Minimización del Valor en Riesgo VaR como estrategia de inversión

Análisis del riesgo de portafolios: estrategia de
inversión por medio de la minimización del VaR
RESUMEN EJECUTIVO
La presente memoria tiene por objetivo principal, implementar un algoritmo y desarrollar
un software, que sirva de complemento a las metodologías usadas hoy en día para la toma
de decisiones de inversión, basándose en la minimización del Value at Risk (VaR) por
medio de programación lineal, lo cual es factible al usar el Conditional Value at Risk
(CVaR) como unidad de medida de riesgo a optimizar.
Para el desarrollo de esto, se propuso como objetivos específicos, la obtención y manejo
de información financiera relevante para la toma de decisiones, lo que incluye análisis de
retornos, riesgos y correlaciones de las acciones seleccionadas, como también el estudio
de un criterio e implementación de un criterio de modelamiento de precios accionarios.
Con respecto a los pronóstico de precios, se utilizaron técnicas como el proceso de
Wiener, más conocido como movimiento browniano, simulaciones de Monte Carlo y
procedimientos matriciales como la factorización de Cholesky para obtener retornos
correlacionados de la misma manera en que se han correlacionado en el pasado,
generando resultados más acordes a la realidad, dentro de las restricciones y dificultades
que existen con respecto a la modelación de fluctuaciones bursátiles.
Finalmente, en este trabajo se implementó un algoritmo de optimización desarrollado por
Uryasev y Rockafellar [9, 19, 22] cuya metodología, aún no se masifica su uso en el
mercado nacional. Este algoritmo entrega como resultado un portafolio óptimo de
inversión en base a la minimización del VaR, el cual cuantifica cual es la máxima pérdida
esperada para un portafolio con un cierto nivel de confianza y un horizonte de tiempo
preestablecido.
INDICE
RESUMEN EJECUTIVO....................................................................................................1
CAPITULO I INTRODUCCION........................................................................................3
1.1 Aspectos Generales del Riesgo en Portafolios...........................................................3
1.2 Value at Risk (VaR)....................................................................................................6
1.3 Metodologías de Estimación del VaR........................................................................9
1.4 Conditional Value at Risk (CVaR)...........................................................................11
1.5 Análisis de los Datos Históricos de un Portafolio de Inversión...............................13
1.6 Situación Actual de AGF Cruz del Sur....................................................................17
CAPITULO II MARCO TEÓRICO..................................................................................19
2.1 Value at Risk, marco teórico....................................................................................19
2.2 Conditional Value at Risk, marco teórico................................................................21
2.3 Análisis de Retornos................................................................................................24
2.4 Selección de las acciones que forman el portafolio de la memoria.........................28
CAPITULO III GENERACIÓN DE LOS ESCENARIOS MEDIANTE EL PROCESO
DE WIENER Y LA TÉCNICA DE SIMULACIÓN DE MONTECARLO......................37
3.1 Introducción a una Metodología Estocástica...........................................................37
3.2 Proceso de Markov..................................................................................................38
3.3 Proceso de Wiener....................................................................................................39
3.4 Proceso de Wiener Generalizado.............................................................................41
3.5 Pronóstico de Precios Accionarios...........................................................................42
3.6 Generalización de Pronóstico de Precios.................................................................44
3.7 Modelo Predictivo....................................................................................................45
3.7.1 Simulaciones de Monte Carlo...............................................................................46
3.7.2 Correlación de los retornos...................................................................................46
3.7.3 Generación de los escenarios................................................................................49
3.7.4 Implementación del modelo predictivo................................................................50
CAPITULO IV ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN PARA EL CÁLCULO DEL VaR 54
4.1 Descripción informal del algoritmo.........................................................................54
4.1.1 Algoritmo..............................................................................................................56
4.2 Resultados del Algoritmo de Optimización.............................................................60
4.3 Validación del Algoritmo de Optimización..............................................................65
CAPITULO V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES........................................67
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................69
ANEXOS:......................................................................................................................70
CAPITULO I INTRODUCCION
1.1 Aspectos Generales del Riesgo en Portafolios
Durante los últimos años, las instituciones financieras han realizado numerosas
investigaciones en el área de administración de riesgos, con el objeto de obtener medidas
que gestionen eficientemente los riesgos a las que se ven sometidas.
Los riesgos financieros que afectan a las entidades son los mismos que han afectado en
años anteriores, sin embargo, han sido las técnicas de medición de estos riesgos las que
han ido evolucionando con el paso de tiempo, situándonos en la actualidad en el
concepto del VaR (Valor del Riesgo o Value at Risk), el cual estima el riesgo de los
portafolios de inversión con bases probabilísticas.
Se entiende por riesgo a la existencia de alguna probabilidad de caer en pérdidas, donde
las pérdidas serían la obtención de una rentabilidad menor a la que se esperaba. De esta
manera el riesgo financiero se ve reflejado en la pérdida de valor económico de los
activos esperados, producto de la variabilidad que experimentan los retornos, así el valor
económico de una cartera de inversión se ve influenciado por distintos factores de riesgo
como son: tasas de interés, tipos de cambio, precios de acciones, entre otros.
De esta manera, resulta imprescindible la identificación, medición y la gestión de los
riesgos financieros que se enfrenta. A continuación se muestra algunos de los riesgos
financieros más comunes:
a) Riesgo de tipo de interés. Este a su vez esta compuesto por diferentes riesgos
(para más detalle se recomienda ver [1]).
a.1) Riesgo de Mercado: Es aquel que origina pérdidas de capital en el valor de mercado
de los activos producto de variaciones en la tasa de interés. La mayor o menor variación
en los precios de los activos ante variaciones de tasas depende de las características
propias de los activos.
a.2) Riesgo de Reinversión: Éste se produce cuando la reinversión del propio activo o de
sus flujos de caja debe realizarse a unas tipos inferiores a los previstos.
a.3) Riesgo de Volatilidad: Se refiere a aquellos activos que llevan incorporadas
determinadas opciones y cuyo precio depende, además del nivel de los tipos de interés, de
factores que puedan influir en el valor de las opciones incorporadas, como puede ser la
volatilidad en los tipos de interés. El riesgo de volatilidad o “volatility risk” es el
derivado de que un cambio en la volatilidad afecte negativamente al precio del bono.
b) Riesgo de Crédito o también conocido como Riesgo de Insolvencia, se genera
ante la incapacidad de cumplimiento de las obligaciones por parte del emisor de ésta.
Dentro de este tipo encontramos el riesgo soberano el cual hace referencia a la cesación
de pago de las obligaciones de un país.
c) Riesgo de Iliquidez: Señala la incapacidad de poseer flujo de caja necesario para
hacer frente a las obligaciones de corto plazo, o dicho de otra manera, la falta de capital
de trabajo suficiente. Además se entiende como la incapacidad de vender un activo a su
precio original.
d) Riesgo Legal: Hace referencia a todos los aspectos normativos que puedan influir
directa o indirectamente en los resultados de una compañía. Dentro de estos encontramos
el riesgo impositivo el cual se generaría ente la posibilidad de que desaparezcan
determinadas ventajas fiscales producto de estos riesgos legales.
En un inicio, los modelos de riesgo se orientaron a medir el riesgo de los portafolios de
inversiones de las instituciones financieras. Dichas instituciones, motivadas por el
incentivo de reducir los requerimientos de capitalización que les impusieron las
autoridades regulatorias, han sido las principales promotoras del marco metodológico de
la administración de riesgo.
La capacidad de contar con un sistema que evalúe el riesgo de mercado de la cartera de
inversión, ha sido una necesidad constante para los inversionistas institucionales. Es por
esto que han florecido a través del tiempo herramientas para evaluar y administrar la
volatilidad que enfrentan los portafolios de inversión.
De esta forma en los 70’s se empleaba el análisis Gap para medir la exposición al riesgo
de tasa de interés, determinado por la diferencia entre activos y pasivos para distintos
tramos de madurez.1
En los años 80’s se comenzó a emplear la duración (renta fija) como herramienta para
medir la exposición al riesgo de tasa de interés. La cual mide la sensibilidad o elasticidad
precio de un instrumento producto de un cambio en la tasa de interés, es decir, cuánto se
podría perder si las tasas suben un tanto por ciento. Esta medida es un poco mejor a la
anterior ya que toma en cuenta la madurez y cupón específicos de cada activo. Por otra
parte, los Betas (renta variable) miden la sensibilidad de un instrumento financiero ante
variaciones del mercado en su conjunto, representado por un índice.2
1 Más información en:
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/archivodocs/definanzas/sensitasainteres.htm
2 Más información en: http://dspace.uniandes.edu.co:5050/dspace/bitstream/1992/607/1/mi_688.pdf
1.2 Value at Risk (VaR)
En un marco innovador, el banco estadounidense J.P. Morgan en la década de los 90’s
difunde una metodología compuesta por modelos de Value at Risk o “Valor del Riesgo”
(VaR) los cuales estiman el riesgo de los portafolios de inversión con bases
probabilísticas.
Esta metodología “RiskMetrics”1 fue divulgada en el año 1995, lo cual generó una
revolución en la administración de riesgos, dando paso al conocido Value at Risk (VaR) y
en los últimos años, el Conditional Value at Risk o Valor del Riesgo
Condicional”(CVaR).
Desde que el Comité de Basilea anunció en 1995 que el establecimiento de las reservas
de capital de las instituciones financieras tienen que basarse en las metodologías de VaR.
En la actualidad han surgido diversos estudios y análisis de la amplia variedad de
metodologías que cabe aplicar en las instituciones financieras, [2].
En términos simples, VaR es la necesidad de cuantificar con un determinado nivel de
confianza el monto o porcentaje de pérdida que un portafolio enfrentará en un período
determinado de tiempo. En otras palabras, es la medición de la máxima pérdida esperada
dado un horizonte de tiempo bajo condiciones normales de mercado y con un nivel de
riesgo dado. Y más específicamente el VaR representa un quantil de la distribución de
pérdidas y ganancias, el que comúnmente se selecciona como el 95% o 99% de la
distribución.
La filosofía del VaR es medir la relación entre rentabilidad y riesgo para formar la cartera
eficiente, introducidos por Markowitz y Sharpe, [4].
1 Más información en www. riskmetrics .com/
Según Garman y Blanco [5], el VaR de un portafolio es la mínima pérdida esperada para
un horizonte de tiempo y un nivel de confianza determinado, medido en una moneda de
referencia específica.
En general, el supuesto más utilizado es el de normalidad, lo cual permite representar
todas las observaciones mediante la conocida campana de Gauss y aplicar sus
propiedades estadísticas.
Por lo tanto si queremos determinar el VaR de un portafolio, para un horizonte de tiempo
de un día y exigiendo un nivel de significación del 5%, esto significa que solamente el
5% de las veces, o 1 de 20 veces (es decir una vez al mes con datos diarios, o cada 5
meses con datos semanales) el retorno del portafolio caerá más de lo que señala el VaR.
Se Debe multiplicar 1.645 veces (usando una confianza de un 95%) por la desviación
estándar respecto al retorno de la cartera.
T
tECovtEVaR )()(645.1
=
(Ec. 1.1)
Donde:
o
:)(tE
Vector de ponderadores no negativos que suman uno.
o
:Cov
Matriz de varianzas y covarianzas para los retornos de los n activos.
o
:)(
T
tE
Vector de ponderadores no negativos que suman uno transpuesto.
Figura 1.1 Representación gráfica del Value at Risk
Fuente: [3]
Dado lo anterior, utilizando la metodología del VaR, el Banco J.P Morgan, comenzó a
calcular todos los días, la máxima pérdida probable en que incurrirían en las próximas 24
horas, [7].
Producto de la popularidad del VaR, en Chile la Superintendencia de Valores y Seguros
(SVS), dejó este indicador como medida de riesgo para regulación bancaria, por lo que
fue incorporada por las Compañías de Seguros y las Administradoras de Fondos de
Inversión (AFPs) como parte de la normativa institucional3.
Por ejemplo, si el VaR de un portafolio está calculado en $ 3.518.033,25 pesos en un día,
con un intervalo de confianza del 95%, no quiere decir que obligatoriamente se pierdan
los $ 3.518.033,25 pesos, sino que, en el caso de haber pérdidas, lo máximo que se puede
perder de hoy a mañana y con una probabilidad de 0.95, es $ 3.518.033,25 pesos. De esta
forma se puede ajustar el capital necesario.
3 Norma de carácter general Nº 148, emitida por la Superintendencia de Valores y Seguros (SVS), sobre
sistema de evaluación del riesgo de mercado de la cartera de inversiones de las entidades aseguradoras y
reaseguradoras, (VaR)
1.3 Metodologías de Estimación del VaR.
Básicamente el VaR se puede calcular mediante dos metodologías:
a) Metodología paramétrica. La cual estima el VaR a través de la utilización de
parámetros tales como la volatilidad, la correlación, etc, de los vértices de riesgo,
asumiendo que los retornos se distribuyen en forma normal, [8].
b) Metodología no paramétrica o de simulación, que se subdivide en:
b.1) Simulación histórica. En función de los rendimientos históricos de los precios de los
activos.
En términos generales este método intenta cuantificar las rentabilidades hipotéticas que
se hubiesen obtenido en el pasado al haber mantenido el portafolio de inversión actual. Es
decir, consiste en aplicar el vector de ponderaciones de inversión actual a una serie
representativa de retornos históricos, de manera de generar una secuencia de valores
históricos del portafolio que puedan ser representados por un histograma, y así poder
definir una cierta distribución de probabilidades.
Dentro de las ventajas de este método es que no hace ningún supuesto acerca de las
correlaciones de los instrumentos. Tampoco asume explícitamente la forma de la
distribución de probabilidades de los precios de los instrumentos. Por otro lado, al
basarse en información histórica para estimar las pérdidas futuras puede incorporar “colas
anchas”, “asimetrías”, si es que la muestra histórica tuviese tales características (para
mayor detalle, consultar: [8].
Entre las desventajas encontramos la necesidad de disponer de una gran cantidad de
información histórica en las series de los instrumentos, por que de lo contrario podríamos
obtener cálculos poco fiables.
b.2) Simulación de MonteCarlo. En función de la simulación de rendimientos mediante
números aleatorios, [3].
Esta técnica consiste en la generación de escenarios futuros en base a la función de
distribución de las variables. Por lo tanto, nos permite simular todos los escenarios
posibles de los valores que tomen los retornos de los distintos vértices de riesgo, en base
a su función de distribución. Para esto es necesario asumir que los escenarios seguirán
alguna distribución particular, ya sea normal, t-student, entre otros, y de esta manera
poder generar los retornos mediante algún algoritmo generador de variables o algún
proceso estocástico.
Por ejemplo podemos asumir que las series se distribuyen siguiendo un proceso
estocástico de Wiener. (Ver en el índice 2.5 se da más detalle del proceso)
(Ec. 1.2)
Donde:
o
dR
: corresponde al retorno de la acción (P es el pecio de la acción) en el intervalo de
tiempo
dt
.
o
dt
µ
: Es el valor esperado de los retornos.
o
dt
σε
: Es la componente estocástica de los retornos y representa la desviación
estándar.
o
ε
: Es una variable aleatoria con distribución Normal (0,1).
