Teoría del álgebra lineal

Álgebra Lineal
OBJETIVOS GENERALES DE LA MATERIA:
Al concluir la materia el estudiante deberá ser capaz de:
-Reconocer matrices y representar problemas en forma matricial.
-Realizar con destreza las diferentes operaciones posibles ente matrices.
-Calcular el determinante de una matriz, interpretar este valor y utilizar sus
propiedades convenientemente.
-Resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales empleando la notación
matricial por los diferentes métodos.
-Realizar las diferentes operaciones en el trabajo con vectores y aplicar las
propiedades de las mismas el la solución de diferentes problemas
concretos.
CONTENIDOS MÍNIMOS:
Tema 1: Matrices.
1.1 Notación matricial. Conceptos básicos
1.2 Tipos de matrices.
1.2.1 Matriz fila.
1.2.2 Matriz columna.
1.2.3 Matriz nula.
1.2.4 Matriz triangular superior.
1.2.5 Matriz triangular inferior.
1.2.6 Matriz diagonal.
1.2.7 Matriz escalar.
1.2.8 Matriz identidad.
1.2.9 Matriz simétrica.
1.2.10 Matriz antisimétrica.
1.3 Operaciones con matrices.
1.3.1 Matriz opuesta.
1.3.2 Matriz traspuesta.
1.3.3 Suma de matrices.
1.3.4 Multiplicación por un escalar.
1.3.5 Multiplicación de matrices.
1.3.6 Combinaciones lineales.
1.3.7 Operaciones entre las filas de una matriz.
1.3.8 Matriz inversa (método de Gauss-Jordán)
Ing. Mijail Díaz Concepción
1
Álgebra Lineal
Tema 2: Determinantes.
2.1 Definición. Cálculo de determinantes de orden 1; 2; 3
2.2 Propiedades del determinante.
2.3 Cálculo de determinantes de orden n.
2.3.1 Evaluación por reducción en las filas.
2.3.2 Evaluación por desarrollo de cofactores.
2.4 Matriz inversa (método de Cramer)
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales.
3.1 Sistemas de ecuaciones lineales (SEL). Tipos de solución.
3.2 Solución de SEL compatibles indeterminados.
3.3 Representaciones matriciales de un SEL. Métodos de solución.
3.3.1 Método de Gauss-Jordán.
3.3.2 Método de Cramer.
3.3.3 Método de la inversa.
3.4 Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales.
3.5 Aplicaciones.
Tema 4: Espacios vectoriales.
4.1 Vectores en R2; R3; Rn.
4.2 Operaciones con vectores.
4.2.1 Suma; resta y multiplicación por un escalar.
4.2.2 Producto escalar de vectores.
4.2.3 Producto vectorial (cruz).
4.2.4 Aplicaciones.
4.3 Espacios vectoriales. Definición.
4.4 Dependencia lineal entre vectores.
4.5 Espacio vectorial generado. Base y Dimensión.
Tema 5: Transformaciones lineales.
5.1 La función transformación lineal.
5.2 Propiedades de una función transformación lineal.
5.3 Calculo de una función transformación lineal.
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2
Álgebra Lineal
TAMA 1: MATRICES.
Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en m-filas (horizontales) y n-
columnas (verticales) encerrados entre paréntesis o corchetes.
La notación mas usada es A = [aij] donde i es el número de posición de la fila y j el de la
colunna.
El tamaño de la matriz se especifica usualmente escribiendo como subíndice “mxn
32
321
3333231
2232221
1131211
0275
1582
×
×
=
=Bejemplo
aaaa
aaa
aaaa
aaaa
A
nm
mnmmm
n
n
n
Cuando m = n se dice que la matriz es cuadrada.
Diagonal principal: Solo existe en matrices cuadradas y es la línea formada por los
elementos aij tales que i = j
Traza de ena matriz: es la suma de los elementos de la diagonal principal.
Traz (A) = a11 + a22 + a33 + ... + ann
TIPOS DE MATRICES
Matriz fila: Es una matriz de orden 1 x n.
[]
17621 =A
Matriz columna: Es una matriz de orden m x 1.
=
3
0
12
A
Matriz nula: Es una matriz cuyos elementos son todos “0”
=
000
000
000
A
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3
Álgebra Lineal
Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = o cuando i>j
=
700
640
523
A
Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = o cuando i<j
=
12156
034
001
A
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada cuyos elementos aij = o cuando i j
=
500
070
009
D
Matriz escalar: Es una matriz diagonal cuyos elementos aij = k(k 0) cuando i = j
=
300
030
003
E
Matriz identidad: Es una matriz diagonal cuyos elementos aij = 1 cuando i = j
=
=
=
1000
0100
0010
0001
10
01
100
010
001
423 III
Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada donde aij = aji para i j
=
765
642
523
A
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4
Álgebra Lineal
Matriz antisimétrica: Es una matriz cuadrada donde aij = - aji para ij y aij = 0 para i=j
=
065
602
520
A
OPERACIONES CON MATRICES
Matriz opuesta: Sea A = [aij] su opuesta es – A = – [aij] = [– aij]
=
=0275
1582
0275
1582 AA
Matriz traspuesta: Sea A = [aij] de orden m x n su traspuesta se obtiene permutando
las filas con las columnas y se denota A o At = [aji] y es de orden n x m
23
32 015
278
52
0275
1582
×
×
=
=t
AA
Suma de matrices: Sean la matrices A = [aij] y B = [bij] su suma se obtiene sumando
“elemento a elemento” A + B = [aij + bij] y es del mismo tamaño.
Nota: Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.
existenoCADCBA
DCBA
matriceslasSean
=+
=+
=+
=
=
=
=
××
××××
3222
32322222
41080
901
618
135
21043
350
243
651
912
87
36
52
:
Multiplicación por un escalar: El producto de una matriz A = [aij] por un escalar “k” se
obtiene multiplicando cada elemento de la matriz por dicho escalar k·A = [aij]
Nota: En el trabajo con matrices se acostumbra a llamar escalar las cantidades numéricas
independientes.
