Matemáticas financieras y aplicaciones financieras con Excel

  • Finanzas
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  1. Introducción

No sabemos a ciencia cierta cuando aparecieron,  pero de lo que si estamos seguros es que la Matemática  Financiera es una derivación de las matemáticas aplicadas que estudia el valor del dinero en el tiempo y que a través de una serie de modelos matemáticos llamados criterios permiten tomar las decisiones más adecuadas en los proyectos de inversión.

El lector debe establecer y analizar el concepto de Matemática Financiera, así como sus principios y elementos básicos. Del mismo modo, debe relacionar el estudio de las matemáticas financieras con la práctica empresarial.

Para la solución de los ejemplos, casos y ejercicios aplicamos en forma combinada las fórmulas y  las funciones financieras de Excel o simplemente la función, siguiendo un proceso básico:

1º.Identificación y ordenamiento de los datos,

2º.Aplicación de la fórmula o fórmulas y,

3º.Empleo de las funciones financieras de Excel.

Cuando operamos con  porcentajes,  lo hacemos en su expresión decimal (0.20), por  ejemplo 20% = 0.20 (20/100), que es la forma correcta de trabajar con las fórmulas.

Los resultados de las operaciones lo expresamos generalmente con cinco o cuatro decimales, en el caso de los factores o índices. Las respuestas finales de los ejercicios vienen con dos decimales.  En ambos casos los resultados son redondeados por exceso o por defecto.

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Las funciones financieras más utilizadas en la obra son:

PER (tasa;pago;va;vf;tipo); PAGO (tasa;nper;va;vf;tipo);

TASA (nper;pago;va;vf;tipo;estimar); VA (tasa;nper;pago;vf;tipo);

VF (tasa;nper;pago;va;tipo) y la opción Buscar Objetivo del menú herramientas, entre otras.

  1. Capitalización y descuento

Consideramos dos tipos de interés: el interés simple y el interés compuesto.

  1. Interés Simple

Una operación financiera es a interés simple cuando el interés es calculado sobre el capital (o principal) original y para el período completo de la transacción. En otras palabras, no hay capitalización de intereses.

Nomenclatura básica:

SímboloSignificando

VA Capital, principal, Valor Actual expresado en unidades  monetarias

VF Capital más el interés, monto, Valor Futuro expresado en  unidades monetarias

j Tasa nominal o la tasa de interés anual

t Número de años, tiempo,

m Número de capitalizaciones por año

n Número de períodos de composición

i Tasa periódica

TEA Tasa Efectiva Anual

VAN Valor Actual Neto

TIR Tasa Interna de Retorno

C Anualidad o cuota uniforme

VA Valor presente de una anualidad

VF Valor futuro de una anualidad

ia Tasa de interés anticipada

iv Tasa de interés vencida

UM Unidad  Monetaria

 Conceptos básicos

Los empresarios que obtienen dinero prestado tienen que pagar un interés (I) al propietario o a la entidad financiera por usar su dinero.

La cantidad prestada es el capital  o principal (VA o P), la suma de ambos (capital más interés) recibe el nombre de monto (VF); el período de tiempo acordado para la devolución del préstamo es el plazo (n).

El interés cobrado es proporcional tanto al capital como al período del préstamo, está  expresado por medio de una tasa de interés (i). Para la teoría económica, el interés es el precio del dinero.

Cuando sólo  pagan intereses sobre el principal, es decir, sobre la totalidad del dinero prestado, se denomina  interés simple.

Fórmula del interés simple:

El interés es el producto de los tres factores, capital (VA), tiempo (n) y tasa (i), así tenemos:

Monto

El monto es la suma obtenida añadiendo el interés al capital, esto es:

MONTO = CAPITAL + INTERES

Reemplazando en [1] por sus respectivos símbolos, obtenemos la fórmula general para el monto:

Fórmula para el monto (VF) a interés simple de un capital VA, que devenga interés a la tasa i durante n años.

