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OriginalRESUMEN
El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de
información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM
expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que
limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el
proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben
realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica
se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad.
Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta
cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que
el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica
estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.
INTRODUCCIÓN
Los proyectos en gran escala por una sola vez han existido desde tiempos
antiguos; este hecho lo atestigua la construcción de las pirámides de Egipto y
los acueductos de Roma. Pero sólo desde hace poco se han analizado por parte de
los investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos
proyectos.
El problema de la administración de proyectos surgió con el proyecto de
armamentos del Polaris, empezando 1958. Con tantas componentes y subcomponentes
juntos producidos por diversos fabricantes, se necesitaba una nueva herramienta
para programar y controlar el proyecto. El PERT (evaluación de programa y
técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina Naval de
Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de
Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta
utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector
privado.
Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC
de la Remington Rand, desarrolló el método de la ruta crítica (CPM) para
controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicas de DuPont. El CPM es
idéntico al PERT en concepto y metodología. La diferencia principal entre ellos
es simplemente el método por medio del cual se realizan estimados de tiempo para
las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las actividades son
determinísticos. Con PERT, los tiempos de las actividades son probabilísticos o
estocásticos.
El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de
información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone
la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la
duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice
pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra
parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo
se retarda en la misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica
tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y
permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM
identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.
El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las
actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos
hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del
proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la
flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no
críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos
problemas.
Finalmente, el PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y
monitorear el progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en
éste y su importancia en la terminación del proyecto se manifiesta
inmediatamente para el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica,
permiten por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención, debido a que
la terminación del proyecto, depende fuertemente de ellas. Las actividades no
críticas se manipularan y remplazaran en respuesta a la disponibilidad de
recursos.
Antecedentes.
Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método PERT
(Program Evaluation and Review Technique) desarrollo por la Armada de los
Estados Unidos de América, en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de
las diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales, por la
necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo
disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto
Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial.
El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método
actual, fue desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por
un centro de investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand,
buscando el control y la optimización de los costos de operación mediante la
planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto.
Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para
formar el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos
de ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea
ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible.
Definición.
El método del camino crítico es un proceso administrativo de planeación,
programación, ejecución y control de todas y cada una de las actividades
componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y
al costo óptimo.
Usos.
El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran
flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener
los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes
características:
a. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su
totalidad.
b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo
mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico.
c. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un
tiempo disponible.
Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la
planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de presas,
apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios,
reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización,
estudios económicos regionales, auditorías, planeación de carreras
universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de
fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de
población, etc., etc.
DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM
Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y CPM es la
manera en que se realizan los estimados de tiempo. E1 PERT supone que el tiempo
para realizar cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por
una distribución de probabilidad. E1 CPM por otra parte, infiere que los tiempos
de las actividades se conocen en forma determinísticas y se pueden variar
cambiando el nivel de recursos utilizados.
La distribución de tiempo que supone el PERT para una actividad es una
distribución beta. La distribución para cualquier actividad se define por tres
estimados:
(1) el estimado de tiempo más probable, m;
(2) el estimado de tiempo más optimista, a; y
(3) el estimado de tiempo más pesimista, b.
La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. E1 tiempo
más probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones
normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la
incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo,
disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.
Con la distribución definida, la media (esperada) y la desviación
estándar, respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede
calcularse por medio de las fórmulas de aproximación.
El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos
los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica. De modo similar,
suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son
independientes (realísticamente, una suposición fuertemente cuestionable), la
varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta
crítica. Estas propiedades se demostrarán posteriormente.
En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos
se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad se conocen. A medida
que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear
el progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por
lograr que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación de
recursos.
Metodología.
