Matemáticas financieras: interés simple, compuesto y anualidades

UNIDAD I.- INTERÉS SIMPLE

INTERÉS SIMPLE: Es el que proporciona un capital sin agregar rédito vencido, dicho de otra manera es el que devenga un capital sin tener en cuenta los intereses anteriores.

MONTO SIMPLE (M): Se define como el valor acumulado del capital. Es la suma del capital más el interés, su ecuación es: M = C + I

CAPITAL (C): También se le denomina valor actual o presente del dinero, inversión inicial, hacienda.

TASA DE INTERÉS (i): Es el precio del dinero que normalmente se indica en tanto por ciento (%), es una operación comercial donde se hace uso de un capital o de cualquier activo.

TIPO DE INTERÉS: Interés simple y compuesto

PLAZO O TIEMPO: Es el que normalmente se especifica en el documento o contrato puede ser cualquier unidad de tiempo; días, meses, años, etc.

DESCUENTO: Es la disminución que se hace a una cantidad por pagarse antes de su vencimiento. Es el cobro anticipado de un valor que se vence en el futuro.

TIPOS DE DESCUENTO:

  • DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE INTERÉS: El valor presente C de una cantidad M con vencimiento en una fecha posterior, puede ser interpretado como el valor descontado de M. A este tipo de descuento se le conoce como descuento racional. Dr = M – C
  • DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE DESCUENTO: La tasa de descuento se define como la razón del descuento dado en la unidad se tiempo (en este caso un año) al capital sobre el cual esta dado el descuento. La tasa de descuento anual se expresa como un porcentaje. Conocido también como descuento bancario. Fórmula: D = M d t

FECHA FOCAL: Es la fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las diferentes operaciones, dicho de otra manera es la fecha que se escoge para la equivalencia

ECUACIONES EQUIVALENTES: Es aquel que nos sirve para conocer el monto del capital, invertido en un tiempo especifico y con una cierta tasa de interés. El valor total de las operaciones de adeudo debe ser igual a las operaciones de pago. De las cuales tres de las operaciones serán las que se conocerán su valor y uno permanecerá en incógnita la cual será despejada, después de esto se conocerá su valor y se equilibrará la ecuación.

UNIDAD II.- INTERÉS COMPUESTO

INTERÉS COMPUESTO: Se le conoce como interés sobre interés, se define como la capitalización de los intereses al término de su vencimiento

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN: Es el intervalo de tiempo convenido y se calcula mediante la siguiente ecuación:

n = ma.m

Donde:

n= numero de periodos

ma = número de años

m= frecuencia de capitalización

FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN: Es el número de veces en un año que de interés se suma al capital

MONTO COMPUESTO: Es el total, el capital, incluyendo los interés, capitalizables; dicho de otra forma es el capital más los intereses capitalizados

MONTO COMPUESTO DE INTERÉS FRACCIONARIO: Existen dos formas para calcularlo:

a) Utilizando el calculo del monto compuesto más el monto simple

b) El segundo método es calculándolo de manera fraccionaria

TASA NOMINAL: Es aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar la moneda por inflación.

TASA EFECTIVA: Es cuando el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual.

TASA EQUIVALENTE: Cuando dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización producen el mismo interés compuesto al cabo de un año. Son las que se pagan al final del periodo, las que teniendo diferente convertibilidad producen un mismo monto.

UNIDAD III.- ANUALIDADES

ANUALIDAD: Conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo.

EJEMPLO DE ANUALIDADES:

  • Pagos mensuales por renta
  • Cobro quincenal o semanal por sueldo
  • Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito
  • Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida

PLAZO DE UNA ANUALIDAD: Es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer pago y el final.

