0.3
2 1 0 0 1 0.8 0.2
2 1 0 1 0 0.0 0.0
2 1 1 0 0 0.5 -0.5
2 1 1 1 2 1.7 0.3
3 0 0 0 0 0.0 0.0
3 0 0 1 0 0.0 0.0
3 0 1 0 0 0.0 0.0
3 0 1 1 0 0.0 0.0
3 1 0 0 0 0.6 -0.6
3 1 0 1 0 0.0 0.0
3 1 1 0 1 0.4 0.6
3 1 1 1 0 0.0 0.0
4 0 0 0 0 0.0 0.0
4 0 0 1 0 0.0 0.0
4 0 1 0 0 0.0 0.0
4 0 1 1 0 0.0 0.0
4 1 0 0 0 0.0 0.0
4 1 0 1 0 0.0 0.0
4 1 1 0 1 0.4 0.6
4 1 1 1 2 2.0 0.0
22 Se utilizará la Hoja de Cálculo MS-Excel para plotear la Tabla de Contingencia.
4.3.7 Otra forma de presentar la Tabla de Continencia de una manera más fácil de
comprender:
Con Piscina=1 Sin Piscina=0 Con Piscina=1 Sin Piscina=0
NUEVO=1 0.0 0.0 0.4 0.6
USADO=0 0.0 0.0 1.5 2.5
MENOR DE 25 MM DE Bs.=1
Con Vista al Mar=1
Sin Vista al Mar=0
Con Piscina=1 Sin Piscina=0 Con Piscina=1 Sin Piscina=0
NUEVO=1 1.7 0.0 0.5 0.8
USADO=0 0.0 0.0 0.0 0.0
Con Vista al Mar=1
Sin Vista al Mar=0
ENTRE 25 Y 40 MM DE Bs.=2
Con Piscina=1 Sin Piscina=0 Con Piscina=1 Sin Piscina=0
NUEVO=1 0.0 0.0 0.4 0.6
USADO=0 0.0 0.0 0.0 0.0
ENTRE 40 Y 55 MM DE Bs.=3
Con Vista al Mar=1
Sin Vista al Mar=0
Con Piscina=1 Sin Piscina=0 Con Piscina=1 Sin Piscina=0
NUEVO=1 2.0 0.0 0.4 0.0
USADO=0 0.0 0.0 0.0 0.0
MAYOR DE 55 MM DE Bs.=4
Con Vista al Mar=1
Sin Vista al Mar=0
4.3.8 Ejemplos de Aplicación:
4.3.8.1 Ejemplo Número 1:
Sea un apartamento vacacional en la urbanización Los Canales con las siguientes
característica:
Apartamento Nuevo
Vista al Canal
Edificio con Piscina
Solución:
Se ubica en la “Tabla de Contingencia” todas las filas que incluyan las siguientes
características:
NUEVO = 1
VISTA = 1
PISCINA = 1
Esto conformaría el siguiente Subjuego:
Análisis de la “Tabla de Contingencia” para NUEVO =1,•VISTA =1 y•PISCINA =1:
Como se observa en la Tabla de Contingencia, existen Cuatro (4) posibles Rangos
de Precios (PRECIO) para determinar el valor del apartamento a valuar. Pero al
observar la Cuarta Fila se advierte que la FRECUENCIA ESPERADA es máxima.
PRECIO NUEVO PISCINA VISTA
FRECUENCIA
ESPERADA
1 1 1 1 0.0
2 1 1 1 1.7
3 1 1 1 0.0
4 1 1 1
2.0
Por lo tanto el Apartamento está ubicado en esa fila dentro de la Tabla de
Contingencia y su rango de precios es PRECIO = 4. Indicando esto que El Valor
de dicho inmueble, está en el Rango de Apartamentos mayores de 55 Millones
de Bolívares.
4.3.8.2 Ejemplo Número 2:
Sea un apartamento vacacional en la urbanización Los Canales con las siguientes
característica:
Apartamento Usado
Vista al Canal
Edificio con Piscina
Solución:
Se ubica en la “Tabla de Contingencia” todas las filas que incluyan las siguientes
características:
NUEVO = 0
VISTA = 1
PISCINA = 1
Esto conformaría el siguiente Subjuego:
Análisis de la “Tabla de Contingencia” para NUEVO =0,•VISTA =1 y•PISCINA =1:
Como se observa en la Tabla de Contingencia, existen Cuatro (4) posibles Rangos
de Precios (PRECIO) para determinar el valor del apartamento a valuar. Pero al
PRECIO NUEVO PISCINA VISTA
FRECUENCIA
ESPERADA
1 0 1 1 0.0
2 0 1 1
3.3
3 0 1 1 0.0
4 0 1 1 0.0
observar la Segunda Fila se advierte que la FRECUENCIA ESPERADA es
máxima.
Por lo tanto el Apartamento está ubicado en esa fila dentro de la Tabla de
Contingencia y su rango de precios es PRECIO = 2. Indicando esto que El Valor
de dicho inmueble, está en el Rango de Apartamentos entre los 25 y 40
Millones de Bolívares.
4.3.8.3 Ejemplo Número 3:
Sea un apartamento vacacional en la urbanización Los Canales con las siguientes
característica:
Apartamento Usado
Vista al Canal
Edificio sin Piscina
Solución:
Se ubica en la “Tabla de Contingencia” todas las filas que incluyan las siguientes
características:
NUEVO = 0
VISTA = 1
PISCINA = 0
Esto conformaría el siguiente Subjuego:
Análisis de la “Tabla de Contingencia” para NUEVO =0,•VISTA =1 y•PISCINA =0:
Como se observa en la Tabla de Contingencia, existen Cuatro (4) posibles Rangos
de Precios (PRECIO) para determinar el valor del apartamento a valuar. Pero al
observar la Tabla de Contingencia, se advierte que la FRECUENCIA ESPERADA
