Duración y convexidad en el mercado financiero de bonos

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Martín Hernández Serrano
Modelo Alternativo
1
Duración y Convexidad I
En este material se presentan de forma accesible, mas con un grado responsable de
rigor matemático, los conceptos de duracn y convexidad. Se asume que el lector
cuenta con conocimientos básicos sobre el mercado de bonos y del cálculo
diferencial.
BONOS
Un bono se entiende como un conjunto de flujos futuros de efectivo mediante los
cuales un deudor paga a un acreedor el principals intereses por un
financiamiento recibido.
Generalmente los flujos de efectivo reciben el nombre de cupones además de que
en el último pago se incluye el valor nominal o facial. En ocasiones, bajo un
esquema de amortizacn tradicional o variaciones de éste, se paga parte del valor
nominal en cada flujo. También se puede dar un prepago de principal o una pausa
en el pago de los flujos.
Son varias las clases de bonos que se observan en los mercados financieros. Una
clasificación involucra los bonos emitidos por empresas (corporativos) y aquellos
emitidos por el gobierno. Otra clasificación se da en funcn del riesgo de impago
mediante la categoa de grado de inversión (BBB-). Por el lugar de emisn existen
los eurobonos que son emitidos en un mercado de capitales exterior al doméstico
como el caso de los bonos Samurai. En los globalizados mercados financieros un
bono puede ser emitido en cualquier ps y se pueden colocar en alguna moneda
dura o de mercado emergente1. No menos importantes, los bonos del carbono son
una gran oportunidad para que las economías emergentes se orienten con rumbo
al desarrollo sostenible.
Únicamente con fines explicativos se da tratamiento al bono clásico compuesto por
cupones y pago de principal al vencimiento. No obstante, los conceptos de
duración y convexidad pueden aplicarse a cualquier instrumento de renta fija. A la
luz de lo anterior se dispone de la siguiente notación:
P: Precio del bono
VN: Valor nominal o facial del bono
n: Número de cupones que paga el bono
Ct: Cupón pagado en el período 1tn
R: Tasa de mercado al vencimiento
1 Recientemente, bancos regionales de Alemania y el gobierno de Austria han colocado bonos en pesos
mexicanos dando lugar al europeso.
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2
S: Días de un período de pago de cupón
D: Duración de Macauly
D*: Duración Modificada
C: Convexidad
El precio P=P(R) de un bono, es el agregado de los valores presentes de los flujos
futuros de efectivo Ct más el valor nominal VN .
nt
n
t
t
S
RVN
S
RCRP
=
++
+= 360
1
360
1)(
1
Se asume que dicho precio depende únicamente de R, la tasa de mercado al
vencimiento por lo que se tiene una curva de rendimiento plana. Ello significa que
la tasa de descuento es la misma para todos los flujos de efectivo. Además, entre
cada pago de cupón existen S días.
Valor de un bono
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60%
Tasa de interés
Precio
Ilustración 1. Relación inversa entre el precio de un bono y la tasa de mercado que paga.
A partir de la funcn P(R) e indicado por la Ilustración 1 se aprecia una relación
inversa entre el tipo de interés y el precio del bono. La importancia ecomica de
esta relación emerge cuando se piensa que la inversn se incrementa cuando se
tienen bajas tasas de interés, entre otros factores. En cuanto a la inversn en
mercados extranjeros, si los bonos de un país ofrecen mejores rendimientos que los
bonos del exterior se presenta una apreciacn de la moneda. Si la moneda de un
país se encuentra apreciada entonces los inversionistas extranjero encontrarán
jugosos rendimientos en dólares al invertir en bonos.
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3
DURACN Y CONVEXIDAD
¿Por qué estudiar los conceptos de duración y convexidad?
Es importante estudiar éstos conceptos debido a que la variabilidad de las tasas de
interés modifica el valor de una posición en renta fija. Por ejemplo, cuando se
incrementan los réditos, los tenedores de bonos sufren pérdidas.
