Finanzas básicas aplicadas

Autor: Jorge Luis Alvarez

Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

04-2003

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TALLER DE FINANZAS BÁSICAS APLICADAS
PROF. ECO. JORGE ALVAREZ
 
OBJETIVOS DEL TALLER

Brindar a los participantes las herramientas y conceptos básicos de finanzas y su aplicación en operaciones activas y pasivas del Sistema Financiero; introduciéndolos a su manejo técnico.

CONTENIDO
 
1. Interés y Tasas de Interés
2. Fórmulas claves de Cálculo Financiero
3. Modalidades de Pago de Deudas en el Sistema Bancario y Comercial
 
MÉTODO

Las sesiones en aula serán en forma de TALLER. Esto implica que los conceptos y herramientas impartidas en clase serán complementados con el desarrollo integral de aplicaciones y casos. Se recomienda la lectura de textos preparados para cada sesión.

CALCULADORA

Será necesario la utilización de una calculadora que como mínimo tenga la función exponencial tecla (y x)

PRACTICA DIRIGIDA

Al final del taller se tomará una práctica dirigida a los alumnos
 
PROGRAMA
 
Sesión 1 
INTERÉS Y TASAS DE INTERÉS
Valor del dinero en el tiempo (interés)
CLASES DE INTERES
· Interés simple
· Interés compuesto
TASAS DE INTERES
· Tasa de interes nominal
· Tasa de interes proporcional
· Tasa de interes efectiva
· Tasa de interes equivalente
· Tasa de interes real
· Tasa de interes convencional compensatorio
· Tasa de interes moratorio
· Tasa de interes legal
· Tasa de interés a rebatir
· Otras
· Aplicaciones y casos

Sesión 2 

FORMULAS CLAVES DE CALCULO FINANCIERO
· Terminología básica, Notación y Diagramas de flujo
· FSC (Factor simple de capitalización)
· FSA (Factor simple de actualización)
· FCS (Factor de capitalización de una serie de pagos)
· FDFA (Factor de deposito a un fondo de amortización)
· FRC (Factor de recuperación de capital)
· FAS (Factor de actualización de una serie de pagos)
· Aplicaciones y casos.
 
Sesión 3 

MODALIDADES DE PAGO DE DEUDAS EN EL SISTEMA BANCARIO Y COMERCIAL

Calculo Bancario o racional
· Cuotas Fijas
· Cuotas Crecientes
· Cuotas Decrecientes
Calculo Comercial
· Tasa Flat o comercial
· Aplicaciones y Casos
 
BIBLIOGRAFIA

· Carlos Aliaga Valdez .“Manual de Matematicas Financieras”.Universidad del Pacifico
· Blank/Tarquin. “Ingenieria Economica”. Ed. Mc Graw Hill 3era. Edición
· Indacochea Alejandro.”Finanzas en Inflación”.ESAN
· Alberto Hinostroza Minguez. “Derecho de obligaciones y pago de intereses”.Editora Fecat
· Abdias Espinoza .”Manual del Analista Financiero “.Sociedad de Ingenieros Economistas.

PRIMERA SESIÓN
INTERÉS Y TASAS DE INTERÉS
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 

Si tuviéramos la alternativa de disponer de S/ 1,000.00 hoy día frente a la posibilidad de disponer de la misma cantidad dentro de 1 año definitivamente la gran mayoría de nosotros salvo raras excepciones elegirían disponerlos en el momento presente. Obviamente esta elección se da en razón de la oportunidad de obtener liquidez hoy y que esta pueda ser destinada a variados requerimientos que prestaran una utilidad presente de consumo o inversión.

Esta oportunidad de acceso y de satisfacer necesidades o inversiones presentes es lo que diferencia esos S/ 1,000 de hoy día y los que recibiríamos dentro de 1 año, así como nos sugiere que debe existir alguna forma de equilibrar nuestra decisión que compense el sacrificar esta oportunidad presente.