Dentro de las ventajas de este método es lejos el método más poderoso para calcular el
VaR. Puede contar para un amplio rango de exposiciones a riesgo, incluyendo riesgo de
precio no lineal, riesgo de volatilidad, e incluso el riesgo modelo (model risk). Es
suficientemente flexible para incorporar variación de tiempo en volatilidad, o colas
gordas y escenarios extremos. Estas simulaciones pueden ser usadas para examinar, por
ejemplo la pérdida esperada detrás de una VaR particular.
Como inconveniente encontramos la necesidad de contar con un gran soporte
computacional. Por ejemplo si 1000 trayectorias de muestras son generadas por un
portafolio de 1000 activos, el número total de valuaciones va a ser 1.000.000, [3].
Dado lo anterior, tiene la dificultad de valoración en tiempo real y la necesidad de
preestablecer modelos de comportamiento de los precios de los activos. Además, aunque
este método debiese ser más exacto al tratar de generar la distribución entera de
probabilidades de los valores que toma la cartera, sigue basándose en los retornos
históricos para determinar la volatilidad y las correlaciones.
1.4 Conditional Value at Risk (CVaR)
El VaR, como medida de riesgo, es inestable y difícil de trabajar numéricamente cuando
las pérdidas no están “normalmente distribuidas”, lo cual en la práctica es el caso más
frecuente, ya que las distribuciones tienden a presentar “colas anchas” [9]. Por lo que ha
mostrado ser coherente sólo cuando está basado en la desviación estándar de
distribuciones normales de los retornos de los activos, ya que bajo una distribución
normal el VaR es proporcional a la desviación estándar de los retornos de los
instrumentos.
Por otro lado, el VaR posee características matemáticas indeseables tales como falta de
subaditividad y convexidad, para más detalle ver [10].
De esta manera, cuando los retornos no se distribuyan normales, la falta de subaditividad
produce que el VaR asociado a un portafolio que combina dos instrumentos sea mayor
que la suma de los riesgos VaR de los portafolios individuales.
La función VaR, la cual denotaremos por
( )x
α
ζ
, se define como el percentil de la función
de distribución de pérdidas mediante la fórmula:
{
}
αζψζζ
α
=
),(min)( xx
(Ec. 1.3)
Donde
( , )xΨ ×
es la función de distribución resultante de la función de pérdida y x es la
posición o pesos en el portafolio de inversión.
Para entender el concepto de subaditividad, veamos el caso siguiente: Sea
)(
1
x
α
ζ
la
medida de VaR asociado con el portafolio
1
x
, entonces diremos que
α
ζ
es subaditiva si
dados los portafolios
1
x
y
2
x
, se tiene que:
)()()(
2121
xxxx
ααα
ζζζ
++
21
,xx
(Ec. 1.4)
Es decir, la combinación de dos portafolios debería tener asociado un riesgo menor
producto de la diversificación “no poner todos los huevos en la misma canasta”.
Sin embargo, esto no se satisface por el VaR y producto de su mal comportamiento como
medida de riesgo, nos conduciría a subdividir las inversiones o portafolio para reducir el
riesgo. Contradiciendo rotundamente la teoría de la diversificación, [8].
Por otro lado, al no cumplir la convexidad, la minimización del VaR no nos asegura
haber obtenido el portafolio óptimo que minimice la función objetivo (pérdidas), ya que
podría tener extremos locales múltiples.
Finalmente, una deficiencia muy importante del VaR es que éste no proporciona una
indicación sobre la magnitud de las pérdidas que podrían experimentarse más allá del
monto indicado por su medida, ya que simplemente proporciona un límite menor para las
pérdidas en la cola de la distribución de retornos, [10].
En este contexto ha surgido una medida alternativa que cuantifica las pérdidas que
podrían ser halladas en la cola de la distribución de pérdidas, llamada Conditional Value
at Risk (CVaR), el cual puede ser empleado como una herramienta dentro de modelos de
optimización de portafolios de inversión, la cual tiene propiedades superiores al VaR en
muchos aspectos.
El CVaR mantiene la consistencia con VaR en el limitado escenario donde el cálculo de
éste último es tratable (cuando las pérdidas se distribuyen normalmente), donde trabajar
con CVaR, VaR o mínima varianza de Markowitz producen los mismos resultados [9], es
decir conducen al mismo portafolio óptimo. Además en la práctica la minimización del
VaR produce un portafolio óptimo cercano a la minimización del CVaR, ya que por
definición la pérdida calculada en función del CVaR es menor o igual a la pérdida
obtenida con el VaR. Esta medida, para distribuciones continuas es también conocida por
Mean Excess Loss, Expected Shortfall o Tail VaR. Sin embargo, para distribuciones
discretas, el CVaR puede ser distinto. Por definición, para distribuciones continuas, el α-
CVaR es la pérdida esperada que excede al α-VaR, en otras palabras, es el valor medio de
las pérdidas peores a
(1 ) 100%
α
− ×
. Para un α=0.99, el CVaR será al el promedio sobre el
1% de las peores pérdidas. En general para funciones de distribuciones de pérdidas
(incluyendo distribuciones discretas) el CVaR se define como el promedio ponderado del
VaR condicionado a las pérdidas que exceden a ésta medida.
El CVaR a diferencia del VaR posee muy buenas propiedades matemáticas, las cuales se
pueden ver con mayor profundidad en [9].
Nuestro objetivo, es encontrar el portafolio óptimo, donde el riesgo asociado (VaR) sea
mínimo, para ello utilizaremos la notable formulación matemática desarrollada por
Rockafellar y Uryasev [9], implementando el algoritmo que optimiza el CVaR, para lo
cual se utilizará los datos del “Bloomberg”, proporcionados por AGF. Estos datos serán
tratados estadísticamente, de modo de obtener las series de tiempo de las rentabilidades
de las diferentes acciones que compondrán el portafolio de inversión y a través de de un
algoritmo de MonteCarlo, generaremos los escenarios que se utilizarán en el problema
general de optimización del CVaR, con el que se obtendrá el vector de pesos a invertir en
cada acción del portafolio y cuyo riesgo asociado (VaR), será mínimo.
1.5 Análisis de los Datos Históricos de un Portafolio de Inversión.
Los datos históricos de las acciones serán obtenidos por “Bloomberg”4, donde se
dispondrá de datos diarios de las acciones para un T definido por nosotros. Para una
“buena” estimación es conveniente contar con un horizonte de T = 10 años al menos, para
los
n
activos que compondrá el portafolio. Es importante dejar en claro que el
Bloomberg da la opción de descargar los precios con sus respectivos reajustes, de modo
que la información sea lo más “real” posible.
Primero que todo es bueno separar las acciones por sector:
Retail Minería Forestal Telefónica Bancos Eléctrica
Ripley CAP Masisa Entel Chile AES Gener
La Polar Soquimich S.A Copec Telefónica Santander Colbun
D&S Madeco CMPC Sonda BCI Enersis
Fallabela Endesa
Cencosud
Tabla 1.1 Ejemplo de Acciones Chilenas agrupadas por Sector
Fuente: Elaboración propia
Las acciones que finalmente compondrán el portafolio tienen que tener un cierto grado
de diversificación con respecto a distintos mercados, como por ejemplo: retail (ventas al
detalles), minería, transporte, eléctrica, entre otras. En palabras simples, la diversificación
es, como ya mencionamos anteriormente, “No poner todos los huevos en la misma
canastay su objetivo principal es el de alcanzar la máxima rentabilidad con el menor
riesgo posible, trayendo los siguientes beneficios.
Reduce la vulnerabilidad del portafolio ante variaciones severas del mercado.
Reduce la volatilidad (riesgo) del portafolio.
Por ejemplo, si se tiene un portafolio con 2 activos:
4 Bloomberg es el abastecedor principal global de datos, noticias y análisis, proporciona datos en tiempo
real y datos financieros y de mercado.
Más información en: http://www.bloomberg.com/
Figura 1.2 Ejemplo de diversificar acciones (activos) en un portafolio
Fuente: [14]
En la figura 1.2, se aprecia claramente que con una apropiada diversificación de la cartera
se reduce el riesgo, esto es cuando se combinan activos que no están relacionadas y se
logra un menor riesgo.
El riesgo que eventualmente se puede eliminar por medio de la diversificación es el
riesgo propio5. El riesgo propio resulta del hecho de que mucho de los peligros que
acechan a una determinada empresa son específicamente suyos y tal vez de sus
competidores inmediatos.
Pero también hay un riesgo que no se puede evitar y aunque uno diversifique no se puede
eliminar, esto se conoce como riesgo de mercado6 [13]. En conclusión, si bien existen
beneficios de la diversificación, el riesgo de un portafolio no se puede eliminar
totalmente sino minimizar.
5 El riesgo propio, también se conoce como riesgo no sistemático, riesgo residual, riesgo específico o riesgo
diversificable.
6 El riesgo de mercado, se conoce también como riesgo sistemático o riesgo no diversificable.
El riesgo de mercado deriva del hecho de que hay otros peligros que acechan a la
economía que amenazan a todos los negocios, ésta es la razón por la que los
inversionistas están expuestos a la incertidumbre del mercado, como por ejemplo la
inflación7, independiente del número de acciones de empresas diferentes que posea el
portafolio.
Gráfico 1.1 Ejemplo de diversificar aumentando el numero de acciones del portafolio
Fuente: Elaboración propia
En el Gráfico 1.1, se puede apreciar claramente el efecto de la diversificación de una
cartera, en donde el riesgo representado por la desviación estándar, va disminuyendo a
medida que se van agregando activos al portafolio.
Además de la diversificación de las acciones del portafolio, se deben analizar los
siguientes puntos; trascendencia en el tiempo, gran presencia bursátil, liquidez y alta
capitalización bursátil, todo lo cual nos entrega gran información y un nivel bajo de
ruido8 al momento de analizarlas.
Con respecto a la liquidez de una empresa, ésta se refiere a la relación que, en un
momento determinado, existe entre sus recursos líquidos y las obligaciones que le son
exigibles en ese momento.
7 Es un desequilibrio económico caracterizado por la subida general de los precios y provocado por la
excesiva emisión de billetes de banco, un déficit presupuestario o por falta de adecuación entre la oferta y
la demanda. (más información en: http://www.gestiopolis.com)
8 El termino “ruido” en el ámbito estadístico hace alusión al error asociado a la predicción.
Asimismo capitalización bursátil significa el valor de la empresa en el mercado y está
definido por la multiplicación del precio de la acción con la cantidad de acciones de la
empresa.
1.6 Situación Actual de AGF Cruz del Sur
En la actualidad, la administradora general de fondos Cruz del Sur, utiliza diversos
mecanismos para tratar de lograr lo “ideal”, una buena rentabilidad con el menor riesgo
posible.
A modo de ejemplo se explicará la forma en que opera AGF en la actualidad, ya que ésta
es la empresa que está entregando todo el know how financiero y la información
necesaria.
El portfolio managment o Trader financiero de renta variable, junto con el gerente de
inversiones, usan el “viejo” modelo de Markowitz (ésta teoría esta ampliamente
explicada en varios libros de economía, por ejemplo [12]), el cual se basa en el análisis de
la “Frontera Eficiente”;curva que se obtiene de graficar el riesgo versus la rentabilidad,
para esto se diversifica el portafolio tomando activos que rentan bastante pero con un
elevado riesgo y se combinan con otros activos que rentan menos, pero que son más
“seguros”, es decir, menos volátiles. Si bien esta estrategia no es “mala”, por algo se
viene usando desde la década de los 50´s, tiene el defecto de dejar fijo el porcentaje a
invertir en cada acción, que en nuestra memoria es lo que buscaremos de manera óptima
y que llamamos como: “vector pesos de inversión”.
Figura 1.3 Ejemplo de la Frontera Eficiente
Fuente: Elaboración propia
En la Figura 1.3 se representa la frontera eficiente que contiene los portafolios
compuestos por activos riesgosos que dominan a otros cuyos riesgos es el mismo, pero
tiene rentabilidad menor.
Una vez formada la frontera eficiente con los distintos porcentajes de inversión para cada
activo (la suma de ellos debe ser uno y ahí se tiene el 100%), se construye la gráfica de
rentabilidad versus riesgo, para los distintos porcentajes de inversión y la elección del
portafolio final depende netamente del tipo de inversionista que sea el administrador, en
AGF por ejemplo, tienen un estilo más conservador y por tanto, el portafolio que se
escoge no es tan volátil. (En la figura 1.5 el administrador ve que a medida que aumenta
el riesgo aumenta rentabilidad del portafolio)
El principal uso que le dan a la frontera eficiente es la determinación del portafolio a
recomendar a un cliente, es decir, los distintos tipos de portafolio que periódicamente se
le recomiendan a los clientes, en su carácter conservador, moderado y agresivo.
La problemática a abordar, es que AGF cambie el “viejo” modelo y utilice esta novedosa
estrategia de inversión, que encuentra el óptimo “vector de pesos” a invertir en cada
activo que conforma el portafolio, con un VaR mínimo (mínimo riesgo) y una
rentabilidad esperada establecida.
Hay que dejar en claro que este método es una herramienta de apoyo, como complemento
al tomador de decisiones, ya que él es el que tiene el know how financiero.
CAPITULO II MARCO TEÓRICO
2.1 Value at Risk, marco teórico
El VaR es una de medida de riesgo uniforme que cuantifica el monto o porcentaje de la
potencial pérdida en valor de un portafolio producto de los cambios en los factores de
mercado dentro de un intervalo de tiempo especificado. Esta pérdida es valorada con un
determinado nivel de incertidumbre (α).
Sea
mn
x:ƒ
una función de pérdida, la cual depende del “vector de pesos x”,
perteneciente al conjunto de factibilidad definido por
n
x
y de un “vector aleatorio”
m
y
. Se supone que el vector aleatorio y está regido por una medida de probabilidad
P, que es independiente de
x
. Para cada
x
, se denota por Ψ(x, ·) en
como la función
de distribución resultante de la función de pérdida, es decir:
} ),(/ {Ρ = )Ψ
ζζ
yxy ƒ (x,
(Ec. 2.1)
Por consiguiente, si se asume que el vector aleatorio
y
tiene una función de densidad de
probabilidad
)(yp
, es decir, un vector aleatorio continuo, entonces para un
x
fijo, la
función de distribución acumulada de la pérdida asociada al vector
x
viene dada por:
= )Ψ
ζ
ζ
),(
)( (x,
yxf
dyyp
(Ec. 2.2)
Se tiene que las fórmulas (2.1) y (2.2) representan la probabilidad de que la función de
pérdida no exceda el umbral ζ. En ambos casos, la función VaR, la cual denotaremos por
ζα(x), se define como el percentil de la función de distribución de pérdidas mediante la
fórmula:
} ),({ =
axx
a
ζψζζ
:min)(
(Ec. 2.3)
El problema de optimización que se estudiará en esta memoria, asociado al VaR es:
)(min x
a
Xx
n
ζ
(Ec. 2.4)
Donde el conjunto X representa las condiciones impuestas sobre los pesos o políticas de
inversión asociadas al portafolio. Por ejemplo, si no se le pide nada en especial al
portafolio, entonces el conjunto X viene dado por:
==
=
=
nii
n
i
i
n
xxxX
,...,2,1
1
0,1|
(Ec. 2.5)
Sin embargo, si se le agrega un cierto nivel de diversificación al portafolio (para más
detalle se recomienda ver [16]), entonces el conjunto X queda definido por:
==
=
=
niii
n
i
i
n
DxxxX
,...,2,1
1
0,1|
(Ec. 2.6)
Donde
i
D
representa el máximo peso de inversión para cada uno de los activos del
portafolio, por ejemplo
3,0
==
DD
i
para todo
ni ,...,2,1
=
, lo que se interpreta como la
prohibición de tener más de un 30% de toda la inversión en un sólo activo del portafolio.