RENTA: Es el nombre que se da al pago periódico que se hace

Clasificación de las anualidades
Criterios Tipos de anualidades
Tiempo Ciertas: sus fechas son fijas y se estipulan de antemano
Contingentes: es donde la fecha del primer pago y el último no se estipulan de antemano, depende de algún hecho que se sabe que ocurrirá
Intereses Simples: cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo; una renta mensual
Generales: es donde el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización
Pagos Vencidas: se le conoce como anualidad ordinaria, se trata de casos donde los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo
Anticipadas: aquellas en las que los pagos se realizan al principio de cada periodo
Iniciación Inmediatas: la realización de los cobros o pagos tienen lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato
Diferidas: se pospone la realización de los cobros o pagos, se adquiere hoy un artículo para pagar con abonos mensuales

UNIDAD IV.- ANUALIDADES ANTICIPADAS

1.- INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS

2.- MONTO, VALOR ACTUAL

3.- RENTA, PLAZO E INTERÉS

EJERCICIO DE TASA NOMINAL

1.- ¿A qué tasa nominal convertible trimestralmente, un capital de $30.000,00 crecerá a $100.000,00 en 5 años?

M = $100.000

C = $30.000

M = C (1 + i)n

100000/30000 = (1 + i)n

Pero,

(1 + i)n = (1 + j/m)mn

Donde n = 5 años, y m = 4

Así,

(1 + j/4)20 = 100000/30000

(1 + j/4) = (3.333333)1/20

j = 4{(3.333333)1/20 – 1)}

j = 4 (1.062048 – 1)

j = 0.24819

Se requiere una tasa nominal de 24.82% convertible trimestralmente para que un capital de $30,000.00 se convierta en un monto de $100,000.00 en un plazo de 5 años.

EJERCICIO TASA EFECTIVA:

1.- ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1.000, pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente?

M = 1000 (1 + 0.015)12

M = 1000 (1.195618)

M = 1195.62

I = M – C

I = 1195.62 – 1000

I = 195.62

i = I / C

i = 195.62 / 1000

i = 0.1956

La tasa efectiva de interés ganada es de 19.56%. La tasa equivalente a una tasa anual de 18% convertible mensualmente es de 19.56% convertible anualmente.

La relación entre ambas tasa puede verse como sigue:

Sea i la tasa efectiva de interés, j la tasa de interés nominal, y m el número de periodos de capitalización al año.

Se estableció que ambas tasas son equivalentes si producen el mismo interés al cabo de un año.

Por lo tanto

C (1 + i) = C(1 + j/m)m

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre C, tenemos:

(1 + i) =(1 + j/m)m

i =(1 + j/m)m – 1

Retomado el ejemplo anterior:

i = (1 + 0.18 / 12)12 – 1

i = (1 + 0.015)12 – 1

i = (1.195618) – 1

i = 0.195618

i = 19.56 %

Calcular el monto de $10.000 prestados al 8% de interés anual, durante 9 años capitalizables semestralmente.

Datos:

C = $10.000

j = 8%

M = ?

na = 9 años

m = 2 : (12 meses/año
÷ 6 meses/año)

Fórmulas:

n = na*m

M = C (1 + j/m)n

Sustitución:

n = 9*2 = 18

M = $10.000 (1+ 0.08/2)18

M = $10.000 (1.04)18

M = $10.000 (2.025)

M = $20.250

EJERCICIOS DE TASA EQUIVALENTE:

¿Cuál es la Tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250.000 que se pacta a 18% de interés anual? Y se convierte:

Datos:

