DESAFÍOS DE ESTADÍSTICA DOS

Autor: David Palomo

Evaluación de proyectos y economía matemática

05-07-2005

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Desafío N°1
Se tiene la siguiente función de densidad:

alnx ; 1< x <t
f(x;a)=
0 ; T.O.P.

y se tiene la siguiente m.a.s.:
x = {2,8; 2,3; 4.01; 3,81;1,8; 2,9}
Se pide:

I. Estimar el parámetro a, por método de máxima verosimilitud.
II. Posterior a la estimación del parámetro a, calcular P( x 3) y P(x > E(x)).

I. Al tratar de estimar el parámetro, podemos ver que:

n
L(a )=an* ln xi , resolviendo:
i=1

10 6
L(a)=a10* ln xi / ln lnL(a)=10lna + lnln xi
i=1 i=1
lnL(a) 10
= +0 =0 10 =0
a a

Por lo cual debemos establecer otro criterio para estimar el valor del parámetro a, ya que MMV, no reporta información, lo cual nos hace
pensar que para que la función de verosimilitud sea máxima, el parámetro a, debe alcanzar un máximo, por ende a = máx{xi}, si nos
^
dejamos llevar por este criterio, tenemos que ir al rango de la variable x y ver que el máximo valor que alcanza o cota superior es t , valor
por ende desconocido. Con lo cual el valor del parámetro en cuestión estará en función de la cota superior del rango de x que es t , por lo
tanto debemos buscar la forma de que estos parámetros se conecten con el fin de encontrar una manera de mezclarlos y estimar a. La
forma en que relacionaremos estos 2 parámetros será a través de un sistema de ecuaciones que relaciona la esperanza y la integral en todo el
recorrido de la función de distribución que resulta una probabilidad del 100%. Esto es:

3)


1 1,8 0,258015997 3,875728685 12182461,5446006000 5,0223121123
2 2,3 0,615690983 1,624191401 2035,0423249340 2,1046870952
3 2,8 1,082934368 0,923416995 7,1809186940 1,1965977848
4 2,9 1,187661137 0,84199101 2,8528301781 1,0910829910
5 3,81 2,286367211 0,437375062 0,0040807646 0,5667667293
6 4,01 2,559052878 0,390769573 0,0013225399 0,5063736187
7 5,8 5,395575922 0,185337027 0,0000007618 0,2401665522
8 6,7 7,044120427 0,141962366 0,0000000530 0,1839600670
9 8,8 11,33781515 0,088200415 0,0000000005 0,1142933492
10 9 11,7750212 0,084925537 0,0000000003 0,1100496419






Con lo cual podemos resumir que el valor a tomar t como cota superior de la variable será, 4.01, ya ahí alcanza un máximo o tope de
aumentos decreciente de 0.0013225399 y además se puede ver que la probabilidad que se alcanza en la pregunta en el ítem siguiente genera
un máximo de 0.506373, que se va alejando o decreciendo a medida que la muestra alcanza números mayores o la cota es sobrepasada.

Entonces estimando el parámetro aa partir de este criterio queda como sigue:

1 1
a =
^ a =
^ a =0.390769573
^
t lnt -t +1 4.01 -ln4.01+1

Nota: La estimación de este parámetro, no se puede llevar por medio del método de los momentos debido a que al
tratar de calcular su E( x) a través de la definición para variables continuas, nos encontramos que el parámetro
a, queda en función de otro parámetro asociado que es el parámetro t , es por eso que se opta por MMV, el cual no
presenta información, pero se adopta un criterio que viene asociado a la definición de MV, pero a partir de una

característica ppia de las variables continuas, que implica que: f( x; )= 1. Es por esa razón que se llevan a
-
cabo sistemas de ecuaciones con esperanza y una propiedad de las dist. Continuas a fin de que la esperanza se
eliminase.

II. Posterior a la estimación del parámetro a, calcular P( x 3), P(x > E(x)) .

Como ya está estimado el valor de a, entonces la debemos plantear, como es una variable continua, la probabilidad queda como:

P(x 3) = 1 - P(x 3)= 1 - 0.39076957 3lnxdx = 1 -0.39076957 3* [xlnx ]3 [x]3
3

-
1 1

1
1 - (0.39076957 3* (3ln 3 - 2))= 1 - 0,50637361 87 = 0,49362638 13

Para la segunda probabilidad, se debe calcular la esperanza poblacional de la distribución lo cual queda como:

du
4.01 4.01 u = lnx / y dv = xdx/
dx
E( x) = x0.390769573lnxdx 0.390769573 xlnxdx, si hacemos
dx x2
1 1 du = v =
x 2
Entonces podremos integrar por partes (regla de la vaca), quedando: 0.39x2

ln x4.01 4.01 2 dx

2 - x
2 x
1

1

4.012
0.39

ln(4.01)-
0.394.012 -1 E( x)= 2.890103 E( x)= 2.9
2 4

2.9 2.9
dx
Luego: P( x > E( x))= P( x > 2.9)= 1- P( x 2.9)= 1- 0.39lnxdx 1-0.39[xlnx]2.9
1 -0.39 x x