Si además, le exigimos un retorno mínimo al portafolio, entonces X viene dado por:
==
=
==
niii
n
i
ii
n
i
i
n
DxRxyxxX
,...,2,1
11
0,,1|
(Ec. 2.7)
En el cual R corresponde al retorno mínimo requerido y
i
y
son los retornos
pronosticados para cada activo
ni ,...,2,1
=
, en el periodo de tiempo predefinido.
Por último, es importante destacar que el objetivo de la memoria, no es calcular el riesgo
asociado a un portafolio de inversión, con los pesos en cada activo predefinido, sino
encontrar la política de inversión o pesos de la cartera que hacen que el riesgo de ésta sea
mínimo, dicho de otro modo, brindar una herramienta que ayude a la toma de decisión de
cuanto invertir en cada uno de los activos de un portafolio de inversión dado.
2.2 Conditional Value at Risk, marco teórico
En el caso que se considere una distribución continua, el CVaR se define como el valor
esperado de las pérdidas bajo la condición de que ellas excedan al VaR, (el cual se
denotará por
)(x
a
ζ
). Se define la función del CVaR, y se denotará por
)(x
a
φ
, como:
=
)(),(
)(),(
1
1
)(
xyxf
a
a
dyypyxfx
ζ
α
φ
(Ec. 2.8)
Donde
)(yp
es la función densidad asociada a la medida de probabilidad P. En general,
para funciones de distribución de cualquier índole, incluyendo las distribuciones
discretas, el CVaR se define como el promedio ponderado del VaR y las pérdidas que
exceden a éste, el cual denotaremos por
)(x
a
+
φ
, es decir, la esperanza de las pérdidas
condicionales que estrictamente exceden al VaR. De esta manera, el CVaR queda definido
de la siguiente forma:
)()1()()( xxx
aaa
+
+=
φλλζφ
(Ec. 2.9)
Tal que:
[ ]
1,0
1
)( (x,
)Ψ
=
α
αζ
λ
x
a
(Ec.
2.1.0)
En el caso de considerar una distribución continua para la función de pérdida,
αζ
=)Ψ
)( (x, x
a
y por lo tanto,
0
=
λ
.
El CVaR es una medida coherente de riesgo, en el sentido definido en [17], determinado
por medio un percentil y que a diferencia del VaR posee buenas propiedades matemáticas,
las cuales se pueden ver con mayor profundidad en los documentos, [9] [18], [19]. En
particular, el CVaR definido por (2.8) es una cota superior del VaR ya que:
=
)(),(
)(),(
1
1
)(
xyxf
a
a
dyypyxfx
ζ
α
φ
(Ec.
2.1.1)
)(),(
)()(
1
1
xyxf a
a
dyypx
ζ
ζ
α
=
)(),(
)(
1
)(
xyxf
a
a
dyyp
x
ζ
α
ζ
)(x
a
ζ
=
En general la minimización del CVaR y del VaR no son equivalentes. Puesto que la
definición del CVaR involucra explícitamente a la función VaR, es decir, a la función
)(x
a
ζ
, por consiguiente, se torna muy engorroso de trabajar y optimizar el CVaR, sin
embargo, si se considera la siguiente función auxiliar:
+=
ζ
α
ζ
α
ζζ
),(
)()),((
1
1
),(
yxf
dyypyxfxF
(Ec. .1.2)
De forma alternativa, se puede escribir
),(
ζ
α
xF
de la siguiente manera:
+
+=
dyypyxfxF )()),((
1
1
),(
ζ
α
ζζ
α
(Ec. .1.3)
Donde
{ }
0,max
αα
=
+
. Para
Xx
fijo, es bueno considerar, la siguiente función de
ζ
:
+==
ζ
αα
ζ
α
ζζζ
),(
,
)()),((
1
1
),()(
yxf
x
dyypyxfxFF
(Ec. .1.4)
Esta última función de
ζ
, tiene las siguientes propiedades que son muy útiles a la hora
de calcular el VaR y el CVaR:
a)
)(
,
ζ
α
x
F
es una función convexa en
ζ
.
b) El
VaR
α
en
x
, es un mínimo de
)(
,
ζ
α
x
F
, es decir,
{ }
)(minarg)(
,
ζζ
α
xa
Fx
=
.
c) El valor mínimo de la función
)(
,
ζ
α
x
F
es el
CVaR
α
en
x
,es decir,
)(min)(
,
ζφ
αζα
x
Fx
=
.
Como una consecuencia inmediata de estas propiedades, se puede inferir que el CVaR se
puede optimizar mediante la optimización de la función auxiliar
),(
ζ
α
xF
con respecto a
x
y a
ζ
de forma simultánea:
ζ
αα
ζ
α
ζζφ
,
,
),(min)(minmin)(min
Xx
x
XxXx
xFFx
==
(Ec. .1.5)
De tal forma, se puede optimizar el CVaR directamente, sin la necesidad de calcular
primero el VaR. Además,
),(
ζ
α
xF
es una función convexa en la variable del portafolio
x
cuando la función de pérdida
),( yxf
es también convexa con respecto a
x
. En este
caso, si el conjunto de posiciones factibles del portafolio
X
es también convexo, por lo
que el problema de optimización en la ecuación (2.1.5) es un problema convexo, el cual
se puede resolver mediante técnicas bien conocidas para este tipo de problemas.
Usualmente no es posible calcular o determinar la función de densidad
)(yp
de los
eventos aleatorios en la formulación propuesta, sin embargo, es posible tener un número
de escenarios, por ejemplo;
j
y
con
Jj ,...,2,1
=
, los cuales representan algunos valores
históricos de los eventos aleatorios, por consiguiente; la serie de tiempo histórica de la
rentabilidad o de los precios de las activos del portafolio, o puede ser valores obtenidos
vía simulación computacional, en nuestra memoria el proceso estocástico de Wiener. En
todo caso, una parte importante de esta investigación es estudiar las diferentes
alternativas para la obtención de los escenarios.
Posteriormente, se obtiene una aproximación de la función
),(
ζ
α
xF
usando una
distribución empírica de los eventos aleatorios basados en los escenarios disponibles:
( )
=
+
+=
J
j
j
yxf
J
xF
1
~
)),((
1
1
),(
ζ
α
ζζ
α
(Ec. .1.6)
De esta manera, el problema
)(min x
Xx
α
φ
se aproxima reemplazando a
),(
ζ
α
xF
por
),(
~
ζ
α
xF
en la ecuación (2.1.5):
( )
=
+
+
J
j
j
Xx
yxf
J
1
,
)),((
1
1
min
ζ
α
ζ
ζ
(Ec. .1.7)
Ahora bien, si se introduce las variables auxiliares
j
z
para reemplazar
+
)),((
ζ
j
yxf
asignando las restricciones
0),(
jjj
zyyxfz
ζ
, se tiene el siguiente problema de
optimización:
( )
=
+
J
j
j
z
J
1
1
1
min
α
ζ
(Ec. .1.8)
S.a:
Xx
Jjzyxf
jj
,...,2,1),(
=
ζ
Jjz
j
,...,2,10
=
Finalmente, se puede observar que si la función de pérdidas
),( yxf
es lineal con
respecto a
x
, entonces el problema de optimización en la ecuación (2.1.8), se puede
reducir a un problema de programación lineal, eso si, se debe dejar en claro, el tamaño de
éste depende de la cantidad de escenarios generados y por lo tanto, se debe emplear
técnicas de programación lineal de gran escala. En [9] se propone un algoritmo
heurístico, para la resolución de este problema. Una parte importante de esta memoria es
la de implementar el algoritmo antes mencionado y obtener una comparación entre la
rentabilidad versus el VaR (De tal manera como lo hace Markowitz con la frontera
eficiente [12]).
2.3 Análisis de Retornos
Lo primero que se debe hacer es analizar las rentabilidades de
n
acciones que componen
el portafolio de inversión, de manera de observar el comportamiento de éstas a través de
un horizonte de tiempo de al menos T=10 años9.
9 Sobre los 10 años se considera una buena proyección
Esta información es de vital importancia, ya que de ella se obtienen las bases tanto para el
desarrollo de los modelos predictivos como de minimización del VaR que será el punto
de partida en nuestra investigación.
Una vez definido el portafolio, el siguiente paso corresponde a la obtención de las series
de precios para cada una de estas empresas (ver capítulo1.5).
Con estas series de precios históricos se calculará la rentabilidad de la siguiente manera:
%1001%100
11
1
=
=
t
t
t
tt
P
P
P
PP
R
(Ec. .1.9)
El objetivo será obtener sus retornos tanto en forma anual, mensual y diaria, así como sus
riesgos asociados, los cuales se muestran por medio de la varianza y la desviación
estándar. Por último, como forma de ver el nivel de diversificación del portafolio también
se obtendrá la matriz de correlaciones, la cual nos dará una idea del nivel de
diversificación del portafolio elegido.
Con respecto a las formas de cálculo de los retornos, se puede decir que existen diversas
alternativas para realizarlos, encontrando algunas de mayor complejidad que otras, pero
siempre teniendo algo en común: una proyección del precio del instrumento para un
horizonte de inversión deseado. Con esto se puede decir que tanto los retornos calculados
por medios simples como un promedio histórico, como también cálculos por medio de
series de tiempo, cumplen el fin de mostrar el comportamiento de los retornos para un
horizonte de tiempo definido.
Una proyección tradicional que usan muchas empresas financieras, ha sido el retorno
promedio histórico, el cual se define de la siguiente manera:
[ ]
=
=
T
j
jT
R
T
RE
1
1
(Ec. .2.0)
Considerando el fenómeno de reversión a la media10 existente en los retornos, parece ser
una buena aproximación, sin embargo es poco realista al ser un resultado estadístico que
no incorpora el hecho de que el horizonte de inversión no es T [6].
Una segunda metodología que considera la trayectoria de los retornos, es la estimación de
modelos de series de tiempo de tipo ARIMA (Modelos Autorregresivos Integrados de
Medias Móviles), que en la presente memoria no se utilizará, ya que se asumirá el retorno
promedio histórico para todo el periodo T.
Una vez obtenido el promedio histórico de los retornos, en un horizonte T, es necesario
complementar esta medida, dado que por si sola no es autosuficiente para poder tomar
una decisión, es por esto que se analizará de complemento los riesgos del portafolio.
De forma habitual, las instituciones financieras, como bancos o mesas de dinero, usan la
varianza para medir la volatilidad de una acción, la cual se calcula de la siguiente manera:
[ ]
1
)(
2
2
=
n
RRE
aa
a
σ
(Ec. .2.1)
Si se asume que las rentabilidades posibles de un activo se distribuyen según una
distribución normal (curva de Gauss), se puede decir con un 95% de confianza, la
rentabilidad futura de este activo pertenecerá al siguiente intervalo:
[ ] [ ]
aaataa
RERRE
σσ
+
22
1
(Ec. .2.2)
Bajo este supuesto se puede cuantificar el ancho del intervalo en el que caerá la
rentabilidad futura o también cuál será la probabilidad de obtener una rentabilidad
determinada.
Una vez definido y calculado los parámetros correspondientes a las rentabilidades y
volatilidades de cada activo, el paso siguiente es ver la relación entre cada una de las
acciones, con lo cual se deben introducir la Covarianza y el Coeficiente de Correlación.
10 Reversión a la media indica que la serie de retornos presenta un proceso que se desvía “transitoriamente”
de un retorno promedio de largo plazo.
La covarianza indicará cuál será el comportamiento de un activo al producirse una
variación en el valor de otro activo y se define de la siguiente manera:
[ ]
( )
[ ]
( )
=
=
n
i
bbiaaiab
RERRER
n
Cov
1
(
1
1
(Ec. .2.3)
Donde
ai
R
y
bi
R
son los posibles valores de rentabilidad para los activos
a
y b
respectivamente.
La covarianza indica en qué medida varía una acción respecto a la otra. De esta forma, si
la covarianza es positiva, quiere decir que cuando una acción sube la otra también tiende
a subir; si la covarianza es negativa, quiere decir que cuando “a” sube “b” tiende a bajar.
Si la covarianza es próxima a cero, quiere decir que las dos acciones no están
relacionadas.
Un parámetro estadístico que también indica la relación entre dos acciones, y que es más
fácil de interpretar, es el coeficiente de correlación
ρ
. Este coeficiente se define por
medio de la siguiente ecuación:
ba
ab
ab
Cov
σσ
ρ
=
(Ec. .2.4)
Se tiene que:
11
ab
ρ
(Ec. .2.5)
Al igual que la interpretación de la covarianza, el factor de correlación será positivo si
ambas acciones se mueven en el mismo sentido y será negativo si las acciones se mueven
en sentidos opuestos. Por otro lado, si las acciones no tienen ninguna relación entre sí,
ab
ρ
estará en torno a cero.
La ventaja de este coeficiente es que además de poder interpretar el sentido en el cual se
mueven ambas acciones nos entrega información acerca de la magnitud de esta relación,
la cual se expresa de la siguiente manera:
oCercano a 0 “relación entre las acciones débil”
oCercano a |0,5| “relación entre las acciones moderada”
oCercano a |1| “relación entre las acciones fuerte”
Una vez obtenida la rentabilidad promedio histórica para el horizonte establecido, junto
con la varianza, la matriz de covarianzas y las correlaciones de las acciones, se procede a
hacer una predicción de precios futuros.
Con el objeto de predecir los precios futuros de las acciones que componen el portafolio
se decide generar escenarios de pronóstico de precios mediante los procesos de Wiener
usando procedimientos matriciales para obtener activos correlacionados y técnicas de
simulación de MonteCarlo.
2.4 Selección de las acciones que forman el portafolio de la memoria
Primero que todo por medio del Bloomberg, obtenemos los precios diarios de cierre para
todas las acciones del IPSA desde el 13 de enero de 1994 hasta el 10 de agosto del 2007.
Posteriormente se ordenan las acciones por fecha de inicio de forma ascendente.
El criterio de selección del portafolio es el siguiente:
oMás de diez años de datos históricos en los precios de cierre.
oPresencia bursátil igual a un 100%.
Al tener una gran presencia bursátil, esto asegura que las acciones son bien líquidas en el
mercado accionario.