El Método del Camino Critico consta de dos ciclos:
1. Planeación y Programación.
1.1.- Definición del proyecto
1.2.- Lista de Actividades
1.3.- Matriz de Secuencias
1.4.- Matriz de Tiempos
1.5.- Red de Actividades
1.6.- Costos y pendientes
1.7.- Compresión de la red
1.8.- Limitaciones de tiempo, de recursos y económicos
1.9.- Matriz de elasticidad
1.10.- Probabilidad de retraso
2. Ejecución y Control.
2.1.- Aprobación del proyecto
2.2.- Ordenes de trabajo
2.3.- Gráficas de control
2.4.- Reportes y análisis de los avances
2.5.- Toma de decisiones y ajustes
Definición del Proyecto
En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y
claros de lo que se va a ejecutar, de su finalidad, viabilidad, elementos
disponibles, capacidad financiera, etc. Esta etapa aunque esencial para la
ejecución del proyecto no forma parte del método. Es una etapa previa que se
debe desarrollar separadamente y para la cual también puede utilizarse el Método
del Camino Critico. Es una investigación de objetivos, métodos y elementos
viables y disponibles.
Lista de Actividades
Es la relación de actividades físicas o mentales que forman procesos
interrelacionados en un proyecto total. En general esta información es obtenida
de las personas que intervendrán en la ejecución del proyecto, de acuerdo con la
asignación de responsabilidades y nombramientos realizados en la Definición del
Proyecto.
Las actividades pueden ser físicas o mentales, como construcciones,
tramites, estudios, inspecciones, dibujos, etc. En términos generales, se
considera Actividad a la serie de operaciones realizadas por una persona o grupo
de personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos determinables de
iniciación y terminación. Esta lista de actividades sirve de base a las personas
responsables de cada proceso para que elaboren sus presupuestos de ejecución.
Ejemplo:
a. Jefes de mantenimiento y producción.
1. Elaboración del proyecto parcial de ampliación.
2. Calculo del costo y preparación de presupuestos.
3. Aprobación del proyecto.
4. Desempaque de las maquinas nuevas.
5. Colocación de las maquinas viejas y nuevas.
6. Instalación de las maquinas.
7. Pruebas generales.
8. Arranque general.
9. Revisión y limpieza de maquinas viejas.
10. Pintura de maquinas viejas.
11. Pintura y limpieza del edificio.
b. Ingeniero electricista.
12. Elaboración del proyecto eléctrico.
13. Calculo de los costos y presupuestos.
14. Aprobación del proyecto.
15. Instalación de un transformador nuevo.
16. Instalación de nuevo alumbrado.
17. Instalación de interruptores y arrancadores.
c. Ingeniero contratista.
18. Elaboración del proyecto de obra muerta.
19. Cálculo de los costos y presupuestos.
20. Aprobación del proyecto.
21. Cimentación de las máquinas.
22. Pisos nuevos.
23. Colocación de ventanas nuevas.
Esta es una lista de los responsables en un proyecto de ampliación de
una fabrica.
Matriz de Secuencias
Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las actividades:
a.- Por antecedentes
b.- Por secuencias.
Por antecedentes, se les preguntará a los responsables de los procesos
cuales actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que
aparecen en la lista. Debe tenerse especial cuidado que todas y cada una de las
actividades tenga por lo menos una antecedente excepto en el caso de ser
actividades iniciales, en cuyo caso su antecedente será cero(0).
En el segundo procedimiento se preguntara a los responsables de la
ejecución, cuales actividades deben hacerse al terminar cada una de las que
aparecen en la lista. Para este efecto debemos presentar la matriz de secuencias
iniciando con la actividad cero(0) que servira para indicar solamente el punto
de partida de las demás. La información debe tomarse una por una de las
actividades listadas, sin pasar por alto ninguna de ellas.
En la columna de "anotaciones" el programador hara todas las
indicaciones que le ayuden a aclarar situaciones de secuencias y presentación de
la red. Estas anotaciones se hacen a discreción, ya que esta matriz es solamente
un papel de trabajo.
Si se hace una matriz de antecedentes es necesario hacer después una
matriz de secuencias, pues es ésta última la que se utiliza para dibujar la red.
Esta matriz no es definitiva, porque generalmente se hacen ajustes posteriores
en relación con la existencia y disponibilidades de materiales, mano de obra y
otras limitaciones de ejecución.
Matriz de Secuencias
Matriz de Tiempos
En el estudio de tiempos se requieren tres cantidades estimadas por los
responsables de los procesos: El tiempo medio (M), el tiempo óptimo (o) y el
tiempo pésimo (p).
El tiempo medio (M) es el tiempo normal que se necesita para la
ejecución de las actividades, basado en la experiencia personal del informador.
