TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS DE INTERÉS, CAPITALIZACIÓN CONTINUA E INFLACIÓN

Autor: Cesar Aching Guzman

Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

02-2006

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Prólogotc "Prólogo"

El libro «MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES», es un compendio sobre temas fundamentales del campo de las finanzas, necesario para entender el mundo de los negocios. Con este propósito utilizo un lenguaje claro, sencillo, práctico, rico en conceptos, con una amplia gama de casos resueltos con el método conceptual-aplicativo y funciones financieras de Excel. Es una edición digital mejorada y corregida de la edición impresa. Dirigido a estudiantes, profesores y profesionales de administración, contabilidad, economía, banca y finanzas, tecnología financiera y otras actividades de carácter comercial; asimismo, a los pequeños y micro empresarios y a todos aquellos que tengan la inquietud de aprender. El capítulo 4: expone el tema de las tasas nominales y efectivas de interés, la capitalización continua con tasas efectivas de interés, los factores de serie uniforme y gradientes, la inflación y el cálculo de rendimiento en moneda extranjera.En la parte de los ejercicios desarrollados, como indicamos en el Capítulo III, resolvemos 27 ejercicios de este capítulo.Cada uno de los temas -del capítulo-, viene ilustrado con casos reales resueltos aplicando el modelo matemático y la función financiera de Excel, cuando es aplicable.

Reconocimientos

En primer lugar a los docentes de ESAN, que sembraron en mi mente la inquietud por la investigación a través del método de casos: Konrad Fischer Rossi, Luís Gaviño, Martín Scurrah, Fernando Robles, Juan Goyburo Calderon, Armando Valdez Palacio, Alberto Zapater, J. Galarza, Santiago Roca, Octavio Chirinos, Nissim Alcabes Avdala, Hans H. Frank, Raúl Galdo, Carlos Chamorro, Juan Chu, Abner Montalvo, profesores del Primer Programa Avanzado de Administración de Empresas (PADE) Mercadotecnia (1977-1978) y del Primer PADE de Administración de Empresas (1979).A mis hijos: Jorge por su constante apoyo y asesoría para la simplificación en la solución de los casos, Ingeniero Electrónico de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM), Graduado con excelencia en la tesis: “RECONOCIMIENTO BIOMETRICO DE HUELLAS DACTILARES Y SU IMPLEMENTACION EN DSP”. Actualmente es becario y cursa estudios de Maestría en Ingeniería Electrónica en la UNIVERSIDAD FEDERAL ESPIRITU SANTO - BRASIL. A mi hijo César por su talentoso aporte en el diseño, diagramación y digitalización de la obra. Y reconocimiento especial, a Angela Bonino Velaochaga, galardonada nacional e internacionalmente como exponente del arte moderno en nuestro país, que tuvo a su cargo la creación y diseño de la carátula.Finalmente, debo precisar que en temas como este resultaría absurdo reclamar originalidad, por lo que me remito al enunciado de Adam Schaff (“Historia y Verdad”): «La única originalidad que puede pretender el autor reside en la manera en que disponga en un conjunto los elementos ya conocidos y en el uso en que haga de ese conjunto en sus razonamientos».

1. Introducción

El objetivo del capítulo es familiarizar al lector en cálculos de matemáticas financieras utilizando períodos y frecuencias de capitalización diferentes a un año. Esto le permitirá manejar asuntos financieros personales que en la mayoría de casos son cantidades mensuales, diarias o continuas. Orientamos al lector a considerar la inflación en los cálculos de valor del dinero en el tiempo.

2. Tasas nominales y efectivas de interéstc "2.Tasas nominales y efectivas de interés"

La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo resultado que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva.

2.1. Tasa Nominaltc "2.1. Tasa Nominal"
La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés simple.
Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de la tasa nominal es:

j = tasa de interés por período x número de períodos

Ejercicio 116 (Calculando la TEA)tc "Ejercicio 116 (Calculando la TEA)"
¿A cuánto ascenderá un préstamo de UM 1,000 al cabo de un año si el interés del 36% capitaliza mensualmente? ¿Cuál es la TEA?

Solución:
VA = 1,000; i = 0.03 (36/12); n = 12; VF = ?; TEA = ?

Luego la TEA del préstamo es:

Como vemos el préstamo de UM 1,000 ganó 42.58% de interés en un año. Esto es, a la tasa nominal del 36%, el Banco en un año ganó la tasa efectiva del 42.58%, la misma que representa la tasa efectiva anual (TEA).
tc ""
2.2. Tasa Efectivatc "2.2. Tasa Efectiva"
Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas.

La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica.

Las tasas nominales y efectivas, tienen la misma relación entre sí que el interés simple con el compuesto (Capítulo 3). Las diferencias están manifiestas en la definición de ambas tasas.

Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas. Por definición de la palabra nominal «pretendida, llamada, ostensible o profesada» diríamos que la tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva.

La tasa de interés nominal puede calcularse para cualquier período mayor que el originalmente establecido. Así por ejemplo: Una tasa de interés de 2.5% mensual, también lo expresamos como un 7.5% nominal por trimestre (2.5% mensual por 3 meses); 15% por período semestral, 30% anual o 60% por 2 años. La tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual capitaliza el interés. La tasa efectiva es lo opuesto. En forma similar a las tasas nominales, las tasas efectivas pueden calcularse para cualquier período mayor que el tiempo establecido originalmente como veremos en la solución de problemas.

Cuando no está especificado el período de capitalización (PC) suponemos que las tasas son efectivas y el PC es el mismo que la tasa de interés especificada.
Es importante distinguir entre el período de capitalización y el período de pago porque en muchos casos los dos no coinciden.

Por ejemplo:
Si una persona coloca dinero mensualmente en una libreta de ahorros con el 18% de interés compuesto semestralmente, tendríamos:

Período de pago (PP) : 1 mes
Período de capitalización (PC) : 6 meses

Análogamente, si alguien deposita dinero cada año en una libreta de ahorros que capitaliza el interés trimestralmente, tendríamos:

Período de pago (PP) : 1 año
Período de capitalización (PC) : 3 meses

A partir de ahora, para solucionar los casos que consideren series uniformes o cantidades de flujos de efectivo de gradiente uniforme, primero debemos determinar la relación entre el período de capitalización y el período de pago.

2.2.1. Derivación de la fórmula de la tasa efectiva tc "2.2.1. Derivación de la fórmula de la tasa efectiva "
Una forma sencilla de ilustrar las diferencias entre las tasas nominales y efectivas de interés es calculando el valor futuro de UM 100 dentro de un año operando con ambas tasas. Así, si el banco paga el 18% de interés compuesto anualmente, el valor futuro de UM 100 utilizando la tasa de interés del 18% anual será:

[19] VF = 100 (1 + 0.18)1 = UM 118

Ahora, si el banco paga intereses compuestos semestralmente, el valor futuro incluirá el interés sobre el interés ganado durante el primer período. Así, a la tasa de interés del 18% anual compuesto semestralmente el banco pagará 9 % de interés después de 6 meses y otro 9% después de 12 meses (cada 6 meses).
El cuadro no toma en cuenta el interés obtenido durante el primer período. Considerando el período 1 de interés compuesto, los valores futuros de UM 100 después de 6 y 12 meses son:

[19] VF6 = 100 (1 + 0.09)1 = UM 109.00
[19] VF12 = 109 (1 + 0.09)1 = UM 118.81

9% representa la tasa efectiva de interés semestral. Como vemos, el interés ganado en 1 año es UM 18.81 en lugar de UM 18. Luego, la tasa efectiva anual es 18.81%.
La fórmula para obtener la tasa efectiva a partir de la tasa nominal es:

i = tasa periódica
j = tasa nominal
m = número de períodos de capitalización

Despejando la fórmula [43] obtenemos la fórmula de la tasa nominal de interés en función de la tasa efectiva equivalente:

El subíndice m de j indica el número de veces por año que capitaliza.

Fórmulas para calcular la tasa periódicatc "Fórmulas para calcular la tasa periódica"
Tasa periódica: Tasa de interés cobrada o pagada en cada período. Por ejemplo, semanal, mensual o anual. Tiene la particularidad de ser simultáneamente nominal y efectiva.

Fórmula que permite calcular la tasa periódica a partir de la tasa efectiva dada.

Fórmula que permite calcular la tasa efectiva anual (TEA) a partir de la tasa periódica dada.

