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Teoría de la cartera. Frontera eficiente y mercado de capitales

  • Finanzas
  • 52 minutos de lectura
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
3
Luis Enrique Cayatopa Rivera
INTRODUCCIÓN
El Mercado de Capitales en nuestro paí s está teniendo un alza importante en los últimos años,
impulsado por las fuertes inversiones privadas y la disminución del riesgo país debido al
crecimiento del nivel de la economía nacional. Tal crecimiento no solo atrae a los grandes
inversionistas, sino también a los micro -inversionistas que invierten en el Mercado
Secundario, directamente mediante las Sociedades Agentes de Bolsa (SAB) o indirectamente
mediante las Sociedades Administradoras de Fondos (SAF), sean Fondos Mutuos o de
Inversión.
El atractivo más importante que presenta este Mercado es que la rentabilidad promedio que
reporta un capital es mucho mayor que la tasa pasiva que ofrece el Mercado Bancario; sin
embargo el riesgo puede ser alto. Debido a ello una buena administración de cartera debe
mantener un nivel óptimo de rentabilidad -riesgo que permita que el portafolio se mantenga
en el tiempo de manera sostenible.
El objetivo general de este trabajo es demostrar que el Nivel de Riesgo, consecuencia de la
diversificación de la cartera, es mucho menor que el riesgo generado por los activos
individualmente.
El presente trabajo está dividido en tres partes con el objetivo de explicar de manera
adecuada el proceso que representa todo el desarrollo de un modelo.
La primera muestra un marco teó rico sobre los modelos de equilibrio más importantes en la
Teoría de la Cartera, describiendo de una forma más amplia el de la Selección de Carteras de
Harry Markowitz, y el equilibrio del mercado de capitales según Sharpe en el punto de
tangencia de la Frontera Eficiente con la Línea del Mercado de Capitales.
La segunda parte muestra todo el procedimiento matemático en el desarrollo de las teorías
descritas en el apartado anterior.
La última parte muestra la forma más simple de elaborar una Cartera de Me rcado, sobre el
desarrollo del primer paso del Teorema de la Separación. La Cartera que se presenta es
POLARIS conformada por siete acciones que cotizan en la Bolsa de Valores de Lima y un bono
del Sistema Financiero. La elaboración de POLARIS se divide sicamente en dos etapas. La
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
4
Luis Enrique Cayatopa Rivera
primera es la recopilación de datos y la segunda es la elaboración propiamente dicha de la
cartera.
Partimos de que POLARIS tiene como base la Teoría del Portafolio de Harry Markowitz que
busca maximizar la rentabilidad esperada en un periodo determinado a un nivel de riesgo, u
obtener el mínimo riesgo para una rentabilidad dada.
Haciendo uso de Excel para los cálculos estadísticos y la generación de gráficos, y el análisis de
los resultados basados en la teoría mencionada se con cluye el presente trabajo con la
demostración del objetivo que motivó el mismo.
Luis Enrique Cayatopa Rivera
POLARIS
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
5
Luis Enrique Cayatopa Rivera
CONTENIDO
PARTE I
Marco teórico……………………………………………………………………………………………………..
7
PARTE II
Modelo analítico……………………………………………………………………………………………….
12
La Frontera Eficiente……………………………………………………………………………………………
La Línea de Mercado de Capitales……………………………………………………………………….
18
La cartera óptima de mercado …………………………………………………………………………..
24
PARTE III : CARTERA DE MERCADO POLARIS
Metodología de la recopilación de datos ……………………………………………………………..
27
Elección y descripción de los valores mobiliarios ………………………………………………
30
Obtención de la Frontera Eficiente………………………………………………………………………
36
Obtención de la Línea de Mercado de Capitales………………………………………………….
38
CONCLUSIONES…………………………………………………………………………………………………
45
FUENTES…………………………………………………………………………………………………………………….
46
ANEXOS……………………………………………………………………………………………………………………..
47
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
6
Luis Enrique Cayatopa Rivera
PARTE I
MARCO TRICO
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
7
Luis Enrique Cayatopa Rivera
MARCO TEÓRICO
Los modelos de valoración de carteras se dividen básicamente en dos grupos:
1. Modelos que se basan en los fundamentos de los inversores frente al riesgo.
2. Modelos de rendimientos con argumentos de arbitraje.
De los primeros sobresale; el Modelo de Selección de Carteras con criterio de elección de
media-varianza, desarrollado por Harry Markowitz (1952, 1959) y profundizado por el mismo
Markowitz y Levy en 1978. Otro modelo perteneciente a este grupo es el Modelo de
Valoración de Títulos CAPM (Capital Asset Pricing Model) desarrollado por William Sharpe
en 1964 y profundizado posteriormente por Lintner (1965), Mossin (1966). Los estudios de
Treynor en 1964 también ayudan a la comprensión del modelo. Hasta la actualidad éste es el
modelo más difundido y estudiado, y a partir de él han nacido diferentes variaciones y/o
ampliaciones al mismo; así por ejemplo, el CAPM y M -CAPM con varios periodos
(Intertemporal CAPM) desarrollado desde 1973 por Merton (I -CAPM), Champbell (1996), los
estudios de Chen en el 2002 (BWX -CAPM) junto con Brennan, Xiang y Wang, y más
recientemente en el 2004 de Campbell y Vuolteenaho. Existen también los modelos CAPM
basados en el consumo (Consumption-CAPM) desarrollados por Litzenberg, Breeden y
Gibbson en 1978. Un año antes Lanskroner postulaba el In -CAPM (Inflation CAPM). Fama y
French desde 1992 han desarollado estudios sobre el CAPM Multifactorial. Modelos más
recientes sobre el CAPM son el L-APM (Liquidity Asset Pricing Model) basado en la liquidez
desarrollado por Holsmtröm y Tirole en el 2001. Santos y Veronesi en el 2004 de sarrollaron el
M-CAPM condicional sujeto a restricciones más globales de mercado. Un tercer tipo de
modelo es más ecléctico respecto a los dos antes señalados, ya que su criterio de elección es
basada en la semivarianza (MSB) y los momentos estocásticos d e distinto orden, así por
ejemplo Hogan y Warren en 1974 desarrollan el modelo CAPM con desvíos negativos
(Dowside CAPM) y Smith en el 2003 hace estudios sobre el modelo CAPM con momentos
condicionales (Conditional Moment CAPM).
En el segundo grupo de modelos encontramos la Teoría de Valoración de Títulos por Arbitraje
(Arbitrage Pricing Model APM), desarrollado por Ross en 1976 y vuelto a ser revisado y
ampliado en 1980 por Roll y el propio Ross, Chamberlain y Rohschlild (1984), Ingersoll
(1984), Connor (1984); Roll, Ross y Chen (1986), Reisman (1992) y Nawalkha (1997, 2004).
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
8
Luis Enrique Cayatopa Rivera
El presente trabajo solo se enmarcará en la Teoría de Selección de Carteras de Harry
Markowitz y la Línea del Mercado de Capitales como parte del Modelo CAPM.
La Teoría de la Selección de Carteras que H. Markowitz postulara en 1952 se sustenta sobre
las siguientes hipótesis:
1. La rentabilidad de cualquier valor mobiliario o cartera, es una variable aleatoria,
obtenida a partir de las cotizaciones de dicho valor o portafolio, cuya distribu ción de
probabilidad para el periodo histórico de base es conocida por el inversionista. El
modelo acepta como medida de rentabilidad de la inversión la esperanza matemática
de dicho activo.
2. La medida de riesgo es la dispersión de la serie de rentabilidad de un valor mobiliario o
cartera, medida por la varianza o la desviación estándar.
3. El inversionista tenderá a elegir aquellas carteras con una mayor rentabilidad y menor
riesgo.
Mediante esta teoría se obtiene la Frontera Eficiente, constituida por todas l as carteras con una
rentabilidad esperada máxima para un nivel de riesgo determinado, en ausencia de una Tasa
Libre de Riesgo. Todas las carteras que se ubiquen bajo esta frontera serán consideradas
ineficientes, ya que para un mismo nivel de riesgo tienen una rentabilidad inferior a la que se
encuentra sobre la frontera.
Según la Teoría de la Línea del Mercado de Capitales basado en el CAPM como una extensión
del modelo de Markowitz con presencia de una Tasa Libre de Riesgo, ésta constituye el
intercepto con la ordenada de rentabilidad, y cuya pendiente de la línea es el Ratio de Sharpe.
La interacción de ambas fronteras va a constituir un punto de equilibrio que se conoce como la
Cartera de Mercado. De este modo se puede hablar de carteras con préstamo (Lending
Portfolios) cuando una parte del presupuesto se invierte otorgando un préstamo al tipo de
interés del activo sin riesgo, y de carteras con endeudamiento (Borrowing Portfolios) cuando
se pide prestado fondos para invertir en la cartera de Mercado, al mismo tipo de interés.
Entonces, en el primer caso se invierte parte del capital disponible en la “Cartera de Mercado”
y parte en un activo sin riesgo; en el segundo caso se invierte el capital disponible más fondos
recibidos a través de endeudamiento, en la Cartera de Mercado.
En pro de seguir un marco teórico adecuado se prosigue a describir el procedimiento a seguir
para obtener una cartera que satisfaga la rentabilidad esperada de un inversor frente a su nivel
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
9
Luis Enrique Cayatopa Rivera
de aversión al riesgo. Esta cartera debe de seguir un ejercicio de economía normativa según el
“Teorema de la Separación”.
El primer paso es obtener la Cartera de Tangencia Óptima del Mercado.
En esta etapa, el inversionista necesita estimar los rendimientos esperados y las varianzas de
todos los valores contemplados. Además, necesita estimar todas las covarianzas entre estos
valores, acomo determinar la tasa libre de riesgo. Una vez hecho esto, el inversionista puede
identificar la composición de la cartera de tangencia así como su rendimiento esperado y su
desviación estándar (nivel de riesgo). Al hacerlo, todos los inversionistas obtendrían en
equilibrio la misma cartera de tangencia, bajo las suposiciones siguientes 1:
Los inversionistas evalúan las carteras juzgando los rendimientos esper ados y desviaciones
estándares de las carteras durante un horizonte de un período.
1. Los inversionistas nunca se sacian, de modo que cuando se da una opción entre dos
carteras con niveles de riesgo idénticas, elegirán la que tenga el rendimiento esperado
más alto (criterio de elección de la media varianza : máximo rendimiento).
2. Los inversionistas son adversos al riesgo, de modo que cuando se da una opción entre
dos carteras con rendimientos esperados idénticos , elegirán la que tenga nivel de riesgo
más bajo (criterio de elección de la media varianza : mínimo riesgo).
3. Los activos individuales son divisibles infinitamente, lo que significa que un inversionista
puede comprar una fracción de una acción si lo desea.
4. Hay una tasa libre de riesgo a la que el inversi onista puede prestar dinero o pedirlo
prestado, es decir, la tasa es única para todos.
5. Los impuestos y los costos de transacción son irrelevantes.
6. Como todos los inversionistas tienen el mismo horizonte de un período, enfrentan la
misma tasa libre de riesgo, y obtienen la misma información. Tienen expectativas
homogéneas; es decir, comparten las mismas percepciones con respecto a los
rendimientos esperados, niveles de riesgo y covarianzas de los valores.
Por consiguiente, el conjunto eficiente lineal es el mismo para todos los inversionistas porque
implica simplemente las combinaciones de la cartera de tangencia y el endeudamiento libre de
riesgo o el préstamo libre de riesgo acordados.
1Fundamentos de Inversiones, teoría y práctica ;Alexander & Sharpe & Bailey; Pearson; México; 2003. Cap. 7, 8, 9
y 10
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
10
Luis Enrique Cayatopa Rivera
El objetivo específico del presente trabajo es presentar el modelo y la resolución de un ejemplo
ilustrativo para la esta primera etapa.
El teorema de la separación afirma que “la combinación óptima de activos riesgosos y libre de
riesgos para un inversionista cualquiera puede determinarse sin conocimiento alguno acerca de
las preferencias de riesgo y rendimiento del inversionista”. Es decir, la combinación óptima de
activos riesgosos es determinada sin ningún conocimiento de la forma de las curvas de
indiferencia de un inversionista.
El segundo paso es la determinación de la Cartera Óptima de cada Inversor.
Puesto que todos los inversionistas enfrentan el mismo conjunto eficiente, la única razón de
que elijan carteras diferentes es que tienen preferencias distintas hacia el riesgo y
rendimiento, lo que da como resultado curv as de indiferencia particulares.
Entonces puede identificar la cartera óptima del inversionista observando en qué punto una de
sus curvas de indiferencia toca pero no corta el conjunto eficiente. En ese punto de tangencia
queda determinada la inversión con cierta suma de endeudamiento o préstamo a la tasa libre de
riesgo, porque el conjunto eficiente es lineal.
No obstante, aunque las carteras elegidas serán diferentes, cada inversionista escogerá la misma
combinación de valores riesgosos, de acuerdo a lo determinado en el paso anterior.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
11
Luis Enrique Cayatopa Rivera
PARTE II
MODELO ANALÍTICO
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
12
Luis Enrique Cayatopa Rivera
MODELO ANALÍTICO
Objetivo General:
Obtener la Cartera de Mercado; es decir, aquella que constituye el punto de tangencia entre
la frontera eficiente y la línea del mercado de capita les.
Objetivos específicos:
1. Elaborar, a partir de un modelo matemático, la frontera eficiente sobre la base de la
teoría de selección de carteras de Harry Markowitz.
2. Elaborar la línea del mercado de capitales, sobre la base de la teoría de Sharpe y
determinar el ratio de Sharpe.
3. Resolver el primer paso del Teorema de la Separación; es decir, seleccionar la cartera
óptima del conjunto lineal de carteras que tangencia las carteras eficientes del
mercado, a partir de un conjunto de valores mobiliarios riesgo sos (activos de renta
variable, principalmente acciones 2) en un entorno de aversión riesgo por parte de los
inversionistas, combinados con un activo libre de riesgo (principalmente bonos 3), para
el caso en el cual se pueden realizar ventas en descubierto.
LA FRONTERA EFICIENTE
A partir de los rasgos fundamentales de la conducta racional de un inversor, la Teoría de la
Selección de Carteras que H. Markowitz postulara en 1952 se sustenta sobre las siguientes
hipótesis:
4. La rentabilidad de cualquier valor mo biliario o cartera, es una variable aleatoria,
obtenida a partir de las cotizaciones de dicho valor o portafolio, cuya distribución de
probabilidad para el periodo histórico de base es conocida por el inversionista. El
modelo acepta como medida de rentabil idad de la inversión la esperanza matemática
de dicho activo.
2Son Variables Aleatorias con sus esperanzas, varianzas, covarianzas, correlación lineal entre ellos.
3No son Variables Aleatorias, son una constante cierta. Tanto su varianza, covarianza y correlación con los
valores mobiliarios riesgosos es nula.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
13
Luis Enrique Cayatopa Rivera
5. El modelo acepta como medida del riesgo la dispersión, medida por la varianza o la
desviación estándar de los valores mobiliarios a partir de la rentabilidad.
6. El inversionista tenderá a elegir a quellas carteras con una mayor rentabilidad y menor
riesgo.
A partir de lo anterior se formula una función objetivo que debe ser optimizada, sujeta a
ciertas restricciones, para lo cual es preciso elegir las variables sobre las cuales se debe
optimizar la función. Así tenemos:
Función Objetivo:
- Minimizar el riesgo de la cartera.
Restricciones:
- Obtener un determinado rendimiento esperado de la cartera.
- La totalidad del capital disponible debe destinarse a ser invertido en los distintos valores
mobiliarios que forman parte de la cartera, no habiendo prohibiciones para realizar ventas en
descubierto.
Variables de Elección:
- Las proporciones del capital a invertir en cada uno de los activos de la cartera.
Para la elaboración de la Frontera Eficiente, se asumirá el caso de que los valores mobiliarios
analizados son riesgosos en su totalidad.
Formalización del problema de optimización con valores mobiliarios riesgosos :
Nomenclatura utilizada:
i
w
: Proporción a invertir en el Activo “i”
i
E
: Rendimiento esperado del Activo “i”.
2
i
: Varianza del Activo “i”.
ji,
: Covarianza entre el Activo “i” y el Activo “j”, siendo i ≠j.
p
E
: Esperanza o rendimiento prome dio de la cartera.
2
p
: Varianza del rendimiento de la cartera.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
14
Luis Enrique Cayatopa Rivera
p
E
: Rendimiento esperado exigido a la cartera.
W
: Vector Columna de los
i
w
.
Antes de proceder con la elaborac ión de la frontera se debe calculas las medidas descriptivas
individuales de los activos, así:
Rendimiento esperado del activo i
ó ó
ó,
1
Varianza del activo i
 
