APLICACIONES FINANCIERAS DE EXCEL CON MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Autor: Cesar Aching Guzman

Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

09-2005

Descargar Original

Prólogo


La Guía Rápida, "APLICACIONES FINANCIERAS DE EXCEL -
Con Matemáticas Financieras", será de mucha utilidad para el
pequeño y microempresario, el ejecutivo de mercadotecnia y ventas,
el administrador de empresas, el hombre de negocios, los estudiantes
de Administración, Contabilidad, Economía, Ingeniería Económica
y para todas aquellas personas del entorno económico
hispanoamericano, que como decía Albert Einstein «....consideren el
estudio como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso
mundo del saber».
Inauguramos la serie de GUIAS RAPIDAS con este tema y el de
«PLANEAMIENTO Y DIRECCION ESTRATEGICA INTEGRADA,
seguidamente estaremos publicando «RATIOS FINANCIEROS CON
ARITMETICA DE LA MERCADOTECNIA» y «MATLAB» potente
herramienta de cálculo numérico y visualización gráfica, de uso muy
difundido entre los científicos y estudiantes de las ramas de ingeniería
y matemáticas aplicadas en las tareas de investigación; del autor Jorge
L. Aching Samatelo.
En la presente Guía, expongo las Matemáticas Financieras como: el
interés simple y compuesto, descuentos, valor del dinero en el tiempo,
flujos de caja uniformes y variables, anualidades y perpetuidades,
valor actual y valor futuro de una anualidad, la tasa de interés y sus
componentes, productos activos y pasivos del sistema financiero, letra
devuelta y de renovación, margen de utilidad del banco, amortización,
tabla de amortización, sistema de amortización francés y alemán entre
otros temas, los cuales son ilustrados con ejemplos y ejercicios de
nuestra realidad.
La revisión técnica de la obra estuvo a cargo de JORGE L. ACHING
SAMATELO, Ingeniero Electrónica de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos, autor de publicaciones en la Revista
ELECTRONICA - UNMSM, asesor en el desarrollo de proyectos de
software, Conferencista y docente sobre procesamiento de imágenes y


xii
Cursos de capacitación de programación, estudioso e investigador
sobre temas vinculados al procesamiento digital de imágenes,
programación y desarrollo de sistemas autónomos e INVESTIGADOR
INVITADO en el Instituto Peruano de Energía Nuclear (IPEN).
Finaliza la obra con las Funciones financieras de Excel, y las
respectivas fórmulas, un Glosario de términos económico financieros,
Ejercicios tipos resueltos aplicando funciones financieras de Excel,
Plantillas de la hoja de cálculo con cada una de las funciones tratadas
en la obra, Paquete: calculadora para fijar precios de venta.
César Aching Guzmán
Autor


13
Aplicaciones
Financieras de Excel con
Matemáticas Financieras
1. Introducción
No sabemos a ciencia cierta cuando aparecieron, pero de lo
que si estamos seguros es que la Matemática Financiera es
una derivación de las matemáticas aplicadas que estudia el
valor del dinero en el tiempo y que a través de una serie de
modelos matemáticos llamados criterios permiten tomar las
decisiones más adecuadas en los proyectos de inversión.
El lector debe establecer y analizar el concepto de Matemática
Financiera, así como sus principios y elementos básicos. Del
mismo modo, debe eslabonar el estudio de las matemáticas
financieras con la práctica empresarial.
Aquellos lectores interesados en profundizar en el estudio de
las matemáticas financieras, pueden adquirir la obra «MATE-
MATICAS FINANCIERAS Para Toma de Decisiones Empresa-
riales» 1 de mi autoría, en versión convencional o electrónica,
comunicarse a http://es.geocities.com/cesaraching/ o a
cesaraching@yahoo.es.
Para la solución de los ejemplos, casos y ejercicios aplicamos
en forma combinada las fórmulas y las funciones financieras
de Excel o simplemente la función, siguiendo un proceso bási-
co:
1º Identificación y ordenamiento de los datos,
2º Aplicación de la fórmula o fórmulas y,
3º Empleo de las funciones financieras de Excel.
Cuando operamos con porcentajes, lo hacemos en su expre-
sión decimal (0.20), por ejemplo 20% = 0.20 (20/100), que es
la forma correcta de trabajar con las fórmulas.
Los resultados de las operaciones lo expresamos generalmen-
te con cinco o cuatro decimales, en el caso de los factores o
índices. Las respuestas finales de los ejercicios vienen con dos
decimales. En ambos casos los resultados son redondeados
por exceso o por defecto.