Por consiguiente las acciones que cumplen estos requisitos y que se utilizarán en esta
memoria se verán en la Tabla 1.2, las que están destacadas de color verde, son las
seleccionadas. De esta manera, las acciones con las que se trabajará en esta memoria
corresponden a la mitad del IPSA, ósea un total de 20 acciones, con datos históricos
desde el 22-05-1997 al 10-08-2007, con lo cual se llega a tener más de 10 años de
información con 2667 muestras por cada empresa.
N N_seleccionadas Accion Fecha inicio Presencia bursatil %
1 1 CCU ene-94 100,00
2 2 CTCA ene-94 100,00
3 3 COLBUN ene-94 100,00
4 4 ENDESA ene-94 100,00
5 5 ENTEL ene-94 100,00
6 6 CMPC ene-94 100,00
7 7 COPEC ene-94 100,00
8 8 ENERSIS ene-94 100,00
9 9 ALMEN jun-94 100,00
10 10 BCI jun-94 100,00
11 CAMPOS jun-94 92,78
12 11 CAP jun-94 100,00
13 12 VAPORES jun-94 100,00
14 EDELNOR jun-94 98,33
15 13 IANSA jun-94 100,00
16 14 MADECO jun-94 100,00
17 SMCHILEB jun-94 97,22
18 15 SQM/B jun-94 100,00
19 CONCHA jun-94 99,44
20 TATTER jun-94 73,33
21 16 LAN jun-94 100,00
22 INVERC dic-94 92,78
23 SECUR jul-95 95,56
24 17 FALAB nov-96 100,00
25 18 DYS dic-96 100,00
26 19 ANDINAB abr-97 100,00
27 20 BSAN may-97 100,00
28 QUINENC jun-97 95,00
29 CHILE nov-97 100,00
30 AGUAS/A nov-01 96,67
31 CORPBANC nov-02 100,00
32 LAPOLAR sep-03 100,00
33 CENCOSUD may-04 100,00
34 MASISA may-04 100,00
35 COLO/B jun-05 95,00
36 RIPLEY jul-05 100,00
37 SK oct-05 99,44
38 INVERMAR nov-05 99,44
39 IAM nov-05 100,00
40 ANTAR ago-07 100,00
Tabla 1.2 Ejemplo de Acciones Chilenas Seleccionadas para la Memoria
Fuente: Elaboración propia11
11 Los datos históricos del precio de todas las acciones del IPSA del viernes 10 de agosto del 2007 fueron
obtenidos por el Bloomberg, proporcionado por AGF.
La Presencia Bursátil (%), fue obtenido desde: www.bolsadesantiago.cl, el día mencionado.
Con estas series de precios el objetivo será obtener sus retornos tanto en forma anual
como semanal y diaria, así como sus riesgos asociados, los cuales se muestran por medio
de la varianza y la desviación estándar. Por último, como forma de ver el nivel de
diversificación del portafolio también se obtendrá la matriz de correlaciones, la cual nos
dará una idea del nivel de diversificación del portafolio escogido.
Los datos históricos de las acciones entregados por Bloomberg se encuentran de lunes a
domingo, repitiendo el precio de cierre del día viernes para el fin de semana, lo que
genera un error si no se limpia la base de datos. Por consiguiente se realiza una limpieza
de éstos usando el software SPSS (Statistical package of the social sciense, versión
estándar, 11.5). Creamos una variable “dys” que será la variable fin de semana, y
posteriormente se filtra con la opción de eliminar esa variable, en otras palabras, eliminar
el fin de semana. La sintaxis es la siguiente:
COMPUTE syd = XDATE.WKDAY(date) .
VARIABLE LABELS syd 'sabado y domingo' .
EXECUTE .
USE ALL.
SELECT IF(syd ~= 1 & syd ~= 7).
EXECUTE .
Siguiendo con el análisis de las series de precios el siguiente paso es la obtención de los
retornos para cada una de las acciones, para lo cual primero se analizará el
comportamiento de las series de precios de forma gráfica. Este análisis se hará por medio
del software Microsoft Excel 2003.
Los resultados gráficos de las series de precios se muestran a continuación:
En el eje Y se encuentran los precios de la serie y el eje X corresponde al tiempo. En el
eje de las abscisas se puede apreciar el número de la muestra, que está asociado a la
fecha. Las series contienen alrededor de 2667 datos los que representan alrededor de 10
años de información, excluyendo los días no hábiles (sábado y domingo).
Comportamiento de las Series de Precios de Forma Gráfica
CTC_A 1997-2007
0
500
1000
1500
2000
2500
Año
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2002
2002
2003
2004
2004
2005
2006
2006
2007
Año
Precio diario ($)
CTCA
CCU 1997-2007
0
1000
2000
3000
4000
5000
Año
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
CCU
VAPORES 1997-2007
0
500
1000
1500
Año
1998
1998
1999
2000
2001
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2006
2006
2007
Año
Precio diario ($)
VAPORES
COLBUN 1997-2007
0
20
40
60
80
100
120
140
Año
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2002
2002
2003
2004
2005
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
COLBUN
DYS 1997-2007
0
50
100
150
200
250
300
350
Año
1998
1998
1999
1999
2000
2001
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2005
2006
2006
2007
Año
Precio diario ($)
DYS
ANDINA_B 1997-2007
0
500
1000
1500
2000
Año
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
ANDINAB
ENDESA 1997 - 2007
0
200
400
600
800
1000
Año
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2005
2006
2007
o
Precio diario ($)
ENDESA
ENTEL 1997 - 2007
0
2000
4000
6000
8000
10000
Año
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2002
2002
2003
2004
2005
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
ENTEL
CMPC 1997 - 2007
0
5000
10000
15000
20000
25000
Año
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2002
2002
2003
2004
2004
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
CMPC
COPEC 1997 - 2007
0
2000
4000
6000
8000
10000
Año
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
COPEC
Gráfico 1.2 Evolución de precios para las acciones seleccionadas (1997 al 2007)
Fuente: Elaboración propia
Almendral 1997 - 2007
0
10
20
30
40
50
60
70
o
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
ALMEN
BCI 1997 - 2007
0
5000
10000
15000
20000
Año
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2005
2006
2007
Año
Precio diario $
BCI
Banco Santiago 1997-2007
0
5
10
15
20
25
30
Año
1998
1998
1999
1999
2000
2001
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
BSAN
CAP 1997-2007
0
5000
10000
15000
o
1998
1998
1999
2000
2000
2001
2002
2002
2003
2004
2004
2005
2006
2006
2007
Año
Precio diario ($)
CAP
IANSA 1997 - 2007
0
50
100
150
200
Año
1998
1998
1999
2000
2001
2002
2002
2003
2004
2005
2006
2006
Año
Precio diario ($)
IANSA
ENERSIS 1997 - 2007
0
50
100
150
200
250
300
Año
1998
1999
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2004
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
ENERSIS
LAN 1997 - 2007
0
2000
4000
6000
8000
10000
Año
1998
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
LAN
MADECO 1997 - 2007
0
200
400
600
800
1000
1200
Año
1998
1999
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2006
Año
Precio diario ($)
MADECO
SQM_B 1997 - 2007
0
2000
4000
6000
8000
10000
Año
1998
1999
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
SQM_B
Falabella 1997 - 2007
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Año
1998
1999
1999
2000
2001
2002
2003
2003
2004
2005
2006
2007
Año
Precio diario ($)
FALAB
En el gráfico 1.2 se aprecia que el precio de las acciones a medida que avanzan los años,
en su gran mayoría, muestran un comportamiento exponencial, sin embargo, en el caso
particular de la acción Madeco, ocurre un fenómeno contrario, es decir, inversamente
proporcional al resto de las acciones. Esto es por lo siguiente:
A partir de 1999, la empresa enfrentó una serie de dificultades en sus mercados que
generaron un desfavorable impacto en sus resultados. La crisis asiática, que comenzó en
1998, generó una importante baja del nivel de la actividad industrial en los mercados
atendidos por Madeco, especialmente en las industrias de telecomunicaciones y
construcción. En 1999, la devaluación de la moneda brasileña afectó la posición
competitiva de Ficap, disminuyendo su aporte a los resultados consolidados. En estos
últimos años, como consecuencia del deterioro de las principales economías regionales en
Sudamérica, se ha producido una reducción de los niveles de inversión en las industrias
que abastece la compañía, especialmente en el área telecomunicaciones. Esta adversa
situación se intensificó en los años 2001 y 2002, a causa de la crisis económica que se
presentó en Argentina (generando el cierre de plantas y reconocimiento de provisiones
por parte de Madeco). En el año 2003, la compañía inició un proceso de reestructuración
de sus operaciones, destinado principalmente a incrementar la eficiencia de sus procesos
productivos en conjunto con una reducción de su estructura de gastos y un
fortalecimiento de su estrategia comercial. Si bien el nivel de ventas disminuyó un 8%
respecto al 2002, el resultado operacional aumentó un 84%, reflejando los ajustes
operacionales realizados. A septiembre de 2004, el fortalecimiento de su estrategia
comercial en conjunto con la mayor actividad económica registrada en sus principales
mercados (Brasil y Chile) se tradujeron en un significativo incremento en su nivel de
ventas y capacidad de generación de flujos.
Lo anterior, se reflejó en la tendencia positiva del margen operacional, que alcanzó el
8,2%, similar al obtenido antes de 1999. Para el 2005, la compañía espera que la
consolidación de su estructura operacional se refleje en la estabilización de sus
márgenes.12
12 Más información en: http://www.feller-rate.cl/general2/corporaciones/madeco0503.pdf
Luego el paso siguiente fue calcular los retornos históricos, los cuales se obtuvieron por
medio de la fórmula del retorno promedio histórico (Ec. 2.2.0). Los resultados de éstos
se presentan en la Figuras 1.8 y 1.9 en base a datos diarios:
En base a la rentabilidad del período comprendido entre los años 97-07, se pueden
obtener las rentabilidades esperadas para los distintos períodos requeridos, como por
ejemplo las rentabilidades esperadas anuales, semanales o diarias.
De esta manera se convirtió los precios diarios a rentabilidad diaria mediante la fórmula
(Ec. 2.1.9), para luego hacer la transformación de rentabilidades diarias, semanales y
anuales por medio de la siguiente ecuación:
1)1(´
)(
+=
f
RR
(Ec. 2.6).
En donde f corresponde a la frecuencia entre los retornos,
R
es el retorno que se tiene
como dato y
R
es el retorno estandarizado a la frecuencia requerida.
Ejemplo: Si tuviéramos un retorno anual y quisiéramos descomponerlo a una base
mensual, entonces f = 1/12, ya que un año tiene 12 meses. En caso contrario, si se tuviera
el retorno promedio diario y se quisiera pasar a una base mensual, entonces f = 21, ya que
un mes promedio tiene 21 días hábiles con transacciones.
Tabla de Rentabilidades de las acciones que conforman el portafolio
Acción Diaria Semanal
ALMEN 0,12% 0,62%
BCI 0,08% 0,44%
BSAN 0,06% 0,33%
CAP 0,12% 0,63%
CCU 0,06% 0,31%
CTCA 0,00% -0,01%
VAPORES 0,08% 0,43%
COLBUN 0,06% 0,31%
DYS 0,06% 0,32%
ANDINAB 0,03% 0,19%
ENDESA 0,05% 0,28%
ENTEL 0,07% 0,35%
CMPC 0,07% 0,37%
COPEC 0,08% 0,40%
IANSA 0,03% 0,18%
ENERSIS 0,01% 0,05%
LAN 0,12% 0,68%
MADECO -0,06% -0,27%
FALAB 0,09% 0,46%
SQM_B 0,07% 0,36%
Rentabilidad Promedio 97- 07
Tabla 1.3 Rentabilidad histórica período (1997 al 2007)
Fuente: Elaboración propia
Acción
(97-98) (98-99) (99-00) (00-01) (01-02) (02-03) (03-04) (04-05) (05-06) (06-07)
ALMEN -38,26% 61,77% 155,10% -51,39% -10,63% 2,69% -2,95% 251,13% -2,66% 79,97%
BCI 26,46% 26,54% 26,17% 26,54% 26,15% 24,68% 23,79% 23,49% 22,78% 22,92%
BSAN 23,27% 23,78% 20,96% 23,08% 19,11% 16,73% 15,81% 16,01% 13,01% 13,55%
CAP 89,93% 91,84% 90,83% 95,84% 91,76% 90,35% 88,44% 84,45% 84,70% 87,89%
CCU 58,09% 62,82% 60,61% 59,45% 57,03% 51,85% 51,27% 54,96% 47,98% 45,15%
CTCA 32,18% 37,15% 31,07% 24,92% 26,62% 20,62% 21,58% 23,14% 20,40% 20,52%
VAPORES 77,42% 78,40% 76,41% 78,33% 80,15% 78,18% 78,63% 85,21% 87,12% 84,85%
COLBUN 30,33% 31,83% 27,52% 26,41% 26,71% 26,37% 29,74% 30,14% 28,22% 27,03%
DYS 99,60% 101,60% 94,74% 92,18% 89,98% 85,88% 88,48% 86,94% 81,53% 83,15%
ANDINAB 34,78% 35,94% 33,78% 32,81% 29,56% 28,39% 27,84% 28,27% 27,84% 28,24%
ENDESA 54,96% 58,08% 56,73% 57,36% 57,42% 53,19% 54,40% 56,37% 51,72% 50,64%
ENTEL 69,88% 71,01% 66,25% 65,50% 63,77% 63,20% 65,47% 65,01% 65,11% 63,17%
CMPC 32,57% 34,34% 34,50% 34,23% 36,53% 32,70% 30,89% 27,96% 27,79% 28,64%
COPEC 74,42% 75,68% 74,88% 75,42% 75,56% 69,92% 67,51% 65,68% 62,00% 60,16%
IANSA -43,80% -44,77% -44,99% -43,72% -44,94% -43,92% -43,57% -44,44% -48,69% -46,83%
ENERSIS 47,14% 49,01% 47,38% 48,84% 46,31% 44,22% 46,20% 49,44% 46,49% 45,73%
LAN 156,45% 157,49% 153,07% 155,52% 157,22% 153,02% 153,13% 156,11% 151,57% 151,14%
MADECO 52,13% 54,08% 52,44% 49,54% 40,78% 39,22% 37,56% 35,83% 31,67% 27,53%
FALAB 67,54% 69,29% 64,66% 63,57% 61,11% 57,20% 59,13% 61,79% 57,45% 54,24%
SQM_B 49,34% 50,83% 49,21% 49,95% 48,82% 47,10% 47,19% 49,55% 47,98% 44,50%
Detalle de Rentabilidades Anuales
Tabla 1.4 Detalle rentabilidades período (1997 al 2007)
Fuente: Elaboración propia
En la Tabla 1.3, se aprecia que tanto las rentabilidades diarias como las rentabilidades
semanales de la acción Madeco, muestran cifras negativas, es decir, si el inversionista
invierte en esta acción perdería dinero. Esta afirmación no es real ya que si uno observa
la Tabla 1.4 el detalle de las rentabilidades anuales de esta acción, en promedio renta por
año un 45.8 %. Cabe destacar que en nuestra investigación se usarán datos semanales
(t= semanas) para introducirlas en el proceso de Wiener, que se verá a continuación.