2.2.2. Calculando las tasas efectivas tc "2.2.2. Calculando las tasas efectivas "
Con la fórmula [43] podemos calcular las tasas efectivas de interés para cualquier período mayor que el de capitalización real. Por ejemplo, la tasa efectiva del 1% mensual, podemos convertirla en tasas efectivas trimestrales, semestrales, por períodos de 1 año, 2 años, o por cualquier otro más prolongado. En la fórmula [43] las unidades de tiempo en i y j siempre deben ser las mismas. Así, si deseamos la tasa de interés efectiva, i, semestral, necesariamente j debe ser la tasa nominal semestral. En la fórmula [43] la m siempre es igual al número de veces que el interés estará compuesto durante el tiempo sobre el cual buscamos i.

Ejercicio 117 (Tasa efectiva)tc "Ejercicio 117 (Tasa efectiva)"

Un préstamo no pagado al Banco tiene la tasa de interés del 3% mensual sobre el saldo pendiente de pago.
1) Determinar la tasa efectiva semestral. 2) Si la tasa de interés es de 7% por trimestre, calcular las tasas efectivas semestrales y anuales. 3) Con las cifras del (2) determinar las tasas nominales j.
Solución (1): La tasa de interés es mensual. Como lo solicitado es la tasa efectiva semestral aplicamos la fórmula (43B):

[43B] TEASEMESTRAL = (1 + 0.03)6 -1 = 0.1941

Solución (2): Para la tasa de 7% por trimestre, el período de capitalización es trimestral. Luego, en un semestre, m = 2. Por tanto:

[43B] TEASEMESTRAL = (1 + 0.07)2 -1 = 0.1449
[43B] TEAANUAL = (1 + 0.07)4 -1 = 0.3108

Solución (3):
(1) i = 0.07; n = 2; j = ?

(44A) j = 0.07*2 = 0.14 semestral

(44A) j = 0.07*4 = 0.28 anual

Ejercicio 118 (Cálculo de tasas a partir de la tasa nominal)tc "Ejercicio 118 (Cálculo de tasas a partir de la tasa nominal)"
Calcular las tasas efectivas (i) para 0.25%, 7%, 21%, 28%, 45%, 50% tasas nominales (j) utilizando la fórmula [43] con períodos de capitalización (m) semestral, trimestral, mensual, semanal y diaria:

j = 0.0025; m = 2; i =?

j = 0.07; m = 4; i = ?

j = 0.21; m = 12; i = ?

j = 0.28; m = 52; i = ?

j = 0.50; m = 365; i = ?

Los resultados son tasas efectivas anuales equivalentes a tasas nominales.

Aplicando este proceso hemos elaborado el cuadro, para todas las tasas nominales y períodos de capitalización indicados.

Ejercicio 119 (Calculando la TEA, el FSA)tc "Ejercicio 119 (Calculando la TEA, el FSA)"
Una institución financiera publicita que su tasa de interés sobre préstamos que otorga es 1.86% mensual. Determinar la tasa efectiva anual y el factor simple de capitalización (FSA o VA/VF) para 12 años.

Solución: Para calcular la tasa efectiva anual:
j = 0.0186; n = 12; TEA =?

[43B] TEA = (1 + 0.0186)12 -1 = 0.2475

Hay dos formas de calcular el factor FSA:

TEA = 0.2475; m =12; FSA =?

1º Por interpolación entre i=0.24 e i= 0.26 y n =12:

Graficando:

Interpolando:

Utilizando el factor de la fórmula [29] o la función VA, es la forma más fácil y precisa de encontrar el valor del factor:

i = 0.2475; n = 12; FSA =?

2.2.3. Capitalización contínua con tasas efectivas de interéstc "2.2.3. Capitalización continua con tasas efectivas de interés"
Las fórmulas del interés continuo simplifican frecuentemente la solución de modelos matemáticos complejos. En todas las fórmulas anteriores hemos utilizado el convenio de fin de período para pagos globales a interés discreto. A partir de ahora, en la solución de los ejemplos y/o ejercicios utilizaremos cualquiera de estos dos métodos según el requerimiento de cada caso.
Cuando el interés capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito, la fórmula [43] puede escribirse de forma diferente. Pero antes es necesario, definir el valor de la constante de Neper (e) o logaritmo natural que viene preprogramada en la mayoría de calculadoras representado por ex.

Ecuación que define la constante de Neper

Cuando m se acerca a infinito, el límite de la fórmula [43] lo obtenemos utilizando j/m = 1h, lo que hace m = hj.

Ecuación para calcular la tasa de interés efectiva continua. De aplicación cuando la relación m = j es muy pequeña. En caso contrario operamos con la fórmula [43], sin embargo, debemos aclarar que al utilizarla cuando m / j es pequeña lleva al mismo resultado obteniendo dicho valor a través de la notación [45]; es decir, el enunciado anterior no es más que un caso práctico de la expresión [43].

Ejercicio 120 (Calculando la tasa continua)tc "Ejercicio 120 (Calculando la tasa continua)"
1) Para la tasa nominal del 18%, la tasa efectiva anual continua será:

j = 0.18; e = 2.71828; i =?

[45] i = (2.71828)0.18 - 1 = 0.1972 TEA

2) Calcular la tasa efectiva anual y mensual continua (TEAC) para la tasa de interés de 21% anual compuesto continuamente.

[45] i =( 2.71828)0.0175-1 = 0.01765 tasa efectiva mensual continua

[45] i = (2.71828)0.21 - 1 = 0.233678 TEAC

3) Una persona requiere el retorno efectivo mínimo de 22% sobre su inversión, desea saber cuál sería la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar la capitalización continua. En este caso, conocemos i y deseamos encontrar j, para resolver la ecuación [43] en sentido contrario. Es decir, para i = 22% anual, debemos resolver para j tomando el logaritmo natural (ln).

[45] ej - 1 = 0.22
             ej = 1.22
             ln ej = ln 1.22
             j = 0.1989 (19.89%) tasa nominal

La fórmula general para obtener la tasa nominal dada la tasa efectiva continua es:

, aplicando al numeral (3), obtenemos:

j = ln(1.22) = 19.89% tasa nominal

2.3. Cuando los períodos de capitalización y pagos no coincidentc "2.3. Cuando los períodos de capitalización y pagos no coinciden"

En los casos en que el período de capitalización de un préstamo o inversión no coincide con el de pago, necesariamente debemos manipular adecuadamente la tasa de interés y/o el pago al objeto de establecer la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Cuando no hay coincidencia entre los períodos de capitalización y pago no es posible utilizar las tablas de interés en tanto efectuemos las correcciones respectivas.

Si consideramos como ejemplo, que el período de pago (un año) es igual o mayor que el período de capitalización (un mes); pueden darse dos condiciones:

1. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar los factores del 1º Grupo de problemas factores de pago único (VA/VF, VF/VA).
2.   Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar series uniformes (2º y 3º Grupo de problemas) o factores de gradientes.

2.3.1. Factores de pago únicotc "2.3.1. Factores de pago único"
Para esta condición debemos satisfacer dos requisitos: 1) Debe utilizarse la tasa periódica para i, y 2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. Luego, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente forma:

VA = VF (VA/VF), i periódica, número de períodos
VF = VA (VF/VA), i periódica, número de períodos

Así, para la tasa de interés del 18% anual compuesto mensualmente, podemos utilizar variedad de valores para i y los valores correspondientes de n como indicamos a continuación con algunos ejemplos:

Tasa de interés efectiva i Unidades para n
1.5% mensual Meses
4.57% trimestral Trimestres
9.34% semestral Semestral
19.56% anual Años
42.95% cada 2 años Período de dos años
70.91% cada 3 años Período de tres años

Los cálculos de la tasa periódica, lo hacemos aplicando la ecuación [43]. Como ejemplo desarrollaremos el proceso para la obtención de la tasa efectiva trimestral:

j = 1.5 * 3 = 4.5% (0.045); m = 3; i =?

El mismo procedimiento es aplicable para la obtención de la tasa efectiva de un número infinito de unidades de n..

Ejercicio 121 (Capitalización de depósitos variables)tc "Ejercicio 121 (Capitalización de depósitos variables)"
Si depositamos UM 2,500 ahora, UM 7,500 dentro de 3 años a partir de la fecha del anterior abono y UM 4,000 dentro de seis años a la tasa de interés del 18% anual compuesto trimestralmente. Deseamos saber cuánto será el monto acumulado dentro de 12 años.

Solución:
Como sabemos, en las ecuaciones sólo utilizamos tasas de interés efectivas o periódicas, por ello, primero calculamos la tasa periódica trimestral a partir de la tasa nominal del 18%:

j = 0.18; n = 4; i =?