es 0.0 para todas las posibles combinaciones de datos.
PRECIO NUEVO PISCINA VISTA
FRECUENCIA
ESPERADA
1 0 0 1 0.0
2 0 0 1 0.0
3 0 0 1 0.0
4 0 0 1 0.0
La conclusión lógica para este caso es que no fueron suministrados suficientes
datos al modelo para generar cualquier tipo de combinación entre las Variables de
Diseño, para la determinación del valor de este tipo de apartamento en particular23.
Por lo tanto, no se puede determinar el Valor de este apartamento utilizando el
presente Modelo Loglinear Jerárquico24
4.0 Conclusiones
a) Las técnicas de Regresión Loglineal Jerárquica, explican mucho mejor el
comportamiento de fenómenos estadísticos que las técnicas de Regresión
Múltiple o Redes Neurales, en el caso de series de datos Categoriales.
b) En tareas de Clasificación, los Modelos Loglineal Jerárquicos generan
resultados mucho más exactos que los Modelos de Regresión Logística
Múltiple, pese a ser ambos métodos destinados a series de datos
Categoriales.
c) Para series de datos heterogéneos (Categoriales y Cuantitativas
mezcladas), las Redes Neurales Artificiales y las Técnicas de Regresión
Múltiple, superan ampliamente a los Modelos Loglineal Jerárquicos.
d) El uso de los Modelos Loglineales Jerárquicos, es una poderosa
herramienta para el “avalúo masivo”de bienes muebles e inmuebles, ya que
permite clasificar los bienes dentro de Tablas de Contingencias
preestablecidas.
e) Aunque, el paquete estadístico SPSS es muy explícito en su manejo,
funcionamiento e interpretación de los resultados. Es engorroso adaptar los
Modelos Loglineales Jerárquicos como herramienta sencilla de análisis para
ser usados por tasadores sin conocimientos básicos sobre la materia.
Ing. Roberto Piol Puppio
CIV 32.290 / SOITAVE 260
www.joinme.net/rpiol
E-Mail: rpiol@yahoo.com
Noviembre 2,003
23 No olvidar que la data está compuesta de solo 18 referenciales, ya que se trata de un modelo didáctico.
24 Una analogía a este tipo de problemas es el caso de Modelos de Regresión Múltiple, que explican
perfectamente un inmueble en particular; pero la estimación falla al aplicar el mismo Modelo de Regresión a
otro inmueble de características físicas muy diferentes al primero.
BIBLIOGRAFIA
BERRIDGE D. (1994) “Assessing the goodness of fit of regression Models for
ordinal categorical data”, 9th International Workshop on Statistical Modelling,
Exeter University. Londres.
CAMERON T. y QUIGGIN J. (1994) "Estimation using contingent valuation data
from a "dichotomous choice with follow up" questionnaire". Journal of
Environmental Economics and Management. Forthcoming. New York
TABACHNICK B.G. y FIDELL L. S. (1996). “Using multivariate statistics”, 3rd ed.
Harper Collins, New York.
GEORGE D y MALLERY P. (2000) “Spss for windows step by step”. Allyn & Bacon.
Massachusetts.
JOBSON J.D. (1992) “Applied multivariate data análisis. Vollume II”. Springer
Verlag. New York.
LOZARES C., LOPEZ P. Y BORRAS V. (1998) “La complementariedad del log-
lineal y del análisis de correspondencias en la elaboración y el análisis de
tipologías”. Papers de la Universitat Autónoma de Barcelona. Número 55 pp. 79-
93. Barcelona.
PIOL R. (1989-2002) “Métodos estadísticos aplicados a la valuación de bienes
inmuebles”. SOITAVE. Caracas.
PIOL R. (2002) “Redes neurales aplicadas al avalúo inmobiliario”. Revista
SOITAVE. Número 54 Septiembre 2,002 pp. 42-49 Caracas.
VARIOS AUTORES (1999) “Tests of independence using multiway contingency
tables in spss”. The University of Texas. Austin
VARIOS AUTORES (1995) “Log-lineal análisis of frequency tables” Statsoft, Inc.
Electronic Textbook. Acceso http://www.statsoft.com/textbook/stloglin.html
WHITELEY, P. (1983) “The analysis of contingency tables”. N. Schofield & P.
Whitely (editors). Londres.
LA REGRESIÓN LOGLINEAL PARA MODELOS SATURADOS Y
JERÁRQUICOS APLICADA AL AVALÚO INMOBILIARIO.
Aportado por: Ing. Roberto Piol Puppio