ii R
22
, de donde
2
i
 
n
ER
n
t
iit
1
2
, por lo tanto
 
iii R
2
Covarianza del activo i con el activo j (i ≠j)
 
 
 
 
jiji
n
t
jjtiit
ji n
RERRER
..
.
,
1
Donde:
ji,
 
 
 
 
 
 
 
 
ji
ji
n
t
jjt
n
t
iit
n
t
jjtiit
RERRER
RERRER
.
.
.
,
1
2
1
2
1
,representa el coeficiente de
correlación lineal entre el activo i con el activo j
Con base a lo referido anteriormente debe seguirse los siguientes tres pasos para la
construcción de la frontera eficiente:
PASO 1
Determinar la composición de la cartera, que minimice el riesgo de la misma, sujeta
únicamente a la siguiente restricción :
1...
21 K
www
Optimización restringida
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
15
Luis Enrique Cayatopa Rivera
Objetivo: Min.
);...;;( 21 K
wwwF
=
 
1
1 j
j,ji
2
K
2
K
2
2
2
2
2
1
2
1σ..2.σ....σ.σ.K
i
K
i
i
wwwww
Restricción:
1...
21 K
www
Optimización libre
Min.
)...1.();...;;( 21221 KK wwwwwwFL
Min.
L
 
1
1 j
j,ji
2
K
2
K
2
2
2
2
2
1
2
1σ..2.σ....σ.σ.K
i
K
i
i
wwwww
)1.(
1
2
K
i
i
w
Min.L
 
1
1 j
j,ji σ..2.K
i
K
i
i
ww
)1.(
1
2
K
i
i
w
Minimización de la función
);;...;;( 221
K
wwwfL
Obtención de la combinación óptima a través de la resolución mediante el método matricial
0111
1
1
1
2
K2K1K
K2
2
212
K121
2
1
...
...
...............
...
...
,,
,,
,,
2
...
2
2
1
K
w
w
w
=
1
0
0
0
...
2
...
2
2
1
K
w
w
w
=
1
2
K2K1K
K2
2
212
K121
2
1
0111
1
1
1
...
...
...............
...
...
,,
,,
,,
1
0
0
...
0
0
2
...
2
2
2
2
.
2
.
,
2
.
1
CARTERA
CARTERA
CARTERA
CARTERA
Min
Min
K
Min
Min
w
w
w
=
2dosdormultiplicadelvalor
Kactivodeladquiriraóptimaproporción
2activodeladquiriraóptimaproporción
1activodeladquiriraóptimaproporción
............................................................
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
16
Luis Enrique Cayatopa Rivera
PASO 2
Una vez generados los
2
.CARTERA
Min
i
w
, se obtienen el riesgo mínimo de la cartera y el
rendimiento esperado de la misma para dichos valores.
 
2
2
2
222
.
.
2
.
1
2
2,1,
,2
2
21,2
,12,1
2
1
..
2
.
1
2
...
.
...
............
...
...
.....
CARTERA
CARTERA
CARTERA
CARTERACARTERACARTERA
Min
K
Min
Min
KKK
K
K
Min
K
MinMin
p
w
w
w
wwwMin
p
Min.
2
.p
Min
K
Min
K
MinMin
Min
PEwEwEwE CARTERACARTERACARTERA
CARTERA ...... 222
2.
2
.
21
.
1
.
2
.CARTERA
Min
P
E
 
K
Min
K
MinMin
E
E
E
www CARTERACARTERACARTERA
...
.... 2
1
..
2
.
1
222
PASO 3
Una vez obtenido el valor del rendimiento e sperado de la cartera óptima para el cual se tiene
el mínimo riesgo, entonces se vuelve a minimizar el riesgo de la cartera, pero sujeta a las
siguientes restricciones:
-
KKP EwEwEwE ...... 2211
para valores de
P
E
2
.CARTERA
Min
P
E
-
1...
21 K
www
Optimización restringida
Objetivo: Minimizar Riesgo = Min.
);...;;( 21 K
wwwF
Min.
KKKKKKK wwwwwwwwwwwF ,113,1312,121
222
1
2
121 ...2......2...2.....);...;;(
);...;;( 21 K
XXXF
=
 
1K
1i
K
i
i
j
j,ji
2
K
2
K
2
2
2
2
2
1
2
1σ.X.X2.σ.X...σ.Xσ.X
Restricciones:
KKP EwEwEwE ...... 2211
Para valores de
P
E
2
.CARTERA
Min
P
E
1...
21 K
www
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
17
Luis Enrique Cayatopa Rivera
Optimización libre
Objetivo: Min.
);;;...;;( 2121
K
wwwfL
)...1.().......();...;;( 2122211121 KKKPK wwwEwEwEwEwwwFL
Min.
L
 
1
1 j
j,ji
2
K
2
K
2
2
2
2
2
1
2
1σ..2.σ....σ.σ.K
i
K
i
i
wwwww
)1.()..(
1
2
1
1
K
i
i
K
i
iiP wEwE
L
 
1
1 j
j,ji σ..2.K
i
K
i
i
ww
)1.()..(
1
2
1
1
K
i
i
K
i
iiP wEwE
Obtención de la combinación óptima a través de la resolución mediante el método
matricial:
SISTEMA DE ECUACIONES EN FORMA MATRICIAL (condición de primer orden):
001...11
00...
1...
..................
1...
1...
21
2
2,1,
2,2
2
21,2
1,12,1
2
1
K
KKKK
K
K
EEE
E
E
E
2
2
...
2
1
2
1
K
w
w
w
=
1
0
...
0
0
P
E
RESOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES EN FORMA MATRICIAL:
2
2
...
2
1
2
1
K
w
w
w
=
1
21
2
2,1,
2,2
2
21,2
1,12,1
2
1
001...11
00...
1...
..................
1...
1...
K
KKKK
K
K
EEE
E
E
E
1
0
...
0
0
P
E
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
18
SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES:
2
2
...
2
1
2
1
cienteCarteraEfi
cienteCarteraEfi
cienteCarteraEfi
K
cienteCarteraEfi
cienteCarteraEfi
w
w
w
=
....................
devalor
devalor
óptproporción
óptproporción
óptproporción
Para los distintos rendimientos esperados requeridos a la cartera se obtendrá un riesgo
asociado a la misma, lo que permitirá construir la FRONTERA EFICIENTE para los valores
mobiliarios riesgosos en análisis, y obtener un gráfico similar al siguiente:
LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
La introducción de un activo mobiliario no riesgoso al conjunto de activos riesgosos genera
una tasa libre de riesgo que es igual a la tasa que paga el valor no riesgoso. Es preciso formar
entonces nuevas carteras de inversión, a partir de la c ombinación de los portafolios eficientes
con el activo libre de riesgo, que maximicen la rentabilidad del inversionista. Esta nueva
Rentabilidad
Elaboración: Luis E. Cayatopa R. POLARIS
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
18
Luis Enrique Cay
SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES:
=
2
2
..................................................
2
1
dosdormultiplicadelor
unodormultiplicadelor
Kactivodeladquiriraóptimaón
activodeladquiriraóptimaón
activodeladquiriraóptimaón
Para los distintos rendimientos esperados requeridos a la cartera se obtendrá un riesgo
asociado a la misma, lo que permitirá construir la FRONTERA EFICIENTE para los valores
mobiliarios riesgosos en análisis, y obtener un gráfico similar al siguiente:
LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
La introducción de un activo mobiliario no riesgoso al conjunto de activos riesgosos genera
una tasa libre de riesgo que es igual a la tasa que paga el valor no riesgoso. Es preciso formar
entonces nuevas carteras de inversión, a partir de la c ombinación de los portafolios eficientes
con el activo libre de riesgo, que maximicen la rentabilidad del inversionista. Esta nueva
Riesgo (DS)
LA FRONTERA EFICIENTE
Elaboración: Luis E. Cayatopa R. POLARIS
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
18
Cayatopa Rivera
SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES:
=
Para los distintos rendimientos esperados requeridos a la cartera se obtendrá un riesgo
asociado a la misma, lo que permitirá construir la FRONTERA EFICIENTE para los valores
mobiliarios riesgosos en análisis, y obtener un gráfico similar al siguiente:
LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
La introducción de un activo mobiliario no riesgoso al conjunto de activos riesgosos genera
una tasa libre de riesgo que es igual a la tasa que paga el valor no riesgoso. Es preciso formar
entonces nuevas carteras de inversión, a partir de la c ombinación de los portafolios eficientes
con el activo libre de riesgo, que maximicen la rentabilidad del inversionista. Esta nueva
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
19
Luis Enrique Cayatopa Rivera
frontera debe contener carteras más eficientes que la antigua frontera y debe pasar de forma
tangencial a través de la Front era Eficiente. Esta cartera constituye un portafolio óptimo, ya
que es una cartera de equilibrio que adquiere el nombre de CARTERA DE MERCADO.
A partir de lo anterior se debe formular una función objetivo que debe ser optimizada, sujeta
a ciertas restricciones, para lo cual es preciso elegir las variables sobre las cuales se debe
optimizar la función. Así tenemos:
Función objetivo:
-Minimizar el riesgo de la cartera que combina el activo libre de riesgo con una cartera
eficiente conformada únicamente por activos aleatorios.
Restricciones:
-Obtener un determinado rendimiento esperado de la cartera combinada.
-El total del capital disponible debe destinarse a la adquisición de la cartera eficiente y/o el
activo libre de riesgo.
-La proporción del capital total destinada a la cartera eficiente debe de ser invertido
completamente entre los activos que componen dicha cartera (no existen prohibiciones para
realizar ventas en descubierto).
Variables de Elección:
-Las proporciones del capital a invertir en el a ctivo libre de riesgo y la cartera eficiente
formada por activos aleatorios y la composición interna de dicha cartera.
Formalización del problema de optimización de valores riesgosos combinados con un activo
libre de riesgo:
Nomenclatura utilizada:
i
w
:Proporción a invertir en el Activo “i”.
L
Y
: Proporción a invertir en el Activo Libre de Riesgo.
P
Y
: Proporción a invertir en Cartera Eficiente formada por activos aleatorios.
i
E
: Rendimiento esperado del Activo “i”.
2
i
: Varianza del Activo “i”.
ji,
: Covarianza entre el Activo “i” y el Activo “j”, siendo i ≠j.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
20
Luis Enrique Cayatopa Rivera
PL,
: Covarianza entre el Activo Libre de Riesgo y la Cartera Eficiente.
p
E
: Esperanza o rendimiento promedio de la cartera formada por activos aleatorios .
L
R
: Rendimiento libre de riesgo.
2
p
: Varianza del rendimiento de la cartera formada por activos aleatorios.
2
C
: Varianza del rendimiento de la cartera combinada formada por una cartera eficien te y el
activo libre de riesgo.
p
E
: Rendimiento esperado exigido a la cartera formada por activos aleatorios.
C
E
: Rendimiento esperado exigido a la cartera combinada.
PL,
: Coeficiente de Correlación Lineal entre el Activo Libre de Riesgo y la cartera eficiente
formada por activos aleatorios.
ji,
: Coeficiente de Correlación Lineal entre el rendimiento del activo “j” y el rendimiento del
activo “i”.
Antes del desarrollo matemático de la Línea del Mercado de Capitales se debe analizar como
va ser el comportamiento del riesgo y el rendimiento esperado de la cartera combinada.
Riesgo de la cartera combinada:
 