Utilizando la tasa periódica de 4.5% por trimestre y luego períodos trimestrales para n, aplicamos sucesivamente la fórmula [19].

n1..3 = (12*4) = 48, (8*4) = 32 y (6*4) = 24

Respuesta:
El monto que habremos acumulado dentro de 12 años, capitalizados trimestralmente es UM 62,857.55

2.3.2. Factores de serie uniforme y gradientestc "2.3.2. Factores de serie uniforme y gradientes"
Cuando utilizamos uno o más factores de serie uniforme o gradiente, debemos determinar la relación entre el período de capitalización, PC, y el período de pago, PP. Encontramos esta relación en cada uno de los 3 casos:

1. El período de pago es igual al período de capitalización, PP = PC
2. El período de pago es mayor que el período de capitalización, PP > PC
3. El período de pago es menor que el período de capitalización, PP < PC

Para los dos primeros casos PP = PC y PP > PC, debemos:

a) Contar el número de pagos y utilizar este valor como n. Por ejemplo, para pagos semestrales durante 8 años, n = 16 semestres.
b) Debemos encontrar la tasa de interés efectiva durante el mismo período que n en (a).
c) Operar en las fórmulas de los tres grupos de problemas sólo con los valores de n e i.

Ejercicio 122 (Capitalización de una anualidad semestral)tc "Ejercicio 122 (Capitalización de una anualidad semestral)"
Si ahorramos UM 300 cada 6 meses durante 5 años. ¿Cuánto habré ahorrado después del último abono si la tasa de interés es 24% anual compuesto semestralmente?.

Solución:
Como n está expresado en períodos semestrales, requerimos una tasa de interés semestral, para ello utilizamos la fórmula [44B].

C = 300; m = 2; j = 0.24; n = (5*2) = 10; i =?; VF = ?

Con esta tasa calculamos el VF de estos ahorros aplicando la fórmula [27] o la función VF.

Respuesta:
El monto ahorrado es UM 5,264.62

2.3.3. Períodos de pagos menores que los períodos de capitalizacióntc "2.3.3. Períodos de pagos menores que los períodos de capitalización"
Esta parte corresponde a la relación 3, de la sección 2.3.2. Caso en que el período de pago es menor al período de capitalización (PP < PC). El cálculo del valor actual o futuro depende de las condiciones establecidas para la capitalización entre períodos. Específicamente nos referimos al manejo de los pagos efectuados entre los períodos de capitalización. Esto puede conducir a tres posibilidades:

1. No pagamos intereses sobre el dinero depositado (o retirado) entre los períodos de capitalización.
2. Los abonos (o retiros) de dinero entre los períodos de capitalización ganan interés simple.
3. Finalmente, todas las operaciones entre los períodos ganan interés compuesto.

De las tres posibilidades la primera corresponde al mundo real de los negocios. Esto quiere decir, sobre cualquier dinero depositado o retirado entre los períodos de capitalización no pagamos intereses, en consecuencia estos retiros o depósitos corresponden al principio o al final del período de capitalización. Esta es la forma en que operan las instituciones del sistema financiero y muchas empresas de crédito.

3. Inflacióntc "3. Inflación"
La inflación es el movimiento ascendente del nivel medio de precios. Su opuesto es la deflación: movimiento descendente del nivel de precios. El límite entre la inflación y deflación es la estabilidad de precios. Los cálculos de la inflación son igualmente aplicables a una economía deflacionaria.
La inflación significa reducción del valor del dinero. Como resultado de la reducción del valor del dinero, requerimos más dinero para menos bienes.
El dinero en el período T1, puede actualizarse al mismo valor que el dinero en otro t2, aplicando la fórmula:

Llamamos T1 al dinero de hoy (constante) y al dinero del período T2, dinero futuro o corriente de entonces. Si F representa la tasa de inflación por período y n es el número de períodos entre T1 y T2, la fórmula [48] se transforma en:

La unidades monetarias de hoy son conocidas también como UUMM en valores constantes, aplicando la ecuación [48] es posible determinar valores futuros inflados en términos de UUMM corrientes.

Ejercicio 123 (Calculando el precio de un producto con inflación)tc "Ejercicio 123 (Calculando el precio de un producto con inflación)"
Si un producto cuesta UM 10 en 1999 y la inflación en promedio fue 5% durante el año anterior, en dinero a valor constante de 1998, el costo es igual a:

Solución:
VF = 10; n = 1; F = 0.05, VA = ?

Ahora, si la inflación en promedio fue de 5% en los últimos 8 años anteriores, el equivalente en UM constantes de 1999 indudablemente es menor:

Existen tres tasas diferentes, sólo las dos primeras son tasas de interés:
– La tasa de interés real i
– La tasa de interés del mercado o interés corriente ic
– La tasa de inflación F

Para estimar la inflación en un análisis de valor actual es necesario hacer el ajuste de las fórmulas del interés compuesto para considerar la inflación.
, en esta fórmula i es la tasa de interés real

VF (en unidades monetarias futuras/corrientes) puede convertirse en dinero de hoy/constantes con la siguiente ecuación:

Si definimos a i + F + i F como i F, la fórmula es:

i F es la tasa de interés inflada definida como:

Símbolos:
i = tasa de interés real
F = tasa de inflación
i F = tasa de interés inflada

Ejercicio 124 (Calculando la tasa inflada)tc "Ejercicio 124 (Calculando la tasa inflada)"
1) Con la tasa real del 15% y la de inflación del 6% anual, determinar la tasa de interés inflada:

Solución:
i = 0.15; F = 0.06; i F = ?

[50] i F = 0.15 + 0.06 + 0.15*0.06 = 0.219

Es decir, si tomo un préstamo en un mercado inflacionario el interés a pagar será mayor; igualmente, cualquier inversión requerirá una tasa de rentabilidad mayor.
Ejercicio 125 (Seleccionando alternativas de inversión)tc "Ejercicio 125 (Seleccionando alternativas de inversión)"
Una persona debe decidir invertir en un negocio para lo cual dispone de 3 alternativas:

Alternativa A : UM 45,000 hoy
Alternativa B : UM 10,000 anuales durante 6 años comenzando dentro de 1 año.
Alternativa C : UM 35,000 dentro de 2 años y otros UM 55,000 dentro de 4 años.

Si la persona desea obtener el 15% real anual sobre su inversión y estima la tasa promedio anual de inflación en 4.5%. ¿Qué alternativa debe ejecutar?.

Solución:
La forma más rápida de evaluación es determinar el valor actual de cada alternativa.

i = 0.15; F = 0.045; VAA = 45,000; VAB, VAC = ?

Calculamos para B y C, la tasa inflada aplicando la fórmula [50]:

[50] i F = 0.15 + 0.045 + 0.15(0.045) = 0.20175

Luego operando adecuadamente las fórmulas [24] y [49] o las funciones VA obtenemos:

VAA = UM 45,000, está a valor actual

Respuesta:
Seleccionamos la alternativa C, por cuanto arroja el mayor valor actual.

Ejercicio 126 (Calculando el VA con la tasa inflada)tc "Ejercicio 126 (Calculando el VA con la tasa inflada)"
Necesitamos obtener el valor actual de la serie uniforme de pagos de UM 2,500 anuales durante 7 años si la tasa real es 15% anual y la tasa de inflación es 3.8% anual, asumiendo que los pagos son en términos de (1) unidades monetarias de hoy y (2) unidades monetarias futuras.

Solución (1): Dado que las unidades monetarias están a valor actual, utilizamos la i real de 15%.

C = 2,500; i = 0.15; n = 7; VA=?

Solución (2):
Como las unidades monetarias están expresadas a valor futuro, utilizamos la tasa inflada:

Calculamos también el VA convirtiendo los flujos de efectivo futuros en unidades monetarias de hoy mediante la tasa de interés real del 15%. Resulta más sencillo operar la fórmula [24] con el valor de la tasa inflada, que convertir los valores futuros a valores actuales y luego aplicar el factor (VA/VF).
Si los dólares futuros están expresados en monedas de hoy o constantes (o han sido transformados a monedas de hoy), calculamos el valor actual utilizando la tasa de interés real i en las fórmulas de valor actual. Cuando las unidades monetarias están expresadas en monedas corrientes de entonces o en valores futuros, es necesario trabajar con la tasa de interés inflada iF.

3.1. El valor futuro considerando la inflacióntc "3.1. El valor futuro considerando la inflación"
En el cálculo del valor futuro considerando la inflación es posible presentar cualquiera de cuatro cantidades diferentes:

1º Dólares actuales acumuladostc "1º Dólares actuales acumulados"
En este caso utilizamos en las fórmulas de equivalencia la tasa inflada establecida (iF).