=
=
=
=
×× 102015
30255
5
918
156
3
243
651
36
52
:
3222
CACA
matriceslasSean
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5
Álgebra Lineal
Multiplicación de matrices: El producto de dos matrices solo es posible cuando el
número de filas de la segunda matriz es igual al número de columnas de la primera.
Sean las matrices A = [aij]mxp y B = [bij]pxn el producto es pasible porque el número de
filas de B es p y es igual al número de columnas de A. La matriz resultante C es del orden
m x n C = A·B = [cij]mxn y sus elementos se obtienen multiplicando los elementos de
las filas de A por los elementos correspondientes de las columnas de B y sumando
estos productos.
cij = ai1·b1j + ai2·b2j + ai3·b3j +...+ aip·bpj
=
= p
k
ij
c
1
kjik ba
()
204024220483:
2022
1029
233
27
01
84
243
302
561
32
232333
=++=++=
==
=
=
×××
cEjemplo
BACBA
Combinaciones lineales: Se dice que una fila de una matriz es combinación lineal de las
otras, si existen números reales k1; k2; k3;...; kn tales que la fila dada es la suma de los
productos de cada número real por cada una de las otras filas de la matriz.
3
2
1
168201
1275
6423
:
fila
fila
fila
A
matrizla
E
n
=
La fila 3 es una combinación lineal porque se puede expresar como:
Fila 3 = 3٠(Fila 1) – 2٠(Fila 2)
Operaciones entre filas de una matriz:
Entre las filas de una matriz se pueden realizar las siguientes operaciones sin que la matriz
resultante deje de ser equivalente a la matriz original.
1. Permutar dos filas de la matriz.
2. Multiplicar una fila por un número real diferente de cero.
3. Sumar o restar a una fila una combinación lineal de una o varias de las demás filas
de la matriz.
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6
Álgebra Lineal
Inversa de una matriz:
En el trabajo con números reales se puede sustituir la división de un número “a” entre un
número “b” por el producto de “a” por el inverso de “b”.
No se ha definido un método para dividir matrices directamente pero si podemos encontrar
una matriz inversa a la dada entonces podemos definir (en los casos que sean posibles) la
división de una matriz A ente una matriz B como el producto de A por la matriz B-1 donde
B-1 es la matriz inversa de B.
Uno de los métodos mas utilizados para encontrar la inversa de una matriz es el método de
Gauss-Jordán y consiste anotar una matriz identidad correspondiente al lado de la matriz
dada, luego realizar transformaciones en las filas de ambas matrices hasta convertir la
matriz dada en identidad, luego la matriz resultante de las transformaciones realizadas en
la identidad será la inversa de la matriz original.
Analice el siguiente esquema que resume el proceso descrito para hallar la enversa de “A”.
Anxn/In operaciones entre filas In/A-1
Nota: Solo se puede hallar la inversa de matices cuadradas.
Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz A.
=
=
=
=
=
=
101
011
337
2311
101
011
337
100
010
001
3311
101
011
304
100
010
031
133
122
101
011
001
100
010
331
100
010
001
431
341
331
431
341
331
1
A
FFF
FFF
FFF
FFF
A
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7
Álgebra Lineal
Propiedades de la aritmética matricial:
Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que sea posible realizar las
operaciones indicadas:
A + B = B + A A + 0 = A
A + (B + C) = (A + B) + C A – A = 0
A(BC) = (AB)C A0 = 0
A(B + C) = AB + AC 0A = 0
(B + C)A = BA + CA AIn = A
a(B + C) = aB + Ac ImA = A
(a + b)C = aC + bC AA-1 = A-1A = I
(ab)C = a(bC)
a(BC) = (aB)C
TAMA 2: DETERMINANTES.
En estudia anteriores se ha trabajado con funciones reares de variable real por ejemplo
f(x) = 3x – 2
es una función que a un número real
x
asocia un valor real
f(x)
.
El determinante es una función que asocia un número real a una variable matricial y se
define como
det (A)
.
El determinante de una matriz de primer orden (formada por un número real) es el
propio número real.
El determinante de una matriz de segundo orden es el producto de la diagonal
principal menos el producto de la diagonal secundaria.
134753)det()det()det(
57
43
:][:
====
=
==
BbcdaBaA
BEjemplo
dc
ba
BaASi
El determinante como un número real asociado a una matriz cumple las siguientes
propiedades:
1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos “0” entonces
el det(A) = 0
0)det(
0)det(
05
07
00
32
:=
=
=
=B
A
BASi
2. Si una matriz A tiene dos filas iguales, det(A) = 0
0)det(
0)det(
115
115
72
72
:=
=
=
=B
A
BASi
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8
Álgebra Lineal
3. Si A es una matriz cuadrada, det(At) = det(A)
)det()det(
53
42
54
32
:AA
AASi
t
t=
=
=
4. Si A es una matriz triangular, det(A) = a11٠a22٠a33٠...٠ann
24641)det(
1052)det(
653
042
001
50
32
:==
==
=
=B
A
BASi
5. Si una matriz B es el resultado de sumarle a una fila de la matriz A un múltiplo de
otra fila, det(A) = det(B)
1010
)6(4)2(8
)det()det(
122281
21
43
21
:
=
=
=
=
=
=
AB
FFF
BASi
6. Si B es el resultado de intercambiar dos filas en una matriz A, det(A) = – det(B)
()
()
101010
46)6(4
)det()det(
12
21
21
43
43
21
:
==
=
=
=
=
=
=
BA
FF
FF
BASi
7. Si una matriz B es el resultado de multiplicar una fila de la matriz A por un escalar
k entonces det(B) = k٠det(A)
()
[]
3010330
643)18(12
)det(3)det(
232129
21
43
21
:
==
=
=
=
=
=
AB
FF
BASi
Si A y B son matrices de igual tamaño, det(A٠B) = det(A)٠det(B)
det(A + B) det(A) + det(B)
)det(
1
)det( 1
A
A=
Nota: Si la matriz A es inversible det(A) 0
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9
Álgebra Lineal
Métodos de evaluación de determinantes de orden “n”.
