Problemas matemáticos de optimización de recursos empresariales

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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE RECURSOS
EMPRESARIALES
Max ó Min Z = C X
S.A:
A X ≤ B
XJ > 0 ; j = 1, 2, ..., n
Objetivo
Mediante una recopilación de problemas representativos de programación lineal se
busca desarrollar la capacidad inventiva para formular problemas de optimización de
recursos.
Programación Lineal - Problema General
Definición:
Dado un conjunto de m desigualdades lineales ó ecuaciones lineales, con n variables,
se requiere hallar valores no negativos de éstas variables que satisfagan las
restricciones y maximicen ó minimicen alguna función lineal de las variables llamada
Función Objetivo.
Matemáticamente:
Hallar XJ , J = 1, 2, . . . . . n para:
Maximizar
ó Z = C1X1 + C2X2 + . . . . . . + CnXn
Minimizar
Con las siguientes restricciones:
a11X1 + . . . . . . + a1jXj + . . . . . . + a1nXn≤ ó ≥ b1
.
ai1X1 + . . . . . . + aijXj + . . . . . + ainXn ≤ ó ≥ bi
.
am1X1 + . . . . . . + amjXj+ . . . . . . + amnXn≤ ó ≥ bm
Xj =0 ; j = 1, 2, . . . . . . n
Características de la Programación Lineal
1) Linealidad asume que no pueden haber términos así: X1X2, X3 2 a14Log X4
2
2) Asume las propiedades aditivas y multiplicativas.
a) Si una unidad tipo E necesita 2 horas en la Máquina A y una unidad tipo F
necesita 2½ horas, entonces ambas necesitan 4½ horas.
b) Si una unidad tipo E necesita 1 hora en la máquina B, entonces 10 unidades
necesitan 10 horas.
3) La función a optimizar (maximizar ó minimizar) se llama función objetivo, no
contiene ningún término constante.
4) En las m restricciones, no están incluidas las condiciones Xj =0 (condición de no
negatividad).
5) Soluciones:
a) Cualquier conjunto de Xj que satisface las m restricciones se llama una
solución al problema.
b) Si la solución satisface la condición de no negatividad Xj =0 , se llama una
solución factible
c) Una solución factible que optimiza la función objetiva se llama una solución
factible óptima
Usualmente hay un número infinito de soluciones factibles al problema, de todas estas,
tiene que hallarse una óptima
Pautas y comentarios para la formulación de modelos
En la conversión de modelos verbales a modelos formales, será muy útil describir
primero con palabras un modelo que corresponda al problema dado.
Se puede proceder de la siguiente forma:
1) Exprese cada restricción en palabras; al hacer esto, ponga cuidadosa atención en
si la restricción es un requerimiento de la forma:
≥ (mayor ó igual que, al menos, por lo menos, como mínimo),
≤ (menor ó igual que, no mayor que, como máximo), ó
= (igual a, exactamente igual a).
2) Expresar el objetivo en palabras.
3) Identificar verbalmente las variables de decisión. Una guía útil es hacerse la
pregunta:
¿Qué decisión debe tomarse para optimizar la función objetivo?. La respuesta
a esta pregunta ayudará a identificar correctamente las variables de decisión.
4) Expresar la función objetivo en términos de las variables de decisión. Verificar la
consistencia de unidades. Por ejemplo, si los coeficientes de una función objetivo
Cj están dados en S./ por kilo, las variables de decisión Xj deben estar en kilos, no
en toneladas ni onzas.
3
5) Expresar las restricciones en términos de las variables de decisión. Comprobar que
para cada restricción las unidades del lado derecho son las mismas que las del
lado izquierdo.
Las restricciones no pueden tener una desigualdad estricta, con los signos < ó >.
La razón de esto es de naturaleza matemática.
Formulación de Modelos
Traducir problemas del mundo real a modelos matemáticos.
No leer en un problema más de lo que se da. Por ejemplo, no introduzca
restricciones adicionales o matices lógicos o datos imaginarios que en su opinión
podrían hacer más realista el modelo.
1. PROBLEMA DE PRODUCCIÓN
Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y
2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden:
Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:
1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto
2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana
3. La ganancia por unidad vendida de cada producto
Tipo de Máquina Producto 1 Producto 2 Horas disponibles
por semana
A2 2 16
B1 2 12
C4 2 28
Ganancia por
unidad
1 1.50
¿Que cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para
obtener la máxima ganancia?