El tiempo óptimo (o) es el que representa el tiempo mínimo posible sin importar
el costo o cuantía de elementos materiales y humanos que se requieran; es
simplemente la posibilidad física de realizar la actividad en el menor tiempo.
El tiempo pésimo (p) es un tiempo excepcionalmente grande que pudiera
presentarse ocasionalmente como consecuencia de accidentes, falta de
suministros, retardos involuntarios, causas no previstas, etc. Debe contarse
sólo el tiempo en que se ponga remedio al problema presentado y no debe contar
el tiempo ocioso.
Se puede medir el tiempo en minutos, horas, días, semanas, meses y años,
con la condición de que se tenga la misma medida para todo el proyecto. Los
tiempos anteriores servirán para promediarlos mediante la fórmula PERT
obteniendo un tiempo resultante llamado estándar (t) que recibe la influencia
del optimo y del pésimo a la vez.
Esto es, tiempo estándar igual al tiempo optimo, más cuatro veces el
tiempo medio, más el tiempo pésimo, y esta suma dividida entre seis(6). Esta
fórmula está calculada para darle al tiempo medio una proporción mayor que los
tiempos optimo y pésimo que influyen. Esta proporción es de cuatro(4) a seis(6).
Matriz de Tiempos
Tanto la matriz de secuencias como la matriz de tiempos se reunen en una
sola llamada matriz de información, que sirve para construir la red medida.
Matriz de información
Red de Actividades
Se llama red la representación gráfica de las actividades que muestran
sus eventos, secuencias, interrelaciones y el camino critico. No solamente se
llama camino critico al método sino también a la serie de actividades contadas
desde la iniciación del proyecto hasta su terminación, que no tienen
flexibilidad en su tiempo de ejecución, por lo que cualquier retraso que
sufriera alguna de las actividades de la serie provocaría un retraso en todo el
proyecto.
Desde otro punto de vista, camino critico es la serie de actividades que
indica la duración total del proyecto. Cada una de las actividades se representa
por una flecha que empieza en un evento y termina en otro.
Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una actividad.
Se determina en un tiempo variable entre el más temprano y el más tardío
posible, de iniciación o de terminación.
A los eventos se les conoce también con los nombres de nodos.
Evento
Evento
I
j
El evento inicial se llama i y el evento final se denomina j. El evento final
de una actividad será el evento inicial de la actividad siguiente.
Las flechas no son vectores, escalares ni representan medida alguna. No
interesa la forma de las flechas, ya que se dibujarán de acuerdo con las
necesidades y comodidad de presentación de la red. Pueden ser horizontales,
verticales, ascendentes, descendentes curvas, rectas, quebradas, etc.
En los casos en que haya necesidad de indicar que una actividad tiene una interrelación o continuación con otra se dibujará entre ambas una línea punteada, llamada liga, que tiene una duración de cero.
La liga puede representar en algunas ocasiones un tiempo de espera para poder iniciar la actividad siguiente.
Varias actividades pueden terminar en un evento o partir de un mismo evento.
(a) Incorrecto, (b) Correcto.
Al construir la red, debe evitarse lo siguiente:
1. Dos actividades que parten de un mismo evento y llegan a un mismo
evento. Esto produce confusión de tiempo y de continuidad. Debe abrirse el
evento inicial o el evento final en dos eventos y unirlos con una liga.
2. Partir una actividad de una parte intermedia de otra actividad. Toda
actividad debe empezar invariablemente en un evento y terminar en otro. Cuando
se presenta este caso, a la actividad base o inicial se le divide en eventos
basándose en porcentajes y se derivan de ellos las actividades secundadas.
(a) Incorrecto, (b) Correcto.
3. Dejar eventos sueltos al terminar la red. Todos ellos deben relacionarse con el evento inicial o con el evento final.
Procedimiento Para Trazar la Red Medida
Para dibujar la red medida, se usa papel cuadriculado indicándose en la parte superior la escala con las unidades de tiempo escogidas, en un intervalo razonable para la ejecución de todo el proyecto. Como en este momento no se conoce la duración del mismo, ya que uno de los objetivos de la red es conocerlo, este intervalo sólo es aproximado.