Por reducción (con operaciones elementales entre filas).
Este método consiste en transformar la matriz en una matriz triangular realizando
operaciones en las filas y teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes se
obtiene el determinante a partir de determinante de la matriz resultante.
233
133
1222
200
470
532
270
470
532
342
614
532
.
FFF
FFF
FFF
BASea
BAdetransformaSeEj
+=
+=
=
=
=
Como las operaciones realizadas no afectan, det(A) = det(B) =2٠(-7)٠(-2) = 28
()( )
[]
()
10det
1040
4
1
1014
4
1
det
21133
4
4
1343
)(
2
4
3
33
12;21
1000
410
254
det
4
1
34110
410
254
det
4
1
4
34
4
11
0
410
254
det
713
254
410
detdet
713
254
410
:
=
==
=
=
=
=
==
=
=
=
=
=
A
A
FFF
porfilauna
multiplicase
FF
filasanentercambise
FFF
FFFF
A
ASea
Ej
De una forma sencilla se puede simplificar este método mediante el uso de de la siguiente
expresión:
()
dosmultiplica escalares los todos de producto el es k""
filas anintercambi se que vecesde número en es n""
obtenida triangular matríz la dedet el es)(det
:
)(det1
)(det
T
Donde
k
T
A
n
=
Por desarrollo de cofactores en filas o columnas (regla de Cramer).
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10
Álgebra Lineal
Para explicar este método es necesario primero que es un
menor
y que es un
cofactor
o
complemento.
Si A=[aij]nxn y M=[mij](n – 1)x(n – 1) es la matriz obtenida de suprimir de A la i-ésima fila y
la j-ésima columna, al detM se le conoce como
menor
del elemento aij de A y al escalar
cij = (-1) i +j٠detM se le denomina
cofactor.
L
3231
2221
31
13
3331
2321
21
12
3332
2322
11
11
333231
232221
131211
)1()1()1(
:
aa
aa
c
aa
aa
c
aa
aa
c
aaa
aaa
aaa
ASea
===
=
+++
El determinante de una matriz de orden n es la suma de los productos de los elementos de
una fila o columna por su correspondiente cofactor.
Desarrollando en la fila 1
detA = a11٠c11 + a12٠c12 + a13٠c13
() () ()
()
26det
121048det
3)4(101163det
35142110618211664851
41
52
)1(
81
62
)1(
84
65
)1(
841
652
413
:
:
131211
31
13
21
12
11
11
=
=
++=
======
===
=
+++
A
A
A
ccc
ccc
ASea
E
j
Inversa de una matriz usando determinante:
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz
adjunta
de A, y se representa por adjA, a la
matriz a la matriz que se obtiene de reemplazar cada elemento de A por su
correspondiente cofactor. Luego la inversa de A se puede calcular por la siguiente formula:
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11
Álgebra Lineal
()
t
adjA
A
A=
det
1
1
()
=
=
=
+
+
+
+
+
=
=
+=+
++=
+
=
=
1274
896
6102
26
1
1274
896
6102
1286
7910
462
04
32
24
12
20
13
13
32
33
12
31
13
13
04
33
24
31
20
26det
1440)92(2)19(4
13
32
)1()2(
31
13
)1(4det
313
204
132
:
1
3
A
adjAadjA
A
A
ASea
Ej
t
TAMA 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Ecuación lineal: Lineal es una igualdad donde hay una o mas incógnitas o cantidades
desconocidas.
Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores de las incógnitas para los
cuales se cumple la igualdad.
Cuando una ecuación lineal tiene una sola incógnita entonces tiene una sola solución y se
resuelve despejando la incógnita o variable.
Cuando una ecuación lineal tiene mas de una incógnita entonces tiene muchas soluciones
(infinitas en la mayoría de los casos) porque al despejar la una variable esta queda en
función de la otra. Para resolverla es necesario asignar el valor de un parámetro a una
variable, luego las demás variables quedan en función del parámetro asignado.
3
212
;::""
3
212
:1232
t
ytxserásoluciónlaxatvalorelasignamosSi
x
yydespejandoyx
==
==+
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12
Álgebra Lineal
Sistemas de ecuaciones lineales: Se le llama así cuando si tienen mas de una ecuación
con mas de una incógnita, en este caso se pueden dar tres posibles soluciones:
a) Que el sistema tenga una sola solución (
compatible y determinado
)
b) Que el sistema tenga mas de una solución (
compatible indeterminado
)
c) Que el sistema no tenga solución (
incompatible
)
Como una ecuación lineal representa una línea recta, las soluciones pueden interpretarse
de la siguiente manera:
a)
Compatible y determinado
(rectas que se cortan)
b)
Compatible indeterminado
(rectas equivalentes o coincidentes)
c)
Incompatible
(rectas paralelas)
a)
b)
c)
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 o 3
ecuaciones con 2 o 3 incógnitas. En este curso no se trabajaran los ya aprendidos en
materias anteriores a excepción del método de Cramer el cual se extenderá a
sistemas de n-ecuaciones con n-incógnitas.
En forma general un Sistema de ecuaciones lineales (SEL) de m-ecuaciones con n-
incógnitas se puede escribir:
a x + a x+ ... + a x = b
11 112 2 1n n 1
a x + a x + ... + a x = b
21 122 2 2n n 2
a x + a x+ ... + a x = b
m1 1m2 2 mn n m
A los términos a11, a12, ... a1n, a22, ... (en general aij) se les llama
coeficientes
y a los
términos b1, b2, ... bm se les llama
términos independientes
.
Como en este curso se estudiará el uso de las matrices y determinantes para
resolver SEL, veamos a continuación con un ejemplo dos formas de escribir un SEL
con representación matricial.
x1 + x2 + 2 x3 = 8
– x1 – 2 x2 + 3 x3 = 1
3 x1 – 7 x2 + 4 x3 = 11
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13
Álgebra Lineal
=
=
11
1
8
473
321
211
11
1
8
473
321
211
3
2
1
x
x
x
B
X
ANotaciónampliadamatrizdeNotación
M
M
M
Métodos de solución:
1. Método de Gauss.
El método de Gauss consiste en convertir la matriz ampliada del sistema de
ecuaciones en otra escalonada (convertir en triangular la parte de los coeficientes de
la matriz).