CAPITULO III GENERACIÓN DE LOS ESCENARIOS MEDIANTE EL
PROCESO DE WIENER Y LA TÉCNICA DE SIMULACIÓN DE
MONTECARLO.
La finalidad de un generador de escenarios es producir un conjunto de valores de las
variables de decisión involucradas, bajo un determinado horizonte de planeación, cuya
salida es un escenario o el conjunto de ellos y que contiene el comportamiento histórico
de las variables.
Una alternativa para la generación de los escenarios de rentabilidades futuras es el uso de
los procesos de Wiener usando procedimientos matriciales y técnicas de simulación de
MonteCarlo.
3.1 Introducción a una Metodología Estocástica
De cualquier variable cuyos valores vayan cambiando de forma incierta a través del
tiempo, se puede decir que sigue un proceso estocástico. Estos tipos de procesos pueden
ser clasificados como de tiempo discreto o continuo.
Un proceso estocástico de tiempo discreto es donde el valor de la variable puede cambiar
sólo en algunos puntos definidos del tiempo. Por otro lado, un proceso estocástico de
tiempo continuo, es aquel en donde los cambios pueden tener lugar en cualquier instante
de tiempo.
Los procesos estocásticos también pueden ser clasificados como de variables continuas o
discretas. En procesos de variables continuas los valores que pueden tomar las variables
están definidos por un rango, mientras que en procesos de variables discretas se definen
una gama de valores posibles, los cuales quedan fijos durante todo el proceso.
Durante este trabajo, el cual en esta parte está orientado a pronósticos de precios
accionarios, se desarrollarán procesos de variables continuas y de tiempo continuo. El
conocimiento de este tipo de procesos es fundamental para la comprensión de la
administración de otros derivados tales como opciones.
Se debe decir que en la práctica no se observan precios accionarios que sigan procesos de
variable continua o de tiempo continuo, ya que estos precios están sujetos a ciertos
valores discretos, por ejemplo: valores enteros o múltiplos de pesos centavos o pesos y
por otro lado, las variaciones de precio están sujetas a los días en los cuales las bolsas
están transando. Sin embargo, procesos de variable y tiempo continuo han probado ser
una herramienta muy útil para este tipo de propósitos.
3.2 Proceso de Markov
Los procesos de Markov, están definidos como un tipo particular de proceso estocástico,
en donde sólo el valor presente de la variable es relevante para la predicción del futuro.
De forma más general, se puede decir que tanto la historia de la variable y el ruido
generado en el presente por esta variable serán irrelevantes en la predicción del valor
futuro. Con respecto a precios accionarios, cabe mencionar que usualmente se asume que
las predicciones pueden ser hechas por medio de procesos de Markov, con lo cual la
predicción del futuro precio de la acción no estará afectada por los precios de ayer, la
semana pasada o el mes pasado13.
13 Cabe destacar, que aquí nos restringimos a procesos de Markov de primer orden, en donde el futuro solo
depende del presente y no de ningún momento del pasado. Procesos de Markov de orden k implican que el
valor futuro depende de k instantes de tiempo anteriores.
Esta teoría es consistente con todo lo propuesto por teorías como la de eficiencias de
mercado, en donde se postula que el precio presente de la acción incorpora toda la
información pasada.
Debido a que las predicciones futuras son inciertas, estas deben ser expresadas en
términos de distribuciones de probabilidad. Con respecto a esto, la propiedad de Markov
implica que la distribución de probabilidades del precio de la acción en el futuro, no
dependerá de algún patrón seguido por la misma acción en el pasado, sino que sólo de su
estado presente.
3.3 Proceso de Wiener
Este proceso es un tipo de proceso estocástico de Markov también conocido como
Movimiento Browniano, en donde su media es 0 y su varianza es igual a 1. Este proceso
es bastante usado en física para describir el movimiento de partículas que están sujetas a
grandes cantidades de variaciones.
Formalmente, una variable sigue un proceso de Wiener si cumple con las siguientes
propiedades:
Propiedad 1:La variación
z
δ
durante un pequeño período de tiempo
t
δ
es:
tz
=
ε
(Ec.
2.2.7).
Donde
ε
es una variable aleatoria con distribución normal estándar
(0,1)
φ
.
Propiedad 2:Los valores de
z
δ
para dos intervalos pequeños de tiempo
t
δ
son
independientes.
Siguiendo con lo expuesto en la propiedad 1, en donde
z
δ
por misma tiene una
distribución normal con:
0)(
=
zE
y
tzVar
=
)(
La segunda propiedad implica que z sigue un proceso de Markov.
Considerando un incremento del valor de z durante aproximadamente un período largo de
tiempo T, podemos denotar este incremento por medio de
( ) (0)z T z
. Por otro lado, esto
también podría ser mirado como la suma de pequeños incrementos de z en N (pequeños)
intervalos de tiempo
t
δ
, en donde:
t
T
N
=
Así,
=
=
N
i
i
tzTz
1
)0()(
ε
(Ec. 2.2.8).
Donde
i
ε
( 1,2, , )i N=K
son variables aleatorias con distribución
(0,1)
φ
. Por otro lado
de la segunda propiedad del proceso de Wiener, se deduce que las variables
i
ε
son
independientes entre sí. Entonces, siguiendo con lo expuesto anteriormente en (Ec. 2.2.8),
se deduce que
( ) (0)z T z
esta normalmente distribuida con:
0))0()((
=
zTzE
y
TtNzTzVar
==
))0()((
Lo cual es consistente con lo discutido al principio de este capítulo.
Con respecto a los cálculos, es recurrente notar que pequeños cambios se denotan por
medio del límite, haciendo estas variaciones cercanas a cero. Así
/y x
δ δ
se puede
expresar como
/dy dx
. Cuando se tienen procesos estocásticos, se puede proceder de la
misma manera, con lo cual el proceso de Wiener queda expresado como límite, en donde
0t
δ
para el proceso descrito arriba para z.
3.4 Proceso de Wiener Generalizado
El proceso de Wiener básico
dz
, tiene una tasa de cambio cero y una varianza 1 [20]. La
tasa de cambio igual a cero, significa que el valor esperado de z en cualquier instante
futuro será igual a su valor actual. Por otro lado, que la varianza sea igual a 1 significa
que la varianza de los cambios en z en un intervalo de tiempo T será igual a T.
Generalizando el proceso de Wiener para una variable x en términos de z tenemos que:
dzbdtadx
+=
(Ec. 2.2.9).
Donde a y b son constantes.
Para entender la ecuación anterior, es útil considerar una suma de dos componentes
independientes, donde el término
a dt×
implica que x tiene una tasa de cambio de a por
unidad de tiempo. Sin considerar el término representado por b, la ecuación podría
representarse de la siguiente manera:
dtadx
=
Lo cual por medio de la resolución de la ecuación diferencial nos da que:
atxx
+=
0
donde
0
x
es el valor de x en el tiempo 0. Esto implica que por cada período de tiempo t el
valor de x se irá incrementando a una tasa de
at
.
El término
b dz×
de la ecuación puede ser considerado como un ruido o una variación al
patrón seguido por x. De esta forma la cantidad de ruido o variabilidad de la ecuación va
a estar definido como b veces el proceso de Wiener.
Como el proceso de Wiener tiene una desviación estándar de 1, siguiendo con la línea que
hemos estado desarrollando, obtendremos entonces que b veces un proceso de Wiener
nos dará una desviación estándar de b. Con esto, si tomamos pequeños intervalos de
tiempo, los cambios
x
δ
en el valor de x estarán dados por las ecuaciones (2.2.7 y 2.2.8),
como:
tbtx
+=
εα
Donde, como se explicó con anterioridad,
ε
corresponde a una variable aleatoria con
distribución normal estándar. De aquí se deduce que
x
tiene una distribución normal
con:
taxE
=
)(
y
tbxVar
=
2
)(
Por medio de los mismos argumentos que fueron presentados para el proceso de Wiener,
se demuestra que para cualquier cambio en el valor de x en un intervalo de tiempo t, x
estará distribuida normalmente con:
Media del cambio en x =
a T
×
Varianza del cambio en x =
2
b T×
Así, el proceso de Wiener generalizado dado por la ecuación 2.2.9, tiene una tasa de
cambio esperada por unidad de tiempo igual a a y una varianza por unidad de tiempo de
2
b
.
Existen alternativas similares al proceso de Wiener, en donde las variables a y b en vez de
ser constantes pueden ser funciones variables con respecto a las variables x y t, generando
una ecuación diferencial estocástica más compleja.
3.5 Pronóstico de Precios Accionarios
A partir de ahora nos centraremos en los procesos estocásticos utilizados para la
determinación de precios accionarios, sin tomar en cuenta las políticas de dividendos de
las empresas.
Sería tentador sugerir que los precios de una acción siguen un proceso de Wiener
generalizado, es decir, que su tasa de cambio es constante y que su varianza también lo
es. Sin embargo, este método sería obsoleto al momento de capturar la característica más
importante del precio de las acciones, esto es, que el porcentaje de retorno esperado
requerido por los inversores en una acción es independiente del precio de la misma.
Claramente, el supuesto de que la tasa de cambio es constante sería inapropiado y debe
ser reemplazado por el supuesto de que el retorno esperado (el cambio esperado sobre el
precio de la acción) es constante.
De esta forma si S se define como el precio de la acción en el instante t, la tasa de cambio
con respecto al precio se denotaría como
S
µ
×
, siendo
µ
un parámetro constante. De la
misma forma, para pequeños intervalos de tiempo, el incremento esperado de S estará
dado por
tS
µ
Con respecto a
µ
, éste parámetro corresponde a la rentabilidad esperada de la acción,
expresada de forma decimal.
Así, si supusiéramos que la volatilidad de los precios accionarios fuera siempre igual a
cero, el modelo estaría representado por:
tSdS
=
µ
Suponiendo
0
t
tSdS
=
µ
o
t
S
dS
=
µ
Integrando la ecuación entre el intervalo
[ ]
0,T
, obtenemos:
t
T
eSS
=
µ
0
(Ec. 2.3.0).
Donde
0
S
y
T
S
son los precios de la acción en los tiempos cero y T respectivamente. La
ecuación (2.3.0) muestra que cuando la varianza es igual a cero, el precio de la acción
cambiará de forma continua en función de una tasa
µ
por unidad de tiempo.
Suponer que la variación de precios accionarios no muestra volatilidad, es bastante lejano
a la realidad. Dado esto, es razonable asumir que la variabilidad de una acción estará
representada por medio de un porcentaje del precio de ésta y al igual que los retornos,
este valor será independiente del precio de la acción.
Finalmente el modelo predictivo estará definido por:
dzStSdS
+=
σµ
o
dzt
S
dS
+=
σµ
(Ec. 2.3.1).
La ecuación anterior, es una de las más usadas para la modelación del comportamiento de
precios accionarios, en donde
σ
corresponde a la volatilidad de la acción o desviación
estándar,
µ
es la rentabilidad esperada y
z
corresponde a la matriz aleatoria de
Cholesky (matriz de correlaciones traspuesta por
ε
, que es una variable aleatoria
proveniente de una distribución normal estándar (con media cero y desviación estándar
1)).
3.6 Generalización de Pronóstico de Precios
El modelo de comportamiento de precios accionarios desarrollado anteriormente, es
conocido como Movimiento Browniano Geométrico y en su forma discreta se representa
por medio de:
tt
S
dS
+=
εσµ
(Ec. 2.3.2).
o
tStSdS
+=
εσµ
(Ec. 2.3.3).
La variable
S
representa el cambio en el precio de la acción, en un pequeño intervalo de
tiempo
t
y
ε
es una variable aleatoria proveniente de una distribución normal
estándar (con media cero y desviación estándar 1).
La parte izquierda de la ecuación (2.3.2) corresponde al retorno de la acción en el
intervalo de tiempo
t
. El término
t
µ
corresponde al valor esperado de los retornos
y
t
εσ
representa la componente estocástica de los retornos.
La ecuación (2.3.2) muestra que
SS /
está normalmente distribuido con media
t
µ
y
desviación estándar
t
σ
, en otras palabras:
),(: tt
S
S
σµφ
3.7 Modelo Predictivo
Se usarán los procesos de movimiento browniano como modelo para la generación de
rentabilidades futuras. Para ello se generarán números aleatorios normales a los cuales se
les incorporan las rentabilidades esperadas, desviaciones estándares y las correlaciones
aleatorias de los activos, en base a los datos históricos, generando así un pronóstico de las
rentabilidades futuras.
Según lo expuesto anteriormente, la forma en la cual se pronosticarán las rentabilidades
diarias futuras será de la forma propuesta en (2.3.1), con la salvedad de que al trabajar
con información diaria y querer pronosticar un día, el diferencial del tiempo será igual a
1. De esta forma, para este caso particular, la ecuación quedará definida por14:
14 Esta forma de modelación es la recomendada en los artículos 20 y 21.
εσµ
+=
t
B
S
dS
(Ec. 2.3.4).
Para cada valor de la variable aleatoria
ε
, con distribución normal, se genera un
escenario de rentabilidad futura para la siguiente unidad de tiempo. Esto se repite un
número grande veces y se usan todos esos escenarios para obtener medidas como la
rentabilidad promedio y la varianza de las acciones. Esto es lo que se conoce como
simulación de Monte Carlo.
3.7.1 Simulaciones de Monte Carlo
Tomar decisiones bajo condiciones de incertidumbre implica realizar esfuerzos para
proyectar el futuro con el fin de prever situaciones de riesgo, prepararse para enfrentar
condiciones indeseables, evitar opciones erróneas y aprovechar situaciones favorables.
Para esto, las simulaciones de Monte Carlo son una muy buena herramienta con base
científica, con la cual se puede llegar a predecir una serie de situaciones o posibles
escenarios para un evento.
De esta manera en el año 1998 Nassir Sapag, define los procesos de Monte Carlo como
una técnica de simulación de escenarios inciertos que permite obtener valores esperados
para variables no controlables, a través de una selección aleatoria, donde la probabilidad
de escoger un resultado corresponde a la dada por su distribución.
3.7.2 Correlación de los retornos
En el análisis de retornos es muy importante evaluar la correlación de estos, ya que este
indicador nos da una idea del comportamiento de un activo al producirse una variación en
el valor de otro activo. En otras palabras el coeficiente de correlación nos indica en que
medida dos acciones se mueven en un mismo sentido.
Al generar números aleatorios y obtener los distintos escenarios de rentabilidades
esperadas por medio de la ecuación (2.3.1), tanto los retornos como las volatilidades
corresponderán aproximadamente a los obtenidos a través de los datos históricos (en
teoría son iguales), pero el comportamiento de las acciones entre sí no esta modelado.
Esto quiere decir que al no tomar en cuenta en la modelación de los retornos las
correlaciones, éstas serán totalmente independientes unas de otras (coeficientes de
correlaciones cercanos a cero), lo cual al momento de construir portafolios significa
obtener pronósticos bastante alejados de la realidad. Una alternativa para modelar esto
utiliza la descomposición de Cholesky, que se analiza en la siguiente sección.