PLPLPPLPC YYYY ,
222
2
2...2..1
 
PLPLPL
2
P
2
P
2
L
2
P
2
CYY2YY1 ....... ,
Por ser el Rendimiento del ac tivo libre de riesgo constante, su desvío y su varianza son nulos,
entonces:
2
P
2
P
2
CY.
PPC Y.
P
C
P
Y
Rendimiento esperado de la cartera combinada:
 
PPLPC EYRY1E ..
P
P
C
L
P
C
CER1E ..
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
21
Luis Enrique Cayatopa Rivera
P
P
C
L
P
C
LC ERRE ..
 
.
LPC REE
L
P
CR
LC
P
LP
CR
RE
E
.
………………… Ecuación de la Línea del Mercado de Capitales
Como puede apreciarse en la expresión anterior el rendimiento esperado de la cartera
combinada es una función lineal del riesgo (desvío) de la cartera combinada , siendo:
L
R
: ordenada al origen.
P
LP RE
: Pendiente de la función lineal.
La pendiente de la función Rendimiento Esperado de la cartera combinada no asume un ún ico
valor, el mismo depende de la cartera eficiente con la cual se combine el activo libre de riesgo,
por lo tanto la pendiente depende de manera indirecta de las proporciones a invertir en los
activos aleatorios que conforman una cartera eficiente, es dec ir:
2
1
1
1
,
1
22
1
...2.
.
 
K
i
K
ij
jiji
K
i
ii
K
i
Lii
P
LP
www
REw
RE
m
De acuerdo con el Criterio de la Media Varianza un inversor racional preferirá, para un
determinado riesgo, obtener el máximo rendimiento esperado.
Con base a lo referido anteriormente debe seguirse los siguientes pasos para l a construcción
de la nueva frontera:
PASO 1
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
22
Luis Enrique Cayatopa Rivera
Determinar la composición de la cartera eficiente para kvalores mobiliarios riesgosos que
maximizan la pendiente.
Maximización de la pendiente
Optimización restringida
Objetivo: Máx.
2
1
1
1
,
1
22
1
...2.
.1.
 
K
i
K
ij
jiji
K
i
ii
K
i
Lii
P
LP
www
REw
RE
m
Restricción:
1...
21 K
www
1
1
K
i
i
w
Optimización libre
Máx.
P
LP RE
m
   
K
K
i
K
ij
jiji
K
i
ii
K
i
Lii
wwwg
www
REw
,...,,
...2.
.
21
2
1
1
1
,
1
22
1
 
Condición de Primer Orden:
0
1
w
m
0
2
w
m
0
K
w
m
Operando algebraicamente sobre el sistema de ecuaciones obtenido con la condición de
primer orden se generan las siguientes transformaciones:
 
i
P
Lp
iw
RE
Z.
2
 
K
i
i
P
Lp
K
i
iw
RE
Z
12
1
.
 
K
i
i
P
Lp
K
i
iw
RE
Z
1
2
1
.
Siendo:
1
1
K
i
i
w
 
1.
2
1P
Lp
K
i
i
RE
Z
Entonces:
K
i
i
i
i
Z
Z
w
1
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
23
Luis Enrique Cayatopa Rivera
Obtención de la combinación óptima a través de la resolución mediante el método matricial:
2
K2K1K
K2
2
212
K121
2
1
...
............
...
...
,,
,,
,,
K
2
1
Z
Z
Z
...
=
LK
L2
L1
RE
RE
RE
...
K
2
1
Z
Z
Z
...
=
1
2
K2K1K
K2
2
212
K121
2
1
...
............
...
...
,,
,,
,,
LK
L2
L1
RE
RE
RE
...
Obteniendo las proporciones a invertir :
K
i
i
i
i
Z
Z
w
1
K
i
iK
K
i
i
K
i
i
KZZ
ZZ
ZZ
w
w
w
1
1
2
1
1
*
*
2
*
1
...
...
pendientelaimizaqueKactivoeleninvertiraproporción
pendientelaimizaqueactivoeleninvertiraproporción
pendientelaimizaqueactivoeleninvertiraproporción
w
w
w
Kmax
...
max2
max1
...
*
*
2
*
1
PASO 2
Una vez obtenida la composición de la cartera que maximiza la pendiente “m”, se determina
el desvío y el rendimiento esperado asociad o dicha cartera.
 
*
*
2
*
1
2
2,1,
,2
2
21,2
,12,1
2
1
**
2
*
1
2
...
.
...
............
...
...
....
K
KKK
K
K
KP
w
w
w
www
P
2
P
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
24
C
E
 
K
K
E
E
E
www ...
.... 2
1
**
2
*
1
PASO 3
Se calcula el valor de la pendiente:
P
LP RE
m
Una vez determinada la pendiente “m” de la recta y la or denada al origen (el rendimiento
libre de riesgo) se obtiene la nueva frontera eficiente; es decir, la Línea del Mercado de
Capitales, para el caso en el cual se puede operar con un activo libre de riesgo.
La nueva frontera eficiente es una recta que tiene como ordenada al origen a la tasa libre de
riesgo y es tangente a la frontera eficiente constituida por activos riesgosos exclusivamente
como se muestra más adelante.
Rentabilidad
LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITAES
Elaboración: Luis E. Cayatopa R. POLARIS
Tasa Libre
de Riesgo
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
24
Luis Enrique Cay
 
PASO 3
Se calcula el valor de la pendiente:
Una vez determinada la pendiente “m” de la recta y la or denada al origen (el rendimiento
libre de riesgo) se obtiene la nueva frontera eficiente; es decir, la Línea del Mercado de
Capitales, para el caso en el cual se puede operar con un activo libre de riesgo.
La nueva frontera eficiente es una recta que tiene como ordenada al origen a la tasa libre de
riesgo y es tangente a la frontera eficiente constituida por activos riesgosos exclusivamente
como se muestra más adelante.
Riesgo (DS)
LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITAES
Elaboración: Luis E. Cayatopa R. POLARIS
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
24
Cayatopa Rivera
 
PASO 3
Se calcula el valor de la pendiente:
Una vez determinada la pendiente “m” de la recta y la or denada al origen (el rendimiento
libre de riesgo) se obtiene la nueva frontera eficiente; es decir, la Línea del Mercado de
Capitales, para el caso en el cual se puede operar con un activo libre de riesgo.
La nueva frontera eficiente es una recta que tiene como ordenada al origen a la tasa libre de
riesgo y es tangente a la frontera eficiente constituida por activos riesgosos exclusivamente
como se muestra más adelante.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
25
CARTERA DE TANGENCIA ÓPTIMA DEL MERCADO
Conocida comúnmente como la Cartera de Me rcado. Es aquella que resulta de la igualación
de la rentabilidad esperada de una cartera que está sobre la curva de la frontera eficiente y la
rentabilidad esperada de una cartera que se sitúa sobre la Línea del Mercado de Capitales. De
este modo se puede hablar de carteras con préstamo (Lending Portfolios) cuando una parte
del presupuesto se invierte otorgando un préstamo al tipo de interés del activo sin riesgo, y de
carteras con endeudamiento (Borrowing Portfolios) cuando se pide prestado fondos para
invertir en la cartera de Mercado, al mismo tipo de interés. Entonces, en el primer caso se
invierte parte del capital disponible en la “Cartera de Mercado” y parte en un activo sin riesgo;
en el segundo caso se invierte el capital disponible más fondos rec ibidos a través de
endeudamiento, en la Cartera de Mercado.
Matemáticamente es resuelve como sigue:
CP EE
 
P
K
K
E
E
E
E
www
...
.... 2
1
21
que es igual a:
Cuya gráfica es del modo siguiente:
Rentabilidad
Elaboración: Luis E. Cayatopa R. POLARIS
Tasa Libre
de Riesgo
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
25
Luis Enrique Cay
CARTERA DE TANGENCIA ÓPTIMA DEL MERCADO
Conocida comúnmente como la Cartera de Me rcado. Es aquella que resulta de la igualación
de la rentabilidad esperada de una cartera que está sobre la curva de la frontera eficiente y la
rentabilidad esperada de una cartera que se sitúa sobre la Línea del Mercado de Capitales. De
este modo se puede hablar de carteras con préstamo (Lending Portfolios) cuando una parte
del presupuesto se invierte otorgando un préstamo al tipo de interés del activo sin riesgo, y de
carteras con endeudamiento (Borrowing Portfolios) cuando se pide prestado fondos para
invertir en la cartera de Mercado, al mismo tipo de interés. Entonces, en el primer caso se
invierte parte del capital disponible en la “Cartera de Mercado” y parte en un activo sin riesgo;
en el segundo caso se invierte el capital disponible s fondos rec ibidos a través de
endeudamiento, en la Cartera de Mercado.
Matemáticamente es resuelve como sigue:
 
LC
P
LR
R
.
que es igual a:
P
K
i
ii
E
Ew
.
1
Cuya gráfica es del modo siguiente:
Riesgo (DS)
Elaboración: Luis E. Cayatopa R. POLARIS
Cartera de
Mercado
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
25
Cayatopa Rivera
CARTERA DE TANGENCIA ÓPTIMA DEL MERCADO
Conocida comúnmente como la Cartera de Me rcado. Es aquella que resulta de la igualación
de la rentabilidad esperada de una cartera que está sobre la curva de la frontera eficiente y la
rentabilidad esperada de una cartera que se sitúa sobre la Línea del Mercado de Capitales. De
este modo se puede hablar de carteras con préstamo (Lending Portfolios) cuando una parte
del presupuesto se invierte otorgando un préstamo al tipo de interés del activo sin riesgo, y de
carteras con endeudamiento (Borrowing Portfolios) cuando se pide prestado fondos para
invertir en la cartera de Mercado, al mismo tipo de interés. Entonces, en el primer caso se
invierte parte del capital disponible en la “Cartera de Mercado” y parte en un activo sin riesgo;
en el segundo caso se invierte el capital disponible más fondos rec ibidos a través de
endeudamiento, en la Cartera de Mercado.
Matemáticamente es resuelve como sigue:
 