A continuación se inicia la red dibujando las actividades que parten del evento cero. Cada una de ellas debe dibujarse de tal manera que el evento j termine, de acuerdo con la duración estándar, en el tiempo indicado en la escala superior. Ahora mostraremos la iniciación de las actividades 1, 2, 3, y 4 con duración de tres, dos, tres y cinco días respectivamente.
En el caso de la ampliación de la fábrica las actividades iniciales son las que se muestran en la figura que sigue, ya que las tres actividades que parten de cero tienen tres días de duración cada una.
A continuación no debe tomarse la numeración progresiva de la matriz de secuencias para dibujar la red, sino las terminales de las actividades, de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha, según vayan apareciendo los eventos j.
En el caso anterior buscamos las secuencias de la actividad 1, después de la 12 y al ultimo de la 18. En su orden, buscamos las secuencias de la 2, de la 13 y de la 19. Si una actividad tiene cero de duración se dibuja verticalmente, ya sea ascendente o descendente, de tal manera que no ocupe tiempo dentro de la red.
Rigurosamente, una actividad no puede tener tiempo de duración cero, ya que no existiría; sin embargo, algunas actividades tienen tan escasa duración que ésta es despreciable y no es conveniente que se considere una unidad de tiempo. Por ejemplo, si la unidad con la que se trabaja de un día y la duración de la actividad es de cinco o diez minutos, no hay razón para que esta actividad tenga asignado un día de trabajo. En el caso que se desarrolla, la aprobación de los presupuestos se supone que tomarán de media hora a una hora para su ejecución; pero como la unidad tomada en el proyecto es de un día, el tiempo de ejecución se considera cero.
De acuerdo con las anotaciones de la matriz de secuencias las actividades 3, 14 y 20 deben ser simultáneas, por lo que necesitamos un evento común para terminar las tres. Por necesidad de construcción, la actividad 14 quedará solamente indicada con el número en forma paralela a la actividad 3, que también tiene duración cero. También puede aparecer paralela a la actividad 20.
En este tipo de red no hay necesidad de indicar las actividades con flechas, sino sólo con líneas, excepto las ligas que indicarán la dirección de la continuidad. Para seguir con el dibujo de la red, se debe recordar que al evento común convergen las actividades 3, 14 y 20 y por lo tanto debemos buscar las secuencias a estas tres actividades, que partirán lógicamente del mismo evento. Continuamos alargando las terminales 15,4,21 y 9, en este orden precisamente, de acuerdo con el método adoptado.
Así encontramos que después de la actividad 15 sigue la 16 con duración de seis días; después de la actividad 4 sigue la 5 con duración de seis días; después de la actividad 21 sigue la 23 con duración de tres días y también la 5 con duración de seis días; y después de la actividad 9 sigue la 10 con duración de dos días.
Cuando una actividad es secuencia de dos o más actividades anteriores, debe colocarse en la red a continuación de la actividad antecedente más adelantada. Por ello es conveniente hacer la red con lápiz para poder borrar las actividades y cambiarlas fácilmente de lugar. De esta manera, hay que modificar el diagrama de la figura anterior, ya que la actividad 5 es posterior a la 4 y a la 21; la quitamos del lugar que termina en fecha anterior y la colocamos después de la 21 que aparece en fecha más adelantada. Sin embargo, para que no se pierda la secuencia de la 4 con la 5 se coloca una liga entre las dos. Buscamos la continuación de las terminales de las actividades 16, 5, 23 y 10, encontrando que son respectivamente la 17 con dos días; la 6 con cuatro días; la 22 con cuatro días y la 11 con doce días.
Las actividades secuentes a la 17, 6, 22 y 11 son respectivamente la 6 con cuatro días; la 7 con seis días y ninguna para la 11, por lo que en la red sólo colocamos una liga entre la terminación de la 17 y la iniciación de la 6 para indicar continuidad y otra entre la terminación de la 22 y la iniciación de la 7 con el mismo objeto de continuidad. Ahora colocamos la secuencia de la 6 solamente, pues ya hemos visto que la 11 es final de proceso. La secuencia de la actividad 6 es la 7 con seis días y la secuencia de la actividad 7 es la 8 con duración de cero. No existiendo ninguna otra actividad posterior a las terminales de la red, debe considerarse que se ha terminado con el proyecto, por lo que la duración del mismo es de 26 días.
