Sistema financiero, mercado de capitales y préstamos

MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES
EMPRESARIALES
Prólogo
El libro «MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES», es un
compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas, necesario para entender el mundo de los
negocios. Con este propósito utilizo un lenguaje claro, sencillo, práctico, rico en conceptos, con una amplia
gama de casos resueltos con el método conceptual-aplicativo y funciones financieras de Excel. Es una
edición digital mejorada y corregida de la edición impresa.
Dirigido a estudiantes, profesores y profesionales de administración, contabilidad, economía, banca y
finanzas, tecnología financiera y otras actividades de carácter comercial; asimismo, a los pequeños y micro
empresarios y a todos aquellos que tengan la inquietud de aprender.
El capítulo 5: expone el tema de los mercados de capitales, el sistema financiero, el mercado de valores,
las fuentes de financiamiento, productos activos y pasivos; las tarjetas de crédito, los préstamos, la
modalidad de pago de las deudas y sus formas de pago, los préstamos hipotecarios y personales,
culminando con la valoración de los mismos. En la parte de los ejercicios desarrollados, resolvemos 29
ejercicios.
Cada uno de los temas -del capítulo-, viene ilustrado con casos reales resueltos aplicando el modelo
matemático y la función financiera de Excel, cuando es aplicable.
1. Introducción
El objetivo del presente capítulo es presentar al lector, el escenario en el que ocurren los movimientos de
capital y los agentes responsables de transferir los recursos del ahorro a la inversión a través de los
intermediarios del mercado de capitales. Asimismo, exponemos los principales productos financieros activos
y pasivos existentes; desarrollamos en profundidad y extensamente, la teoría y práctica de los préstamos.
2. Mercado de capitales
Dentro del mercado de capitales se distinguen tres agentes principales de la economía: gobierno, empresas
y familias...
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GOBIERNO
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Sistema
Financiero
Mercado de
Valores
EMPRESAS FAMILIAS
En todos los países del mundo existen fundamentalmente dos mercados: el primero es el de productos y
servicios, que ofrecen las diferentes personas y empresas del país; el segundo el mercado de capitales,
donde negocian los excedentes de capital.
En el mercado de capitales distinguimos tres agentes principales de la economía: gobierno, empresas y
familias que acuden a invertir sus recursos o a conseguir financiación.
Existen principalmente dos formas de transferir los recursos del ahorro a la inversión: la primera es por
medio de la intermediación, a cargo del sistema financiero y la segunda es por medio de la transferencia
de títulos, responsable el mercado de valores.
Como vimos en el primer capítulo, la principal función del sistema financiero es la de servir como
intermediario entre las personas o entidades que logran hacer algún tipo de ahorro y las que necesitan
recursos para financiar inversiones o gastos.
La labor de intermediación tiene cuatro elementos principales:
1) El tiempo. El manejo de los plazos es fundamental en la labor de intermediación, no es posible distinguir
entre oferentes y demandantes de dinero, si no especificamos la duración de la operación financiera, las
mismas personas que hoy están ahorrando, pueden necesitar recursos en el futuro y las que invierten en el
presente, seguramente obtendrán excedentes en el futuro que podrán ahorrar.
2) Los montos. Por lo general los ahorristas disponen de pequeños excedentes, mientras que los
inversionistas, requieren de mayores recursos para la inversión, lo cual genera desequilibrios entre la
demanda y oferta de dinero que encarece o disminuye los costos de los créditos y afecta la liquidez del
sistema.
3) Los costos. Como cualquier otro mercado, el de intermediación está sujeto a las variaciones de la
oferta y la demanda, por lo cual, cuando hay liquidez, las tasas de interés bajan, por el contrario, el exceso
de demanda de dinero produce incrementos en éstas.
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Los gobiernos, a través de sus acciones de política fiscal de impuestos y gastos, pueden afectar la oferta y
la demanda de préstamos. el gobierno gasta menos de lo que recauda por impuestos y otras fuentes de
ingresos tendrá superávit fiscal lo cual significa que el gobierno tiene ahorros. Esto constituye una fuente
de oferta de créditos. Si el gobierno gasta más de lo que obtiene por ingresos tributarios incurrirá en déficit,
luego tendrá que prestarse para cubrir la diferencia. El endeudamiento incrementa la demanda de
préstamos conduciendo al incremento de la tasa de interés en general.
4) El riesgo. Inherente al negocio o inversión. A mayor riesgo, mayor tasa de interés. Ver Capítulo 1,
Componentes de la tasa de interés.
2.1. Sistema Financiero
Conformado por el conjunto de empresas que, debidamente autorizadas, operan en la intermediación
financiera. Incluye las subsidiarias que requieren autorización de la Superintendencia para constituirse.
Actualmente, el sistema financiero peruano lo conforman: 18 Bancos, 6 Financieras, 12 Cajas Rurales de
Ahorro y Crédito, 6 Almacenaras, 13 Cajas Municipales de Ahorro y Crédito, 7 Empresas de Arrendamiento
Financiero, 13 EDPYMES, 4 Administradoras de Fondos de Pensiones (AFP), 17 Empresas de Seguros, 2
Cajas (Caja de Beneficios y Seguridad Social del pescador y Caja de Pensión Militar Policial) y 2 Derramas
(Derrama de Retirados del Sector Educación y Derrama Magisterial).
Encabeza el sistema bancario peruano el Banco Central de Reserva (BCR) que controla la mayoría de las
operaciones en moneda extranjera. Otras operaciones bancarias del Estado, incluyendo la recaudación de
impuestos, son operadas por el Banco de la Nación (BN) y otras entidades bancarias autorizadas por éste.
2.2. Mercado de valores
Bolsa de Valores. En el Perú, existen aproximadamente 200 grandes empresas que cotizan en la Bolsa de
Valores de Lima (BVL), incluyendo bancos, financieras, compañías de seguros, empresas industriales,
mineras y comerciales, así como algunas de servicios. Son líquidas unas 15 empresas. Las operaciones
desarrolladas por estas entidades fuera de la jurisdicción peruana no están controladas por las autoridades
nacionales.
2.3. Fuentes de Financiamiento
Toda empresa, pública o privada, requiere de recursos financieros (capital) para realizar sus actividades,
desarrollar sus funciones actuales o ampliarlas, así como el inicio de nuevos proyectos que impliquen
inversión.
2.3.1. Objetivos
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La carencia de liquidez en las empresas (públicas o privadas) hace que recurran a las fuentes de
financiamiento para aplicarlos en ampliar sus instalaciones, comprar activos, iniciar nuevos proyectos,
ejecutar proyectos de desarrollo económico-social, implementar la infraestructura tecno-material y jurídica
de una región o país que aseguren las inversiones. Todo financiamiento es el resultado de una necesidad.
2.3.2. Análisis de las fuentes de financiamiento
Es importante conocer de cada fuente:
1. Monto máximo y el mínimo que otorgan.
2. Tipo de crédito que manejan y sus condiciones.
3. Tipos de documentos que solicitan.
4. Políticas de renovación de créditos (flexibilidad de reestructuración).
5. Flexibilidad que otorgan al vencimiento de cada pago y sus sanciones.
6. Los tiempos máximos para cada tipo de crédito.
2.3.3. Políticas en la utilización de los créditos
Las inversiones a largo plazo (construcción de instalaciones, maquinaria, etc.) deben ser financiadas
con créditos a largo plazo, o en su caso con capital propio, esto es, nunca debemos usar los recursos
circulantes para financiar inversiones a largo plazo, ya que provocaría la falta de liquidez para pago de
sueldos, salarios, materia prima, etc.
Los compromisos financieros siempre deben ser menores a la posibilidad de pago que tiene la empresa,
de no suceder así la empresa tendría que recurrir a financiamiento constantes, hasta llegar a un punto de no
poder liquidar sus pasivos, lo que en muchos casos son motivo de quiebra.
Toda inversión genera flujos, los cuales son analizados en base a su valor actual.
Los créditos deben ser suficientes y oportunos, con el menor costo posible y que alcancen a cubrir
cuantitativamente la necesidad por el cual fueron solicitados.
Buscar que las empresas mantengan estructura sana.
2.3.4. Prototipos de fuentes de financiamiento
Existen diversas fuentes de financiamiento, sin embargo, las más comunes son: internas y externas.
! Fuentes internas: Generadas dentro de la empresa, como resultado de sus operaciones y promoción,
entre éstas están:
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a) Aportaciones de los Socios: Referida a las aportaciones de los socios, en el momento de
constituir legalmente la sociedad (capital social) o mediante nuevas aportaciones con el fin de aumentar
éste.
b) Utilidades Reinvertidas: Esta fuente es muy común, sobre todo en las empresas de nueva
creación, y en la cual, los socios deciden que en los primeros años, no repartirán dividendos, sino que estos
son invertidos en la organización mediante la programación predeterminada de adquisiciones o
construcciones (compras calendarizadas de mobiliario y equipo, según necesidades ya conocidas).
c) Depreciaciones y Amortizaciones: Son operaciones mediante las cuales, y al paso del tiempo, las
empresas recuperan el costo de la inversión, por que las provisiones para tal fin son aplicados directamente
a los gastos de la empresa, disminuyendo con esto las utilidades, por lo tanto, no existe la salida de dinero
al pagar menos impuestos y dividendos.
d) Incrementos de Pasivos Acumulados: Son los generados íntegramente en la empresa. Como
ejemplo tenemos los impuestos que deben ser reconocidos mensualmente, independientemente de su
pago, las pensiones, las provisiones contingentes (accidentes, devaluaciones, incendios), etc.
e) Venta de Activos (desinversiones): Como la venta de terrenos, edificios o maquinaria en desuso
para cubrir necesidades financieras.
! Fuentes externas: Aquellas otorgadas por terceras personas tales como:
a) Proveedoras: Esta fuente es la más común. Generada mediante la adquisición o compra de bienes
y servicios que la empresa utiliza para sus operaciones a corto y largo plazo. El monto del crédito está en
función de la demanda del bien o servicio de mercado. Esta fuente de financiamiento es necesaria analizarla
con detenimiento, para de determinar los costos reales teniendo en cuenta los descuentos por pronto pago,
el tiempo de pago y sus condiciones, así como la investigación de las políticas de ventas de diferentes
proveedores que existen en el mercado.
b) Créditos Bancarios: Las principales operaciones crediticias, que son ofrecidas por las instituciones
bancarias de acuerdo a su clasificación son a corto y a largo plazo. En el Perú, el financiamiento no
gubernamental disponible para las empresas proviene de operaciones bancarias tradicionales,
principalmente utilizando pagarés bancarios con plazos de 60, 90 ó 120 días de vencimiento, que en
algunos casos pueden ser prorrogados. Los pagarés son emitidos por el prestatario para cubrir el préstamo,
que puede estar garantizado por bienes del activo fijo u otras garantías.
Los préstamos de corto y largo plazo están disponibles en empresas financieras. La SBS, en cumplimiento
de la política general del gobierno dirigida a reducir la inflación, supervisa el nivel de créditos extendidos por
los bancos.
Los bancos y las instituciones financieras pueden establecer sus propias tasas de interés para las
operaciones de préstamo y ahorros. Estas tasas no pueden exceder de la tasa máxima establecida por el
BCR. Debido a las condiciones de la economía del país, la tasa de interés para las operaciones en dólares
estadounidenses excede las tasas establecidas en el mercado internacional.
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3. Funciones y productos activos y pasivos del sistema financiero
La función principal del sistema financiero es simplemente la intermediación financiera; es decir, el proceso
mediante el cual captan fondos del público con diferentes tipos de depósitos (productos pasivos) para
colocarlos a través de operaciones financieras (productos activos) según las necesidades del mercado.
Igualmente intermedian en la colocación de recursos provenientes de Instituciones gubernamentales, por
ejemplo, COFIDE en el caso peruano.
3.1. Productos activos
A continuación exponemos conceptos básicos de algunos productos de crédito destinados al sector
empresarial. Cada institución financiera tiene políticas y productos distintos, con bases comunes; a
tenemos:
3.1.1.) El préstamo pagaré
Es una operación a corto plazo (máximo un año), cuyas amortizaciones mensuales o trimestrales también
pueden ser pagadas al vencimiento. Por lo general, son operaciones a 90 días prorrogables a un año con
intereses mensuales cobrados por anticipado. Generalmente utilizado para financiar la compra de
mercancías dentro del ciclo económico de la empresa comercial (comprar-vender-cobrar).
Otra de las razones para solicitar un pagaré, es por las deficiencias temporales de caja que requieren ser
puestas en positivo, producidas entre otras, por los mayores plazos de crédito frente a los plazos que
otorgan los proveedores.
3.1.2.) El préstamo a interés
Es una operación de corto y largo plazo, que puede ir desde uno hasta cinco años. Las cuotas son por lo
general mensuales, pero también pueden ser negociadas y los intereses son cobrados al vencimiento. Este
tipo de crédito es utilizado generalmente para adquirir bienes inmuebles, o activos que por el volumen de
efectivo que representan, no es posible amortizarlo con el flujo de caja de la empresa en el corto plazo.
La garantía de esta operación puede ser el bien adquirido o garantías reales distintas (prendarias o
hipotecarias). Adicionalmente, puede llevar las fianzas consideradas necesarias.
3.1.3.) El leasing
Operación mediante la cual, la institución financiera, adquiere bienes muebles o inmuebles de acuerdo a las
especificaciones del arrendatario, quien lo recibe para su uso y preservación por períodos determinados, a
cambio de la contraprestación dineraria (canon) que incluye amortización de capital, intereses, comisiones y
recargos emergentes de la operación financiera.
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Características del leasing:
Los bienes adquiridos son para ser arrendados, según lo solicitado por el arrendatario.
Durante la vigencia del contrato es responsabilidad del arrendatario mantener el bien arrendado y estar
al día con el pago de las pólizas de seguro.
La duración del alquiler debe ser igual o menor a la vida útil estimada del bien.
El monto del alquiler es fijado para amortizar el valor del bien alquilado durante el período de uso
determinado en el contrato.
El contrato le permite al arrendatario, la adquisición del bien al final del período de arriendo mediante el
pago de un valor de rescate que corresponde al valor residual del bien.
Debe estar relacionado a equipos o bienes de producción, que el arrendatario utilizará para fines
productivos o profesionales.
Tipos de arrendamiento financiero:
Arrendamiento Financiero Mobiliario. Un empresario contacta con el distribuidor de los equipos que
requiere, una vez seleccionados, contrata con la entidad financiera y vía arrendamiento adquiere los bienes,
durante el plazo determinado que está directamente relacionado con la duración económica de los equipos.
Transcurrido el tiempo estipulado en el contrato, el cliente ejerce la opción de compra con lo cual adquiere el
bien.
Arrendamiento Financiero Inmobiliario. Es igual al anterior, con la diferencia que el bien adquirido es un
inmueble que será destinado a la producción o uso profesional: Edificios, cobertizos, locales comerciales o
de oficina. El plazo de este tipo de operación, es por lo general, más largo que el mobiliario, por los montos
que implica y por el impacto de las cuotas en el flujo de caja de las empresas.
Sale And Lease Back. Consiste en que el cliente vende un bien mueble o inmueble al banco, para que éste
a su vez, lo arriende por período determinado, para al final, retornar la propiedad al cliente, mediante el uso
de la opción de compra. Esta operación tiene como intención, satisfacer requerimientos de capital de
trabajo.
Precisamos, que no obstante el bien adquirido mediante esta modalidad es propiedad de la institución
financiera, por lo tanto, es la garantía primaria. La institución financiera solicita tantas garantías adicionales
como difícil sea vender el bien para cobrar el crédito fallido.