14

Las funciones financieras más utilizadas en la obra son:
NPER(tasa;pago;va;vf;tipo);PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo);
TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar);VA(tasa;nper;pago;vf;tipo);
VF(tasa;nper;pago;va;tipo) y la opción Buscar Objetivo del
menú herramientas, entre otras.
2. Capitalización y descuento
Consideramos dos tipos de interés: el interés simple y el inte-
rés compuesto.
3. Interés Simple
Una operación financiera es a interés simple cuando el interés
es calculado sobre el capital (o principal) original y para el
período completo de la transacción. En otras palabras, no hay
capitalización de intereses.
Nomenclatura básica:
Símbolo Significando
VA Capital, principal, Valor Actual expresado en
unida- des monetarias
VF Capital más el interés, monto, Valor Futuro ex
presado en unidades monetarias
j Tasa nominal o la tasa de interés anual
t Número de años, tiempo,
m Número de capitalizaciones por año
n Número de períodos de composición
i Tasa periódica
TEA Tasa Efectiva Anual
VAN Valor Actual Neto
TIR Tasa Interna de Retorno
C Anualidad o cuota uniforme
VA Valor presente de una anualidad
VF Valor futuro de una anualidad
ia Tasa de interés anticipada
iv Tasa de interés vencida
UM Unidad Monetaria
3.1. Conceptos básicos
Los empresarios que obtienen dinero prestado tienen que pa-
gar un interés (I) al propietario o a la entidad financiera por
usar su dinero.


15

La cantidad prestada es el capital o principal (VA o P), la
suma de ambos (capital más interés) recibe el nombre de monto
(VF); el período de tiempo acordado para la devolución del
préstamo es el plazo (n).
El interés cobrado es proporcional tanto al capital como al
período del préstamo, está expresado por medio de una tasa
de interés (i). Para la teoría económica, el interés es el precio
del dinero.
Cuando sólo pagan intereses sobre el principal, es decir, so-
bre la totalidad del dinero prestado, se denomina interés sim-
ple.
Fórmula del interés simple:
El interés es el producto de los tres factores, capital (VA), tiem-
po (n) y tasa (i), así tenemos:
[1] I=VAni [1A] I = VF - VA

Que viene a ser la fórmula o ecuación para calcular el interés
simple.
EJERCICIO 1 (Calculando el interés simple)
Una Caja Rural, paga el 6% sobre los depósitos a plazos. Determinar
el pago anual por interés sobre un depósito de UM 18,000.
Solución:
VA = 18,000; n = 1; i = 0.06; I = ?
[1] I = 18,000*1*0.06 = UM 1,080
Respuesta:
La Caja Rural paga anualmente sobre este depósito la suma de UM
1,080.
EJERCICIO 2 (Préstamo a MYPES)
Un Banco obtiene fondos al costo de 12% y presta a los
microempresarios al 58.6% anual, ganándose así el 46.6% bruto. Si
los ingresos anuales que obtuvo de esta forma fueron de UM 500,000,
¿cuánto dinero prestó?


16

Solución
I = 500,000; n = 1; i = 0.466; VA = ?
[1] 500,000 = VA*1*0.466 despejamos VA:
VA = 500,000 = UM 1'072,961.37
0.466
Respuesta:
El Banco prestó UM 1'072,961.37
EJERCICIO 3 (Calculando el plazo de una inversión)
Una entidad financiera invirtió UM 250,000 al 17.6% en hipotecas
locales y ganó UM 22,000. Determinar el tiempo que estuvo invertido
el dinero.
Solución
VA = 250,000; I = 22,000; i = 0.176; n = ?
Despejamos n de la fórmula [1] I = VA*n*i
n = I
VAi sustituyendo las cantidades:
22,000
n = = 22,000 1 año
250,000*0.176 44,000 = 2
Respuesta:
El dinero estuvo invertido durante medio año.
EJERCICIO 4 (Calculando la tasa i de interés)
Si una empresa hipotecaria tiene invertido UM 320,000 durante 3½
años a interés simple y obtiene en total UM 146,250 de ingresos,
¿cuál es la tasa de interés?.
Solución
I = 146,250; VA = 320,000; n = 3.5; i = ?
Despejamos i de la fórmula [1] I = VA*n*i:
I
i = , sustituimos las cantidades conocidas:
VAn