  1. Tipos de plazos de los intereses

Generalmente conocemos dos tipos de plazos:

  1. a) Interés Comercial o Bancario. Presupone que un año tiene 360 días y cada mes 30 días.
  2. b) Interés Exacto. Tiene su base en el calendario natural: un año 365 o 366 días, y el mes entre 28, 29, 30 o 31 días.

El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por el acreedor, es de uso normal por las entidades financieras.

La mayoría de ejercicios en la presente obra consideran el año comercial; cuando utilicemos el calendario natural indicaremos operar con el interés exacto.

ne a ser la fórmula o ecuación para calcular el interés simple.

  1. Descuentos

Es una operación de crédito llevada a cabo principalmente en instituciones bancarias y consiste en que estas adquieren letras de cambio, pagarés, facturas, etc. de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha recibida y la fecha de vencimiento. Anticipan el valor actual del documento.

Sustituimos el valor de VF en la formula [6]:

D =[VA + D]n*d

D =VA*b*d + D*n*d y pasando el segundo termino tenemos D – D*n*d = VA*n*d

  1. Valor del dinero en el tiempo

El tiempo (plazo) es fundamental a la hora de establecer el valor de un capital.

Una unidad monetaria hoy vale más que una unidad monetaria a ser recibida en el futuro. Una UM disponible hoy puede invertirse ganando una tasa de interés con un rendimiento mayor a una UM en el futuro. Las matemáticas del valor del dinero en el tiempo cuantifican el valor de una UM a través del tiempo. Esto, depende de la tasa de rentabilidad o tasa de interés que pueda lograrse en la inversión.

El valor del dinero en el tiempo tiene aplicaciones en muchas áreas de las finanzas el presupuesto, la valoración de bonos y la valoración accionaria. Por ejemplo, un bono paga intereses periódicamente hasta que el valor nominal del mismo es reembolsado.

Los conceptos de valor del dinero en el tiempo están agrupados en dos áreas: el valor futuro y valor actual. El valor futuro (VF – Capitalización) describe el proceso de crecimiento de una inversión a futuro a una tasa de interés y en un período dado. El valor actual (VA – Actualización) describe el proceso de un flujo de dinero futuro que a una tasa de descuento y en un período representa UM de hoy.

Valor futuro de un flujo único

El valor futuro de un flujo único representa la cantidad futura, de una inversión efectuada hoy y que crecerá si invertimos a una tasa de interés específica. Por ejemplo, si  el día de hoy depositamos UM 100 en una libreta de ahorros que paga una tasa de interés de 9% compuesto anualmente, esta inversión crecerá a UM 109 en un año. Esto puede mostrarse como sigue:

Año 1:  UM 100(1 + 0.09) = UM 109

Al final de dos años, la inversión inicial habrá crecido a UM 118.81. Como vemos la inversión ganó UM 9.81 de interés durante el segundo año y sólo ganó UM 9 de interés durante el primer año. Así, en el segundo año,  ganó no sólo interés  la inversión inicial de UM 100 sino también los UM 9 al final del primer año. Esto sucede porque es una tasa de interés compuesta.

6.2. El Interés compuesto

El interés compuesto es una fórmula exponencial y en todas las fórmulas derivadas de ella debemos operar únicamente con la tasa efectiva. La tasa periódica tiene la característica de ser a la vez efectiva y nominal, ésta tasa es la que debemos utilizar en las fórmulas del interés compuesto.

Con el interés compuesto,  pagamos o ganamos no solo sobre el capital inicial sino también sobre el interés acumulado,  en contraste con el interés simple que sólo paga o gana intereses sobre el capital inicial.

Una operación financiera es a interés compuesto cuando el plazo completo de la operación (por ejemplo un año)  está dividido en períodos regulares (por ejemplo un mes) y el interés devengado al final de cada uno de ellos  es agregado al capital existente al inicio. Así, el interés ganado en cada período percibirá intereses en los periodos sucesivos hasta el final del plazo completo. Su aplicación produce intereses sobre intereses,  conocido como: la capitalización del valor del dinero en el tiempo.