1 1
1-(0.39* 2.9ln2.9 -0.39(2.9 -1))=1-0.463187843 =0.536812156 0.54 P( x >(Ex ))=0.54


Nota: La regla de la INTEGRACIÓN POR PARTE se puede resumir en:
b b b
f ( x)* g( x)dx =[uv]b vdu, dde : u = f(x); v = g(x);du = f(x)dx, para elegir que parte de las funciones será
-
a
a a a
u o v , debe seguirse el criterio LIATE, en donde L(logarítmicas), I(inversas), A(algebraicas), T(trigonométricas) y (Exponenciales) que debe
ser elegido en ese orden en que vayan apareciendo las funciones y la 1° que aparezca dentro de la integral será u, la siguiente será dv . El
criterio "LIATE" y la "INTEGRACIÓN POR PARTE", asegura que la parte a integrar sea más fácil que lo que era en un ppio producto de
la función original que era un producto de funciones elementales.

Desafío N°2
Se define una variable que representa el número de piezas defectuosas en una producción de una empresa, en promedio, diariamente
durante las semanas de operación de una línea de producto.
Se selecciona una muestra al azar del total de número de piezas defectuosas, en una semana observada (7 días), tal como se muestra a
continuación: x = {5,7,9,8,2,5,6}

Se pide:

I. Encontrar la ley de probabilidad que rige a este enunciado.

La ley de probabilidad que corresponde a este enunciado, es una distribución de Poisson.
Sea: x~P()

II. Intervalo de confianza para E( x ) al 95% de confianza, (que se puede hacer de 2 maneras: chicuadrado o TCL(pista para uso de TCL,
si x~ P() >5 x N(µ = ;2 =) )

1° Forma:

Es llevando la función de distribución de Poisson, a una gamma (a partir de su función de verosimilitud de la Poisson) y luego a una
chicuadrado, en donde esta chicuadrado dependerá del parámetro , que es su esperanza y luego despejarlo.

Entonces comenzamos por la forma de la función de distribución:

e-x
x ~ P()= x!

7
xi
e-7i =1
L()= e-742
7 1,53* 1021
xi!
i=1

Con ello podemos ver que la función, Gamma haciendo el cambio de la variable x, por x =queda como:

-
-1e -
() , entonces se puede notar que e =e-7 - =-7 =1 / 7 y 42 =-1 =43
; = ) 43-1e (1/ 7) (43)(1 / 7)43
1 * ,
7 (43)(1/ 7)43 1,53* 1021
Nota: (43)(1/7)43 , es un factor que busca mantener la forma de lo original de la Poisson, ya que la idea es buscar
1,53*1021
los valores de y para llevar a cabo la construcción del pivote chicuadrado.

1
Al formar esta dist. G(; =43; = ), debemos recordar el teorema que dice lo siguiente:
7
2x 2 1 2
, pero como = x, = y =43 =14
2 7 86
Entonces:
P86;0.025 <14 < 86;0.975 =0.95
2 2

P(62,23863<14 <113,5436 )=0.95 P(4,445617 < <8,110256 )=0.95
P(4,45 < E( x)<8,11)

2° Forma: En esta, lo que se ocupa es la convergencia de la Poisson a una estandarización de la normal y esto ocurre cuando el valor del
parámetro >5, en donde P() N(µ = ;2 = ), en este caso, como , es desconocido, su estimación se llevara a cabo por
MMV que, su estimador es el promedio.


PMMV = x =6 P() N(µ = ;2 = ), con lo cual se puede llevar a una normal, pero la convergencia
^
corresponde como si existiera solo un dato de la muestra, cosa que no corresponde, ya que existen 7 datos, entonces, llevaremos esta Poisson
tcl
a normal por TCL, lo que implica que x Nµ = ;2 =
lo cual corresponde a un pivote, como
n
sigue: Z = x - n N(0,1).


Entonces reemplazando los datos, de la muestra y la estimación de PMMV, se podrá despejar = E( x), en un intervalo de 95% de
confianza.

P(-1,96 < - 7 <1,96)=0,95 P(-1,96
6 6 6
-6 <- <1,96 -6 )=0,95
6 7 7
P(-7,81461<- <-4,18539)=0,95 /* -1 P(4,18539 < <7.81461)=0,95
P(4,18539 < E( x)<7.81461)=0,95

III. Determinar la mejor región critica (Neyman-Pearson), para las siguientes hipótesis:

H 0 : E ( x) = 6 v / s H 1 : E ( x) 6 , = 0 .05 y m .a .s . anterior.

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David Palomo

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