Matemáticas financieras, curso y casos en Excel

Autor
CESAR ACHING GUZMAN
EQUIPO DE EDICION
ING. JORGE L. ACHING SAMATELO
Revisión técnica y soporte matemático
MARLENE SAMATELO VALDIVIA
Coordinadora General
ANGELA BONINO VELAOCHAGA
Diseño de Carátula
CESAR ACHING SAMATELO
PAULA ENITH ACHING DIAZ
Diseño, diagramación y proceso digital
MARIA VICTORIA ANGULO JOHNSON
Digitación
Contenido
CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
1. Introducción
2. Matemáticas financieras
3. El dinero
4. Los Bancos
5. Crédito
6. Toma de decisiones
7. Análisis de inversiones
8. Valor del dinero en el tiempo
9. Prohibidas: las Sumas y las Restas
10. La Equivalencia
11. Operación Financiera
12. Introducción al costo de oportunidad y costo de capital
13. Valoración de intereses
14. Letra devuelta
15. Letra de renovación
16. Descuento de una remesa de efectos
17. Crédito bancario, la póliza de crédito
18. Flujos de caja libre
19. Contabilidad versus Análisis Económico
20. Solución de los problemas
21. Interpolación
EJERCICIOS DESARROLLADOS
22. Fundamentos Matemáticos
22.1. Exponentes
22.2. Radicación
22.3. Logaritmos
22.4. Progresiones aritméticas
22.5. Progresión geométrica
23. Funciones Financieras de Excel
23.1. Microsoft Excel Xp
23.2. Funciones
23.3. Estructura de una función
24. Escribir fórmulas
25. Crear una fórmula
26. Sugerencias
27. En Excel sólo requerimos tres funciones para transformar entre sumas de dinero VA, VF y C
28. Funciones Financieras
29. Funciones para conversión de tasas de interés
30. Funciones para el manejo de series uniformes
31. Funciones de Evaluación de proyectos
32. Tablas de amortización
33. Calcular la diferencia entre dos fechas
34. Funciones matemáticas
CAPÍTULO 2: INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
1. Interés Simple
1.1. Valor actual
1.2. Tasas equivalentes
1.3. Valor actual de deudas que devengan interés
1.4. Descuento
2. Interés Compuesto
2.1. Valor actual a interés compuesto
2.2. Valor actual de deuda que devenga interés
2.3. Interés simple versus interés compuesto
2.4. Tasas equivalentes
2.5. Descuento Compuesto
2.6. Equivalencia de capitales a interés compuesto
2.7. Estimaciones duplicando el tiempo y la tasa de interés
2.8. Tasa variable durante el período que dura la deuda
EJERCICIOS DESARROLLADOS
CAPÍTULO 3: 6 LLAVES MAESTRAS DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS,
GRADIENTES Y MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE PROYECTOS
1. Los Factores Financieros
1.1. A partir del Monto compuesto
1º. Factor simple de capitalización (FSC)
2º. Factor simple de actualización (FSA)
1.2. A partir de Anualidades
3º. 3º Factor de actualización de la serie (FAS)
4º. 4º Factor de recuperación del capital (FRC)
5º. 5º Factor de capitalización de la serie (FCS)
6º. 6º Factor de depósito del fondo de amortización (FDFA)
3. ¿Cómo calcular el valor de i cuando tratamos con anualidades?
4. Valor actual de flujos diferentes
5. Gradientes
5.1. Gradiente uniforme
5.2. Anualidades perpetuas o costo capitalizado
5.3. Gradiente geométrico
5.4. Valor futuro de gradientes
6. Métodos de evaluación
6.1. VAN
6.2. Tasa interna de retorno (TIR)
6.3. Relación Beneficio / Costo
CAPÍTULO 4: TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS DE INTERÉS, CAPITALIZACIÓN
CONTINUA E INFLACIÓN
1. Introducción
2. Tasas nominales y efectivas de interés
2.1. Tasa Nominal
2.2. Tasa Efectiva
2.3. Cuando los períodos de capitalización y pagos no coinciden
3. Inflación
3.1. El valor futuro considerando la inflación
3.2. Recuperación del capital y fondo de amortización considerando la inflación
4. Cálculo de rendimiento en moneda extranjera
EJERCICIOS DESARROLLADOS
Capítulo IV
Capítulo V
CAPÍTULO 5: MERCADO DE CAPITALES, SISTEMA FINANCIERO, PRODUCTOS ACTIVOS
Y PASIVOS, PRÉSTAMOS
1. Introducción
2. Mercado de capitales
2.1. Sistema Financiero
2.2. Mercado de valores
2.3. Fuentes de Financiamiento
3. Funciones y productos activos y pasivos del sistema financiero
3.1. Productos activos
3.2. Los productos pasivos
4. Las tarjetas de crédito
4.1. Breve historia
4.2. El proceso
5. Préstamo
5.1. Grupos de préstamos
5.2. Elementos de los préstamos
5.3. Descuento Bancario
5.4. Tipos de préstamos
6. Modalidad de pago de las deudas
6.1. Sistema de pago Flat
6.2. Sistema de pago en un solo pago futuro
6.3. Sistema de pago en cuotas constantes (Método francés)
6.4. Sistema de pago en cuotas decrecientes (Sistema Alemán)
6.5. Sistema de pago en cuotas crecientes
7. Formas de Pago de los Préstamos
7.1. Préstamo con período de carencia
7.2. Préstamo con distintos tipos de interés
7.3. Préstamos con intereses anticipados
8. Préstamos hipotecarios y préstamos personales
8.1. Préstamos hipotecarios
8.2. Préstamos personales
8.3. Riesgo de interés
9. Valoración de los préstamos
EJERCICIOS DESARROLLADOS
CAPÍTULO 6: EMPRÉSTITOS, BONOS, SISTEMA DE EQUILIBRIO Y CASOS COMUNES
EN LOS NEGOCIOS...
1. Empréstito
1.1. Valor de emisión y valor de reembolso
1.2. Emisión
1.3. Gastos de emisión
1.4. Intereses
1.5. Deuda del Estado
1.6. Bono
1.7. Empréstito con amortizaciones parciales de capital
1.8. Empréstitos sin vencimiento
1.9. Empréstitos, amortización por sorteo
1.10. Empréstitos Cupón cero
1.11. Obligaciones convertibles
1.12. Rentabilidad de un empréstito
2. Sistema de equilibrio
3. Flujo de caja de los beneficios
4. Casos comunes en los negocios
4.1. Reparto de utilidades o pérdidas
EJERCICIOS DESARROLLADOS
Prólogo
El libro «MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE
DECISIONES EMPRESARIALES», es un compendio sobre temas
fundamentales del campo de las finanzas, necesario para entender el mundo
de los negocios. Con este propósito utilizo un lenguaje claro, sencillo,
práctico, rico en conceptos, con una amplia gama de casos resueltos con el
método conceptual-aplicativo y funciones financieras de Excel. Es una
edición digital mejorada y corregida de la edición impresa.
Dirigido a estudiantes, profesores y profesionales de administración,
contabilidad, economía, banca y finanzas, tecnología financiera y otras
actividades de carácter comercial; asimismo, a los pequeños y micro
empresarios y a todos aquellos que tengan la inquietud de aprender.
El capítulo 1: Introducción a las Matemáticas Financieras, en una primera
parte trata de las matemáticas financieras, el dinero, sus funciones, tipos, los
sistemas monetarios, los bancos y el dinero bancario, clases de bancos, el
sistema bancario, los componentes del dinero y creación monetaria, la
creación del dinero bancario, el crédito, la toma de decisiones, el análisis de
inversiones, el valor del dinero en el tiempo, la equivalencia, las operaciones
financieras, el costo de oportunidad y costo de capital, la valoración de
intereses, la letra devuelta, la letra de renovación, el descuento de una
remesa de efectos, el crédito bancario, la póliza de crédito, los flujos de caja
libre y la contabilidad versus Análisis Económico.
En una segunda parte, el capítulo trata de los fundamentos matemáticos
como: los exponentes, la teoría de los signos, las reglas en el uso de los
exponentes, los logaritmos y sus reglas, la progresión aritmética y
geométrica. Asimismo, en este capítulo abordamos las funciones financieras
de Excel, la estructura de una función, las fórmulas, las funciones para
conversión de tasas de interés: INT.EFECTIVO y la TASA.NOMINAL; las
funciones para el manejo de series uniformes, las funciones para la
evaluación de proyectos, las tablas de amortización y las funciones
matemáticas.
El capítulo 2: Interés Simple e Interés Compuesto, trata en forma integral el
interés simple e interés compuesto, el valor actual, las tasas equivalentes, el
descuento simple y compuesto, el descuento bancario; equivalencia de
capitales a interés compuesto, usos del principio de equivalencia,
estimaciones duplicando el tiempo y la tasa de interés y finalmente la tasa
variable durante el período que dura la deuda.
El capítulo 3: El capítulo 3, trata los 6 factores financieros de las matemáticas
financieras a partir del monto compuesto y de las anualidades; aborda
ampliamente las anualidades anticipadas(prepagables), vencidas
(pospagables) y diferidas; el valor actual de flujos diferentes; los gradientes y
finalmente los métodos de evaluación como: el VAN, la TIR y la relación
beneficio costo.
El capítulo 4: expone el tema de las tasas nominales y efectivas de interés, la
capitalización continua con tasas efectivas de interés, los factores de serie
uniforme y gradientes, la inflación y el cálculo de rendimiento en moneda
extranjera.
En la parte de los ejercicios desarrollados, como indicamos en el Capítulo III,
resolvemos 27 ejercicios de este capítulo.
El capítulo 5: expone el tema de los mercados de capitales, el sistema
financiero, el mercado de valores, las fuentes de financiamiento, productos
activos y pasivos; las tarjetas de crédito, los préstamos, la modalidad de
pago de las deudas y sus formas de pago, los préstamos hipotecarios y
personales, culminando con la valoración de los mismos. En la parte de los
ejercicios desarrollados, resolvemos 29 ejercicios.
El capítulo 6 expongo el tema de los empréstitos, deuda del Estado, bonos,
sistema de equilibrio y casos comunes en los negocios.
Como todos los capítulos, los temas están ilustrados con casos reales
resueltos aplicando el modelo matemático y la función financiera de Excel,
cuando es aplicable.
César Aching Guzmán
A mis padres:
Jorge (Q.E.P.D.) y Enith
A mis hermanos:
Jorge Alejandro (que nos ganó la partida)
Carlos, Andrés y
Jaime
“Nunca consideres el estudio como una obligación
sino como una oportunidad para penetrar en el
bello y maravilloso mundo del saber”
Albert Einstein
Reconocimientos
En primer lugar a los docentes de ESAN, que sembraron en mi mente la
inquietud por la investigación a través del método de casos: Konrad Fischer
Rossi, Luís Gaviño, Martín Scurrah, Fernando Robles, Juan Goyburo
Calderon, Armando Valdez Palacio, Alberto Zapater, J. Galarza, Santiago
Roca, Octavio Chirinos, Nissim Alcabes Avdala, Hans H. Frank, Raúl Galdo,
Carlos Chamorro, Juan Chu, Abner Montalvo, profesores del Primer
Programa Avanzado de Administración de Empresas (PADE) Mercadotecnia
(1977-1978) y del Primer PADE de Administración de Empresas (1979).
A mis hijos: Jorge por su constante apoyo y asesoría para la simplificación en
la solución de los casos, Ingeniero Electrónico de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos (UNMSM), Graduado con excelencia en la tesis:
“RECONOCIMIENTO BIOMETRICO DE HUELLAS DACTILARES Y SU
IMPLEMENTACION EN DSP”. Actualmente es becario y cursa estudios de
Maestría en Ingeniería Electrónica en la UNIVERSIDAD FEDERAL
ESPIRITU SANTO - BRASIL. A mi hijo César por su talentoso aporte en el
diseño, diagramación y digitalización de la obra.
Y reconocimiento especial, a Angela Bonino Velaochaga, galardonada
nacional e internacionalmente como exponente del arte moderno en nuestro
país, que tuvo a su cargo la creación y diseño de la carátula.
Finalmente, debo precisar que en temas como este resultaría absurdo
reclamar originalidad, por lo que me remito al enunciado de Adam Schaff
(“Historia y Verdad”): «La única originalidad que puede pretender el autor
reside en la manera en que disponga en un conjunto los elementos ya
conocidos y en el uso en que haga de ese conjunto en sus razonamientos».