La tasa de interés en el ejemplo anterior es  9% compuesto anualmente. Esto significa que el interés  paga anualmente. Así tenemos que en nuestra libreta de ahorros al final del primer año tendremos UM 109 (el principal más los intereses), en el segundo año este saldo  aumenta en 9%. Arrojando al final del segundo año un saldo de UM 118.81 que puede computarse como sigue:

Como vemos, un modelo matemático va manifestándose con mucha nitidez. El Valor Futuro de una inversión inicial a una tasa de interés dada compuesta anualmente en un período futuro es calculado mediante la siguiente expresión:

Que no es otra cosa, que la fórmula general del interés compuesto para el período n de composición. En las matemáticas financieras es fundamental el empleo de la fórmula general del interés compuesto para la evaluación y análisis de los flujos de dinero.

Las ecuaciones derivadas de la fórmula [11] (para inversión y recuperación en un sólo pago) son:

El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa.

Al utilizar una tasa de interés mensual, el resultado de n  estará expresado en meses.

 Valor actual de un flujo único

El valor actual, es el valor de las unidades monetarias de hoy. El proceso de calcular los valores actuales a una tasa específica de Interés  es conocido como descuento.

La tasa de interés con el que determinamos los valores actuales es la tasa de descuento, cuando el dinero proviene de fuentes externas y costo de oportunidad cuando la inversión proviene de recursos propios.

Valor actual de un flujo variable

El valor actual de un flujo variable  es igual a la suma de los valores actuales de cada uno de estos flujos. Para comprender esto, suponga una inversión en que las promesas de pago de UM 100 dentro de un año y UM 200 dentro de dos años es hoy; si un inversionista tiene que decidir entre estas dos opciones, al inversionista le resultaría indiferente, elegir entre las dos opciones, asumiendo que las inversiones son de igual riesgo, es decir, la tasa de descuento es la misma. Esto es porque los flujos futuros que el inversionista recibiría hoy carecen de riesgo y tienen el mismo valor bajo cualquier alternativa. Sin embargo, sí la inversión tuviera una tasa de descuento de 12%, el valor actual de la inversión puede encontrarse como sigue:

Valor actual de la inversión

VA =  89.29 + 79.72 = UM 169.01

La siguiente ecuación puede emplearse para calcular el valor actual de un flujo futuro de caja:

Dónde:

VA          = Valor actual del flujo de caja

FCt         = Flujo de caja (ingresos menos egresos) de t = 0 a n

i              = Tasa de descuento,

t              = El período que va de cero a n

n             = El último período del flujo de caja

Las anualidades

Una anualidad es un flujo de caja en el que los flujos de dinero son uniformes (es decir, todos los flujos de dinero son iguales) y los movimientos de dinero ocurren a un intervalo regular. Los flujos de dinero de la anualidad son los pagos de la anualidad o simplemente pagos. El nombre de anualidad es utilizado como una generalización sobre el tema,  no siempre son períodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son:

  1. Pagos mensuales por renta
  2. Cobro quincenal o semanal por sueldo
  3. Abonos quincenales o mensuales por pago de un préstamo.
  4. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida, etc.

Las anualidades son:

Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en las cuales los pagos son hechos a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago.

Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables se efectúan al principio de cada periodo.

Las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período el VA o VF las pospagables multiplicándolas por (1 + i). Es decir, utilizamos las mismas fórmulas del VA o VF de las anualidades pospagables, multiplicando el resultado por (1 + i).

Valor actual de una anualidad

El valor actual de una anualidad es igual a la suma de los valores actuales de los pagos de la anualidad. Esto puede calcularse a través de la siguiente ecuación:

En las fórmulas de anualidades de VA y VF, la tasa de interés no puede ser despejada, por lo cual debe obtenerse por ensayo y error. Por esta razón en el presente libro, para obtener la tasa de interés utilizamos la función TASA cuando operamos con flujos uniformes y la función TIR cuando operamos con flujos variables.

