Qué es una distribución binomial?

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09-2002

Una distribución de probabilidad ampliamente utilizada de una variable aleatoria discreta es la distribución binomial. Esta describe varios procesos de interés para los administradores.

Describe datos discretos, resultantes de un experimento denominado proceso de Bernoulli en honor del matemático suizo Jacob Bernoulli, quien vivió en el siglo XVII.

Empleo del proceso de Bernoulli.

Podemos servirnos de los resultados de un número fijo de lanzamientos de una moneda como ejemplo de un proceso de Bernoulli. Este proceso lo describimos así:

1. Cada ensayo ( cada lanzamiento, en nuestro caso) tiene sólo dos resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso.

2. La probabilidad del resultado de cualquier ensayo (lanzamiento) permanece fija con el tiempo. Tratándose de una moneda la probabilidad de que salga de el lado A sigue siendo de 0.5 en cada lanzamiento, cualquiera que sea el número de veces que la moneda sea arrojada.

3. Los ensayos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta al de cualquier otro lanzamiento.

Cada proceso de Bernoulli tiene su propia probabilidad característica. Pongamos el caso en que siete décimas partes de las personas que solicitaron cierto tipo de empleo pasaron la prueba. Diremos entonces que la probabilidad característica fue de 0.7 pero podemos describir los resultados de la prueba como un proceso de Bernoulli sólo si tenemos la seguridad de que la proporción de los que fueron aprobados permaneció constante con el tiempo.

Des de luego, la otra característica del proceso de Bernoulli también deberá ser satisfecha. Cada prueba deberá arrojar tan sólo dos resultados (éxito o fracaso= y los resultados de las pruebas habrán de ser estadísticamente independientes.

En un lenguaje más formal, el símbolo p representa la probabilidad de un éxito y el símbolo q ( 1- p ) representa la probabilidad de un fracaso. Para representar cierto número de éxitos, utilizaremos el símbolo r y para simbolizar el número total de ensayos emplearemos el símbolo n.

Entonces tenemos que :

P

Probabilidad de éxito.

Q

Probabilidad de fracaso.

r

Número de éxitos deseados.

n

Número de ensayos efectuados.

Existe una fórmula binomial:

Probabilidad de r éxitos en n  ensayos es :

N! / R! (N-R)! PR QN-R

Recordemos que el símbolo factorial! Significa por ejemplo que es 3! = 3*2*1 = 6

Los matemáticos definen 0! = 1.

La distribución binomial se puede expresar de forma gráfica,

imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo. Cinco alumnos están en el jardín de niños. La directora lleva tiempo estudiando el problema, habiendo llegado a la conclusión de que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumno llegue tarde y de que los alumnos lleguen independientemente uno de otro ¿Cómo trazamos una distribución binomial de probabilidad que ilustre las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 estudiantes lleguen tarde simultáneamente? Para hacerlo necesitaremos utilizar la fórmula binomial donde :

P= 0.4

Q= 0.6

N= 5

Realicemos el cálculo de cada valor de R:

Para R= 0 obtenemos que :

P(0) = 5!/ 0!(5-0)! (0.4 )0 (0.6)5

P(0) = 0.07776

Para R= 1 obtenemos que :

P(1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 )1 (0.6)4

P(1) = 0.2592

Para R=2 obtenemos que:

P(2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 )2 (0.6)3

P(2) = 0.3456

Para R= 3 obtenemos que :

P(3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 )3 (0.6)2

P(3) = 0.2304

Para R= 4 obtenemos que :

P(4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 )4 (0.6)1

P(4) = 0.0768

Para R= 5 obtenemos que :

P(5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 )5 (0.6)0

P(5) = 0.01024

Representando estos resultados en una gráfica:

Medidas de tendencia central y de dispersión para la distribución binomial.

La distribución binomial tiene un valor esperado o media ( m ) y una desviación estándar ( s ) y deberemos ser capaces de calcular esas dos medidas estadísticas.

Podemos representar la media de una distribución binomial de la siguiente forma:

m = n p

donde :

n= número de ensayos.

P= probabilidad de éxitos.

Y la desviación de la siguiente forma:

s = Ö npq

donde :

n= número de ensayos.

P= probabilidad de éxito.

Q= probabilidad de fracaso.

Ejemplo:

Una máquina empaquetadora que produce 20% de paquetes defectuosos. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 paquetes, podremos calcular la media y la desviación estándar de la distribución binomial de ese proceso en la forma que sigue:

m = np

= 10*0.2

= 2 Media

s = Ö npq

=  Ö (10) (0.2) (0.8)

= Ö 1.6

= 1.265 Desviación estándar.

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