Reagrupando la fórmula [49], obtenemos:

o (VF/VA, iF, n)

2º Poder de compra del dinero acumulado en términos de valores de hoytc "2º Poder de compra del dinero acumulado en términos de valores de hoy"
En este grupo utilizamos la tasa inflada iF, en equivalencia y dividida por (1 + iF)n. La división por (1 + iF)n deflacta el dinero inflado. Esto quiere decir, que los precios aumentan durante la inflación, con UM 10 en el futuro compraremos menos bienes que con UM 10 ahora. Expresamos esto en forma de ecuación:

tc ""
Ejercicio 127 (De aplicación)tc "Ejercicio 127 (De aplicación)"
Supongamos que UM 2,500 tienen la tasa inflada del 15% de interés anual durante 9 años. La tasa de inflación anual es de 6%.

Solución:
VA = 2,500; n = 9; iF = 0.15; F = 0.06; VF = ?

Ahora, asumamos que la inflación es nula (F se acerca a 0), dentro de 9 años los UM 2,500, a la tasa de interés del 15%, aumentará a:

[51] VF = 2,500 (1 + 0.15)9 = UM 8,794.69

Esto quiere decir que el poder de compra hoy y dentro de 9 años es igual. La inflación del 6% anual erosoionó el poder de compra en:

8,794.69 - 5,206.56 = UM 3,588.13.

La tasa de interés real puede calcularse resolviendo para i en la fórmula [50]:

de donde:

o también

Esta ecuación permite calcular la tasa de interés real i a partir de la tasa de interés inflada iF del mercado.
Las fórmulas para calcular la tasa de interés real (i) y corriente o comercial (ic) cuando el componente riesgo es cero son: Ver Capítulo 1, numeral 13.3. Componentes de la tasa de interés, páginas 51, 52 y 53:

Nomenclatura:
ic = tasa corriente
i = tasa real
F = porcentaje de inflación en el período

Fórmula para la obtención de la inflación acumulada:

«El uso de la tasa de interés real i es adecuada para calcular el valor futuro de la inversión, especialmente una cuenta de ahorro o un fondo de mercado de dinero, cuando los efectos de la inflación deben ser considerados».

Volviendo a los UM 2,500 anteriores, a partir de la fórmula [53], aplicamos la fórmula (19) o la función VF y obtenemos:

VF = 2,500(1 + 0.0849056)9 = UM 5,205.56

Como vemos, la tasa de interés de mercado del 15% anual sufre una reducción a menos del 9% anual como consecuencia de los efectos de la inflación. Una tasa de inflación mayor que la tasa de interés inflada, es decir, F > iF, conduce a una tasa de interés real negativa i en la fórmula [53].

3º Dinero requerido para tener el mismo poder de compratc "3º Dinero requerido para tener el mismo poder de compra"
Los precios aumentan en períodos inflacionarios, luego comprar bienes en una fecha futura significa mayores desembolsos de dinero para adquirir lo mismo. En términos sencillos, el dinero futuro (corrientes de entonces) vale menos, luego necesitamos más dinero.

Ejercicio 128 (VF considerando únicamente la inflación)tc "Ejercicio 128 (VF considerando únicamente la inflación)"
1) ¿Cuánto tengo que pagar dentro de 7 años por un bien que hoy cuesta UM 7,500 y la inflación es de 4.8% anual?.

Solución:
VA = 7,500; F = 0.048; n = 7; VF =?

[19] VF = 7,500 (1 + 0.048)7 = UM 10,413.34

Para obtener el resultado hemos adecuado ligeramente la fórmula general del valor futuro incorporando sólo la inflación a la ecuación.

2) Sí UM 2,500 es el costo de un producto cuyo precio crece exactamente con la tasa de inflación del 6% anual, el costo dentro de 9 años será:

VA = 2,500; F = 0.06; n = 9; VF = ?

[19] VF = 2,500 (1 + 0.06)9 = UM 4,223.69

4º Unidades monetarias futuras para mantener el poder de compra y obtener interesestc "4º Unidades monetarias futuras para mantener el poder de compra y obtener intereses"
Este caso considera tanto los precios crecientes (3º caso) como el valor del dinero en el tiempo; es decir, debemos de obtener el crecimiento real del capital, los fondos deben crecer a una tasa igual a la tasa de interés i más la tasa de inflación F.

Luego con el ejercicio 127, para obtener la tasa de retorno de 8.49% cuando la inflación es 6%, empleamos iF en las fórmulas. Utilizando la misma cantidad:

i = 0.0849; F = 0.06; iF = ?

VA = 2,500; iF = 0.15; n = 9; VF =?

Esto demuestra que UM 8,794.69 dentro de 9 años es equivalente a UM 2,500 ahora con un retorno real de i = 8.49% anual y la inflación de 6% anual. Finalizando esta parte constatamos: que UM 2,500 hoy a la tasa del mercado de 15% anual se convierten en UM 8,794.69 en 9 años; los UM 8,794.69 tendrían el poder de compra de UM 5,205.56 de hoy si F = 6% anual; un producto con el precio de UM 2,500 ahora, tendría el precio de UM 4,223.69 dentro de 9 años con la inflación del 6% anual; y UM 8,794.69 futuros para ser equivalente a UM 2,500 ahora a la tasa de interés real de 0.0849 con la inflación del 6%.

Ejercicio 129 (Evaluación alternativas con y sin inflación)tc "Ejercicio 129 (Evaluación alternativas con y sin inflación)"
Los ejecutivos de una imprenta deben decidir entre dos alternativas para incorporar a su planta de producción una nueva impresora offset: la alternativa A, supone adquirir la impresora ahora al costo de UM 150,000 instalada y lista para operar; y la alternativa B significa diferir la compra durante 4 años y estimamos que el costo aumente hasta UM 310,000. La tasa real no ajustada por inflación es del 13% anual y la inflación estimada es de 3.5% anual. Determinar la mejor alternativa tomando en cuenta: 1) ausencia de inflación y 2) presencia de inflación.

Solución (1) (Ausencia de inflación)
i = 0.13; VAA = 150,000; VFB = 310.000; n = 4; VFA = ?

[19] VFA = 150,000(1 + 0.13)4 = UM 244,571
VFB =   UM 310,000

Recomendamos la alternativa A, arroja un valor menor; la compra debe efectuarse ahora.

Solución (2) (Presencia de inflación)
i = 0.13; F = 0.035; iF = ?

1º Calculamos la tasa ajustada por inflación:

[50] iF = 0.13 + 0.035 + 0.13*0.035 = 0.16955

2º Calculamos el VF para la alternativa B:

i = 0.16955; VAA = 150,000; VFB = 310.000; n = 4; VFA = ?

[19] VFA = 150,000(1 + 0.169555)4 =   UM 280,651
VFB =   UM 310,000

Después de esta evaluación seguimos recomendando la alternativa A, por cuanto requerimos menos dinero futuro equivalente.
¿Qué sucede en un país con una inflación mayor?. Supongamos la tasa de inflación en 14% anual y la tasa real del 19%. Veamos que sucede:

3.2. Recuperación del capital y fondo de amortización considerando la inflacióntc "3.2. Recuperación del capital y fondo de amortización considerando la inflación"
En los cálculos de recuperación del capital es importante que éstos incluyan la inflación. Dado que las UM futuras (valores corrientes) tienen menos poder de compra que las UM de hoy (valores constantes), requerimos más UUMM para recuperar la inversión actual. Esto obliga al uso de la tasa de interés del mercado o la tasa inflada en la fórmula [25] (C/VA).

Ejercicio 130 (Tasa real, tasa inflada y cálculo de la anualidad)tc "Ejercicio 130 (Tasa real, tasa inflada y cálculo de la anualidad)"
Si invertimos hoy UM 5,000 a la tasa real de 15% cuando la tasa de inflación es del 12% también anual, la cantidad anual de capital que debe recuperarse durante 8 años en UM corrientes (futuros) de entonces será:

1º Calculamos la tasa inflada:
i = 0.15; F = 0.12; iF =?

[52] iF = 0.15 + 0.12 + 0.15(0.12) = 0.288

2º Calculamos la cantidad anual a ser recuperada:

VA = 5,000; iF = 0.288; n = 8; C =?

Respuesta:
La cantidad anual que debe recuperarse considerando la tasa real incluida la inflación es UM 1,659.04.

4. Cálculo de rendimiento en moneda extranjeratc "4. Cálculo de rendimiento en moneda extranjera"
Para el cálculo de la rentabilidad o costo de una inversión o de un préstamo en moneda extranjera, es necesario considerar el efecto de la devaluación o revaluación de la moneda (base de comparación) frente a la unidad monetaria con la cual estamos negociando.

Ejercicio 131 (VF con devaluación monetaria)tc "Ejercicio 131 ( VF con devalución monetaria)"
Consideremos la adquisición de una máquina nueva por el valor de US$ 60,000, con la tasa anual de 9%, para su liquidación en un sólo pago a fin de año. ¿Cuál será el costo en nuevos soles de dicha compra?.