que es igual a:
LC
P
LP R
R
.
Cuya gráfica es del modo siguiente:
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
26
Luis Enrique Cayatopa Rivera
PARTE III
CASO DE APLICACIÓN: CARTERA DE MERCADO
POLARIS
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
27
Luis Enrique Cayatopa Rivera
METODOLOGÍA DE LA RECOPILACIÓN DE DATOS
Una etapa muy importante y sobre la cual va a fundamentarse la investigación es la
recolección de datos. No constituye tarea fácil agrupar toda la información que el mercado
pueda brindar, es por eso que mediante la jerarquización de las necesidades de infor mación
se opta por considerar la data pertinente.
Los datos primordiales que se necesitan para la elaboración de una Cartera de Inversión son
los siguientes:
oLas cotizaciones de cierre.
oLas rentabilidades, que se obtienen a partir de las cotizaciones de ci erre.
oLos montos negociados de cada acción por jornada.
oEl número de acciones negociadas por jornada.
En este trabajo se hacen uso exclusivo de las cotizaciones de cierre diarias.
Hace no muchos años Alvin Tofler escribió en su “Tercera ola” que estamos viviendo en la era
de la información. Bajo este precepto y haciendo un uso adecuado de la misma se procede a
detallar desde que fuentes y formas se pueden extraer los datos que se utilizan en la
elaboración de una Cartera de Inversión.
La primera es la fuente escrita. El diario dicho sea de paso. Sobresalen entre este grupo:
Gestión, en su sección Negocios y Finanzas, donde aparecen las cotizaciones diarias de las
acciones que cotizan en Bolsa. Otro diario importante es El Comercio en su sección Negocios,
subsección Finanzas que muestra los mismos datos y otros tantos del Mercado.
Una segunda fuente es mediante un software especializado llamado Economática, que tiene
una exquisita data tanto de las cotizaciones de las acciones nacionales como de la mayoría d e
América Latina. Este software está disponible al público en general en el Departamento de
Información de la Comisión Nacional Supervisora de Empresas y Valores (CONASEV) de forma
gratuita. Economática dispone también de un comando mediante el cual tamb ién se pueden
optimizar carteras a partir de su data, sujetas a restricciones diversas.
Una tercera forma de obtener las series de las cotizaciones de cierre es mediante una solicitud
dirigida a la Gerencia Comercial de la BVL, previo depósito del costo d e las mismas en una
cuenta corriente de dicha entidad.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
28
Luis Enrique Cayatopa Rivera
Un cuatro mecanismo para obtener dichas series es mediante la página Web de la Bolsa de
Valores de Lima, www.bvl.com.pe. La ventaja de esta página Web es que se pue den obtener
las cotizaciones en tiempo real y su mayor desventaja es que no guarda un registro histórico
de las mismas; sin embargo, en el portal Web de la CONASEV, www.conasev.gob.pe se
puede encontrar tal data, acción por acción de empresa por empresa.
Para la recopilación de datos de este trabajo se acudió a las páginas Web antes mencionadas.
A la de la BVL para recopilar el Directorio de Códigos ISIN, desde donde se puede saber cual es
el nemónico de cada acción que se va a analizar; además de la conformación de las diferentes
Carteras de los Índices de Mercado de la BVL. Desde el portal Web de la CONASEV se
recopilaron las diferentes cotizaciones de cierre de cada acción a analizar.
Todas las series que se obtienen se las registra en software sespecializados en Estadística.
Entre ellos resaltan el SPSS y el E -Views, pero para un uso más didáctico se utilizará el Excel y
todas sus funciones, además de la elaboración de gráficos, tanto lineales como de dispersió n.
El siguiente paso es la elaboración propiamente dicha de la cartera.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
29
Luis Enrique Cayatopa Rivera
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
30
Luis Enrique Cayatopa Rivera
ELECCIÓN Y DESCRIPCIÓN INDIVIDUAL DE LOS VALORES MOBILIARIOS
Para la elaboración de la CARTERA DE INVERSIÓN POLARIS se han elegido los siguientes
valores mobiliarios que cotizan en la Bolsa de Valores de Lima , cuyo periodo muestral fue
desde el 03 de Noviembre de 2006 al 28 de Febrero de 2007 :
1. ALICORC1 que es una acción de capital de la empresa ALICORP S.A.A.
2. EDELNOC1 que es una acción de capital de la empresa EDELNOR S.A.A.
3. MOROCOI1 que es una acción de inversión de la COMPAÑÍA MINERA SAN IGNACIO DE
MOROCOHA S.A.
4. ATACOI1 que es una acción de inversión de la COMPAÑÍA MINERA ATACOCHA S.A.A.
5. MINSURI1 que es una acción de inversión de la Compañía Minera MINSUR S.A.
6. CVERDEC1 que es una acción de capital de la SOCIEDAD MINERA CERRO VERDE S.A.A.
7. VOLCABC1 que es una acción de capital de la empresa VOLCÁN COMPAÑÍA MINERA
S.A.A.
8. PEP01000CT06 que el código ISIN de un bono emitido en Nuevos Soles por el
Ministerio de Economía y Finanzas, cuyo nemónico es SB10AGO11. Tiene un valor
nominal de 1000 Nuevos Soles y paga una tasa nominal anual del 16,08%.
Los nemónicos de las acciones se los puede encontrar en el DIRECTORIO DE CÓDIGOS ISIN
ubicado en el portal de la Bolsa de Valores de Lima.
El común denominador de las acciones elegidas es que tienen participación en las diferentes
carteras de los Indicadores de Mercado de la Bolsa de Valores de Lima vigente a partir del 02
de Enero del 2007. Así:
VOLCABC1
Lidera la cartera del Índice General de la Bolsa de Valores de Lima con el 10.8046%
CVERDEC1
Ocupa el tercer lugar en la misma cartera con una participación efectiva del 7.0956%
ATACOI1
Está ranqueada en el cuarto puesto en la mencionada cartera con un 5.2206%
MOROCOI1
Ocupa el quinto lugar en la misma cartera con una participación efectiva del 4.4632%
MINSURI1
Está ubicada en sexto lugar de la cartera mencionada con una proporción del 4.4168%
ALICORC1
Ocupa el quinto lugar en la cartera del Índice de Mercado del Sector Industrial con el 7.8507%
EDELNOC1
Ocupa el quinto puesto en la cartera del Índice de Mercado del Sector Servicios con el 13.8033%
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
31
Luis Enrique Cayatopa Rivera
Debe notarse que de las siete acciones consideradas, cinco de ellas pertenece n al sector
minero que en los últimos, hasta la fecha de análisis, ha aportado en importante volumen al
crecimiento del PBI y sus acciones han alcanzado picos históricos y rentabilidades provechosas
que han aumentado el nivel de utilidades de sus accionis tas.
Para un análisis descriptivo simple se presentan los gráficos de la Evolución de la Cotización
de Cierre de cada acción seleccionada, seguidos de sus mínimos y máximos de cotización y
rentabilidad.
COMPAÑÍA MINERA SAN IGNACIO DE MOROCOHA S.A.
MÍNIMA COTIZACIÓN DE CIERRE:
S/. 0,93 el 02 de Mayo del 2006.
MÁXIMA COTIZACIÓN DE CIERRE:
S/. 8,60 los días 10, 18 y 19 de abril del 2007.
RENTABILIDAD DIARIA MÍNIMA:
-15,0633% 30 DE ABRIL DEL 2007
RENTABILIDAD DIARIA MÁXIMA:
15,1724% el 04 de agosto del 200 6
MOROCOI1
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
02/05/2006
16/05/2006
30/05/2006
13/06/2006
27/06/2006
11/07/2006
25/07/2006
08/08/2006
22/08/2006
05/09/2006
19/09/2006
03/10/2006
17/10/2006
31/10/2006
14/11/2006
28/11/2006
12/12/2006
26/12/2006
09/01/2007
23/01/2007
06/02/2007
20/02/2007
06/03/2007
20/03/2007
03/04/2007
17/04/2007
01/05/2007
15/05/2007
FECHA
COTIZACIÓN CIERRE
CIERRE MOROCOI1
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
32
Luis Enrique Cayatopa Rivera
COMPAÑÍA MINERA ATACOCHA S.A.A.
MÍNIMA COTIZACIÓN DIARIA DE CIERRE:
S/. 5,17 el 19 de mayo del 2006
MÁXIMA COTIZACIÓN DIARIA DE CIERRE:
S/. 22,60 el 11 de abril del 2007
RENTABILIDAD DIARIA MÍNIMA:
-46,9469% el 12 de abril del 2007
RENTABILIDAD DIARIA MÁXIMA:
11,0266% el 15 de diciembre del 2006
COMPAÑÍA MINERA MINSUR S.A.
MÍNIMA COTIZACIÓN DIARIA DE CIERRE:
S/. 4,08 el 13 de junio del 2006
MÁXIMA COTIZACIÓN DIARIA DE CIERRE:
S/. 11,31 el 11 de mayo del 2007
RENTABILIDAD DIARIA MÍNIMA:
-11,2903% el 18 de mayo del 2006
RENTABILIDAD DIARIA MÁXIMA:
9,1928% 05 de mayo del 2006
ATACOI1
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
02/05/2006
16/05/2006
30/05/2006
13/06/2006
27/06/2006
11/07/2006
25/07/2006
08/08/2006
22/08/2006
05/09/2006
19/09/2006
03/10/2006
17/10/2006
31/10/2006
14/11/2006
28/11/2006
12/12/2006
26/12/2006
09/01/2007
23/01/2007
06/02/2007
20/02/2007
06/03/2007
20/03/2007
03/04/2007
17/04/2007
01/05/2007
15/05/2007
FECHA
COTIZACION DE CIERRE
CIERRE ATACOI1
MINSURI1
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
02/05/2006
16/05/2006
30/05/2006
13/06/2006
27/06/2006
11/07/2006
25/07/2006
08/08/2006
22/08/2006
05/09/2006
19/09/2006
03/10/2006
17/10/2006
31/10/2006
14/11/2006
28/11/2006
12/12/2006
26/12/2006
09/01/2007
23/01/2007
06/02/2007
20/02/2007
06/03/2007
20/03/2007
03/04/2007
17/04/2007
01/05/2007
15/05/2007
FECHA
COTIZACION DE CIERRE
CIERRE MINSURI1
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
33
Luis Enrique Cayatopa Rivera
SOCIEDAD MINERA CERRO VERDE S.A.A.
MÍNIMA COTIZACIÓN DIARIA DE CIERRE:
S/. 6,05 el 03 de mayo del 2006
MÁXIMA COTIZACIÓN DIARIA DE CIERRE:
S/. 29,00 el 08 de mayo del 2007
RENTABILIDAD DIARIA MÍNIMA:
-10,00% 16 de agosto del 2006
RENTABILIDAD DIARIA MÁXIMA:
12,5225% el 07 de agosto del 2006
VOLCÁN COMPAÑÍA MINERA S.A.A.
MÍNIMA COTIZACIÓN DIARIA DE CIERRE:
S/. 3,55 el 05 de mayo del 2006
MÁXIMA COTIZACIÓN DIARIA DE CIERRE:
S/. 17,90 el 09 de mayo del 2007
RENTABILIDAD DIARIA MÍNIMA:
-8,7395% el 27 de septiembre del 2006
RENTABILIDAD DIARIA MÁXIMA:
9,8160% el 09 de mayo del 2007
CVERDEC1
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
02/05/2006
16/05/2006
30/05/2006
13/06/2006
27/06/2006
11/07/2006
25/07/2006
08/08/2006
22/08/2006
05/09/2006
19/09/2006
03/10/2006
17/10/2006
31/10/2006
14/11/2006
28/11/2006
12/12/2006
26/12/2006
09/01/2007
23/01/2007
06/02/2007
20/02/2007
06/03/2007
20/03/2007
03/04/2007
17/04/2007
01/05/2007
15/05/2007
FECHA
COTIZACION DE CIERRE
CIERRE CVERDEC1
VOLCABC1
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
18,00
20,00
02/05/2006
16/05/2006
30/05/2006
13/06/2006
27/06/2006
11/07/2006
25/07/2006
08/08/2006
22/08/2006
05/09/2006
19/09/2006
03/10/2006
17/10/2006
31/10/2006
14/11/2006
28/11/2006
12/12/2006
26/12/2006
09/01/2007
23/01/2007
06/02/2007
20/02/2007
06/03/2007
20/03/2007
03/04/2007
17/04/2007
01/05/2007
15/05/2007
FECHA
COTIZACION DE CIERRE
CIERRE VOLCABC1
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
34
Luis Enrique Cayatopa Rivera
EDELNOR S.A.A.
MÍNIMA COTIZACIÓN DIARIA DE CIERRE:
S/. 0,92 los días 03 y 07 de agost o del 2006
MÁXIMA COTIZACIÓN DIARIA DE CIERRE:
S/. 2,95 los días 10, 11 y 14 de mayo del 2007
RENTABILIDAD DIARIA MÍNIMA:
-6,2069% el 24 de noviembre del 2006
RENTABILIDAD DIARIA MÁXIMA:
11,1111% el 26 de abril del 2007
ALICORP S.A.A
MÍNIMA COTIZACIÓN DE CIERRE:
S/. 1,59 los días 16 y 17 de agosto del 2006
MÁXIMA COTIZACIÓN DE CIERRE:
S/. 3,50 los días 17 de abril y 02 de mayo del 2007
RENTABILIDAD DIARIA MÍNIMA:
-8,2474% el día 14 de junio del 2006
RENTABILIDAD DIARIA MÁXIMA:
6,3830% el 29 de diciembre del 2006
EDELNOC1
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
02/05/2006
16/05/2006
30/05/2006
13/06/2006
27/06/2006
11/07/2006
25/07/2006
08/08/2006
22/08/2006
05/09/2006
19/09/2006
03/10/2006
17/10/2006
31/10/2006
14/11/2006
28/11/2006
12/12/2006
26/12/2006
09/01/2007
23/01/2007
06/02/2007
20/02/2007
06/03/2007
20/03/2007
03/04/2007
17/04/2007
01/05/2007
15/05/2007
FECHA
COTIZACIÓN CIERRE
CIERRE EDELNOC1
ALICORC1
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
02/05/2006
16/05/2006
30/05/2006
13/06/2006
27/06/2006
11/07/2006
25/07/2006
08/08/2006
22/08/2006
05/09/2006
19/09/2006
03/10/2006
17/10/2006
31/10/2006
14/11/2006
28/11/2006
12/12/2006
26/12/2006
09/01/2007
23/01/2007
06/02/2007
20/02/2007
06/03/2007
20/03/2007
03/04/2007
17/04/2007
01/05/2007
15/05/2007
FECHA
COTIZACIÓN CIERRE
CIERRE ALICORC1
Haciendo uso del análisis individual de los activos en cuestión en base a formulación
estadística se obtienen los siguientes resultados:
VALOR MOBILIARIO RIESGOSO
MOROCOI1
CEVERDEC1
MINSURI1
VOLCABC1
ATACOI1
EDELNOC1
ALICORC1
Ei
0.2790%
0.4931%
0.4382%
0.5553%
0.3093%
0.4147%
0.2459%
σi
0.032720
0.024232
0.016389
0.023820
0.048692
0.023831
0.024500
σi
2
0.001071
0.000587
0.000269
0.000567
0.002371
0.000568
0.000600
Donde:
,
2
i
 
n
ER
n
t
iit
1
2
, por lo tanto
 
iii R
2
Y la tabla de covarianzas es como sigue:
MOROCOI1
CEVERDEC1
MINSURI1
VOLCABC1
ATACOI1
EDELNOC1
ALICORC1
MOROCOI1
0.001071
0.000352
0.000227
0.000340
0.000280
0.000041
0.000165
CEVERDEC1
0.000352
0.000587
0.000136
0.000222
0.000308
0.000071
0.000001
MINSURI1
0.000227
0.000136
0.000269
0.000135
0.000069
0.000077
0.000069
VOLCABC1
0.000340
0.000222
0.000135
0.000567
0.000240
0.000121
0.000051
ATACOI1
0.000280
0.000308
0.000069
0.000240
0.002371
0.000055
0.000069
EDELNOC1
0.000041
0.000071
0.000077
0.000121
0.000055
0.000568
0.000091
ALICORC1
0.000165
0.000001
0.000069
0.000051
0.000069
0.000091
0.000600
Que se obtiene a partir de:
 