¿Cuantas horas semanales sobran en cada departamento?
Formulación
4
1) Definición de las variables:
Xj = Unidades semanales a producir del articulo j-ésimo ( j=1 y 2)
2) Función objetivo:
Maximizar Z = X1 + 1.5 X2 Con las siguientes restricciones (S.A:):
3) Restricciones:
2X1 + 2X2 ≤ 16 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la
MQ A
X1 + 2X2 ≤ 12 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la
MQ B
4X1 + 2X2 ≤ 28 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la
MQ C
4) Condición de no negatividad:
Xj =0 ; j = 1 y 2
Solución óptima
x1= 4 x2=4 Z=10
Tiempo sobrante de cada máquina:
Máquina A Se usan todas las horas semanales disponibles
Máquina B Se usan todas las horas semanales disponibles
Máquina C Sobran 4 horas semanales
2. OPTIMIZACIÓN DEL CORTE DE MADERA
En una marquetería se fabrican cuadros, cuyos marcos se obtienen de cortar varillas
para bocel, cuya longitud original es de 300 cm.
El Departamento de ventas tiene pedidos para el siguiente mes de 175 cuadros de 119
x 90 cm.
En el método actual el Jefe de producción ordena que se corten 350 boceles de 119
cm. y 350 boceles de 90 cm. (Cada cuadro lleva 2 boceles de cada dimensión).
Con ésta manera de cortar la madera, la Fábrica necesita el capital para comprar 292
varillas de 300 cm. cada una y genera 14450 cm. de desperdicio.
Formule un problema de programación lineal que minimice el desperdicio, la compra
de materia prima y optimice la productividad.
300 cm. Materia Prima: Varilla de madera de 300
cm. de largo
5
.
Método de corte actual y su valoración
119 119 62 Número de varillas a comprar: (175 x
2) / 2 = 175 varillas
Desperdicio: 175 x 62 = 10850 cm
90 90 90 30 Número de varillas a comprar: (175 x 2) / 3 =
116,6 = 117
Desperdicio: 117 x 30 + 90 = 3600 cm
Total de varillas de 300 cm. a comprar: 175 + 117 = 292 varillas
Total de centímetros de desperdicio: 10850 + 3600 = 14450 cm.
Formulación
Xj = Número de varillas a cortar de la forma j-ésima (j = 1, 2 y 3)
Formas posibles de cortar la varilla:
Forma Variable
119 119 62 X1
90 90 119 1 X2
90 90 90 30 X3
Minimizar Z = 62X1 + X2 + 30X3 Minimizar el desperdicio
S.A:
2X1 + X2 = 350 Restricciones debidas a la necesidad
2X2 + 3X3 = 350 Boceles de cada tamaño
XJ ≥0 ; j = 1, 2 y 3 Enteros Restricción de no negatividad
Solución óptima
X1 * = 89 Cortar 89 veces de la manera 1
X2 * = 172 Cortar 172 veces de la manera 2
X3 * = 2 Cortar 2 veces de la manera 3
Z * = 5750 centímetros de desperdicio
Número de varillas a comprar: 89 + 172 + 2 = 263 varillas de 300 cm.
6
Cuadro comparativo de los ahorros:
Conceptos Materia prima Desperdicio (cm.)
Antes 292 14450
Después 263 5750
Diferencia 29 8700
3. CORRIDAS DE PRODUCCIÓN
Una empresa produce un artículo cuya unidad está compuesta por 4 unidades de
componente A que se producen por corrida de producción a partir de las materias
primas 1 y 2 y en tres departamentos.
Las Materias primas y la Producción por corrida de producción se muestra en la
siguiente tabla:
Materia Prima 1 Materia Prima 2 Componente A
Departamento 1 8 6 7
Departamento 2 5 9 6
Departamento 3 3 8 8
Disponibilidad 100 200
Elabore un plan de producción para maximizar la cantidad de artículo a producir.
Formulación
XJ = Número de corridas de producción en el departamento j-ésimo (j = 1,2 y 3)
Número de componentes A: 7X1 + 6X2 + 8X3
Número de artículos completos con los componentes A: (7X1 + 6X2 + 8X3) / 4
Maximizar (7X1 + 6X2 + 8X3) / 4
S.A:
8X1 + 5X2 + 3X3 ≤ 100 Restricciones debidas a la disponibilidad
6X1 + 9X2 + 8X3 ≤ 200 de materias primas tipo 1 y 2
XJ ≥0 j = 1, 2 y 3 Enteros Restricción de no negatividad
4. EL PROBLEMA DE LOS PAQUETES DE TUERCAS
Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tornillos mezclados.