Solución:

1º Calculamos el VF en moneda extranjera de la máquina, aplicando indistintamente la fórmula (19) o la función VF:

VA = 60,000; i = 0.09; n = 1; VF =?

[19] VF = 60,000(1+0.09)1 = US$ 65,400

2º Para determinar la rentabilidad en nuevos soles (moneda peruana) debemos tener el valor del dólar al momento inicial y final de la inversión. Supongamos que al momento de realizar la compra el tipo de cambio es de S/. 3.50 por dólar y la devaluación proyectada es de 8% anual. Con la devaluación podemos calcular el valor del dólar frente al nuevo sol, para ello aplicamos indistintamente la fórmula (19) o la función VF, considerando la devaluación como la tasa de interés:

VA = 3.50; iDEV = 0.08; n = 1; VF =?

[19] VF = 3.50(1+0.08)1 = S/. 3.78 por dólar


Es decir, que al final del año un dólar tendrá un valor de S/. 3.78
3º Con esta información podemos calcular el equivalente del valor actual y del valor futuro (final) en nuevos soles, para determinar el costo del crédito.

VA = 60,000 * 3.50 = S/. 210,000
VF = 65,400 * 3.78 = S/. 247,212
n = 1 año
i =?

4º Aplicando la fórmula [1A] obtenemos el costo efectivo de la deuda:

El costo efectivo de dicha deuda en moneda nacional es 17.72% anual.

Del anterior procedimiento para el cálculo de la rentabilidad en moneda extranjera y mediante reemplazos derivamos la siguiente ecuación:

Nomenclatura:
i Ext    =   tasa de interés en el mercado extranjero.
i DEV =   tasa de devaluación.
i M.E. = tasa de rendimiento/costo efectivo, de una inversión/deuda en moneda extranjera, expresado en moneda nacional.

Datos del ejemplo anterior:
i Ext = 0.09
i DEV = 0.08

La fórmula proporciona rápidamente el costo efectivo en términos porcentuales de la deuda o inversión.

EJERCICIOS DESARROLLADOStc "EJERCICIOS DESARROLLADOS"
tc ""
Capítulo IVtc "Capítulo IV"
tc ""
Ejercicio 132 (FSC - Calculando el VF, pospagable)tc "Ejercicio 132 (FSC - Calculando el VF, pospagable)"
Si abrimos una libreta de ahorros, con UM 4,800 ganando intereses de 6% anual, 7 años después por cambios en la política económica del país, la tasa de interés sube al 9% anual. ¿Cuánto tendríamos 10 años después?.

En los primeros 7 años:
VA = 4,800; i = 0.06; n = 7; VF = 4,800*(1+0.06)7

En los siguientes 10 años:
VA = 4,800*(1+0.06)7; i = 0.09; n = 10; VF = ?

Respuesta:
Después de 10 años tendremos UM 17,086.27

Ejercicio 133 (FCS - Calculando el VF, anualidades pospagables)tc "Ejercicio 133 (FCS - Calculando el VF, anualidades pospagables)"
Si deposito mensualmente UM 500, a una tasa efectiva anual (TEA) del 15% a plazo fijo. ¿Cuánto habré acumulado luego de 18 meses?

Solución:
C = 500; n = 18; TEA = 0.15; i = ?; VF = ?

1º Calculamos la tasa periódica mensual, a partir de la TEA:

2º Calculamos el monto acumulado después de 18 meses con la fórmula [27] y la función VF de Excel:

Respuesta:
Después de 8 meses tendré UM 9,953.43

Ejercicio 134 (FDFA - Cuotas pospagables a partir del VF)tc "Ejercicio 134 (FDFA - Cuotas pospagables a partir del VF)"
Tenemos planificado viajar de vacaciones, para lo cual, ahorramos mensualmente durante un año y medio cantidades uniformes. Si la tasa de interés anual del banco es 9%, ¿cuánto deberemos ahorrar mensualmente para poder acumular los UM 10,000 deseados?

Solución:
VF = 10,000; n = 18; i = (0.09/12) = 0.0075; C =?

Respuesta:
Debemos ahorrar mensualmente UM 520.98

Ejercicio 135 (Calculando n)tc "Ejercicio 135 (Calculando n)"
¿Deseamos saber en qué tiempo la suma de UM 2,500 al 9% trimestral serán UM 3,700?

Solución:
VA = 2,500; VF = 3,700; i = 0.0225 (9/4); n = ?

Calculamos el tiempo aplicando la fórmula (23) o la función NPER:

Respuesta:
Con ambos métodos obtenemos el mismo resultado. El tiempo en el que UM 2,500 al 9% trimestral se convertirán en UM 3,700 es 18 trimestres.

Ejercicio 136 (Tasas de interés, anualidades, tabla de amortización y TIR)tc "Ejercicio 136 (Tasas de interés, anualidades, tabla de amortización y TIR)"
Una empresa que requiere UM 25,000, consigue un préstamo por el cual suscribe un pagaré al 22.5% de tasa efectiva anual; con los siguientes cargos: comisión administrativa de 1.65% flat sobre el monto del préstamo descontado al inicio, respaldada con una comisión aval del 4% efectivo anual contra los saldos insolutos.
1. ¿Cuál es la tasa periódica y la cuota mensual del préstamo?
2. Determine la tasa periódica de la comisión aval y elabore el cronograma del servicio de la deuda.
3. Determine la cuota uniforme mensual y la TEA del préstamo incluido todas las comisiones y gastos.

1º Calculamos la tasa periódica a partir de la TEA: Obtenemos la tasa nominal del préstamo y de la comisión aval, con la función TASA.NOMINAL de Excel y luego determinamos la tasa i mensual para ambos:

Solución: (1)
TEAPRESTAMO = 22.5%; i =?; C = ?

Calculamos la tasa periódica y el valor de cada cuota con la fórmula (43A), (25) o la función PAGO:

Solución: (2)
TEAAVAL= 0.04; i = ?; C = 2,322.09; PAGOS NETOS = ?

Elaboramos el cuadro de servicio de la deuda, para ello calculamos primero la tasa periódica de la comisión aval y determinamos el flujo neto:

Saldo Final = Saldo Inicial - Amortización
Saldo Inicial = Saldo Final
Pagos Netos = COMISION AVAL + Pago

Solución: (3)
1º Para calcular la tasa periódica (flujo variable) que incluya la comisión de administración, la comisión aval y la propia tasa del préstamo aplicamos la función TIR:

2º Calculamos el valor de la cuota uniforme (pagos netos) aplicando la fórmula [25] o la función PAGO.

Para calcular la cuota incluido todos los gastos que la operación financiera irrogue, debemos utilizar esta TIR.

3º El costo efectivo de la deuda lo calculamos con la función INT.EFECTIVO, a partir de la tasa nominal:

j = 0.0231 mensual*12 = 0.2772

Respuesta:
1) Tasa periódica préstamo 1.17%. La cuota mensual es UM 2,322.09
2) La tasa periódica de la comisión aval es 0.33%
3) La TEA del préstamo incluido las comisiones y gastos es 31.53% y la cuota uniforme calculada con esta tasa es UM 2,409.23

Ejercicio 137 (Cuota y costo de compra a crédito) tc "Ejercicio 137 (Cuota y costo de compra a crédito) "
Debemos comprar al crédito una camioneta cuyo precio cash es de UM 25,000, bajo las siguientes condiciones: cuota inicial de UM 5,000 y el saldo a pagar en 18 mensualidades iguales con el 1.8% de interés mensual. Al preguntar el cliente a cuánto ascenderían las cuotas mensuales a pagar, el vendedor explica que ellas contienen una porción de capital y de interés respectivamente y efectúa cálculos de la siguiente manera:

C = (20,000 + 20,000 * 0.018 * 18)/18 = UM 1,471.11

El cliente dubitativo pregunta lo siguiente:
a) ¿Cuál es el costo efectivo mensual de este crédito?
b) ¿A cuánto ascenderían las cuotas mensuales a pagar si, efectivamente, me están cobrando el 1.8% de interés mensual?

Solución: (a)
VA = 20,000; C = 1,471.11; n = 18; i =?

a) El financiamiento es únicamente por UM 20,000 y el compromiso de pago de 18 mensualidades por UM 1,471.11 c/u, luego calculamos la tasa de Interés (i).

Para calcular el valor de i utilizamos la función financiera TASA:

Luego, el costo efectivo mensual del financiamiento de esta camioneta, es de 3.14% y no de 1.8% mensual como nos informan.

Solución: (b)
VA = 20,000; i = 0.018; n = 18; C =?

b) Calculamos el valor de la cuota con la fórmula [25] o con la función financiera PAGO:

Respuesta:
El pago periódico debería ser de UM 1,310.70 mensual y no UM 1,471.11.