17

146,250
i = = 0.13
320,000*3.5
Respuesta:
La empresa hipotecaria obtuvo el 13% sobre su inversión.
3.2. Monto
El monto es la suma obtenida añadiendo el interés al capital,
esto es:
MONTO = CAPITAL + INTERES
Reemplazando en [1] por sus respectivos símbolos, obtene-
mos la fórmula general para el monto:
[2] VF = VA(1+ni )
Fórmula para el monto (VF) a interés simple de un capital VA,
que devenga interés a la tasa i durante n años.
De donde:
VF
VF -1
[3] VA= [4] i= VA
(1+ni ) n
VF -1
VF-VA
[4A] i= [5] n = VA
VA i
4. Tipos de plazos de los intereses
Generalmente conocemos dos tipos de plazos:
a) Interés Comercial o Bancario. Presupone que un año tie
ne 360días y cada mes 30 días.
b) Interés Exacto . Tiene su base en el calendario natural: un
año 365 o 366 días, y el mes entre 28, 29, 30 o 31 días.
El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero au-
menta el interés cobrado por el acreedor, es de uso normal


18

por las entidades financieras.
La mayoría de ejercicios en la presente obra consideran el año
comercial; cuando utilicemos el calendario natural indicaremos
operar con el interés exacto.
EJERCICIO 5 (Interés Simple Comercial)
Jorge deposita UM 2,300, en una libreta de ahorros al 9% anual,
¿cuánto tendrá después de 9 meses?.
1º Expresamos la tasa en meses: 0.09/12 = 0.0075, mensual:
Solución:
VA = 2,300; i = 0.0075; n = 9; VF = ?
2º Aplicamos la fórmula [2] y Excel:
[2] VF = 2,300 [1 + (0.0075*9)] = UM 2,455.25
A B C
1 VA 2,300 Fórmula
2 i 0.0075
3 n 9
4 VF 2,455.25 =B1*(1+(B2*B3))
5 I 155 =B4-B1
Respuesta:
El valor futuro es UM 2,455.25
EJERCICIO 6 (Interés Simple Exacto)
Un pequeño empresario, con utilidades por UM 5,000 los deposita
en una libreta de ahorros en un banco al 9.7% anual. Calcular cuanto
tendrá al final de 8 meses.
1º Expresamos el plazo en años: (8 meses por 30 días = 240 días)
240/365 = 0.6575 años
Solución:
VA = 5,000; i = 0.097; n = 0.6575; VF = ?
2º Aplicamos la fórmula (2) y Excel:
[2] VF = 5,000 *[1 + (0.097*0.6575)] = UM 5,318.89


19

A B C
1 VA 5,000 Fórmula
2 i 0.0970
3 n 0.6575
4 VF 5,318.89 =B1*(1+(B2*B3))
Respuesta:
El pequeño empresario tendrá al final de los 8 meses UM 5,318.89
5. Descuentos
Es una operación de crédito llevada a cabo principalmente en
instituciones bancarias y consiste en que estas adquieren le-
tras de cambio, pagarés, facturas, etc. de cuyo valor nominal
descuentan una suma equivalente a los intereses que deven-
garía el documento entre la fecha recibida y la fecha de venci-
miento. Anticipan el valor actual del documento.
La formula para el cálculo del descuento es:
[6] D=VNnd
donde:
D = descuento
VF o VN = valor del pagaré o documento (monto), valor no-
minal
d = tasa de descuento
n = número de períodos hasta el vencimiento del
pagaré
Otras fórmulas del descuento:
Despejando de la fórmula [6] tenemos:
[7] VN = VA + D
[8] VA = VN - D
[9] D = VN - VA
Sustituimos el valor de VF en la formula [6]:
D =[VA + D]n*d
D =VAbd + Dnd y pasando el segundo termino tenemos D-


20

Dnd = VAnd

D(1 - dt) = VAnd por lo cual:
VAnd
[10] D = (1-nd )
EJERCICIO 7 (Pagaré)
Tenemos un pagaré por UM 185,000, girado el 15/09/03 y con
vencimiento al 15/11/03, con una tasa de descuento de 50% anual.
Determinar el descuento y el valor actual del documento.
Solución:
VN = 185,000; n = 2 meses; d = (0.50/12) = 0.0417; D = ?; VA
= ?
[6] D=185,000×2×0.041666= UM 15,416.64