La duracn y la convexidad sirven para estimar las variaciones en los valores de
los portafolios de bonos y de a que sean una valiosa herramienta en la
administración del riesgo de tasa de interés.
En el argot financiero, las variaciones en los tipos de interés se miden en puntos
base, cada uno de ellos es la centésima parte de un punto porcentual. Es decir, 100
puntos base equivalen a 1%.
Variación diaria en puntos base de TIIE 28d en abril de 2004
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1-Abr-04
2-Abr-04
3-Abr-04
4-Abr-04
5-Abr-04
6-Abr-04
7-Abr-04
8-Abr-04
9-Abr-04
10-Abr-04
11-Abr-04
12-Abr-04
13-Abr-04
14-Abr-04
15-Abr-04
16-Abr-04
17-Abr-04
18-Abr-04
19-Abr-04
20-Abr-04
21-Abr-04
22-Abr-04
23-Abr-04
24-Abr-04
25-Abr-04
26-Abr-04
27-Abr-04
28-Abr-04
29-Abr-04
30-Abr-04
Ilustración 2. En abril de 2004 se dio el llamado crack de bonos del mercado mexicano.
Los cambios en el valor de los activos y pasivos sensibles a movimientos en el tipo
de interés son relevantes para las instituciones bancarias. En este caso, se agrega un
elemento conocido como riesgo de descalce en el que interviene la duración2. Un
banco se encuentra descalzado cuando la duración de sus pasivos es menor que la
duración de los activos.
De la Ilustración 2 se aprecia que la variacn en las tasas puede ser de unos
cuantos hasta varias decenas de puntos base. En abril de 2004, algunas tesorerías
en México sufrieron por una variacn en los tipos de interés en lo que se
interpretó como un crack de bonos.
2 También existe el riesgo de descalce de monedas.
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4
Dos conceptos de duración
La duracn indica la sensibilidad de los cambios relativos en el precio de un
instrumento de renta fija ante cambios en la tasa de interés de mercado. Este grado
de sensibilidad es consecuencia de la aplicacn del teorema de Taylor.
)()( 2
0RoRR
dR
dP
dP +=
1
1
1)
360
1(
360
)
360
1(
360
=
++= n
n
t
t
t
S
RnVN
SS
RtC
S
dR
dP
Considerando despreciable el error o(R2) se tiene la siguiente aproximacn:
[]
0
1
1
1)
360
1(
360
)
360
1(
360 RR
S
RnVN
SS
RtC
S
dP n
n
t
t
t
++=
=
Debe recordarse que el polinomio de Taylor indica una aproximacn local de los
valores funcionales. Es decir, se tienen estimaciones de la función P(R) alrededor
de la tasa inicial R0. Mientras más lejos de R0 se tome el valor de R, se tend menor
exactitud en la aproximación.
Si se divide el cambio del precio dP entre el precio entonces se obtiene el cambio
relativo en el valor del bono y además se da la definición de duracn.
[]
0
1
1
1)
360
1()
360
1(
360
1RR
S
RnVN
S
RtC
S
PP
dP n
n
t
t
t
+++=
=
Duración modificada
Esta duracn se define como dR
dP
P
D1
*= por lo que es positiva. En el caso del
bono en estudio se tiene:
+++=
=
1
1
1* )
360
1()
360
1(
360
1n
n
t
t
t
S
RnVN
S
RtC
S
P
D
Entonces los cambios relativos en el valor de un bono son de la forma
[]
0
*RRD
P
dP = .
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Duración de Frederick Robertson Macaulay
Este es el caso original de la duración. La forma es
+= 360
1
1S
R
dR
dP
P
D y es fácil
notar que la duracn modificada es la duración de Macaulay descontada un
período. Aunque esta definición parece un tanto extraña y estar de más, en
realidad tiene el significado de un promedio ponderado del tiempo. Para ver este
enfoque se muestra el siguiente desarrollo:
Sea N={1,2,...,n} el conjunto de los períodos de pago de cupón. Por ejemplo, si los
cupones son trimestrales entonces N={1 semestre, 2 semestres, ..., n semestres}. Es de
interés encontrar el porcentaje en que contribuye cada flujo de efectivo al valor del
bono. El conjunto F se compone de estas contribuciones.