Una de las formas en que se pueden generar pronósticos de retornos correlacionados de la
misma forma en que se han correlacionado en el pasado, es por medio de la
descomposición o factorización de Cholesky.
En álgebra lineal, la descomposición de Cholesky corresponde a una descomposición
matricial, en la cual una matriz simétrica definida positiva se descompone en el producto
de dos matrices.
Teorema 1: Toda matriz A simétrica es definida positiva si y sólo si existe una matriz S
triangular superior con diagonal estrictamente positiva tal que:
SSA
t
=
Esta descomposición de la matriz A, se conoce como su factorización de Cholesky.
Una de las aplicaciones s importantes de las factorizaciones triangulares presentadas
es que permiten resolver un sistema como dos sistemas triangulares, es decir mediante
dos procedimientos de sustitución: uno hacia adelante y otro en reversa.
A continuación se demostrará cómo por medio de la descomposición de Cholesky se
pueden obtener series de datos correlacionadas a partir de datos que no estaban
correlacionados.
Sean:
µ
: La media de los datos históricos
Σ
: Su matriz de varianzas y covarianzas.
R: La matriz de correlación de los datos históricos.
Entonces:
t
R D D= ×Σ×
(Ec. 2.3.5).
Donde D es una matriz diagonal con el elemento
( )
1/ 2
, ,i i i i
D
= Σ
(Ec. 2.3.6).
O sea, D es la matriz que tiene en la diagonal las inversas de las desviaciones estándares.
Sea S la descomposición de Cholesky de la matriz
Σ
:
t
S SΣ = ×
Sustituyendo esta expresión en (2.3.5), se obtiene:
t t
R D S S D= × × ×
( ) ( )
t
R S D S D= × × ×
Lo cual significa que la matriz de la factorización de Cholesky de R es:
S D×
A continuación se demostrará que a partir de un vector
),0(: IN
ε
, o sea independientes
y premultiplicándolo por la matriz
t
B
de la descomposición de Cholesky de R, se obtiene
un vector normal correlacionado de la misma forma que los datos históricos; es decir que:
RBcorr
t
=
)(
ε
Se sabe que,
11
)()( DBVarDBcorr
ttt
=
εε
y que,
BVarBBVar
tt
=
)()(
εε
BIB
t
=
BB
t
=
R
=
Sustituyendo esta ecuación en la anterior, tenemos que:
11
)( DRDBcorr
tt
=
ε
De la ecuación (2.3.6) se tiene que
1
D
es una matriz diagonal cuyos elementos son los
inversos de los elementos diagonales de la matriz R, los cuales al ser R una matriz de
correlación, estos valores serán iguales a 1. Por lo tanto
1
D
es igual a la matriz identidad,
por lo tanto queda demostrado que:
RBcorr
t
=
)(
ε
3.7.3 Generación de los escenarios
Una vez obtenidos los números aleatorios correlacionados, se usa la ecuación (2.3.3) para
restituir la media y la desviación estándar histórica de los datos. Matricialmente esto se
puede expresar como:
εµ
+=
t
BDY
1
De esta manera, se genera un vector aleatorio con media y desviación estándar igual a los
valores históricos, lo cual se demuestra por:
( )
( )
µε
+=
t
BDEYE
1
( )
( )
( )
µε
EBDEYE
t
+=
1
( ) ( ) ( )
µε
EEBDYE
t
+=
1
Donde
( )
=0 Eε
, por lo tanto:
µµ
==
)()( EYE
Para el caso de la varianza:
)()(
1
µε
+=
t
BDVarYVar
)()(
1
ε
=
t
BDVarYVar
11
)()(
=
DBVarBDYVar
t
ε
Pero como
IVar
=
)(
ε
,
11
)(
=
DBBDYVar
t
Y como
t
B B R× =
, entonces:
11
)(
=
DRDYVar
Premultiplicando y postmultiplicando (a) por
1
D
, vemos que:
1 1
D R D
− −
× × = Σ
Por lo tanto:
=
)(YVar
Con esto se ha demostrado que por medio de la ecuación (2.3.2) y la descomposición de
Cholesky se pueden generar escenarios con media y matriz de varianzas y covarianzas
iguales a las históricas.
3.7.4 Implementación del modelo predictivo
El método de Monte Carlo es un algoritmo que se utiliza para estimar el valor esperado
de una variable aleatoria, mediante la generación de escenarios, con los cuales se obtiene
una visión acerca del comportamiento de las variables.
De esta forma, con ayuda de Matlab 7.4 y TomLab/ CPlex (compilador para optimizar),
el algoritmo se “correrá” en un equipo Intel(R) Xeon (TM), 2 procesadores de 3.4 GHz y
2Gb de RAM con sistema operativo Microsoft Windows Server 2003, en el se generarán
una serie de números aleatorios para cada una de las acciones del portafolio, simulando
un conjunto de escenarios diarios y semanales. Así se obtendrán una gran cantidad de
escenarios (Entre 2000 a 5000, en base a la recomendación de Johnson en [6]),
distribuidos según una normal estándar con media y desviación estándar igual a los datos
y además con la misma correlación (según lo explicado en el capítulo anterior). De esta
forma se obtendrá una matriz con una cantidad de filas igual al número de acciones que
se manejen y a una cantidad de columnas igual al número de escenarios definidos en la
simulación.
Como se dijo, la generación de los números aleatorios será dependiente de la cantidad de
activos que se manejen en el portafolio, lo cual el sistema reconocerá por medio de la
dimensión del vector de retornos esperados. Por otro lado, la cantidad de escenarios a
modelar semanalmente, se ingresan de forma manual, por medio de un parámetro
llamado “muestra”.
Una vez generados los números aleatorios, la descomposición de Cholesky permite
obtener series correlacionadas de la misma forma en la cual se correlacionan los datos en
el pasado, pero manteniendo las medias y las desviaciones estándares de los números
aleatorios, es decir
0
µ
=
y
1
σ
=
. La dimensión de esta nueva matriz es la misma que la
generada por los números aleatorios.
Una vez correlacionados los datos, el siguiente paso corresponde a obtener series con
medias y desviaciones estándares iguales a las históricas, ya que como se ha visto las
acciones tienen retornos distintos a cero y volatilidades diferentes a 1.
La incorporación de los retornos, las volatilidades y las correlaciones históricas de las
series es por medio de la ecuación (2.3.4), la cual proviene del desarrollo del proceso de
Wiener. Así se obtiene una matriz que representa una serie de escenarios posibles en
términos de retornos para cada una de las acciones del portafolio para un horizonte de
tiempo correspondiente a una semana.
De esta manera la generación de números aleatorios, como los procedimientos para
obtener correlaciones, rentabilidades y desviaciones estándares iguales a las históricas se
repetirán para cada semana que se requiera modelar, generando un arreglo de 3
dimensiones (número de acciones, número de escenarios semanales a simular y
horizontes semanales a pronosticar).
El programa entregará dos alternativas de generación de escenarios, una como ya vimos,
utilizando la media histórica
µ
que se obtiene por la Ec. 2.2.0. y la otra por medio de
datos del juicio experto, en nuestro caso por el software “Bloomberg” el cual otorgará los
datos de la ecuación 2.3.6, conocida como “Modelo de Valoración de Activos de Capital”
o “Capital Asset Pricing Model”(Capm), este es un modelo frecuentemente utilizado en la
economía financiera. Sugiere que, cuanto mayor es el riesgo de invertir en un activo,
tanto mayor debe ser el retorno de dicho activo para compensar este aumento en el riesgo.
Por tanto se tiene:
( )
β
+=
RfRmRfCapm
Ec. (2.3.6).
Donde:
Rf
: Tasa libre de riesgo o en Chile bonos reajustables del Banco Central a 5 años
Rm
: Tasa de mercado, en nuestro caso sería el IPSA anual.
(RmRf): Representa el exceso de rentabilidad de la cartera de mercado.
β
: El coeficiente beta, se emplea para medir el riesgo no diversificable. Se trata aquí de
un índice del grado de respuesta de un activo ante un cambio en el rendimiento de
mercado. El coeficiente beta que caracteriza al mercado es 1; todos los demás
coeficientes se juzgan en relación con este valor. Las betas de los activos pueden adoptar
valores ya sean positivos o negativos, si bien aquellos (positivos) constituyen la norma.
La mayor parte de los coeficientes beta se hallan entre 0,5 y 215 (Juicio experto).
Posteriormente transformamos el
Capm
a la
semanal_
µ
, por medio de la siguiente
ecuación:
)365/7(
)1(1 Capmr
semanal
+=+
1)1(
)365/7(
+=
Capmr
semanal
Ec. (2.3.7).
Aplicando la ecuación. 2.3.7 y utilizando el
β
de cada activo, queda lo siguiente:
15 Más información en: [13]
Acción beta Rf (BCU5años) Rm (IPSA) CAPM u_sem_capm u_datos_históricos
ALMEN
0,96 6,16% 12,14% 11,90% 0,22% 0,63%
ANDINAB
0,87 6,16% 12,14% 11,36% 0,21% 0,18%
BCI
0,77 6,16% 12,14% 10,76% 0,20% 0,44%
BSAN
0,95 6,16% 12,14% 11,84% 0,21% 0,32%
CAP
1 6,16% 12,14% 12,14% 0,22% 0,63%
CCU
0,91 6,16% 12,14% 11,60% 0,21% 0,30%
CMPC
0,97 6,16% 12,14% 11,96% 0,22% 0,37%
COLBUN
0,8 6,16% 12,14% 10,94% 0,20% 0,31%
COPEC
0,95 6,16% 12,14% 11,84% 0,21% 0,40%
CTCA
1,06 6,16% 12,14% 12,50% 0,23% -0,01%
DYS
1,01 6,16% 12,14% 12,20% 0,22% 0,32%
ENDESA
1,08 6,16% 12,14% 12,62% 0,23% 0,28%
ENERSIS
1,15 6,16% 12,14% 13,04% 0,24% 0,04%
ENTEL
1,01 6,16% 12,14% 12,20% 0,22% 0,34%
FALAB
1,07 6,16% 12,14% 12,56% 0,23% 0,46%
IANSA
0,78 6,16% 12,14% 10,82% 0,20% 0,18%
LAN
1,1 6,16% 12,14% 12,74% 0,23% 0,69%
MADECO
1,1 6,16% 12,14% 12,74% 0,23% -0,26%
SQM_B
0,98 6,16% 12,14% 12,02% 0,22% 0,35%
VAPORES
1,14 6,16% 12,14% 12,98% 0,23% 0,43%
Tabla 1.5 Ejemplo de la obtención de la media semanal por medio del CAPM y la media obtenida
por medio de los datos históricos
Fuente: Elaboración propia
En la Tabla 1.5 se tiene las medias semanales (u_semanal) por medio del Capm para los
20 activos que se reemplazarán en la ecuación 2.3.4, la cual proviene del desarrollo del
proceso de Wiener. Así se obtiene una matriz que representa una serie de escenarios
posibles en términos de retornos para cada una de las acciones del portafolio para un
horizonte de tiempo correspondiente a una semana. Se aprecia claramente la diferencia
entre las medias obtenidas por Capm y por los datos históricos, esto se debe a que en los
últimos 10 años la Bolsa de Comercio de Santiago ha experimentado un alza considerable
en el precio de las acciones, por lo que al usar la media histórica se estaría en presencia
de mucho “ruido”. Dado lo anterior conviene usar la media semanal obtenida por el
Capm ya que es mucho más conservadora.
CAPITULO IV ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN PARA EL CÁLCULO DEL
VaR
En esta parte, se presentará un algoritmo de minimización del VaR, para el cual se
considera que todos los supuestos que fueron indicados en las ecuaciones (Ec. 2.4 – 2.9).
4.1 Descripción informal del algoritmo
Por definición, el
α
-VaR es el valor más pequeño, tal que la probabilidad de que la
pérdida será menor o igual a este valor es más grande o igual a
α
. Basados en la
simulación de los escenarios, el portafolio
α
-VaR; portafolio cuya probabilidad de que la
pérdida sea menor o igual al VaR es mayor o igual a
α
, se estima como la pérdida
k
L
en
un escenario k, donde la probabilidad total de todos los escenarios con pérdidas menores
o iguales a
k
L
es al menos
α
.
La línea general de pensamiento detrás del algoritmo heurístico que se considerará en
este trabajo es bastante simple. Ésta comienza con un portafolio óptimo que se obtiene al
aplicar una aproximación al mínimo CVaR, luego se reduce sistemáticamente el VaR del
portafolio solucionando una serie de problemas de CVaR usando técnicas de
programación lineal. Estos problemas de CVaR son obtenidos restringiendo y
"desechando" los escenarios que van mostrando grandes pérdidas.
El objetivo del algoritmo es ir construyendo límites superiores para el VaR, para luego
minimizar estos límites. El primer límite superior para el
α
-VaR es el
α
-CVaR, el cual
se minimiza. Luego se dividen los escenarios en los cuales las pérdidas exceden
α
-VaR
y se "descarta" la porción superior de estos escenarios (véase figura 2.2). El número de
escenarios que se desechan es determinado por el parámetro
ξ
(e.g., si
ξ
es igual a 0.5
entonces se desecha la mitad superior). La Figura 1.4 muestra el primer paso del
acercamiento, cuando se desechan los escenarios con grandes pérdidas y se excluyen
(haciéndolos "inactivos"). Luego se calcula un nuevo
1
α
de tal forma que el CVaR con
este nuevo
1
α
sea un límite superior para el VaR del problema original. Este
1
α
-CVaR es
la pérdida esperada de los escenarios activos con pérdidas que exceden al
α
-VaR, es
decir, los escenarios entre el
α
-VaR y la línea punteada de la figura. De esta forma se va
reduciendo al mínimo el límite superior. Resumiendo, el procedimiento consta de la
construcción de una serie de límites superiores que se van reduciendo al mínimo hasta no
poder seguir descartando escenarios activos. Al final de este procedimiento se procede a
usar la heurística considerada en [17] el cual minimiza la perdida
k
L
, mientras se asegura
que las pérdidas en los escenarios que exceden a
k
L
están guardadas en
k
L
. Este
acercamiento requiere solucionar una serie de problemas de programación lineal.
Figura 1.4 Ejemplo Gráfico del Algoritmo Implementado.
Fuente: [22]
En la Figura 1.4, se observa que en el Segundo paso del algoritmo se restringen y se
descartan los
J
)1(
αξ
escenarios que muestren las mayores pérdidas (haciéndolos
inactivos). Así un nuevo CVaR es generado, de tal manera que este CVaR sea un límite
superior del VaR.
En la siguiente sección, el algoritmo será explicado con mayor nivel de detalle.
4.1.1 Algoritmo
En esta sección se da una descripción formal del algoritmo antes introducido.
Paso 0: Inicialización
i) Fijar
0
α α
=
, i = 0,
{ }
0
: 1, ,H j j J= = K
ii) Asignar un valor a la constante
ξ
,
0 1
ξ
< <
.