3
5
;
3
5
;0;
3
1
13000
13100
21120
31011
00111
34002
24120
31011
0
32
242
3
1234
321
41
432
42
====
=++
=
=++
=
xxxx
xxx
xx
xxx
xx
despejandoydosustituyen
filas las en
selementale
cionestransforma
x1
2. Método de Gauss -Jordán.
El método de Gauss-Jordán consiste en convertir la matriz ampliada del sistema de
ecuaciones en una matriz escalonada y reducida (convertir en identidad la parte de
los coeficientes de la matriz).
=
=
=
=
=+
=+
=++
3
2
1
3100
2010
1001
0563
1342
9211
0563
1342
92
3
2
1
321
321
321
x
x
x
S
filas
lasen
cionestransforma
xxx
xxx
xxx
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14
Álgebra Lineal
3. Método de Cramer.
El método estudiado en cursos anteriores es aplicable a SEL de n-ecuaciones
con n-incógnitas.
4. Método de la inversa.
Consiste en escribir el SEL de la forma
A٠X = B
y luego resolver
X = A
-1
٠B
aplicando la multiplicación de matrices.
)8;7;6(
8
7
6
1
2
4
10117
10214
10113
10
1
10117
10214
10113
10
1
1
2
4
433
142
321
1432
243
432
3
2
1
3
2
1
1
3
2
1
321
321
321
=
=
=
=
=
=
=
=+
=+
=
+
So
x
x
x
x
x
x
A
escoeficient
losdematrizlade
inversalacalculase
x
x
x
xxx
xxx
xxx
Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales:
Cuando en un SEL todos los términos independientes son “0” se dice que el sistema
es homogéneo y puede tener:
a) Una única solución que es S = (0; 0; ... ;0) (Solución
trivial
)
b) Infinitas soluciones
no triviales
además de la Solución
trivial.
Por lo general se resuelven por Gauss –Jordán.
TEMA 2: ESPACIOS VECTORIALES
VECTORES:
Llamamos
magnitud física
a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La
masa
, la
longitud
, la
velocidad
o la
temperatura
son todas magnitudes físicas. El
aroma
o la
simpatía
, puesto que no pueden medirse, no son magnitudes físicas.
Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente
definidas. Así, por ejemplo, si decimos que José Antonio tiene una temperatura de 38 ºC,
sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Rosa mide 165 cm de altura y su masa es de
Ing. Mijail Díaz Concepción
15
Álgebra Lineal
35 kg, está claro que es sumamente delgada. Cuando una magnitud queda definida por su
valor recibe el nombre de
magnitud escalar
.
Otras magnitudes, con su valor numérico, no nos suministran toda la información. Si nos
dicen que Pedrol corría a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían
informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía.
Estas magnitudes que, además de su valor precisan una dirección se llaman
magnitudes
vectoriales
, y se representan mediante vectores. En este tema estudiaremos los
vectores y sus propiedades.
Módulo
Punto de aplicación
Dirección
Sentido
Podemos considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus
extremos. De esta forma lo podemos distinguir por cuatro partes fundamentales:
punto de
aplicación, módulo (norma o intensidad), dirección y sentido
. Si dos vectores se diferencian
en cualquiera de los tres últimos elementos, (intensidad, dirección o sentido), los
consideraremos distintos.
mientras que si sólo se diferencian en el punto de aplicación los consideraremos iguales.
Siempre es posible dibujar dos vectores con la misma dirección pero sentido opuesto. Si
además tienen la misma intensidad decimos que son vectores opuestos, ya que se
anularían uno a otro.
Ya sabemos como podemos representar las magnitudes vectoriales. Pero si deseamos
poder trabajar con vectores, no podemos conformarnos con una representación gráfica de
ellos, necesitamos poder expresarlos de forma numérica, tanto para poder operar más
cómodamente como para poder estudiarlos mejor.
Cualquier vector puede dibujarse en un plano, si lo
colocáramos de tal forma que su punto de aplicación
coincida con el origen de coordenadas, el extremo del
vector, coincidirá entonces con un punto del plano, el punto
(x, y).
Y (x,y)
X
Ing. Mijail Díaz Concepción
16
Álgebra Lineal
Cualquier punto (x, y) determina el vector que empieza en el origen de coordenadas y
termina en él propio punto.
Analíticamente
, representaremos el vector por el punto que
determina su final. A las coordenadas del vector las denominaremos
componentes,
y
todo vector estará así definido por dos
componentes
, una x y otra y, que serán las
componentes cartesianas
del vector.
Además de por sus coordenadas cartesianas, existe
otra forma de determinar numéricamente un vector:
indicando su intensidad y el ángulo que forma con el
eje de abscisas. Éstas (módulo y ángulo) son las
coordenadas polares
de un vector. En muchas
ocasiones, es más conveniente trabajar con
coordenadas polares que con coordenadas cartesianas.
α
v
Conocidas las coordenadas polares de un vector, determinar sus coordenadas cartesianas
es inmediato aplicando la trigonometría.
αα
senvyvx == ;cos
La determinación de las coordenadas polares del vector a partir de sus coordenadas
cartesianas es también inmediata por trigonometría.
x
y
tagyxv 122 ;
=+=
α
VEVTORES Y MATRICES:
Un vector puede ser representado como una matriz fila o una matriz columna, así de igual
manera las filas y columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores.
Operaciones con vectores:
Suma: La adición de vectores
suma vectores
y
produce
como resultado
un vector
. Esta
operación se puede realizar, tanto gráficamente (como se ha estudiado en cursos
anteriores) como analíticamente.
Nota: Es objetivo de este curso trabajar mas de esta última forma.
Para sumar dos o mas vectores en forma analítica es necesario primero expresarlos en
coordenadas cartesianas y luego se suman como
matrices filas
(componente a
componente). Solo se pueden sumar vectores de igual tamaño.