[8] VA = 185,000 - 15,416.67 = UM 169,583.33
Respuesta:
El descuento es de UM 15,416.64 y el valor actual del documento es
de UM 169,583.33.
EJERCICIO 8 (Descuento de pagaré)
Una empresa descuenta un pagaré y recibe UM 20,000. Si la tasa de
descuento es del 66% anual y el vencimiento es en tres meses después
del descuento. ¿Cuál era el valor nominal del documento en la fecha
de vencimiento?.
Solución:
VA = 20,000; d = (0.66/12) = 0.055; n = 3; VF = ?
20,000×3×0.055
[10] D = = UM 3,300
(1 - 3×0.055)
[7] VF = 20,000 + 3,300 = UM 23,300
Respuesta:
El valor nominal (VF) del documento en la fecha de vencimiento es
UM 23,300.



EJERCICIO 9 (Descuento de letra)
Una empresa descuenta una letra por la cual recibe UM 2,520. Si la
tasa de descuento es de 66% y el valor nominal de UM 2,950. ¿Cuánto
tiempo faltaba para el vencimiento de la obligación?.
Solución:
VN = 2,950; VA = 2,520; d = (0.66/12) = 0.055; D = ?
[9] D = 2,950 - 2,520 = UM 430.00
Despejando n de la fórmula (6) D = VN *n*i obtenemos:
430
n = =2.6502 meses 0.6502*30 = 19.51 días
2,950×0.055
Respuesta:
Faltaba para el vencimiento 2 meses y 20 días.
6. Valor del dinero en el tiempo
El tiempo (plazo) es fundamental a la hora de establecer el
valor de un capital.
Una unidad monetaria hoy vale más que una unidad moneta-
ria a ser recibida en el futuro. Una UM disponible hoy puede
invertirse ganando una tasa de interés con un rendimiento
mayor a una UM en el futuro. Las matemáticas del valor del
dinero en el tiempo cuantifican el valor de una UM a través del
tiempo. Esto, depende de la tasa de rentabilidad o tasa de
interés que pueda lograrse en la inversión.
El valor del dinero en el tiempo tiene aplicaciones en muchas
áreas de las finanzas el presupuesto, la valoración de bonos y
la valoración accionaria. Por ejemplo, un bono paga intereses
periódicamente hasta que el valor nominal del mismo es re-
embolsado.
Los conceptos de valor del dinero en el tiempo están agrupa-
dos en dos áreas: el valor futuro y valor actual. El valor futuro
(VF - Capitalización) describe el proceso de crecimiento de una
inversión a futuro a una tasa de interés y en un período dado.
El valor actual (VA - Actualización) describe el proceso de un
flujo de dinero futuro que a una tasa de descuento y en un
período representa UM de hoy.

6.1. Valor futuro de un flujo único
El valor futuro de un flujo único representa la cantidad futu-
ra, de una inversión efectuada hoy y que crecerá si invertimos
a una tasa de interés específica. Por ejemplo, si el día de hoy
depositamos UM 100 en una libreta de ahorros que paga una
tasa de interés de 9% compuesto anualmente, esta inversión
crecerá a UM 109 en un año. Esto puede mostrarse como si-
gue:
Año 1:UM 100(1 + 0.09) = UM 109
Al final de dos años, la inversión inicial habrá crecido a UM
118.81. Como vemos la inversión ganó UM 9.81 de interés
durante el segundo año y sólo ganó UM 9 de interés durante
el primer año. Así, en el segundo año, ganó no sólo interés la
inversión inicial de UM 100 sino también los UM 9 al final del
primer año. Esto sucede porque es una tasa de interés com-
puesta.
6.2. El Interés compuesto
El interés compuesto es una fórmula exponencial y en todas
las fórmulas derivadas de ella debemos operar únicamente
con la tasa efectiva. La tasa periódica tiene la característica de
ser a la vez efectiva y nominal, ésta tasa es la que debemos
utilizar en las fórmulas del interés compuesto.
Con el interés compuesto, pagamos o ganamos no solo sobre
el capital inicial sino también sobre el interés acumulado, en
contraste con el interés simple que sólo paga o gana intereses
sobre el capital inicial.
Una operación financiera es a interés compuesto cuando el
plazo completo de la operación (por ejemplo un año) está divi-
dido en períodos regulares (por ejemplo un mes) y el interés
devengado al final de cada uno de ellos es agregado al capital
existente al inicio. Así, el interés ganado en cada período per-
cibirá intereses en los periodos sucesivos hasta el final del
plazo completo. Su aplicación produce intereses sobre intere-
ses, conocido como: la capitalización del valor del dinero en el
tiempo.
La tasa de interés en el ejemplo anterior es 9% compuesto
anualmente. Esto significa que el interés paga anualmente.
Así tenemos que en nuestra libreta de ahorros al final del pri-


