Ejercicios para mejorar la habilidad de calcular en la enseñanza de matemáticas

Resumen

La enseñanza de la Matemática cobra cada día una nueva importancia por lo que significa en todas las esferas del desarrollo económico y social, debe contribuir a que el estudiante se desarrolle con una visión del mundo que le favorezca la formación de un pensamiento creador, productivo y científico y que logre un desarrollo de habilidades que le permitan enfrentarse con éxito a su futura vida laboral. En el presente trabajo se realiza el estudio de una de las habilidades matemáticas fundamentales: calcular, determinando aquellos elementos que inciden en su desarrollo y proponiendo una alternativa de solución desde una perspectiva metodológica.

Summary

The teaching of the Mathematical cobra every day a new importance for what means in all the spheres of the economic and social development, should contribute to that the student is developed with a vision of the world that favors him the formation of a creative, productive and scientific thought and that I/you/he/she achieves a development of abilities that you/they allow him to face with success her future labor life. Presently work is carried out the study of one of the fundamental mathematical abilities: to calculate, determining those elements that impact in their development and proposing a solution alternative from a methodological perspective.

Introducción

La formación de un profesional de perfil amplio exige que el egresado domine las bases de los conocimientos científicos y desarrolle habilidades para enfrentar su futura vida laboral. Para el logro de este cometido la formación matemática en el estudiante juega un rol medular, pues, entre otras cosas, “(…) la matemática representa el instrumento gnoseológico y metodológico más general y eficiente en la investigación de los fenómenos de cualquier ciencia, incluyendo las ciencias sociales. El pensamiento matemático, pensamiento modelador, creador, heurístico, se extiende cada vez más, volviéndose el pensamiento característico del hombre de ciencia en general” (Hernández, 2008).

Para las carreras de Ciencias Técnicas, en las que la Matemática es una herramienta imprescindible de trabajo, el egresado debe adquirir una cultura que implique la comprensión de esta ciencia desde el punto de vista de su desarrollo e historicidad, su método, la relación de esta con la Computación y la habilidad de aplicar los conocimientos de modo creador a problemas técnicos y procesos tecnológicos de su especialidad.

La Universidad de Ciencias Médicas, de Ciego de Ávila, tiene entre otras, la alta responsabilidad de formar licenciados en tecnólogías de la salud, carrera que exige poner al servicio de la rama constructiva los logros de la ciencia y la técnica, por lo que se demanda de la preparación de futuros egresados con altos conocimientos teóricos, hábitos y habilidades profesionales e investigativas y altamente comprometidos con el proceso revolucionario cubano. Esta carrera requiere en gran medida de una correcta formación matemática, de ahí que el perfeccionamiento de su enseñanza cobre singular importancia, para ello debe ser reestructurada de forma tal que se convierta en el medio a través del cual se formen representaciones para darle solución a sus tareas científicas siendo un profesional capacitado en correspondencia con las exigencias actuales del tiempo presente y futuro.

La Matemática Aplicada es una disciplina fundamental dentro del ciclo básico de la carrera, en la que se debe trabajar en función de que los estudiantes dominen, entre otros, los métodos principales del Cálculo Diferencial, del Cálculo Integral y de la Geometría Analítica. Su estudio constituye la base del pensamiento lógico y algorítmico, al aplicarlos se crea el hábito de ampliar por sí mismos sus conocimientos para que puedan llevar a cabo el análisis matemático de las tareas prácticas propias de su especialidad.

Sin embargo, con independencia de las intenciones que han estado presentes al momento de llevarse a cabo el perfeccionamiento de los programas de

Matemática en los diferentes planes de estudio, aún subsisten una serie de dificultades en el proceso de enseñanza de esta ciencia, por lo que su aprendizaje en la mayoría de los casos es memorístico, reproductivo, lo que no permite alcanzar niveles productivos y creativos de la asimilación deseados.