Ejercicio 138 (Cuota y VA de deuda con Bancos) tc "Ejercicio 138 (Cuota y VA de deuda con Bancos) "
Un empresario, con una obligación bancaria por UM 60,000 pagaderos en 6 años trimestralmente al 20% de tasa efectiva anual. Al finalizar el 2º año, luego de haber efectuado el pago correspondiente a dicho trimestre plantea lo siguiente:

a) ¿Cuánto tendría que abonar al final del 2º año para pagar su deuda?
b) ¿Cuánto tendría que pagar al banco en ese momento (final 2º año) para que a futuro sus cuotas de pagos trimestrales asciendan sólo a UM 2,500?
c) ¿Cómo afectaría calcular el valor actual de la deuda considerando una menor TEA, por ejemplo, del 16%?

Solución: (a)
VA = 60,000; n = (6*4) = 24; TEA = 0.20; C =?

1º Calculamos el pago periódico inicialmente pactado:

2º Al finalizar el segundo año deberá sólo 16 cuotas trimestrales por los 4 años que restan. Conociendo el pago periódico de UM 4,205.57, estamos en condiciones de determinar el VA de estos pagos, descontándolos a la misma tasa de interés con la que fueron calculados:

C = 4,205.57; i = 0.0466; n = 16; VA =?

Respuesta (a):
Para pagar el total de la deuda al final del año 2, tendríamos que abonar al Banco UM 46,707.16

Solución (b): Para resolver este problema, calculamos el valor actual de los pagos futuros de UM 2,500 teniendo en cuenta que serían dieciséis y la tasa de interés de 4.66% trimestral.

C = 2,500; n = 16; i = 0.0466; VA =?

Luego el VA de las cuotas de UM 2,500 cada una asciende a UM 27,762.22

Respuesta (b):
Al final del año 2º deberíamos pagar al Banco:
46,707.16 - 27,762.22 = UM 18,944.94 y a partir de este pago queda un saldo de UM 27,772.22 y las cuotas mensuales para los próximos 16 trimestres serían de UM 2,500, cada una.

Solución: (c)
Aparentemente, la menor tasa de interés es más favorable; sin embargo, vamos a calcular a cuánto ascendería el VA de la deuda con una TEA del 16%. Conocemos el pago periódico hallado al inicio y el número de cuotas periódicas pendientes de pago.

C = 4,205.57; n = 16; TEA = 0.16 anual; VA =?

1º Calculamos la tasa trimestral, luego el VA con la tasa del 16% anual:

Respuesta (c):
Luego, observamos que si el banco recalcula el valor actual de la deuda con esta TEA (menor), estaría perjudicando al empresario, como vemos al comparar los valores actuales calculados con las tasas anuales del 20% y del 16%.

Ejercicio 139 (Refinanciamiento de una deuda con cuotas pospagables) tc "Ejercicio 139 (Refinanciamiento de una deuda con cuotas pospagables) "
Contraemos una obligación por UM 10,000 para pagarlo en 24 meses a la tasa mensual del 3.8%. Luego de efectuado el décimo pago y ante problemas financieros, proponemos a nuestro acreedor el deseo de seguir pagando siempre y cuando la deuda pendiente sea refinanciada a 3 años. Calcular el importe de cada pago mensual.

Solución:
VA = 10,000; n = 24; i = 0.038; C =?

1º Calculamos la cuota mensual pactada a partir de las variables conocidas:

2º Con el valor de la cuota a pagar de UM 642.51 mensual, calculamos el VA de los 14 pagos pendientes:

Con el importe de VA = 6,877.41 recalculamos la cuota mensual a pagar en los próximos 3 años:
VA = 6,877.51; n = 36; i = 0.038; C =?

Otra forma de recalcular la cuota a pagar en los próximos 3 años, es elaborar el CRONOGRAMA de pagos y establecer el saldo en el 10º mes y a partir de este calcular el PAGO uniforme.

Respuesta:
El importe de los pagos mensuales es de UM 353.72, para los próximos tres años.

Ejercicio 140 (FAS - VA anualidades prepagables)tc "Ejercicio 140 (FAS - VA anualidades prepagables)"
Contraemos un préstamo a 10 años para comprar una camioneta y programamos su pago, por medio de cuotas adelantadas por UM 400 al inicio de cada trimestre. Luego de haber transcurrido 3 años, ganamos el premio mayor de la lotería, con lo cual cubrimos el total de la deuda. ¿Cuánto tendremos que pagar en ese momento para liquidar la deuda, si tenemos en cuenta que las cuotas fueron calculadas con la tasa de interés del 21% capitalizable trimestralmente, sin cargos adicionales por el prepago?

Solución: (Cuotas adelantadas)
El valor de cada cuota es UM 400 al inicio de cada período. También sabemos que restan siete años para pagar el crédito (28 trimestres). Calculamos la tasa trimestral 0.21/4 = 0.0525, con la que procedemos a calcular el valor actual de la deuda contraída con el banco para liquidar el préstamo.

Respuesta:
Por los 28 trimestres que faltan tenemos que pagar hoy la suma de UM 6,105.22 para la liquidación total de la deuda.
Ejercicio 141 (Anualidades pre y pos pagables)tc "Ejercicio 141 (Anualidades pre y pos pagables)"
Un documento considera pagos trimestrales de UM 30,000 durante 5 años. Pagamos este documento en una sola cuota anticipada o vencida. Calcular ambos casos asumiendo el 28% de interés con capitalización trimestral.

Solución: (Cuota anticipada)
C = 30,000; n = (5*4) = 20; i = (0.28/4) = 0.07; TIPO = 1; VA = ?

Solución: (Cuota vencida)
C = 30,000; n = 20; i = 0.07; TIPO = 0; VA =?

Respuesta:
En un solo pago anticipado es UM 340,067.86 y vencido UM 317,820.43. Por definición el VA o VF de las cuotas prepagables es mayor al VA o VF de las anualidades pospagables.

Ejercicio 142 (Caso especial de anualidades e interés compuesto)tc "Ejercicio 142 (Caso especial de anualidades e interés compuesto)"
Un pequeño empresario ahorra UM 10,000 anuales, en los últimos seis años para la educación de sus dos menores hijos. La institución financiera le paga el 6% de interés anual. El último abono lo hizo el 1º de enero de 1993. A partir de esta fecha decide no efectuar retiros hasta el 1º de enero de 1998, fecha elegida para retirar UM 14,000 anualmente, hasta que el saldo quede en cero. Determinar ¿cuánto tiempo podrá hacer esto? y ¿cuánto dinero podrá retirar al final si no son los UM 14,000?.

Solución: De 1987 a 1993 el caso es de anualidades; de 1993 a 1998 es de interés compuesto; de 1998 hasta la fecha tratamos nuevamente con anualidades.

Esto quiere decir, que retirando durante 8 años, aun quedará un saldo en la cuenta. El valor de estos 9 retiros de UM 14,000 cada uno lo calculamos con la función VF, para ello capitalizamos los UM 93,345.50:

C = 14,000; i = 0.06; VA = 93,345.50; n = 8; VF =?

Si dejamos este saldo por 8 años al 6% capitalizando anualmente, hasta el año 2007, tenemos:

[19] VF = 10,213.99*(1 + 0.06)9 = UM 16,279.55

Respuesta:
Podrá retirar UM 14,000 anuales durante 8 años y UM 16,279.55 al final del año 2007.

Ejercicio 143 (Un caso de testamento) tc "Ejercicio 143 (Un caso de testamento) "
Un testamento estipula que el albacea deberá vender todo el activo de la herencia e invertir el producto neto en una anualidad de 10 años pagadera a un sobrino, o si este muriera antes que él, a otro beneficiario nombrado.

El albacea determina que el único activo que existe en la herencia son pagarés por UM 120,000 de una compañía importante que vencen a los 8 años y devengan el 5% de interés pagadero por semestres.

Poco antes de morir el testador, la compañía giradora de los pagarés tropezó con dificultades financieras y convino con los tenedores de los títulos valores suspender el pago regular de los cupones quedando éstos como pasivo diferido. Estimamos pagar al vencimiento de los documentos el capital más los cupones con el interés sobre los mismos, capitalizando semestralmente al 5%. Esos valores no son negociables en el mercado, pero un particular ofrece comprarlos a un precio que calculando el valor actual tomando como base el 7% anual. El capital así obtenido es utilizado para comprar la anualidad de 10 años. Encontrar el importe que cobraría anualmente el sobrino, considerando la tasa del 4%.
25].

Respuesta:
Finalmente, el sobrino heredero recibirá anualmente UM 12,782.74 durante 10 años.

Ejercicio 144 (VA gradiente geométrico pospagable)tc "Ejercicio 144 (VA gradiente geométrico pospagable)"
Una máquina tiene los siguientes costos: Inicial UM 22,000, de salvamento UM 2,600 y de operación UM 11,700 en el año 1, con aumentos anuales de 3% en los próximos años. Duración 10 años, tasa anual de interés 21%. Calcular el valor actual de la máquina.

Respuesta:
El valor actual de la máquina es UM 73,629.

Ejercicio 145 (Calculando el gradiente uniforme) tc "Ejercicio 145 (Calculando el gradiente uniforme) "
Los directivos de la empresa Bebidas S.A. estiman ingresos por UM 106,000 a partir del próximo año. No obstante, esperan el incremento uniforme de las ventas con la introducción de un nuevo producto, hasta alcanzar el nivel de UM 250,000 en 9 años. ¿Cuál es el gradiente?. Construir el diagrama del flujo de efectivo.

Solución:
La cantidad base es de UM 106,000 y la ganancia:

Ganancia en 9 años = 250,000 - 106,000 = UM 144,000

Finalmente, elaboramos el diagrama para la serie gradiente

Respuesta:
El gradientes es UM 18,000

Ejercicio 146 (Inversión con gradiente uniforme pospagable)tc "Ejercicio 146 (Inversión con gradiente uniforme pospagable)"
En una empresa los directivos desean tener disponible para inversión UM 750,000 dentro de 8 años. Proyectan invertir UM 6,000 el primer año y después asumir incrementos en un gradiente uniforme. Considerando que la tasa anual de la compañía es de 22.5%. Determinar el tamaño del gradiente para que la empresa cumpla con su objetivo.

Solución:
VF = 750,000; C = 6,000; i = 0.225; n = 8; G =?

1º Elaboramos el diagrama de flujo:

2º Con la plantilla Excel y la herramienta Buscar Objetivo calculamos el gradiente, para ello lebaoramos el flujo de los ingresos, de la siguiente forma:

En la columna B3 (Gradiente) ingresamos 1000 un valor arbitrario, en la columna C2 digitamos el valor del primer abono, así:

Celda B3 Digitamos simplemente 1000
Celda C2 Digitamos simplemente 6000
Celda D2 =C2
Celda D3 =C2 + B3
Celda D4 =C2 + 2*B3
Celda D5 =C2 + 3*B3
Celda D6 =C2 + 4*B3
Celda D7 =C2 + 5*B3
Celda D8 =C2 + 6*B3
Celda D9 =C2 + 7*B3

En Buscar Objetivo (Ver Capítulo 2, páginas 87 y 88) en Definir Celda colocamos el cursor en D10 de la siguiente manera:

- Definir la celda D10
- con el valor 750000
- para cambiar la celda B3

Aplicando la fórmula [35A] también calculamos el valor del gradiente, debemos tener presente que las cuotas se capitalizan considerando 8 períodos y el gradiente 7:

G = 20,823.53

Ejercicio 147 (Tráfico de vehículos con crecimiento geométrico)tc "Ejercicio 147 (Tráfico de vehículos con crecimiento geométrico)"
El flujo de tráfico esperado sobre un puente es 1’500,000 vehículos para el primer año. El aumento estimado de la tasa promedio de tráfico es 7% anual.

a) Hallar el número esperado de vehículos que utilizan el puente en el año décimo de servicio.
b) Determinar el número total esperado de vehículos que utilicen el puente durante 10 años.
c) Asumiendo el pago de una cuota de UM 2 por vehículo por el uso del puente, determinar el valor actual de todas las tarifas cobradas proyectadas, utilizando una tasa de interés de 9%.

Solución: (a)
C = 1’500,000; i = 0.07; n = 10; VF =?

Flujo 1º Año = 1’500,000; Tasa de crecimiento geométrico = 0.07

a) Calculamos el valor futuro con la fórmula [27]:

a) Utilizando el Programa Excel, calculamos el flujo anual de tráfico de vehículos por año:

Respuesta:
a) El número de vehículos que utilizan el puente en el año 10 es de 2’757,689
b) El número esperado de vehículos durante 10 años es 20’724,672
c) El valor de cobranza proyectado es de 20’724,672 x 2 = UM 41’449,344 durante los 10 años:

El VAC lo calculamos bien aplicando al flujo neto sucesivamente la fórmula (21) o la función VNA al 32.55% de tasa por periódo. El VAB esta representado por la inversión que está a valor actual:

RESULTADOS:
1. VAN = 37 (VAN > 1), indica que los beneficios proyectados son superiores a sus costos. Aceptamos el proyecto.
2. TIR = 36.91%, indica que la tasa de rendimiento es superior a la tasa del proyecto (32.55%). El proyecto debe ser aceptado.
3. B/C = 0.9183 (B/C < 1), significa que los ingresos son menores que los egresos, entonces el proyecto no debe ser aceptado.

Comentario: Apoyándonos en el VAN, el proyecto debería llevarse a cabo. Es una medida de evaluación más consistente, por cuanto proporciona la rentabilidad del proyecto en valores monetarios deducida la inversión, actualizando los flujos a la tasa de descuento del proyecto (32.55%).

Ejercicio 158 (TIR Banco caro versus Banco barato)tc "Ejercicio 158 (TIR Banco caro versus Banco barato)"
Pedro trabaja colocando créditos en un «Banco Barato» y tiene que convencer a su cliente que el crédito que el ofrece es más barato que el crédito que le ofrece el banco competidor, el «Banco Caro». Para demostrarlo Pedro hace uso de la TIR. El préstamo en ambos casos es de UM 500,000, con pagos en cuotas pospagables a tres años. Ambos exigen las mismas garantías reales.

El Banco Barato ofrece las siguientes condiciones:
Cuotas trimestrales de UM 48,630 cada una, con pagos de intereses y capital
Comisiones fijas mensuales de UM 100
Portes mensuales de UM 10
Seguro mensual (perteneciente al grupo) sobre los bienes que la empresa puso en garantía de UM 450.
Comisión de desembolso (pago único) de UM 1,800

El Banco Caro ofrece las siguientes condiciones:
Cuotas mensuales de UM 16,335 por pago de intereses y capital
Comisiones mensuales de UM 30
Portes mensuales de UM 8
Seguro mensual (perteneciente al grupo) sobre los bienes que la empresa puso en garantía de UM 150
Comisión de desembolso (pago único) de UM 2,850

Solución: Banco Barato
VA = 500,000; n1 = (3*4) = 12; n2 = (12*3) 36; C = 48,630

Gastos Mensuales = 100 + 10 + 450 = 560
Pago único comisión de desembolso = 1,800

Solución: Banco Caro
VA = 500,000; n1 = (3*4) = 12; n2 = (12*3) 36; C = 16,335

Gastos Mensuales = 30 + 8 + 150 = 188
Pago único comisión de desembolso = 2,850

1º Elaboramos el flujo de caja de ambas instituciones financieras, a partir de esta herramienta de análisis y aplicando la función TIR, calculamos la tasa mensual de ambos préstamos:

2º A partir de esta tasa periódica aplicando la fórmula (43B) determinamos el costo efectivo anual de ambos bancos:

Como vemos, el Banco caro resulta más barato que el de Pedro. Al objeto de mejorar nuestra posición frente al Banco de la competencia deberíamos eliminar el costo del seguro. Veamos que pasa si quitamos los UM 450 mensuales de seguro a nuestro banco:

Al quitar el costo mensual del seguro nuestro Banco se vuelve más atractivo para el mercado, de un costo efectivo anual de 12.95% baja 10.95 de TEA.

Ejercicio 159 (Análisis de la relación B/C)tc "Ejercicio 159 (Análisis de la relación B/C)"
Una institución sin fines de lucro, privilegia proyectos educativos y tiene programado financiar becas para egresados de universidades de países latinoamericanos hasta por un monto anual equivalente a UM 30 millones. El horizonte de este proyecto es de 10 años y calculamos ahorros de UM 10 millones anuales, para los países beneficiados. La tasa de retorno de la institución sobre todas las becas que financia es 8% anual.
Dentro de las actividades normales de la institución, ésta es una adicional y considera el retiro de fondos por UM 4 millones de otros programas educativos para destinarlos a este proyecto.
§ El proyecto supone gastos anuales de operación por UM 1 millón de su presupuesto normal de Mantenimiento y Operaciones.
§ Determinar la justificación del proyecto durante 10 años. Aplique el análisis de B/C.

Respuesta:
(1) El monto al final del año 6 es UM 134,977.71
(2) Poder de compra UM 114,387.89
(3) La tasa de real de retorno de la inversión es 21.46% anual, superior al 18% originalmente establecido. Se cumple la definición, a mayor inflación mayor será la tasa de descuento exigida a la inversión o proyecto.

Ejercicio 177 (Evaluando el descuento por pago anticipado de factura)tc "Ejercicio 177 (Evaluando el descuento por pago anticipado de factura)"
Tenemos una factura por UM 100, cuyas condiciones normales de pago son a 30 días. Ofrecen el 4% de descuento por pronto pago (dentro de los 10 días siguientes a la entrega de la mercadería). Evaluar dicho descuento desde el punto de vista del proveedor y desde el punto de vista del cliente.

El resultado obtenido (costo) lo vamos a evaluar desde dos puntos de vista:

a) Al Proveedor no le resulta conveniente otorgar el 4% de descuento, anualizado representa el 73.44% de costo y puede ser mayor al costo del financiamiento que podría obtenerse a través del Banco.
b) El cliente debe considerar lo siguiente: Si tiene liquidez, debe comparar el costo de oportunidad de sus excedentes con el costo efectivo del descuento (73.44%); si este último es mayor debe acogerse al descuento.

Si no tiene liquidez, debe analizar si le resultará más barato pedirle prestado al banco y acogerse al descuento.
Como vemos, el costo del crédito de los proveedores disminuye cuando el período normal de pago se extiende, es decir, el plazo en relación con el cual rige el descuento.

Ejercicio 178 (Rentabilidad de una inversión en moneda extrajera)
El dueño de una fábrica de radios necesita adquirir urgentemente maquinaria, cuyo valor de mercado es de US$ 20,000. Las únicas posibilidades de financiarla corresponden a tres préstamos atados a la compra de dicha máquina:

§ El primero es inglés (en libras esterlinas - LE), y cobra US$ 22,000 (al tipo de cambio actual) por dicha máquina y 12% de intereses;
§ El segundo es francés (en francos franceses - FF) y cobra US$ 16,000 (al tipo de cambio actual) y 38% de interés.
§ Por último la tercera, existe la posibilidad de un préstamo norteamericano (en dólares) por US$ 20,000 con el 20% de interés anual.
§ En cualquiera de los casos, el período de pago es de cuatro años, no hay plazo de gracia, no hay impuesto a la renta y el sistema es de cuota fija. Además, el costo del crédito comercial, en dólares, es 9% anual, la devaluación de la libre esterlina y el franco francés respecto al dólar es 6%. Determinar el préstamo más conveniente, mostrando los cuadros de amortización o servicio de la deuda.

Solución:
VALOR DE MERCADO DE LA MAQUINARIA = US$ 20,000
Plazo común para todas las posibilidades de financiación = 4 años

1º Ordenamos la información de cada posibilidad de financiación:

Primera : VA = 22,000; iEXT = 0.12; iDEV = 0.06; iME =?; Moneda = LE
Segunda : VA = 16,000; iEXT = 0.38; iDEV = 0.06; iME =? Moneda = FF
Tercera : VA = 26,000; i = 0.20;                                       Moneda = $
C. COM. : VA = 20,000; i = 0.09

2º Procedemos a determinar el costo efectivo anual o tasa periódica (i) de cada alternativa:

PRIMERA : (54) iME = 0.12 + 0.06 + (0.12*0.06) = 0.1872 tasa anual
SEGUNDA : (54) iME = 0.38 + 0.06 + (0.38*0.06) = 0.4628 tasa anual
TERCERA : i = 0.20 tasa anual
C. COM. : i = 0.09

3º Con estas tasas calculamos la cuota uniforme de cada alternativa de financiación, aplicando indistintamente la fórmula (25) o la función PAGO:
iME = i

4º Elaboramos los cuadros de amortización de cada alternativa:

Respuesta:
Costo efectivo del crédito INGLES = 18.72% anual
Costo efectivo del crédito FRANCES = 46.28% anual
Costo efectivo del crédito NORTEAMERICANO = 20.00% anual
Costo efectivo del crédito comercial = 9.00% anual

De los tres préstamos el más conveniente es la maquinaria inglesa que tiene un costo efectivo anual de 18.72%. Pero el crédito comercial resulta la alternativas más económica.

Bibliografíatc "Bibliografía"
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02. Administración Financiera de Empresas, Weston y Brigham, Interamericana, México
03. Administración Financiera Internacional, 6ta. Edición, Edit. Thomson Edit. Jeff Madura
04. Cálculo Con Aplicaciones a la Administración, Economía y Biología, Sullivan Mizrahi, UTEHA, México
05. Casos en Administración de negocios, ESAN, Mc Graw Hill, México
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07. Compendio de Matemáticas Financieras en la Evaluación de Proyectos, Ratios Financieros y Aritmética de la Mercadotecnia., César Aching G., 1º Edición CjA Ediciones, Lima - Perú
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11. Evaluación de Proyectos, Baca Urbina Gabriel, Mc Graw Hill, Colombia
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14. Fundamentos Matemáticos y Cálculo Financiero, Márquez Yévenes Jorge W., Universidad de Concepción, Bolivia
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16. Guía informativa sobre Negocios en el Perú, Pricewaterhouse Coopers en Perú, 2002
17. Ingeniería Económica, Blank y Tarquin, Mc Graw Hill, Colombia
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19. Introducción al riesgo país, Santiago J. Alvarez, webmaster_alvarez@yahoo.com
20. La tasa de interés y sus principales determinantes, Richard Roca, Universidad Nacional Mayor de San Marcos
21. Las Matemáticas Financieras en el Campo de los Negocios, César Aching G., Prociencia y Cultura S.A., Lima - Perú
22. Lecturas: Gerencia Financiera I y II, ESAN - PADE Administración
23. Lecturas: Métodos Cuantitativos, ESAN - PADE Mercadotecnia
24. Macroeconomía, Parkin Michael , Addison-Wesley Iberoamericana, USA.
25. Manual de Matemáticas Financieras, Moore J.H. UTEHA, México
26. Matemáticas Financieras, Ayres, Jr. Frank. Mc Graw Hill, México
27. Matemáticas para Directivos de Empresa y Economistas, Lyman C. Peck, Pirámide, Madrid
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29. Texto modelo sobre problemas sociales, económicos y ambientales. Programa de Educación para el Desarrollo del Instituto del Banco Mundial

URLs Consultados:

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PIPE
http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/22/cauetio.htm
EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN: ANÁLISIS MATEMÁTICO Y FINANCIERO DE PROYECTOS (I, II, III, IV y V)http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/no%205/interesalinteres.htm
HAY QUE PONERLE MUCHO INTERÉS AL INTERÉShttp://www.monografias.com/
VARIOS
http://www.google.com/custom?sitesearch=gestiopolis.com&q=MATEMATICAS+FINANCIERAS&domains=
gestiopolis.com&hl=es&cof=GALT%3A%230066CC%3BGL%3A1%3BDIV%3A%23FF9900%3BVLC%3A3
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VARIOS

Referencias URL
[URL 1] Decisiones de inversión (CEJA, 4ª ed. 2004)[URL 2] http://www.antroposmoderno.com/antro-articulo.php?id_articulo=441
TRANSFORMACIÓN DE LA MERCANCIA EN DINERO (Teoría del Valor de MARX)[URL 3] http://www.gestiopolis.com/Canales4/eco/dinemo.htm
DINERO, MONEDA Y FINANZAS (La ley del valor de Marx)[URL 4] http://aulaempresarial.com.ar/auladigital/003/eldinero.html
EL DINERO Y LA POLÍTICA MONETARIA[URL 5] http://www.sbs.gob.pe/PortalSBS/infpublico/faq.htm
PREGUNTAS FRECUENTES[URL 6] http://www.matematicas-financieras.com/
MANUAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS[URL 7] http://www.bcrp.gob.pe/Espanol/WPublicaciones/Revista/RevAgo98/JorMor.pdf
CALIFICACION DE RIESGO PAIS[URL 8] http://www.monografias.com/trabajos13/ripa/ripa.shtml
RIESGO PAÍS, Santiago J. Álvarez [URL 9] http://www.gestiopolis.com/canales5/fin/espefina.htm
http://www.monografias.com/trabajos25/especulacion-financiera/especulacion-financiera.shtml
ESPECULACION FINANCIERA Y DESARROLLO ECONOMICO

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Cesar Aching Guzman

Diplomado ESAN en: Administración de Empresas [PADE] Mercadotecnia y Ventas [PADE]. Asesor independiente de empresas Investigador en finanzas, negocios y economía. Conferencista en temas financieros. Autor de libros sobre Matemáticas Financieras. http://es.geocities.com/cesaraching/ Pagina personal http://cesaraching.blogspot.com/

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