César Aching Guzmán
FORMULAS FINANCIERAS
TIPO
Margen financiero
Flujo de Caja Libre
Diagrama de Egresos
CAPITULO I
FORMULA
Rédito y Tasa de Interés
Riesgo, Tasa corriente y Tasa
de interés real
Inflación
Acumulada
Diagrama de Ingresos
Diagrama de Depósito y Retiro
Pasiva Tasa- ActivaTasa
=
SPREAD
VF-VA
[1] VA
r=
[]
VF-VA
rVA
1A =
nn
i=
[
]
c
2 =(1+ )*(1+Φ)*(1+ )-1ii ip
[2A] =(1+ )(1+ )-1ic i Φ
[]
1
Φ)(1
)(1
3
+
+
=ic
i
1-) ... )) [4]
321
Φ+(1Φ+(1Φ+(1=Φ
Año 1 o 6
0123456
Tiempo
pico diagrama de flujo de efectivo durante 6 años
012345
500
1000
250
012345
800
1300
750
VF
123456meses
VA
5,000
6,300
FORMULAS FINANCIERAS
TIPO
Intes Compuesto Intes Simple y Descuento Simple
Tasa y descuento
equivalentes
FORMULA
Descuento
Interés Vencido
y Anticipado
CAPITULO II
[6] =
(
1+
)
VF
VA ni
[7] I=VF-VA
[8] I=VA n i
[9] VF = VA+ I
[10] I
i=VA n
1
[11]
VF -
VA
i= n
[12] I
n=VA i
[13]
VF -1
VA
n= i
[14] R
D = VF - VA
[15]
c
D=VNnd
[15A]
C
VA = VN- D
[
16
]
(
1
)
VA = VN - n d
[17] 1
i
d= +ni
[18] 1
d
i= -nd
[14A] DR = VF* n* i
[
20
]
(
1
)
1
n
IVA i=+
n
i
VF
VA )(1
[21] +
=
1 [22] =
n
VA
VF
i
)(1
[23] ilog
VA
VF
log
n+
=
1n-1 n
VF
VA
2 ...
[
]
(
)
5 1VF = VA + n i
[19]
n
VF VA(1 i)=+
=[A] 1
ia
iv -ia
=+
[B] 1
iv
ia iv

=∗


n
1
[C] 1-
(
1+
)
R
DVN i
n
[D] (1- )VA = VN d
n
[1-(1- ]
[E]
C
=VN d)
D
[F] 1
i
d= +i
[G] 1
d
i= -d
FORMULAS FINANCIERAS
TIPO FORMULA
CAPITULO III
Factores Financieros a partir del Monto Compuesto y de Anualidades
Para obtener el VA y VF de las anualidades prepagables basta multiplicar lasrmulas de las
pospagables por (1 +i).
n
[
19
]
(
1+
)
VF = VA i
nn
i
=
(
1+
)
FSC i
[21] (1+ )
n
VF
VA = i
n
in
1
=
(
1+
)
FSA i
()
()
+
+
11
[24] 1
i-
VA = C ii
n
n
n
n
in
(1+ ) -1
=(1+ )
i
FAS ii
n
n
(
1+
)
[25]
(
1+
)
-1
ii
C=VA i
n
n
n
i
(
1+
)
=
(
1+
)
-1
ii
FRC i
1-
[26] = 1
(
1+
)
VA
log i
C
n
log i
n
(1+ ) -1
[27] i
VF = C i
n
n
i
(
1+
)
-1
=i
FCS i
log +1
[28] = log(1+ )
VF i
C
ni
n
[29]
(
1+
)
-1
i
C=VF i
n
in
=(1+ ) -1
i
FDFA i
n+1
(
1+
)
-
(
1+
)
[30] ii
VF = C i
n+1
[31]
(
1+
)
-
(
1+
)
i
C=VF ii
log (1+ ) +1
[32] = log(1+ )
VF
iC
ni
CCCC
01234
Anualidades vencidas o pospagables
CCCC
0
1234
Anuali da de s anti ci padas o pre pagable s
FORMULAS FINANCIERAS
TIPO
Perpetuidad
Gradiente perpetuo
Métodos de
Evalauación: VAN, TIR y
B/C
Páags.
Gradiente
Geométrico Gradiente Uniforme
CAPITULO III
FORMULA
()
()()
n
nn
1+ -1
[33] -
1+ 1+
i
Gn
VA = iii i
()
()()
n
nn
[De 33] = 1+ -1
1-
1+ 1+
VA
G
in
iii i
∗+∗ −
-n n-1
-n
1-(1+ ) 1-(1+ ) 1
[33A] = (1+ )
ii
G
VA C i
ii in
()
()


− 

+−
 +−
[
De 34[
1
[34] =
11 1
11
n
n
nC
C=G G
iin
ii
()
n
1+ -1
[35] -
i
G
VF = n
ii
∗∗
nn-1
(1+ ) -1 (1+ ) 1
[35A] = +
ii
G
VF C n
ii i
[36] C
VAP = i
[37]
2
G
VA = i
n
n
(1+ ) -1
(1+ )
[38] = cuando
E
E
Qi
VA E i
E- i
=
E
[39] = cuando
1
n
VA Q E i
+E
[40] E
Q
VA = E- i
23
14n
0
234n
FC FC
FC FC FC
[
41
]
=++++ -I
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
VAN
RATIO VAN
[42] = INVERSION
23
14n
0234n
FC FC
FC FC FC
[TIR] -I + + + + + =0
(1+ ) (1+ ) (1+ ) (1+ ) (1+ )
iiiii
VAEgresos
VAIngresos
=
C
B
[42]
FORMULAS FINANCIERAS
TIPO
Inflación
Rendimiento en Moneda Extranjera
CAPITULO IV
FORMULA
Tasa de interés Nominal y
Efectiva
Tasa de Interés Efectiva
Continua y Nominal
11 [43] +=
m
m
j
i
n
[43A] = (1+TEA)-1i
n
[43B] TEA=[1+ ] -1i
1m
[44] = (1+ ) -1 , [44A] = n
[44B] = n
jm i ji
j
i
[
45
]
1
j
ie=−
[
]
(
)
46 1 j=ln +i
2
1
12
UM en el periodo t
[47] UM en el periodo t tasa de inflación t y t
=
[48]
(
1
)
n
VF
VA =
+
Φ
n
1
[49] ( )
(1 )
VA VF VF VA/VF, i , n
i
Φ
Φ
==
+
[50] ii i
Φ
=+Φ+Φ
n
nn
(1 ) ( , , )
[52] (1 ) (1 )
VA i VA VF/VA i n
VF
ΦΦ
+
==
+Φ +Φ
[53] 1
i
i
Φ
Φ
=
+
Φ
[
]
()
51 1
n
VF = VA + i
Φ
[
]
54 M.E. = EXT. + DEV. + ( EXT. * DEV.)i i i i i
0123456789101112meses
PP
1 mes
i = 18% nominal anual, compuesto semestralmente
Diagrama de flu
j
o de efectivo para un periodo de pago
(
PP
)
mensual y un periodo de
capitalización semestral(PC).
PC
6 meses
PC
6 meses
FORMULAS FINANCIERAS
TIPO
CAPITULO VI
FORMULA
BONOS Y EMPRETITOS
[58] C1 = (VA*i*n) + (A1*VN)
[62] A = W - CV
SISTEMA DE EQUILIBRIO
[60] C1 = (VA*i*n) + (1 + i)
[61] C1 = (A*VN) * (1 + i)^s
[76] CV = W - CF - B
[79] CV = W(1 - BV)
[67] B = W - CF - CV
[72] W = CF + CV + B
[74] CF = W - CV - B
[75] CF = (W*BV) - B
[55] VN ib
I= nb
[56]
s
m
m
I
V i
=
[57]
0P0
VA C A
=
[59] T
Ap
=
Aportación
[63]
Precio de Venta
A
BV BV PV
==
[64] CV
BV PV PV
=−
[65] CV
BV 1 - W
=
[66] ó
1
CF CF
PE PE CV
BV -W
==
[68] B(WBV)CF=∗ −
[69] B(W-PE)BV=∗
[70] B
MS A
=
[71] (W- PE)
MS W
=
()
[73] BCF
W BV
+
=
[77]
(
BCF
)
BV W
+
=
[78]
(
1
)
CV
W-BV
=
Capítulo 1
Introducción a las Matemáticas Financieras
Desde el punto de vista matemático, la base de las matemáticas financieras la encontramos
en la relación resultante de recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y otra
diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período. La diferencia entre
VA y VF responde por el “valor” asignado por las personas al sacrificio de consumo actual
y al riesgo que perciben y asumen al posponer el ingreso [URL1].
1. Introducción
Nos dice Michael Parkin, en su obra Macroeconomía: «El dinero, el fuego y la rueda, han estado
con nosotros durante muchos años. Nadie sabe con certeza desde cuándo existe -el dinero-, ni de
cuál es su origen».
En forma similar nos acompaña la matemática financiera, cuya génesis está en el proceso de la
transformación de la mercancía en dinero. Según la teoría del valor [URL 2]: el valor solo existe
de forma objetiva en forma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como
mercancía, en cualquier sistema social.
El sistema financiero esta esencialmente vinculado a las matemáticas financieras, por ello
describiremos escuetamente su origen [URL 9]. Por el año 1,368 - 1,399 D.C. aparece el papel
moneda convertible, primero en China y luego en la Europa medieval, donde fue muy extendido
por los orfebres y sus clientes. Siendo el oro valioso, los orfebres lo mantenían a buen recaudo
en cajas fuertes. Como estas cajas de seguridad eran amplias los orfebres alquilaban a los
artesanos y a otros espacios para que guardaran su oro; a cambio les giraban un recibo que
daba derecho al depositante para reclamarlo a la vista. Estos recibos comenzaron a circular
como medio de pago para comprar propiedades u otras mercancías, cuyo respaldo era el oro
depositado en la caja fuerte del orfebre. En este proceso el orfebre se dio cuenta que su caja de
caudales estaba llena de oro en custodia y le nace la brillante idea, de prestar a las personas
“recibos de depósitos de oro”, cobrando por sus servicios un interés; el oro seguiría en custodia y
solo entregaba un papel en que anotaba la cantidad prestada; tomando como previsión el no
girar recibos que excedieran su capacidad de respaldo. Se dio cuenta de que intermediando
entre los artesanos que tenían capacidad de ahorro en oro y los que lo necesitaban, podía ganar
mucho dinero. Así es la forma en que nació el actual mercado de capitales, sobre la base de un
sistema financiero muy simple, de carácter intermediario.
2. Matemáticas financieras
La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del
dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o
interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada
también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica.
Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en momentos
precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones
realizadas por un ente privado o publico, que permiten tomar la decisión mas acertada en el
momento de realizar una inversión; con el derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, los
instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y
embarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los
contratos de compra venta, hipotecas, préstamos a interés; con la economía, por cuanto brinda
la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtener
mayores beneficios económicos; con la ciencia política, por cuanto las ciencias políticas estudian
y resuelven problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas e
instituciones en manos de los gobiernos. Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina
en la toma de decisiones en cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y
negociaciones que beneficien a toda la población; con la ingeniería, que controla costos de
producción en el proceso fabril, en el cual influye de una manera directa la determinación del
costo y depreciación de los equipos industriales de producción; con la informática, que permite
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones y
negociaciones; con la sociología, la matemática financiera trabaja con inversiones y proporciona
a la sociología las herramientas necesarias para que las empresas produzcan más y mejores
beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la sociedad y con las finanzas,
disciplina que trabaja con activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y
prestamos otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos
fundamentales de las matemáticas financieras.
Por ello, las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente práctica, su estudio esta
íntimamente ligado a la resolución de problemas y ejercicios muy semejantes a los de la vida
cotidiana, en el mundo de los negocios. Dinero y finanzas son indesligables.
3. El dinero
"El dinero es el equivalente general, la mercancía donde el resto de las mercancías expresan su valor, el
espejo donde todas las mercancías reflejan su igualdad y su proporcionalidad cuantitativa" [URL 3].
Según la economía habitual [URL 4], dinero es cualquier cosa que los miembros de una
comunidad estén dispuestos a aceptar como pago de bienes y deudas, cuya función especifica
estriba en desempeñar la función de equivalente general. El dinero surgió espontáneamente en la
remota antigüedad, en el proceso de desarrollo del cambio y de las formas del valor. A diferencia
de las otras mercancías, el dinero posee la propiedad de ser directa y universalmente cambiable
por cualquier otra mercancía.
Marx procede en este terreno de modo distinto. Cuando analiza el trueque directo de
mercancías descubre el dinero en forma germinal...” [URL 3].
3.1. Funciones del dinero
Formas concretas en que se manifiesta la esencia del dinero como equivalente general. En la
economía mercantil desarrollada, el dinero cumple las cinco funciones siguientes:
1) medida del valor [URL 3] “Con el dinero podemos medir, por ejemplo, el patrimonio que tiene
cada ciudadano. Y también podemos medir el precio de cada hora de trabajo social medio. De
manera que si expresamos el valor del patrimonio personal en dinero, después debemos expresar
este dinero en horas de trabajo...”
