La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta y se emplea para describir procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. Describe situaciones en las cuales los clientes llegan de manera independiente durante un cierto intervalo de tiempo y el número de llegadas depende de la magnitud del intervalo. La distribución de Poisson juega un rol importante en complementar la distribución exponencial en la teoría de colas o modelo de líneas de espera.
Entre los procesos que se pueden describir con la distribución de probabilidad de Poisson están la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común. Pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).
La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (1781-1840), francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida.
El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo será de 0,1,2,3,4,5 o algún otro número entero. De manera análoga, si se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el número será entero.
Características de los procesos que producen una distribución de la probabilidad de Poisson
El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor tráfico sirve como ejemplo para mostrar las características de una distribución de probabilidad de Poisson.
El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran tráfico puede estimarse a partir de los datos anteriores del tráfico.
Si dividimos las horas de gran tráfico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que los siguientes enunciados son verdaderos:
a) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue por segundo a una caseta individual es un número muy pequeño y es constante para que cada intervalo de un segundo.
b) La probabilidad de que dos o más vehículos lleguen en un intervalo de un segundo es tan reducida que podemos asignarle un valor cero.
c) El número de vehículos que llegan en determinado intervalo de un segundo es independiente del momento en que el intervalo de un segundo ocurre durante la hora de gran tráfico.
d) El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de arribos de cualquier otro intervalo de un segundo.
Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones se cumplen nos apoyaremos en una distribución de probabilidad de Poisson para describirlos.
Cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson
La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y puede además asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..) . Utilizamos la letra X mayúscula para representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puede asumir la X mayúscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula mediante la fórmula:
P(x) = l x * e-l / x!
l x = Lambda
(número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x.
e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa.
x! = x factorial.
Ejemplo:
Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado.
Aplicando la fórmula anterior:
P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674
P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370
P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425
P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042
P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552
Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a :
P(0) = 0.00674
P(1) = 0.03370
P(2) = 0.08425
P(3) = 0.14042
P(3 o menos) = 0.26511
Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran más de tres debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489.
La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial.
Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como :
n=>20
p=<0.05
En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo que la fórmula quedaría así:
P(x) = (np) X * e-np /x!
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Con los siguientes videos (Educatina – Khan Academy) seguro que entenderás perfectamente el concepto de la distribución de Poisson.