Desde el punto de vista de los autores, aún existen dificultades en el currículum, entre las que se tienen:

• La aplicación de los programas directores y la integración de los componentes académico, laboral e investigativo aún no son los deseados.
• El trabajo que se realiza en la aplicación de los programas de estudio no garantiza un adecuado trabajo interdisciplinario de calidad en función del desarrollo de habilidades.
• El nivel de conocimientos y de desarrollo de habilidades básicas al culminar una asignatura o una disciplina no es el adecuado.

En el programa de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I para esta carrera existe un grupo de habilidades de gran importancia para el futuro profesional, pero en una investigación como la que se presenta no pueden ser abordadas todas, de ahí que se decidiera investigar acerca de la habilidad calcular por ser la que mayor incidencia tiene dentro del programa.

En la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I para primer año de Tecnologías de la Salud, se sitúa en relación con lo expresado anteriormente, la de “calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de una variable real”. Para su logro es necesario que los estudiantes que ingresen a la carrera, desde el nivel precedente, hayan desarrollado un grupo de habilidades afines que son condición necesaria para el logro de lo que se expresa en el contenido del programa, teniendo en cuenta el carácter secuencial de la Matemática. No obstante a que se trabaja con ellas desde la enseñanza primaria, aún a su arribo a la superior se han continuado detectado dificultades en lo referido a su desarrollo, implicando que su enseñanza se retome en la universidad pero en una nueva dimensión, no como repetición de procedimientos o contenidos, sino desde una perspectiva diferente aprovechando las potencialidades que brinda el contenido y el perfil de la carrera.

Resultó lógico cuestionarse ¿qué dificultades en cuanto al desarrollo de la habilidad “calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de una variable real” presentan los estudiantes de la carrera de Tecnologías de la Salud, de la Universidad de Ciencias Médicas de Ciego de Ávila, al terminar la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I, que no le permiten cumplimentar el objetivo referido del programa?

En el presente trabajo se proponen defender las siguientes ideas:

• En el desarrollo y al terminar la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I los estudiantes presentan dificultades al calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de una variable real, lo que obstaculiza el cumplimiento del objetivo relacionado con la generalización del cálculo según las exigencias del programa.
• En la ejercitación no se aprovechan las potencialidades del contenido para lograr su desarrollo.

El objetivo estuvo enmarcado en determinar las dificultades que presentan los estudiantes de Tecnologías de la Salud, de la Universidad de Ciencias Médicas, de Ciego de Ávila en relación con la habilidad “calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de una variable real”, tomando como referentes a los que están recibiendo la asignatura (estudiantes del primer año) y a los que ya la cursaron y están en el segundo año.

Para dar cumplimiento al mismo se propusieron las siguientes tareas:

• Caracterización y diagnóstico de los estudiantes que están recibiendo la asignatura y a los que ya la cursaron, atendiendo a la habilidad “calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de una variable real”
• Revisión bibliográfica acerca de procedimientos y desarrollo de habilidades intelectuales y profesionales.
• Estudio de documentos normativos, programa de la disciplina y asignatura utilizados en la carrera.
• Análisis de adecuaciones a los programas vigentes para lograr el desarrollo de habilidades básicas a través de sus métodos, procedimientos y tareas.
• Valoración del sistema de ejercicios vigente para la asignatura y adecuación atendiendo a su sistema de objetivos.

El objeto de la investigación es el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I en la carrera de Tecnología de la Salud y su campo la ejercitación de la Matemática para el desarrollo de la habilidad “calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de funciones de una variable real”.

Como métodos y técnicas fueron utilizados los siguientes:

• Observación (fundamentalmente a clases para analizar las técnicas y procedimientos utilizados por docentes de la asignatura atendiendo al desarrollo de la habilidad “calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de una variable real”) (Ver anexo 5).
• Test a estudiantes que están recibiendo la asignatura y a los que ya la cursaron y se encuentran en segundo año de la carrera, para conocer el desarrollo de la habilidad “calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de una variable real” (Ver anexo 1).
• Entrevista a docentes de Matemática de la enseñanza superior con el objetivo de indagar acerca de los problemas que se presentan en el desarrollo de dicha habilidad, así como a estudiantes para valorar el criterio de los mismos sobre dichas deficiencias (Ver anexo 3).
• Cuestionario a profesores para ubicar a los estudiantes en los diferentes niveles de desarrollo de la habilidad (Ver anexo 4).
• Para el procesamiento de los datos fueron utilizados elementos de la estadística descriptiva.
• Se tomó toda la población de los estudiantes del primer y segundo años de la carrera.