2) medio de circulación,
3) medio de acumulación o de atesoramiento,
4) medio de pago y
5) dinero mundial.
Siendo su función elemental la de intermediación en el proceso de cambio. El hecho de que los
bienes tengan un precio proviene de los valores relativos de unos bienes con respecto a otros.
3.2. Tipos de dinero
Dinero – mercancía: Consiste en la utilización de una mercancía (oro, sal, cueros) como medio
para el intercambio de bienes. La mercancía elegida debe ser: duradera, transportable, divisible,
homogénea, de oferta limitada.
Dinero – signo: Billetes o monedas cuyo valor extrínseco, como medio de pago, es superior al
valor intrínseco. El dinero signo es aceptado como medio de pago por imperio de la ley que
determina su circulación (curso legal). El dinero signo descansa en la confianza que el público
tiene en que puede utilizarse como medio de pago generalmente aceptado.
Dinero – giral: Representado por los depósitos bancarios.
La transformación del dinero en capital [URL 3]
“El dinero se transforma en capital cuando con él compramos los factores objetivos y los factores
subjetivos para producir riqueza. Los factores objetivos son los medios de producción y los
factores subjetivos son la fuerza de trabajo. Por lo tanto, el dinero como capital se diferencia del
dinero como simple dinero por la clase peculiar de mercancías que compra: medios de
producción y fuerza de trabajo. La economía convencional sólo capta el dinero como medio de
cambio, y el dinero que funciona como capital igualmente lo capta como medio de cambio. Y es
cierto que el dinero que circula como capital funciona como medio de cambio. La diferencia no
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
estriba, por lo tanto, en la función que desempeña en el mercado, sino en la clase de mercancías
que se compra con él. El dinero como simple dinero se emplea como medio de cambio de medios
de consumo personal, mientras que el dinero como capital se emplea como medio de cambio de
medios de producción y de fuerza de trabajo”...
3.3. Sistemas monetarios
Un sistema monetario es un conjunto de disposiciones que reglamentan la circulación de la
moneda de un país.
Tradicionalmente, los países eligieron el oro y la plata como la base de un sistema monetario
mono metalista. Cuando adoptaron ambos metales a la vez, se trataba de un sistema bi-
metalista. Actualmente todas las divisas (dólar, Euro, yen, etc.) son dinero fiduciario.
En épocas de inflación, la gente trata de desprenderse inmediatamente del dinero que se
desvaloriza y de retener aquellos bienes que conservan su valor.
3.4. Los bancos y el dinero bancario
El dinero bancario está constituido por los depósitos en los bancos, cajas de ahorro, compañías
financieras o cajas de crédito.
Los bancos reciben depósitos de sus clientes y conceden préstamos a las familias y a las
empresas. El volumen de los préstamos concedidos es superior al de los depósitos que
mantienen sus clientes.
4. Los Bancos
Al parecer, la palabra "banco" procede de los que utilizaban los cambistas para trabajar en las plazas
públicas en las ciudades italianas medievales. El oficio de cambista era entonces una profesión muy
especializada que requería amplios conocimientos ya que las docenas de pequeños Estados existentes
entonces mantenían en circulación centenares de diferentes monedas que eran aceptadas para el
comercio, no por su valor facial, sino por el peso y ley del metal en que se acuñaban y que sólo un
experto discernimiento podía establecer [URL 4].
Evolución histórica. Como señalábamos en la introducción, estas instituciones nacen en la
Europa medieval, en las Repúblicas aristocráticas italianas, Venecia, Génova, Florencia, a
mediados del siglo XII con la finalidad de prestar servicios de depósito. Al multiplicarse los
bancos, amplían sus operaciones, agregan la emisión de certificados, antecedentes de nuestros
actuales billetes.
Juan Fugger fue el iniciador en Alemania de una familia de banqueros y comerciantes que unió
su destino empresarial a la corona. Se constituyó en el prestamista de Carlos V. Desde Italia la
prominencia comercial y bancaria pasó a Holanda y al norte de Europa.
En 1605 nace el Banco de Amsterdam, primer banco moderno que no tuvo como todos los
bancos italianos carácter de sociedad familiar o personal. Integrado por comerciantes a causa de
la ubicación geográfica de su ciudad y puerto, fue un factor de primer orden para la economía de
Holanda y Alemania.
El Banco de Inglaterra fundado en 1694, como consecuencia de los préstamos que otorga, el
gobierno le autorizó a emitir billetes.
4.1. Clases de bancos
4.1.1. Según el origen del capital
Bancos públicos: El capital es aportado por el estado.
Bancos privados: El capital es aportado por accionistas particulares.
Bancos mixtos o Banca Asociada: Su capital proviene de aportes privados y estatales.
4.1.2. Según el tipo de operación
Bancos corrientes: Los más comunes, sus operaciones habituales incluyen depósitos en cuenta
corriente, caja de ahorro, préstamos, cobranzas, pagos y cobranzas por cuentas de terceros,
custodia de títulos y valores, alquileres de cajas de seguridad, financiación, etc.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
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Bancos especializados: Tienen una finalidad crediticia específica (Bancos Hipotecarios, Banco
Industrial, Banco Agrario).
Bancos de emisión: Actualmente representados por bancos oficiales.
Bancos Centrales: Son las casas bancarias de categoría superior que autorizan el funcionamiento
de entidades crediticias, las supervisan y controlan.
4.2. Sistema Bancario
4.2.1. Banco Central
Es la autoridad monetaria por excelencia en cualquier país que tenga desarrollado su sistema
financiero. Es una institución casi siempre estatal que tiene la función y la obligación de dirigir
la política monetaria del gobierno.
Funciones.
Emisión de moneda de curso legal con carácter exclusivo.
Es el «banco de los bancos». Los bancos comerciales tienen una cuenta corriente en el Banco
Central de igual forma que los individuos tienen las suyas en los comerciales.
Es el asesor financiero del gobierno y mantiene sus principales cuentas.
Es el encargado de custodiar las reservas de divisas y oro del país.
Es el prestamista en última instancia de los bancos comerciales.
Determina la relación de cambio entre la moneda del país y las monedas extranjeras.
Maneja la deuda pública.
Ejecuta y controla la política financiera y bancaria del país.
4.2.2. Bancos Comerciales
Dedicados al negocio de recibir dinero en depósito, los cuales los presta, sea en forma de mutuo,
de descuento de documentos o de cualquier otra forma. Son considerados además todas las
operaciones que natural y legalmente constituyen el giro bancario.
Funciones.
- Aceptar depósitos.
- Otorgar adelantos y préstamos.
Los depósitos (pasivos) son deudas del banco hacia el público, por las cuales el banco paga un
interés. Los préstamos (activos) son deudas del público al banco, por ellos el banco recibe un
interés, la diferencia entre ambos constituye la ganancia (spread) que les otorga la actividad de
intermediarios financieros.
4.3. Componentes del dinero y creación monetaria
Dinero son los billetes y monedas de circulación legal en un país, en poder del público, más los
depósitos bancarios en cuenta corriente movilizados mediante el cheque.
O sea, el primer componente es el dinero en efectivo, el segundo es el denominado «dinero
bancario» originado en la práctica de los negocios.
Los depósitos en cuenta corriente son denominados «depósitos a la vista» y son los que guardan
mayor relación con el dinero en efectivo. En los países de elevado desarrollo económico-
financiero, la masa de cheques en circulación representa una proporción muy significativa
respecto del total monetario.
Los depósitos «a plazo» (cajas de ahorro, cuentas especiales, plazo fijo) poseen distintos grados de
convertibilidad líquida.
Desde el punto de vista de la creación monetaria, existen dos tipos de dinero:
Base monetaria o dinero primario (emitido por la autoridad financiera, BCR).
Dinero secundario (inyectado por los bancos a través del poder adquisitivo generado por los
préstamos).
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
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Las entidades financieras tienen facultad de dar créditos hasta un determinado porcentaje de los
depósitos captados. La autoridad monetaria establece una reserva obligatoria (efectivo mínimo o
encaje), el resto puede ser afectado a operaciones de crédito.
Un cheque no es dinero, sino simplemente una orden a un banco para transferir una
determinada cantidad de dinero, que estaba depositada en él.
Los depósitos no son una forma visible o tangible de dinero, sino que consisten en un asiento
contable en las cuentas de los bancos.
En los países con un sistema financiero desarrollado, los billetes y las monedas representan una
pequeña parte del total de la oferta monetaria.
4.4. La creación del dinero bancario
El dinero otorga a su poseedor capacidad de compra. Ese dinero puede ser creado de dos
maneras:
- Por emisión, dispuesta por la entidad autorizada en cada país (BCR).
- Por los préstamos que otorgan las entidades financieras.
Dado que los depósitos bancarios son convertibles en dinero líquido, los bancos tienen que
asegurarse de que en todas las circunstancias se encuentren en posición de hacer frente a las
demandas de liquidez (billetes y monedas) por parte de sus depositantes.
La práctica bancaria muestra que el uso generalizado de cheques significa que cada día sólo un
pequeño porcentaje de los depósitos bancarios son convertidos en dinero efectivo y esos retiros
son compensados con los ingresos de efectivo que otras personas realizan. De esta forma, los
banqueros han comprobado que pueden crear depósitos bancarios por encima de sus reservas
líquidas.
Las reservas líquidas legalmente requeridas o encaje bancario es la fracción de depósitos que
los bancos deben mantener como reservas.
Si en un determinado momento todos los clientes de un banco quisieran a la vez retirar sus
depósitos, el banco no podría atender todas las peticiones.
Activos financieros
Los activos pueden ser:
- Reales: tienen valor por sí mismos (mercaderías, muebles).
- Financieros: tienen valor por lo que representan (billetes, depósitos bancarios).
a. Efectivo: activo financiero líquido por excelencia.
b. Depósitos bancarios: tienen mayor o menor liquidez según sean a la vista o a término.
c. Títulos valores:
- Acciones: títulos emitidos por las sociedades de capital a favor de sus socios, para acreditar su
condición de tales.
- Pagarés: promesas de pago emitidas por una persona (librador) a favor de otra (beneficiario).
- Letras de cambio: órdenes de pago emitidas por un librador a favor de un beneficiario y a cargo
de otra persona.
- Títulos de deuda, públicos y privados: sus titulares pasan a ser acreedores del ente emisor de
aquellos. Reciben una renta fija.
5. Crédito
Término utilizado en el comercio y finanzas para referirse a las transacciones que implican una
transferencia de dinero que debe devolverse transcurrido cierto tiempo. Por tanto, el que
transfiere el dinero se convierte en acreedor y el que lo recibe en deudor; los términos crédito y
deuda reflejan pues una misma transacción desde dos puntos de vista contrapuestos.
Finalmente, el crédito implica el cambio de riqueza presente por riqueza futura.
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5.1. Clases de crédito
5.1.1. Según el origen:
a. Créditos comerciales, son los que los fabricantes conceden a otros para financiar la
producción y distribución de bienes; créditos a la inversión, demandados por las empresas
para financiar la adquisición de bienes de equipo, las cuales también pueden financiar estas
inversiones emitiendo bonos, pagarés de empresas y otros instrumentos financieros que, por
lo tanto, constituyen un crédito que recibe la empresa;
b. Créditos bancarios, son los concedidos por los bancos como préstamos, créditos al consumo o
créditos personales, que permiten a los individuos adquirir bienes y pagarlos a plazos;
c. Créditos hipotecarios, concedidos por los bancos y entidades financieras autorizadas, contra
garantía del bien inmueble adquirido;
d. Créditos contra emisión de deuda pública. Que reciben los gobiernos centrales, regionales o
locales al emitir deuda pública;
e. Créditos internacionales, son los que concede un gobierno a otro, o una institución
internacional a un gobierno, como es el caso de los créditos que concede el Banco Mundial.
5.1.2. Según el destino:
De producción: Crédito aplicado a la agricultura, ganadería, pesca, comercios, industrias y
transporte de las distintas actividades económicas.
De consumo: Para facilitar la adquisición de bienes personales.
Hipotecarios, destinados a la compra de bienes inmuebles,
5.1.3. Según el plazo:
A corto y mediano plazo: Otorgados por Bancos a proveedores de materia prima para la
producción y consumo.
A largo plazo: Para viviendas familiares e inmuebles, equipamientos, maquinarias, etc.
5.1.4. Según la garantía:
Personal. Créditos a sola firma sobre sus antecedentes personales y comerciales.
Real (hipotecas). Prendarias cuando el acreedor puede garantizar sobre un objeto que afecta en
beneficio del acreedor.