Ejemplo: Sean los vectores:
Ing. Mijail Díaz Concepción
17
Álgebra Lineal
)94,12;33,13(
)06,688,6;5,383,9(
)06,6;5,3(06,6607
5,360cos7cos
)88,6;83,9(88,63512
83,935cos12cos
)10;3(
]73);2(5[
607:;3512:;)7,2(;)3,5(
0
0
0
0
00
=+
++=+
====
===
====
===
=+
++=+
======
tr
tr
tsenysenty
xtx
rsenysenry
xrx
uv
uv
yttyrruv
tt
tt
rr
rr
α
α
α
α
αα
Como toda operación, la adición de vectores tiene unas propiedades que nos facilitan su
realización:
Propiedad conmutativa v + w = w + v
Propiedad asociativa (v + w) + u = w + (v + u)
Elemento neutro v + 0 = v
Elemento opuesto v + (-v) = 0
Multiplicación por un escalar: Un vector puede ser multiplicado por un escalar y en ese
caso cada componente del vector queda multiplicada por el escalar.
Sea: v = (3; 11)
5٠v = (5٠3; 5٠11)
5v =(15; 55)
Gráficamente significa multiplicar el modulo del vector:
v
3v
La multiplicación por un escalar también cumple ciertas propiedades:
Sean U; V; W vectores y k; l escalares:
Asociativa K٠(l٠U) = (k٠l)٠U
Distributiva k٠(U + V) = k٠U +K٠V
(k + l)٠V = k٠V + l٠V
Elemento neutro 1٠W = W
Ing. Mijail Díaz Concepción
18
Álgebra Lineal
ESPACIOS VECTORIALES
Estamos acostumbrados a representar un punto en la recta como un número real; un
punto en el plano como un par ordenado y un punto en el espacio tridimensional como una
terna o trío ordenado. Pero si reconocemos un conjunto de números ordenados (a1; a2;
a3; a4) como un punto en el espacio tetradimencional, aun cuando esta idea no se pueda
concebir geométricamente mas allá del espacio tridimensional, es posible entenderlo
considerando las propiedades analíticas de lo números en lugar de las propiedades
geométricas.
Un
espacio vectorial
no es mas que un conjunto no vacío de n-vectores ordenados que
cumple con las propiedades de
cierre
y las antes mencionadas para la
suma
y
la
multiplicación por un escala
r. Se denota por Rn y se clasifican así:
R1 = espacio unidimensional, línea recta real.
R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.
R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.
Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.
Propiedad de cierre: Define que al operar dos elementos de un conjunto el resultado debe
pertenecer al conjunto asignado en la operación.
Sean U; V; W vectores que pertenecen a Rn y k; l escalares:
Propiedad de cierre para la suma V + W Є Rn
Propiedad conmutativa v + w = w + v
Propiedad asociativa (v + w) + u = w + (v + u)
Elemento neutro v + 0 = v
Elemento opuesto v + (-v) = 0
Propiedad de cierre para la multiplicación por un escalar k٠W Є Rn
Asociativa K٠(l٠U) = (k٠l)٠U
Distributiva k٠(U + V) = k٠U +K٠V
(k + l)٠V = k٠V + l٠V
Elemento neutro 1٠W = W
Producto escalar: El producto escalar; (producto punto o producto interior euclidiano) es
un tipo de multiplicación definida entre vectores que es muy útil para aplicaciones a
problemas reales ya que asigna un valor real a una operación entre vectores y se define de
la siguiente manera:
Ejemplo: Sean v = ( v1; v2 ); u = ( u1; u2 ) y Θ : Es el ángulo entre “v” y “u”
θ
cos=vuvu
Ing. Mijail Díaz Concepción
19
Álgebra Lineal
También se define en función de sus componentes cartesianas.
2211 vuvuvu
+
=
Análogamente se extiende para el espacio vectorial Rn.
Sean v = ( v1; v2; ... ; vn )
u = ( u
1; u2; ... ; un )
nn vuvuvuvu
+
+=L
2211
Propiedades del producto escalar.
Sean: “v” ; ”u” y “w” vectores y k un número real:
v٠u = u٠v
kv٠u = v٠ku
v٠(u + w) = v٠u + v٠w
v٠v 0
Nota: Si dos vectores ”u” y “w” son perpendiculares u٠w = 0
Producto cruz de vectores: Es un tipo de multiplicación que se define para el espacio
vectorial R3 la cual es muy usada en la solución de problemas en los que es necesario
definir un vector que sea perpendicular (ortogonal) a otros dos vectores.
Sean v = ( v1; v2; v3 ) y u = ( u1; u2; u3 ) vectores que pertenecen a R3
El producto v x u es un vector que pertenecen a R3 y es perpendicular a “v” y a “u”, su
sentido se puede determinar utilizando la regla de la mano derecha:
Se determina formando una matriz cuya primera fila son las componentes del primer vector
y la segunda fila son las componentes del segundo vector, luego cada componente del
vector resultante es el determinante de la matriz que se obtiene de suprimir en la matriz
formada la columna correspondiente a la componente que se busca cambiándole el signo a
la segunda componente:
=×
=
=
21
21
31
31
32
32
321
321
321
321 ;;
);;(
);;(
uu
vv
uu
vv
uu
vv
uv
uuu
vvv
uuuu
vvvv
()
6;13;14
03
21
;
73
21
;
70
22
703
221
)7;0,3(
)2,2,1(
:
=×
=×
=
=
uv
uv
u
v
Ej
Ing. Mijail Díaz Concepción
20
Álgebra Lineal
Nota: Las componentes del producto u x v tienen los mismos valores pero con signos
contrarios:
()
6;13;14
=× vu
u y v son paralelos Si u x v = 0.