C = $250,000

j = 18% = 0.18

na = 1

m = a) 12 Mensual;  b) 4 Trimestral

DESARROLLO

a) M = C (1 + j/m)na.m b) M = C (1 + j/m)na.m
M = $250.000,00 (1 + 0.18/12)1.12 M = $250.000,00 (1 + 0.18/4)1.4
M = $250.000,00 (1 + 0.015)12 M = $250.000,00 (1 + 0.045)4
M = $250.000,00 (1,195618) M = $250.000,00 (1,192518)
M = $298.904,50 M = $298.129,5
?? M – C ?? M – C
?? $298.904,50 – $250.000,00 $298.129,5 – $250.000,00
$48.904,50 $48.129,50
i = /C i = /C
i = $48.904,50 / $250.000,00 i = $48.129,50 / $250.000,00
i = 0,1956 i = 0,1925
i = 19,56% i = 19,25%
i = (1+ j/m)m – 1 i = (1+ j/m)m – 1
i = (1 + 0,18/12)12 – 1 i = (1 + 0,18/4)4 – 1
i = (1 + 0,015)12 – 1 i = (1 + 0,045)4 – 1
i = 1,1956 – 1 i = 1,1925 – 1
i = 0,1956 i = 0,1925
i = 19,56% i = 19,25%

Determinar la tasa nominal i convertible trimestralmente, que produce un rendimiento anual del 40%.

En esta caso la tasa de interés efectiva es ya conocida (puede ser la tasa de inflación esperada en un año), y se desea conocer la tasa nominal j convertible trimestralmente que producirá dicho rendimiento.

Datos:

m = 4 (trimestres)

i = 40% = 0,40

j = ?

Desarrollo:

j = m [(1 + i)1/m – 1]

j = 4 [(1 + 0,4)1/4 – 1]

j = 4 [(1,087757) -]

j = 4 (0,87757)

j = 0,3510

j = 35,10%

La tasa nominal j convertible trimestralmente que produce un 40% efectivo es de 35,10%

i = (1 + j/m)m – 1

i = (1 + 0,3510/4)4 – 1

i = (1 + 0,08775)4 – 1

i = (1,39996) – 1

i = 0,3999

i = 39,99%

Fórmulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas:

Monto:

M = R [(1 + i)n – 1
—————————————-
i

Valor Actual:

C = R [1 – (1 + i) – n
—————————————-
i

Donde:

R = Renta o pago por periodo

M = Monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos los pagos al final de las operaciones.

n = número de anualidades, periodos o pagos.

C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total de los pagos en el momento presente.

i = tasa de interés efectiva

m = número de capitalización

j = tasa de interés nominal

Na = Número de años

Solución de Problemas

Monto

Ejercicio 1. Que cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $100.000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente.

Al ser una tasa anual convertible mensualmente tenemos:

36/100/12 = .03

i = .03

n = 6

Como lo que se trata es de conocer lo que se acumula en un lapso de tiempo (en este caso 6 meses y en lo que existe una cantidad constante “anualidad ” a abonarse a la operación) por lo tanto estamos hablando de conocer un monto y en consecuencia la fórmula que utilizaremos es:

M = R [(1 + i)n – 1
—————————————-
i
M = 100000 [(1 + 0.03)6 – 1
—————————————-
0.03

Luego tenemos que 100 000 [6.468409] = 646 840.98

Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la fórmula de interés compuesto donde tenemos: M = C (1 + i )n

Podemos deducir que los primeros 100.000 pesos ganan interés por 5 meses, los siguientes por 4,3,2,1 y los últimos no ganan interés sino que solo se suman al monto por lo cual podemos decir :

M = 100 000 ( 1 + .03 )5 = 115.927
M = 100 000 ( 1 + .03 )4 = 112.551
M = 100 000 ( 1 + .03 )3 = 109.273
M = 100 000 ( 1 + .03 )2 = 106.090
M = 100 000 ( 1 + .03 )1 = 103.000
—————————————-
546.841

+ 100 000 los últimos 100 000 que no ganan interés tenemos 646 841 (esto esta redondeado por los cual es diferente al valor obtenido arriba en 2 centavos).

Una manera más de realizar lo anterior seria mediante la fórmula del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre más el depósito (100.000) que se hacen al final de cada semestre:

Tiempo Cantidad Monto
Final 1er mes 100000 100000
Final 2do mes 100000(1 + .03)1 + 100000 203000
Final 3er mes 203000(1 + .03)1 + 100000 309090
Final 4to mes 309090(1+ .03)1 + 100000 418362.7
Final 5to mes 418362.7(1 + .03)1 + 100000 530913.58
Final 6to mes 530913.58(1 + .03)1 + 100000 646840.98

Ejercicio 2. Cual es el monto de $ 2 000 semestrales depositados durante cuatro años y medio en una cuenta bancaria que rinde 28% capitalizable semestralmente.