5.2. ¿Cómo está dividido y cuál es la finalidad de una cartera de créditos? [URL 5]
La cartera de créditos está dividida en: créditos comerciales, créditos a micro empresas (MES),
créditos de consumo y créditos hipotecarios para vivienda. Los créditos comerciales y de micro
empresas son otorgados a personas naturales o personas jurídicas y los créditos de consumo y
créditos hipotecarios para vivienda son sólo destinados a personas naturales. Por lo demás los
créditos comerciales, de micro empresas y de consumo, incluyen los créditos otorgados a las
personas jurídicas a través de tarjetas de créditos, operaciones de arrendamiento financiero o
cualquier otra forma de financiamiento que tuvieran fines similares a los de estas clases de
créditos.
a) Créditos comerciales: Son aquellos que tienen por finalidad financiar la producción y
comercialización de bienes y servicios en sus diferentes fases.
b) Créditos a las Micro Empresas MES): Son aquellos créditos destinados al financiamiento de
actividades de producción, comercio o prestación de servicios siempre que reúnan éstas dos
características:
- Que el cliente cuente con un total de activos que no supere o sea equivalente a los US $
20,000. Para éste cálculo no toman en cuenta los inmuebles del cliente.
- El endeudamiento del cliente en el sistema financiero no debe exceder de US $ 20,000 o su
equivalente en moneda nacional.
Cuando se trate de personas naturales su principal fuente de ingresos deberá ser la realización
de actividades empresariales, por lo que no consideran en ésta categoría a las personas cuya
principal fuente de ingresos provienen de rentas de quinta categoría.
c) Créditos de consumo: Son créditos que tienen como propósito atender el pago de bienes,
servicios o gastos no relacionados con una actividad empresarial.
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d) Créditos hipotecarios para vivienda: Son aquellos créditos destinados a la adquisición,
construcción, refacción, remodelación, ampliación, mejoramiento y subdivisión de vivienda
propia, siempre que tales créditos sean otorgados amparados con hipotecas debidamente
inscritas, pudiendo otorgarse los mismos por el sistema convencional de préstamo
hipotecario, de letras hipotecarias o por cualquier otro sistema de similares características.
5.3. ¿Cómo es clasificado un deudor? [URL 5]
La clasificación del deudor está determinada principalmente por su capacidad de pago, definida
por el flujo de fondos y el grado de cumplimiento de sus obligaciones. Si un deudor es
responsable de varios tipos de créditos con una misma empresa, la clasificación estará basada en
la categoría de mayor riesgo. En caso que la responsabilidad del deudor en dos o más empresas
financieras incluyen obligaciones que consideradas individualmente resulten con distintas
clasificaciones, el deudor será clasificado a la categoría de mayor riesgo que le haya sido
asignada por cualquiera de las empresas cuyas deudas representen mas del 20% en el sistema,
considerándose para dicho efecto la última información disponible en la central de riesgo.
5.4. ¿En que categorías es clasificado un deudor de la cartera de créditos? [URL 5]
Cada deudor que es responsable de uno o varios tipos de créditos será clasificado de acuerdo a
las siguientes categorías:
- Categoría Normal ( 0 )
- Categoría con problemas Potenciales (1)
- Categoría Deficiente ( 2 )
- Categoría Dudoso ( 3 )
- Categoría Pérdida ( 4 )
5.5. ¿Qué criterios son asignados en cada una de las categorías al clasificarse a un
deudor de un crédito comercial? [URL 5]
Para determina la clasificación en éste tipo de crédito deberá considerarse fundamentalmente el
análisis del flujo de fondos del deudor. Adicionalmente la empresa del sistema financiero
considerará si el deudor tiene créditos vencidos y/o en cobranza judicial en la empresa y en otras
empresas del sistema, así como la posición de la actividad económica del deudor y la
competitividad de la misma, lo que en suma determinará las siguientes categorías:
a) Si el deudor es clasificado en categoría Normal (0), esto significa que es capaz de atender
holgadamente todos sus compromisos financieros, es decir, que presenta una situación
financiera líquida, bajo nivel de endeudamiento patrimonial y adecuada estructura del
mismo con relación a su capacidad de generar utilidades, cumple puntualmente con el pago
de sus obligaciones, entendiéndose que el cliente los cancela sin necesidad de recurrir a
nueva financiación directa o indirecta de la empresa.
b) Si la clasificación está en la categoría con Problemas Potenciales (1), esto significa que el
deudor puede atender la totalidad de sus obligaciones financieras, sin embargo existen
situaciones que de no ser controladas o corregidas en su oportunidad, podrían comprometer
la capacidad futura de pago del deudor. Los flujos de fondos del deudor tienden a debilitarse
y se presentan incumplimientos ocasionales y reducidos.
c) Si es clasificado en categoría Deficiente (2), esto quiere decir que el deudor tiene problemas
para atender normalmente la totalidad de sus compromisos financieros, que de no ser
corregidos pueden resultar en una pérdida para la empresa del sistema financiero. En este
caso el deudor presenta una situación financiera débil y un nivel de flujo de fondos que no le
permite atender el pago de la totalidad del capital y de los intereses de las deudas, pudiendo
cubrir sólo estos últimos y además incumplimientos mayores a 60 días y que no exceden de
120 días.
d) La categoría Dudoso (3), significa que es altamente improbable que el deudor pueda atender
a la totalidad de sus compromisos financieros. El deudor no puede pagar ni capital ni
intereses, presentando una situación financiera crítica y muy alto nivel de endeudamiento,
con incumplimientos mayores a 120 días y que no exceden de 365 días.
e) Si la clasificación es considerada en categoría Pérdida (4), esto quiere decir que las deudas
son consideradas incobrables pese a que pueda existir un valor de recuperación bajo en el
futuro. El deudor ha suspendido sus pagos, siendo posible que incumpla eventuales
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acuerdos de reestructuración. Además, se encuentra en estado de insolvencia decretada, ha
pedido su propia quiebra, presentando incumplimientos mayores a 365 días.
6. Toma de decisiones [URL 1]
La unidad para la toma de decisiones es una persona o una organización pública o privada a través de
sus autoridades y gerentes respectivamente.
En el mundo real, las situaciones por resolver son múltiples y variadas y para solucionarlos los
recursos son escasos. Las disciplinas que ayudan a tomar decisiones son la Economía y la
Administración. Entre varias alternativas de solución obviamente optaremos por la mejor de
ellas. La unidad para la toma de decisiones es una persona u organización pública o privada a
través de sus autoridades y gerentes respectivamente.
Por lo general todo problema tiene los siguientes elementos: la unidad que toma la decisión, las
variables controlables (internas o endógenas), las variables no controlables (del entorno o
exógenos), las alternativas, la carencia de recursos y la decisión en sí misma que llevan a escoger
alternativas más eficientes y óptimas o que produzcan resultados beneficiosos.
7. Análisis de inversiones
En un sentido amplio inversión, es el flujo de dinero orientada a la creación o mantenimiento de
bienes de capital y a la realización de proyectos supuestamente rentables.
Conocemos al análisis de inversiones también como Matemáticas Financieras, Administración de
Inversiones o Ingeniería Económica. El análisis de inversiones emplea como concepto
fundamental la tasa de interés, con el que obtenemos elementos para efectuar infinidad de
análisis de tipo económico-financiero, principalmente para:
1. Establecer el exacto costo de la alternativa de financiación o verdadera rentabilidad de la
inversión.
2. Organizar planes de financiamiento en negocios de venta a crédito o a plazos.
3. Elegir planes más adecuados para la liquidación de obligaciones, según los criterios de
liquidez y rentabilidad.
4. Determinar el costo de capital
5. Elegir las alternativas de inversión más apropiadas a corto y largo plazo.
6. Elegir entre alternativas de costos.
7.1. Estudio de la rentabilidad de inversiones [URL 1]
Para entender este tema es necesario aceptar tres niveles de comprensión:
El conceptual tiene que ver con los conceptos básicos de interés, tasa de interés, equivalencia y
los métodos para la toma de decisiones.
El operativo instrumental referido al empleo de fórmulas y funciones financieras de hojas de
cálculo como Excel.
El situacional comprende la descripción de la realidad. Puede ser: las cláusulas de un contrato o
pagaré; es decir, un escenario a cambiar y para el cual contamos con varias alternativas de
solución.
8. Valor del dinero en el tiempo
Uno de los principios más importantes en todas las finanzas.
El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar o pagar a
tasas de interés periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.). Es el proceso del
interés compuesto, los intereses pagados periódicamente son transformados automáticamente en
capital. El interés compuesto es fundamental para la comprensión de las matemáticas
financieras.
Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo agrupados en dos áreas: valor futuro
y valor actual. El valor futuro (VF) describe el proceso de crecimiento de la inversión a futuro a
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un interés y períodos dados. El valor actual (VA) describe el proceso de flujos de dinero futuro
que a un descuento y períodos dados representa valores actuales [URL 1].
Ejemplos: De las siguientes opciones ¿Cuál elegiría?
1) Tener UM 10 hoy u
2) Obtener UM 10 dentro de un año
Ambas 100% seguras
Indudablemente, cualquier persona sensata elegirá la primera, UM 10 valen más hoy que dentro
de un año.
1) Tener UM 10 hoy u
2) Obtener UM 15 dentro de un año
Ambas 100% seguras.
Elección más difícil, la mayoría elegiría la segunda. Contiene un «premio por esperar» llamada
tasa de interés, del 50%.
Generalmente en el mercado, esta tasa de interés lo determina el libre juego de la oferta y demanda.
Otro Ejemplo:
Un préstamo de UM 20,000 con 18% de interés anual para su uso durante los próximos cuatro
años.
Año del préstamo UM 20,000
18% costo del capital 3,600 FDA 23,600
Año del préstamo UM 23,600
18% costo del capital 4,248 FDA 27,848
Año del préstamo UM 27,848
18% costo del capital 5,013 FDA 32,861
Año del préstamo UM 32,861
18% costo del capital 5,915 FDA 38,776
FDA: Fin de año
Aplicando al ejemplo el concepto de valor del dinero en el tiempo, vemos que UM 20,000 actuales
tienen un valor en el tiempo de UM 23,600 pasado un año, 27,848 dos años después y, 38,776
pasado cuatro años. Inversamente el valor de UM 38,776 a cuatro años vista es UM 20,000 en la
actualidad.
Los cálculos del valor del dinero en el tiempo lo efectuamos con 18% de costo anual, podría
haberse calculado a tasa mayor o menor, pero este costo nunca será cero. En nuestro ejemplo el
valor del dinero en el tiempo de UM 20,000 al final de cuatro años es UM 38,776, evaluando al
18% de costo de capital anual.
El proceso recíproco del interés compuesto es el valor futuro o «descontando el futuro»,
análogamente el VA reconoce tasas de rendimiento en todas las transacciones de dinero. El
prestatario y el prestamista son dos partes de la misma transacción. El prestamista espera
recibir UM 32,861 tres años después; no obstante, el valor actual de ese ingreso es sólo UM
20,000. Esto quiere decir, que el valor futuro de UM 32,861 descontado al presente es UM
20,000 al 18% de interés. El descuento es simplemente el reconocimiento del valor cronológico
del dinero.
El factor tiempo juega papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No es lo mismo
disponer de UM 10,000 hoy que dentro de un año, el valor del dinero cambia como consecuencia
de:
1) La inflación.
2) La oportunidad de invertirlos en alguna actividad, que lo proteja de la inflación y al mismo
tiempo produzca rentabilidad.
3) Riesgo de crédito.
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Si la alternativa fuera recibir los UM 10,000 al final de un año, nosotros aceptaríamos la
propuesta a condición de recibir una suma adicional que cubra los tres elementos indicados.
Dicho esto, concluimos en que el dinero produce más dinero, o más claramente genera riqueza.
Ejemplo:
¿Me prestaría alguien UM 3,000 hoy, a condición de devolverle UM 3,000 dentro de un año? Si
dicen no, quiere decir que los UM 3,000 dentro de un año no son los mismos a los actuales. Si
piden devolver UM 3,450, esta suma al final de un año será el valor cronológico de UM 3,000 en la
actualidad, en este caso, el valor del dinero ha sido evaluado al 15% anual.
9. Prohibidas: las Sumas y las Restas
Las cantidades sólo pueden sumarse o restarse cuando ocurre en el mismo momento.
En las matemáticas financieras están prohibidas las sumas y las restas, veamos esto con un
ejemplo: tomemos seis pagos anuales de UM 100 al 12% de interés anual.
Cada UM 100 vale únicamente este valor en su momento en la escala temporal, en cualquier otro
momento, su valor es distinto. No es posible sumar los UM 100 al final del año 3 a los UM 100
del final del año 5. Primero calculamos el valor cronológico en el año 5, o sea, convertimos la
cifra a fin que corresponda al año 5, antes que la suma tenga sentido. Al 12% de interés anual: n
= 2 (5-3).