La novedad científica está dada en que se realiza un estudio que permite perfeccionar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I a través de la ejercitación, para lograr el desarrollo de una habilidad específica; sistema que puede ser re-creado y generalizado al desarrollo de otras habilidades de la carrera. Además se lleva a cabo una caracterización de los problemas que presentan los estudiantes de primer año de tecnologías de la salud, atendiendo a la habilidad calcular.

La utilidad práctica, como perspectiva de etapas posteriores de la investigación, permitirá el desarrollo de la ejercitación tomando como bases las particularidades del desarrollo de una habilidad específica en las condiciones de una carrera universitaria tal como las tecnologías de la salud.

La investigación que se presenta es del tipo descriptivo-causal, previendo para etapas futuras el desarrollo del experimento formativo con el objetivo de validar en la práctica el desarrollo teórico aquí fundamentado.

Desarrollo

Al llevar a cabo el análisis de los documentos estatales de planificación para dicho proceso; así como otros de carácter más general que inciden en este, (Plan de estudios de la carrera de Tecnologías de la Salud, Programa de la disciplina Matemática Aplicada y Programa de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I) se obtuvieron como regularidades que a pesar de prestar atención a lo relacionado con la formación matemática a partir del encargo social, el desarrollo de habilidades y la evaluación del aprendizaje, entre otros, no se explicitan adecuadamente el alcance y magnitud en que ellos deben materializarse.

En particular, la formación y desarrollo de habilidades en el hombre a un máximo de posibilidades constituye un problema objeto de central atención en la actualidad, como consecuencia del acelerado desarrollo de la ciencia y la técnica, y en especial, un gran reto a los trabajadores de la Educación en Salud, por su responsabilidad en la formación de las nuevas generaciones. El concepto ha tenido diversas interpretaciones y tratamientos por la Psicología y la Didáctica. Desde la primera, se refiere de un modo primordial a las disposiciones favorables a la acción. En su determinación entran factores fisiológicos, sociales y hereditarios (Enciclopedia Universal Ilustrada. 1925) y desde la Didáctica es un componente del contenido que tiene que ver con el modo de actuar.

Muchos autores la han tratado exponiendo sus criterios, reflexiones, puntos de vista, etc. Entre ellos, Carlos M. Álvarez de Zayas plantea “La habilidad como acción que es se puede descomponer en operación. Mientras que la habilidad se vincula con la intención, la operación lo hace con las condiciones, de modo tal que en cada habilidad se pueden determinar los eslabones de la misma u operaciones cuya integración permite el dominio por el hombre de un modo de actuación” (Álvarez, C. 1989). Héctor Brito la define como: “aquella formación psicológica ejecutora particular constituida por el sistema de operaciones dominadas que garantiza la ejecución del sujeto bajo control consciente” (Brito, H., 1999).

A modo de resumen pueden llegarse a las siguientes generalizaciones:

• Es un concepto psico-pedagógico amplio y complejo.
• Sólo se forma y desarrolla en el proceso de realización de la actividad.
• Contiene un sistema de operaciones que deben ser dominadas por el sujeto.
• Encierra un modo de actuación que tiene carácter general, dependiendo del nivel de sistematicidad de que se trate.

La definición de H. Brito, señala con claridad la secuencia lógica de la formación de la habilidad, en tanto de la actividad mental se pasa a la práctica por una vía totalmente individual, donde se desarrollan un sistema de operaciones con plena conciencia del individuo. Estos criterios son compatibles con el tratamiento que se le da a este concepto en la enseñanza de las matemáticas, razón por la cual la posición adoptada en el presente trabajo se corresponde con sus criterios generales.