Cuando estamos frente a un perfil de flujos iguales para cada período, es posible hacer una formulación que nos de el Valor Actual de los flujos de una sola vez obviando el cálculo del descuento flujo por flujo. De esta forma de cálculo son las Anualidades. Ejemplo:

Valor Futuro de una anualidad

Al tratar el cálculo de las anualidades, determinábamos el valor de los flujos en valor actual o del momento cero. También es posible emplear esta misma formulación y plantear por ejemplo, cuánto tendré ahorrado en un momento futuro si depositara una determinada cantidad igual período a período, dada una cierta tasa de interés por período. Es decir, lo que estamos haciendo es constituir un fondo.

Anteriormente calculamos el valor actual de una serie de pagos futuros. Lo que ahora buscamos, como monto futuro, es una expresión que responda al siguiente perfil financiero:

Partimos depositando una suma ahora y hacemos lo mismo con igual monto hasta el período n-1 y con la misma tasa de interés por cada período.

La fórmula del valor futuro de la anualidad y las derivadas de ella son:

El valor, depende sólo de las variables tasa de interés «i», igual para cada período y el valor correspondiente al número de periodos «n», para flujos realizados a comienzo de cada uno de ellos.

Las anualidades tienen la característica que siendo un pago constante en el caso de amortizar una deuda los intereses pagados en los primeros periodos son mayores, destinándose el excedente al pago de amortización de capital, el cual aumenta gradualmente, el interés posterior deberá calcularse sobre un menor monto de capital por la disminución o amortización de éste.

Las perpetuidades

Por definición significa duración sin fin. Duración muy larga o incesante.

A partir del valor actual (VA) de una anualidad C, que representa una serie de pagos, depósitos o flujo periódico uniforme para cada uno de estos periodos y efectuando  algunas modificaciones podríamos derivar las perpetuidades. La característica de una perpetuidad es que el número de periodos es grande, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante. El valor de la anualidad de muchos términos, llamada perpetuidad, es calculada con la siguiente fórmula:

Las perpetuidades permiten cálculos rápidos para determinar el valor de instrumentos de renta fija (VAP) de muchos periodos. En este caso, «C» es el rendimiento  periódico e «i» la tasa de interés relevante para cada período.  Ejemplos de perpetuidades son también las inversiones inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada la tasa de interés aproximamos el valor de la inversión (C).

Por lo general, la tasa de interés es casi siempre anual y el canon de arriendo es mensual, por lo cual deberá establecerse la tasa de interés equivalente (Ver definición y fórmula en el numeral 10, de este capítulo) para este período de tiempo. Otras aplicaciones importantes son las pensiones o rentas vitalicias

El interés

El interés (I) es el monto pagado por la institución financiera para captar recursos, igualmente es el monto cobrado por prestarlos (colocar). El interés es la diferencia entre la cantidad acumulada menos el valor inicial; sea que tratemos con créditos o con inversiones.

El interés es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio, es la renta pagada por el uso de recursos prestados, por  período determinado.

Fórmulas utilizadas para el cálculo del interés I:

[16]  I = VF – VA

 La tasa de interés ( i )

La tasa de interés es el precio del tiempo, mientras  que la tasa de rentabilidad es el precio del tiempo cuando existe riesgo. La tasa de rentabilidad es el precio del tiempo más una prima por riesgo (precio del riesgo).

Calculamos la tasa de interés dividiendo el interés I recibido o pagado por período, por el monto inicial, VA; de modo que la tasa de interés será:

El resultado obtenido con las fórmulas [13A] y [13B], representa la tasa de todo el período de composición. De aplicación cuando evaluamos préstamos e inversiones a interés simple (pago flat) y para casos de inversiones a interés compuesto aplicamos la fórmula [13],  cuando tratamos con un solo  pago. No es aplicable para el caso de las anualidades o flujos variables, en estos casos son de mucha utilidad las funciones financieras TASA (flujos uniformes) y TIR (flujos variables) de Excel.