mer año tendremos UM 109 (el principal más los intereses),
en el segundo año este saldo aumenta en 9%. Arrojando al
final del segundo año un saldo de UM 118.81 que puede com-
putarse como sigue:
Año 2 (09 (1+0.09)) = 118.81 ó
100 (1+0.09)(1+0.09) = 118.81 ó
100 (1+0.09)2 = 118.81
Y así sucesivamente:
Año 3 (118.81(1+0.09)) = 129.50 ó
100 (1+0.09) (1+0.09) (1+0.09) = 129.50 ó
100 (1+0.09)3 = 129.50
Como vemos, un modelo matemático va manifestándose con
mucha nitidez. El Valor Futuro de una inversión inicial a una
tasa de interés dada compuesta anualmente en un período
futuro es calculado mediante la siguiente expresión:
[11] VF =VA(1+i)n
Que no es otra cosa, que la fórmula general del interés com-
puesto para el período n de composición. En las matemáticas
financieras es fundamental el empleo de la fórmula general
del interés compuesto para la evaluación y análisis de los flu-
jos de dinero.
Las ecuaciones derivadas de la fórmula [11] (para inversión y
recuperación en un sólo pago) son:
VF
VF log
[12] VA = [13] i = n VF -1 VA
(1+i )n [14] n =
VA log(1+i )
[15] I =VA (1+i ) -1
n [16] I = VF - VA
El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma
unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el plazo debe
ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en me-
ses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o vice-
versa.


Referencias bibliográficas

1. Ayres Franh, Jr. (1971). Serie de Compendio Schaum, Teoría y
Problemas de Matemáticas Financieras. Libros McGraw-Hill -
México
2. Aching Guzmán César. (2004). Matemáticas Financieras para
Toma de Decisiones Empresariales. Prociencia y Cultura S.A. -
Perú
3. Biblioteca de Consulta Microsoft, Encarta 2003. © 1993-2002
Microsoft Corporation.
4. Blank T. Leland y Tarquin J. Anthony. (1999). Ingeniería Econó-
mica - IV Edición. Editora Emma Ariza H. - Colombia
5. Dodge Mark, Stinson Craig. (1999). Running Microsoft Excel 2000,
Guía Completa. McGraw Hill - México
6. Glosario. (2005). Disponible en http://www.worldbank.org - Glo-
sario
7. Lyman C. Peck. (1970). Matemáticas para Directivos de Empresa
y Economistas. Ediciones Pirámide S.A. - Madrid
8. Mizrahi Sullivan. (1985). Cálculo con Aplicaciones a la Adminis-
tración, Economía y Biología. UTEHA - México
9. Moore J.H. (1972). Manual de Matemáticas Financieras. UTEHA -
México
10. Pareja Velez, Ignacio. (2005). Decisiones de Inversión. Disponible
en http://sigma.poligran.edu.co/politecnico/apoyo/Decisiones/
libro_on_line/contenido.html
11. Parkin Michael. (1995). Macroeconomía. Addison - Wesley Ibero-
americana S.A. Wilmington, Delaware, E.U.A.
12. Parkin Michael. (1995). Microeconomía. Addison - Wesley Ibero
americana S.A. Wilmington, Delaware, E.U.A.
13. Sabino Carlos, (2005). Diccionario de Economía y Finanzas. Dis-
ponible en http://www.eumed.net/cursecon/dic/
14. Springer, Herlihy y Beggs. (1972). Matemáticas Básicas, Serie de
Matemáticas para la Dirección de Negocios. UTEHA - México
15. Van Horne, James C. (1995). Administración Financiera. Décima
Edición. Editorial Prentice Hall, México


 

Nota: Es probable que en esta página web no aparezcan todos los elementos del presente documento.  Para tenerlo completo y en su formato original recomendamos descargarlo desde el menú en la parte superior

Cesar Aching Guzman

Diplomado ESAN en: Administración de Empresas [PADE] Mercadotecnia y Ventas [PADE]. Asesor independiente de empresas Investigador en finanzas, negocios y economía. Conferencista en temas financieros. Autor de libros sobre Matemáticas Financieras. http://es.geocities.com/cesaraching/  Pagina personal http://cesaraching.blogspot.com/

cesar_achingarrobahotmail.com