3.1.4.) El descuento
Generalmente, el comercio de bienes y servicios no es de contado. Cuando la empresa vende a crédito a
sus clientes, recibe letras de cambio por los productos entregados. Cuando las empresas carecen de
liquidez para adquirir nuevos inventarios o pagar a sus proveedores acuden a las instituciones financieras
(generalmente bancos) y ofrecen en cesión sus letras de cambio antes del vencimiento, recibiendo efectivo
equivalente al valor nominal de los documentos menos la comisión que la institución financiera recibe por
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adelantarle el pago. Esta comisión es conocida como descuento. Según van ocurriendo los vencimientos de
los documentos de crédito, la institución financiera envía el cobro para que los deudores paguen la deuda
que originalmente le pertenecía a la empresa.
Por política de cobranza, las instituciones financieras después de haber presentado estos documentos para
el cobro por tres veces o más a sus correspondientes deudores y no haber recibido el pago, cargan el valor
del o de los documento en la cuenta del cliente (descontante) con el que hicieron la operación de descuento.
En estos casos el cliente es gravado con intereses de mora por el plazo que va desde el vencimiento hasta
la fecha en que es cargado en la cuenta.
En las operaciones de descuento son analizados fundamentalmente los estados financieros de la empresa
que realiza con el banco la operación de descuento y de manera secundaria, la situación financiera de los
acreedores señalados en los documentos de crédito. Dependiendo de la situación financiera del solicitante
del descuento y de los acreedores en los documentos, el banco podrá pedir garantías adicionales al
descontante.
3.1.5.) La carta de crédito
Instrumento mediante el cual, el banco emisor se compromete a pagar por cuenta del cliente (ordenante)
una determinada suma de dinero a un tercero (beneficiario), cumplidos los requisitos solicitados en dicho
instrumento.
Por ejemplo: una persona en Lima desea importar un carro desde Miami y llama al concesionario de esa
ciudad. Este le solicita que le transfiera dólares para despacharle el carro, pero la persona en Lima le
responde que hasta que el vehículo no esté en su destino, no le remitirá un céntimo. El problema es la
desconfianza de ambos lados. Por esta razón existe la Carta de Crédito.
La persona en Lima (Ordenante) solicita en su banco la apertura de una carta de crédito. El banco (Banco
Emisor) establece las condiciones necesarias según el riesgo del cliente y abre la carta de crédito enviando
fax o E-mail al banco (Banco Notificador) en Miami, instruyendo al vendedor (Beneficiario) para el embarque
del carro a Lima detallando las características del vehículo.
El vendedor de carros, notificado, entrega y pone el carro en el barco, por lo cual recibe el Conocimiento de
Embarque, que certifica el despacho del vehículo. Este documento es entregado por el vendedor al banco
de Miami, quienes verifican que el vehículo embarcado es exactamente el mismo cuyos detalles están
descritos en el fax o E-mail remitido por el banco de Lima, procediendo a pagarle al vendedor.
Cuando el auto llega al puerto, en este caso El Callao, es comunicado el banco en Lima, pues el bien está a
nombre y es propiedad del banco. Este convoca a su cliente, quien pasa por las oficinas, paga el auto y el
banco emite la Carta de Renuncia, que transfiere la propiedad del vehículo al cliente. Este va al Callao,
paga los impuestos y retira el auto. Con esto finaliza el proceso de la carta de crédito.
Tipos de Cartas de Crédito
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Existen dos tipos básicos: revocables e irrevocables Toda carta de crédito debe indicar con claridad cuál de
estas dos es.
Crédito Revocable. Puede modificarse o revocarse sin aviso previo para el beneficiario. Pero el Banco
Emisor deberá rembolsar al Banco Notificador el valor pagado, la aceptación a la negociación que haya
realizado en base a lo expresado en la carta de crédito, antes de haber recibido la modificación o
revocación.
Crédito Irrevocable. No puede ser alterada ni anulada, sin la conformidad de las partes (Ordenante,
beneficiario, Banco Emisor y Banco Notificador).
Según la forma de pago al beneficiario, las cartas de crédito pueden ser:
A la vista. El Banco Notificador paga al Beneficiario, a la presentación de los documentos que demuestran
el embarque de la mercancía bajo los términos planteados.
Contra aceptación. El Banco Notificador acepta (firma como deudor) al beneficiario una letra de cambio
con plazo determinado en la carta de crédito. Cuando el cliente acude al Banco Notificador al vencimiento,
éste paga contra la cuenta del Banco Emisor, quien a su vez cobra a su cliente. Para los exportadores es
interesante vender sus mercancías ofreciendo plazos para pagar a través de cartas de crédito con
aceptación. Entregando los documentos de embarque al banco, según lo solicitado en la carta de crédito,
los exportadores obtienen a cambio una letra aceptada por el banco, que puede ser descontada en
cualquier otra institución financiera a tasas preferenciales por la calidad del girador de la letra.
Con refinanciamiento. Es cuando el Ordenante no paga la carta de crédito, al momento de recibir la
mercancía, sino que recibe refinanciamiento mediante préstamo a interés para el pago al banco del monto
de la carta de crédito.
También pueden clasificarse en:
De importación. Emitidas a favor del beneficiario para garantizar el pago de las mercancías a ser
importadas.
De exportación. Recibidas, emitidas por bancos del exterior a favor de beneficiarios en nuestro país y en la
que actuamos como banco Notificador o Pagador.
Domésticas. Son las que abrimos por cuenta del ordenante a favor del beneficiario y ambos están en
nuestro país.
Hay cartas de crédito especiales que destacamos a continuación:
Stand By. Muy parecida a la fianza bancaria. El Ordenante garantiza al beneficiario, que un tercero (puede
ser el mismo ordenante), cumplirá con las condiciones especificadas, las consecuencias del no
cumplimiento es el pago por parte banco al beneficiario.
Con cláusula roja. Permite que el beneficiario utilice fondos de la carta de crédito antes de embarcar la
mercancía. Surge, cuando por ejemplo, el beneficiario requiere fondos para elaborar la maquinaria que
enviará al Ordenante.
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Con cláusula verde. Permite al beneficiario cobrar la carta de crédito contra entrega del Certificado de
Depósito por la mercancía puesta a disposición del comprador, pero que por falta de transporte no ha
podido ser despachada al lugar de destino.
Documentos que intervienen en la operación:
Factura Comercial. Documento que da al comprador la evidencia de haber adquirido la mercancía
legalmente.
Conocimiento de Embarque. Documento emitido por el transportista mediante el cual declara haber
recibido la mercancía y se compromete a llevarla hasta determinado puerto o aeropuerto, para ser
entregada a la persona designada en el documento. Cuando el transporte es aéreo hablamos de Guía
Aérea.
Póliza de seguro. Cubre la mercancía contra daños que le puedan ocurrir durante el transporte, puede ser
pagado por el Ordenante o el Beneficiario, depende del acuerdo.
3.2. Los productos pasivos
Las instituciones financieras, con el fin de obtener fondos del público, desarrollan productos con los cuales
las personas puedan canalizar sus fondos de uso común o sus excedentes destinados al ahorro y obtener
beneficios a cambio por medio de intereses.
Estos productos pueden ser clasificados en tres grandes grupos:
3.2.1. Los depósitos. Son el mayor volumen pues provienen de la gran masa de pequeños y medianos
ahorristas. Estos fondos son por lo general los más económicos, dependiendo de la mezcla de fondos. Esto
último está referido a la proporción entre los depósitos más baratos (ningún o muy bajo interés) y los
depósitos más caros (aquellos que para mantenerlos pagan altos intereses).
3.2.2. Los fondos interbancarios. Fondos que las instituciones financieras no colocan a sus clientes en
forma de créditos. Estos no pueden quedar ociosos y son destinados a inversiones o a préstamos a otros
bancos cuyos depósitos no son suficientes para satisfacer la demanda de crédito de sus clientes. En el
último caso, el banco que solicita los fondos, está recibiendo «depósitos» de otro banco. Esto es una forma
de depósito de gran volumen.
3.2.3. Captación por entrega de valores. En algunos casos, los bancos emiten valores comerciales para
captar fondos del público. Pueden estar garantizados por la cartera de créditos hipotecarios o por la de
tarjetas de crédito. En cualquier caso, la tasa de interés será casi directamente proporcional al riesgo
promedio total de la cartera que garantiza la emisión. Por ejemplo, la emisión de títulos contra cartera
hipotecaria, tiene menor tasa de interés disminuye el riesgo de morosidad y las garantías son reales y de
fácil liquidación en caso de falla del deudor.
4. Las tarjetas de crédito
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4.1. Breve historia
Las tarjetas de crédito empezaron a ser utilizadas en algunas tiendas al detalle y sólo podían ser usadas en
el detallista que las emitía. Algún tiempo después y en vista de lo exitoso de la idea, algunas compañías
petroleras emitieron tarjetas que permitían hacer consumo de gasolina en las estaciones de servicio.
Para 1936, American Airlines creó su propio sistema de crédito, llamado Universal Air Travel Plan (UATP),
que inicialmente fue una libreta de cupones desprendibles emitida contra depósitos en garantía. Este
evolucionaría después a un sistema de tarjetas de crédito propias que competiría con las tarjetas de crédito
emitidas por la banca.
Diners Club fue la primera de las que hoy conocemos como tarjetas de crédito bancarias y nació en 1946.
Los ingresos necesarios para el financiamiento de la compañía, provenían de la tasa de descuento del 7%
retenida a los comerciantes y de una comisión mensual cobrada a la tarjeta habiente (Ver numeral 4.2. El
Proceso) por el uso y mantenimiento.
En 1958, American Express y Carte Blanche (que era la tarjeta propia de Hilton Hotel Corporation) ingresan
al negocio de las tarjetas de aceptación general. En ese momento, entran tanto el Bank of America, el banco
más grande de los Estados Unidos y el Chase Manhattan Bank.
En 1966, El Bank of America licencia su producto BankAmericard a través de los Estados Unidos. En
respuesta, sus principales competidores unidos forman la Interbank Card Association, que transcurrido un
tiempo es el Master Charge. A finales de los 60, ambas compañías tendrían gran éxito en la colocación de
plásticos mediante el envío de correos masivos, otorgando millones de tarjetas. Para el año 78, había más
de 11,000 bancos trabajando con una de las dos marcas, sus ventas 42 mil millones de dólares y más de
52 millones de norteamericanos tenían al menos una de las dos tarjetas.
En el 76, Bank Americard cambia su nombre a Visa con la idea de tener mayor proyección internacional.
Master Charge, la siguió después cambiando su nombre a Master Card.
4.2. El proceso
Un consumidor abre una de tarjeta de crédito a través de un banco emisor, quien la aprueba previa
evaluación de su capacidad de endeudamiento y le otorga una línea de crédito. El consumidor, ahora es un
cliente y al recibir la tarjeta es portador de una tarjeta habiente, que le permite comprar bienes y servicios
en todos aquellos comercios que aceptan esta tarjeta como forma de pago. Para hacer uso de su línea de
crédito, el cliente requiere una tarjeta de plástico, con un número de cuenta y ciertos datos embozados
(Texto en relieve), cinta magnética en el reverso y ciertas características de seguridad que pueden estar en
el reverso y el anverso.
Los emisores, son requeridos como resultado de su asociación con Visa o Master Card, que cumplan con
ciertos requisitos específicos para cada marca, en la preparación de los plásticos con el fin de ser aceptadas
en todas partes. Estas características alertan a los comerciantes ante fraude. Por otro lado, los
comerciantes acuerdan con una institución financiera que en adelante llamaremos Adquirente, la
aceptación de las tarjetas de crédito como forma de pago. Con este fin, el comercio, abre una cuenta con el
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Banco Adquirente. Este acuerdo permite que el comerciante venda sus bienes y servicios a los clientes
portadores de las tarjetas. La aceptación de las tarjetas implica en la mayoría de casos, transacciones
electrónicas a través de un punto de venta al banco Adquirente, es la persona que tiene comunicación con
el Emisor de la Tarjeta y solicita la autorización de pago. El Banco Emisor revisa la cuenta del cliente para
verificar su conformidad y responde aprobando o negando la operación. Esta respuesta la recibe a través de
su banco Adquirente en el punto de venta. La aprobación implica que el Banco Emisor acuerda reembolsar
el monto de la compra al Banco Adquirente, quien a su vez lo depositará en la cuenta del comerciante.
El depósito en la cuenta es realizado al final del día, el punto de venta envía al banco Adquirente el resumen
de las ventas efectuadas a través de un proceso Batch. También es posible hacerlo a través de resúmenes
de venta que el comerciante llena manualmente y que deposita en las ventanillas del banco, a este resumen
anexa los comprobantes firmados por cada uno de sus clientes portadores de la tarjeta habiente.
5. Préstamo
Cantidad de dinero que se solicita, generalmente a una institución financiera, con la obligación de devolverlo
con un interés.
Préstamo es el contrato en el que una de las partes (prestamista) entrega activos físicos, financieros o
dinero en efectivo y la otra (prestatario) comprometiéndose a devolverlos en una fecha o fechas
determinadas y a pagar intereses sobre el valor del préstamo.
Así como «la suma» es la única operación matemática que existe y de la que todas las demás derivan; el
préstamo es la única alternativa que existe en el mundo de las inversiones y de la que todas las demás
derivan. En matemáticas, la «resta» es una suma donde uno de los números es negativo, la «multiplicación»
es una sucesión de sumas, la «división» es una multiplicación de números fraccionarios, y a todas las
demás. En inversiones pasa lo mismo.
Las alternativas más comunes de inversión, generalmente lo constituyen los distintos tipos de depósito que
hacemos en los bancos: cuentas de ahorro, cuentas corrientes y plazo fijos. El banco reconoce un
«interés» por nuestros depósitos (por el hecho de prestarle nuestro dinero), que los empleará para
«prestárselo» a otras personas, empresas o gobierno. El banco intermedia, entonces, entre quienes tienen
ahorros y los que necesitan fondos. El riesgo es la solvencia del banco para devolvernos el dinero prestado.
5.1. Grupos de préstamos
Por su uso existen hasta dos grupos de préstamos: uno, el denominado préstamo de consumo o préstamos
personales, para compras de las economías domésticas (familias e individuos particulares) de bienes de
consumo duraderos, como automóviles y electrodomésticos, es decir para consumo privado; y, dos el de
inversión o capital productivo para fábricas, maquinaria o medios de transporte público así como para el
aumento del capital humano como mano de obra calificada (no como gasto sino como inversión). Las
economías nacionales requieren capital productivo, a tasas de interés de inversión que permitan aumentar y
desarrollar el aparato productivo (MYPES) de las naciones.
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Los capitales deberían estar presentes donde son necesarios, esto corresponde a mercados normales. Es
urgente para los países emergentes salir del mercado de divisas, para reactivar la demanda agregada y salir
de la orientación rentista del capital financiero especulativo.
5.2. Elementos de los préstamos
Crédito. Cantidad recibida por un préstamo (VA), monto afecto a intereses. En un crédito tenemos la
posibilidad de disponer sumas de dinero hasta el límite de la línea autorizada o en cantidades menores una
o varias veces, sobre los montos retirados el banco aplica intereses.
Plazos. Modalidad o tiempo en el que tenemos que devolver el crédito otorgado (n).
TEA ( i ). Es la tasa efectiva anual de interés. En función del plazo en días fijado se calcula la tasa de interés
equivalente, adelantada o vencida, según sea el caso.
Interés. Rendimiento que obtenemos o pagamos por una inversión o préstamo en un período determinado.
Es una cantidad de unidades monetarias (VA*i).
También se utiliza el término tipo de interés, que normalmente se refiere a la tasa nominal anual y no a la
tasa del período. Ambos se formulan en tanto por ciento (%). Debemos especificar si los intereses son
pagados al vencimiento o por adelantado.
Tasa de interés convencional compensatorio, cuando constituye la contraprestación por el uso del dinero o
de cualquier otro bien. En operaciones bancarias ésta representada por la tasa activa para las colocaciones
y la tasa pasiva para las captaciones que cobran o pagan las instituciones financieras.