Componentes de la tasa de interés

La tasa de interés corriente (ic), es la tasa del mercado, aplicado por los bancos y las entidades financieras; la tasa  efectivamente pagada por cualquier préstamo.  Tiene tres componentes o causas:

  1. El efecto de la inflación (): medida del aumento del nivel general de precios, valorada a través de la canasta familiar; notamos su efecto en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda. A mayor inflación, mayor tasa de interés.
  2. El efecto del riesgo, inherente al negocio o inversión. A mayor riesgo, mayor tasa de interés. Elemento de riesgo (ip).
  3. La tasa real « i » propio del negocio, lo que el inversionista desea ganar, libre de riesgos e inflación. Rendimiento base. Generalmente los bonos del tesoro de EE.UU. son tomados como parámetro para la  tasa libre de riesgo. Tasa de interés real (i).
  4. Tasas de interés y descuento equivalente

En el mundo real, las tasas de interés son en más de un período por año. Por convención, las tasas de interés son en base anual. La tasa de interés expresada anualmente y con composición en más de una vez por año es la tasa nominal, es una tasa de interés simple; ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual  capitaliza el interés.

Tasa periódica: Tasa de interés cobrada o pagada en cada período, por ejemplo, semanal, mensual o anual; tiene la característica de ser nominal y efectiva a la vez.

Tasa efectiva anual (TEA): La tasa que realmente  paga o cobra por una operación financiera, incluye todos los costos asociados al préstamo o inversión. Si el interés  capitaliza en forma trimestral, semestral, mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que la compuesta  en forma anual.

Interés anticipado (ia): Es el interés liquidado al inicio del período, cuando recibimos o entregamos dinero.

Interés vencido (iv): Liquidado al final del período, cuando recibimos o entregamos dinero.

 

Fórmulas de las Tasas de interés nominal, efectivo y equivalente:

Tasas equivalentes

Dos tasas con diferentes periodos de capitalización  serán equivalentes, si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.

Común en operaciones bancarias y también en el caso de bonos del tipo «cupón cero», el uso de la tasa de descuento (d) en vez de (o junto con) la tasa de interés, como referencia del rendimiento de la operación. Usar la tasa de descuento o la tasa de interés es puramente convencional y siempre podemos expresar una en términos de la otra.

Esto lo explicamos con las tasas equivalentes pagadas al vencimiento (iv) o por anticipado (ia).

Pactan muchas negociaciones en términos de interés anticipado y es deseable conocer cuál es el equivalente en tasas de interés vencido. Un ejemplo corriente, lo constituyen los préstamos bancarios y los certificados de depósito a término.

Cuando  indican un pago de interés anticipado (ia), en realidad ello significa que -en el caso de un préstamo-  recibe un monto menor al solicitado.

Estas dos fórmulas sólo son de aplicación a tasas periódicas.

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Aching Guzmán César. (2005, septiembre 17). Matemáticas financieras y aplicaciones financieras con Excel. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-y-aplicaciones-financieras-con-excel/
Aching Guzmán, César. "Matemáticas financieras y aplicaciones financieras con Excel". GestioPolis. 17 septiembre 2005. Web. <https://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-y-aplicaciones-financieras-con-excel/>.
Aching Guzmán, César. "Matemáticas financieras y aplicaciones financieras con Excel". GestioPolis. septiembre 17, 2005. Consultado el 16 de Septiembre de 2019. https://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-y-aplicaciones-financieras-con-excel/.
Aching Guzmán, César. Matemáticas financieras y aplicaciones financieras con Excel [en línea]. <https://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-y-aplicaciones-financieras-con-excel/> [Citado el 16 de Septiembre de 2019].
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