En virtud de que no deben dejarse eventos sueltos, se pone una liga entre la terminal de la 11 y el evento final del proyecto, quedando toda la red de la siguiente manera y en la que se aprecian las siguientes particularidades:
a) Las actividades que tienen duración cero se indican en forma vertical,
bien sea ascendente o descendente, como las correspondientes a las actividades
3, 20 y 8.
b) La actividad 14 con duración cero no aparece dibujada en la red por
razones de construcción y sólo se indica junto con la actividad 20 que tiene las
mismas características...
c) Las actividades que son secuentes a dos o más actividades anteriores
aparecen dibujadas a continuación de la antecedente que tenga en su evento final
la fecha más alta. Como la actividad 5 que es secuente de las actividades 4 y
21. La 4 termina al día 6 y la 21 termina el día 10. La actividad 7 es secuencia
de las actividades 6 y 22 y está colocada enfrente de la que tiene la fecha más
alta al terminar, o sea la actividad 6. Esta misma actividad 6 es posterior a
las actividades 17 y 5 y está colocada a continuación de la 5 por la razón ya
dada.
d) Las ligas que aparecen en la gráfica significan lo siguiente: la
actividad 5 es continuación de la 4; la 6 es continuación de la 17; la 7
continúa de la 22 y la 11 acabará al concluir el proyecto.
e) El camino critico es la serie de actividades que se inician en el
evento i del proyecto y terminan en el evento j del mismo, sin sufrir
interrupción por lo que señalan el tamaño o duración del proyecto, y está
representado por las actividades 12, 13, 21, 5, 6, 7 y 8 trazadas con línea
doble.
La red anterior se puede dibujar con colores para indicar diferentes
responsabilidades: por ejemplo, la responsabilidad del ingeniero electricista se
dibuja en rojo, la del ingeniero civil con verde y la del ingeniero de planta
con azul.
Costos y Pendientes
En este paso se solicitaran los costos de cada actividad realizada en
tiempo estándar y en tiempo optimo. Ambos costos deben ser proporcionados por
las personas responsables de la ejecución, en concordancia con los presupuestos
ya suministrados por ellos. Dichos costos se deben anotar en la matriz de
información.
Actividades
Normal
Limite
En el cuadro anterior vemos los presupuestos con el costo normal para
las actividades realizadas en tiempo estándar y el costo limite para las
actividades ejecutadas a tiempo optimo. Los totales de la columna de costo
normal nos indican los costos directos del proyecto ejecutado en tiempos
estándares, sin embargo los totales de costo limite no nos indican un costo
real, ya que no será necesario que todas las actividades sean realizadas en
tiempo optimo, sino solo algunas de ellas.
a) Las actividades que tienen duración cero se indican en forma
vertical, bien sea ascendente o descendente, como las correspondientes a las
actividades 3, 20 y 8.
b) La actividad 14 con duración cero no aparece dibujada en la red por
razones de construcción y sólo se indica junto con la actividad 20 que tiene las
mismas características.
c) Las actividades que son secuentes a dos o más actividades anteriores
aparecen dibujadas a continuación de la antecedente que tenga en su evento final
la fecha más alta. Como la actividad 5 que es secuente de las actividades 4 y
21. La 4 termina al día 6 y la 21 termina el día 10. La actividad 7 es secuencia
de las actividades 6 y 22 y está colocada enfrente de la que tiene la fecha más
alta al terminar, o sea la actividad 6. Esta misma actividad 6 es posterior a
las actividades 17 y 5 y está colocada a continuación de la 5 por la razón ya
dada.
d) Las ligas que aparecen en la gráfica significan lo siguiente: la
actividad 5 es continuación de la 4; la 6 es continuación de la 17; la 7
continúa de la 22 y la 11 acabará al concluir el proyecto.
e) El camino critico es la serie de actividades que se inician en el
evento i del proyecto y terminan en el evento j del mismo, sin sufrir
interrupción por lo que señalan el tamaño o duración del proyecto, y está
representado por las actividades 12, 13, 21, 5, 6, 7 y 8 trazadas con línea
doble.