Cualquier exceso sobre la tasa máxima da lugar a la devolución o a la imputación de capital a voluntad del
deudor. Cuando el interés compensatorio es diferente a la tasa de interés inicialmente pactada, influye en el
costo anual del crédito (TEA).
Tasa de interés moratorio, cuando tiene por finalidad indemnizar la mora en el pago. No cumplimiento de
una deuda en el plazo estipulado. Se cobra cuando ha sido acordada. Aplicable al saldo de la deuda
correspondiente al capital. Cuando la devolución del préstamo se hace en cuotas, el cobro del interés
moratorio procede únicamente sobre el saldo de capital de las cuotas vencidas y no pagadas.
Tasa de interés legal, La tasa de interés legal en moneda nacional y extranjera, es fijada, según el Código
Civil por el BCRP, cuando deba pagarse la tasa de interés compensatoria y/o moratoria no acordadas, en
este caso, el prestatario abonará la tasa de interés legal efectiva publicado diariamente por la SBS.
Comisiones. Al recibir un préstamo (aparte de los intereses) podemos tener otros gastos. Pueden pedirnos
certificaciones registrales, suscripción de una póliza de seguros, gastos de fedatario público (notario) y de
registro (de la propiedad o mercantil). La entidad financiera puede también imponernos otras cantidades,
como son gastos de estudios, comisiones de apertura, mantenimiento o pago anticipado, etc. Algunas
serán fijas, otras variables (con o sin mínimo), unas las pagaremos al principio del período; otras a lo largo
de la vida del préstamo; y habrá otras al final. Estos gastos elevan el costo (TEA) del préstamo por encima
del tipo de interés pactado.
"
Por esta razón para la evaluación de productos financieros similares no basta simplemente la comparación
por el tipo de interés ofertado, sino que hay que tener en cuenta otras herramientas de evaluación ya
estudiados en capítulos anteriores y que aplicaremos en la solución de los ejemplos y ejercicios que se
presenten en este libro.
Comisión bancaria. Retribución que el banco percibe por sus servicios. La comisión puede ser por la
renovación del documento y/o por los gastos y servicios que ocasiona la gestión de cobranza (protesto).
Portes. Cantidad que se paga por transportar una cosa.
Protesto. Diligencia que se realiza cuando no es pagada una letra de cambio, cheque o pagaré. Se practica
a fin de no perjudicar los derechos y acciones de las personas que intervienen en el giro o en los endoses.
Esta acción demanda, como es obvio, gastos notariales.
Amortización. Reembolso del principal de los préstamos recibidos, de acuerdo al calendario de vencimiento
del contrato, mediante cuotas periódicas generalmente iguales. Amortizar un préstamo es determinar las
diferentes combinaciones de equivalencia del dinero a través del tiempo.
La deuda pendiente crece en el interior de cada uno de los períodos en los que está dividida la operación,
para disminuir al final de los mismos como consecuencia de la entrega del término amortizativo.
Es decir, en cada uno de los períodos se producen dos movimientos de signo contrario, uno de crecimiento
como consecuencia de los intereses generados y otro de disminución por la amortización del principal.
La suma de estos dos movimientos proporciona la variación total de la deuda pendiente al final del período.
Existirá disminución de la obligación si la amortización es mayor que los intereses generados en el período
e incremento en caso contrario. Cuando el valor de la amortización coincida con la cuota de interés no
habrá variación de la deuda.
Pago (C). Es el efectuado en cada período, que no puede variar durante la anualidad. Generalmente el pago
incluye el capital y el interés, no contiene aranceles, impuestos, seguros u otros gastos, que si viene
reflejado en la tabla de amortización (estado de cuenta) que la institución financiera remite a sus clientes.
5.3. Descuento Bancario
Descuento, es el proceso de deducir la tasa de interés a un capital determinado para encontrar el valor
presente de ese capital cuando el mismo es pagable a futuro.
Es necesario conocer cuánto recibiremos al solicitar un préstamo. También debemos conocer cuánto
pagaremos en la fecha de liquidación o el pago de una parte de la deuda, son pocas las veces que los
pagos de una obligación son efectuadas en la fecha de vencimiento. De acuerdo a los días transcurridos, el
Banco en forma adicional, cobra otros gastos como los intereses compensatorios, intereses moratorios,
portes e inclusive distintos tipos de comisiones, así como gastos notariales cuando el documento es
" 
protestado. Por otro lado, como en la mayoría de casos los pagos de las obligaciones son parciales,
aparecen los intereses adicionales por la renovación del documento.
El diagrama explicativo muestra los costos adicionales en los que incurrimos al no honrar el pago de una
obligación a su vencimiento.
Normalmente, los empresarios piensan que llegado el vencimiento de un documento (pagaré, letra), cuentan
con 8 días de gracia adicionales para su pago. Esto no es cierto. En todo caso sería el banco el que tiene
hasta 8 días para protestar el documento pudiendo hacerlo antes del plazo establecido. Sin embargo,
debemos tener en cuenta que un plazo adicional de 8 días, significa nuevos costos por concepto de
comisiones, gastos notariales o porque el interés compensatorio se incrementa en relación al interés
inicialmente acordado (tasa activa) que repercute en el costo financiero del crédito.
El protesto del documento puede tener lugar en cualquiera de los ocho días siguientes después del
vencimiento de la letra.
I nterés compensatorio
Comisión de renovación
Portes
Cuenta
Sobregirada
I nterés moratorio
Vencimiento
de la letra
8
Protesto
8 días
Cobranza
J udicial
Comisión de Retención
del documento o
comisión de protesto
Gastos Notariales
Si sólo amortizamos parte de la deuda, deberemos pagar además de los gastos ya mencionados,
intereses adelantados o vencidos, según sea el caso, por la renovación del documento.
5.4. Tipos de préstamos
Existen hasta cuatro clasificaciones basados en:
5.4.1. En el tipo de interés asociado al préstamo
Distinguimos tres tipos de préstamos:
1) De interés fijo. El tipo de interés permanece fijo durante la vida del préstamo. En este caso, el cliente
tiene la cuota constante y su cálculo dependerá del plazo que escoja.
" "
2) De interés variable. Está referenciado a un índice que viene predeterminado en el contrato, con plazo
determinado (normalmente un año) y revisable periódicamente (la revisión más general es la anual). Debido
a esto, la cuota varía por cada revisión.
3) De interés mixto. Mezcla de los dos anteriores. Definido como préstamo a tipo variable con período fijo
inicial superior a 1 año.
5.4.2. En el concepto de carencia o diferimiento
Distinguimos dos clases de préstamos diferidos:
 Préstamos sin carencia. Los más comunes. En ellos el prestatario empieza a pagar inmediatamente
después de recibir el préstamo y su cuota es dividido entre intereses y amortización.
" Préstamo con carencia. Aquellos en los que el prestatario paga sólo intereses o no paga nada al inicio
del préstamo (generalmente dos años). El primer caso, paga sólo intereses y en segundo no paga capital ni
intereses durante el período de gracia.
5.4.3. En las diferentes modalidades de cuota
Distinguimos cuatro clases de préstamos:
1) De cuota constante. Los más comunes. Aplicados a los préstamos a tipo fijo. La composición de la
cuota es la suma de intereses y capital amortizado. Estas dos partidas evolucionan inversamente, es decir,
la evolución de los intereses dentro de la cuota es decreciente mientras que la amortización es creciente.
2) De cuota fija. Término utilizado para los préstamos a tipo fijo, referenciados a índices en los cuales el
prestatario paga una cantidad fija periódicamente (cuota fija) independientemente de la evolución de los
tipos de interés.
3) En este tipo de préstamos, la duración no es fija, es variable; es decir, la fecha de amortización del
préstamo es desconocida, (si los tipos de interés suben, el préstamo es en más tiempo y viceversa). Los
intereses dentro de la cuota son decrecientes y la amortización creciente.
4) De cuota creciente. En este caso la cuota aumenta un porcentaje anual previamente establecido. Los
pagos aumentan con el tiempo, siendo las primeras cuotas pequeñas. Debemos considerar que la cantidad
total de intereses pagados al finalizar el préstamo son mayores. La cuota es la suma de amortización e
intereses. Al pagar una pequeña cuota al principio, sólo estamos amortizando los intereses del préstamo. La
ventaja es el pago de cuotas pequeñas al principio, liberando en éste momento de mayores gastos al
prestatario.
5) De cuota decreciente. Contraria a la anterior. Aquí, las cuotas son mayores al principio del préstamo,
pagando menos con el paso del tiempo. La forma de hacerlo es pagar siempre la misma cantidad de capital,
para que los intereses aplicados sobre el capital pendiente sean cada vez menores. Al tener una cantidad
fija por amortización y otra decreciente por intereses. El efecto es que tenemos una cuota decreciente.
" #
5.4.4. En la diferente periodicidad de la cuota
En función del pago de la cuota distinguimos varios tipos:
1) Mensuales (la más común en los préstamos personales)
2) Trimestrales (poco usada)
3) Semestrales (raramente usada)
4) Anuales (Aplicable para proyectos de desarrollo)
6. Modalidad de pago de las deudas
Como acabamos de ver en el numeral anterior, los tipos de préstamos son varios. Según las condiciones (a
interés simple o compuesto) la estructura de pago varía. Puede ser un sólo pago o en cuotas. Unos pagos
son mayores o constantes en los primeros o últimos períodos.
Reiteramos, los créditos consideran opcionalmente plazos de gracia (carencia), en los cuales no amortiza el
préstamo, pudiendo consignar desembolso de intereses (pago de intereses generados en el período).
Cuando la condición del préstamo es pago con interés compuesto y no considera desembolso de intereses
generados, éstos capitalizan. Por lo general existen hasta cinco sistemas de pago de préstamos, estos
son:
6.1. Flat,
6.2. En un sólo pago (Método americano),
6.3. En cuotas constantes (Método francés),
6.4. En cuotas decrecientes (sistema alemán),
6.5. En cuotas crecientes.
6.1. Sistema de pago Flat
«Sistema de pago con aplicación del interés simple»
El interés generado en este sistema de pagos es calculado únicamente sobre el principal. Los intereses
causados de un período a otro no ganan intereses. Por esta razón, el valor de los intereses es constante. En
este sistema de pago, distinguimos tres casos particulares:
A) Préstamo con amortización única al vencimiento (Método americano simple).
La característica de este tipo de préstamos es:
a) Única amortización de capital al vencimiento por el total del préstamo.
b) En las demás cuotas periódicas tan sólo pagan los intereses del período.
" $
B) Pago flat en un sólo pago final
El principal y los intereses son pagados al final en un sólo pago.
C) Préstamo con amortización de capital constante
En este tipo de préstamos la amortización de capital es constante en todas las cuotas. También y a efectos
de simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés es constante durante toda la operación, aunque
este requisito no es necesario. Calculamos fácilmente el importe de la amortización de capital constante.
Basta con dividir el importe del préstamo por el número de períodos.
EJEMPLO 179 (Ejemplo para la aplicación de los cinco sistemas de pago)
Un pequeño empresario en expansión, requiere capital de trabajo para ampliar la capacidad de producción y
acude a una EDPYME, gestionando un préstamo por UM 70,000, para su liquidación en un sólo pago o en
cinco años al 22% anual. Solucione el ejemplo aplicando los tres casos del sistema flat (A, B y C) y calcule
el costo global del préstamo:
Solución:
VA = 70,000; n = 5; i = 22% flat; I = ?; VF = ?
A) Método americano simple:
A B C D E F
1
O
SALDO
INICIAL
INTES AMORTZ PAGO
SALDO
FINAL
2 ' ( !
3 ' ( ! %($ ! %($ ! ' ( !
4" ' ( ! %($ ! %($ ! ' ( !
5# ' ( ! %($ ! %($ ! ' ( !
6$ ' ( ! %($ ! %($ ! ' ( !
7% ' ( ! %($ ! %($ ! ' ( !
8& ' ( ! %($ ! ' ( ! %($ ! !
Calculo del monto a pagar:
[8] Interés por período I1...5 = 70,000*0.22 = UM 15,400
Pago final período 5 = 70,000 + 15,400 = UM 85,400
B) Pago flat en un sólo pago:
" %
[5] Pago total VF = 70,000[1+(0.22*5)] = UM 147,000
A B C D E F
1
O
SALDO
INICIAL
INTES
ACUMUL
AMORTZ PAGO
SALDO
FINAL
2 ' ( !
3 ' ( ! %($ ! ' ( !
4" ' ( ! # ( ! ' ( !
5# ' ( ! $&(" ! ' ( !
6$ ' ( ! &(& ! ' ( !
7% ' ( ! ''( ! ' ( ! $'( ! !
C) En cinco cuotas de amortización constante flat:
Amortización = 70,000 / 5 = UM 14,000/ anuales
I1...5 = 70,000*0.22 = UM 15,400 anuales
C1...5 = 14,000 + 15,400 = UM 29,400 anuales
A B C D E F
1
O
SALDO
INICIAL
INTES
AMORTZ PAGO
SALDO
FINAL
2 ' ( !
3 ' ( ! %($ ! $( ! "($ ! %&( !
4" %&( ! %($ ! $( ! "($ ! $"( !
5# $"( ! %($ ! $( ! "($ ! "( !
6$ "( ! %($ ! $( ! "($ ! $( !
7% $( ! %($ ! $( ! "($ ! !
Calculando el costo del préstamo, tenemos:
VA = 70,000; VF = 147,000; iT = j
[7] I = 147,000 - 70,000 = UM 77,000 j = 22%*5 = 110%
 )
' (
' ( *$'(
+, =×=
T
i
Finalmente, a una tasa anual de 22%, en las tres formas de pago la tasa de interés global del préstamo es
110%.
6.2. Sistema de pago en un solo pago futuro
«Sistema de pago con aplicación del interés compuesto»
Este sistema de pagos está referido a los conceptos y fórmulas del 1º y 2º Factores Financieros de las Seis
Llaves Maestras de las Matemáticas Financieras, tratado ampliamente en el Capítulo 3.
" &
Con el ejemplo 179, consideremos el préstamo de UM 70,000 para su liquidación al final del quinto año, en
una sola armada con un interés del 22% anual. Determinar el monto a pagar transcurrido los cinco años y
calcule el costo global del préstamo.
Solución:
VA = 70,000; n = 5; i = 0.22%; VF = ?
Obtenemos directamente aplicando la fórmula [19]
[19] VF = 70,000 (1 + 0.22)5 = UM 189,190 pago total final
Finalmente, calculamos el costo del préstamo:
+"", =
n
VA
VF
i
( *' (
+, - .' !"')
' (
i
T
=
Respuesta: A la tasa anual de 22%, el costo global del préstamo es de 170.27%.
6.3. Sistema de pago en cuotas constantes (Método francés)
«Pagos iguales efectuados periódicamente del interés compuesto y del principal».
Caracterizado por cuotas de pago constante a lo largo de la vida del préstamo. También considera que el
tipo de interés es único durante toda la operación. El pago de la deuda es en cuotas constantes o uniformes.
La cuota a pagar durante los plazos establecidos es constante hasta su liquidación. El interés es al rebatir,
es decir, aplicado sobre los saldos existentes de la deuda en un período. Es muy utilizado por los bancos
y tiendas que venden al crédito. Son ejemplos de este Sistema de pago los préstamos personales del
sistema bancario, las ventas a crédito de los supermercados, ect..
Ahora, consideremos el préstamo de UM 70,000 para su pago en cinco cuotas anuales y uniformes, a la
tasa de interés del 22% anual. Determinar el valor de cada cuota y elabore el cronograma del plan de
pagos.
Solución:
VA = 70,000; n = 5; i = 0.22%; C = ?
1º Calculamos el valor de cada cuota (Pago) con la fórmula [24], la función PAGO o Buscar Objetivo:
"$($$$/
!""
!""0 !""