las propiedades del producto cruz:
u x v = – (v x u); u x ( v + w ) = ( u x v ) + u x w )
u x u = 0; (u + v) x w = ( u x w ) + (v x w)
u x 0 = 0 x u = 0; k ( u x v ) = k u x v = u x k v
Algunas aplicaciones de vectores:
El ángulo θ que forman dos vectores se puede calcular combinando las formulas del
producto escalar, por la siguiente expresión:
Ejemplo: Sean v = ( v1; v2 ) y u = ( u1; u2 )
uv
uvuv
+
=2211
1
cos
θ
La distancia entre dos puntos se puede determinar utilizando la formula del modulo de
un vector 22 yxv += considerando el vector que une al punto P1(x1; y1; z1) con el
punto P2(x2; y2; z2) como la diferencia entre los vectores OP2 – OP1
()()()
2
12
2
12
2
12 zzyyxxd ++=
El área de un paralelogramo cuyas aristas no paralelas sean consideradas como
vectores en R3 v(v1; v2; v3) y u(u1; u2; u3) puede ser calculada como el modulo del
producto cruz entre ambos vectores y el área de un triangulo como la mitad.
uvAuvA TP ×=×= 2
1
Combinación Lineal: Se dice que un vector “v” es una combinación lineal de los
vectores v1, v2, v3, ..., vn en un espacio vectorial Rn si existen números reales k1, k2, ... kn
tales que “v” pueda ser expresado como:
V = k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ k
3
v
3
+... + knvn
Para comprobar si el vector “x” es combinación lineal de v, u, w є R3:
Se plantea un sistema homogéneo de ecuaciones lineales para:
Ing. Mijail Díaz Concepción
21
Álgebra Lineal
k1v + k2u + k3w = x
k1( v1; v2; v3 ) + k2( u1; u2; u3 ) + k3(w1; w2; w3) = (x1; x2; x3)
k1٠v1 + k2٠u1 + k3٠w1 = x1
k1٠v2 + k2٠u2 + k3٠w2 = x2
k1٠v3 + k2٠u3 + k3٠w3 = x3
Si el sistema tiene solución el vector x es combinación lineal de v, u, w.
Dependencia e Independencia Lineal: Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn son
linealmente dependientes
si existen infinitas combinaciones lineales de estos vectores
que den como resultado el vector 0.
Si la única combinación lineal que da este resultado es aquella en la que k1 = k2 = ... = kn,
entonces se dice que los vectores son
linealmente independientes.
0 = k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ k
3
v
3
+... + knvn
Ejemplo: Para comprobar la dependencia Lineal entre los vectores v, u, w є R3:
Se plantea un sistema homogéneo de ecuaciones lineales para:
k1v + k2u + k3w = 0
k1( v1; v2; v3 ) + k2( u1; u2; u3 ) + k3(w1; w2; w3) = (0; 0; 0)
k1٠v1 + k2٠u1 + k3٠w1 = 0
k1٠v2 + k2٠u2 + k3٠w2 = 0
k1٠v3 + k2٠u3 + k3٠w3 = 0
Si este sistema solo tiene la solución trivial los vectores son
linealmente independientes.
Si tiene infinitas soluciones entonces son
linealmente dependientes.
Espacio vectorial generado: Se dice que los vectores v1, v2, v3, ..., vn generan un
espacio vectorial V si cualquier vector “b” de dicho espacio se puede escribir como
combinación de los vectores dados.
b = k
1
v
1
+ k
2
v
2
+ k
3
v
3
+... + knvn
Base y Dimensión de un espacio vectorial: Un sistema de vectores libre, que
permite generar todos los vectores de su espacio vectorial es una
base
.
Todo espacio vectorial tiene al menos una base.
El número de elementos de una base de un sistema de vectores se llama
dimensión
del espacio vectorial.
Por ejemplo: Los vectores (0,0,1), (0,1,0) y (1,0,0) son la base que se utiliza
normalmente en un espacio de tres dimensiones.
Ing. Mijail Díaz Concepción
22
Álgebra Lineal
TRANSFORMACIONES LINEALES
La transformada lineal es una función vectorial de variable vectorial
w = f (v).
Donde: El espacio vectorial “v” es la variable independiente
El espacio vectorial “w” es la variable dependiente
Si V y W son espacios vectoriales y F es una función que asocia un vector único en
W para cada vector de V, se dice entonces que F aplica V en W y se escribe:
F: V W
Además si se escribe
w = f (v)
se dice que w es la imagen de v bajo f.
Definición. La definición de transformación lineal dice que todo espacio vectorial en
V y W se puede hacer transformación lineal si cumplen con los axiomas de la
distribución bajo la suma
T(u + v) = T(u) + T(v)
y la multiplicación por un
escalar
T(k
٠
u)= k
٠
T(u)
. Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus
propiedades que son:
1) T(0) = 0
2) T(-v) = - T(v)
3) T(v-u) = T(v)-T(u)
Sí v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn entonces v = c1 T(v1)+ c2 T(v2)+ ... + cn T(vn).
Ejemplo: Sea la función
f(v) = (x; x+y; x-y)
una función F: R2 R3
Para
u = (x, y)
y
v = (x’; y’)
u + v = (x + x’; y + y’)
ku = (kx; ky)
Si se prueba:
F(u + v) = [x + x’; (x + x’) + (y + y’); (x + x’) – (y + y’)]
= [x + x’; x + x’ + y + y’; x + x’ – y – y’]
= [x; x + y; x – y] + [x’; x’ + y’; x’– y’]
F(u + v) = F(u) + F(v)
F(ku) = (kx; kx + ky; kx – ky)
= [kx; k(x + y); k(x – y)]
= k(x; x + y; x – y)
F(ku) = kF(u)
Entonces F: R2 R3 es una transformación lineal.
Ejemplo: Dados las transformaciones para los puntos (2,-1); (-1,1) y conociendo que
la función es transformación lineal, encuentre la expresión de la función.