VF = 100 (1 + 0.12)2 = UM 125.44
Luego la suma de los dos gastos en el año 2 será 125.44 + 100 = UM 225.44 y no UM 200. Es
decir: Las cantidades sólo pueden sumarse o restarse cuando ocurren en el mismo momento (de
tiempo). Los montos diferentes deben transformarse primeramente en equivalentes de un mismo
momento, de acuerdo con el valor del dinero en el tiempo, antes de que puedan sumarse o
restarse (o manipularse en alguna otra forma).
Volviendo al ejemplo, podríamos decir, que haremos seis pagos iguales a fines de año por UM
600, durante los próximos seis años, lo cual es correcto, pero en ningún caso esto significa
evaluación de ellos.
10. La Equivalencia
Es un concepto de mucha importancia en el ámbito financiero; utilizado como modelo para simplificar
aspectos de la realidad [URL 1].
Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero
hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido
un período; expresamos este concepto con la fórmula general del interés compuesto:
Fundamental en el análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de todo lo conocido
como Matemáticas Financieras.
Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez, sustentadas en el sacrificio de
consumo [URL 6]:
1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos, preferiremos aquel más cercano.
2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero de diferente valor, preferiremos
aquel de importe más elevado.
La preferencia de liquidez es subjetiva, el mercado de capitales le da un valor objetivo a través del
precio que fija a la transacción financiera con la tasa de interés.
Para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los mismos en
un mismo momento, y para ello utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras.
Como vimos, no es posible sumar unidades monetarias de diferentes períodos de tiempo, porque
no son iguales. Cuando expusimos el concepto de inversión, vimos que la persona ahorra o
invierte UM 10 para obtener más de UM 10 al final de un período, determinamos que invertirá
hasta cuando el excedente pagado por su dinero, no sea menor al valor asignado al sacrificio de
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consumo actual, es decir, a la tasa a la cual está dispuesta a cambiar consumo actual por
consumo futuro.
Equivalencia no quiere decir ausencia de utilidad o costos; justamente ésta permite cuantificar
el beneficio o pérdida que significa el sacrificio de llevar a cabo una operación financiera.
Un modelo matemático representativo de estas ideas, consiste en la siguiente ecuación:
VF = VA + compensación por aplazar consumo
Donde:
VF = Suma futura poseída al final de n períodos, Valor Futuro.
VA = Suma de dinero colocado en el período 0, Valor Actual.
El valor actual (VA) es equivalente a mayor cantidad en fecha futura (VF), siempre y cuando la
tasa de interés sea mayor a cero.
Diagrama de equivalencia de capitales
100 (1 + 0,09)
(valor actual de 100) (valor futuro 100)
100 109
(tipo de interés 9% anual)
01
(ahora) (dentro de un año)
Al cabo de un año UM 100 invertido al 9% anual, es UM 109. Entonces decimos: el valor futuro
de UM 100 dentro de un año, al 9% anual, es UM 109. En otras palabras: el valor actual de UM
109 dentro de un año, al 9% anual, es UM 100.
Es decir UM 100 es equivalente a UM 109 dentro de un año a partir de hoy cuando la tasa de
interés es el 9% anual. Para una tasa de interés diferente al 9%, UM 100 hoy no es equivalente
a UM 109 dentro de un año.
Aplicamos el mismo razonamiento al determinar la equivalencia para años anteriores.
UM 100 hoy es equivalente a UM 100 / 1.09 = UM 91.74, es decir:
UM 91.74 hace un año (anterior), UM 100 hoy y UM 109 dentro de un año (posterior) son
equivalentes entre sí al 9% de capitalización o descuento. Con esto establecemos que:
anual
100 UM
109 UM 1.09% =
anual
91.74 UM
100 UM 1.09%=
Estas tres sumas de dinero son equivalentes al 9% de interés anual, diferenciado por un año.
Las fórmulas financieras que permiten calcular el equivalente de capital en un momento
posterior, son de Capitalización Simple o Compuesta, mientras aquéllas que permiten calcular
el equivalente de capital en un momento anterior las conocemos como fórmulas de Descuento
Simple o Compuesto. Estas fórmulas permiten también sumar o restar capitales en distintos
momentos. Desarrollamos ampliamente el concepto de equivalencia cuando tratamos las clases
de interés.
11. Operación Financiera [URL 6]
Entendemos por operación financiera el reemplazo de uno o más capitales por otro u otros
equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación del interés simple y
compuesto.
Cualquier operación financiera es un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto
y distintas cuantías que ocurren en el tiempo. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por
parte de una entidad bancaria a un cliente supone para este último un cobro inicial (el importe
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
del préstamo) y unos pagos periódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operación. Por
parte del banco, la operación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos.
La realización de una operación financiera implica, el cumplimiento de tres puntos:
1º. Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital(es) por otro(s).
2º. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la aplicación
del interés simple o compuesto.
3º. Aplicación del interés simple o compuesto. Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar
el importe de todos y cada uno de los capitales que conforman la operación.
11.1. Componentes
11.1.1. Personales
En una operación financiera básica intervienen un sujeto (acreedor) que pone a disposición de
otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente lo recupera incrementado, es decir, el
principal más los intereses.
La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor es la prestación de
la operación financiera. La operación concluirá cuando el deudor termine de entregar al
acreedor el capital (más los intereses); esta actuación por ambas partes es la contraprestación
de la operación financiera.
En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de las partes no
coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo supone la producción
de intereses que formarán parte de la operación y que habrá que considerar y cuantificar. Por
tanto, prestación y contraprestación nunca son aritméticamente iguales. No obstante, habrá una
ley financiera que haga que resulten financieramente equivalentes, es decir, que si valorásemos
prestación y contraprestación en el mismo momento, con la misma ley y con el mismo
porcentaje, entonces sí se produciría la igualdad numérica entre ambas. Tanto la prestación
como la contraprestación pueden estar formadas por más de un capital.
11.1.2. Temporales
El momento de tiempo donde comienza la prestación es el origen, donde concluye la
contraprestación es el final y el intervalo de tiempo que transcurre entre ambas fechas es la
duración de la operación financiera, durante el cual se generan los intereses.
11.1.3. Objetivos
La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: la suma
inicial del capital, la ley financiera (simple o compuesto) a utilizar y la tasa de interés
(costo/ganancia) acordado.
11.2. Clases
A. Según la duración:
A corto plazo: la duración de la operación no supera el año.
A largo plazo: aquellas con una duración superior al año.
B. Según la ley financiera que opera:
Según la generación de intereses:
En régimen de simple: los intereses generados en el pasado no se acumulan, no generan nuevos
intereses.
En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado se acumulan al capital inicial y
generan, a su vez, nuevos intereses.
Según el sentido en el que se aplica la ley financiera:
De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro.
De actualización o descuento: sustituye un capital futuro por otro capital presente.
C. Según el número de capitales de que consta:
Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación.
Complejas (o compuestas): formadas por más de un capital en la prestación y/o en la
contraprestación.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
12. Introducción al costo de oportunidad y costo de capital
Uno de los problemas más significativos en la administración financiera es la determinación de la
tasa de descuento. La caracterización de esta tasa depende del origen de los fondos: cuando la
inversión proviene de recursos propios la denominamos costo de oportunidad (que el
inversionista deja de ganar por no haberlos invertido en otro proyecto alternativo de similar nivel
de riesgo) o de terceros, llamado costo de capital, representado por el interés de los préstamos
corregido por su efecto tributario, deducido los impuestos.
Cualquiera sea el caso, si disponemos del dinero o no para invertir, tendremos entonces que
referirnos al Mercado de Capitales, lugar donde acuden agentes excedentarios (oferentes) y
deficitarios (demandantes) de dinero para invertir o prestar este recurso.
Uno de los inconvenientes al determinar la tasa de descuento, es que depende no solamente de la
fuente de donde provengan los recursos, sino además de la información manejada por el decisor.
Justificamos esto con el siguiente ejemplo. ¿Cuántas opciones de inversión (o financiación)
tendría el campesino, que vive donde existe únicamente un Banco o Caja Rural o Municipal de
Ahorro y Crédito? La persona puede tener máximo tres opciones:
1. Guardar su dinero en la casa
2. Depositar su dinero en cuenta de ahorros, que le produzca apenas para cubrir la
devaluación monetaria.
3. Invertir su dinero en un Bono del Estado, que le generará algunos rendimientos adicionales a
la inflación.
Si en cambio consideramos una persona que trabaja en la ciudad de Lima (capital del Perú),
veremos fácilmente que no solamente tiene las tres opciones mencionadas anteriormente, sino
además considerará todos los productos ofertados por las demás entidades de la ciudad y si
tiene conocimientos suficientes, evaluará las opciones de inversión en el mercado de valores
peruano y porque no, mundial.
Otro ejemplo: Tengo UM 2,000. Puedo decidir guardarlos en mi bolsillo por un mes. A fin de
mes voy a tener UM 2,000 iguales.
Inversamente, puedo decidir, invertir en un negocio de compraventa cuyo rédito es 25% mensual,
es decir tengo la oportunidad de ganar UM 500 a fin de mes.
Luego, si prefiero guardar el dinero en mi bolsillo a pesar de todo, dejo de ganar UM 500. Así,
diré que mi costo de oportunidad o costo alternativo por desaprovechar la oportunidad de
obtener ganancia ofrecida por el negocio de compraventa es de UM 500.
Entonces, después de todo el costo de oportunidad no es un costo real o efectivo, ni pérdida
verdadera, sino más bien un costo o pérdida referencial indica si estoy, o no, siendo eficiente en
el manejo de mi dinero.
12.1. ¿Cómo determinar el costo de las deudas?
La forma más sencilla de determinar el costo de una deuda es a través del cálculo ponderado de
las diferentes fuentes de financiamiento, con el que obtenemos el costo promedio de la deuda
(WACC) de la empresa, antes o después de impuestos.
El proceso de cálculo consiste en multiplicar el costo del dinero por la proporción que tiene en el
total de los aportes de los fondos, según el valor de mercado de la compañía.
EJEMPLO:
Una empresa tiene la estructura de financiamiento siguiente: Total UM 100,000, de este total
corresponden: UM 20,000 con 42% de costo anual, UM 30,000 con 36% de costo anual, UM
28,000 al costo de 32% y UM 22,000 con 25% de costo anual; luego el costo promedio del capital
de esta compañía es:
Ponderación:
0.42*0.20 = 0.0840
0.36*0.30 = 0.1080
0.32*0.28 = 0.0896
0.25*0.22 = 0.0550
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
M ONTO UM PROPORCION COSTO % PONDERACION
20,000.00 20.00% 0.42 x 0.0840
30,000.00 30.00% 0.36 x 0.1080
28,000.00 28.00% 0.32 x 0.0896
22,000.00 22.00% 0.25 x 0.0550
100,000.00 100.00% Costo total promedio WACC 0.3366
Es de ci r e s un a tasa de costo prom e di o de ca pi tal de 33.66%
12.2. ¿Cuál sería la tasa adecuada de descuento para determinar el Valor Actual Neto VAN
de proyectos peruanos?
Tomado del trabajo de David Wong Cam, Magíster de la Universidad del Pacífico
Si disponemos de información limitada de la bolsa de valores y otras fuentes como la opinión de
expertos, es factible lograr una conveniente tasa de descuento tomando en cuenta ciertos
objetivos. Si no obtenemos una tasa de descuento, no existiría método para valorar negocios y la
imprecisión sería peor que la búsqueda de «la mejor estimación posible con la información
disponible». El mercado de capitales peruano, tiene pocos costos de oportunidad, en este campo
la actividad empresarial es muy limitada.
Es cierto que es difícil encontrar una acción que replique el proyecto en evaluación y todos los
evaluadores sienten que es imposible encontrar la tasa de descuento exacta. Pero olvidan que la
tasa de descuento además de constituirse en una alternativa de colocación también debe reflejar
el riesgo del proyecto. El evaluador debe exigir una mayor rentabilidad a aquellos proyectos que
tenga una mayor posibilidad de pérdida. Este riesgo encierra muchos factores específicos como
las plagas, volatilidad de los precios de los minerales, falta de competitividad frente a los
mercados externos, etc. En muchas ocasiones, este factor riesgo es olvidado.
Un cálculo rápido de la tasa de descuento exige una combinación de conocimiento y sentido
común. De no obtenerse una acción gemela en la bolsa de valores debe seguirse los siguientes
pasos:
1. Determinar la tasa activa (tasa de los préstamos que otorga el sistema financiero) a la que
acceden los gestores principales del proyecto.
2. Tener en cuenta el rendimiento esperado de las acciones en los Estados Unidos del 12. 2%
anual.
3. La tasa de descuento debe ser superior al mayor valor de los hallados en el punto 1 y 2.
4. El evaluador debe definir, con criterio, que la tasa de descuento se encontrará entre la tasa
hallada en el punto 3 y 30% anual.