Este factor de equilibrio que hace que el dinero tenga el mismo valor en el tiempo es el interés, definido como el precio del dinero presente medido en unidades monetarias futuras. Este interés es lo que hace que un ente económico renuncie a la disponibilidad inmediata de su dinero o cualquier otro bien a cambio de recibir una compensación futura como precio por esta renuncia.

Este interés o compensación estará en función a la cantidad de dinero recibido o entregado, al tiempo durante el cual se dejara de percibir o de devolverlo, al riesgo que estamos asumiendo al entregarle este dinero o bien a un tercero y a otros factores como la perdida del poder adquisitivo de este cuando finalmente nos sea retribuido.

CLASES DE INTERÉS
INTERES SIMPLE

El que se calcula sobre un capital que permanece invariable o constante en el tiempo y el interés ganado se acumula solo al termino de esta transacción.

P= Capital inicial
i = Tasa de interés
I= Interés
n= periodo de tiempo

Importante

En esta formula i es la tasa de una unidad de tiempo y n es él numero de unidades de tiempo. Debe entenderse que si i es una tasa anual, n deberá ser él numero de años, si i es mensual, n deberá expresarse en meses.
Asimismo el año con el que trabajaremos todos los cálculos será el año Bancario según el BCRP o sea 360 días.
 
Ejemplos :

1. Si se hace un deposito de S/ 1,000 a una tasa de interés anual del 12% durante 1 año ¿ Cuál será la cantidad de intereses a pagar?

Datos

P=  1,000
i=  0.12 o 12 % anual
n= 1 año
I= ?
 
Solución

I=P x i x n
I=1,000 x 0.12 x 1
I=120
 
2. ¿Cuál será el interés acumulado en 180 días por un deposito de ahorro de S/1,000 percibiendo una tasa de interés simple de 12% anual?

Datos

P=  1,000
i=  0.12 o 12 % anual
n= 180 días
I= ?
 
Solución

I=P x i x n
Pero antes debemos expresar i y n en los mismos términos. Es decir debemos calcular la tasa proporcional de interés diario.
 
Luego :

i= 0.12 anual
i= 0.12/360 para calcular el interés diario
i= 0.000333 diario ó 0.033%
 
Reemplazando en la formula:

I=1,000 x 0.000333 x 180
I=59.94
 
Periodo de tiempo transcurrido entre dos fechas

¿Cuál será el tiempo transcurrido entre el 1 de Enero de 1998 y el 15 de Agosto de 1998?
Acá es importante mencionar que para calcular el periodo de tiempo comprendido entre dos fechas la primera se excluye (1/01/98) y la segunda se incluye (15/08/98); esto porque según la legislación vigente para que un deposito o inversión genere intereses debe haber permanecido como mínimo 1 día en la institución financiera desde la fecha de su deposito como lo demostramos en el siguiente cuadro.

Monto, Stock final ó Valor Futuro (S)
Es el capital inicial (P) mas los intereses (I) ganados en un periodo de tiempo (n)

P=Capital inicial
i=Tasa de interés
I=Interes           
n=periodo de tiempo
Monto (S)= Capital Inicial(P) + Interés (I)
 
Ejemplo

En el ejemplo anterior calcular el monto final del deposito que será pagado al vencimiento que es de 1 año.

Datos

P =  1000
i = 12% anual o 0.12
n= 1 año
S= ?
 
Solución

S=  P x ( 1 +( i x n))
S=  1000 x ( 1 + (0.12 x 1))
S=  1000 x ( 1.12)
S= 1120
 
Volviendo a nuestra explicación del Valor del dinero en el tiempo, si esta vez nos dieran a escoger entre recibir hoy S/ 1,000 o recibir S/ 1,120 dentro de 1 año; esta vez si lo pensaríamos con mas detenimiento porque ahora tenemos una compensación llamada interés al renunciar a la oportunidad de contar hoy con liquidez.
 
En otras palabras los S/ 1,120 a recibir dentro de 1 año equivalen a S/1,000 en términos actuales y lo podemos hallar aplicando la formula derivada del calculo del monto o capital final donde:

Con lo que podríamos contestar a la siguiente pregunta: ¿Cuánto estaríamos dispuestos a cobrar hoy si nos dicen que nos pueden pagar S/ 1,120 dentro de 1 año?
 