Hazle saber al autor que aprecias su trabajo

Tu opinión vale, comenta aquíOculta los comentarios

Comentarios

comentarios

Compártelo con tu mundo

Escrito por:

Cita esta página
Piol Puppio Roberto. (2004, enero 1). La regresión loglineal para modelos saturados y jerárquicos aplicada al avalúo inmobiliario. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/regresion-loglineal-modelos-saturados-jerarquicos-avaluo-inmobiliario/
Piol Puppio, Roberto. "La regresión loglineal para modelos saturados y jerárquicos aplicada al avalúo inmobiliario". GestioPolis. 1 enero 2004. Web. <https://www.gestiopolis.com/regresion-loglineal-modelos-saturados-jerarquicos-avaluo-inmobiliario/>.
Piol Puppio, Roberto. "La regresión loglineal para modelos saturados y jerárquicos aplicada al avalúo inmobiliario". GestioPolis. enero 1, 2004. Consultado el 19 de Noviembre de 2018. https://www.gestiopolis.com/regresion-loglineal-modelos-saturados-jerarquicos-avaluo-inmobiliario/.
Piol Puppio, Roberto. La regresión loglineal para modelos saturados y jerárquicos aplicada al avalúo inmobiliario [en línea]. <https://www.gestiopolis.com/regresion-loglineal-modelos-saturados-jerarquicos-avaluo-inmobiliario/> [Citado el 19 de Noviembre de 2018].
Copiar
Imagen del encabezado cortesía de markhillary en Flickr
DACJ