R = 2 000 n = 4.5/2 = 9 i = 28/100/2 = .14 y utilizando la fórmula para calcular el monto en operaciones que implican anualidades tenemos:

M = R [(1 + i)n – 1
—————————————-
i
M = 2000 [(1 + 0.14)9 – 1
—————————————-
0.14

De donde tenemos M = 2000 (16.085348 ) = 32 170.69

Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la fórmula de interés compuesto donde tenemos:

M = C (1 + i )n

Fórmula Monto
M=2000(1+.14)8 5705.17 n es igual a 8 por que los depósitos se hacen al final de cada semestre o sea que hasta que transcurre el primer semestre se realiza el primer depósito.
M=2000(1+.14)7 5004.53
M=2000(1+.14)6 4389.94
M=2000(1+.14)5 3850.82
M=2000(1+.14)4 3377.92
M=2000(1+.14)3 2963.08
M=2000(1+.14)2 2599.2
M=2000(1+.14)1 2280.00
Total 30170.69
más los 2000 del último semestre que no ganan interés 32170.69 cantidad igual a la obtenida con la fórmula del monto en anualidades

Una manera más de realizar lo anterior seria mediante la fórmula del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre más el deposito (2.000) que se hacen al final de cada semestre:

Tiempo Cantidad Monto
Final 1er semestre 2000 2000
Final 2do semestre 2000(1+0.14)1+2000 4280
Final 3er semestre 2000(1+0.14)1+2000 6879.2
Final 4to semestre 2000(1+0.14)1+2000 9842.28
Final 5to semestre 2000(1+0.14)1+2000 13220.20
Final 6to semestre 2000(1+0.14)1+2000 17071.03
Final 7to semestre 2000(1+0.14)1+2000 21460.98
Final 8to semestre 2000(1+0.14)1+2000 26465.52
Final 9to semestre 2000(1+0.14)1+2000

Valor actual

Ejercicio 3. Cual es el valor actual de una renta de $450 pesos depositados al final de cada uno de 7 trimestres si la tasa de interés es del 9% trimestral.

Debemos de entender como valor actual la cantidad de dinero que a una tasa del 9% trimestral nos permitiera obtener $450 pesos cada trimestre. O sea que si sumamos los 450 de cada trimestre obtenemos 3150 y lo que estamos buscando es una cantidad menor que mas los intereses nos permita obtener estos 450 por trimestre.

C = ?

R = 450

i = 0.09

n = 7

C = R [1 – (1 + i) – n
—————————————-
i
C = 450 [1- (1 + 0,09) – 7
—————————————-
0,09

Lo cual nos da 450 (5.03295284) = 2 264.82 que es el valor que estamos buscando o sea la respuesta a este ejercicio.

Comprobación:

Utilizando la fórmula del interés compuesto para calcular un capital o valor actual tenemos:

Fórmula Capital
C=450÷(1+.09)1 412.84
C=450 ÷ (1+.09)2 378.76
C=450 ÷ (1+.09)3 347.48
C=450 ÷ (1+.09)4 318.79
C=450 ÷ (1+.09)5 292.47
C=450 ÷ (1+.09)6 268.32
C=450 ÷ (1+.09)7 246.16
Total 2264.82 que es la misma cantidad obtenida por medio de la fórmula de anualidades

Ejercicio 4. Que es más conveniente para comprar un automóvil:

Pagar $ 26,000 de contado o

b) $13,000 de enganche y $ 1300 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el interés se calcula a razón del 42% convertible mensualmente.