Datos

P= ?
S= S/ 1,120
n= 1 año
i= 12% anual
 
Solución
Reemplazando :

P= S / (1 +( i x n))
P= 1,120 / ( 1 + (0.12 x 1))
P= 1,120 / (1.12)
P= 1,000
 
Resp.- Estaríamos dispuestos a cobrar S/ 1,000 hoy día o en su defecto S/1,120 dentro de 1 año.
 
*Ahora si estamos en posición de calcular cual es el valor del dinero en el tiempo a través del interés simple, pero debemos calcularlo también a través del interés compuesto.
 
INTERÉS COMPUESTO

Hasta el momento hemos visto como se forma un monto o Capital Final (S) a partir de un interés que se pacta en la operación y que será pagado él ultimo día de su vencimiento terminando de esta manera la transacción. En la practica son pocas las operaciones que se trabajan con interés simple y lo mas usado es el interés compuesto sobre todo en el sistema financiero, sin embargo mas adelante nos daremos cuenta que el interés simple forma parte del interés compuesto.

En el interés compuesto, el interés (I) ganado en cada periodo (n) es agregado al capital inicial (P) para constituirse en un nuevo capital (S) sobre el cual se calcula un nuevo interés produciéndose lo que se conoce como capitalización la cual puede ser anual, trimestral, mensual, diaria; y se sigue aplicando hasta que vence la transacción de acuerdo a lo pactado.

Donde :

P = Capital inicial
i  = tasa de interés del periodo
n = periodo de tiempo
S = Monto total o capital final
 
En los problemas de interés compuesto deben expresarse i y n en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes periodos de tiempo.

Ejemplo

Un banco paga por los depósitos que recibe del publico una tasa nominal mensual del 3%. Si la capitalización es trimestral ¿Qué monto se habrá acumulado con un capital inicial de S/3,000 colocado durante 6 meses?
 
Datos

P = S/3,000
i = 3% mensual
n = 6 meses
S = ?
 
Solución

Primero debemos llevar i y n a los mismos términos de tiempo.
Sí i=3% mensual
Entonces el i trimestral es 0.03 x 3 = 0.09 ó 9%
Luego debemos llevar el n a trimestres:
Si n=6 meses
Entonces n trimestral es 6 / 3 = 2
 
Ahora que ya tenemos a n y a i en los mismos términos podemos aplicar la formula:
 
S=P x ( 1 + i) n
S=3,000 x ( 1 + 0.09) 2
S=3,564.30
 
Resp.-El monto o capital final será S/3,564.30.
 
En el siguiente cuadro mostramos como se calcula el interés y el efecto de la capitalización en el Monto (S) o Capital Final con los datos del 1er. ejemplo de interés simple pero esta vez los intereses se capitalizaran mensualmente.
 
Datos

P=  1,000
i=  0.12 anual   
i mensual = 0.12 / 12 = 0.01 o 1% mensual
n= 12 meses
I= ?
   
En este caso, el interés ganado en cada periodo se agrega al capital inicial sobre el cual calculamos el siguiente interés. Esto se conoce como capitalización de intereses y se puede ver que el interés simple de 12% se ha convertido en 12.66% por efecto de la capitalización mensual. Esta capitalización determina un mayor interés conforme la frecuencia de capitalización es mayor dentro del año.
 
Ejemplo:

1. El Sr. Juan Perez deposita en el Banco S/50,000 al 7% anual capitalizable anualmente ¿Cual será el monto que retire al cabo de 5 años?

Datos

P = 50,000
in = 7% ó 0.07
i = 0.07
n = 5
S = ?
 
Solución

S = P x ( 1 + i ) n
S = 50,000 x ( 1 + 0.07 )5
S = 50,000 x 1.07
S = 53,500
 
Resp.-El monto al final de los 5 años será S/53,500.00
 
2. E Sr. Luis Santos deposita en una cuenta a nombre de su hijo Federico de 9 años USD 10,000 capitalizable mensualmente a una tasa de 9% anual. ¿ Cuál será el monto a recaudar cuando su hijo alcance la mayoría de edad?
 