' ( +"%,
%
%
=
=C
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
!"" % *' ( "$($$$!$"
" '
2º Elaboramos el CRONOGRAMA DE LA DEUDA:
A B C D E F
1
O
SALDO
INICIAL
INTES
AMORTZ PAGO
SALDO
FINAL
2 ' ( !
3 ' ( ! %($ ! ( $$!$" "$($$$ & (%%!%
4" & (%%!% #($ !"# ( #$! "$($$$ $("!$
5# $("!$ ("!' #($&!' "$($$$ #&($%!&
6$ #&($%!& ( "!# &($"#!" "$($$$ " ( #&!$
7% " ( #&!$ $($ ! " ( #&!$ "$($$$ !
6.4. Sistema de pago en cuotas decrecientes (Sistema Alemán)
«Sistema de pago con aplicación del interés compuesto»
Como su nombre lo indica, las cuotas disminuyen período a período, la amortización es constante hasta la
extinción de la deuda. El interés compuesto y una parte del principal son abonados periódicamente. Para la
solución de casos con este sistema de pagos, conocida la amortización, necesariamente operamos con las
tablas de amortización. No hay fórmulas para determinar las cuotas. El interés aplicado a los saldos es al
rebatir.
Continuando con el ejemplo 179, consideremos ahora, el préstamo de UM 70,000 para su pago en cinco
cuotas anuales decrecientes, a la tasa de interés del 22% anual. Determinar el valor de la amortización
anual cuota y elabore el cronograma del plan de pagos.
Solución:
VA = 70,000; n = 5; i = 0.22%
Como la amortización es constante:
Amortización = 70,000 / 5 = UM 14,000/ anuales
O
SALDO
INICIAL
INTES
AMORTZ PAGO
SALDO
FINAL
' ( !
' ( ! %($ ! $( ! "($ %&( !
" %&( ! "(#" ! $( ! "&(#" $"( !
# $"( ! ("$ ! $( ! "#("$ "( !
$ "( ! &(& ! $( ! " (& $( !
% $( ! #( ! $( ! '( !
Interés = Saldo Inicial*0.22
PAGO = INTERES + AMORTIZACION
6.5. Sistema de pago en cuotas crecientes
«Sistema de pago con aplicación del interés compuesto»
" 
Esta forma de pago, por sus características resulta cómodo al deudor, por cuanto las primeras cuotas son
menores. Como utiliza el factor que está en función al número de cuotas por pagar, la amortización y las
cuotas aumentan en forma gradual. Aplicando la progresión aritmética, calculamos el factor por período de
capitalización que multiplicado por el valor del préstamo nos proporcionará el monto de cada amortización.
Siempre con el ejemplo 179, consideremos ahora, el préstamo de UM 70,000 para su pago en cinco cuotas
anuales crecientes, a la tasa de interés del 22% anual. Determinar el valor de cada cuota y elaborara el
cronograma del plan de pagos.
Solución:
VA = 70,000; n = 5; i = 0.22%
Aplicando la progresión aritmética, tenemos:
=++++= %%$#"
FACTOR Año 1 1/15 = 0.0667
FACTOR Año 2 2/15 = 0.1333, así sucesivamente
Interés = Saldo Inicial*0.22
AMORTIZACION = PRESTAMO*FACTOR
PAGO = AMORTIZACION + INTERES
O FACTOR PTMO. AMORTZ
SALDO
INICIAL
INTERES PAGO
SALDO
FINAL
' (
! &&' ' ( $(&&' ' ( %($ " ( &' &%(###
" !### ' ( (### &%(### $(#'# "#(' ' %&(
# !" ' ( $( %&( "(#" "&(#" $"(
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% !#### ' ( "#(### "#(### %(## "($&'
7. Formas de Pago de los Préstamos
Aplicando cualquiera de estos cinco sistemas de pago existen hasta tres formas de pago de los préstamos:
7.1. Préstamos con período de carencia o período de gracia
7.2. Préstamos con distintos tipos de interés
7.3. Préstamos con intereses anticipados
De los cinco sistemas de pago de los préstamos analizados, el denominado sistema de pagos en cuotas
constantes o método de amortización francés, es la modalidad de amortización de uso común por la
mayoría de entidades financieras y tiendas de venta al crédito.
7.1. Préstamo con período de carencia
" 
En algunos préstamos consideran un período inicial de carencia (período de gracia), con el que el
prestatario dispone del plazo para que la inversión asociada al crédito, genere los ingresos para afrontar la
amortización del mismo.
El período de carencia puede ser de dos tipos:
a) Carencia en la amortización del capital, haciendo frente al pago de intereses.
b) Carencia total. El prestatario no realiza ningún pago durante este período.
a) Carencia en la amortización del capital
Durante el período de carencia, el prestatario paga cuotas constantes equivalentes a la liquidación de los
intereses periódicos:
[8] I = VA*i*n
(Siendo VA el importe del capital inicial del préstamo)
Finalizado este período, el préstamo discurre normalmente (del tipo que sea: cuota constante, amortización
al vencimiento, etc.).
Ejemplo 180 (Carencia en la amortización del capital)
Un empresario tiene una obligación por UM 40,000 para su liquidación en 3 años, con pagos trimestrales
con el 52% de interés anual. Considera 4 trimestres de carencia durante el cual sólo amortizan los
intereses. Transcurrido este período, la deuda es pagada normalmente con cuotas constantes.
Solución: [n = 4AÑOS*3MESES = 12TRIMESTRES – 4 (TRIMESTRES CARENCIA)] i = 0.52 (TASA NOMINAL)/4TRIMESTRES ANUALES
VA = 40,000; n = 8; i = 0.13; I1...4 = ?
1º Calculamos los intereses pagados durante el período de carencia.
[8] I1...4 = 40,000*0.13*1 = UM 5,200
2º Transcurrido los 4 trimestres, la obligación es pagada en cuotas constantes: n = 8 TRIMESTRES
[ ]
8
8
0.13*1.13
25 C=40,000 = UM 8,335.47
1.13 -1
"
3º Finalmente, elaboramos LA TABLA DE AMORTIZACION DE LA DEUDA:
PAGO : FORMULA 22, en nuestro caso la función buscar objetivo de Excel.
b) Carencia total
En este caso, el empresario no realiza ningún pago durante el período de carencia, razón por la cual el
importe del principal aumenta, debido a la acumulación de los intereses. Con el ejemplo 180, suponiendo
que hay carencia total de pago, en el lapso establecido.
Solución:
VA = 40,000; n = 8; i = 0.13; I1...4 = ?
Con la fórmula [19] o la función VF de Excel, calculamos el importe (futuro) del principal al finalizar los 4
trimestres de carencia:
[19] VF = 40,000(1 + 0.13)4 = UM 65,218.94
Durante los 8 trimestres que van desde el final del período de carencia hasta el vencimiento del
préstamo los pagos son en cuotas trimestrales constantes; para el cálculo de la cuota aplicamos la fórmula
[24] o la función PAGO de Excel y la respectiva tabla de amortización de la operación:
"
7.2. Préstamo con distintos tipos de interés
Usualmente existen préstamos con distintos tipos de interés. Por ejemplo: 5% durante los tres primeros
años, 8% durante el y año y 10% durante los dos últimos años. Suelen ser operaciones a largo plazo,
en las que el tipo de interés va aumentando a medida que el plazo sube. Aparte de esta particularidad, estos
préstamos pueden seguir el desarrollo de algunos de los sistemas de pago que hemos analizado (cuotas
periódicas constantes, amortización de principal constante, etc.).
a) Préstamos con distintos tipos de interés y cuotas constantes
Supongamos que existen 2 tramos: uno que va del inicio hasta el período «n», con un tipo de interés «i1», y
un segundo tramo que va desde el período n+1 hasta el vencimiento, con un tipo de interés «i2». Entonces:
La cuota uniforme de cada tramo, la calculamos con la expresión [25] o la función PAGO, en la que
operamos con la tasa de interés del tramo y con n igual al total de períodos pendientes de pago. Al saldo
final, deducida las cuotas del tramo calculado, aplicamos nuevamente la notación [25] para el cálculo del
pago del siguiente tramo y así sucesivamente. Los valores que obtenemos con este método son cuotas
constantes de un tramo a otro. Método válido para más de dos cambios en la tasa de interés con cuotas
uniformes.
Para la solución de casos de este tipo, en el presente libro, aplicaremos este método por ser más sencillo y
adecuado a casos de la vida real, por cuanto los intereses varían en el tiempo y difícilmente pueden ser
pronosticados.
Ejemplo 181 (Cuota constante con distintos tipos de interés)
Calcular la cuota periódica constante y el cuadro de amortización de un préstamo de UM 40,000, a 6 años,
con el 8% de interés durante los 3 primeros años y del 12% durante los 3 restantes. Calcular la cuota
constante, con los dos tipos de interés.
""
Solución:
VA = 40,000; n = 6; i = 0.08; C = ?
Cuotas del primer tramo:
&
&
! 0!
+"%, $ ( /(&%"!&"
!
C= =
Cuotas del segundo tramo:
Para el cálculo de la cuota de este tramo, elaboramos la tabla de amortización del préstamo y con el saldo
pendiente de pago (VA) determinamos la cuota del segundo tramo:
VA (SALDO PENDIENTE) = 22,298.63; n = 3; i = 0.12; C = ?
b) Préstamos con distintos tipos de interés y devolución de principal constante
Con este tipo de préstamos amortizamos el mismo capital en todos los períodos, con independencia del tipo
de interés vigente en ese momento.
Ejemplo 182 (Amortización constante y distintos tipos de interés)
"#
Determinar la amortización de capital constante y elaborar el cuadro de amortización de un préstamo de UM
30,000, a 8 años, con la tasa de interés del 32% durante los 3 primeros años y del 48% durante los 5
restantes:
Solución:
VA = 30,000; n = 3 y 5; i1 = 0.32; i2 = 0.48;
1º El monto constante de la amortización de capital lo calculamos de la siguiente forma:
45678#('% /
# ( ==ONAMORTIZACI
Elaboramos la tabla de amortización de la operación financiera, método recomendable para la solución
de casos de este tipo:
OS
SALDO
INICIAL
INTES AMORTZ PAGO
SALDO
FINAL
$ ( !
# ( ! (& ! #('% ! #(#% ! "&("% !
" "&("% ! ($ ! #('% ! "(% ! ""(% !
# ""(% ! '(" ! #('% ! (% ! ('% !
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% %( ! '(" ! #('% ! (% ! ("% !
& ("% ! %($ ! #('% ! (% ! '(% !
' '(% ! #(& ! #('% ! '(#% ! #('% !
#('% ! ( ! #('% ! %(%% ! !
PAGO = INTERES + AMORTIZACION
7.3. Préstamos con intereses anticipados
Es decir, los intereses son pagados por anticipado, al inicio de cada período. El monto efectivo inicial que
recibe el prestatario será el importe del préstamo menos los intereses del primero. Estos préstamos pueden
ofrecer diversas modalidades, entre las que destacamos:
a) Cuota constante
b) Amortización de capital constante
a) Cuota constante
Como vimos en el numeral 6.3. Plan de pago en cuotas constantes (Método francés), esta cuota es
calculada con la fórmula [25] o la función PAGO.
EJEMPLO 183 (Préstamo con intereses anticipados y cuota constante )
"$
Si obtenemos un préstamo por UM 6,000 a la tasa de interés de 48% anual, compuesto semestralmente,
con pagos de intereses anticipados y 5 pagos semestrales iguales. Determinar el importe de cada cuota y
elaborar la tabla de amortización.
Solución: [i = 0.48/2 SEMESTRES]
VA = 6,000; n = 5; i = 0.24; C = ?
Aplicando la fórmula (25) o la función PAGO, calculamos la cuota semestral a pagar por el préstamo:
%
%
!"$0!"$
+"%, &( /"(%!$
!"$ 
C= =
2º Elaboramos la tabla de amortización:
El prestatario recibe en el momento inicial UM 4,560 (UM 6,000 del préstamo, menos los intereses de UM
1,440 del primer año). La cuota periódica de UM 2,185.49 anual, es calculada con el valor del préstamo y
pagada al final de cada período, compuesta por la amortización de capital de dicho período, más los
intereses del período anterior. La última cuota no paga intereses, por cuanto los intereses de esta cuota
fueron pagadas el mes anterior.
b) Amortización de capital constante
En este tipo de préstamos la amortización de capital es constante en cada período. La cuota periódica
disminuye debido a que los intereses van disminuyendo.
Con el ejemplo 183, tenemos:
Solución:
VA = 6,000; n = 5; i = 0.24; C = ?
AMORTIZACION = 6,000 / 5 = UM 1,200
"%
OS
SALDO
INICIAL
INTES AMORTZ PAGO
SALDO
FINAL
&( ! ($$ ! ($$ ! &( !
$( ! (%"! (" ! "(#%"! $( !
" #(& ! &$! (" ! "( &$! #(& !
# "($ ! %'&! (" ! (''&! "($ !
$ (" ! "! (" ! ($! (" !
% ! ! (" ! (" ! !
AMORTIZACION = 6,000/5
PAGO = INTERES + AMORTIZACION
ALDO FINAL = SALDO INICIAL
8. Préstamos hipotecarios y préstamos personales
8.1. Préstamos hipotecarios
Los préstamos hipotecarios son otorgados para financiar la adquisición de viviendas. Son préstamos a
largo plazo, entre 15 y 30 años, con tasas que suelen ser variables. Las cuotas de amortización son
constantes en el período que va entre cada revisión de tipos. Cuando solicitamos un préstamo es necesario
conocer el valor de la cuota mensual. Esta dependerá del monto del préstamo, su duración y tipo de interés
aplicado. El cálculo del importe de la cuota mensual es posible hacerlo asumiendo que la tasa no cambiará
durante el tiempo que dure la operación.
Gastos asociados a la contratación de préstamos hipotecarios:
El hecho de solicitar un préstamo hipotecario lleva implícito una serie de comisiones y gastos asociados.
Gastos de corretaje. Para dar validez a las escrituras, es necesaria la firma de un corredor de comercio. Por
tanto, incurriremos en el gasto que supone pagar la minuta del corredor.
Seguros.
Seguro de vida. El hecho de solicitar préstamos hipotecarios lleva asociado (obligatoriamente) un seguro de
vida que cubra el valor del préstamo.
Ejemplo: Es permisible confeccionar tablas que determinan el importe de la cuota mensual por cada millón
UM, según el tipo y el plazo.
Solución:
VA = 1’000,000; n = 5, 10, 15, 25, 30 años; i = 5%, 7%, 9%, 12% y 15% anual; C MESUAL = ?
Para calcular el importe mensual por cada millón de UM aplicamos la fórmula [25]: n = (5*12) = 60 y así
sucesivamente; i = (0.05/12) = 0.004166 y así sucesivamente o la función PAGO. Operamos la fórmula o la
función con la tasa mensual:
75('/
! $&&
! $&&0 ! $&&
9 ( +"%,
&
&
%
=
=C
"&
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! $&' & *( ( ('!"#
! %## " *( ( (& !%
! '% *( ( ($"!&'
! # *( ( (%#"!"$
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TASA : i/12
Nper : n/12
Tasa mes 5 años 10 años 15 años 20 años 25 años 30 años
! $&' (' (& ' '( &(& %($& %(#&
! %## ( (& ( '('%# '( & &(&%#
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! "% "#(' &(## #(& #(& "( "(&$$
CUOTA MENSUAL POR UM 1'000,000
+
+
=
+"%, i
ii
VAC
El sistema de préstamos hipotecarios permite a las personas naturales obtener recursos a largo plazo para
comprar, ampliar bienes inmuebles, terrenos urbanizados, casas de playa o campo, oficinas o locales
comerciales
Además de la tasa de interés pactada, los bancos toman dos seguros: uno para el inmueble contra todo
riesgo, cuyo costo promedio es de 0.054% y es calculada sobre el saldo del préstamo. Aplicado sobre
construcciones más no terrenos. Otro seguro es el de desgravámen, su costo promedio es 0.096% si es
para el titular más el cónyuge y de 0.054% si es sólo para el solicitante. Cabe señalar que los parámetros y
métodos para trabajar el Crédito Hipotecario son los mismos que utilizan para la elaboración de la tabla de
amortización de créditos tradicionales.