F(2,-1) = (-1, 1, 2)
F(-1,1) = (2, 0, 1)
Como se sabe que la función es transformación lineal entonces los vectores (2,-1) y
(-1,1) forman una base de R2 y por lo tanto generan al espacio, luego:
Ing. Mijail Díaz Concepción
23
Álgebra Lineal
(x, y) = k
1
(2,-1) + k
2
(-1,1)
(x, y) =(2k
1,
– k
1
) + (– k
2,
k
2
)
(x, y) =(2k
1
– k
2 ,
– k
1
+ k
2
) de donde se obtiene:
x = 2k
1
– k
2
y = – k
1
+ k
2
resolviendo el sistema de ecuaciones para K
1
y k
2
:
k
1
= x + y
k
2
= x + 2y planteando la transformación para el vector general:
F(x, y) = F[ k
1
(2,-1) + k
2
(-1,1) ]
F(x, y) = F[ k
1
(2,-1) ] + F[ k
2
(-1,1) ]
F(x, y) = k
1
F(2,-1) + k
2
F(-1,1) sustituyendo K
1
y k
2
por sus valores y
remplazando F(2,-1) y F(-1,1):
F(x, y) = (x +y)(-1, 1, 2) + (x +2y)(2, 0, 1)
F(x, y) = (-x –y ,x +y , 2x +2y) + (2x +4y, 0 , x +2y)
F(x, y) = (-x –y +2x +4y , x + y , 2x +2y +x +2y)
F(x, y) = (x +3y , x +y , 3x +4y)
comprobando:
F(2,-1) = (-1, 1, 2)
F(-1,1) = (2, 0, 1) se verifica la función:
Ing. Mijail Díaz Concepción
24
Álgebra Lineal
PRACTICO # 1 (OPERACIONES CON MATRICES)
1. Considerando las siguientes matrices:
=
=
=
=
=
=
7034
5321
314
211
316
423
101
251
513
241
20
14
11
21
03
FED
CBA
[
]
[
]
j
ji
x
jiji
x
ji ihhHjiggG ==== // 3234
Determine cuando sea posible y justifique su respuesta cuando no lo sea.
a) 3C D b) (3E)D c) (AB)C
d) A(BC) e) (4B)C + 2B f) D + E2
g) GHT – 2FT h) (3H + 1/2C) – BAT
2. Dadas las matrices, Que valor debe tomar “x” para que el elemento a.b 32 = 14
=
=
92234
313175
35120117
5011102
8540
2369
31157
4321
X
B
X
A
PRACTICO # 2 (INVERSAS)
Encuentre la inversa de las siguientes matrices: (A, B, E, F) por el método de Gauss-
Jordan y las demás por el método de los cofactores.
=
=
=
=
=
=
=
=
1
2
1
5
023
011
220
401
321
801
352
321
221
331
320
117
85
43
21
35
12
10
21
HGFE
DCBA
Ing. Mijail Díaz Concepción
25
Álgebra Lineal
PRACTICO # 3 (DETERMINANTES)
1. Calcule (por simple inspección) el determinante de las siguientes matrices:
=
=
=
=
1000
3
4
1
200
130
7214
1593
211141
531
317612
0
2
4
000
7125
13234
052
0113
0
41
DCBA
2. Calcule el determinante de las siguientes matrices:
=
=
=
=
1240
0375
2864
1432
219
126
213
2150
1000
03203
3200
312
230
1
54
DCBA
3. Dadas la siguientes matrices, evalué las expresiones indicadas teniendo en
cuenta las propiedades de los determinantes:
()
()
()
()
)det(detdet)
detdet)
detdetdetdet)
)(det5det5)
detdet3det)
233
232
101
220
202
021
1284
642
321
221
330
321
50
05
43
01
36
12
10
21
3
3
2
BFBFYe
FFYd
FDCDCYc
EHYb
EBAYa
HGFE
DCBA
t
++=
+=
+=
=
+=
=
=
=
=
=
=
=
=
4. Determine los valores de x en las siguientes matrices para su
determinante sea “cero”:
=
=
+
=
+
=x
x
D
x
xC
x
x
B
xx
A23
32
200
1730
911
2
1
11
032
34
122
Ing. Mijail Díaz Concepción
26
Álgebra Lineal
5. Sabiendo que det (A) = 4 y det (C) = –3. Aplique las propiedades
correspondientes y calcule los determinantes de las matrices “B” y ”D”.
Justifique su respuesta.
=
=
=
=
ihg
cfbead
cba
D
ihg
fed
cba
CBA
222
333
432
210
24168
432
210
321
PRACTICO # 4 (SISTEMAS DE ECUACIONES)
1. Considere que siguientes matrices representan sistemas de ecuaciones y
resuélvalos.
21000
00310
30201
)
20000
95100
84010
12001
)
21200
03030 2
1
2751
)
5100
3010
2001
)dcba
2. Resuelve los siguientes sistemas por el método Gauss.
=++
=++
=++
=
=
=+
2957
35423
28352
)
032
12
0
)
321
321
321
xxx
xxx
xxx
b
zyx
zyx
zyx
a
3. Resuelve los siguientes sistemas por el método Gauss – Jordán.
=+
=
=+
=+
=+
=++
8473
2222
1122
)
11473
132
82
)
421
4321
4321
321
321
321
xxx
xxxx
xxxx
b
xxx
xxx
xxx
a
=+
=+
=+
=++
=+
0473
022
)
032
007
023
)
421
4321
321
321
321
xxx
xxxx
d
xxx
xxx
xxx
c
4. Resuelve los siguientes S. E. L. Por la formula X = A-1 . B
=++
=++
=++
=
=
=+
2957
35423
28352
)
932
0
233
)
321
321
321
32
321
21
xxx
xxx
xxx
b
II
III
II
a
5. En el siguiente sistema de ecuaciones, que valores puede “λ” para que el
sistema tenga infinitas soluciones.
()
()
083
072
=+
=
+
yx
yx
λ
λ
Ing. Mijail Díaz Concepción
27
Álgebra Lineal
PRACTICO # 5 (APLICACIONES DE VECTORES)
1. ¿Es posible que dos vectores tengan la misma dirección, punto de aplicación e
intensidad y que sean distintos?
2. ¿Cuál de los siguientes vectores tiene mayor modulo? (3,0);(2,1);(2.5,2).
3. Expresa en coordenadas cartesianas los vectores 2 y 30º; 2 y 60ª; 2 y 135º; 5
y 30º; 2 y 270º.