Datos

P = 10,000
in = 9% ó 0.09
ip = 0.09/12 = 0.0075 ó 0.75% mensual
n = 9 x 12 = 108 meses
S = ?
 
Solución

S = P x ( 1 + i) n
S = 10,000 x ( 1 + 0.0075)108
S = 10,000 x 2.241124
S = 22,411.24
 
Resp.-El monto al final de los 9 años será USD 22,411.24
 
TASA DE INTERES

Concepto

Es el porcentaje de variación entre un capital inicial (P) y un capital final ó monto (S) después de un periodo de tiempo es decir.
Actualmente el BCR de acuerdo con su Ley Orgánica DL 26123 del 29/12/92 dentro de sus atribuciones puede establecer la tasa máxima de interés compensatorio, moratoria y legal pero solo para las operaciones ajenas al sistema financiero y las operaciones de este sistema serán determinadas por la libre competencia.

CLASES DE TASAS DE INTERES
TASA INTERES NOMINAL

Se dice que la tasa de interés es nominal cuando:

¨ Se aplica directamente a operaciones de interés simple
¨ Es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo menor o mayor al periodo de calculo mencionado en la transacción y poder aplicarla a los cálculos de interés requeridos.

Cuando tratamos sobre el interés simple mencionamos este concepto y lo importante es que cuando hablemos de tasa nominal estamos hablando de un interés simple que solamente podemos dividirlo o multiplicarlo para calcular el monto o capital final de una operación. Esta tasa nominal puede ser utilizada para calcular una tasa efectiva en cuyo caso tenemos que aplicar la operación matemática llamada potenciación ó radicación.
 
Ejemplo:

Si un Bono de S/ 20,000 paga una tasa nominal del 13% anual y su interés se calcula como un interés simple. ¿ Cuál será el interés ganado por 90 días?
 
Datos

P = S/ 20,000
i = 13% o 0.13 anual
n = 90 días
I = ?
 
Solución

Como el plazo esta en días y nuestra tasa en años, lo primero que debemos hacer es calcular la tasa proporcional para 90 días:

ip = in / 360
ip = 0.13 / 360
ip = 0.000361
 
I = P x i x n
I = 20,000 x 0.000361 x 90
I = S/ 649.80

Ejemplo :

Para un interés anual del 12% ¿Cual será el interés proporcional mensual?
m = 12
ip = (in / m) = (0.12 / 12) = 0.01 ó 1% mensual
 
¿Cuál será el interés proporcional diario?

m =  360
in =  12% anual o 0.12
ip = 0.12/360
ip = 0.0003333 ó 0.03333%

TASA DE INTERES EFECTIVA (ief)

La tasa efectiva ief para n periodos de capitalización puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual in capitalizable m veces en el año de acuerdo a la siguiente formula:

donde :

in = tasa de interés nominal anual
m = numero de periodos de capitalización dentro del año
n = numero total de periodos

Esta tasa refleja él numero de capitalizaciones para operaciones pasivas o liquidaciones para las operaciones activas. En el interés compuesto dijimos que los intereses capitalizados vuelven a ganar o devengar intereses esto es conocido como Anatocismo.
 
Ejemplo

Calcule la tasa efectiva anual de un deposito a plazo fijo que gana una tasa nominal anual de 9.53% capitalizándose diariamente.
 
Datos

P = 1
in = 0.0953 ó 9.53% anual
m = 360
n = 1
ief = ?
 
Solución

Calculo de la tasa proporcional ( para que nuestro i y el n estén en los mismos términos):

ip = in / 360
ip = 0.0953 / 360
ip = 0.000265 ó 0.0265% diario
 
Aplicando la formula para la tasa efectiva.

ief= ( 1 + in / m) n - 1
ief= ( 1 + 0.000265) 360 - 1
ief= 1.10 – 1
ief= 0.10 ó 10% anual
 
Resp.-La tasa efectiva que ganara él deposito al cabo de un año será de 10%.