Opciones:
Valor del inmueble, representa el valor de adquisición del bien, es el monto a financiar por el Banco, fijado
por acuerdo de las partes. Usualmente el banco financia el 70% u 80% de dicho valor.
Detalles. Debe especificarse del monto a financiar que porcentaje corresponde a las construcciones y cual a
los terrenos, por cuanto el seguro del inmueble es aplicado únicamente sobre el valor de las construcciones.
El seguro de desgravámen, sin embargo, es aplicado sobre el monto total a financiar, es decir, sobre el valor
de las construcciones y el valor del terreno.
Seguro Inmueble. Es el que cubre las construcciones contra todo tipo de riesgos.
Seguro de Desgravámen. Efectivo al fallecer el titular, el seguro permite la exoneración del pago del resto
del préstamo al cónyuge del fallecido.
"'
8.2. Préstamos personales
El Préstamo Personal. Es aquel en el que el prestamista otorga fondos a ser cobrados en plazos
establecidos en un contrato de préstamo, a una tasa que al día de hoy puede ser conocido (tipo fijo) o
desconocido (interés variable). Estos fondos son de libre disponibilidad del prestatario. Otorgados
exclusivamente contra garantías personales del solicitante. El riesgo asignado por las entidades financieras
a este tipo de préstamo, es superior al de los préstamos hipotecarios, lo cual repercute indudablemente en
su tasa de interés.
8.2.1. Tipos de Préstamos Personales
Es la misma que la indicada en el punto 5 del presente libro.
1. Según el tipo de interés distinguimos tres clases de préstamos personales:
a. De interés fijo
b. De interés variable
c. De interés mixto
2. De acuerdo al concepto de carencia distinguimos dos clases de préstamos:
a. Préstamos personales sin carencia
b. Préstamos personales con carencia
3. La tercera clasificación tiene su base en las diferentes modalidades de cuota:
a. De cuota constante
b. De cuota fija
c. De cuota creciente
d. De cuota decreciente
4. La cuarta clasificación tiene su base en la diferente periodicidad de la cuota. En función del pago de la
cuota se pueden distinguir varios tipos:
a. Mensuales (la más común)
b. Trimestrales (poco usada)
c. Semestrales (raramente usada)
d. Anuales (Existe como opción, no es de uso común, significa fuertes desembolsos).
8.2.2. Características
"
A) Límite máximo
Para el cálculo de la financiación máxima, las entidades siguen dos criterios:
La solvencia del prestatario. La entidad recaba información sobre la situación patrimonial del prestatario,
boletas de pago, ingresos, etc., para asegurarse el pago de las cuotas.
Estipulan un máximo para el producto. La entidad, a la hora de comercializar el producto, e
independientemente del riesgo del usuario, establece la cantidad máxima del préstamo.
B) Riesgo de crédito o impago
Como ya señalamos al inicio, estos fondos pueden ser usados para cualquier fin. Como garantía, el
préstamo se sustenta en la garantía personal del prestatario. A efectos de poder cuantificar el riesgo
asumido, la entidad recurre a una gran cantidad de información; obliga al prestatario a contratar seguros
(como por ejemplo, seguros de vida).
C) Tipo de interés
Como especificamos en los puntos anteriores, los préstamos pueden ser a tipo de interés fijo o referenciado
a un índice. Los préstamos a tipo fijo tienen expresado el mismo en el contrato y es conocido desde el inicio,
mientras que los referenciados a índice sólo tienen establecido en el contrato el indicador a utilizar sobre
ellos, pero su evolución es desconocida y depende del mercado.
D) Comisiones y gastos asociados
Las comisiones que detallamos a continuación son aplicables a todas las modalidades de préstamos
personales:
1. Apertura. Porcentaje sobre el total concedido. Generados para cubrir los gastos de tramitación del
préstamo. Normalmente lleva asociado una cuantía mínima. Aplicado al inicio del préstamo y cobrado una
sola vez.
2. Estudio. Porcentaje sobre el total concedido. Generado para cubrir los gastos de estudio del préstamo.
Aplicado al inicio del préstamo y cobrado una sola vez.
3. Amortización y pagos anticipados. Aplicable únicamente sobre el capital pagado con anticipación y
existe únicamente si el hecho es llevado a cabo. Sirve para compensar a las entidades por la pérdida de
beneficios que supone el pago anticipado a voluntad del prestatario. En los préstamos variables hay un
máximo legal. En cambio, en los préstamos fijos, salvo en el caso de subrogación, no existe máximo
establecido, debido, en gran parte, al mayor riesgo asociado.
8.3. Riesgo de interés
El riesgo depende de las características del préstamo. El préstamo a tipo fijo tiene un porcentaje de riesgo
diferente a un tipo variable. Distinguimos 2 situaciones:
! Subida de los tipos de interés: Los préstamos de tipo variable perjudican al prestatario por el
incremento de los intereses, contrariamente lo benefician los préstamos de tipo fijo, las cuotas permanecen
"
constantes. Algunas entidades ofrecen préstamos a tipo variable con un límite máximo en el tipo de interés
(a través de una cláusula que limitaría la posible pérdida al prestatario).
"! Bajada de los tipos de interés: Es la situación inversa. Los préstamos de tipo variable benefician al
prestatario por la baja de los intereses, contrariamente lo perjudican los préstamos a tipo fijo, las cuotas
permanecen constantes.
Desde el punto de vista de la entidad, tiene más riesgo prestar a tipo fijo que a tipo variable, por ésta razón
las entidades financieras suelen asociar comisiones más altas a estos préstamos y así traspasar la
demanda de préstamos a aquellos referenciados a tipos variables. Por esa misma razón, el plazo máximo
para fijos es menor que el de los variables. En los préstamos a tipo fijo, la comisión suele ser alta, para que
el usuario no pague el préstamo ante cualquier bajada en los tipos de interés.
9. Valoración de los préstamos
Significa calcular el valor actual del mismo, en cualquier momento de vigencia del crédito. En cuanto a
bonos, letras, etc. es determinar el precio de venta al cual el tenedor de la obligación estaría dispuesto a
venderlo.
El valor del préstamo varía a lo largo de la vida de la operación, dependiendo fundamentalmente de su
saldo vivo y del tipo de interés vigente en el mercado para operaciones similares.
La regla que cumple es la siguiente:
a) Si las tasas para préstamos similares son superiores, su valor será inferior al importe de su saldo vivo.
b) Si las tasas de mercado son inferiores, su valor será superior al importe de su saldo vivo.
¿A qué responde esta relación?
Si las tasas de mercado son superiores a los del préstamo, la entidad financiera obtiene un costo de
oportunidad, por cuanto podría obtener la misma cuota periódica otorgando menos dinero.
Si las tasas de mercado fueran inferiores a los del préstamo, la entidad financiera estaría obteniendo una
rentabilidad más elevada que la que podría obtener concediendo monto similar en las nuevas condiciones
de mercado.
¿Cómo calculamos el valor de los préstamos?
Actualizando al momento de la valorización todas las cuotas periódicas pendientes de vencimiento, al tipo
de interés de mercado en ese momento para montos similares.
EJEMPLO 184 (Evaluando un préstamo MYPE)
Una MYPE obtiene un préstamo de UM 60,000 para su pago en 6 años, con tipo de interés fijo del 27% y
con amortización del principal constante. La estructura del préstamo es como sigue:
 ( /
&
& ( ==AMORT.
""
OS
SALDO
INICIAL
INTES AMORTZ PAGO
SALDO
FINAL
& ( !
& ( ! &(" ! ( ! "&(" ! % ( !
" % ( ! #(% ! ( ! "#(% ! $ ( !
# $ ( ! ( ! ( ! " ( ! # ( !
$ # ( ! ( ! ( ! ( ! " ( !
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& ( ! "(' ! ( ! "(' ! !
Conociendo el valor del saldo al final del tercer año de UM 30,000 y la tasa de mercado para préstamos
similares fuera en ese momento del 30% determinar:
A) El valor actual al final del año 3 de todas las cuotas pendientes de pago:
Aplicando sucesivamente la fórmula [21] o la función VNA (omitiendo en este caso la sustracción del valor
del préstamo):
#
#
( %($ "('
+", . : :
" #
!# !# !#
./"(&!
VA
VA
Sintaxis
VNAtasa1valor115"1!!!
Tasa 1 2 3 VAN
!# ( %($ "(' "(&!
Como vemos el valor actual del préstamo al final del año 3 es de UM 28,816.11, inferior al saldo final de la
tabla (UM 30,000). Esto sucede, porque la tasa de mercado es superior al del préstamo.
B) Considere como tasa de mercado el 18%:
#
#
( %($ "('
+",  " #
! ! !
/#$("!&$
VA
VA
= + +
=
Ahora el valor actual del préstamo es de UM 34,128.64, superior a su saldo vivo. Debido a que la tasa de
mercado es inferior al del préstamo.
C) Ahora considere como tasa de mercado el 27%:
# ( /
!
"('
!
%($
!
(
+",
#
#"
#
=
++=
VA
VA
Sintaxis
VNAtasa1valor115"1!!!
Tasa 1 2 3 VAN
!"' ( %($ "(' # (
En este caso el valor al final del tercer año del préstamo coincide con el importe de su saldo vivo, la tasa de
interés es exactamente igual al del préstamo.
""
EJERCICIOS DESARROLLADOS
Ejercicio 185 (Compra de Camión con pago en cuotas)
Una empresa que extrae madera de la selva amazónica compra un camión, para su pago en 10 cuotas
semestrales iguales de UM 30,000 cada una a una tasa del 8% anual.
a) ¿Cuánto costará el camión dentro de 5 años?
b) ¿Cuánto cuesta el camión hoy?
"""
Solución: (a) (i = 0.08/2 = 0.04)
C = 30,000; i = 0.04; n = 10; VF = ?
1º Calculamos el valor del camión dentro de cinco años (10 semestres), aplicando indistintamente la fórmula
(27) o la función PAGO:
! $ *
+"', .# ( ./#& (#
! $
VF
Sintaxis
VFtasa1nper1pago113
Tasa Nper Pago VA Tipo VF
! $ *# ( #& (#!"
Solución: (b)
C = 30,000; i = 0.04; n = 10; VA = ?
2º Calculamos el valor del camión hoy, aplicando indistintamente la fórmula (24) o la función VA:
[ ]
! $ *
"$  .# ( ./"$#(#"&!'
! $0! $
VA
Sintaxis
VAtasa1nper1pago1213
Tasa Nper Pago VF Tipo VA
! $ *# ( "$#(#"&!'
Respuesta:
a) ¿Cuánto costará el camión dentro de 5 años?: Costará UM 360,183.21
b) ¿Cuánto cuesta el camión hoy?: Al día de hoy el camión cuesta UM 243,326.87
Ejercicio 186 (Préstamo con distintos tipos de interés)
Un pequeño empresario accede a una línea de crédito, pagadera en 6 cuotas uniformes, el monto es de
UM 80,000 con 15% en los 2 primeros años, 18% en el y año y 22% en los 2 últimos años.
Determinar el valor de cada cuota por tramos y elaborar la tabla de amortización.
Solución:
VA = 80,000; n = 6 (2, 3 y 4, 5 y 6); i1-2 = 0.15; i3-4 = 0.18; i5-6 = 0.22
1º Calculamos las cuotas de los dos primeros años:
VA = 80,000; n = 6; i = 0.15.
&
&
!%0!%
+"%, .% ( ./"(#!%
!% *
C
""#
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
!% & * ( "(#!%
Con la cuota calculada, elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION en la que establecemos los saldos
por tramos según tipo de interés:
A B C D E F
1
OS
SALDO
INICIAL
INTES AMORTZ PAGO
SALDO
FINAL
2
80,000.00
3
( "( (# "(#!% ' (&! %
4
" ' (& (&" (% "(#!% 60,351.25
5
# & (#% (&# (%'" ""($#$! $(''!%
6
$ $(' (' #(&%% ""($#$! 35,125.01
7
% #%("% '('" %("" "#(%$!% (# "!$
8
& (# # $("$' (# # "#(%$!% !
Interés = Saldo Inicial*i
PAGO = FORMULA (25) o FUNCION PAGO
AMORTIZACION = pago - interés
Seguidamente calculamos las cuotas del tercer, cuarto y dos últimos años, con los saldos pendientes de
pago en cada caso:
VA = 60,351.25; n = (6 - 2) = 4; i = 0.18
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! $ *& (#%!"% ""($#$!
Cuotas de los dos últimos años:
VA = 35,125.01; n = (6 - 4) = 2; i = 0.22
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
!"" " *#%("%! "#(%$!%
Respuesta:
Las cuotas para los dos primeros años es UM 21,138.95
Las cuotas para el tercer y cuarto año es UM 22,434.89
Las cuotas para los dos últimos años es UM 23,549.58
Ejercicio 187 (Préstamo para la compra de un automóvil)
""$
Un pequeño empresario obtiene en préstamo UM 12,000 para comprarse un automóvil, considera la
liquidación en pagos trimestrales durante dos años. Determinar el monto que tendrá que pagar al final del
octavo trimestre si paga UM 2,500 al final del primer trimestre. Asumimos una tasa de interés del 24%
anual.
Solución:
VA = 12,000; n = 8; i = (0.24/4) = 0.06; C1º TRIMESTRE = 2,500; VF = ?
Aplicando la fórmula [19] y la función VF de Excel tenemos:
Final trimestre 1 : VF = 12,000(1.06)1 - 2,500 = UM 10,220.00
Final trimestre 8 : VF = 10,220(1.06)8-1 = UM 15,367.10
Sintaxis
VFtasa1nper1pago113
Trimestre Tasa Nper Pago VA Tipo VF
! & "(% *"( ("" !
! & ' * ("" %(#&'!
Respuesta: El monto que el empresario tiene que pagar al final del octavo trimestre, es UM 15,367.10.
Ejercicio 188 (Préstamo con período de carencia o gracia)
Un préstamo de UM 70,000, a 6 años (2 de ellos de carencia o gracia) y tipo de interés fijo del 27%.
Cumplido el período de carencia, el préstamo es con amortización de capital constante. Calcular las cuotas
de amortización de toda la vida del préstamo, suponiendo:
a) Período de carencia con pago de intereses
b) Período de carencia total
Solución:
VA = 80,000; n = 2 y 4; i = 0.27; AMORT. = ?; C = ?
a) Período de carencia con pago de intereses
[8] I1 = 70,000*0.27*1 = UM 18,900
[8] I2 = 70,000*0.27*1 = UM 18,900
A partir del 2º año, el préstamo tiene un desarrollo normal, con amortización de capital constante:
'(% /
$
' ( ==AMORT.
""%
 ; <
Años
SALDO
INICIAL
INTERES AMORT. PAGO
SALDO
FINAL
" ' (
# ' ( ( ( ' (
$" ' ( ( ( ' (
%# ' ( %($ '(% #"( %"(%
&$ %"(% (%% '(% "( % #%(
'% #%( '(' '(% "%(" '(%
& '(% #(% '(% "(#%
PAGO = Interés + Amortización
b) Período de carencia total
Durante los dos primeros años del préstamo no paga intereses, estos son acumulados al importe del
principal. Al final de estos 2 años, el importe de los intereses acumulados al principal asciende a UM
112,903; con este saldo en el 3º período obtenemos la Amortización.