 
 
 
n
RERRER
n
t
jjtiit
ji
1
.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
36
Luis Enrique Cayatopa Rivera
OBTENCIÓN DE LA FRONTERA EFICIENTE
En primer lugar se debe optimizar el riesgo del portafolio de valores mobiliarios riesgosos,
para lo cual procedemos según el modelo analítico descrito en la segunda parte del presente
documento.
Objetivo: Min.
);...;;( 21 K
wwwF
=
 
1
1 j
j,ji
2
K
2
K
2
2
2
2
2
1
2
1σ..2.σ....σ.σ.K
i
K
i
i
wwwww
Restricción:
1...
21 K
www
Min.
L
 
1
1 j
j,ji
2
K
2
K
2
2
2
2
2
1
2
1σ..2.σ....σ.σ.K
i
K
i
i
wwwww
)1.(
1
2
K
i
i
w
Min.L
 
1
1 j
j,ji σ..2.K
i
K
i
i
ww
)1.(
1
2
K
i
i
w
Combinación optima de las proporciones a invertir a t ravés de matrices que minimiza el
riesgo de la cartera
W1
0.00107
0.00035
0.00023
0.00034
0.00028
0.00004
0.00017
1
-1
0
W2
0.00035
0.00059
0.00014
0.00022
0.00031
0.00007
0.00000
1
0
W3
0.00023
0.00014
0.00027
0.00013
0.00007
0.00008
0.00007
1
0
W4
=
0.00034
0.00022
0.00013
0.00057
0.00024
0.00012
0.00005
1
x
0
W5
0.00028
0.00031
0.00007
0.00024
0.00237
0.00006
0.00007
1
0
W6
0.00004
0.00007
0.00008
0.00012
0.00006
0.00057
0.00009
1
0
W7
0.00017
0.00000
0.00007
0.00005
0.00007
0.00009
0.00060
1
0
λ/2
1
1
1
1
1
1
1
0
1
W1
1439.177
-480.719
-513.588
-471.473
-18.029
275.601
-230.968
-0.063
0
W2
-480.719
2300.767
-938.658
-500.815
-221.474
-264.7126
105.612
0.143
0
W3
-513.588
-938.658
3858.921
-751.134
9.034
-835.468
-829.105
0.430
0
W4
=
-471.473
-500.815
-751.134
2400.093
-131.150
-472.487
-73.031
0.103
x
0
W5
-18.029
-221.474
9.034
-131.150
457.857
-20.847
-75.388
0.024
0
W6
275.601
-264.712
-835.468
-472.487
-20.847
1787.211
-469.295
0.157
0
W7
-230.968
105.612
-829.105
-73.031
-75.388
-469.295
1572.177
0.203
0
λ/2
-0.063
0.143
0.430
0.103
0.024
0.157
0.203
-0.000
1
W1Min δ2cartera
-0.063159
W2Min δ2cartera
0.143710
W3Min δ2cartera
0.430080
W4Min δ2cartera
=
0.103515
W5Min δ2cartera
0.024898
W6Min δ2cartera
0.157785
W7Min δ2cartera
0.203170
λMin δ2cartera /2
-0.000163
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
37
Luis Enrique Cayatopa Rivera
Luego se procede a calcular el Rendimiento Esperado de la cartera que minimiza el riesgo a
partir de la fórmula siguiente:
2
.CARTERA
Min
P
E
 
K
Min
K
MinMin
E
E
E
www CARTERACARTERACARTERA
...
.... 2
1
..
2
.
1
222
-0.063159
t
0.002790
0.143710
0.004931
0.430080
0.004382
P
E
Min δ2cartera =
0.103515
x
0.007553
0.024898
0.003093
0.157785
0.004147
0.203170
0.002459
-0.000163
0.002790
P
E
Min δ2cartera =
0.442973%
En tercer lugar se procede a estimar el Riesgo mínimo de la cartera según la fórmula que se
presenta en el modelo analítico de la segunda parte del presente documento:
 
2
2
2
222
.
.
2
.
1
2
2,1,
,2
2
21,2
,12,1
2
1
..
2
.
1
2
...
.
...
............
...
...
.....
CARTERA
CARTERA
CARTERA
CARTERACARTERACARTERA
Min
K
Min
Min
KKK
K
K
Min
K
MinMin
p
w
w
w
wwwMin
p
Min.
2
.p
Min
δ2
Min
-0.063159
t
0.00107
0.00035
0.00023
0.00034
0.00028
0.00004
0.00017
-0.063159
0.143710
0.00035
0.00059
0.00014
0.00022
0.00031
0.00007
0.00000
0.143710
0.430080
0.00023
0.00014
0.00027
0.00013
0.00007
0.00008
0.00007
0.430080
=
0.103515
x
0.00034
0.00022
0.00013
0.00057
0.00024
0.00012
0.00005
x
0.103515
0.024898
0.00028
0.00031
0.00007
0.00024
0.00237
0.00006
0.00007
0.024898
0.157785
0.00004
0.00007
0.00008
0.00012
0.00006
0.00057
0.00009
0.157785
0.203170
0.00017
0.00000
0.00007
0.00005
0.00007
0.00009
0.00060
0.203170
δ Min cartera =
0.01275395
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
38
OBTENCIÓN DE LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
En primer lugar se debe optimizar el riesgo del portafolio de valores mobiliarios riesgosos
combinado con el valor libre de riesgo, para lo cual se procede según el modelo a nalítico
descrito en la segunda parte del presente documento.
Riesgo de la cartera combinada:
 
LPPLPC YYYY 222
2
2..2..1
 
L
2
P
2
P
2
L
2
P
2
CY2YY1 ...
Por ser el Rendimiento del activo libre de riesgo constante, su desvío y su varianza son nulos,
entonces:
2
P
2
P
2
CY.
C
Rendimiento esperado de la cartera combinada:
 
PPLPC EYRY1E ..
0.0%
0.1%
0.2%
0.3%
0.4%
0.5%
0.6%
0.7%
0.8%
0.000 0.003 0.006
Rentabilidad
FRONTERA EFICIENTE
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
38
Luis Enrique Cay
OBTENCIÓN DE LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
En primer lugar se debe optimizar el riesgo del portafolio de valores mobiliarios riesgosos
combinado con el valor libre de riesgo, para lo cual se procede según el modelo a nalítico
descrito en la segunda parte del presente documento.
Riesgo de la cartera combinada:
 
PLPL Y,
..
 
PLPLPL YY ..... ,
Por ser el Rendimiento del activo libre de riesgo constante, su desvío y su varianza son nulos,
entonces:
PPC Y.
P
C
P
Y
Rendimiento esperado de la cartera combinada:
 
P
P
C
L
P
C
CER1E ..
0.006 0.009 0.012 0.015 0.018
Riesgo (DS)
FRONTERA EFICIENTE
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
38
Cayatopa Rivera
OBTENCIÓN DE LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
En primer lugar se debe optimizar el riesgo del portafolio de valores mobiliarios riesgosos
combinado con el valor libre de riesgo, para lo cual se procede según el modelo a nalítico
descrito en la segunda parte del presente documento.
Riesgo de la cartera combinada:
 
 
Por ser el Rendimiento del activo libre de riesgo constante, su desvío y su varianza son nulos,
entonces:
Rendimiento esperado de la cartera combinada:
 
0.018 0.021
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
39
Luis Enrique Cayatopa Rivera
P
P
C
L
P
C
LC ERRE ..
 
.
LPC REE
L
P
CR
LC
P
LP
CR
RE
E
.
………………… Ecuación de la Línea del Mercado de Capitales
Optimización libre
Máx.
P
LP RE
m
   
K
K
i
K
ij
jiji
K
i
ii
K
i
Lii
wwwg
www
REw
,...,,
...2.
.
21
2
1
1
1
,
1
22
1
 
Condición de Primer Orden:
0
1
w
m
0
2
w
m
0
K
w
m
Operando algebraicamente sobre el sistema de ecuaciones obtenido con la condición de
primer orden se generan las siguientes transformaciones:
 
i
P
Lp
iw
RE
Z.
2
 
K
i
i
P
Lp
K
i
iw
RE
Z
12
1
.
 
K
i
i
P
Lp
K
i
iw
RE
Z
1
2
1
.
Siendo:
1
1
K
i
i
w
 
1.
2
1P
Lp
K
i
i
RE
Z
Entonces:
K
i
i
i
i
Z
Z
w
1
Mediante la solución matricial se obtiene la combinación óptima de proporciones a invertir
en la cartera conformada por valores riesgosos y el activo libre de riesgo, que maximiza la
pendiente de la Línea del Mercado de Capitales.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
40
Luis Enrique Cayatopa Rivera
K
2
1
Z
Z
Z
...
=
1
2
K2K1K
K2
2
212
K121
2
1
...
............
...
...
,,
,,
,,
LK
L
L
RE
RE
RE
...
2
1
En donde la tasa libre de riesgo, es de 0.0447% (equivalente diario de una tasa cupón nominal
anual de 16.08% anual).
Z1
0.001071
0.000352
0.000227
0.000340
0.000280
0.000041
0.000165
-1
0.002344
Z2
0.000352
0.000587
0.000136
0.000222
0.000308
0.000071
0.000001
0.004484
Z3
0.000227
0.000136
0.000269
0.000135
0.000069
0.000077
0.000069
0.003936
Z4
=
0.000340
0.000222
0.000135
0.000567
0.000240
0.000121
0.000051
x
0.007106
Z5
0.000280
0.000308
0.000069
0.000240
0.002371
0.000055
0.000069
0.002647
Z6
0.000041
0.000071
0.000077
0.000121
0.000055
0.000568
0.000091
0.003700
Z7
0.000165
0.000001
0.000069
0.000051
0.000069
0.000091
0.000600
0.002012
Z1
1463.7009
-536.5188
-680.5803
-511.6662
-27.6966
214.3366
-309.8554
0.002344
Z2
-536.5188
2427.7331
-558.6893
-409.3613
-199.4781
-125.3122
285.1102
0.004484
Z3
-680.5803
-558.6893
4996.0518
-477.4406
74.8638
-418.2861
-291.9252
0.003936
Z4
=
-511.6662
-409.3613
-477.4406
2465.9689
-115.3063
-372.0768
56.2613
x
0.007106
Z5
-27.6966
-199.4781
74.8638
-115.3063
461.6686
3.3034
-44.2908
0.002647
Z6
214.3366
-125.3122
-418.2861
-372.0768
3.3034
1940.2641
-272.2186
0.003700
Z7
-309.8554
285.1102
-291.9252
56.2613
-44.2908
-272.2186
1825.9418
0.002012
Z1
-5.193519
Z2
4.103677
Z3
10.232097
Z4
=
11.041055
Z5
-0.339144
Z6
2.290121
Z7
2.352312
W1
7
1
1
i
i
ZZ
-0.212096
W2
……
0.167589
W3
……
0.417865
W4
=
7
1
4
i
i
ZZ
=
0.450902
W5
……
-0.013850
W6
……
0.093525
W7
7
1
7
i
i
ZZ
0.096065
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
41
Luis Enrique Cayatopa Rivera
Procedemos luego a calcular la Rentabilidad de la cartera con pendiente máxima, también
mediante resolución matricial.
mMáxEC
 
K
K
E
E
E
www ...
.... 2
1
21
C
E
m Máx.
0.002790
0.004931
0.004382
=
-0.212096
0.167589
0.417865
0.450902
-0.013850
0.093525
0.096065
x
0.007553
0.003093
0.004147
0.002459
C
E
m Máx. =
0.605247%
Riesgo de la cartera con pendiente máxima.
 