4. Expresa en coordenadas polares los vectores(2,1); (-2,1); (2,-1) y (-2,-1).
5. Con los vectores v(1,2);w(2,-1) y u(-1,1) realiza las sumas:
a) u + v + w b) v + u + w c) u – v d) v - u e) u - w
6. Dados los vectores v(1,2) y w(-2,1), ¿qué vector deberé sumar a v + w para
obtener el vector (0,0)?
7. Dados v(1y 45º) y w(2 y 180º) ¿Calcule su producto escalar?
8. Con los vectores v(1,2);w(2,-1) y u(-1,1) realiza:
a) u . w b) v . w c) u . v d) v . u
9. ¿Qué ángulo forman los vectores u y v ; u y w ; v y w del ejercicio anterior?
10. Calcule el producto escalar entre:
a) u = (3,4,2) y v = (2,1,5) d) u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)
b) u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3) e) u = (3,-4,1) y v = (2,3,6)
c) u = (30,1,1) y v = (2,2,2) f) u = (-3,7,-1) y v = (4,-3,-11)
11. Determine la distancia entre los puntos P1(1,2,3) y P2(-3,-2,-1)
12. Determine el producto vectorial y el ángulo comprendido entre:
a) u = (3,4,2) y v = (2,1,5) d) u = (1,1,1) y v = (2,2,-2)
b) u = (5,-2,1) y v = (0,-1,3) e) u = (3,-4,1) y v = (2,3,6)
c) u = (30,1,1) y v = (2,2,2) f) u = (-3,7,-1) y v = (4,-3,-11)
13. Determine el área del triangulo comprendido entre los puntos:
a) P1(1,2,3) ; P2(-3,-2,-1) y P3(3,-3,0)
b) P1(5,0,0) ; P2(0,5,0) y P3(0,0,5)
c) P1(3,-2,12) ; P2(-4,-2,7) y P3(1,-3,0)
Ing. Mijail Díaz Concepción
28
Álgebra Lineal
PRACTICO # 6 (ESPACIOS VECTORIALES)
1. Determine cuales de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales y para
los que no lo son, enumere las propiedades que no cumple:
a) El conjunto de pares (x ; y) con las operaciones
( x ; y ) + ( x´ ; y´ ) = ( x + x´ ; y + y´ ) y k ( x ; y ) = (kx +ky)
b) El conjunto de pares ( x ; y ) con las operaciones
( x ; y ) + ( x´ ; y´ ) = (x x´; y y´ ) y kx = x k
c) El conjunto de las matrices M2 2 =
b
a
1
1
2. Determine cuales de los siguientes son sub-espacios de R3
a) Todos los vectores ( a ; 0 ; 0 )
b) Todos los vectores (a ; b ; c ) en donde b = a + c
c) Todos los vectores ( a ; b ; c ) en donde b = a + c + 1
3. ¿Cuáles de los siguientes vectores son combinaciones lineales de :
u = ( 1 ; -1 ; 3 ) y v = ( 2 ; 4 ; 0 )
a = ( 3 ; 3 ; 3 ) b = ( 4 ; 2 ; 8 ) c = (1 ; 5 ; 6 ) d = ( 0 ; 0 ; 0 )
4. Exprese los siguientes vectores como combinaciones lineales de:
u = ( 2 ; 1 ; 4 ) ; v = ( 1 ; -1 ; 3) y w = ( 3 ; 2 ; 5 )
a = (5 ; 9 ; 5 ) b = ( 2 ; 0 ; 6 ) c = ( 0 ; 0 ; 0 ) d = ( 2 ; 2 ; 3 )
5. Determine en cada caso si los vectores dados forman una base de R3
a) v1 = ( 1 ; 1 ; 1 ) ; v2 = ( 2 ; 2 ; 0 ) y v3 = ( 3 ; 0 ; 0 )
b) v1 = ( 2 ; -1 ; 3 ) ; v2 = ( 4 ; 1 ; 2 ) y v3 = ( 8 ; -1 ; 8 )
6. ¿Cuales de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente
dependientes y cuales linealmente independientes?
a) u1 = ( 1 ; 2) y u2 = ( -3 ; -6 ) en R2
b)
22
04
62
02
31 MenByA
=
=
c) ( 2 ; -1 ; 4) ; ( 3 ; 6 ; 2 ) y ( 2 ; 10 ; -4 ) en R3
d) 2 – x + 4 x2 ; 3 + 6 x + 2 x 2 y 2 + 10 x – 4 x 2 en P2 .
Ing. Mijail Díaz Concepción
29
Álgebra Lineal
PRACTICO # 7 (TRANSFORMACIONES LINEALES)
1. Determine si las siguientes funciones son o no transformaciones lineales.
a. F(x; y) = (x; y + 1)
b. F(x; y) = (2x + y; x – y)
c. F(x; y; z) = (x; x + y + z)
d. F(a + bx + cx2) = (a +1) + (a + b)x + cx2)
e. F(x; y) = (2x; yx)
f.
bcda
dc
ba
F=
2. Dados las funciones
F: R
2
R
3
para los vectores indicados y conociendo
que son transformaciones lineales, encuentre la expresión de cada función.
a) F(1,2)=(2, 3, 1)
F(-1,5)=(-2, 4, 6)
b) F(3,4) = (7, 9, 1)
F(2,5) = (7, 6, 3)
c) F(3,2) = (4, 1, 5)
F(5,4) = (6, 3, 9)
Ing. Mijail Díaz Concepción
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Díaz Concepción Mijail. (2006, agosto 8). Teoría del álgebra lineal. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/teoria-del-algebra-lineal/
Díaz Concepción, Mijail. "Teoría del álgebra lineal". GestioPolis. 8 agosto 2006. Web. <http://www.gestiopolis.com/teoria-del-algebra-lineal/>.
Díaz Concepción, Mijail. "Teoría del álgebra lineal". GestioPolis. agosto 8, 2006. Consultado el 31 de Agosto de 2015. http://www.gestiopolis.com/teoria-del-algebra-lineal/.
Díaz Concepción, Mijail. Teoría del álgebra lineal [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/teoria-del-algebra-lineal/> [Citado el 31 de Agosto de 2015].
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