Años
SALDO
INICIAL
INTERES
AMORTIZA
CION
PAGO
SALDO
FINAL
' (
' ( ( (
" ( "$( # "( #
# "( # # ($$ "(""& %(' $(&''
$ $(&'' ""(&# "(""& %(  %&($%"
% %&($%" %("$" "(""& $#($& "(""&
& "(""& '(&" "(""& #%($'
Respuesta:
a) La amortización con períodos de carencia y pago de intereses es UM 17,500
b) La amortización con período de carencia total es UM 28,226
Ejercicio 189 (Anualidades Vencidas)
En un SUPERMERCADO con el cual tenemos una TARJETA DE CREDITO, necesitamos adquirir al
contado un producto que nos cuesta UM 160. Preguntamos al vendedor ¿cuánto sería la cuota a pagar por
este producto en 12 meses? Nos responde que UM 19 mensual.
Determinar:
1) La tasa mensual de interés y la tasa efectiva anual.
2) El FRC que aplica el SUPERMERCADO para calcular sus cuotas en 12 meses.
3) Con la tasa mensual calculada en (1) determine el FRC para 18, 24 y 36 meses y la cuota mensual de
UM 160 en cada período.
4) El valor futuro de la cuota de UM 19 en 12 meses a la tasa de interés encontrada en (1).
""&
5) Comente los criterios que utiliza el SUPERMERCADO para determinar la tasa de interés de sus
créditos.
Solución: (1)
VA = 160; C = 19; n = 12; i = ?
1º Calculamos la tasa mensual de interés con la función TASA:
Sintaxis
TASAnper1pago1va12131
Nper Pago VA VF TASA
" * & ! %"
2º Calculamos la TEA aplicando la fórmula (43B):
[ ]
( )
"
$#; . : ! % *. !# TEA
Respuesta (1): La tasa mensual es 5.919% y la tasa efectiva anual (TEA) es 99.38%.
Solución: (2)
i = 0.05919; n = 12; FRC = ?
Aplicando el factor la fórmula (25) o la función PAGO, obtenemos el factor:
!'$'
"
! %
"
! %0 ! %
! %
"
=
=FRC
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! % " * !'$'
Respuesta (2): El FACTOR DE RECUPERACIÓN DEL CAPITAL (FRC) es 0.1187479 para 12 cuotas.
Aplicando este factor al valor contado de la venta tenemos:
160*0.1187479 = UM 19 cuota mensual
Solución: (3)
VA = -1; i = 0.05919; n = 18, 24 y 36; FRC = ?
Calculamos el FRC con la función PAGO o con la fórmula [25]; en ambos casos consideramos el VA = -1:
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo FRC
! % * ! '%&
! % "$ * ! ' #&
! % #& * ! &''#%
""'
Cuota en 18 meses : 160*0.0917956 = UM 15
Cuota en 24 meses : 160*0.0790836 = UM 13
Cuota en 36 meses : 160*0.0677359 = UM 11
Solución: (4)
C = 19; n = 12; i = 0.05919; VF = ?
Calculamos el VF, con la fórmula [27] o con la función VF de Excel:
Sintaxis
VFtasa1nper1pago113
Tasa Nper Pago VA Tipo VF
! % " * #! "
Con la fórmula [1], calculamos la tasa global del crédito en 12 meses:
!#) 0
&
& #
+, =
=i
, Resultado que coincide con el encontrado en (1).
Respuesta (4): El valor futuro de una cuota de UM 19 en 12 meses es UM 319.02.
Respuesta (5): La tasa que cobra el SUPERMERCADO es la tasa de interés corriente (ic), es decir aquella
tasa que considera el efecto de la inflación (), el efecto del riesgo (ip) y el interés real (i).
Ejercicio 190 (Anualidades pospagables y prepagables)
Una entidad bancaria desea implementar créditos al sector informal. Para ello, la Gerencia aprueba como
plan piloto inicial el programa de financiamiento con plazos de hasta 12 meses. La TEA cobrarda por el
financiamiento es del 24%.
Pedimos:
a) Una Tabla de Factores que nos permitan calcular el pago periódico mensual vencido que debería
efectuar cada cliente por los distintos montos solicitados. Considere una columna adicional que muestre a
cuánto ascendería el pago periódico, en el hipotético caso que el préstamo sea por UM 20,000 a pagarse
en 6, 9 y 12 meses.
b) Calcular en (a) el VA y VF considerando pagos por adelantado.
c) Suponga que el prestatario es cliente del Banco que pide UM 20,000 en préstamo a pagar al final de
cada mes durante 12 meses; luego de haber efectuado 4 pagos, tuvo problemas de liquidez que le
impidieron pagar las cuotas 5 y 6. Si el prestatario quisiera ponerse al día con el Banco y pagar en el
séptimo mes las cuotas atrasadas, más la que corresponde a ese mes, ¿Cuánto tendría que pagar?.
Suponemos que no existen gastos adicionales por mora.
""
d) Si el prestatario tiene la posibilidad de pagar el saldo de su deuda, luego de haber abonado las 8
primeras ¿cuánto es lo que debería pagar al Banco, teniendo en cuenta que el préstamo solicitado fue por
UM 20,000 y que había acordado redimirlo en 12 meses?
Solución: (a) Pagos vencidos
VA = 20,000; TEA = 0.24 anual; n = 6, 9 y 12; i = ?; C = ?
Como los pagos periódicos que debemos determinar serán mensuales, necesitamos encontrar la tasa
mensual, a partir de la TEA del 24%, aplicando directamente la fórmula [43A]:
[ ]
"
$# . : !"$  '% i .− =
Asumiendo un VA = 1, aplicamos sucesivamente la fórmula (25) o la función PAGO y calculamos el factor
FRC y la cuota periódica para el número de pagos deseado:
( )
: 
+"%, . : *
i i
FRC
i
Sintaxis
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
Tasa Nper VA VF Tipo FRC PRESTAMO
Cuotas
Vencidas
! '% & * !''# " ( #(%$'!%
! '% * !"$ " ( "($"!
! '% " * ! #$% " ( (&! %
7." ( 0<
Solución: (b) Anualidades prepagables
VA = 20,000; i = 0.0180875; C = ?
A partir de (a) calculamos el VA y VF con pagos anticipados aplicando sucesivamente la fórmula (24) y (27)
multiplicando los resultados por (1 + i) o la función VA y VF con tipo =1:
Sintaxis
VAtasa1nper1pago1213
Tasa Nper Pago VF Tipo VA
!'% & *#(%$'!% " (
!'% *"($"! " (
!'% " *(&! % " (
Sintaxis
VFtasa1nper1pago113
Tasa Nper Pago VA Tipo VF
! '% & *#(%$'!% ""(&'#!
! '% *"($"! "#("&!&$
! '% " *(&! % "%("$!%&
Como vimos en el capítulo 3, el VA o VF es mayor cuando los pagos son anticipados, ya que el VA o VF de
las anualidades prepagables es el resultado de actualizar o capitalizar con un periódo más las pospagables.
""
Solución: (c) Anualidades pospagables
VA = 20,000; C = 1,869.05; n = 12; i = 0.0180875; VF5, 6 y 7= ?
En la tabla de la solución (a) vemos que a un préstamo de UM 20,000 a pagar en 12 meses, le
corresponde pagos periódico de UM 1,869.05, al interés mensual de 0.01880875. Con estos datos
elaboramos el cuadro siguiente:
Meses
SALDO
INICIAL
INTERES
0.0180875
AMORT. PAGO
SALDO
FINAL
" ( !
" ( ! #&!'% (% '!# (&! % ($"!'
" ($"!' ##$!$ (%#$!%& (&! % &(%!$
# &(%!$ # &!'# (%&"!#" (&! % %(#%!"
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" (#%!$ ##!" (#%!$ (&! % !
Habiéndose el prestatario atrasado en dos cuotas, deberá pagar al finalizar el mes (para ponerse al
día) tres cuotas. No es una reestructuración de los pagos, el valor de las cuotas uniformes y los saldos
continúan invariables. Luego, procedemos a calcular el VF de las cuotas 5º, 6º y 7º, para determinar el
monto que tiene que pagar al final del sétimo mes:
[ ]
"
!  '% *
"'  .(&! % /%(' !
!  '%
VF =
Sintaxis
VFtasa1nper1pago113
Tasa Nper Pago VA VF
! # *(&! % %(' !
Solución: (d) Pagos vencidos
C = 1,869.05; n = 12; i = 0.0180875; VA = ?
En la solución (a), tenemos que al préstamo de UM 20,000 a liquidar en 12 cuotas vencidas, le
corresponde pagos periódicos de UM 1,869.05, al 0.0180875 de tasa periódica mensual. Las cuotas
pendientes de pago son 4 (12-8) y debemos actualizarlas a fines del octavo mes:
[ ]
$
$
!  '% *
"$  .(&! % ./'($!
!  '%0!  '%
VA
"#
Sintaxis
VAtasa1nper1pago1213
Tasa Nper Pago VF VA
! '% $ *(&! % '($!
Finalmente, el prestatario deberá pagar al Banco al finalizar el octavo mes, por las 4 cuotas pendientes la
suma de UM 7,149.99, tal como mostramos en los resultados anteriores.
Ejercicio 191 (Anualidades pospagables)
Un pequeño empresario solicita UM 20,000 en préstamo para su pago en 12 cuotas mensuales iguales, con
una TEA del 32%. Si el cliente cuando está próximo a pagar la cuarta cuota realiza un prepago por UM
4,000. ¿A cuánto ascenderá el monto de las nuevas cuotas para reducir únicamente el importe de las
cuotas restantes y no el plazo de pago del préstamo? Considere UM 5 de portes mensuales.
Solución:
VA = 20,000; n = 12; TEA = 0.32; Portes = 5; i = ?; C = ?
Como los pagos periódicos (C) que debemos determinar serán mensuales, necesitamos encontrar una
tasa efectiva mensual, a partir de la TEA del 32%, utilizando la fórmula [43A]:
[ ]
"
$# . : !#" "#$75 i .− =
2º Con esta tasa de interés aplicando indistintamente la fórmula (25) o la función PAGO, calculamos el valor
de cada una de las 12 cuotas:
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! "#$ " *" ( (#! "
3º Con esta cuota elaboramos el cuadro de servicio de la deuda:
n
SALDO
INICIAL
INTERES
POR
TES
AMORT. PAGO
TOTAL
PAGO
SALDO
FINAL
" ( !
" ( ! $&!" %! ($&"!" (#! " (#&! " (%#'!
" (%#'! $##!& %! ($'! & (#! " (#&! " '( $ !"
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( "!$ " ! %! ('" ! $ (#! " (#&! " '(""!#&
'(""!#& ' !' %! ('& !# (#! " (#&! " %(%#"! %
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#('# !%$ '!## %! ($#!& (#! " (#&! " (&!%
" (&!% $$!' %! (&!% (#! " (#&! " !
"#
En la tabla vemos que la deuda, luego de haber pagado la tercera cuota es de UM 15,508, y con el prepago
de UM 4,000 queda reducido a UM 11,508.
VA = 11,508(15,508 - 4,000); n = 8; 0.0234; Portes = 5; C = ?
Obviamente, las cuotas pendientes (C) serán menores. Las cuales pasamos a recalcularlas, aplicando la
función financiera PAGO, también podemos calcular las cuotas con la fórmula [25]:
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! "#$ *(% ! (%$!#
Finalmente, a partir del quinto mes hasta fines del mes 12 las cuotas serían de UM 1,594.13 cada una.
Por lo general los bancos cobran adicionalmente una comisión sobre el monto pre - pago.
Ejercicio 192 (Descuento Bancario)
Un empresario solicita al Banco UM 80,000 contra un pagaré a 90 días. La TEA vigente en el mercado es
del 22% y los intereses son cobrados por adelantado.
a) Si el empresario recién paga su préstamo a los 16 días de haber transcurrido el vencimiento. ¿Cuánto
pagará en total si sabemos que el interés compensatorio es del 21.5%, el interés moratorio de 4.5% y
portes UM 2? Los gastos por concepto de comisiones de protesto ascienden a UM 70 y los gastos
notariales a UM 20.
b) Resolver el problema anterior suponiendo que el empresario depués de 16 días de vencido el préstamo,
decide amortizar sólo el 40% y pagar el saldo luego de 30 días, contados desde el vencimiento inicial de la
deuda. ¿Cuánto es lo que pagaría en este caso?. Los intereses son pagados por adelantado.
Solución: (a)
VA = 80,000; n = (90/30) = 3; TEA = 0.22; i = ?; D = ?
1º Para calcular la tasa del período a partir de la TEA, aplicamos la fórmula (43A):
[ ]
"
$# . : !"" &'75 i .− =
2º Con la fórmula (20) calculamos el importe de los intereses de 3 meses, cobrados por adelantado:
[ ]
( )
#
"  . ( ! &' * ./$( '%!#I
Importe a recibir hoy: 80,000 - 4,075.31 = UM 75,924.69
Es decir, que el día de hoy (período cero) recibimos únicamente UM 75,924.69 descontado los intereses.
Establecemos los días de atraso en el pago, en este caso es de 16 días, para calcular los intereses
moratorios e intereses compensatorios, obviamente pagamos al final de los 16 días, el día 106; juntamente
con las comisiones, gastos notariales y portes.
VA = 80,000; n = 16; TEAMORATORIO = 0.045; TEACOMPENS = 0.215;
"#"
Calculamos el interés diario compensatorio y moratorio con la fórmula (43A):
[ ]
− =
"

$# . : ! $% #' # . ! """6 i . /
[ ]
"
=
$# . : !"% &$ # . ! %$6 i . /− =
Luego determinamos los importes de los intereses moratorio y compensatorio:
&

+" , . ( : ! """ * ./%&!%&I
=
+" ,
&
. ( : ! %$ * ./&%!$#I
Finalmente calculamos el total a pagar a los 16 días (Consideramos los gastos por concepto de
comisiones, gastos notariales y portes):
Días
Pagaré al
inicio
Pago de
Principal
I nterés
Adelantado
I nt.
Moratorio
I nt.
Compens.
Cms. Gg.
Not. Portes
Pago
Total
( $( '%!# $( '%!#
& ( ( %&!%& &%!$# "! ($#!
Respuesta: El monto que paga el día 106 es UM 80,943.99, incluye los intereses compensatorios,
moratorios y portes.
Solución: (b) Los pasos son los mismos de (a)
VA = (80,000 - 40%) = 48,000; n = 30 días; i = 0.0167/30 = 0.00046
1º A partir del día 106, calculamos los intereses por renovación (los intereses los pagamos por adelantado).
Debemos tomar en cuenta los días de atraso (16 días), así como el tiempo para el siguiente pago, que
cuenta a partir de la fecha de vencimiento (90 días).
[ ]
( )
#
"  .$( ! $& * ./&&&!$I
Días
Pagaré al
inicio
Pago de
Principal
I nterés
Adelantado
I nt.
Moratorio
I nt.
Compens.
Cms. Gg.
Not. Portes
Pago
Total
( $( '%!# $( '%!#
& ( #"( &&&!$ %&!%& &%!$# "! #"($#!
" ( $( $( !
Respuesta: El día 106 paga UM 32,943.99, que incluye los intereses de los UM 48,000 a pagar a los 30
días más los intereses compensatorios, moratorios y portes originados por el retraso de los 16 días.
Comentario: Cuando los pagos los hace el prestamista en forma regular de acuerdo al cronograma
establecido, carecen de razón los intereses moratorios, compensatorios y otros gastos derivados por la
morosidad en los pagos.
"##
Ejercicio 193 (Descuento Bancario - Pago con retraso)
Un empresario solicita al banco UM 18,000 contra un pagaré a 30 días. Si la tasa de interés vigente en el
mercado es de 24.38% anual y los intereses son cobrados al vencimiento. paga 6 días después de la
fecha de vencimiento, determinar el monto deudor total.