Entre las habilidades matemáticas a desarrollar en este ingeniero se destaca calcular, la cual pertenece al sistema de habilidades específicas para esta ciencia formulado por Hernández, H. 2006, págs. 24 a la 26. Desde el punto de vista matemático existen diferentes definiciones, así por ejemplo, “…calcular es la transformación de un conjunto de números reales, relacionados por operaciones, en un número, mediante la aplicación de algoritmos supuestamente conocidos” (Espinosa G., José R. 2007).

La definición anterior pudiera aceptarse si no se restringiera el cálculo sólo a operaciones con números reales, pues es conocido que este puede ampliarse. Así se entenderá por calcular: “una forma existencial de un algoritmo que puede llevarse a cabo de forma manual-mental, oral, escrita y mediante tablas o medios de cómputo. Esta presupone siempre de forma explícita o implícita la habilidad de algoritmizar; es decir, plantear una sucesión estricta de operaciones matemáticas que describan un procedimiento que conduce a la solución de un determinado ejercicio o problema.

Para la carrera de Tecnologías de la Salud, la Matemática Aplicada, es una herramienta imprescindible de trabajo y el sistema de conocimientos de las asignaturas de la carrera ofrece la posibilidad de trabajar con la habilidad desde diferentes perspectivas en las que ella pueda potenciarse a un máximo de posibilidades.

Por ejemplo en el tema “Cálculo Diferencial de funciones reales de una variable real”, que abarca aproximadamente el 80% de la asignatura Matemática I, se estudian diferentes contenidos que tienen utilización no sólo en ella, sino también en otras que reciben. En el siguiente cuadro se muestran ejemplos concretos de determinados contenidos de algunas asignaturas de la carrera en las que utiliza el Cálculo Diferencial para realizar demostraciones, deducciones de fórmulas y/o como herramienta de cálculo:

El dominio de la habilidad se reconoce cuando en la ejecución de la acción se ha logrado un grado de sistematización que conduce al nivel de dominio del sistema de operaciones esenciales, necesarias y suficientes denominado invariantes funcionales de la acción.

Tomando como base la literatura revisada, en particular el análisis teórico desarrollado por M. Rodríguez y R. Bermúdez en su libro “La Personalidad del Adolescente” y la experiencia de los autores, se proponen como invariantes funcionales de la habilidad “calcular derivadas de funciones reales de una variable real escalares o vectoriales” las siguientes:

• Identificar la vía de solución del ejercicio teniendo en cuenta la estructura algebraica de la función.
• Seleccionar las reglas de cálculo necesarias.
• Aplicar las reglas de cálculo.

Por ejemplo, para calcular la derivada de una función en un punto es necesario que el estudiante:

1. Identifique el tipo de función que va a derivar: escalar o vectorial, de una o varias variables, explícita o implícita, simple o compuesta.
2. Seleccione la regla adecuada para calcular la derivada: derivas inmediatas, reglas de derivación.
3. Calcule la derivada utilizando la regla seleccionada y realice las operaciones algebraicas hasta simplificar lo más posible el resultado.

Para evaluar los aspectos ejecutores de la acción con vistas a diagnosticar la presencia de la habilidad se puede concretar en una técnica de escala valorativa, esta debe ser lo más objetiva posible y para su confección se debe modelar de forma concreta el fenómeno objeto de estudio (en este caso la habilidad), formular con exactitud los objetivos que se persiguen y determinar los indicadores de la existencia del fenómeno a través de manifestaciones externas del estudiante durante la realización de la acción a través de las invariantes funcionales de la habilidad. La escala a utilizar depende de los objetivos del investigador y del conocimiento que posea sobre la instrumentación que estudia.