Cada paquete pesa por lo menos 2 libras y está compuesto por tres tamaños de
tornillos, los cuales se compran en lotes de 200 libras. Los lotes de tamaños 1, 2 y 3
cuestan respectivamente $20, $8 y $12, además:
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a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total
del paquete.
b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 libras
c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos el 10% del paquete total
¿Cuál será la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo?
Formulación
Xj= Peso en libras de los tornillos del tamaño j-ésimo (j=1,2 y 3) en el paquete
Observe que:
20/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 1
8/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 2
12/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 3
Minimizar Z = 20/200 X1 + 8/200 X2 + 12/200 X3
S.A:
X1 + X3 ≥ (X1 + X2 + X3)/2 Los tamaños 1 y 3 al menos la mitad del peso
X1 + X2 ≤1.6 Los tamaños 1 y 2 no deben ser mayor de 1.6 lb.
X1 ≥ 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 1 debe ser al menos el 10% del total
X2 ≥ 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 2 debe ser al menos el 10% del total
X3 ≥ 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 3 debe ser al menos el 10% del total
X1 + X2 + X3 ≥ 2 El paquete debe ser al menos de 2 libras
XJ ≥0 j = 1, 2 y 3 Condición de no negatividad
Minimizar Z = 0,1X1 + 0,04X2 + 0,06X3
S.A:
X1 - X2 + X3 ≥ 0
X1 + X2 ≤ 1.6
0,9X1 -0,1X2 - 0,1X3 ≥ 0
-0,1X1 +0,9X2 – 0,1X3 ≥ 0
-0,1X1 –0,1X2 + 0,9X3 ≥ 0
X1 + X2 + X3 ≥ 2
XJ ≥0 j= 1, 2 y 3
Solución óptima
X1 = 0.2 Libras del tamaño 1
X2 = 1.0 Libras del tamaño 2
X3 = 0.8 Libras del tamaño 3
Z = $0.108 Costo mínimo del paquete
5. PROBLEMA CLÁSICO DEL TRANSPORTE
8
Un fabricante tiene tres centros de distribución en: Bogotá, Medellín y Cali. Estos
centros tienen disponibilidades de: 20, 40 y 40 unidades respectivamente. Sus
detallistas requieren las siguientes cantidades: Pereira 25, Tulúa 10, Anserma 20,
Ibagué 30 y Armenia 15.
El costo de transporte por unidad en dólares entre cada centro de distribución y las
localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla:
Detallistas
Pereira Tulúa Anserma Ibagué Armenia
Centros de
distribución
Bogotá 55 30 40 50 40
Medellín 35 30 100 45 60
Cali 40 60 95 35 30
¿Cuantas unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribución a
cada detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mínimos?
Formulación
Xij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i-ésimo (1=Bogotá,
2=Medellín, 3=Cali), al detallista j-ésimo (1=Pereira, 2=Tulúa, 3=Anserma, 4=Ibagué,
5=Armenia)
Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23
+ 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 ≤ 20 Restricciones debidas a la
disponibilidad
X21 +X22 + X23 + X24 + X25 ≤ 40 de unidades en los respectivos
X31 +X32 + X33 + X34 + X35 ≤ 40 centros de distribución 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 ≥ 25 Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 ≥ 10 de unidades,
X13 + X23 + X33 ≥ 20 de los detallistas respectivos 1, 2, 3, 4 y 5
X14 + X24 + X34 ≥ 30
X15 + X25 + X35 ≥ 15
Xij ≥0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Solución óptima
X11 = 0 X 21 = 25 X 31 = 0
X12 = 0 X 22 = 10 X 32 = 0
X13 = 20 X 23 = 0 X 33 = 0
X14 = 0 X 24 = 5 X 34 = 25
X15 = 0 X 25 = 0 X 35 = 15
Z = $ 3525
6. PROBLEMA DE LOCALIZACIÓN DE PLANTA
Una empresa del sector textil, que opera en todo el país, dispone de la siguiente
configuración:
9
Dos plantas de fabricación en Pereira e Ibagué, con capacidades de 900 y 1.500
unidades respectivamente.
Cuatro almacenes regionales de distribución que sirven a los clientes de sus
respectivas zonas en: Neiva, Medellín, Cali y Bogotá, con demandas de: 700, 800, 500
y 400 unidades respectivamente.
En los próximos años, la empresa espera un crecimiento de la demanda del orden del
25%, lo cual ha llevado a la Dirección de la misma a plantearse la apertura de una
nueva fábrica.
A la vista de los criterios que la empresa estima importantes para la localización de la
nueva planta, existen dos alternativas a considerar: Pasto (alternativa 1) y Villavicencio
(alternativa 2). La elección recaerá en aquella que provoque los menores costos de
transporte entre las fábricas y los almacenes, dado que ambas parecen ser igualmente
convenientes respecto a otros factores.
La tabla siguiente muestra los costos de transporte unitarios entre cada origen y
destino.
Plantas de
fabricación
Almacenes regionales de distribución
Neiva Medellín Cali Bogotá
Pereira 6 4 2 6
Ibagué 2 3 7 5
Pasto 6 4 4 8
Villavicencio 6 3 4 2
Formulación
(a) Considerando establecer la nueva planta en Pasto
Xij = Unidades a enviar desde la planta i-ésima (1=Pereira, 2=Ibagué, 3=Pasto) al
almacén j-ésimo (1=Neiva, 2=Medellín, 3=Cali, 4=Bogotá)
Minimizar Z = 6X11 + 4X12 + 2X13 + 6X13 + 2X21 + 3X22 + 7X23 + 5X24 + 6X31 +
4X32 + 4X33 + 8X34
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 900 Restricciones debidas a la disponibilidad
X21 + X22 + X23 + X24 = 1500 de unidades en
X31 + X32 + X33 + X34 = 600 las plantas 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 = 700 + 175 = 875 Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 800 + 200 = 1000 de unidades de los almacenes
regionales
X13 + X23 + X33 = 500 + 125 = 625 de distribución 1, 2, 3 y 4
X14 + X24 + X34 = 400 + 100 = 500
Xij ≥0 ; i = 1,2 y 3 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X 13 = 625 X 14 = 275 X 21 = 875 X 22 = 400 X 24 = 225 X 32 = 600
Z = $9375
10
(b) Considerando establecer la nueva planta en Villavicencio:
Xij = Unidades a enviar desde la planta i-ésima (1=Pereira, 2=Ibagué, 3=Villavicencio)
al almacén j-ésimo (1=Neiva, 2=Medellín, 3=Cali, 4=Bogotá)
Minimizar
Z = 6X11 + 4X12 + 2X13 + 6X13 + 2X21 + 3X22 + 7X23 + 5X24 + 6X31 + 3X32 +
4X33 + 2X34
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 900 Restricciones debidas a la
X21 + X22 + X23 + X24 = 1500 disponibilidad de unidades en
X31 + X32 + X33 + X34 = 600 las plantas 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 = 875 Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 1000 de unidades de los almacenes regionales
X13 + X23 + X33 = 625 de distribución 1, 2, 3 y 4
X14 + X24 + X34 = 500
Xij ≥0 ; i = 1,2 y 3 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X 12 = 275 X 13 = 625 X 21 = 875 X 22 = 625 X 32 = 100 X 34 = 500
Z = $7275
De los resultados obtenidos se deriva que Villavicencio es la mejor localización bajo el
criterio de minimizar los costos del transporte.
7. El problema de asignaciones
Se usan cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro
puertos (numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera
de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las
cargas, el costo total de cargar, transporte y descargue de bienes para las distintas
combinaciones de barcos y puertos varían mucho.
Estos costos se muestran el la siguiente tabla:
P U E R T O
1 2 3 4
Barco
15467
26675
37576
45466
El objetivo es asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a uno, de
manera que se minimice el costo total de los cuatro barcos.
11
Xij = 0, No asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 )
Xij = 1, Si asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 )
Minimice
Z = 5X11 + 4X12 + 6X13 + 7X14 + 6X21 + 6X22 + 7X23 + 5X24 + 7X31 + 5X32 +
7X33 + 6X34 + 5X41 + 4X42 + 6X43 + 6X44
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 1 Restricciones que aseguran
X21 + X22 + X23 + X24 = 1 que un solo barco
X31 + X32 + X33 + X34 = 1 es asignado a un solo puerto
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
X11 + X21 + X31 + X41 = 1 Restricciones que aseguran
X12 + X22 + X32 + X42 = 1 que un solo puerto
X13 + X23 + X33 + X43 = 1 es asignado a un solo barco
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij ≥0 ; i = 1,2,3 y 4 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X * 11 = 1 X * 12 = 0 X * 13 = 0 X * 14 = 0
X * 21 = 0 X * 22 = 0 X * 23 = 0 X * 24 = 1
X * 31 = 0 X * 32 = 1 X * 33 = 0 X * 34 = 0
X * 41 = 0 X * 42 = 0 X * 43 = 1 X * 44 = 0
Z * = 21
Barco 1 --------Puerto 1 --------Costo $ 5
Barco 2 --------Puerto 4 --------Costo $ 5
Barco 3 --------Puerto 2 --------Costo $ 5
Barco 4 --------Puerto 3 --------Costo $ 6
Costo total mínimo: $21
8. Problema de la mezcla
Una compañía de petróleos produce tres tipos de gasolina: Super, Normal y Euro. Se
obtienen por mezcla de tres calidades de crudo (A,B,C), que contienen tres
componentes (1,2,3). La participación de estos componentes en la composición de
cada crudo es:
COMPONENTES ( % )
1 2 3
CRUDOS
A80 10 5
B45 30 20
C30 40 25
12
Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:
COMPONENTES ( % )
1 2 3
GASOLINA
SUPER ≥60 ≤25 ≥10
NORMAL ≥50 ≤30 ≤15
EURO ≤40 ≥35 ≥20
Los costos por barril de crudo A, B y C son: $650, $500 y $450, respectivamente.
El presupuesto diario de compra es de $50 Millones.
La disponibilidad diaria de crudos B y C se limita, respectivamente, a 3000 y 7000
barriles.
Ciertos acuerdos obligan a comprar al menos 2500 barriles de A.
Las demandas de gasolina Super y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios, que
deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro.
Formule un modelo de programación lineal que de respuesta al problema planteado
por la compañía.
10. El problema del financiero
Un inversionista tiene la intención de hacer varias inversiones, las cuales se
extenderán por un periodo de cinco años, al final del cual necesitará de todo el capital.
Las inversiones se hacen el 1º de Enero de cada año y son:
Inversión A: Disponible el 1º de Enero de cada año y produce el 15% de interés al final
de cada año.
Inversión B: Disponible en dos años a partir de ahora (Comienzo del 3º año), y
produce un retorno del 25% al final del 3º año y lo máximo que el inversionista
considerará son $40.000
Inversión C: Disponible en un año a partir de ahora (Comienzo del 2º año), y produce
el 40% al final del cuarto año. Esta inversión será de $30.000 como máximo.
13
El inversionista tiene $100000 disponible para las inversiones.
¿Cuál debe ser el portafolio de inversión que le permita obtener la máxima cantidad de
dinero al final del año quinto?
Formulación:
Xij = Cantidad de dinero a invertir en la alternativa i-ésima (i=A, B y C) al principio
del año j-ésimo (j = 1, 2, 3, 4 y 5 ).
Capital Inicial: $100.000
Xa1 Xa2 Xa3 Xa4 Xa5 Inversión A
0.15Xa1 0.15Xa2 0.15Xa3 0.15Xa4 0.15Xa5
Año1 Año2 Año3 Año4 o5
Xb3 <= 40000 Inversión B
0.25 Xb3
Año1 Año2 Año3 Año4 o5
Xc2 <= 30000
0.4Xc2
Año1 Año2 Año3 Año4 o5
Para construir las restricciones piense, que al principio de cada año va a tener
disponibles algunas alternativas de inversión para las que no podrá invertir más de lo
tenga disponible en ese momento.
El lado izquierdo de las restricciones, representa la cantidad de dinero que el
inversionista invertirá en las alternativas disponibles al principio de cada año y el lado
derecho representa la cantidad de dinero disponible para invertir, que es la suma de:
El capital inicial + La suma de todos los intereses recibidos hasta la fecha - Los
capitales que están invertidos en ese momento y que no han retornado.
Maximizar Z = 0,15 (XA1 + XA2 + XA3 +XA4 + XA5) + 0,25XB3 + 0,4XC2
S.A:
Restricciones debidas a la cantidad de dinero disponible al principio de cada uno de
los cinco años:
XA1 ≤ 100000
XA2 + XC2 ≤ 100000 + 0,15XA1
XA3 + XB3 ≤ 100000 + 0,15(XA1 + XA2) - XC2
14
XA4 ≤ 100000 + 0,15(XA1 + XA2 + XA3) + 0,25XB3 - XC2
XA5 ≤ 100000 + 0,15(XA1 + XA2 + XA3 +XA4) + 0,25XB3 + 0,4XC2
XB3 ≤ 40000
XC2 ≤ 30000
Xij ≥0 ; i = A, B y C ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Solución óptima
X A1 = $100000 XA2 = $115000 X A3 = $ 92250
X A4 = $156087,50
X A5 = $179500,6 XB3 = $ 40000 X C2 = $0
Z = $206425,7
13. El problema de los manteles
En un salón de banquetes se tienen programados banquetes durante los siguientes
cinco días. Los requisitos de manteles por banquete son:
Banquete 1 2 3 4 5
Número de manteles 80 60 100 130 200
El problema del administrador es que se requieren manteles diferentes a los que se
usan, por lo que tendrá que comprar ese tipo de manteles.
El costo de cada mantel es de $40 y el costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio
urgente para tenerlo listo a los dos días es de $10 por mantel.
¿Cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y
además minimizar el costo total?
Formulación:
Xi = Número de manteles a comprar para el banquete i-ésimo (i = 1, 2, 3, 4 y 5)
Yi = Número de manteles a mandar a lavar después del banquete i-ésimo (i = 1, 2 y 3)
X5
X4
X3
X2
X1
Banquete 4Banquete 4Banquete 3Banquete 2
Banquete 1
I5=0
I4
I3
I2
I1
I0=0
200
130
100
60
80
Y1
$10
Y3
Y2
Y2<=60
Y1<=80
Y3<=100
$10
Lavandería
Lavandería
$10
Lavandería
15
Ii = Número de manteles limpios al final de cada banquete i-ésimo (i = 1, 2, 3 y 4)
Minimizar Z = 40(X1 + X2 +X3 +X4 +X5) + 10(Y1 + Y2 + Y3)
S.A:
X1 = 80 + I1
I1 +X2 = 60 + I2
Y1 + I2 + X3 = 100 + I3
Y2 + I3 + X4 = 130 + I4
Y3 + I4 + X5 = 200
Y1 =80
Y2 =60
Y3 =100
Xi ≥0 ; i = 1, 2, 3, 4 y 5
Ii ≥0 ; i = 1, 2, 3 y 4
Yi ≥0 ; i = 1, 2 y 3
Solución óptima
X 1 = 80 X 2 = 60 X 3 = 20 X 4 = 70
X 5 = 100
Y 1 = 80 Y 2 = 60 Y 3 = 100
I i = 0 ; i = 1, 2, 3, 4
Z = $15600
AUTOR:
Msc. Ing. Mohammed Portilla Camara
Gerente de Operaciones
Grupo Groming Ingeniería SAC. y
CEENQUA: Certifications for Engineering of Quality
La Molina, Lima - Perú
Estudios realizados en: Ingeniería Industrial, Ingeniería de Minas e Ingeniería
Informática
Universidad de Lima
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Nacional de Ingeniería
Escuela de Negocios para Graduados - ESAN

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Escrito por:

Gerente de Operaciones. Grupo Groming Ingeniería SAC. y CEENQUA: Certifications for Engineering of Quality La Molina, Lima - Perú.

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Portilla Camara Mohammed. (2010, febrero 23). Problemas matemáticos de optimización de recursos empresariales. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/problemas-matematicos-optimizacion-recursos-empresariales/
Portilla Camara, Mohammed. "Problemas matemáticos de optimización de recursos empresariales". GestioPolis. 23 febrero 2010. Web. <http://www.gestiopolis.com/problemas-matematicos-optimizacion-recursos-empresariales/>.
Portilla Camara, Mohammed. "Problemas matemáticos de optimización de recursos empresariales". GestioPolis. febrero 23, 2010. Consultado el 22 de Mayo de 2015. http://www.gestiopolis.com/problemas-matematicos-optimizacion-recursos-empresariales/.
Portilla Camara, Mohammed. Problemas matemáticos de optimización de recursos empresariales [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/problemas-matematicos-optimizacion-recursos-empresariales/> [Citado el 22 de Mayo de 2015].
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