Asuma que el interés compensatorio es 48.65% y el interés moratorio es 16.74%. Además, tenga en cuenta
que sólo amortiza UM 3,600 y que el banco cobra una comisión de renovación de UM 30 y UM 15 por
concepto de portes. El prestatario conviene con su banco en pagar el saldo luego de 30 días, contados
desde el vencimiento inicial de la obligación.
Solución: (a)
VA = 18,000; n = 30 y n =6; TEA = 0.2438; TEAMORAT=0.1674; TEACOMP= 0.4865
1º Calculamos los intereses periódicos vigente en el mercado, moratorio y compensatorio con la fórmula:
[ ]
− =
"
>?! 
$# . : !"$# ! '"" # . ! "$#"&6 i /
[ ]
− =
"

$# . : !&'$ " # . ! $#"'#6 i . /
[ ]
− =
"
=
$# . : !$&% ! ## # # . ! $$##%6 i /
2º Calculamos los intereses del período por renovación y compensatorios; con la fórmula [20].
#&
=>=
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&

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&
=
+" , .( : ! %' *./"!"%I
Con los resultados obtenidos y los datos del problema referente al abono, a gastos y comisiones,
elaboramos el flujo bancario.
Debemos considerar los días de atraso (6 días) así como el tiempo a efectuarse el siguiente pago, el cual lo
contaremos a partir de la fecha de vencimiento (30 días) en este caso.
Días Prést.
Pago
Princip
Int.
Int.
Comp
Int.
Morat
Gastos
Pago
Total
Prést
Final
Próximo
Pago
( ( #
#& ( #(& %!## "!"% $&!' $%! #('!#' $($ #&
Respuesta: Al sexto día de la fecha de vencimiento el empresario, paga al banco la suma de UM 3,791.37,
por concepto de amortización del principal (UM 3,600), intereses, gastos y comisiones. El préstamo final es:
18,000 - 3,600 = 14,400.
Ejercicio 194 (Pandero de trabajadores)
"#$
Los empleados de una prestigiosa empresa, deciden juntarse, con la finalidad de acumular UM 10,000 cada
uno para afrontar gastos de la casa, vacaciones, etc. Todos acuerdan aportar una cantidad fija, durante 12
meses abonado a fines de mes, percibiendo por estos depósitos el 1.8% de interés mensual, que paga el
Banco por depósitos en ahorro.
a) Elabore una Tabla que indique el pago periódico que habría que efectuar en función del número de
cuotas en que desee pagar su pandero hasta que haya acumulado los UM 10,000 requeridos.
b) Con la misma información del caso, elabore una Tabla de Factores, suponiendo que los pagos periódicos
son por adelantado.
Solución: (a) Anualidades pospagables
VF = 10,000; n = 12; i = 0.018; C = ?
1º Calculamos el valor de cada cuota una de las 12 cuotas, con la fórmula [29] o la función PAGO:
'%$! "/
! 
! 
 ( +",
"
=
=C
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! " * ( '%$! "
2º Luego, elaboramos la TABLA que nos proporciona el valor de las cuotas para diferentes períodos:
Sintaxis
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
Tasa Nper VA VF Tipo FDFA MONTO Cuota
! * ! ( ( !
! " * !$%%$ ( $(%%!$
! # * !#"'$ ( #("'$! %
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! " * ! '%$ ( '%$! "
7. ( 0<<
3. (3756686
Solución: (b) Anualidades prepagables
VF = 10,000; n = 12; Tipo = 1; i = 0.018; VF = ?
"#%
Sintaxis
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
Tasa Nper VA VF Tipo FDFA MONTO Cuota
! * !"#" ( ("#!
! " * !$&' ( $(&'!'
! # * !#"&" ( #("&!&
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! ' * !#"# ( (#"!#$
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! * ! %" ( ( %!"
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!  * ! %% ( %!%
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3.(37566836
7. ( 0<<
Como vemos, si alguien quisiera pagar su pandero en 12 meses tendría que abonar UM 740.69 mensuales
por adelantado.
Ejercicio 195 (Refinanciamiento de préstamo)
El dueño de una empresa solicita un préstamo para la adquisición de activos fijos por UM 150,000 para
pagarlo en 24 cuotas iguales, pactándose una TEA del 18.5%. Supongamos que después de haber pagado
10 cuotas, la empresa solicita el refinanciamiento de la deuda vigente; el prestamista acepta y le otorga 24
meses manteniendo la misma tasa de interés.
Solución:
VA = 150,000; TEA = 0.185; n = 24; C = ?
A partir de la TEA, calculamos la tasa del período:
[ ]
"
$#  . : !%*. ! $"$%'$75i
2º Elaboramos el CRONOGRAMA DE PAGOS, la cuota la calculamos indistintamente con la fórmula [25], la
función PAGO o con la herramienta Buscar Objetivo, como es nuestro caso:
MESES
SALDO
INICIAL
INTERES AMORT PAGO
SALDO
FINAL
% ( !
% ( ! "(#&!"$ %("&!% '($""!" $$('#!$"
" $$('#!$" "( & !% %(#&!' '($""!" #(#%!%%
' '("!$ (&&! %('%$!' '($""!" (#'$!'
(#'$!' (%&!& %(#&!&' '($""!"  %(%#!
%(%#! (% #! # %(!' '($""!" (&!#"
(&!#" ($!'" &( $! '($""!" #(&$!""
 #(&$!"" (###!"" &( !& '($""!" '(%"$!&"
"$ '(#!%  $!"# '(#!% '($""!" !
"#&
Como el saldo después de pagar la décima cuota es UM 93,614.22 y el plazo para pagar las 14 cuotas
restantes son ampliadas a 24. A partir de éste saldo, para recalcularlas procedemos en forma similar a la
metodología utilizada en la elaboración de la tabla anterior.
MESES
SALDO
INICIAL
INTERES AMORT. PAGO
SALDO
FINAL
#(&$!""
#(&$!"" (###!"" #("!## $(&#"!%$ (#$!
" (#$! ("&!"# #(#$&!#" $(&#"!%$ &(&!%
# &(&!% ("#!%' #(##!' $(&#"!%$ #(%'$!&
$ #(%'$!& (!"$ #($$"!# $(&#"!%$ (#"!"
% (#"!" ($!" #($!## $(&#"!%$ '&(&$ !&
& '&(&$ !& ( !$ #(%$! % $(&#"!%$ '#( !
' '#( ! ( $! & #(%!$ $(&#"!%$ &(% !$"
"$ $(%&'!% &%! % $(%&'!% $(&#"!%$ !
Generalmente, los créditos bancarios, están gravados con una comisión porcentual sobre el saldo de la
deuda, como condición para aceptar el refinanciamiento. En muchos casos con la aprobación del
refinanciamiento viene una nueva TEA.
Ejercicio 196 (Préstamo hipotecario)
Una persona desea adquirir una casa valorizada en UM 70,000, el valor del terreno es UM 9,000. Para
ello, solicita un préstamo a pagar en cuotas mensuales uniformes durante 10 años, con una TEA del 10%.
Elabore la Tabla de Amortización de la hipoteca, considerando que el Banco le financiará el 75% del valor
del inmueble y que, además, pagarán dos seguros: uno para el inmueble contra todo riesgo con el costo de
0.054% (el pago del seguro del inmueble solo es por las edificaciones, más no para los terrenos); y otro
seguro de desgravámen con el costo de 0.096%. Ambos son aplicados sobre el saldo del préstamo
(considerar que del 75% del valor del inmueble que financia el banco (52,500), el 80% corresponde a
edificaciones (42,000) y el 20% al terreno (10,500). Asuma UM 1.50 de portes por período de pago.
Solución:
VA = 70,000; n = 120 (10*12); TEA = 0.10; C = ?
Valor del Inmueble 70,000
Financiamiento bancario 52,500
Portes 1.50
Datos adicionales:
80% por concepto de edificaciones 42,000
20% por concepto del terreno 10,500
Seguro:
1. Seguro inmueble 0.054%
"#'
2. Seguro de desgravámen 0.096%
A partir de la TEA, calculamos la tasa del período:
[ ]
"
$#  . : ! *. ! ''$$75i
Calculamos el valor de cada una de las 120 cuotas mensuales, aplicando indistintamente la fórmula (25)
o la función PAGO:
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! ''$$ " *%"(% ! &!#"
3º Con los datos del caso y los últimos resultados, elaboramos la tabla de amortización de la hipoteca:
n
SALDO
INICIAL
INTERES
SEG.
INMB.
DSGV. PRTES AMORT. CUOTA
PAGO
TOTAL
SALDO
FINAL
%"(%
%"(% $!&$ ""!& % !$ !% "&# &!#" '%%! %"("#'
" %"("#' $&!%% ""!%' % !% !% "&% &!#" '%%!%# %('#
# %('# $$!$# ""!$% $! !% "&' &!#" '%%!' %(' &
$ %(' & $"!# ""!#$ $!&$ !% "& &!#" '%$!' %($#'
% %($#' $ !& ""!"" $!# !% "' &!#" '%$!$" %(&%
& %(&% $ ! ""! $!" !% "'# &!#" '%$! $ % ("
' % (" $ %!" "! $!& !% "'& &!#" '%#!&& % (&'
% (&' $ #!&" "!' $!% !% "' &!#" '%#!" % (##
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$(''' #&!# "!% $'!' !% "$ &!#" '%"! $($#
" $($# #$!&& "!# $'!% !% "' &!#" '%!' $(" &
# $(" & #"!#' "!"& $'!"$ !% " &!#" '%!# $('
" &'& %!# !" !&% !% &'& &!#" &#!'&
SEGURO INMUEBLE : Saldo Inicial*0.054%
DESGRAVAMEN : [(Saldo Inicial*80%)+(Saldo Inicial*20%)]*0.096%
CUOTA : Fórmula [25], función PAGO o Buscar Objetivo
Ejercicio 197 (Pago de pagaré con retraso - Anualidades vencidas)
El 13 de mayo del 2002, Juan Pérez, empresario pide UM 8,922 contra un pagaré a 30 días. La tasa de
interés vigente en el mercado es de 19.82% anual pagados al vencimiento. Si el empresario debía liquidar
el pagaré el 13 de junio del 2002 y recién se acerca el 22 de junio del 2002. ¿Cuánto tendrá que pagar en
total? Considere que el interés compensatorio es 28.67% y el interés moratorio es 9.7%. El banco cobra
UM 5 por concepto de portes; cuando hay retraso en el pago UM 20 por Gastos Notariales y UM 42.25
por Comisión de Protesto.
Solución:
"#
VA = 8,922; n = 30 días; TEA = 0.1982; TEACOMPENSATORIO = 0.2867; TEAMORATORIO = 0.097; GASTOS
= 67.25; PAGO TOTAL = ?
1º Determinamos la tasa efectiva del período, del interés moratorio y compensatorio, con la fórmula [24] o la
función TASA.NOMINAL:
Sintaxis
TASA.NOMINALtasa_efectiva1m_per
tasa_efectiva núm_per TASA.NOMINAL Diario
5@6 !" #& !' ! % "$
 ! ' #& ! "% ! "%'"
3! !"&' #& !"%"' ! ' $'
TASA DIARIA = TASA.NOMINAL/360
2º Calculamos los intereses: del período por renovación, y compensatorios; con la fórmula [20]:
#

+" , .("" : ! % "$ % *./#%!$&I

+" , .("" : ! "%'' *./" !&'I
Días Prést.
Pago
Princip
Int.
Int.
Comp
Int.
Morat
Gastos
Pago
Total
Pst
Final
Próximo
Pago
("" (""! #
# ("" (""! #%!$& %&!$ " !&' &'!"% (" !'
Finalmente determinamos el costo de esta deuda y para ello es necesario identificar la temporalidad
(presente o futuro) de las cantidades (el pagaré está a VA, los intereses, gastos y el principal son pagados a
los 39 días, luego están a VF):
VA = 8,922; VF = 9,201.78; i = ?
3.1. Con la fórmula [1], calculamos la tasa efectiva de los 39 días:
[ ]
(" !'*(""!
  . . ! #$
(""!
i
3.2. Luego, calculamos la tasa diaria:
[ ]
#
$#  . : ! #$*. ! '# &6i
3.3. A partir de esta tasa, calculamos la TEA de la operación:
(43B) TEA = (1 + 0.000793061)360 - 1 = 0.3303
Respuesta: En total el empresario, tiene que pagar al final de los 39 días UM 9,201.78. La TEA del pagaré
es 33.03%.
"#
=
+" , .("" : ! ' $' *./%&!$ I
Ejercicio 198 (Leasing - Pago con cuotas uniformes)
La empresa Constructora ABC S.A.C., solicita un leasing para comprar una máquina perforadora, cuyo
valor es de UM 295,000 (incluido el IGV). La empresa desea pagar el préstamo mensualmente durante 3
años. La tasa efectiva anual (TEA) pactada es del 10%. El costo del seguro del bien es 4% simple anual,
tomado durante la vigencia del préstamo. Los portes son pagos periódicos y ascienden a UM 0.50. Elaborar
una tabla que muestre el cronograma de pagos.
Solución:
Valor del bien : 295,000
n (3 años x 12 meses) : 36 meses
TEA : 10%
Seguro sobre valor del bien : 4% simple anual
Portes (pagados periódicamente) : 0.50
IGV (periódicamente contra el valor de c/cuota) : 18%
1º Calculamos el monto a financiar incluido el valor del seguro del bien, con la fórmula [5] del interés simple:
[5] VF = 295,000(1 + 0.04*3) = UM 330,400
2º Con la fórmula (43A) calculamos la tasa del período, a partir de la TEA:
[ ]
"
$#  . : ! *. ! ''$$75i
Con esta tasa calculamos el valor de cada una de las 36 cuotas, aplicando la fórmula [24] o la función
PAGO:
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! ''$$ #& *## ($ (%$!#$
Con los datos del caso, los resultados y la cuota calculada, elaboramos la tabla de amortización de la
operación financiera:
"$
n
SALDO
I NI CI AL
I NTERES
I GV PRTES AMORT. CUOTA
CUOTA
LEASI NG
SALDO
FI NAL
## ($
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#& (% #! "( "!" !%  (%  (%$!#$ "(& '!''
I GV=  /0 )
Nota : Las cuotas del leasing han sido calculadas en función al precio de venta del bien (que incluye el IGV)
y que, además, sobre este importe pagará nuevamente el IGV tal como lo muestra la tabla de amortización.
Este doble pago de IGV, encarece el costo de los créditos leasing para personas naturales, debido a que
para éstos, el pago de IGV no es un crédito tributario, en consecuencia no es deducible.
Ejercicio 199 (Aportes constantes a una Asociación)
mensualmente descuentan a 250,000 maestros nombrados UM 15 para colocarlo en una institución
previsional. ¿Cuánto tendrá cada asociado al cabo de 30 años? Si: La institución reserva el 20% de cada
cuota para gastos de operación y capitaliza el saldo de la cuota al 4.8% anual (la banca comercial
actualmente paga en promedio el 9% a los ahorristas); comparativamente ¿cuánto tendría cada persona en
el mismo plazo y tiempo en un banco?
Solución:
C = 12 (15-20%); n = (30*12) = 360; i = (0.048/12) = 0.04; VF = ?
Indistintamente, aplicando la fórmula (27) o la función VF tenemos:
[ ]
#&
! $
"'  ." /(&"%!''
$
VF .
=
Sintaxis
VFtasa1nper1pago113
Tasa Nper Pago VA Tipo VF
! $ #& *" (&"%!''
El fondo que le corresponde a cada asociado después de 30 años de aportes es UM 9,626, a la tasa anual
de 4.8%.
Ahora, si este dinero se ahorrara en un banco en las mismas condiciones compulsivas (S/. 15 mensual) de
la asociación a una tasa del 9% anual, después de 30 años de abonar UM 15 mensuales tendríamos un
fondo de UM 27,461.15 por efecto de la capitalización de los depósitos, como vemos al aplicar la función
VF de Excel.