+
=
+=
nt
t
S
RVN
P
nt
S
RC
P
F360
1
1
,...,2,1,
360
1
1
No es complicado notar que la suma de los elementos de F es igual a la unidad. Al
ponderar cada elemento del conjunto N con el elemento correspondiente del
conjunto F se obtiene la un promedio ponderado Dn.
1
1360
1
360
1
1
=
++
+= nt
n
t
tn
S
RnVNt
S
RC
P
D
Nótese que el valor de Dn está en términos de los períodos de pago por lo que debe
anualizarse multiplicándose por 360
S.
+=
=
++
+
+
=
=
360
1
1
360
1
360360
1
360
360
1
360
11
1
S
R
dR
dP
P
D
D
S
R
S
nVN
S
RtC
S
P
S
R
D
Snt
n
t
tn
De esta manera puede darse la definición de la duración de Macaulay como el
indicador del tiempo promedio en el que el tenedor del bono obtiene los beneficios
del mismo.
En posteriores parágrafos se probará que la duración modificada de un strip
equivale al tiempo al vencimiento del mismo. Si un inversionista compra un strip
que vence en 5 años entonces, para recibir el pago del principal, debe esperar los
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cinco años. En cambio, con un bono cuponado el inversionista recibe flujos de
efectivo. En esta situacn, la duración de Macaulay contribuye a estimar el tiempo
en el que se recibe el pago del principal.
Propiedades de la duración
La duracn presenta propiedades que en ocasiones dependen de las características
del bono como se muestra en el siguiente listado:
1. La duracn es menor o igual que el plazo al vencimiento del bono. La
igualdad se presenta cuando se trata de un strip cuando es la duración de
Macaulay.
2. Ceteris paribus a mayor tiempo al vencimiento se tiene mayor duracn.
3. Ceteris paribus a menor cupón se tiene mayor duración.
4. Ceteris paribus a mayor tasa de mercado se tiene menor duración.
Convexidad
Cuando las tasas de interés varían en demasiados puntos base, deja de ser la
duración una buena medida de sensibilidad y se recurre a la convexidad. En la
Ilustración 3 se aprecia que la estimacn de la variación en el precio de un bono a
través de la duración es en realidad una aproximacn lineal. Cuando se tienen
fluctuaciones bruscas en el tipo de interés, el resultado que arroja da duración
pierde efectividad por lo que la alternativa es estimar el valor del bono con una
parábola.
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60%
Tasa de intes
Precio
ConvexidadEstimación con Duración
Estimacn del precio de un bono con Duración
solventado con un juste por Convexidad
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60%
Tasa de intes
Precio
ConvexidadEstimación con Duración
Estimacn del precio de un bono con Duración
solventado con un juste por Convexidad
Ilustración 3. La convexidad ajusta la estimación obtenida por duración.
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En realidad lo que se hace es aproximar el precio del bono con el polinomio de
Taylor de segundo orden como se muestra.
)()(
2
1
)( 32
0
2
2
0RoRR
dR
Pd
RR
dR
dP
dP ++=
2222
1
2
2
360360
1)1(
360360
1)1(
+++
++=
=
SS
RVNnn
SS
RCtt
dR
Pd nt
n
t
t
Nótese que P/<0 por lo que el precio es una función decreciente mientras que P//>0
lo que significa que P(R) es convexa. La convexidad se define de la siguiente
manera:
2222
1
2
2
360360
1)1(
1
360360
1)1(
11
+++
++==
=
SS
RVNnn
P
SS
RCtt
P
dR
Pd
P
C
nt
n
t
t
El hecho de que la función P(R) sea convexa implica que todas las recta tangentes
se encuentren subvalúen sus valores funcionales por lo que la convexidad debe ser
positiva para mejorar las estimaciones3.