Paso 1: Sub-Problema de Optimización
i) Minimizar
i
α
-CVaR
, , ,
min
i
i j
x z j H
z
ζ γ
ζ υ
+
Ec. (2.3.8).
Sujeto a:
,x X
Ec. (2.3.9).
( , )
j j
z f x y
ζ
≥ −
,
0,
j
z
,
i
j H
Ec. (2.4.0).
( , )
j
f x y
γ
,
,
i
j H
Ec. (2.4.1).
( , )
j
f x y
γ
,
,
i
j H
Ec. (2.4.2).
donde
1
((1 ) )
i i
J
υ α
= −
. Ec. (2.4.3).
Notar que la solución de este problema de optimización está dada por
*
.
i
x
ii) Con respecto al valor de la función de pérdidas
*
( , )
i j
f x y
, ordenar los
escenarios,
1, ,j J=K
, en orden ascendente, denotando los escenarios ordenados por
l
j
,
1, ,l J=K
.
Paso 2: Estimación del VaR.
Calcular la estimación del VaR,
*
( )
( , )
i i l
f x y
α
ζ
=
, donde
{ }
( ) min : /l l l J
α α
= ≥
.
Paso 3: Criterio de parada del algoritmo
Si
1i i
H H
=
, detener el algoritmo. Donde
*
i
x
será la estimación óptima del portafolio y el
VaR será igual a
i
ζ
.
Paso 4: Reinicialización
i)
1i i= +
.
ii)
(1 )(1 )
i
i
b
α α ξ
= + −
y
/
i i
b
α α
=
iii)
{ }
1
: /
i l i i
H j H l J b
= ∈
.
iv) Ir al paso 1.
En Otras palabras:
Paso 1: Sub-Problema de Optimización
, , ,
min
i
i j
x z j H
z
ζ γ
ζ υ
+
Con respecto al valor de la función de pérdidas
*
( , )
i j
f x y
, ordenar los escenarios,
1, ,j J
=
K
, en orden ascendente, denotando los escenarios ordenados por
l
j
,
1, ,l J
=
K
.
f(xi*, yln)<= f(xi*, yl2)<= ……..<= f(xi*, yl5000)
Paso 2: Estimación del VaR.
l(0.95)= l=0,95*5000=4750
α=0.95 ; i=0 ; H0={1… 5000}
Paso 3: Criterio de parada del algoritmo
Si
1i i
H H
=
, detener el algoritmo. Donde
*
i
x
será la estimación óptima del portafolio y el
VaR será igual a
i
ζ
.
Paso 4: Reinicialización
i= 0 + 1=1
b1=0.95+(1-0.95)(1 -0.5)1 = 0.975
α1=0.95/b1= 0.95/0.975 =0.974
H1=4750*0.974=4631
i= 1 + 1=2
b2=0.95+(1-0.95)*(1 -0.5)2=0.962
α2=0.95/b2= 0.95/0.962 =0.987
H2=4631*0.987=4570
i= 2 + 1=3
b3=0.95+(1-0.95)*(1 -0.5)3=0.956
α3=0.95/b3= 0.95/0.956 =0.99
H3=4570*0.99=4524
i= 3 + 1=4
b4=0.95+(1-0.95)*(1 -0.5)4=0.953
α4=0.95/b4= 0.95/0.953 =0.996
H4=4524*0.996=4505
i= 4 + 1=5
b5=0.95+(1-0.95)*(1 -0.5)5=0.951
α5=0.95/b1= 0.95/0.951 =0.996
H5=4505*0.996=4486
i= 5 + 1=6
b6=0.95+(1-0.95)(1 -0.5)6=0.95
α6=0.95/b6= 0.95/0.95 =1
H6=4486*1=4486 para el algoritmo.
Por lo tanto en la posición 4486 corresponde el mínimo riesgo (VaR) con la rentabilidad
esperada.
Una vez definido el problema formalmente, se explica con más detalle cada uno de los
pasos anteriores.
El paso 0 inicializa el algoritmo definiendo
0
α
como el nivel de confianza
α
, y fijando
la el contador de las iteraciones
i
en cero.
Los escenarios incluidos en el sub-problema de optimización del CVaR (ecuación 2.3.8),
se definen como activos. Inicialmente todos los escenarios son activos y se denota por el
conjunto H0 (este conjunto lo que realmente denota, es el conjunto de índices de los
escenarios activos). En los pasos siguientes, a medida que se va solucionando el sub-
problema de optimización definido por el CVaR, solamente se irán considerando el
conjunto de escenarios activos, definido por Hi (recalquemos que Hi es el conjunto de
índices de los escenarios activos en el Paso i). Los escenarios llamados inactivos
corresponden a los que han sido excluidos en las iteraciones anteriores. El parámetro
ξ
define la proporción de escenarios de la cola que será excluida en cada iteración. Por
ejemplo, si
ξ
= 0,5, la mitad de la cola se excluye en cada iteración. Más adelante se le
darán diferentes valores a esta variable para ver cómo influyen estas variaciones en el
algoritmo.
El paso 1 soluciona el sub-problema de optimización de reducir el
i
α
-CVaR, el cual es un
límite superior del
α
-VaR. La variable
γ
es una variable libre que asegura que las
pérdidas en los escenarios inactivos excedan a aquellas que corresponden a los escenarios
activos.
En el paso 2, el VaR se estima como la pérdida en el escenario tal que la probabilidad
acumulada de los escenarios con pérdidas menores o iguales a la de este escenario es
mayor o igual a
α
.
En el paso 3, el algoritmo se detiene cuando la optimización del sub-problema se ha
realizado sobre solo uno de los escenarios activos, es decir, cuando se han reducido al
mínimo las pérdidas en el escenario que corresponde a la estimación del
α
-VaR. De esta
forma, la cantidad de iteraciones a realizar, antes de obtener una solución óptima,
dependerá de la magnitud de los siguientes parámetros:
J: Cantidad de muestras o escenarios a modelar.
Alfa (
α
): Nivel de confianza. (
α
-VaR)
Chi (
ξ
): Proporción de escenarios de la cola que será excluida en cada iteración.
En el paso 4,
i
α
se define de tal forma de que
i
α
-CVaR, el cual es calculado solamente
en función de los escenarios activos sea un límite superior del
α
-VaR original.
Minimizando el
i
α
-CVaR sobre los escenarios activos, da lugar a una minimización del
valor medio de la cola activa que excede al
α
-VaR. En la figura 2.2 se ejemplifica esta
situación.
Además, en este paso se excluyen del sistema de escenarios activos Hi la parte superior
de los escenarios activos que exceden al
α
-VaR. Por ejemplo, según lo ilustrado en
Figura 1.4, en la primera iteración la cola está dividida en dos partes, la parte superior de
la cola se hace inactiva y la parte inferior corresponde al conjunto H1 de escenarios
activos.
4.2 Resultados del Algoritmo de Optimización
En esta parte del capítulo, se mostrarán los resultados obtenidos por medio del algoritmo
de optimización.
Como primer paso, sólo se considerarán las variables relacionadas con la cantidad de
escenarios a modelar (J), el nivel de confianza (α), que define el α -VaR y la proporción
de escenarios de la cola que serán excluidos en cada iteración (ξ), obteniendo el
comportamiento del VaR en el portafolio seleccionado bajo restricciones de
diversificación de un 30% y la no exigencia sobre los retornos, este cálculo se realizará
de forma análoga para los dos casos de generación de escenarios; media histórica y la
calculada mediante Capm (ver capítulo 3.7.4).
Para los casos antes descritos, se toman los siguientes valores:
J = 5000 α =0.95 ξ = 0.5
Tabla 1.6 Resultados de los Datos del Algoritmo Implementado utilizando media semanal histórica y
media por medio del Capm.
Fuente: Elaboración propia
En la Tabla 1.6 se aprecia que bajo las mismas condiciones, la generación de escenarios,
el retorno es s optimista cuando se usa la media histórica es vez de la media Capm,
este fenómeno era de esperarse ya que la muestra de los activos que se tomó para el
análisis, contempla sólo los 10 últimos años (1997-2007), que es justamente fue el
período en donde el mercado bursátil subió s de lo esperado, por lo que deberíamos
tomar en cuenta los resultados del algoritmo usando la media obtenida por el Capm, ya
que son datos más conservadores.
Cabe destacar que, el algoritmo por si solo ha optado por activos con retornos positivos
en desmedro de activos con retornos negativos, lo cual da una idea de la forma en como
está trabajando.
Se observa además que en ambos casos, al aumentar el tiempo de 4 a 36 semanas el
retorno se va incrementando, acrecentándose con ello el riesgo.
Gráfico 1.3 Gráfico comparando las dos alternativas de simulación de escenarios
Fuente: Elaboración propia
Analizando el Gráfico 1.3, observamos la conservación del principio básico de finanzas,
el que dice que a mayor retorno mayor riesgo (VaR), el cual se aplica para los dos casos
de las medias.
Como se mencionó en el párrafo anterior, se aprecia que al usar la media histórica, el
pronóstico de retorno v/s riesgo es más optimista que el de la media Capm, ya que la
segunda es más conservadora.
Siguiendo con nuestro estudio, ahora fijamos un horizonte a pronosticar de 24 semanas (6
meses), 5000 escenarios (J=5000), intervalo de confianza de un 90% =0.9) y ξ = 0.5
(parámetro fijo del algoritmo, índica que la mitad de la cola se excluye en cada iteración)
y cambiando la diversificación (div) y exigiéndole retorno, los resultados son los
siguientes:
Horizonte
Alfa 0,9 0,9 0,9 0,9
Diversificación 0,3 0,3 0,3 1 (Libre)
Exigiendole Retorno - 5,5% 6,0% 6,0%
Retorno 5,13% 5,50% Error 6,00%
VaR 8,82% 8,86% Error 12,41%
24 semanas (6 meses)
Tabla 1.7 Datos que entrega el software (Tesis)
Fuente: Elaboración propia
En la Tabla 1.7 se vislumbra, que bajo un mismo escenario (div=0.3), si dejo que el
algoritmo “trabaje sólo”, es decir, sin exigirle cierto retorno, éste obtiene un riesgo (VaR)
menor que cuando se le exige un retorno del 5.5%.
Ahora exigiéndole al algoritmo que el portafolio de inversión al menos rente un 6% con
la misma diversificación de un 30%, éste no encuentra el portafolio óptimo con la
rentabilidad pedida, ya que en ese período no hay acciones más rentables, por
consiguiente el programa entrega un mensaje de “Error”, “pruebe una rentabilidad
menor”.
De esta manera, si dejamos la diversificación igual a 1, es decir, que el algoritmo escoja
las acciones más rentables y invierta de forma libre sin restricción de cuando invertir en
cada acción y le exigimos al algoritmo que al menos rente un 6%, el riesgo sube de forma
categórica al exigirle un mayor retorno, esto claramente debe cumplirse ya que es uno de
los principios básicos de finanzas, que a mayor riesgo del portafolio mayor es el retorno
esperado16.
Ahora analizando otros casos:
Escenarios: 5000 y usando media semanal Capm
Tiempo (semanas)
Alfa 0,9 0,95 0,99 0,9 0,95 0,99 0,9 0,95 0,99
Div
Retorno 0,76% 1,05% 1,17% 2,46% 2,48% 2,51% 4,00% 4,03% 4,06%
Riesgo (VaR) 4,64% 5,85% 8,49% 6,88% 9,29% 13,58% 7,96% 11,18% 16,17%
4
12
20
0,2
0,2
0,2
Tabla 1.8 Variación del Intervalo de Confianza para tres Períodos de Tiempo
Fuente: Elaboración propia
En la Tabla 1.8 se analizó la variación del nivel de confianza (90%, 95% y 99%) para tres
períodos de tiempo 4, 12 y 20 semanas respectivamente, con un mismo nivel de
diversificación 20% y sin exigirle retorno. Para los tres períodos de tiempo se aprecia,
que a menor intervalo de confianza del VaR, menor es el riesgo asociado al portafolio y a
16 En Anexos se ven las pantallas del programa del ejemplo anterior.
medida que se vaya aumentando el nivel de confianza, el riesgo asociado aumentará
considerablemente.
Tiempo
Alfa
Diversificación 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 (libre)
Retorno 1,75% 1,69% 1,68% 1,68% 1,68% 1,69% 1,68% 1,68% 1,68% 1,68%
Riesgo (VaR) 8,12% 7,69% 7,67% 7,66% 7,74% 7,70% 7,62% 7,65% 7,68% 7,70%
8 semanas
0,95
Tabla 1.9 Variación del Nivel de Diversificación para un Horizonte de Tiempo de 8 Semanas y un
Intervalo de Confianza de un 95%.
Fuente: Elaboración propia
En la Tabla 1.9 se aprecia que al ir aumentando el nivel de diversificación del algoritmo,
el retorno esperado del portafolio y el riesgo asociado a éste son bastante similares, esto
ocurre ya que lo que hace ésta restricción es ver cuando es lo máximo que se puede
invertir en cada activo. Por lo general, esta restricción es usada por las Administradoras
Generales de Fondos ya que la SVS se los impone17 bajo la norma Nº 148.
Finalmente, para un horizonte de tiempo de 12 semanas (3 meses) y con un nivel de
confianza de un 95% y además un nivel de diversificación del portafolio de un 30% se
obtienen los siguientes resultados:
Tiempo
Alfa
Diversificación
Chi 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Retorno 2,41% 2,40% 2,42% 2,41% 2,41%
Riesgo (VaR) 9,49% 9,55% 9,47% 9,57% 9,56%
12 semanas
0,95
0,3
Tabla 2.0 Variación del ζ en el Algoritmo
Fuente: Elaboración propia
En la Tabla 2.0 se observa que, al aumentar el parámetro chi (ξ) en el algoritmo, el
retorno esperado del portafolio y el riesgo asociado a éste se mantienen constantes, éstos
resultados son los esperados ya que este parámetro está al asociado tiempo que toma al
algoritmo en converger en la solución, en otras palabras, la cantidad de iteraciones que
tiene que realizar para llegar al óptimo.
17 Se hace referencia de ésto en la página 10.
4.3 Validación del Algoritmo de Optimización
Para comprobar que efectivamente nuestro algoritmo entrega el vector óptimo de pesos a
invertir en cada acción con un riesgo VaR mínimo, se hizo lo siguiente:
Se tomo el ejemplo anterior (J=5000, α =0.9, div =0.3, horizonte= 24 semanas y el
retorno se dejo libre). Se ejecutó el software y el vector óptimo obtenido por el algoritmo
X* se perturbó de la siguiente manera:
X1 = X* + e1 VaR1, E(r)1
X2 = X* + e2 VaR2, E(r)2
X3 = X* + e3 VaR3, E(r)3
Xn = X* + e4 VaRn, E(r)n
en donde
=
0
i
e
y
=
1
i
X
.
Es decir, en el vector
20*
RX
, se perturbó la 1era componente en un 1%, al resto de las
componentes se les restó
n
01.0
, donde n es el número de componentes que son mayores
a 0.01 (para que no sean inferiores a 0 y que la suma de Xi sea igual a 1). Posteriormente,
al nuevo punto X se le calculó el retorno esperado y el VaR.