"$
Sintaxis
VFtasa1nper1pago113
Tasa Nper Pago VA Tipo VF
! #& *% "'($&!%
En la realidad, pocas son las asociaciones que capitalizan los fondos que aportan los afiliados siguiendo
patrones técnicos. Los fondos por lo general parasitan en los bancos a cambio de exiguos intereses
pactados adrede o son festinados por sus directivos.
Los asociados recibirían montos superiores a los que pagan los bancos en ahorros (por prestarle nuestro
dinero). Los directivos deberían preocuparse en mantener estos fondos en movimiento y paralelo a ello
institucionalizar las estrategias financieras, estableciendo mecanismos de participación de los asociados en
los niveles de control y fiscalización de los fondos.
Ejercicio 200 (Crédito de Consumo del Sistema Bancario)
El Gerente de una Compañía, conviene con una entidad financiera para la colocación de computadores a
través del sistema de Crédito de Consumo. El Banco proporciona a la empresa los factores 0.1895216 para
6 meses y 0.1053193 para 12 meses. El costo del dinero en este sistema es de 3.8% mensual.
Pedimos:
1) Determinar el grupo de problemas al que pertenece este caso;
2) Calcular los factores para 18, 24, 36 y 48 meses;
3) Si una computadora cuesta al contado UM 1,800, ¿cual será el valor de cada cuota en 6, 12, 18, 24, 36
y 48 meses en el crédito de consumo?.
Solución: (1)
Este tipo de casos corresponde al Grupo de Problemas, Valor Actual de un Pago en Cuotas: «... cuando
la inversión es de un solo importe y lo recuperamos en varios pagos iguales». Factor de Recuperación del
Capital (FRC) de la fórmula [25].
Solución: (2)
n = 18, 24, 36 y 48; i = 0.038; FRC = ?
Aplicando sucesivamente, el factor FRC calculamos los factores para 18, 24, 36 y 48 meses.
( )

#

# # '''
#
.
. .
FRC .
.
= =
"$"
n i
! # ! '''
"$ ! # ! &$"%
#& ! # ! %$#
$ ! # ! $%&
( )
( )
 
FRC
n
i i
i
n
i
+
=
+ −
Solución: (3)
VA = 1,800, n = 6...48; i = 0.038; C6 ... 48 = ?
Aplicando la fórmula (25) o la función financiera PAGO, obtenemos directamente cada una de las cuotas
según los plazos de pago:
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! $ & *( #$!$
! $ " *( !%'
! $  *( #!
! $ "$ *( %!&%
! $ #& *( "!%
! $ $ *( "!
Ejercicio 201 (Préstamo para compra de sistema de cómputo)
El dueño de un negocio en expansión de venta de ropa y zapatos para damas al crédito, está considerando
actualizar sus crecientes cuentas por cobrar con la adquisición de un sistema de informática.
Alternativamente puede comprar un sistema básico ahora por UM 7,000 y actualizarlo al final del primer año
por UM 1,500, nuevamente al final del año 3 por UM 3,000 o uno de mayor potencia con los mismos
servicios que el primero y por el mismo tiempo. Si el propietario está en condiciones de invertir al 23%
anual ¿cuánto podría pagar ahora por el sistema de mayor potencia?.
Solución:
VA0= 7,000; VF1= 1,500; VF2= 3,000; n= 1 y 3; i= 0.23; VAT = ?
Para calcular el valor actual total ( VAT ) aplicamos sucesivamente la fórmula [21] o la función VA a través
de la siguiente ecuación:
VAT = VA0 +VA1 + VA2
#
(% #(
+", .'( : : ./(#!&&
!"# !"#
VA
Sintaxis
VAtasa1nper1pago1213
Tasa Nper Pago VF Tipo VA
'( !
!"# *(% ("!%
!"# # *#( (&"!%
(#!&&
Valor Actual Total
"$#
Respuesta: El propietario del negocio podría pagar hoy por el sistema de cómputo de mayor potencia UM
9,831.66. Obviamente si llevamos al futuro (final del año 3) los UM 7,000 y los UM 1,500 tenemos que el
costo futuro del equipo básico es:
"#
><><>< ++=VF
# "
+, .'( !"# :(% !"# :#( ./("%!$"VF
Sintaxis
VF(tasa;nper;pago;va;tipo)
 =3 A > 3 ><
"#) # *'( #( "&! '
"#) " *(% "("&!#%
*#( #( !
("%!$"
El equipo básico costaría UM 18,295.42, a una tasa de 23% anual, en 3 años.
Ejercicio 202 (Préstamo a través de la Banca Fondista)
Tenemos la siguiente información sobre los préstamos a tasas preferenciales de interés que otorga la Banco
Fondista a empresas o individuos con capacidad de proveer una Garantía Bancaria:
Información básica:
1) Proveer una Garantía Bancaria a favor del prestatario y endosarla a favor del Banco Fondista
válido por 10 años y un día o en su defecto automáticamente renovable anualmente durante el plazo del
contrato del préstamo. Para cubrir esta garantía es posible presentar: Certificados de Depósito CD´s, entre
otros.
2) Los montos mínimos de los préstamos son de UM 10 millones y el máximo sin límite.
3) Uso de los fondos: No hay restricciones específicas, pero tienen preferencia proyectos de desarrollo y
de impacto social o ambiental en países en desarrollo como América Latina.
4) Plazos: 10 años.
Modalidad de Pago:
5. Comisiones, gastos legales y otros: 8% de Flat por una sola vez, descontados al desembolso de los
fondos.
6. Período de gracia, máximo 2 años, durante el cual son pagados los intereses a fines de cada año sin
amortización de capital.
7. Amortización del capital, comienza al final del 3º año.
8. Intereses preferenciales, 4% anual al rebatir.
Observaciones: La tasa de interés puede variar en caso que el solicitante demorase en presentar la
Garantía Bancaria. Lo cual será comunicado por el Banco Fondista al prestatario.
"$$
Para el desembolso de los fondos utilizan un Banco Intermediario donde el prestatario obtendrá una cuenta
corriente, la selección del Banco Intermediario es a criterio del Banco Fondista.
Veamos en la práctica: Una persona, empresa o institución con capacidad de acceder a una línea de
crédito a través del Banco Fondista en las condiciones indicadas, solicita UM 10 millones en préstamo.
Evaluar el costo del préstamo. Elaborar el cronograma de pagos y el flujo de caja, considerando comisiones,
gastos legales y otros de 8% flat y el 15% de comisión anual contra el saldo al rebatir, por emisión de la
garantía bancaria.
Solución:
VA = 10’000,000; i = 0.04; i = 0.08 Flat; n = 10; C = ?
Calculamos el monto anual a pagar al final del año. Este cálculo es con el monto total del préstamo
con n= 8, por cuanto en los dos primeros años solo cancelamos los intereses del 4% anual, permaneciendo
invariable el monto del préstamo:
Sintaxis
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! $ *( ( ($%("'!#"
2º Elaboramos el CRONOGRAMA DEL SERVICIO DE LA DEUDA Y EL FLUJO DE CAJA:
Puesto que al momento del desembolso el Banco Fondista cobra por concepto de comisiones, gastos
legales y otros el 8% Flat, tenemos:
OS
SALDO
INICIAL
INTERES
4%
AMORT. PAGO
SALDO
FINAL
( (
( ( $ ( ! $ ( ! ( (
" ( ( $ ( ! $ ( ! ( (
# ( ( $ ( ! ( %("'!#" ($%("'!#" ($('""
"( (#'& "( %%! " (#'#(""#!# ($%("'!#" ($"(%"
($"(%" %'("&!  ($"(%"!"# ($%("'!#"
Préstamo a 10 años UM 10’000,000
(-) 8% Comisión Flat 800,000
Cantidad recibida en el año 0 UM 9’200,000
Comisión por emisión de garantía 1.50% anual
"$%
Elaboramos el FLUJO DE CAJA DE LA OPERACION
OS PRESTAMO
COMISION
FLAT
COMS. BCO.
INTERM.
PAGOS
NETOS
FLUJ O
NETO
( ( ( *(" (
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"($"" ($%("' (% &('
'! ')
66
FLUJ O DE CAJ A (b)
Respuesta: El costo promedio anual del préstamo incluido los gastos emergentes de la operación financiera
es de 7.07%.
Ejercicio 203 (Problema con saldo de préstamo)
Tenemos el caso de una persona que recibió un préstamo bancario y que su saldo al 15.01.01 fue de UM
7,361.13, que al parecer ha tenido dificultades para pagar sus cuotas mensualmente; de acuerdo a su
disponibilidad, ha amortizado esta deuda de la siguiente forma:
12-Feb-01 284.50
16-Feb-01 290.00
19-Feb-01 125.00 Feb-01 699.50
10-May-01 May-01 1,075.00
05-Jun-01 250.00
11-Jun-01 570.00
12-Jun-01 200.00
14/06/2001 250.00 Jun-01 1,270.00
16-Jul-01 135.00
18-Jul-01 60.00
20-Jul-01 500.00 Jul-01 695.00
16-Jul-02 Jul-02 1,000.00
Requerimiento:
1) Determinar el saldo por pagar deducido los pagos efectuados al 16/9/02. Considere como tasa nominal
anual el 17.5%.
2) Determinar el costo de la deuda al 16/9/02.
"$&
Asumimos que todos los pagos efectuados por el prestatario son a fines de mes; transcurriendo del 15/1/01
al 16/9/02, 20 meses.
Solución:(1)
VA = 7,361.13; n = 20; j = 0.175; i = (0.175/12) = 0.014583
Elaboramos el cuadro SERVICIO DE UNA DEUDA NO CANCELADA REGULARMENTE:
FECHAS
SALDO
INICIAL
INTERES
1.4583%
AMORT. PAGOS
SALDO
FINAL
&* "*  '(#&!#  '!#% %"!% &!% &('&!
&* #*  &('&! !' *!' ! &(&'!&
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&* '* " $( ! '!& "!$ ( ! #(!%
&* * " #(!% %! & *%! & ! $( #!%'
&* * " $( #!%' %! *%! !
4,098.48
Con una tasa mensual de 1.4583% el saldo transcurrido 20 meses y efectuado 5 pagos es de UM 4,098.48.
Solución: (2)
Finalmente, el costo de la deuda es:
Sintaxis
INT.EFECTIVOint_nominal1núm_per_año
Int.nominal num_per_año Tasa Efectiva
'!% ) " !')
El costo efectivo del préstamo es : 18.97%
Comentario: Desde el punto de vista del prestamista (Banco) como asumimos a la tasa de interés nominal
o efectiva indicada, el saldo al 16/09/02 es diferente, pero invariable. En estas condiciones la única
posibilidad de mejorar la posición del prestatario es pedir una reconsideración de la tasa de interés para
reprogramar el pago de la deuda en tiempo prudencial. Lógicamente esta negociación se llevará a cabo a
partir del saldo insoluto al 16/9/02 según el Banco.
Ejercicio 204 (Pago de saldo de préstamo)
Un empresario adeudaba al 30/6/2001 la suma de UM 280,000, saldo de un préstamo bancario dejado de
pagar por problemas económicos. Al objeto de saldar esta obligación el deudor propone al Banco 180
cuotas durante 15 años, con una TEA de 8%. La propuesta indica, que el deudor está en condiciones de
"$'
pagar 36 cuotas de UM 2,500 y 36 de UM 3,500 cada una en los primeros seis años y en los siguientes 9
años 108 cuotas constantes a la tasa indicada.
a) Elaborar el cronograma de pagos. Determinar el valor de cada cuota después del mes 72.
b) Calcular el valor de cada cuota mensual durante los 15 años.
Solución (a)
VA = 280,000; n = 180; TEA = 0.08; i = ? C = ?
1º Calculamos la tasa periódica a partir de la TEA:
[ ]
( )
"
$#  . : !  *. ! &$75i
Con ésta tasa elaboramos el cuadro de servicio de la deuda. Para determinar el valor de cada cuota
aplicamos la fórmula [25] o la función PAGO:
VA = 175,833.96; n = 108; i = 0.00643; C = ?
Sintaxis
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! &$ *'%(##!& "("&#!##
El cuadro (como en muchos de los ejercicios anteriores) es el extracto del cronograma elaborado en Excel
considerando los 180 meses. Como vemos: al final del mes 72 el saldo es UM 175,833.96 con el que
calculamos cada una de las 108 cuotas pendientes. El valor de cada una de las 108 cuotas mensuales a
partir del primer mes del año 9 es UM 2,263.33.
MESES
SALDO
INICIAL
INTERES
AMORTIZ
ACION
PAGOS
SALDO
FINAL
" ( !
" ( ! ( !$ &!& "(% ! "'(# !$
" "'(# !$ ('%! ' $! "(% ! "'(%&!#
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# "$(!" (& &!'$ (#!"& #(% ! "$'(! 
' "(%!& ('%!'$ "(#"$!"& #(% !  (%"'!$
'  (%"'!$ (& !' "(##!" #(% ! '(!"
'" '(!" ($%!'% "(#%$!"% #(% ! '%(##!&
'# '%(##!& (# !& (#"!'" "("&#!## '$(' !"$
'$ '$(' !"$ ("#!## ($ ! "("&#!## '#(%&!"$
' $($#!#' "!# "("#$!% "("&#!## "("$!'
 "("$!' $!$& "("$!' "("&#!## !
"$
Solución (b)
VA = 280,000; n = 180; i = 0.00643; C = ?
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
! &$# *" ( 2,630.12
Comentario: La cuota constante de UM 2,630.12 es muy cercana a la capacidad de pago propuesto por el
deudor.
Ejercicio 205 (Préstamo de una MYPE)
Un pequeño empresario acude a una MYPE y solicita UM 50,000 ó US$ 15,000 en préstamo para ser
pagado en 24 meses y pide al funcionario de la institución que le indique los requisitos y la cuota mensual
que corresponde a cada unidad monetaria.
El funcionario explica al empresario que los requisitos para acceder al préstamo son:
1) Que el negocio tenga más de 6 meses de funcionamiento,
2) Que el capital sea propio,
3) Constitución de la empresa,
4) RUC del negocio,
5) Libro de Actas,
6) Ficha de Inscripción en los Registros Públicos,
7) Croquis de ubicación del negocio y
8) DNI del representante legal de la empresa.
Asimismo, le indica que la cuota que tiene que pagar mensualmente es UM 3,449.35 y US $ 815.70
respectivamente.
Requerimos:
a) Determinar la tasa periódica (mensual) y la TEA que la MYPE cobra por sus préstamos en moneda
nacional y extranjera.
b) Determine el FRC para cada uno de los préstamos.
c) Considerando dos períodos de carencia o gracia en la amortización del principal (sólo pagamos los
intereses) elabore la tabla de amortización.
Solución: (a)
VA1 = 50,000; VA2 = 15,000; n = 24; C1 = 3,449.35; C2 = 815.7
1º Calculamos la tasa mensual del préstamo en moneda nacional y extranjera:
"$
Sintaxis
TASAnper1pago1va12131
Nper Pago VA VF TASA
"$ #($$!#% *% ( $!% )
685
Sintaxis
TASAnper1pago1va12131
Nper Pago VA VF TASA
"$ %!' *%( "!"%)
6BC
A partir de las tasas mensuales encontradas, calculamos la tasa nominal y la TEA:
(44A) j MONEDA NACIONAL = 0.045*12 = 0.54
(44A) jMONEDA EXTRABJERA = 0.0225*12 = 0.27
[ ]
( )
"
===
$#;  . ! $% *. !&%TEA
[ ]
( )
"
===
$#;  . ! ""% *. !# & TEA
Solución: (b)
VA1 = 1; VA2 = 1; n = 24; i1 = 0.045; i2 = 0.025; FRC1 = ?; FRC2 = ?
1º Calculamos el FRC:
Sintaxis
PAGOtasa1nper1va1213
Tasa Nper VA VF Tipo FRC
! $% "$ * ! &'
Sintaxi