Ejemplo :

En el ejemplo anterior ¿ Cual será la tasa equivalente anual capitalizable anualmente?
 
Solución

ieq = (1 + 0.000265) 360 / 1 - 1
ieq = (1.10) – 1
ieq = 0.10 ó 10% anual
 
Otro ejemplo

Cual es la tasa equivalente mensual para un deposito a plazo que paga una tasa efectiva diaria de 0.0265% diario.
 
Datos

ief = 0.00265% diario
nef= 1
neq=30
ieq= ?
 
Solución

ieq = ( 1 + ief) 30 / 1 - 1
ieq = ( 1 + 0.000265) 30 / 1 - 1
ieq = ( 1.007981) –1
ieq = 0.007981 ó 0.7981 %
 
Para comprobarlo, calculamos la tasa efectiva anual para una tasa nominal mensual de 0.7981% capitalizándola en un año
 
ief = ( 1 + 0.007981) 12 – 1
ief = ( 1.10) – 1
ief = 0.10 ó 10% anual
 
TASA DE INTERES REAL ( i r)

Mide el grado en que la inflación distorsiona los costos o rentabilidad nominales, disminuyendo al valor de la tasa efectiva de interés. Esta tasa real puede ser positiva o negativa en función al nivel inflacionario existente. 
El hecho de descontar la tasa de inflación a la tasa efectiva de interés se denomina deflactación y la formula es la siguiente.
 
donde :

ir = tasa de interés real
ief = tasa de interés efectivo
f = tasa de inflación acumulada
 
Ejemplo

¿ Cuál fue tasa de interés real para un deposito a plazo fijo que ganó una tasa de interés anual efectiva de 10% si la inflación acumulada en ese mismo periodo fue de 3.4%?
 
Datos

ief = 10% o 0.10
f = 3.4% ó 0.034 
 
Solución

Reemplazando en la formula:
 
ir = 0.10 – 0.034
 
( 1 + 0.034 )
 
ir = 0.066

( 1.034 )
ir = 0.06383 ó 6.38 % anual real
 
TASA DE INTERÉS CONVENCIONAL COMPENSATORIO

Cuando constituye la contraprestación por el uso del dinero o de cualquier otro bien. En operaciones bancarias la tasa de interés convencional compensatoria esta representada por la tasa activa para las colocaciones y la tasa pasiva para las captaciones las cuales cobran o pagan las instituciones del sistema financiero en el proceso de intermediación del crédito. 

TASA DE INTERÉS MORATORIA

Constituye la indemnización por incumplimiento del deudor en el reembolso del capital y del interés compensatorio pactado en su fecha de vencimiento. El interés moratoria se cobra solo cuando se haya pactado y se calculara solamente sobre el monto de la deuda correspondiente al capital, adicionalmente a la tasa de interés compensatoria o a la tasa de interés legal, cuando se haya pactado

En los casos en que la devolución del préstamo se efectúe por cuotas el cobro del interés moratoria procede únicamente sobre la parte correspondiente al capital de las cuotas vencidas impagadas mientras subsista esta situación. (Circular No. 007-99-EF /90 del 9 de Marzo de 1999)
 
TASA DE INTERES LEGAL

Según los articulos 1243 y 1244 del Código Civil la tasa de interés legal en moneda nacional y extranjera es fijada por el BCRP, cuando deba pagarse interés sin haberse fijado la tasa convencional compensatoria y/o moratoria.El deudor deberá abonar el interés legal que es publicado diariamente por el BCRP en terminos efectivos.

TASA DE INTERÉS A REBATIR

Es una tasa de interés simple que se cobra sobre el saldo deudor impago de una deuda.
 
Ejemplo

Calcular el cronograma de pagos de un préstamo de S/ 1,000 a un plazo de 4 meses con 4 amortizaciones iguales y a una tasa de interés de 1% mensual.

Nota: Es probable que en esta página web no aparezcan todos los elementos del presente documento.  Para tenerlo completo y en su formato original recomendamos descargarlo desde el menú en la parte superior

Jorge Luis Alvarez

jalvarezcarneroarrobayahoo.com

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