5. Debe revisarse casos excepcionales, que por razones específicas, puedan diferir del resultado
del procedimiento anterior.
Es importante tomar en cuenta los siguientes criterios para hallar la tasa adecuada de descuento:
1. El mercado de capitales peruano no es totalmente incompleto, se transan unas 200 empresas y son líquidas
unas 15. Los modelos extranjeros siguen siendo válidos para hallar la tasa de descuento de proyectos
peruanos, sólo es más difícil su medición.
2. El riesgo en el Perú es mayor al riesgo en otros países como Estados Unidos. Por lo tanto su tasa de
descuento debe ser mayor. La rentabilidad esperada de las acciones ordinarias del Standard and Poor´s
(SP500), tomando la referencia histórica de 68 años (desde 1926 hasta 1994) es de 12.2% anual en dólares.
La tasa de descuento de un proyecto riesgoso, salvo para algunos sectores de servicios públicos como Edegel,
debe ser superior a esa tasa.
3. El riesgo del proyecto debe ser mayor al riesgo incluido en la tasa de préstamo al que acceden los principales
gestores del proyecto. La tasa de descuento debe ser superior a la tasa de préstamo a la que accede aquel. Así
por ejemplo, si el gestor de un proyecto no es uno preferente, accederá hoy, a una tasa activa de alrededor de
12%. Si asumimos que el banco ha realizado una evaluación adecuada del gestor y que el proyecto es más
riesgoso que un préstamo, la tasa de descuento debe ser superior a la tasa de préstamo.
4. En un estudio, se tomó como referencia 15 acciones del índice selectivo de la bolsa de valores de Lima, en el
período desde el 1 de junio de 1994 y julio de 1996. Se obtuvo que las tasas de descuento oscilaban entre 8%
(Edegel) y 30% (Atacocha). Si asumimos que el proyecto evaluado se encuentra en este rango, la dispersión
de tasas no es muy amplia.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
5. La consistencia de datos ofrece mayores posibilidades de precisión en el cálculo de la tasa de descuento. Los
flujos de caja libres deben ser descontados al costo promedio de capital (WACC siglas en inglés), mientras
que los flujos de caja financieros al costo de capital de los accionistas corregidos por una prima de riesgo
financiero. En muchas ocasiones el evaluador descuenta los flujos a la tasa equivocada.
13. Valoración de intereses
Es una verdad a toda prueba, que las organizaciones, empresas, grupos o personas necesitan en
algún momento obtener recursos para financiarse, estos recursos comúnmente son difíciles de
conseguir y cuando ello sucede, las entidades o personas que realizan estos préstamos cobran
una retribución por el tiempo que el dinero está en manos de sus deudores.
Como explicamos anteriormente, el mercado está formado por dos «agentes», los excedentarios,
quienes poseen el recurso, y los deficitarios, aquellos que lo necesitan. El agente excedentario
entrega el recurso al agente deficitario, por período determinado y a cambio recibe beneficios.
Los intereses percibidos por los agentes prestamistas a las empresas adquieren gran importancia
en la actualidad, éstos son la principal fuente de obtención de recursos en el corto plazo, por ello
es necesario hacer el análisis respectivo de los montos devueltos a los prestamistas y la forma de
calcularlos, el interés cobrado por uno u otro préstamo puede variar su monto de acuerdo a
factores que serán posteriormente explicados.
13.1. El interés
«El concepto de interés, sin ser intuitivo, está profundamente arraigado en la mentalidad de quienes
viven en un sistema capitalista. No necesitamos formación académica para entender que cuando
recibimos dinero en calidad de préstamo, es «justo» pagar una suma adicional al devolverlo. La
aceptación de esta realidad económica, es común a todos los estratos socioeconómicos» [URL 1].
“El dinero puede convertirse en capital a base de la producción capitalista. Y gracias a esta
transformación de un valor dado se transforma en un valor que se valoriza, que se incrementa a sí
mismo...” [URL 2]
El interés, tiene importancia fundamental en los movimientos de capitales, la colosal
infraestructura financiera y crediticia descansa sobre este concepto básico de pagar por el uso
del dinero tomado en préstamo. Sin el interés el mercado de capitales o simplemente los
negocios no existirían.
El interés es el monto pagado por la institución financiera para captar recursos, así como el
monto cobrado por prestar recursos (colocar). El interés es la diferencia entre la cantidad
acumulada menos el valor inicial; sea que tratemos con créditos o con inversiones.
Actualmente, con mercados financieros complejos y ampliamente desarrollado, las economías
domésticas y las empresas intermediarias del mercado, canalizan los fondos desde los agentes
excedentarios o inversores, prestando dinero, al agente deficitario, el cual utiliza estos recursos,
para satisfacer sus necesidades. Todo esto genera el traspaso de fondos desde los ahorristas,
hasta quienes compran realmente los bienes de capital.
El interés es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio, es la
renta pagada por el uso de recursos prestados, por período determinado. Es un factor de
equilibrio, hace que el dinero tenga el mismo valor en el tiempo. Si la tasa de interés anual es el
8%, quiere decir que el prestamista recibe por concepto de intereses UM 8, por cada UM 100
prestado al año.
Por otro lado si el inversionista está dispuesto a prestar UM 100 a cambio de UM 108 en dos
años más, la tasa será de 8%, pero a diferente unidad de tiempo (2 años).
El tipo de interés depende directamente de dos factores reales no monetarios: la preferencia por
tener los recursos a la promesa de recursos futuros y la productividad de la inversión. El interés
es el precio del dinero en el tiempo.
El concepto del riesgo por incertidumbre, tiene carácter muy importante dentro de la magnitud
del interés. Conociendo la preferencia de los agentes por un valor seguro, pero no la
productividad a obtenerse por la inversión del recurso, nos encontramos frente a variables
distintas, a esta productividad la llamamos «tasa de beneficio esperado». De esta manera, la tasa
de interés es el precio del tiempo, mientras la tasa de rentabilidad es el precio del tiempo cuando
existe riesgo. La tasa de rentabilidad es el precio del tiempo más una prima por riesgo (precio del
riesgo).
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Ahora veamos los distintos tipos de interés utilizados por los mercados financieros.
Interés Fijo y Variable: Conocemos como tipo de interés fijo, a la tasa de interés constante en
el tiempo. La tasa variable, es el tipo de interés donde una parte la calculamos sobre una base
fija más un índice de referencia. El índice de referencia varía según las condiciones del mercado.
En el Perú las entidades financieras utilizan diferentes tasas de interés.
Clasificamos los plazos de las tasas de interés de dos formas:
Interés de Corto Plazo: Referido a los intereses que devengan o liquidan intereses en un período
inferior a 12 meses.
Interés de Largo Plazo: Son intereses devengados o liquidados en períodos superiores a un año.
Actualmente esta es la única clasificación utilizada para señalar los plazos de las operaciones, si
bien antiguamente utilizaban el concepto de «Mediano Plazo», a la fecha este ha pasado a formar
parte del largo plazo.
13.2. Rédito y tasa de interés [URL 6]
Rédito (r), es el rendimiento generado por un capital representado en tanto por ciento (%) o tanto
por uno.
VF-VA
[1] VA
r=
Costo del dinero
Lo que recibimos
=r
Esta fórmula no considera el factor temporal, es decir, en cuánto tiempo se ha generado ese
rendimiento. La medida que toma en cuenta el tiempo es la tasa de interés (i), definida como el
rédito por unidad de tiempo.
r
n
i=
Son las oportunidades de inversión o de financiación, las que determinan la existencia de la tasa
de interés. Este fenómeno económico real, es medido con la tasa de interés i, la cual, a su vez, es
representada por un porcentaje. Calculamos éste porcentaje dividiendo el costo del dinero (VF -
VA = I) entre lo que recibimos (VA) y el tiempo de duración.
I
r=
VA
[]
VF-VA
rVA
1A =
nn
i=
Rédito y tasa de interés coinciden cuando el período n es la unidad.
Nomenclatura:
r = Rédito
i = Tasa de interés
VA = Valor actual
VF = Valor futuro
n = Periodo de capitalización o de actualización.
Ejemplo:
Una suma de UM 5,000 genera otro de UM 6,000 dentro de un año. Determinar el rédito y la tasa
de interés de la operación financiera.
Solución:
VA = 5,000; VF = 6,000; n = 1; r =?; i =?
[]
6,000-5,000
1 100=20%
5,000

×


r=
[]
6,000-5,000
5,000
1A ×100=20%
1






i=
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Veamos el caso cuando la transacción dura 2 años:
[]
6,000-5,000
1 100=20%
5,000

×


r=
[]
6,000-5,000
5,000
1A = ×100=10%
2






i
20% (r) es la tasa global y 10% (i) es la tasa del período de capitalización o actualización según el
caso. De aplicación cuando operamos con pagos únicos a interés simple.
Para el cálculo de la tasa de interés compuesto con pagos únicos operamos con la fórmula [22] o
la función financiera TASA de Excel.
Para el cálculo de la tasa de interés de las anualidades o flujos variables, utilizamos la función
financiera TASA (flujos uniformes) y TIR (flujos variables) de Excel, ambas funciones
proporcionan la tasa periódica de actualización o capitalización a partir de las cuales
obtendremos la tasa nominal o el costo efectivo de la operación financiera.
Tasa de interés al rebatir
Es la tasa del período, aplicada al saldo deudor de una obligación pendiente de pago. Utilizada
por el sistema financiero para la recuperación de los préstamos que otorgan.
13.3. Componentes de la tasa de interés [URL 1]
La tasa de interés corriente (ic), es la tasa del mercado, aplicado por los bancos y cualquier
entidad financiera; la tasa efectivamente pagada por cualquier préstamo. Tiene tres
componentes o causas:
1. El efecto de la inflación (Φ): medida del aumento del nivel general de precios, valorada a
través de la canasta familiar; notamos su efecto en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda.
A mayor inflación, mayor tasa de interés.
2. El efecto del riesgo, inherente al negocio o inversión. A mayor riesgo, mayor tasa de interés.
Elemento de riesgo (ip).
Ejemplos:
De las siguientes opciones ¿Cuál elegiría?
1) Supongamos, decidimos invertir UM 10
- Obtener UM 15 dentro de un año (100% seguro) u
- Obtener UM 15 dentro de un año (Inseguro)
Obviamente cualquier persona racional elegirá la primera.
Ahora veamos otras dos opciones:
- Obtener UM 15 dentro de un año (100% seguro)
- Obtener UM 19 dentro de un año (Inseguro)
En la primera opción, la tasa de interés es del 50% anual (el premio por esperar), mientras en la
segunda, la tasa de interés es del 90% anual (premio por esperar + premio por arriesgarse).
TASA DE INTERÉS LIBRE DE RIESGO = 50% +
PREMIO POR ARRIESGARSE O TASA DE RIESGO = 40%
TASA DE INTERÉS CON RIESGO = 90%
La tasa de riesgo está determinada por las condiciones del mercado y el nivel de riesgo de la
inversión, este nivel de riesgo está íntimamente ligado a la certeza del pago de la inversión.
Por lo general los determinantes del costo riesgo son: carencia de información, de garantías y
dificultad de recuperación.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Fórmula General:
[
]
c
2 =(1+ )*(1+Φ
)
*
(
1+
)
-1ii ip
3. La tasa real « i » propio del negocio, lo que el inversionista desea ganar, libre de riesgos e
inflación. Rendimiento base. Generalmente los bonos del tesoro de EE.UU. son tomados como
parámetro para la tasa libre de riesgo. Tasa de interés real (i).
Ejemplo:
Consideremos la Tasa Interna de Retorno TIR3 de dos bonos y un negocio:
1. Bono del tesoro de Estados Unidos: TIR = 5.50% anual (inversión libre de riesgo por
definición) y
2. Bono del gobierno peruano: TIR = 10% anual (inversión riesgosa), TIR de un
negocio en el Perú = 22% (riesgo elevado).
Descomponiendo la TIR de estos bonos en sus premios, tenemos:
Inversión TIR Premio por
esperar
Premio por
arriesgarse
Bono EE.UU. 5.50% 5.50% 0.00%
Bono Peruano 10.00% 5.50% 4.50%
Negocio en Pe 22.00% 5.50% 16.50%
Premio por arriesgarse:
Bono de EE. UU. 5.50% - 5.50% = 0.00%
Bono Peruano 10.00% - 5.50% = 4.50%
Negocio en Perú 22.00% - 5.50% = 16.50%
¿Por qué la diferencia de tasas?
El gobierno de EE.UU. es considerado el pagador más solvente del planeta (tiene la «fábrica» de
dólares), prestarle dinero en forma de un bono está prácticamente libre de riesgo, la tasa pagada
por los bonos de EE.UU., es la tasa libre de riesgo usada como referencia. En forma diferente, el
gobierno peruano es considerado un pagador muy poco solvente, prestarle dinero en forma de
un bono es considerado arriesgado.