Para resolver este problema debemos ver el valor actual del enganche y los 12 abonos mensuales a esa tasa de interés y compararlos contra el pago de contado.

R = 1300

n = 12

i = 42/100/12 = 0.035

Utilizando la formula del valor actual en anualidades tenemos:

C = R [1 – (1 + i) – n
—————————————-
i
C = 1300 [1- (1 + 0,035) – 12
—————————————-
0,035

C = 1300 (9.663334) lo cual nos da 12 562.34, si a esto sumamos el enganche 13,000 tenemos 25,562.34 que es menor que el pago de contado y por lo tanto es más conveniente esta opción.

Ejercicio 5. Encuéntrese el importe pagado, en valor actual por un aparato electrónico por el cual se entrego un enganche de $ 1 400 pesos, se hicieron 7 pagos mensuales vencidos por $ 160 y un ultimo pago al final del octavo mes por $ 230, si se considera un interés del 27% anual con capitalización mensual.

Para resolver este problema nos damos cuenta que el enganche es valor actual así que necesitamos conocer el valor actual de cada uno de los siete pagos (iguales 160) y el octavo que es mayor para lo cual haremos uso de la formula que nos permite calcular el valor actual de anualidades y la formula que nos permite conocer el valor actual de un monto (230) a una tasa de interés ( 27% anual convertible mensualmente) en un lapso de tiempo (8).

Solución es igual a:

a) El enganche

b) El valor actual de la anualidad con renta de 160

c) El valor actual del pago final

b) Usando la formula para el calculo de anualidades tenemos

i = 27/100/12 = 0.0225

n = 12

C = R [1 – (1 + i) – n
—————————————-
i
C = 160 [1- (1 + 0,0225) – 7
—————————————-
0,1225

C = 160 ( 6.410246) = 1025.64

c ) Usando la fórmula para calculo de capital o valor actual del interés compuesto tenemos:

C = M
—————————————-
(1 + i)n
C = 230
—————————————-
(1 + 0.0225)8
C = 230
—————————————-
1.19483114

C = 192.50

Sumando los tres importes tenemos 1400 + 1025.64 +192.50 = $ 2 618.14 que corresponde al valor actual pagado por el aparato electrónico.

¿QUE SON LAS ANUALIDADES ANTICIPADAS?

Son aquellas en la que los pagos se hacen al principio del periodo

Como por ejemplo:

El pago mensual que se hace cuando se renta una casa, ya que primero se pago y luego se habita el inmueble.

Otro concepto es “Son aquellas en las que se conoce con certeza las fechas de los períodos”.


Como complemento de aprendizaje te sugerimos la siguiente serie de videos (6 videos, 46 minutos), de cibermatex, en los cuales se hace una introducción a las matemáticas financieras y se explican con claridad conceptos fundamentales como el interés simple, el interés compuesto, las anualidades y otros períodos de capitalización y amortización.

Hazle saber al autor que aprecias su trabajo

Estás en libertad de marcarlo con "Me gusta" o no

Compártelo con tu mundo

Cita esta página
Cristiano Mata Roberto. (2005, diciembre 17). Matemáticas financieras: interés simple, compuesto y anualidades. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-interes-simple-compuesto-y-anualidades/
Cristiano Mata, Roberto. "Matemáticas financieras: interés simple, compuesto y anualidades". GestioPolis. 17 diciembre 2005. Web. <http://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-interes-simple-compuesto-y-anualidades/>.
Cristiano Mata, Roberto. "Matemáticas financieras: interés simple, compuesto y anualidades". GestioPolis. diciembre 17, 2005. Consultado el 5 de Septiembre de 2015. http://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-interes-simple-compuesto-y-anualidades/.
Cristiano Mata, Roberto. Matemáticas financieras: interés simple, compuesto y anualidades [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-interes-simple-compuesto-y-anualidades/> [Citado el 5 de Septiembre de 2015].
Copiar
Imagen del encabezado cortesía de roborodent en Flickr