Propiedades de la Convexidad
Al igual que la duración, la convexidad cuenta con algunas propiedades
relevantes:
1. La convexidad vaa de forma inversa con la tasa de mercado. Es decir si la
tasa se incrementa la convexidad disminuye y viceversa.
2. La convexidad aumenta cuando disminuye el cupón manteniendo fijos el
plazo y la tasa de mercado.
3. Dadas la tasa de mercado y duracn modificada, a menor tasa cupón
menor será la convexidad. Esto implica que los bonos cupón cero serán
aquellos que tengan la menor convexidad dada una duración modificada.
Ejemplo de aplicación
En este punto de la exposición es ya conveniente un ejemplo en el que se obtengan
y apliquen los conceptos de duración y convexidad.
Considérese un bono con las siguientes características:
3 Los bonos prepagables tienen convexidad negativa pero requieren de un tratamiento un tanto distinto.
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VN:100
Tasa cupón: 8%
Tasa de mercado: 10%
Días entre pago de cupón (S): 180
Años: 5
Con estos datos el precio del bono asciende a 92.27 unidades monetarias (u.m).
Este resultado esgico pues se trata de un bono bajo par. A continuación se
obtienen las duraciones y la convexidad para luego darles aplicacn mediante
preguntas a las que se da respuesta.
Determinación de los valores
Duración Modificada
98.3)
360
180
10.01(100*10)
360
180
10.01(4*
360
180
27.92
111
10
1
1* =
+++
=
=
t
t
tD
Duración de Macaulay
18.4
360
180
10.01
*=
+= DD
Convexidad
21222
10
1360
180
360
180
10.01100*11*10
27.92
1
360
180
360
180
10.014)1(
27.92
1
++
++=
=
t
t
ttC
57.19=C
Cuestiones
1.- Supóngase un incremento de 10 puntos base en la tasa de mercado por lo que
ahora se tiene una tasa de 10.1%. ¿Cuánto varía el precio del bono usando
únicamente la duración?
Respuesta
Se sabe que = dR
dP
P
D1
*
[
PRRDdP 0
*=
101.098.3
=dP
]
que es la variacn del precio.
Aplicando larmula se obtiene . Es decir el
nuevo precio de mercado es P
[]
37.027.92*10.0 =
*=92.27-0.37=91.90.
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2.-Encuéntrese la variacn del precio de mercado sin utilizar el concepto de
duración.
Respuesta
P(0.10)=92.27 mientras que P(0.101)=91.91 entonces dP=91.91-92.27=-0.36 que es
sumamente cercano al valor obtenido por la duración. La diferencia es que en este
caso se hace un usos intensivo del tiempo para evaluar los precios.
3.-Ahora suponga que se da un incremento de 100 puntos base en la tasa de
mercado. ¿Cl es la variacn del precio haciendo uso de la duracn modificada?
Respuesta
Nuevamente al aplicar larmula se obtiene .
Es decir el nuevo precio de mercado es P
[]
5.327.92*10.011.098.3 ==
dP
*=92.27-3.5=88.77
4.- Una vezs encuéntrese la variación del precio de mercado sin utilizar el
concepto de duración.
Respuesta
P(0.10)=92.27 mientras que P(0.11)=88.69 entonces dP=88.69-92.27=-3.58 que no es
tan cercano al valor obtenido por la duración. Este resultado se obtiene debido a
que se ha aproximado, de forma local, el valor del bono a partir de una recta. En
este caso comienza a ser necesaria la convexidad para obtener un mejor ajuste.
5.-Ajustar con la convexidad
Respuesta
Se trata de usar la aproximacn de Taylor en la que interviene el término
cuardtico.
2*2* )(*
2
1
*)(
2
1dRCPdRDPdPdRCdRD
P
dP +=+=
58.3)01.0(*57.19*27.92*5.0)01.0(*98.3*27.92 2=+=dP
El ajuste de la convexidad aproxima de forma casi perfecta las variaciones en el
precio del bono ante cambios bruscos en los tipos de interés.
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10
6.-Supóngase un bono perpetuo con pago de cupón anual de un monto B
equivalente a un porcentaje del valor nominal VN. Calcular duración y convexidad.
Respuesta
Para calcular la duración es necesario encontrar larmula del precio. Dicha
rmula es una suma infinita.
()
=
=
+
=
+
=
11 1
1
1t
t
t
tR
B
R
B
P
Dado que 1
1
1<
+R la serie de potencias
=
+
11
1
t
t
Rconverge a R
R
R1
1
1
1
1
1
=
+
+
De esta forma el precio de un bono perpetuo con estas condiciones es R
B
P=. La
primer derivada resulta ser negativa 22
11
R
B
PdR
dP
P
R
B
dR
dP == pero se recuerda
que el precio del bono es R
B
P= por lo que la duración del mismo es R
D1
*=. La
convexidad se obtiene de forma similar.
232
2
32
22212
RR
B
B
R
dR
Pd
P
C
R
B
dR
Pd ==== .
7.- Inquirir los valores de la duración y la convexidad de un bono cupón cero.
Respuesta
Es muycil dar solución a esta cuestn pues simplemente se aplican las rmulas
obtenidas con Ct=0.
1
1
1
1*
360
1
360
1
)
360
1()
360
1(
360
1
=
+=
+++= n
n
n
t
t
t
S
RnVN
S
P
S
RnVN
S
RtC
S
P
D
Sin embargo el precio de un strip de estas características es
n
S
RVNP
+= 360
1por
lo que la duración se reduce a 360360
1
360
1
*S
nD
S
R
S
nD =
+=
que es el tiempo
al vencimiento del bono.
La convexidad se obtiene de forma similar
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11
2222
360360
1)1(
360360
1)1(
1
++=
++=
SS
Rnn
SS
RVNnn
P
C
n
Duración y el riesgo de mercado.
El valor en riesgo, (VaR) por sus siglas en ings, es la pérdida máxima probable
dado un nivel de confianza que se puede tener en una inversn. Por ejemplo, si se
dice que un bono a la par con valor nominal de 100 u.m. tiene un VaR de 2% con un
95% de confianza entonces la pérdida máxima posible que se enfrenta es de 2 u.m.
Para estimar el VaR de un bono se hace necesario el uso de la duracn modificada.
Se sabe que
[
0
*RRD
P
dP =
]
. Para calcular la volatilidad de los precios relativos
del bono se debe multiplicar y dividir el miembro derecho de esta igualdad por R
para luego calcular la varianza.
=
=
R
dR
RD
R
dR
RD
P
dP var)(varvar 2** con estas igualdades se puede tener la
volatilidad σP del precio del bono a partir de la volatilidad de las variaciones en las
tasas de interés σR.
σP=D*RσR
Para estimar el valor en riesgo se multiplica la volatilidad del precio del bono por
un factor adecuado al nivel de confianza deseado.
VaRbono=-P*NC* D*RσR*
Donde
NC: Nivel de confianza. Al 95% es 1.65 y al 99% NC=2.33
Ejemplo: Suponga un bono con precio de mercado de 100 u.m. cuya duración
modificada es de 3.98 con volatilidad trimestral de las tasas de interés de 3% y
R0=10%. Estimar el VaR a un nivel de confianza del 99%.
VaRbono=-100*2.33*3.98*0.03*0.025=0.70
Se espera que la pérdida máxima a un nivel de 99% de confianza sea de 70
centavos de u.m.
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12
DURACN Y CONVEXIDAD DE UN PORTAFOLIO DE BONOS
El concepto de duracn se puede extender en la participación de más de un bono.
El teorema de Taylor es nuevamente el veculo para la consecucn de la duración
de un portafolio de bonos.
Considerese un portafolio compuesto por K bonos en donde Pi(Ri) y mi son el
precio y la cantidad de unidades del i-ésimo bono. El valor del portafolio
P=P(R1,R2,...,RK) es la suma de las cantidades invertidas en los bonos que lo
componen. Con estos supuestos se tienen los siguientes teoremas:
Teorema 1. La duración Dp de un portafolio de K bonos es el promedio ponderado
de las duraciones particulares. El ponderador wi de la i-ésima duracn es el
porcentaje de portafolio que representa el i-ésimo bono.
Demostración.
Por construccn . La diferencial total de P(R
=
=K
i
iii RPmP
1
)( 1,R2,...,RK) es
i
K
ii
idR
R
P
mdP
=
=
1
para 1iK
Si se multiplica y divide por Pi al i-ésimo sumando de dP entonces se tiene que
. Al definir
i
K
i
iii dRDPmdP
=
=
1
*
P
Pm
wii
i= y dividir dP por P se tiene el resultado
deseado.
==
== K
i
iiPi
K
i
ii DwDdRDw
P
dP
1
**
1
*
Teorema 2. En las mismas condiciones del teorema anterior resulta que la
convexidad de un bono es la suma ponderada de las convexidades.
Demostración
En este caso se da el uso del hessiano para obtener el resultado.
ji
K
i
K
jji
ii
K
ii
idRdR
RR
P
mdR
R
P
mdP ∑∑===
+
=
11
2
12
1 pero se sabe que 0
2
=
ji RR
Ppara ij. El
caso i=j conduce a que 2
1
2
2
1
)(
2
1
i
K
ii
ii
K
ii
dR
R
P
mdR
R
P
dP ==
+
=. Una vez más se
multiplica y divide por Pi al i-ésimo sumando de cada suma y se divide por P a dP
para obtener el resultado esperado.
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13
2
11
*)(
2
1
i
K
i
iii
K
i
ii dRCwdRDw
P
dP ==
+=
=
=K
i
iiP CwC
1
Ejemplo. Considere un portafolio hipotético compuesto por dos bonos cuyos datos
encierra la tabla siguiente:
Bono Duración Convexidad Participación en el portafolio
1 4 23 200,000 u.m.
2 3 16 300,000 u.m.
m1P1=200,000
m2P2=300,000
P=500,000
w1=0.4
w2=0.6
Dp=0.4*4+0.6*3=3.4
Cp=0.4*23+0.6*16=18.8
Los valores obtenidos de duración y convexidad del portafolio se usan de igual
forma que en el caso de un bono individual.
RESUMEN
Luego de leer esta exposicn el lector debe tener presente lo siguiente:
La duracn indica el grado de sensibilidad del valor de un portafolio de
instrumentos de renta fija ante cambios en el tipo de interés. La duración de
Macaulay indica el tiempo promedio en el que el inversionista recibe el
pago del principal.
Ante variaciones grandes en el tipo de interés se recurre a la convexidad del
bono para ajustar la estimacn obtenida a través de la duración.
La duracn (convexidad) de un portafolio es el promedio ponderado de las
duraciones (convexidades) de cada bono.
REFERENCIAS
Fabozzi, Frank (2000). Bond M arkets A nalysis and Strategies. Prentice Hall.
Lara Haro (2005), Alfonso de. M edición y control de riesgos financieros. Limusa.

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    Hernández Serrano Martín. (2005, octubre 18). Duración y convexidad en el mercado financiero de bonos. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/duracion-y-convexidad-en-el-mercado-financiero-de-bonos/
    Hernández Serrano, Martín. "Duración y convexidad en el mercado financiero de bonos". GestioPolis. 18 octubre 2005. Web. <https://www.gestiopolis.com/duracion-y-convexidad-en-el-mercado-financiero-de-bonos/>.
    Hernández Serrano, Martín. "Duración y convexidad en el mercado financiero de bonos". GestioPolis. octubre 18, 2005. Consultado el 14 de Noviembre de 2018. https://www.gestiopolis.com/duracion-y-convexidad-en-el-mercado-financiero-de-bonos/.
    Hernández Serrano, Martín. Duración y convexidad en el mercado financiero de bonos [en línea]. <https://www.gestiopolis.com/duracion-y-convexidad-en-el-mercado-financiero-de-bonos/> [Citado el 14 de Noviembre de 2018].
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