Basado en la fundamentación anterior se definieron los indicadores y la escala (compuesta por cuatro niveles de profundidad):

Indicadores para evaluar la ejecución de la habilidad calcular derivadas:

1. Seleccionar la(s) regla(s) según la estructura algebraica de la función.
2. Aplicar la(s) regla(s).
3. Operar.

Escala por niveles atendiendo a los indicadores:

Para dar cumplimiento al objetivo se elaboraron y aplicaron diversos instrumentos que posibilitaron demostrar científicamente las ideas a defender en el presente trabajo, cuyos resultados se detallan a continuación:

Test aplicados a estudiantes (Anexo 1)

Se confeccionaron teniendo en cuenta la escala por niveles atendiendo a los indicadores expresados con anterioridad. (Es oportuno aclarar que los ejercicios propuestos en cada nivel de desarrollo de esta habilidad se consideran dentro de la media en cuanto al grado de dificultad).

Análisis de los resultados:

Basado en los resultados obtenidos en los diferentes años (Ver anexo 2) se pudo precisar que:

Dentro de los estudiantes que se encuentran en el primer año la mayor parte está categorizada en el primer nivel, aunque un 15,79% ni siquiera alcanza este. La mayor parte de los de segundo año alcanzan el tercer y cuarto niveles, aunque un 38,9% están entre el primer y segundo niveles y un 13,9% no ha alcanzado el primer nivel.

En sentido general puede apreciarse que en cada año los porcentajes de aprobados disminuyen considerablemente del primer al cuarto nivel, y cómo hay estudiantes que no han alcanzado incluso el primero, aspecto que hace aún más crítica la situación. No se muestran diferencias significativas entre los dos años, aunque hay resultados más favorables en el segundo año, cuestión lógica debido a que estos han sistematizado más este tipo de cálculo.

Para indagar acerca de las causas que provocan esta anomalía se realizó una entrevista a profesores (Anexo 3) de la que se pudo constatar que a través del curso se sistematizan estos cálculos, pero no se integran con los diferentes niveles de profundidad, y aunque alegan tener un diagnóstico real de sus estudiantes, este no se corresponde con la realidad, lo cual pudo comprobarse en la encuesta aplicada. (Ver anexo 4).

Por otra parte fueron observadas ocho clases; en cinco de ellas no se aprovechan las potencialidades del contenido en la proyección de la estrategia para resolver las dificultades que se presentan en estos cálculos, mientras que en las restantes no se aprovecha al máximo. (Ver anexo 5).

Se observaron además cuadernos de los estudiantes en los que se comprobó que no existen ejercicios variados donde se puedan ejercitar los diferentes niveles de profundidad de estos cálculos y que en los mismos se trabaja con funciones que presentan poca complejidad en su estructura algebraica por períodos de tiempo excesivamente largo, lo cual atenta contra los principios de la sistematización de los conocimientos.

Con lo expresado anteriormente, puede plantearse que en esencia no se domina la habilidad debido a que:

• No se realiza un diagnóstico acertado en los diferentes momentos que así lo requieren.
• La estrategia que se traza no tiene en cuenta el carácter secuencial de la Matemática.
• Al tratar los diferentes contenidos no se explotan al máximo las potencialidades que estos brindan.
• La estructuración didáctico, metodológica y de contenido en la ejercitación no es la adecuada.

La clase de ejercitación para el desarrollo de la habilidad calcular

La clase de ejercitación tiene una importancia vital para lograr el desarrollo de habilidades en la enseñanza de la Matemática en la que: deben aprovecharse las potencialidades del sistema de conocimientos en función del desarrollo de habilidades, tenerse en cuenta los diferentes niveles de asimilación por el que debe transitar el alumno para la ejecución de la acción, los ejercicios deben ser generalizadores para poder enfrentarse a problemas variados de la realidad profesional, debe contribuir a la motivación en los estudiantes, exista una derivación lógica que permita vincular al estudiante con problemáticas específicas de su campo de acción y esferas de actuación, la evaluación y el control deben llevarse a cabo desde una perspectiva que haga consciente al estudiante de los procesos que tienen lugar en la ejecución de la acción.