El premio por arriesgarse es mayor en el negocio que en el caso del bono. Analizando los
componentes del premio por arriesgarse en el negocio vemos:
RIESGO PAIS = 4.50% +
RIESGO PROPIO DEL NEGOCIO = 12.00%
PREMIO POR ARRIESGARSE = 16.50%
Existe un premio por el riesgo propio del negocio, ésta tasa es exclusiva de la actividad y varía
muy poco con el paso del tiempo. El riesgo país influye en el premio por arriesgarse a hacer
negocios en el Perú. Luego: cuando el riesgo país es alto el premio por arriesgarse a invertir en el
Perú será alto.
Fórmulas para calcular ic, e i, cuando ip = 0, a partir de la fórmula general
Para calcular la tasa de interés corriente o comercial (ic) no sumamos estos componentes; la tasa
corriente es el resultado del producto de estos elementos:
[2A] =(1+ )(1+ )-1ic i Φ
[]
1
Φ)(1
)(1
3
+
+
=ic
i
Nomenclatura:
ic = tasa de interés corriente
i = tasa de interés real
Φ = porcentaje de inflación en el período
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Fórmula para la obtención de la inflación acumulada:
1-) ... )) [4]
321
Φ+(1Φ+(1Φ+(1=Φ
El propósito de la tasa de interés real « i » es quitar a la tasa de interés efectiva el efecto de la
variación del poder adquisitivo de la moneda. En contextos inflacionarios es imprescindible
hablar de tasas de interés real, dado que evaluar el costo de la deuda o el rendimiento de una
inversión en términos efectivos puede llevarnos a tomar decisiones equivocadas.
Seremos muy cuidadosos al determinar la tasa de interés corriente (ic), para evitar que los
asalariados, micros y pequeños empresarios terminen pagando tasas excesivas; es recomendable,
operar con tasas no subsidiadas ni de usura. No es posible que en países con índices de inflación
menor al 2.5% anual las entidades financieras cobren tasas entre 3.8 y 4.5% mensual. Al
evaluar alternativas de inversión y al objeto de estimar la tasa futura de interés, proyectaremos
la inflación, la tasa real y el riesgo.
Existen entidades financieras (Bancos) que cobran e indican por separado el ajuste monetario
(inflación Φ) y el interés real (i) además de mecanismos de protección como seguros, hipotecas,
garantes, etc., razón por la cual deberían estar libres de riesgo (ip).
Según el sistema financiero, el componente riesgo es mayor cuando los préstamos son para
micros y pequeñas empresas (MYPES), más aún si están ubicadas en zonas populares. No así
cuando corresponden a «grandes empresas», con mayor razón si pertenecen al conglomerado
financiero del Banco prestamista.
Tasas excesivas frenan el desarrollo del aparato productivo de un país.
EJERCICIO 1 (Cálculo de la tasa de interés real)
En el sistema financiero la tasa de interés de julio a octubre fue de 5.8%, siendo la inflación
mensual la siguiente: julio 3.25%; agosto 2.96%; setiembre 1.25% y octubre 4.66%. Determinar la
tasa de interés real.
1º Calculamos la inflación acumulada del período julio-octubre: con la fórmula:
[4] = (1+0.0325)(1+0.0296)(1+0.0125)(1+0.0466) = 0.1265
2º Calculamos el interés real:
ic = 0.058; Φ = 0.1265; i = ?
1.058
[3] -1 - 0.0608
1.1265
i= =
El resultado indica pérdidas por -6.08% en términos de poder adquisitivo.
13.4. Definición de riesgo
Tomado del documento: «Calificaciones de crédito y riesgo país» elaborado por Jorge Morales y Pedro
Tuesta, Banco Central de Reserva, Departamento de Análisis del Sector Externo de la Gerencia de
Estudios Económicos (Perú). Los agregados y subrayados son nuestros [URL 7].
En las operaciones financieras y de inversión en el ámbito internacional existe diversidad de
factores o riesgos que afectan la percepción de rentabilidad y seguridad. El «riesgo» puede estar
asociado al tipo de deudor (soberano o no soberano), al tipo de riesgo (político, financiero o
económico), o a la posibilidad del repago (libertad de transferencia de divisas, voluntad de
cumplimiento y ejecución del pago). El objetivo de este numeral es dar las pautas para distinguir
entre «riesgo país», «riesgo soberano», «riesgo comercial» y «riesgo crediticio».
13.4.1. Riesgo país, riesgo soberano y riesgo no soberano
Nagy (1979) define «riesgo país» como la exposición a dificultades de repago en una operación de
endeudamiento con acreedores extranjeros o con deuda emitida fuera del país de origen. El
«RIESGO PAÍS» califica a todos los deudores del país, sean éstos públicos o privados. El
«RIESGO SOBERANO» es un subconjunto del riesgo país y califica a las deudas garantizadas por
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el gobierno o un agente del gobierno. El «RIESGO NO SOBERANO» es, por excepción, la
calificación asignada a las deudas de las corporaciones o empresas privadas.
Sin embargo, Hefferman (1986) y Ciarrapico (1992) consideran «riesgo país» y «riesgo soberano»
como sinónimos. En su opinión, riesgo país y riesgo soberano están referidos al riesgo que
proviene de préstamos o deudas públicamente garantizadas por el gobierno o tomadas
directamente por el gobierno o agentes del gobierno. En general, el «riesgo país» trata de medir la
probabilidad de que un país sea incapaz de cumplir con sus obligaciones financieras en materia
de deuda externa, esto puede ocurrir por repudio de deudas, atrasos, moratorias,
renegociaciones forzadas, o por «atrasos técnicos».
13.4.2. Riesgo país, riesgo comercial y riesgo crediticio
El «riesgo país» está referido al país en su conjunto. El «RIESGO COMERCIAL» corresponde al
riesgo que surge por alguna transacción o actividad comercial (de intercambio de bienes y
servicios, emisión de deuda o inversión) o por operaciones fuera del país deudor. El «riesgo
comercial» está asociado a las acciones del sector privado que pueden elevar la exposición o la
probabilidad de una pérdida. Algunos autores como De Boysson (1997) denominan «riesgo
comercial» como «riesgo mercado».
El «RIESGO CREDITICIO» es el riesgo proveniente de actividades crediticias y evalúa la
probabilidad de incumplimiento en los compromisos de una deuda. Para un banco, el «riesgo
crediticio» es una parte importante en la evaluación de su «riesgo comercial». En este sentido, los
bancos (o acreedores) están interesados en aislar y reducir su exposición al riesgo y, por lo tanto,
en calificarlo. En este contexto, entre los 70´s y 80´s se hace extensivo el análisis sistemático del
riesgo país y/o del riesgo crediticio.
EL concepto de RIESGO PAÍS está asociado a la probabilidad de incumplimiento en el pago de
la deuda externa de un país [URL 8], expresado en un Índice Riesgo-País. Este índice representa
en un momento determinado el nivel de riesgo de inversión en un país emergente.
En la determinación de esta prima de riesgo influyen factores económicos, financieros y políticos
que afectan la capacidad de pago del país. Algunos de ellos son de difícil medición, y de allí la
utilización de diferentes metodologías para cuantificar dicha prima.
El Riesgo País es un índice denominado Emerging Markets Bond Index Plus (EMBI+) y mide el
grado de «peligro» que entraña un país para las inversiones extranjeras. J. P. Morgan analiza el
rendimiento de los instrumentos de la deuda de un país, principalmente el dinero en forma de
bonos. Este indicador es aplicado a naciones emergentes.
No todos los países están bajo el foco del análisis de riesgo país, según las trasnacionales
financieras (léase FMI, BM, Club de París, etc.) éstos están divididos en dos grupos: países
latinoamericanos y países no latinoamericanos. Ver Glosario.
Integran la región latinoamericana Argentina, Brasil, Colombia, Ecuador, México, Panamá,
Perú y Venezuela.
La región no latina está conformada por Bulgaria, Corea del Sur, Marruecos, Nigeria, Filipinas,
Polonia y Rusia.
El EMBI+ es elaborado por el banco de inversiones J. P. Morgan, de Estados Unidos, que posee
filiales en varios países latinoamericanos. J. P. Morgan analiza el rendimiento de los
instrumentos de la deuda de un país, principalmente el dinero en forma de bonos, por los cuales
es abonada una determinada tasa de interés en los mercados.
El VALOR DEL RIESGO PAÍS es igual a la diferencia entre las tasas pagadas por los bonos del
Tesoro de los Estados Unidos y las pagadas por los bonos del respectivo país. La tasa de los
bonos del Tesoro de los Estados Unidos es utilizada como base, es considerada la de menor
riesgo en el mercado («dicen» si algún país tiene la capacidad de honrar sus deudas, ese es los
Estados Unidos).
TASA DE RENDIMIENTO DE LOS BONOS DE UN PAIS (-)
TASA DE RENDIMIENTO DE LOS BONOS DEL TESORO DE EE. UU.
= RIESGO PAIS
Herring (1983) considera que el riesgo país está compuesto por riesgo político, económico, social
y cultural, mientras que Erb, Harvey y Viskanta (1996), siguiendo la metodología del
«International Country Risk Guide», consideran que el riesgo país está constituido por riesgo
político, financiero y económico. De otro lado, Kobrin (1982) y Overholt (1982) consideran que
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
existe una estrecha interrelación entre el riesgo político y económico razón por la cual el trato
diferencial no debería realizarse.
Sobre el particular Simon (1992) define «riesgo político» como el desarrollo de aspectos políticos y
sociales que puedan afectar la posibilidad de repatriación de inversión extranjera o el repago de
deuda externa. Demirag y Goddard (1994) añaden a esta definición el componente de
interferencia por parte del gobierno que podrían afectar la rentabilidad o estabilidad de la
inversión extranjera o el pago de la deuda externa. En términos generales, el riesgo político está
asociado a la inestabilidad política y a la voluntad de pago (willingness to pay) por parte del
gobierno (o de la autoridad responsable).
Según la metodología del International Country Risk Guide, el riesgo financiero y el riesgo
económico están asociados a la capacidad de pago del país. El «riesgo financiero» evalúa el
riesgo al que están expuestos por potenciales pérdidas ante controles de cambios,
expropiaciones, repudios y atrasos de deudas, o por problemas operativos en el procedimiento de
pagos por el sistema financiero local. El «riesgo económico» está referido a la posibilidad de
incumplimiento debido al debilitamiento de la economía del país tanto en el campo externo como
en el campo interno.
13.4.3. ¿Cómo es medido el riesgo país?
El Riesgo País es medido en puntos básicos (cada 100 puntos equivalen a 1%), por ello cuando
escuchamos que el índice de Riesgo País es de 1,500 puntos, en realidad significa que el bono del
país emisor paga 15% adicional sobre la tasa de los bonos norteamericanos.
El Riesgo País es calculado de la siguiente manera: compara cuánto mayor es la TIR de un bono
de largo plazo emitido por un gobierno dado respecto de la TIR de los bonos del Tesoro de los
Estados Unidos, también por el mismo plazo.
Finalmente, el riesgo país es una medida unilateral, impuesta por los prestamistas a la mayoría
de países latinoamericanos y algunos de Europa del Este y África [URL 9]. Representa un
componente subjetivo de la tasa de interés, orienta las inversiones a actividades especulativas
(operaciones de corto plazo, comprar barato hoy para venderlo caro en poco tiempo).
13.5. ¿Qué es Spread?
Término inglés que en castellano significa diferencial. Principalmente es utilizado en inglés
referido al diferencial de interés de los eurocréditos, es decir, el porcentaje añadido al tipo de
interés interbancario en los préstamos con divisas y en su acepción en el mercado de opciones,
referido a aquellas estrategias en la utilización de opciones consistentes en ocupar dos o más
posiciones comprando y vendiendo opciones del mismo tipo con diferentes precios de ejercicio
(diferencial vertical) o con distintas fechas de vencimiento (diferencial horizontal).
Spread Soberano.- Descrito como la capacidad y predisposición que tiene un país, para pagar
sus obligaciones contraídas con sus acreedores. El Benchmark o Indice de Clasificación, que
elaboran calificadoras de riesgo como Standard & Poor’s o Moody’s Investors Service, establecen
las siguientes categorías:
AAA - Máxima capacidad de pago
AA - Alta capacidad de pago
A - Buena capacidad de pago
BBB - Media capacidad de pago (s/monto de inversión)
BB - Nivel de inversión con carácter especulativo y bajo riesgo
B - Nivel de inversión con carácter especulativo y alto riesgo
CCC - Alto riesgo de no pago pero con buen potencial de recuperación
C - Alto riesgo de no pago y bajo potencial de recuperación
D - No existe posibilidad de pago ni potencial de recuperación
E - No están clasificados por falta de información ni tienen garantías suficientes.