*
*
2
*
1
2
2,1,
,2
2
21,2
,12,1
2
1
**
2
*
1
2
...
.
...
............
...
...
....
K
KKK
K
K
KP
w
w
w
www
P
2
P
2
P
0.000228934
P
0.0151306
Conociendo tanto la Tasa Libre de Riesg o, la Rentabilidad y el Riesgo de la cartera con
pendiente máxima es posible calcular la ecuación de la Línea del Mercado de Capitales para
-0.2121
t
0.0011
0.0004
0.0002
0.0003
0.0003
0.0000
0.0002
-0.2121
0.1676
0.0004
0.0006
0.0001
0.0002
0.0003
0.0001
0.0000
0.1676
0.4179
0.0002
0.0001
0.0003
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.4179
2
P
0.4509
X
0.0003
0.0002
0.0001
0.0006
0.0002
0.0001
0.0001
x
0.4509
-0.0139
0.0003
0.0003
0.0001
0.0002
0.0024
0.0001
0.0001
-0.0139
0.0935
0.0000
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0006
0.0001
0.0935
0.0961
0.0002
0.0000
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0.0006
0.0961
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
42
nuestra aplicación de valores mobiliarios que cotizan en la Bolsa de Valores de Lima. La
fórmula es como sigue:
LC
P
LP
CR
RE
E
.
Reemplazando los datos tendríamos:
.
0.0151306
0.0447%0.605247%
C
E
Por lo tanto la ecuación sería:
0.0447%.0.37049583 CC
E
En donde la pendiente 0,37049583 es el llamado Ratio de Sharpe.
Así, a partir de la ecuación y a efectos de la variabilidad del riesgo de la cartera se obtienen
distintos rendimientos esperados que responden a distintas proporciones de inversión en la
cartera formada por valores riesgosos y el activo libre de riesgo.
Estas proporciones se presentan en el cuadro que se muestra a continuación. En él también
figuran en riesgo respectivo de invertir en carteras conformadas por activos riesgosos y
carteras combinadas con el valor libre de riesgo.
-0.002%
0.043%
0.087%
0.132%
0.177%
0.221%
0.266%
0.311%
0.355%
0.400%
0 0.002
Rentabilidad
LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
42
Luis Enrique Cay
nuestra aplicación de valores mobiliarios que cotizan en la Bolsa de Valores de Lima. La
fórmula es como sigue:
Reemplazando los datos tendríamos:
0.0447%.
C
Por lo tanto la ecuación sería:
%
En donde la pendiente 0,37049583 es el llamado Ratio de Sharpe.
Así, a partir de la ecuación y a efectos de la variabilidad del riesgo de la cartera se obtienen
distintos rendimientos esperados que responden a distintas proporciones de inversión en la
cartera formada por valores riesgosos y el activo libre de riesgo.
Estas proporciones se presentan en el cuadro que se muestra a continuación. En él también
figuran en riesgo respectivo de invertir en carteras conformadas por activos riesgosos y
carteras combinadas con el valor libre de riesgo.
0.002 0.004 0.006 0.008
Riesgo (DS)
LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
m = 0,37049583
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
42
Cayatopa Rivera
nuestra aplicación de valores mobiliarios que cotizan en la Bolsa de Valores de Lima. La
fórmula es como sigue:
Reemplazando los datos tendríamos:
Por lo tanto la ecuación sería:
En donde la pendiente 0,37049583 es el llamado Ratio de Sharpe.
Así, a partir de la ecuación y a efectos de la variabilidad del riesgo de la cartera se obtienen
distintos rendimientos esperados que responden a distintas proporciones de inversión en la
cartera formada por valores riesgosos y el activo libre de riesgo.
Estas proporciones se presentan en el cuadro que se muestra a continuación. En él también
figuran en riesgo respectivo de invertir en carteras conformadas por activos riesgosos y
carteras combinadas con el valor libre de riesgo.
0.01
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
43
Luis Enrique Cayatopa Rivera
PROPORCIONES A INVERTIR
RIESGO
FRONTERA
EFICIENTE
4
Yp
(%)
RIESGO
LMC
(1-Yp)
(%)
W1
W2
W3
W4
W5
W6
W7
0
0
0.0447%
100.00
-0.06316
0.14371
0.43008
0.10352
0.02490
0.15778
0.20317
0.01275
0.4430%
118.63
0.01275
0.5172%
-18.63
-0.06912
0.14467
0.42959
0.11741
0.02335
0.15521
0.19889
0.01276
0.4495%
118.60
0.01276
0.5173%
-18.60
-0.07507
0.14562
0.42910
0.13131
0.02180
0.15264
0.19460
0.01277
0.4560%
118.48
0.01277
0.5178%
-18.48
-0.08103
0.14658
0.42861
0.14520
0.02025
0.15007
0.19032
0.01279
0.4624%
118.29
0.01279
0.5186%
-18.29
-0.08699
0.14753
0.42813
0.15910
0.01870
0.14750
0.18603
0.01282
0.4689%
118.02
0.01282
0.5197%
-18.02
-0.09295
0.14849
0.42764
0.17299
0.01715
0.14493
0.18175
0.01286
0.4754%
117.68
0.01286
0.5210%
-17.68
-0.09890
0.14944
0.42715
0.18689
0.01560
0.14236
0.17746
0.01290
0.4819%
117.27
0.01290
0.5227%
-17.27
-0.10486
0.15040
0.42666
0.20078
0.01405
0.13979
0.17318
0.01296
0.4884%
116.78
0.01296
0.5247%
-16.78
-0.11082
0.15135
0.42617
0.21468
0.01250
0.13722
0.16890
0.01302
0.4949%
116.23
0.01302
0.5270%
-16.23
-0.11678
0.15231
0.42568
0.22857
0.01095
0.13465
0.16461
0.01309
0.5014%
115.62
0.01309
0.5295%
-15.62
-0.12273
0.15326
0.42519
0.24247
0.00940
0.13208
0.16033
0.01316
0.5079%
114.95
0.01316
0.5324%
-14.95
-0.12869
0.15422
0.42471
0.25637
0.00785
0.12951
0.15604
0.01325
0.5144%
114.22
0.01325
0.5355%
-14.22
-0.13465
0.15517
0.42422
0.27026
0.00630
0.12694
0.15176
0.01334
0.5209%
113.43
0.01334
0.5389%
-13.43
-0.14061
0.15613
0.42373
0.28416
0.00475
0.12437
0.14748
0.01344
0.5274%
112.59
0.01344
0.5425%
-12.59
-0.14656
0.15708
0.42324
0.29805
0.00320
0.12180
0.14319
0.01354
0.5338%
111.71
0.01354
0.5465%
-11.71
-0.15252
0.15804
0.42275
0.31195
0.00165
0.11923
0.13891
0.01366
0.5403%
110.79
0.01366
0.5507%
-10.79
-0.15848
0.15899
0.42226
0.32584
0.00010
0.11666
0.13462
0.01378
0.5468%
109.82
0.01378
0.5551%
-9.82
-0.16444
0.15995
0.42177
0.33974
-0.00145
0.11409
0.13034
0.01390
0.5533%
108.83
0.01390
0.5598%
-8.83
-0.17039
0.16090
0.42129
0.35363
-0.00300
0.11152
0.12605
0.01404
0.5598%
107.80
0.01404
0.5647%
-7.80
-0.17635
0.16186
0.42080
0.36753
-0.00455
0.10895
0.12177
0.01418
0.5663%
106.74
0.01418
0.5699%
-6.74
-0.18231
0.16281
0.42031
0.38142
-0.00610
0.10638
0.11749
0.01432
0.5728%
105.66
0.01432
0.5752%
-5.66
-0.18827
0.16377
0.41982
0.39532
-0.00765
0.10381
0.11320
0.01447
0.5793%
104.55
0.01447
0.5808%
-4.55
-0.19422
0.16472
0.41933
0.40922
-0.00920
0.10124
0.10892
0.01463
0.5858%
103.43
0.01463
0.5866%
-3.43
-0.20018
0.16568
0.41884
0.42311
-0.01075
0.09867
0.10463
0.01479
0.5923%
102.30
0.01479
0.5926%
-2.30
-0.20614
0.16663
0.41835
0.43701
-0.01230
0.09610
0.10035
0.01496
0.5988%
101.15
0.01496
0.5988%
-1.15
-0.21210
0.16759
0.41787
0.45090
-0.01385
0.09353
0.09607
0.01513
0.6052%
100.00
0.01513
0.6052%
0.00
-0.21805
0.16854
0.41738
0.46480
-0.01540
0.09096
0.09178
0.01531
0.6117%
98.84
0.01531
0.6118%
1.16
-0.22401
0.16950
0.41689
0.47869
-0.01695
0.08838
0.08750
0.01549
0.6182%
97.68
0.01549
0.6186%
2.32
-0.22997
0.17045
0.41640
0.49259
-0.01850
0.08581
0.08321
0.01568
0.6247%
96.51
0.01568
0.6255%
3.49
-0.23593
0.17141
0.41591
0.50648
-0.02005
0.08324
0.07893
0.01587
0.6312%
95.34
0.01587
0.6326%
4.66
-0.24188
0.17236
0.41542
0.52038
-0.02160
0.08067
0.07464
0.01607
0.6377%
94.18
0.01607
0.6399%
5.82
-0.24784
0.17332
0.41493
0.53427
-0.02315
0.07810
0.07036
0.01627
0.6442%
93.02
0.01627
0.6473%
6.98
-0.25380
0.17427
0.41444
0.54817
-0.02470
0.07553
0.06608
0.01647
0.6507%
91.87
0.01647
0.6549%
8.13
-0.25976
0.17523
0.41396
0.56207
-0.02625
0.07296
0.06179
0.01668
0.6572%
90.73
0.01668
0.6626%
9.27
-0.26571
0.17618
0.41347
0.57596
-0.02780
0.07039
0.05751
0.01689
0.6637%
89.59
0.01689
0.6704%
10.41
-0.27167
0.17714
0.41298
0.58986
-0.02935
0.06782
0.05322
0.01710
0.6702%
88.46
0.01710
0.6784%
11.54
-0.27763
0.17810
0.41249
0.60375
-0.03090
0.06525
0.04894
0.01732
0.6766%
87.34
0.01732
0.6865%
12.66
-0.28359
0.17905
0.41200
0.61765
-0.03245
0.06268
0.04465
0.01754
0.6831%
86.24
0.01754
0.6947%
13.76
-0.28954
0.18001
0.41151
0.63154
-0.03400
0.06011
0.04037
0.01777
0.6896%
85.15
0.01777
0.7030%
14.85
-0.29550
0.18096
0.41102
0.64544
-0.03555
0.05754
0.03609
0.01800
0.6961%
84.07
0.01800
0.7115%
15.93
-0.30146
0.18192
0.41054
0.65933
-0.03710
0.05497
0.03180
0.01823
0.7026%
83.00
0.01823
0.7201%
17.00
-0.30742
0.18287
0.41005
0.67323
-0.03865
0.05240
0.02752
0.01846
0.7091%
81.95
0.01846
0.7287%
18.05
-0.31337
0.18383
0.40956
0.68712
-0.04020
0.04983
0.02323
0.01870
0.7156%
80.91
0.01870
0.7375%
19.09
4Los resultados mostrados tanto de rentabilidad esperada como del riesgo de las carteras responden a un orden
diario.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
44
A partir de esta información se genera la gráfica que sigue en donde se puede apreciar la
Frontera Eficiente, constituida por carteras exclusivamente con valores riesgosos, así como
también la Línea del Mercado de Capitales para nuestro caso de aplicación.
El punto de tangencia de la segunda curva con la primera es la Cartera de Mercado POLARIS
que se quería obtener.
A continuación se presentan las rentabilidades esperadas como el nivel de riesgo tanto de los
valores mobiliarios riesgosos como de la Cartera de Mercado POLARIS.
VALOR MOBILIARIO RIESGOSO
MOROCOI1
CEVERDEC1
MINSURI1
VOLCABC1 ATACOI1 EDELNOC1 ALICORC1
E
0.2790%
0.4931%
0.4382%
0.5553% 0.3093% 0.4147% 0.2459% 0.605247%
σ
0.032720
0.024232
0.016389
0.023820 0.048692 0.023831 0.024500 0.0151306
σ2
0.001071
0.000587
0.000269
0.000567 0.002371 0.000568 0.000600 0.000228934
Un análisis individual de los títulos riesgosos muestra que la mayor rentabilidad esperada la
posee la acción VOLCABC1 con un nivel 0,5553% diario, que es menor al 0,605247% de
0.00%
0.04%
0.09%
0.13%
0.18%
0.22%
0.27%
0.31%
0.36%
0.40%
0.45%
0.49%
0.54%
0.58%
0.63%
0.67%
0.71%
0.76%
0.80%
0.000 0.005
RENTABILIDAD DE CARTERA
LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
FRONTERA EFICIENTE
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
44
Luis Enrique Cay
A partir de esta información se genera la gráfica que sigue en donde se puede apreciar la
Frontera Eficiente, constituida por carteras exclusivamente con valores riesgosos, así como
también la Línea del Mercado de Capitales para nuestro caso de aplicación.
El punto de tangencia de la segunda curva con la primera es la Cartera de Mercado POLARIS
que se quería obtener.
A continuación se presentan las rentabilidades esperadas como el nivel de riesgo tanto de los
valores mobiliarios riesgosos como de la Cartera de Mercado POLARIS.
VALOR MOBILIARIO RIESGOSO
MOROCOI1 CEVERDEC1
MINSURI1
VOLCABC1
ATACOI1
EDELNOC1
ALICORC1
0.2790% 0.4931%
0.4382%
0.5553%
0.3093%
0.4147%
0.2459%
0.605247%
σ0.032720 0.024232
0.016389
0.023820
0.048692
0.023831
0.024500
0.0151306
σ20.001071 0.000587
0.000269
0.000567
0.002371
0.000568
0.000600
0.000228934
Un análisis individual de los títulos riesgosos muestra que la mayor rentabilidad esperada la
posee la acción VOLCABC1 con un nivel 0,5553% diario, que es menor al 0,605247% de
0.005 0.010 0.015
RIESGO CARTERA (DS)
LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
FRONTERA EFICIENTE
LMC
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
44
Cayatopa Rivera
A partir de esta información se genera la gráfica que sigue en donde se puede apreciar la
Frontera Eficiente, constituida por carteras exclusivamente con valores riesgosos, así como
también la Línea del Mercado de Capitales para nuestro caso de aplicación.
El punto de tangencia de la segunda curva con la primera es la Cartera de Mercado POLARIS
que se quería obtener.
A continuación se presentan las rentabilidades esperadas como el nivel de riesgo tanto de los
valores mobiliarios riesgosos como de la Cartera de Mercado POLARIS.
VALOR MOBILIARIO RIESGOSO
MOROCOI1 CEVERDEC1 MINSURI1 VOLCABC1 ATACOI1 EDELNOC1
ALICORC1
CARTERA
POLARIS
0.2790% 0.4931% 0.4382% 0.5553% 0.3093% 0.4147%
0.2459%
0.605247%
σ0.032720 0.024232 0.016389 0.023820 0.048692 0.023831
0.024500
0.0151306
σ20.001071 0.000587 0.000269 0.000567 0.002371 0.000568
0.000600
0.000228934
Un análisis individual de los títulos riesgosos muestra que la mayor rentabilidad esperada la
posee la acción VOLCABC1 con un nivel 0,5553% diario, que es menor al 0,605247% de
0.020
LA FRONTERA EFICIENTE Y LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
45
Luis Enrique Cayatopa Rivera
rentabilidad esperada de la Cartera de Mercado POLARIS. Lo mismo sucede con el nivel de
riesgo. La acción CVERDEC1 posee el mínimo riesgo de todos los valores mostrados con una
desviación estándar de 0,024232 mientras tanto la cartera POLARIS posee un nivel de riesgo
mucho menor con una desviación estándar de 0,0154306. A queda demostrado la mejor
posición de la diversificación de valores frente a inversiones individuales de los mismos.
CONCLUSIONES
La Teoría de la Cartera (Portfolio Theory) identifica la cartera óptima de todo inversionista. La
cartera de mercado consta de todos los valores en los que la proporción invertida en cada
valor corresponde a su valor de mercado rela tivo. El valor de mercado relativo de un activo
riesgoso es igual al valor de mercado agregado por el activo dividido por la suma de los
valores de mercado agregados de todos los activos riesgosos.
La cartera de mercado juega un papel importante ya que al ser combinada con la cantidad
deseada de endeudamiento o de préstamos libre de riesgos determinan el conjunto lineal
óptimo, representado por la recta LINEA DEL MERCADO DE CAPITALES .
La diversificación de valores mobiliarios repercute en la rentabilidad es perada de la cartera de
manera positiva porque eleva la probabilidad de una posible ganancia y disminuye el nivel de
riesgo frente a inversiones individuales de activos.
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
46
Luis Enrique Cayatopa Rivera
FUENTES
VAN HORNE, James C.; “Administración Financiera” ; Dec. Edic. Editado por Prentice
Hall
Hispanoamericano,S.A
NICHOLSON, Walter; “Teoría Macroeconómica”; Thomson Editores Spain; 8va Edición;
2004.
MELLI MUNDI , José; “Todo sobre la Bolsa”
Apuntes del Curso de Microeconomía II, dictado para el 5to ciclo (año 2007) de la
Especialidad de Economía de la Universidad Católica Sedes Sapientiae.
http://www.bvl.com.pe
http://www.conasev.gob.pe
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
47
Luis Enrique Cayatopa Rivera
ANEXOS
COTIZACIONES DE CIERRE
RENTABILIDADES DIARIAS
GFICO DE COTIZACIONES
ANEXO A
COTIZACIONES DE CIERRE
FECHA
MOROCOI1
CEVERDEC1
MINSURI1
VOLCABC1
ATACOI1
EDELNOC1
ALICORC1
02/11/2006
4.30
12.50
5.72
5.65
8.40
1.47
2.30
03/11/2006
4.40
12.50
5.72
5.65
8.35
1.45
2.28
06/11/2006
4.58
12.70
5.76
5.75
8.45
1.47
2.28
07/11/2006
4.67
12.84
5.95
5.80
8.75
1.50
2.30
08/11/2006
4.60
12.65
5.83
5.86
8.70
1.50
2.32
09/11/2006
4.60
12.80
5.88
5.94
8.80
1.50
10/11/2006
4.50
12.40
5.88
5.85
8.75
1.50
2.26
13/11/2006
4.59
12.10
5.90
5.81
8.75
1.50
2.26
14/11/2006
4.55
11.96
6.09
6.07
8.85
1.50
15/11/2006
4.55
11.69
6.10
6.10
8.85
1.50
2.60
16/11/2006
4.55
11.70
6.10
6.15
9.00
1.50
17/11/2006
4.45
11.50
6.11
6.03
9.00
1.50
20/11/2006
4.45
12.01
6.04
6.12
8.90
1.51
2.30
21/11/2006
4.50
12.48
6.11
6.26
9.00
1.50
2.30
22/11/2006
4.50
12.40
6.11
6.26
9.11
1.50
2.30
23/11/2006
4.58
12.50
6.09
6.35
9.70
1.48
2.30
24/11/2006
4.60
12.75
6.07
6.47
10.10
1.40
2.30
27/11/2006
4.63
12.80
6.07
6.64
10.10
1.30
2.30
28/11/2006
4.54
12.69
6.07
6.54
10.00
1.30
2.26
29/11/2006
4.54
12.70
6.07
6.54
10.25
1.35
2.28
30/11/2006
4.70
12.75
6.05
6.52
10.45
1.34
2.28
01/12/2006
4.75
12.55
6.00
6.55
11.12
1.34
2.28
04/12/2006
4.82
12.56
5.90
6.84
11.12
1.41
2.25
05/12/2006
4.86
12.60
5.90
6.93
11.20
1.40
2.28
06/12/2006
4.95
12.60
5.85
7.28
11.60
1.40
07/12/2006
5.15
12.65
5.90
7.29
11.80
1.38
2.30
11/12/2006
5.61
12.73
6.10
7.72
12.80
1.42
2.30
12/12/2006
5.60
12.95
6.15
7.90
12.95
1.45
2.30
13/12/2006
5.70
12.85
6.15
7.89
13.01
1.48
14/12/2006
5.98
13.35
6.17
8.08
13.15
1.50
2.40
15/12/2006
6.35
13.60
6.20
8.30
14.60
1.49
2.50
18/12/2006
6.80
14.56
6.40
8.70
14.00
1.52
2.50
19/12/2006
6.30
14.57
6.30
8.40
13.90
1.53
2.37
20/12/2006
6.00
14.00
6.25
8.20
13.49
2.30
21/12/2006
5.95
13.85
6.10
8.09
13.25
2.30
22/12/2006
6.17
13.85
6.15
8.18
2.35
26/12/2006
6.30
14.00
6.20
8.20
13.25
27/12/2006
6.60
14.40
6.45
8.24
12.80
28/12/2006
6.67
14.25
6.71
8.20
12.00
1.51
2.35
29/12/2006
6.62
14.35
6.80
8.08
11.80
2.50
02/01/2007
6.32
14.35
7.00
8.10
11.79
1.51
2.50
03/01/2007
6.21
13.80
6.95
8.00
11.70
1.54
2.50
04/01/2007
6.19
13.40
6.85
7.95
11.55
1.55
2.50
05/01/2007
6.00
12.60
6.75
7.75
11.05
1.58
2.60
08/01/2007
5.69
12.40
6.70
7.40
10.80
2.60
09/01/2007
5.70
12.65
6.65
7.10
11.00
1.60
2.55
10/01/2007
6.04
13.25
6.71
7.30
11.50
1.60
11/01/2007
6.20
13.80
6.75
7.45
12.50
2.60
12/01/2007
6.15
13.78
6.75
7.50
12.51
2.50
15/01/2007
6.00
13.28
6.75
7.60
12.85
1.60
16/01/2007
5.85
13.67
6.79
7.50
12.65
1.61
2.50
17/01/2007
5.85
13.51
6.85
7.27
12.40
1.62
2.55
18/01/2007
5.75
13.70
7.04
7.25
12.60
1.62
2.60
19/01/2007
5.90
13.90
7.16
7.40
12.85
1.62
2.55
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
49
Luis Enrique Cayatopa Rivera
22/01/2007
6.10
14.05
7.35
7.64
13.20
2.55
23/01/2007
5.88
14.08
7.62
7.60
14.00
1.62
2.50
24/01/2007
5.90
13.90
7.80
7.60
14.20
2.50
25/01/2007
5.85
14.05
8.05
7.53
14.05
1.64
2.50
26/01/2007
5.78
14.00
7.90
7.50
14.09
1.68
2.55
29/01/2007
5.90
14.00
7.85
7.40
14.19
1.60
30/01/2007
5.85
14.00
7.84
7.30
14.00
1.60
31/01/2007
5.80
14.04
7.80
7.36
14.00
1.60
2.60
01/02/2007
5.78
14.00
7.79
7.35
14.00
2.60
02/02/2007
5.58
13.85
7.80
7.15
13.90
1.59
2.60
05/02/2007
5.62
13.80
7.78
7.22
14.00
1.60
06/02/2007
5.75
14.00
7.80
7.40
14.01
1.61
07/02/2007
5.71
14.00
7.80
7.40
14.20
2.65
08/02/2007
5.70
14.00
7.85
7.40
14.30
1.65
2.66
09/02/2007
5.90
14.10
7.85
7.50
14.50
1.78
2.70
12/02/2007
6.10
14.00
8.00
7.50
14.50
1.78
2.70
13/02/2007
6.25
14.24
8.25
7.55
15.10
1.78
2.70
14/02/2007
6.30
14.30
8.32
7.57
15.66
1.79
2.70
15/02/2007
6.19
14.85
8.00
7.60
16.70
1.75
2.70
16/02/2007
6.15
14.68
8.20
7.60
16.79
1.72
19/02/2007
6.10
14.65
8.50
7.69
17.00
1.72
2.70
20/02/2007
6.00
14.82
8.66
7.75
17.20
1.70
2.76
21/02/2007
6.25
15.10
8.95
8.09
17.40
1.70
22/02/2007
6.30
16.15
9.10
8.60
17.60
1.70
2.73
23/02/2007
6.50
16.90
9.00
8.72
17.70
1.70
2.75
26/02/2007
6.56
16.95
8.71
8.87
17.80
1.70
27/02/2007
6.60
16.50
8.80
8.90
17.85
1.69
2.80
28/02/2007
6.45
16.20
8.75
8.65
17.60
1.67
2.70
01/03/2007
6.40
16.85
8.70
8.81
17.60
1.60
2.70
02/03/2007
6.40
16.90
8.65
8.73
17.80
1.64
2.75
05/03/2007
6.45
16.60
8.45
8.57
17.60
1.65
2.75
06/03/2007
6.50
16.70
8.50
8.70
17.72
1.71
2.76
07/03/2007
6.55
16.91
8.65
9.10
17.92
1.75
2.82
08/03/2007
6.62
17.30
8.69
9.15
18.15
1.80
2.90
09/03/2007
6.50
17.28
8.60
9.05
18.25
1.76
2.85
12/03/2007
6.49
17.35
8.65
9.10
18.50
1.77
2.95
13/03/2007
6.45
17.37
8.60
9.05
18.75
1.77
2.95
14/03/2007
6.35
17.21
8.65
8.85
18.50
1.80
3.00
15/03/2007
6.40
17.95
8.70
8.89
18.90
1.85
3.15
16/03/2007
6.42
18.15
8.75
8.89
18.65
1.83
3.10
19/03/2007
6.60
18.11
8.90
9.07
18.85
1.84
3.20
20/03/2007
6.70
17.90
8.74
9.14
18.40
1.85
3.20
21/03/2007
6.68
17.72
8.74
9.07
18.16
1.84
3.15
22/03/2007
6.66
18.01
8.74
9.00
18.17
1.85
3.15
23/03/2007
6.63
18.30
8.85
9.00
18.00
1.85
3.13
26/03/2007
6.65
18.30
8.90
9.09
18.18
1.99
3.15
27/03/2007
6.75
18.50
8.95
9.22
18.20
1.96
3.20
28/03/2007
7.15
18.80
9.00
9.30
18.29
1.96
3.20
29/03/2007
7.75
19.40
9.10
9.50
18.50
1.97
3.20
30/03/2007
7.75
19.80
9.05
9.55
18.70
1.99
3.30
02/04/2007
8.30
21.29
9.40
9.60
18.60
1.99
3.30
03/04/2007
8.53
21.85
9.60
10.19
18.91
2.04
3.30
04/04/2007
8.41
21.90
9.74
10.40
19.60
2.10
3.32
09/04/2007
8.35
22.43
9.75
10.40
20.50
2.11
3.32
10/04/2007
8.60
24.00
10.06
10.68
22.20
2.18
3.40
11/04/2007
8.49
23.34
10.00
10.65
22.60
2.18
3.40
12/04/2007
8.45
22.95
10.00
10.50
11.99
2.20
3.42
13/04/2007
8.30
23.95
10.00
10.50
12.10
3.45
16/04/2007
8.35
24.27
10.00
10.69
12.70
2.21
3.45
17/04/2007
8.50
24.85
10.50
11.60
12.85
2.40
3.50
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
50
Luis Enrique Cayatopa Rivera
18/04/2007
8.60
25.00
10.60
12.23
12.79
2.40
3.43
19/04/2007
8.60
24.40
10.45
13.00
12.40
2.35
3.40
20/04/2007
8.55
25.00
10.50
12.90
12.30
2.35
3.40
23/04/2007
8.30
26.00
10.70
13.14
12.21
2.35
3.38
24/04/2007
8.10
27.30
10.85
13.14
11.88
2.36
3.38
25/04/2007
8.00
27.15
10.64
13.24
11.60
2.34
3.30
26/04/2007
7.80
26.85
10.75
13.62
11.45
2.60
27/04/2007
7.90
26.70
10.75
13.80
10.90
2.50
3.40
30/04/2007
6.71
26.75
10.53
13.82
11.30
2.60
3.40
02/05/2007
7.00
26.00
11.00
14.25
10.70
2.60
3.50
03/05/2007
7.29
26.49
11.09
14.50
10.92
2.60
3.45
04/05/2007
7.55
27.10
11.00
14.90
11.50
2.60
3.45
07/05/2007
7.72
28.40
11.25
15.32
12.00
2.64
3.45
08/05/2007
7.50
29.00
11.07
16.30
11.85
2.70
3.45
09/05/2007
7.45
28.50
11.20
17.90
11.78
2.70
3.45
10/05/2007
7.35
28.70
11.20
17.78
12.15
2.75
3.45
11/05/2007
7.40
28.60
11.31
17.25
12.70
2.75
3.40
14/05/2007
6.80
27.90
11.15
16.41
12.05
2.75
3.40
15/05/2007
6.59
27.50
11.05
16.70
11.86
2.75
3.35
16/05/2007
5.90
26.75
10.80
16.50
11.50
2.60
3.20
17/05/2007
5.96
26.10
10.82
16.40
11.10
2.55
3.20
18/05/2007
6.39
26.95
11.05
16.95
11.15
2.55
3.20
21/05/2007
6.50
27.30
10.95
17.00
11.00
2.57
3.18
22/05/2007
6.00
26.25
10.71
16.59
10.55
2.60
3.15
23/05/2007
6.30
26.90
10.80
16.40
10.65
2.60
3.10
24/05/2007
6.10
25.70
10.50
16.00
10.60
2.50
3.10
25/05/2007
6.10
25.50
10.50
15.96
10.45
2.45
3.05
28/05/2007
5.90
24.01
10.40
15.70
10.40
2.40
3.00
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
51
Luis Enrique Cayatopa Rivera
ANEXO B
RENTABILIDADES DIARIAS RESPECTO DE LAS COTIZACIONES DE CIERRE
FECHA
MOROCOI1
CEVERDEC1
MINSURI1
VOLCABC1
ATACOI1
EDELNOC1
ALICORC1
03/11/2006
0.023256
0.000000
0.000000
0.000000
-0.005952
-0.013605
-0.008696
06/11/2006
0.040909
0.016000
0.006993
0.017699
0.011976
0.013793
0.000000
07/11/2006
0.019651
0.011024
0.032986
0.008696
0.035503
0.020408
0.008772
08/11/2006
-0.014989
-0.014798
-0.020168
0.010345
-0.005714
0.000000
0.008696
09/11/2006
0.000000
0.011858
0.008576
0.013652
0.011494
0.000000
10/11/2006
-0.021739
-0.031250
0.000000
-0.015152
-0.005682
0.000000
-0.025862
13/11/2006
0.020000
-0.024194
0.003401
-0.006838
0.000000
0.000000
0.000000
14/11/2006
-0.008715
-0.011570
0.032203
0.044750
0.011429
0.000000
15/11/2006
0.000000
-0.022575
0.001642
0.004942
0.000000
0.000000
0.150442
16/11/2006
0.000000
0.000855
0.000000
0.008197
0.016949
0.000000
17/11/2006
-0.021978
-0.017094
0.001639
-0.019512
0.000000
0.000000
20/11/2006
0.000000
0.044348
-0.011457
0.014925
-0.011111
0.006667
-0.115385
21/11/2006
0.011236
0.039134
0.011589
0.022876
0.011236
-0.006623
0.000000
22/11/2006
0.000000
-0.006410
0.000000
0.000000
0.012222
0.000000
0.000000
23/11/2006
0.017778
0.008065
-0.003273
0.014377
0.064764
-0.013333
0.000000
24/11/2006
0.004367
0.020000
-0.003284
0.018898
0.041237
-0.054054
0.000000
27/11/2006
0.006522
0.003922
0.000000
0.026275
0.000000
-0.071429
0.000000
28/11/2006
-0.019438
-0.008594
0.000000
-0.015060
-0.009901
0.000000
-0.017391
29/11/2006
0.000000
0.000788
0.000000
0.000000
0.025000
0.038462
0.008850
30/11/2006
0.035242
0.003937
-0.003295
-0.003058
0.019512
-0.007407
0.000000
01/12/2006
0.010638
-0.015686
-0.008264
0.004601
0.064115
0.000000
0.000000
04/12/2006
0.014737
0.000797
-0.016667
0.044275
0.000000
0.052239
-0.013158
05/12/2006
0.008299
0.003185
0.000000
0.013158
0.007194
-0.007092
0.013333
06/12/2006
0.018519
0.000000
-0.008475
0.050505
0.035714
0.000000
07/12/2006
0.040404
0.003968
0.008547
0.001374
0.017241
-0.014286
0.008772
11/12/2006
0.089320
0.006324
0.033898
0.058985
0.084746
0.028986
0.000000
12/12/2006
-0.001783
0.017282
0.008197
0.023316
0.011719
0.021127
0.000000
13/12/2006
0.017857
-0.007722
0.000000
-0.001266
0.004633
0.020690
14/12/2006
0.049123
0.038911
0.003252
0.024081
0.010761
0.013514
0.043478
15/12/2006
0.061873
0.018727
0.004862
0.027228
0.110266
-0.006667
0.041667
18/12/2006
0.070866
0.070588
0.032258
0.048193
-0.041096
0.020134
0.000000
19/12/2006
-0.073529
0.000687
-0.015625
-0.034483
-0.007143
0.006579
-0.052000
20/12/2006
-0.047619
-0.039121
-0.007937
-0.023810
-0.029496
-0.029536
21/12/2006
-0.008333
-0.010714
-0.024000
-0.013415
-0.017791
0.000000
22/12/2006
0.036975
0.000000
0.008197
0.011125
0.021739
26/12/2006
0.021070
0.010830
0.008130
0.002445
0.000000
27/12/2006
0.047619
0.028571
0.040323
0.004878
-0.033962
28/12/2006
0.010606
-0.010417
0.040310
-0.004854
-0.062500
-0.013072
0.000000
29/12/2006
-0.007496
0.007018
0.013413
-0.014634
-0.016667
0.063830
02/01/2007
-0.045317
0.000000
0.029412
0.002475
-0.000847
0.000000
0.000000
03/01/2007
-0.017405
-0.038328
-0.007143
-0.012346
-0.007634
0.019868
0.000000
04/01/2007
-0.003221
-0.028986
-0.014388
-0.006250
-0.012821
0.006494
0.000000
05/01/2007
-0.030695
-0.059701
-0.014599
-0.025157
-0.043290
0.019355
0.040000
08/01/2007
-0.051667
-0.015873
-0.007407
-0.045161
-0.022624
0.000000
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
52
Luis Enrique Cayatopa Rivera
09/01/2007
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DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
53
Luis Enrique Cayatopa Rivera
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0.011673
-0.009434
23/05/2007
0.050000
0.024762
0.008403
-0.011453
0.009479
0.000000
-0.015873
24/05/2007
-0.031746
-0.044610
-0.027778
-0.024390
-0.004695
-0.038462
0.000000
25/05/2007
0.000000
-0.007782
0.000000
-0.002500
-0.014151
-0.020000
-0.016129
28/05/2007
-0.032787
-0.058431
-0.009524
-0.016291
-0.004785
-0.020408
-0.016393
EVOLUCIÓN DE LAS COTIZACIONES DE CIERRE
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
20.00
22.00
24.00
26.00
28.00
30.00
32.00
02/05/2006
16/05/2006
30/05/2006
13/06/2006
27/06/2006
11/07/2006
25/07/2006
08/08/2006
22/08/2006
05/09/2006
19/09/2006
03/10/2006
17/10/2006
31/10/2006
14/11/2006
28/11/2006
12/12/2006
26/12/2006
09/01/2007
23/01/2007
06/02/2007
20/02/2007
06/03/2007
20/03/2007
03/04/2007
17/04/2007
01/05/2007
15/05/2007
FECHA
COTIZACN DE CIERRE
CIERRE MOROCOI1 CIERRE ATACOI1 CIERRE MINSURI1 CIERRE CVERDEC1 CIERRE VOLCABC1
CIERRE EDELNOC1 CIERRE ALICORC1
ANEXO C
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
1
Luis Enrique Cayatopa Rivera
DESARROLLO SOBRE LA
TEORÍA DE LA CARTERA
. LA FRONTERA EFICIENTE.
. LA LÍNEA DEL MERCADO DE CAPITALES.
. ELABORACIÓN DE LA CARTERA POLARIS
“Los inversionistas potenciales son consumidores que andan de compras. Se ven
influenciados por la publicidad, por la imagen de la compañ ía y, principalmente por el
precio. Los inversionistas no suelen llenar sus bolsas de compras con una sola
oportunidad de inversión y procuran hacer buenas compras cuando seleccionan un
portafolio de valores
LUIS ENRIQUE CAYATOPA RIVERA
POLARIS
01/01/2008
2008
DESARROLLO SOBRE LA TEORÍA DE LA CARTERA
2
Luis Enrique Cayatopa Rivera
El que verdaderamente gana no es el que obtiene
el mayor rendimiento en un determinado período sino el que permanece en
el tiempo con una adecuada rentabilidad -riesgo.

Para complementar lo expuesto en este documento sobre teoría de la cartera te sugerimos el siguiente par de video-lecciones, que hacen parte del máster en bolsa y mercado de capitales de la Escuela de Negocios y Dirección ENyd, en ellas se abordan los temas de riesgo y rentabilidad, diversificación y se enseña el procedimiento de gestión de carteras. (1 hora y 55 minutos)

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Escrito por:

Especialidad de ECONOMÍA en la Universidad Católica Sedes Sapientiae, en la región Lima. Investigaciones personales sobre el movimiento del mercado de valores de Perú y los principales países de la región, profundizando en el aprendizaje de softwares econométricos para el planteamiento de modelos económicos. participado en eventos sobre Política Económica realizada por el BCRP y sobre Mercado de Valores realizada por la CONASEV (Comisión Nacional Supervisora de Empresas y Valores). Escritor de poesía, y me deleito leyendo a los autores vanguardistas. Apasionado por la Astronomía

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Cayatopa Rivera Luis Enrique. (2008, septiembre 16). Teoría de la cartera. Frontera eficiente y mercado de capitales. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/teoria-de-la-cartera-frontera-eficiente-y-mercado-de-capitales/
Cayatopa Rivera, Luis Enrique. "Teoría de la cartera. Frontera eficiente y mercado de capitales". GestioPolis. 16 septiembre 2008. Web. <http://www.gestiopolis.com/teoria-de-la-cartera-frontera-eficiente-y-mercado-de-capitales/>.
Cayatopa Rivera, Luis Enrique. "Teoría de la cartera. Frontera eficiente y mercado de capitales". GestioPolis. septiembre 16, 2008. Consultado el 26 de Mayo de 2015. http://www.gestiopolis.com/teoria-de-la-cartera-frontera-eficiente-y-mercado-de-capitales/.
Cayatopa Rivera, Luis Enrique. Teoría de la cartera. Frontera eficiente y mercado de capitales [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/teoria-de-la-cartera-frontera-eficiente-y-mercado-de-capitales/> [Citado el 26 de Mayo de 2015].
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