Los elementos expresados anteriormente permitieron elaborar un sistema de ejercicios tipo que están siendo utilizados en la ejercitación en clases y extra clases, con sus respectivas indicaciones y recomendaciones metodológicas que contribuyan el desarrollo de la habilidad “calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de funciones reales de una variable real”.

Al realizar un corte parcial en la investigación pudo comprobarse un adecuado avance cuantitativo y cualitativo en los estudiantes referente al dominio de la habilidad, en los que la cantidad que han promovido de nivel según la escala valorativa creada es considerable. (Ver Anexo 6)

Conclusiones

• La habilidad calcular ocupa un lugar importante en el programa de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I para el tecnólogo de la salud, por la incidencia que ella tiene en la esfera profesional del futuro egresado.
• Se determinaron las invariantes funcionales, se establecieron indicadores y se creó una escala que permitieron evaluar la habilidad calcular.
• Se evidenciaron dificultades en el desarrollo de la habilidad calcular en los estudiantes de primer año que están cursando la asignatura y en los alumnos de segundo año que ya la cursaron.
• La clase de ejercitación se convierte en un marco propicio para el desarrollo de habilidades.

Referencias bibliográficas

1. Álvarez de Zayas, Carlos M. 1989. Fundamentos teóricos de la dirección del Proceso Docente en la Educación Superior Cubana. La Habana. Cuba. Pág.72
2. Álvarez, C. y otros. 1983. Sobre el sistema de habilidades en una especialidad universitaria. Revista Cubana de Física. Vol. III. No. 1.
3. Bermúdez, R. y Rodríguez, M. 1996. teoría y metodología del aprendizaje. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana.
4. Brito, H. 1988. Hábitos y Habilidades y Capacidades. Revista Varona. La Habana: 13:VI, jul.-dic.
5. Enciclopedia Universal Ilustrada. 1925. Barcelona. Editores Hijos de Espasa. Tomo XXVII, págs. 447-448)
6. González, José R. 2007. Tesis de grado.
7. Hernández, H. La huella de la matemática en el pensamiento. 2008. MES, pág.2 (Material en soporte magnético).

Anexos:

Anexo 1

Test a estudiantes:

Calcula la derivada indicada en cada caso:

Test a estudiantes

Nota: Los ejercicios del a) al d) son correspondientes del primer al cuarto nivel, respectivamente.

Anexo 2

Comportamiento de la habilidad “calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de funciones reales de una variable real”:

Anexo 3

Entrevista a profesores de Matemática:

1. ¿Cuáles cree usted que son las mayores dificultades que presentan sus alumnos en el cálculo de derivadas de funciones reales de una variable real?
2. ¿Se sistematizan a través de la asignatura los diferentes niveles de profundidad de estos cálculos?
3. ¿Se integran estos niveles en nuevos contenidos?
4. ¿Se les presta atención diferenciada a los alumnos para intensificar el desarrollo de habilidades en estos cálculos?
5. ¿Se realizan actividades metodológicas encaminadas a buscar soluciones para erradicar estas dificultades?

Anexo 4

Encuesta a profesores de Matemática de diferentes perfiles.

A continuación se les muestran diferentes niveles de desarrollo de la habilidad “calcular derivadas de funciones reales de una variable real”. Ubique con la mayor exactitud posible a sus estudiantes en una de las categorías: mayoría, media, minoría o ninguno. (para ver los diferentes niveles remítase a la tabla que aparece en las páginas 6 y 7)

Imparte clases en el perfil de: __________________________________

Anexo 5

Guía de observación a clases:

Objetivo: Determinar las relaciones en el trabajo didáctico-metodológico de los profesores y el resultado del aprendizaje de los alumnos.

Aspectos a tener en cuenta:

• Principales dificultades de los alumnos en el cálculo de derivadas de funciones escalares y vectoriales de una variable real.
• Aprovechamiento de las potencialidades del contenido para lograr el desarrollo de la habilidad.
• Sistema de ejercicios en función de dicha habilidad.

Anexo 6

Comportamiento de la habilidad “calcular derivadas de funciones escalares y vectoriales de funciones reales de una variable real”: