Matemáticas financieras para toma de decisiones empresariales capitulo 3

Autor: Cesar Aching Guzman

Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

12-2005

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Llaves Maestras de las Matemáticas Financieras, Gradientes y Métodos de Evaluación de Proyectos.
 
Continuando con la publicación del libro “”, que lo vengo difundiendo en GestioPolis.com, Monografias.com y El Prisma.com, entrego ahora el capítulo 3 de la obra.

Como todas mis obras, la revisión técnica, estuvo a cargo del ING. JORGE L. ACHING SAMATELO, conforman el equipo de edición:
 
COORDINACION GENERAL MARLENE SAMATELO VALDIVIA
DISEÑO CARATULA  ANGELA BONINO VELAOCHAGA
DISEÑO Y DIAGRAMACION MARIA VICTORIA ANGULO JOHNSON
PROCESO DIGITAL CESAR ACHING SAMATELO
PAULA ENITH ACHING DIAZ

Para una mejor comprensión en el uso de las tasas de interés, los ejercicios desarrollados de este capitulo lo publicaré en el capitulo IV, en la parte correspondiente a este rubro.

Asimismo, el capitulo V, contiene una gran variedad de aplicaciones practicas de las anualidades.

Antes de pasar al desarrollo del tema del capítulo, quiero agradecer a los anfitriones de los portales ATTAC MADRID FORO, COLOMBIA INDYMEDIA y PERU INDYMEDIA, por la difusión de mis trabajos de investigación como son: Especulación Financiera y Desarrollo Económico y Mercado Global de Capitales Explotación o Expoliación. Ambos, orientados a develar la voracidad de las oligarquías financieras, responsables de nuestras precarias economías. Desde luego, además estos mismos trabajos los difunden también GestioPolis.com, Monografias.com y El Prisma.com.

La bibliografía y los URLs adjuntos son los materiales consultados e investigados para la elaboración de la obra: “MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES”, cuyo tercer capítulo publicamos ahora.

1. Los Factores Financieros

Las seis llaves maestras de las matemáticas financieras: En las matemáticas financieras es posible manejar cualquier operación, evaluar diversas alternativas de inversión con seis fórmulas. Como una unidad, estas seis fórmulas, reciben el nombre de factores financieros. Estos seis factores financieros derivan de la fórmula general del interés compuesto.

Tanto los pagos como los ingresos efectuados en la empresa son fundamentales para el fortalecimiento de la institución, razón por la cual deben ser evaluados constantemente con el objeto de determinar el impacto que producen en el entorno empresarial, realizar proyecciones financieras y estudios de nuevos proyectos.

Para este cometido, los factores financieros son de mucha utilidad y aplicación. Sirven para solucionar múltiples problemas financieros referidos al monto compuesto, anualidades vencidas y anualidades adelantadas. El uso de factores permite calcular con rapidez las variables del monto (VF), del valor actual (VA) y del pago periódico o renta (C).

Para determinar estos factores debemos conocer con anticipación las variables “i” y “n”. En todo caso, asumimos que “C”, “VF” o “VA” toman el valor de 1. Estos factores son seis: FSC, FSA, FAS, FRC, FCS y FDFA.

1.1. A partir del Monto compuesto

Permite calcular de manera rápida el factor de acumulación de los intereses, en el caso de buscar el valor futuro de una cantidad inicial. También permite averiguar el factor de actualización de los intereses, en el caso de calcular el valor actual de un importe determinado de dinero.
 
1º Factor simple de capitalización (FSC)

Transforma el valor actual (VA) en valor futuro (VF). Con la fórmula general del interés compuesto, desarrollada en el primer capítulo, tenemos:

El factor entre paréntesis es el factor simple de capitalización:
 
2º Factor simple de actualización (FSA)tc "2º Factor simple de actualización (FSA)"

Permite transformar valores futuros en valores actuales.

Ejercicio 85 (Factor simple de capitalización)

Deseamos obtener el factor de acumulación de los intereses y el importe acumulado de un depósito de UM 8,000 colocado durante 11 meses al 2.8% de tasa mensual a plazo fijo. 

Respuesta:

El factor de acumulación FSC es 1.35495 y el monto acumulado VF es UM 10,839.62. Con ambos métodos obtenemos resultados iguales.

Ejercicio 86 (Factor simple de actualización) tc "Ejercicio 86 (Factor simple de actualización) "

Buscamos obtener el factor de actualización de los intereses, así como el valor actual de una deuda de UM 25,000, con vencimiento en 15 meses, pactada al 1.98% de interés mensual.

Solución:

VF = 25,000; n = 15 meses; i = 0.0198; FSA =?; VA = ?

1º Aplicamos el método formulístico:

Respuesta:  

El factor de actualización de los intereses FSA es 0.74520 y el valor actual de la deuda VA es 18,630.
 
1.2. A partir de Anualidades

Una anualidad es un flujo de caja con montos de dinero uniformes, es decir, todos los flujos son iguales y los movimientos de capitales ocurren a intervalos regulares. La circulación monetaria es a través de pagos de la anualidad.

Con este grupo de factores calculamos con rapidez el factor de acumulación de los intereses de pagos periódicos iguales, así como el monto acumulado a pagar al final de un período determinado. Estos cálculos pueden hacerse considerando pagos periódicos al vencimiento pospagable o por adelantado prepagables. También calculamos el factor de actualización de los intereses de pagos periódicos iguales, así como el valor actual a pagar de un período específico dentro de un tiempo establecido.

Las anualidades  no siempre están referidas a períodos anuales de pago. Las fórmulas de las anualidades permiten desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.

Algunos ejemplos de anualidades son:

• Los pagos mensuales por renta.
• El cobro quincenal o semanal de sueldos.
• Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.
• Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

El intervalo o periodo de pago (n), es el tiempo que transcurre entre un pago (C) u otro y el plazo de una anualidad es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer periodo y el periodo final de pago. Renta es el pago (C) periódico.

Los principales elementos que conforman la anualidad son:

C Pago Periódico, llamado también término. Es el importe cobrado o pagado, según sea el caso, en cada período y que no cambia en el transcurso de la anualidad.  
VF, el valor futuro viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (C), capitalizados al final del enésimo período.  
VA, el valor actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos (C), descontados o actualizados a una tasa de interés.
i, es la tasa de interés por período, tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva. También representa la tasa anual de efectivo (TEA).
n, obtenemos el número de períodos multiplicando el tiempo por la frecuencia de capitalización de los intereses (n=t*m).

Las anualidades cumplen con las siguientes condiciones:
1. Todos los pagos son de igual valor.
2. 2.  Todos los pagos son a iguales intervalos  .
3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa.
4. El número de pagos debe ser igual al número de períodos.

Gráficamente:

1.2.1. Valor financiero de una anualidad en el momento t (Vt)
Es el resultado de llevar financieramente capitalizando o descontando las cuotas de la anualidad a dicho momento de tiempo t.

Casos Particulares

Si t  =  0 (siendo 0 el origen de la anualidad) nos encontramos con el valor actual, es decir, cuantificar los términos de la anualidad en el momento cero.
Si t  =  n (siendo n el final de la anualidad) definido como el valor final o valor futuro, resultado de desplazar todos los términos de la anualidad al momento n.

1.2.2. Clases de anualidades

Atendiendo a la variedad de componentes que intervienen, las anualidades se clasifican en:

A) De acuerdo con las fechas de iniciación y término éstas son:

1) Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas, establecidas de antemano.
Ejemplo: En una compra a crédito, tanto la fecha que corresponde al primer y último pago son conocidos.
2) Anualidad contingente. En este tipo de anualidades, tanto la fecha del primer y último pago, generalmente no se establecen anticipadamente.
Ejemplo: Una renta vitalicia o perpetua que tiene que abonar un cónyuge a la muerte del otro. Al morir el cónyuge se inicia la renta y ésta fecha es desconocida.
 
B) De acuerdo a los intereses (a su periodo de capitalización), las anualidades son:

3) Simples. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses.
Ejemplo: El pago de una renta mensual con intereses al 32% de capitalización mensual.
4) Generales. Aquellas en las que el periodo de pago no coincide con el de capitalización.
Ejemplo: El pago de una renta semestral con intereses al 36% anual capitalizable trimestralmente.

C) De acuerdo con el vencimiento de los pagos, éstas son:

5) Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en que los pagos son a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago.

6) Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables efectuadas al principio de cada periodo.

Ejemplo, el pago mensual por arriendo de una casa, primero es el pago, luego el uso del inmueble. 

El VA y VF de las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período las pospagables multiplicándolas por (1 + i).

D) De acuerdo al momento de inicio o momento de valoración:

7) Inmediatas. Las más comunes. Los cobros o pagos tienen lugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Valoramos la anualidad en su origen o en su final.

Ejemplo: Hoy adquirimos un producto a crédito, a pagar mensualmente. El primer pago puede realizarse hoy o el mes siguiente, las cuotas pueden ser anticipadas (prepagables) o vencidas (pospagables).

8) Diferidas. Los cobros o pagos son llevados a cabo tiempo después de formalizado el trato (se pospone o aplaza), es decir, el primer pago es después de transcurrido cierto número de períodos. La valoración de la anualidad es en un momento posterior a su origen. Significa el valor actual o futuro de una anualidad en n períodos a la tasa i, pospagables (vencidas) o prepagables (anticipadas).

Valor actual o futuro de anualidades adelantadas o prepagables, consiste en calcular la suma de los valores actuales de los pagos al inicio de la anualidad multiplicando el resultado por (1 + i).

Valor actual o futuro de anualidades vencidas o pospagables, consiste en hallar la suma de todos los pagos periódicos a una misma tasa de interés al final del plazo de la anualidad.

Son cantidades periódicas y uniformes, equivalentes a un valor actual o valor futuro, a una determinada tasa de interés.

E) Según la clase de interés

9) Simple o en progresión aritmética y,
10) Compuesta o en progresión geométrica

En la presente obra, utilizaremos los términos: anualidad vencida cuando tratemos con rentas pospagables y anticipadas cuando tratemos con rentas prepagables.

Las anualidades que estudiaremos a continuación nos permiten determinar el valor actual o futuro a través de modelos matemáticos que varían en progresión geométrica creciente o decreciente. Tratase de anualidades constantes o uniformes pospagables o prepagables.

Los valores actuales y futuros de las anualidades (gradientes, perpetuidades) anticipadas (adelantadas) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicádolas por (1 + i), reiteramos, el VA o VF de las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período las pospagables.

1.2.3. Anualidades uniformes

Las anualidades de valor uniforme pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas (valoramos la renta en su origen o final), diferidas o anticipadas, enteras (cuota y tasa están en la misma unidad de tiempo) y fraccionadas.

En esta parte vamos a desarrollar anualidades constantes, unitarias, temporales, inmediatas y enteras, operando con el interés compuesto.

Las fórmulas de la [24] a la [32] son de aplicación para el cálculo de anualidades vencidas o pospagables.

(A) Factores para el cálculo del valor actual o inicial del capitaltc "(A) Factores para el cálculo del valor actual o inicial del capital"

Aplicando los conceptos del valor actual obtenemos los factores 3º y 4º, con los cuales actualizamos el flujo constante de la anualidad. Obtenemos el valor actual descontando a interés compuesto cada uno de los pagos o cuotas a la tasa i, desde donde está cada capital hasta el origen. Generalizamos lo expuesto mediante la siguiente ecuación:

Y lo representamos como:

Permite sumar n términos en progresión geométrica decreciente.

3º Factor de actualización de la serie (FAS)tc "3º Factor de actualización de la serie (FAS)"

Permite pasar de series uniformes a valor actual. Transforma series de pagos uniformes equivalentes a valor actual o valor actual neto (VAN).

En este caso tratamos de actualizar el valor de cada C desde el final de cada período. Una vez que los valores de C están con valores actuales procedemos a totalizar la suma.

Muy utilizada en operaciones financieras y comerciales para determinar la tasa de rendimiento y en ventas a plazos.
 
4º Factor de recuperación del capital

Transforma un stock inicial VA en un flujo constante o serie uniforme C. Conocido en el mundo de las finanzas como FRC, definido como el factor que transforma un valor presente a serie de pagos uniformes equivalentes.

 

Utilizado en operaciones de crédito y en la evaluación de proyectos.

Ejercicio 87 (FRC-Cuotas vencidas)

Una institución tiene programado llevar a cabo campañas de venta entre sus afiliados y asume, como monto contado el valor de UM 1,200, para su pago en 36 mensualidades constantes pospagables a 2.87% mensual. Calcular el valor de las cuotas mensuales.

Respuesta:

El valor pospagable de cada una de las 36 cuotas es UM 53.90.
 
(B) Factores para el cálculo del valor futuro o final del capital

En la solución de problemas de este tipo aplicamos en forma sucesiva la fórmula  del valor futuro, para lo cual es necesario hallar los montos parciales de cada C desde el momento de su abono hasta el final del período n. La primera C depositada a finales del primer período n se convierte . El exponente es n -1 porque la primera C capitaliza desde el inicio del 2º período. Como la última C es depositada al final del período n no gana intereses. Sin embargo, su monto es representado como

Generalizando, tenemos:

Representa la suma de n términos en progresión geométrica creciente, que lo calculamos con la siguiente ecuación:

5º Factor de capitalización de la serie (FCS)

Factor para pasar de series uniformes a valor futuro (Capitalización de una serie uniforme).  Transforma los pagos e ingresos uniformes a valor futuro único equivalente al final del período n. Este factor convierte pagos periódicos iguales de fin de período C, en valor futuro VF.

6º Factor de depósito del fondo de amortización (FDFA)

Factor utilizado para transformar stocks finales VF en flujos o series (depósitos) uniformes C. O también, transforma valores futuros del final del período n en valores uniformes equivalentes periódicos. Operando la ecuación [27], tenemos:

donde: 

Características:

1. Los fondos de amortización sólo sirven para el pago del capital.
2. La deuda permanece invariable hasta completar el fondo.

Para el cálculo del valor futuro de una serie de pagos iguales, un período después del último pago, empleamos la fórmula:

Ejercicio 88 (FCS - VF vencida)

Si mensualmente deposito UM 600 en un banco que paga el 18% de interés anual capitalizando trimestralmente. ¿Qué monto habré acumulado después de efectuar 48 abonos?.

Solución:

Resulta indiferente abonar UM 600 mensuales o UM 1,800 trimestrales, por cuanto el banco capitaliza los ahorros trimestralmente.

1º Calculamos el VF con la fórmula [27] o con la función financiera VF:

Respuesta:  

El monto de la inversión periódica después de 48 abonos es de UM 40,894.81 con ambos métodos.
 
Ejercicio 89 (FDFA - Cuota vencida)

Al objeto de acumular UM 10,000 en 90 días, efectuaremos 3 depósitos mensuales iguales en un banco que paga el 22.58% de tasa anual. Si el primer abono lo hacemos hoy día. ¿Cuál será el valor de dicho depósito?.

 
Respuesta:  

El valor del depósito es de UM 3,216.16 con ambos métodos.

1.2.4. Anualidades anticipadas o prepagables

Anticipar (Del lat. anticipare). Hacer que algo suceda antes del tiempo señalado o esperable o antes que otra cosa.

Aquellas anualidades valoradas anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final de la anualidad y el momento de valoración es el período de anticipación.

Reiteramos, que los valores actuales y futuros de las anualidades anticipadas (adelantadas) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i), es decir, el VA o VF de las anualidades prepagables son el resultado de actualizar o capitalizar con un período más las pospagables. Por esta razón los resultados (VA o VF) de las prepagables son siempre mayores que de las pospagables. Aplicable también a las funciones financieras de Excel, Tipo cero (0) o se omite, significa pago al final del período; tipo uno (1) significa pago al principio del período, que viene a ser lo mismo que multiplicar los resultados por (1+i).

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Cesar Aching Guzman

Diplomado ESAN en: Administración de Empresas [PADE] Mercadotecnia y Ventas [PADE]. Asesor independiente de empresas Investigador en finanzas, negocios y economía. Conferencista en temas financieros. Autor de libros sobre Matemáticas Financieras. http://es.geocities.com/cesaraching/  Pagina personal http://cesaraching.blogspot.com/

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