Para que se demuestre que, efectivamente estamos en presencia del óptimo, la gráfica
resultante debe quedar así:
Figura 1.5 Validando el Óptimo que entrega el Algoritmo
Fuente: Elaboración propia18
Esto significa (ver figura 1.5), se tiene que en el segundo cuadrante no puede haber
ningún punto, ya que si hay un punto en él, quiere decir que bajo un mismo riesgo (Var) o
menor a este obtengo un mayor retorno, lo cual contradice la teoría financiera.
Cuando ejecutamos la validación con las perturbación del 1%, se obtuvieron los
siguientes resultados:
Figura 1.6 Resultados de la validación del algoritmo
Fuente: Elaboración propia
18 La validación se hizo con la ayuda del Profesor Rodrigo Troncoso.
Figura 1.7 Zoom de las perturbaciones de la figura 2.7
Fuente: Elaboración propia
En la Figura 1.6 se observa que efectivamente, el algoritmo arroja el vector óptimo de
pesos a invertir con un riesgo asociado mínimo, ya que al perturbar el vector X, los
valores resultantes, efectivamente tienen un mayor retorno esperado, también un mayor
VaR.
La Figura 1.7 es una ampliación de la Figura anterior, y nos muestra que las
perturbaciones forman una curva y no una recta como parecía vislumbrarse en la Figura
1.6.
CAPITULO V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En esta memoria, se ha logrado cumplir con el objetivo propuesto de implementar
computacionalmente un algoritmo de optimización, inexistente en el mercado nacional,
que calcula el VaR por medio de la minimización del CVaR.
Aunque este tipo de algoritmo puede ser usado para todo tipo de transacciones
financieras, durante este trabajo la implementación se realizó para portafolios de
inversiones accionarías, en base a activos transados en el mercado nacional, pero bajo
una metodología extrapolable a casi cualquier mercado mundial.
Es importante resaltar que el uso del VaR como medida de riesgo se ha masificado a
través del mundo. En Chile actualmente es un requisito de la Superintendencia de Valores
y Seguros (SVS) como cuantificador de riesgo para algunos tipos de transacciones. Con
respecto a esto, se debe decir que a nivel nacional, las estimaciones del VaR sólo se
resuelven por medio de metodologías estadísticas, las cuales están bastante lejos del
algoritmo de optimización desarrollado en esta memoria.
En general las evaluaciones del VaR de tipo estadísticas se utilizan para cuantificar los
riesgos ex-post, tomando en consideración portafolios definidos. Por lo tanto, sólo se
utilizan para tener una idea del nivel de riesgo tomado, en vez de usarlo como una
herramienta de decisión a futuro. Por otra parte, el algoritmo implementado da como
resultado un portafolio óptimo en términos del VaR, es decir calcula los pesos a invertir
en cada activo, obteniendo simultáneamente el CVaR, medida de riesgo más deseable
(debido a sus propiedades) y más conservadora.
Con respecto a la obtención y generación de información financiera para el
funcionamiento del algoritmo, se debe decir que aunque las proyecciones de precios
accionarios corresponden a materias de gran dificultad a la hora de modelarlas, debido a
su gran aleatoriedad, volatilidad, expectativas y movimientos bruscos del mercado, las
técnicas usadas como las simulaciones de Monte Carlo, factorización de Cholesky y
procesos de Wiener, fueron de gran ayuda para obtener pronósticos de las rentabilidades,
volatilidades y correlaciones similares a los históricos exhibidos por las series originales.
En relación a los resultados obtenidos con respecto al algoritmo de optimización, se
puede apreciar que están en línea con la teoría financiera en lo que respecta a la relación
entre el riesgo del portafolio (VaR) y la diversificación, y el retorno exigido al portafolio
óptimo que determina el algoritmo.
En el capítulo III, para la generación de los escenarios se trato de simular el
comportamiento de las acciones de la forma más real posible, cambiando la media
histórica de los retornos por el CAPM, ya que los
β
de cada acción y las tasas libre de
riesgo y de mercado son obtenidas por el juicio experto de personas a nivel mundial por
lo que la visión de éstas suele ser más real que una media histórica sesgada.
En el capítulo IV, con respecto al retorno requerido del algoritmo, se observó que a partir
de determinado valor, el VaR crece sustancialmente. Un comportamiento similar se puede
apreciar en el análisis del nivel de diversificación libre versus diversificación estática.
Desde el punto de vista estadístico, se podría agregar a esta memoria otras distribuciones
además de la normal, en la modelación por procesos de Wiener, en particular, es deseable
tener en cuenta distribuciones asimétricas que corresponden de manera más realista al
comportamiento de los precios accionarios, por ejemplo t- student o distribución
logística.
Finalmente, otra perspectiva de desarrollo de esta memoria podría ser la consideración de
carteras de inversión con otros tipos de activos como bonos y opciones, así como
aplicaciones en las áreas de seguros o créditos bancarios.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]: Portillo P., M.P., Sarto, J.L. (2001): Dirección financiera del riesgo de interés, Ed.
Pirámide, Madrid.
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[3]: Jorion Phillippe (2000): Value at Risk: the new benchmark for managing financial
risk, 2da edición, McGraw-Hill.
[4]: Sharpe, W (1964): "Capital Assets Prices: A Theory of Market Equilibrium Under
Conditions of Risk", Journal of Finance, nº 19, pp. 425-442.
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Riesgo: Conceptos de VeRdelta y VeRbeta", Revista Análisis Financiero, nº 75, pp. 6-8.
[6]: Johnson Christian A. (2000): “Métodos de evaluación del riesgo para portafolios de
inversión”, Documentos de trabajo, Banco Central de Chile, Nº67.
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[8]: Romero, R., Laengle, S. (2005): “Implementación del Value at Risk Condicional
para la Toma de Decisiones”, mimeo Universidad de Chile, Facultad de Ciencias
Económicas y Administrativas.
[9]: Rockafellar, R.T., Uryasev, S. (2002): Conditional Value-at-Risk for general loss
distributions”, Journal of Banking & Finance 26, pp.1443-1471.
[10]: Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.M., Health, D. (1999): “Coherent Measures of
Risk”, Mathematical Finance 9, pp.203-228.
[11]: Antonio Parisi F. (2006): “Diversificación y Manejo del Riesgo”, Revista
Economía y Administración, Universidad de Chile, pp. 70-71.
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[13]: Brealey, Myers, Allen. (2006): “Principios de Finanzas Corporativas”,8ª ed.,
McGraw-Hill, pp. 161-187.
[14]: http://www.gacetafinanciera.com/PORTAF1.ppt
[15]: http://www.innovanet.com.ar/gis/TELEDETE/TELEDETE/bmatyest.htm
[16]: Palmquist J., Uryasev S. y Krokhmal P. (1999): “Portfolio optimization with
Conditional Value at Risk Objective and contraints” Universidad de Florida,
Departamento de Ingeniería Industrial y se Sistemas.
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Risk”, Algo Research Quarterly, Vol 2, N°2, pp. 5-20.
[18]: Rockafellar, R.T. y S. Uryasev S. (2001): “Conditional Value at Risk for General
Loss Distributions”, Research Report 2001-5. ISE Dept., Universidad de Florida.
[19]: Uryasev, S. (2000): “Conditional Value at Risk: Optimization Algorithms and
applications” Financial Engineering New, 14, pp. 1-6.
[20]: Hull, John C. (1999): “Options, Futures and other derivatives”. Prentice Hall,
Cuarta Edición. New Jersey.
[21]: Duffie, D & Pan, J. (1997): An Overwiew of Value at Risk”, Journal of Derivates,
4, 7-49.
[22]: Larsen N., Mausser H., Uryasev S. (2001): “Algorithms for Optimization of
Value at Risk”, Research Report 2001-9. ISE Dept., Universidad de Florida.
ANEXOS:
Ticker IPSA Name
BCI Banco de Credito e Inversiones
BSAN Banco Santander Chile SA
CAP CAP SA
CCU Cia Cervecerias Unidas SA
CTCA Cia de Telecomunicaciones de Chile SA
VAPORES Cia Sudamericana de Vapores SA
COLBUN Colbun SA
DYS Distribucion y Servicio D&S SA
ANDINAB Embotelladora Andina SA
ENDESA Empresa Nacional de Electricidad SA/Chil
ENTEL Empresa Nacional de Telecomunicaciones S
CMPC Empresas CMPC SA
COPEC Empresas COPEC SA
IANSA Empresas Iansa SA
ENERSIS Enersis SA/Chile
LAN Lan Airlines SA
MADECO Madeco SA
FALAB SACI Falabella
SQM/B Sociedad Quimica y Minera de Chile SA
Anexo 1 Nombre de las Acciones Seleccionadas
Fuente: Bloomberg
Pantallas Software Tesis (Manual de Funcionamiento)
Primero que todo Ud. Debe abrir el software Matlab 7.4 y abrir la carpeta “Interfaz”
Luego en la pantalla “Command Window” escribir “optimizacion” y apretar “Enter”
Posterior a eso se abre el menú inicial del software
Pinchar “Pulsar para Continuar”
Luego, Pinchar “Archivo” “Cargar Datos” (esperar unos segundos, hasta que se
habilite “Herramientas”).
Posterior: pinchar “Herramientas” “Mostrar Acciones”
Muestra toda la base de datos. Si uno pincha el círculo del activo se despliega el gráfico
en una ventana posterior con los datos históricos del precio del activo seleccionado. Para
seleccionar los activos que conformarán el portafolio, pinchar el cuadrado.
Para seleccionar las acciones usadas en la memoria, pinchar “Recomendado”
Luego pinchar “Aceptar”
Por defecto la fecha que aparece en ese cuadro es la fecha final de la base de datos. (Por
esto, si no conoce el día que corresponde esa fecha, pinche “Ver” y se despliega lo
siguiente).
Tal como aparece en el calendario se ve que el 10 de agosto del 2007 corresponde a un
día viernes. Luego seleccione la fecha de inicio de los datos históricos a estudiar. En esta
memoria corresponde al día 23 de Mayo del 1997, pinche “Aceptar”
Ahora ingrese el día final de la base de datos (Viernes) como en el cuadro de abajo y
pinche “Aceptar”.
Ahora pinche
Pinche “Crear Matriz”
Si desea cambiar las acciones, haga clik “Cambiar
Base” y se devuelve al las acciones seleccionadas.
A
B
Si escogió A, se despliega lo siguiente y pinchar “Aceptar”.
Para la memoria y en términos generales,
es bueno usar siempre la matriz de datos
de rentabilidad semanal, ya que los datos
diarios son muy volátiles y no son
buenos para hacer alguna inferencia
El 1er método sin reactualización se
usará por defecto, éste consiste en
generar escenarios mediante el proceso
de Wiener, iterando para cada t.
En este paso, el inversionista define el
horizonte de tiempo a simular y la
cantidad de escenarios a generar (Se
recomienda usar sobre 5000 escenarios,
según [6]).
Si uno pincha “aceptar”, se trabajará con
la media de los datos históricos.
Si uno pincha “Opciones
Avanzadas”, se trabajará con
la media CAPM, en donde por
defecto se trabaja con el Rf
,Rm y
β
previamente
definidos.
1
2
3
4
4
Al apretar “Calcular Matriz” se generan
los escenarios de rentabilidades que se
usarán en el algoritmo del CVaR
5
Al apretar el botón 5 se genera la siguiente ventana:
Caso 1.:
Uno puede poner el parámetro que desee, o
si presiona “Datos Recomendados”, muestra
esos datos por defecto. Donde “beta”
(corresponde al alfa, al intervalo de
confianza del VaR y CVaR). Los restantes se
han explicado con detalle en el ejemplo del
capítulo 4.3
Uno tiene dos opciones:
1. “Calcular CVaR”: Encuentra el vector
de pesos X, óptimo a invertir, con su
VaR óptimo y su Retorno esperado y
da la opción de hacer el grafico de
sectores mostrando lo invertido en
cada acción.
2. “Frontera de Eficiencia”: Gráfica
Retorno v/s VaR de ciertos
portafolios.
Resultados de la
Optimización
Zoom al cuadro “Resultados de la Optimización” (resultados del estudio, página 67)
Exigiéndole un retorno de un 5,5% Exigiéndole un retorno de un 6% y div= 30%
VaR del portafolio óptimo
Vector X de pesos a invertir en cada acción
Pronóstico de Rentabilidad de para cada acción
Retorno esperado del portafolio
Caso 2.:
Se ingresa la cantidad la cantidad de portafolios
a graficar, es decir, se genera la frontera eficiente
Por ejemplo si quiero ver el
portafolio 1, selecciono ese
“botón” y muestra en el
recuadro de abajo el VaR,
Retorno esperado y el vector X
de pesos a invertir en cada
acción.
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL
ANÁLISIS DEL RIESGO DE PORTAFOLIOS: ESTRATEGIA DE INVERSIÓN
POR MEDIO DE LA MINIMIZACIÓN DEL VaR
FELIPE RODRIGO ZANBERK WALTER
Profesor Guía : Dr. Paul Bosch P.
Profesor Comisión : Jaime Miranda P.
Rodrigo Troncoso O.
MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL
SANTIAGO - CHILE
DICIEMBRE 2007
Agradecimientos
Familia:
A mi Mamá por la entrega de sus valores y el sentimiento de “Lucha”.
A mi Papá por sus consejos y su apoyo incondicional.
A mi abuela Moni que me entregó muchos valores, como la moral, la
perseverancia, entre muchos más.
A mi Reina por estar siempre conmigo
Profesor Guía:
A Paul por confiar en y darme tan interesante tema, por el apoyo que me dio en todo
momento.
Administradora General de Fondos Cruz Del Sur (Mesa de Dinero), en especial a Luis
Aliste E. (gerente de inversiones), por su ayuda financiera e interés en el resultado de la
memoria.

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Escrito por:

Ingeniero Civil Industrial de la Universidad Diego Portales (UDP) Chile. Santiago de Chile, diciembre 2007.

Cita esta página
Zanberk Walter Felipe. (2008, mayo 30). Minimización del Valor en Riesgo VaR como estrategia de inversión. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/minimizacion-del-valor-en-riesgo-var-como-estrategia-de-inversion/
Zanberk Walter, Felipe. "Minimización del Valor en Riesgo VaR como estrategia de inversión". GestioPolis. 30 mayo 2008. Web. <http://www.gestiopolis.com/minimizacion-del-valor-en-riesgo-var-como-estrategia-de-inversion/>.
Zanberk Walter, Felipe. "Minimización del Valor en Riesgo VaR como estrategia de inversión". GestioPolis. mayo 30, 2008. Consultado el 22 de Mayo de 2015. http://www.gestiopolis.com/minimizacion-del-valor-en-riesgo-var-como-estrategia-de-inversion/.
Zanberk Walter, Felipe. Minimización del Valor en Riesgo VaR como estrategia de inversión [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/minimizacion-del-valor-en-riesgo-var-como-estrategia-de-inversion/> [Citado el 22 de Mayo de 2015].
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