Cuando la clasificación lleva el signo (+), significa que tiene un menor riesgo, contrariamente si le
precede un signo (-), tiene un mayor riesgo de incumplimiento.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
13.6. ¿Cómo obtiene el banco la tasa activa y de qué depende la tasa pasiva?
Respondemos la interrogante definiendo qué es Spread o margen financiero (tiene su base en el
riesgo crediticio):
Un Spread de tasas de interés es la diferencia entre la tasa pasiva (tasa que pagan los bancos por
depósitos a los ahorristas) y la tasa activa (que cobran los bancos por créditos o préstamos
otorgados). Para comprender con mayor facilidad explicamos cómo el banco obtiene la tasa
activa, lo único que haremos es restar la tasa pasiva y obtendremos el Spread.
Para obtener la tasa activa el banco toma en cuenta la tasa pasiva, los gastos operativos propios
del banco, su ganancia, el encaje promedio del sistema que tienen que depositar en el BCR por
cada dólar ahorrado en los bancos, más el componente inflacionario y riesgo. Es así cómo los
bancos obtienen su tasa activa, si le quitamos la tasa pasiva el Spread lo componen, los gastos
de los bancos, el encaje, las ganancias por realizar esta intermediación, más los componentes
inflacionario y riesgo.
TASA ACTIVA
= TASA PASIVA
+ GASTOS OPERATIVOS
+ GANANCIA
+ ENCAJE PROMEDIO DEL SISTEMA
+ EL COMPONENTE INFLACIONARIO
+ EL COMPONENTE RIESGO
SPREAD
= Tasa Activa - Tasa Pasiva
Luego la magnitud de la tasa activa es el resultado de la suma de estos componentes.
Finalmente, la tasa pasiva lo conforma:
1. La tasa de rendimiento que esperan ganar los bancos e instituciones financieras sobre el
capital invertido.
2. Las preferencias de tiempo de los ahorristas en aras de consumo futuro versus consumo
actual.
3. El grado de riesgo del préstamo y
4. La tasa de inflación esperada en el futuro
Por ejemplo: Si la tasa activa anual promedio del banco es 30.36% y la tasa pasiva anual de
3.37%, el Spread será:
SPREAD = 30.36% - 3.37% = 26.99%
13.7. Tipos de interés
a) Interés ordinario, comercial o bancario. Este presupone que un año tiene 360 días y cada
mes 30 días. Año bancario según el BCR.
b) Interés Exacto. Basado en el calendario natural: 1 año 365 o 366 días, y el mes entre 28, 29,
30 o 31 días.
El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por el
acreedor.
Desarrollamos la mayoría de ejercicios en la presente obra considerando el año bancario o
comercial; cuando utilicemos el calendario natural indicaremos operar con el interés exacto.
Tiempo transcurrido entre dos fechas
Lo explicamos con el siguiente ejemplo:
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Mes as del
Mes
Períodos
Transcurridos
Enero 31 30 No considera el 1º de Enero
Febre ro 28 28
Marzo 31 31
Abril 30 30
Mayo 31 31
Junio 30 30
Juli o 31 15 Con si de ra los 15a s de Juli o
195TOTAL
¿Cuál es el tiempo transcurrido entre el 1º de enero al 15 de julio del 2004? Para determinar el
tiempo transcurrido entre dos fechas excluimos la primera (1/1/04), es decir, únicamente
consideramos la segunda (15/7/04). Sobre este tema la normatividad vigente establece: un
depósito o inversión generan interés siempre y cuando éstos permanezcan como mínimo un día
en la entidad financiera desde el momento del abono o retiro.
Aplicando Excel tenemos:
15/07/2004 02/01/2004 195
Respuesta:
195 días.
13.8. Clases de Interés
El interés pagado y recibido puede considerarse como simple o compuesto.
14. Letra devuelta
Es la letra que el banco devuelve al cliente por no haberse efectivizado la cobranza en su
vencimiento. Si la letra fue descontada previamente, el banco cargará en cuenta del cedente, el
monto nominal del documento más los gastos originados por el impago, como son: gastos de
devolución (comisión de devolución y correo) y gastos de protesto (comisión de protesto y costo
del protesto). Intereses: Aplicable cuando el banco cobra con posterioridad a la fecha de
vencimiento de la letra devuelta por impagada. Calculada sobre la suma del nominal de la letra
no pagada más todos los gastos originados por el impago, por el período transcurrido entre
vencimiento y cargo.
EJERCICIO 2 (Letra devuelta)
Una letra por UM 8,000, es devuelta por falta de pago, cargándose en la cuenta del cedente los
siguientes gastos: comisión de devolución 1.5%, comisión de protesto 2.5% y correo UM 4.00.
Calcule el monto adeudado en la cuenta corriente del cliente.
Valor Nominal de la letra 8,000
Comisión devolución [8,000*0.015] 120
Comisión protesto [8,000*0.025] 200
Correo 4
Total Gastos 324
Adeudo en Cta. Cte. 8,324
15. Letra de renovación
Es aquella letra emitida para recuperar una anterior devuelta por falta de pago incluido los
gastos originados por su devolución. Debemos establecer el valor nominal de esta nueva letra de
tal forma que los gastos ocasionados por su falta de pago los abone quien los originó (el librador).
Giramos la letra como aquella emitida y descontada en condiciones normales, con la diferencia
de que ahora el efectivo que deseamos recuperar es conocido: el valor nominal no pagado, los
gastos de devolución, los gastos del giro y descuento de la nueva letra; siendo desconocido el
valor nominal que debemos determinar.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
EJERCICIO 3 (Letra de renovación)
Para recuperar la letra devuelta por falta de pago del ejemplo 2, acordamos con el deudor, emitir
una nueva con vencimiento a 30 días, en las siguientes condiciones tipo de descuento 18%,
comisión 3% y otros gastos UM 20.00. Calcular el valor que deberá tener la nueva letra.
Solución:
VA = 8,324; n = 30/360; i = 0.18; Coms. = 0.03; Otros GG = 20; VN = ?
1º Calculamos el adeudo en cta. cte.:
Adeudos en Cta. Cte. = 8,324[1+0.18*(30/360)] = UM 8,449
2º Finalmente determinamos el valor nominal de la nueva letra:
Valor futuro del adeudo en Cta. Cte. 8,449
Comisión de renovación [8,324*0.03] 250
Otros gastos 20
Total Gastos 270
Valor Nominal de la letra renovada 8,719
16. Descuento de una remesa de efectos
Efecto.- Documento o valor mercantil, sea nominativo, endosable o al portador.
Por lo general el descuento de los efectos no es de uno en uno, normalmente el cliente acude al
banco con un conjunto de ellos, una remesa de efectos, agrupados por períodos, para
descontarlos conjuntamente en condiciones normales.
La liquidación de la remesa origina la factura de negociación. Siendo el procedimiento de
liquidación:
Confeccionar la factura con todos los efectos que componen la remesa.
Sumar cada una de las tres siguientes columnas:
– Importe nominal.
– Importe intereses.
– Importe comisiones.
De existir los gastos éstos vienen expresados aparte (correo, timbres, etc.).
Calculamos el valor líquido de la negociación restando del nominal total de la remesa el monto de
los gastos efectuados.
EJERCICIO 4 (Remesa de efectos)
Tenemos para descuento la siguiente remesa de efectos:
Efecto Nominal Días de
descuento
A 20,000 15
B 15,000 25
C 10,000 30
Las condiciones del descuento son: el tipo descuento es de 15% anual, las comisiones son de 4
por mil (mínimo UM 120) y correo UM 5.00/efecto.
Intereses = 20,000*15*(0.15/360) = 125.00, así sucesivamente
Comisión = (20,000/1000)*4 = 80.00, así sucesivamente
1º Descontamos la remesa:
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Efecto N ominal Días Tasa Intereses Porcentaje Comisi ón Correo
A 20,000 15 15% 125.00 4 por mil 80.00 5.00
B 15,000 25 15% 156.25 4 por mil 60.00 5.00
C 10,000 30 15% 125.00 mínimo 120.00 5.00
45,000 406.25 260.00 15.00
Valor Nominal de la Remesa 45,000
Intereses 406.25
Comisiones 260
Correo 15
Total Gastos 681
Efectivo recibido 44,319
17. Crédito bancario, la póliza de crédito
Actualmente, la mayoría de empresas disponen de al menos una póliza de crédito contratada con
una entidad financiera, esto les permite disponer de un medio de financiación y articular los
cobros y pagos de la actividad ordinaria.
Es importante diferenciar el crédito frente al préstamo bancario. La diferencia está básicamente
en lo siguiente:
- El crédito permite la disposición gradual de dinero, en los montos y por el tiempo requerido.
Mientras que el préstamo lo obtenemos de una sola vez en la cantidad aprobada por la
entidad financiera.
- En la póliza pagamos por la cantidad dispuesta y en función del tiempo de utilización.
Contrariamente, en el préstamo pagamos por el total aunque no lo hayamos utilizado.
Los créditos son formalizados a través de una póliza que estipula las condiciones de
funcionamiento: límite del crédito, tipo de interés, comisiones, frecuencia de liquidación, etc.,
instrumentándose a través de una cuenta bancaria que funciona y liquida de forma parecida a
las cuentas corrientes y asimismo permite cuantificar el dinero utilizado y calcular el costo de la
operación.
18. Flujos de caja libre
En este trabajo, veremos el llamado flujo de caja libre. Denominamos flujo de caja libre a los
ingresos y egresos netos de un proyecto de inversión y al estado financiero que mide la liquidez,
flujo de caja o pronóstico de efectivo o de fondos.
El valor actual neto (VAN) y otros métodos de descuento consideran siempre cifras de flujos de
efectivo de caja y no de beneficios.
Las cifras contables de beneficios son útiles para conocer los resultados anuales de la empresa,
considerados de vida ilimitada. El empleo de estas cifras para calcular el flujo de caja podría
llevarnos a resultados erróneos. Las cifras contables suponen que la inversión llevada a cabo al
inicio del proyecto, con horizonte temporal de varios períodos son consumidos gradualmente, lo
cual no es cierto, descarta el costo de oportunidad de la inversión.
El flujo neto de efectivo (FNE) lo representamos como:
FNE = Ingresos - egresos
= entradas de efectivo - salidas de efectivo
Todo flujo de efectivo ocurre al final del período de interés, conocido como la convención de final
del periodo. Aunque los valores de VF o C corresponden al final de dicho período, el final del
período no es necesariamente el 31 de diciembre.
18.1. Diagrama de flujo de caja libre
El diagrama del flujo de caja libre es un modelo gráfico utilizado para representar los
desembolsos e ingresos de efectivo a través del tiempo, trazados en escala temporal. Es
importante la comprensión y la construcción del diagrama de flujo de efectivo, es una
herramienta importante en la solución de problemas.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Año 1 Año 6
0123456
Tiempo
pico diagrama de flujo de efectivo durante 6 años
En el eje del tiempo cada número indica el final del período correspondiente. El número cero
indica el presente; es decir, el momento en que tomamos la decisión. El número uno indica el
final del período uno y así sucesivamente. En la escala temporal el período puede ser un día, un
mes, un año o cualquier otra unidad de tiempo.
La dirección de las flechas en el diagrama de flujo de caja libre es importante. La flecha vertical
hacia arriba indicará flujos de efectivo positivo (ingresos) y a la inversa, indicará flujos de
efectivo negativo (egresos).
1) Ejemplo: Diagrama de egresos
En este diagrama al final del período cero realizamos desembolsos por UM 500; al final del
período dos, por UM 1,000 y al final del período cinco, por UM 250.
012345
500
1000
250
2) Ejemplo: Diagrama de ingresos
Aquí recibimos en el período 0 UM 800; en el tres, UM 1,300 y en el cuatro UM 750.
012345
800
1300
750
3) Ejemplo: Diagrama de depósito y retiro
El diagrama indica que por un depósito UM 5,000 recibimos UM 6,300 después de seis meses.
VF
1 2 3 4 5 6 meses
VA
5,000
6,300
19. Contabilidad versus Análisis Económico
Las diferencias entre ambas unidades de la empresa es que la primera opera con datos del
pasado y la segunda proyecta el futuro. Desde luego ambas cumplen un importante papel en la
empresa de acuerdo a sus propias funciones y objetivos.
El contador después de conocer los ingresos y los egresos determina las utilidades obtenidas en
operaciones del pasado. Calcula cual fue el rendimiento del capital. Para obtener la utilidad
sobre la inversión resta los gastos de los ingresos. No añade una tasa de rendimiento a sus
costos. Su misión es determinar cual fue la tasa de rendimiento en operaciones pasadas, excepto
por las cargas de intereses en deudas contractuales (intereses de un préstamo bancario,
hipoteca).
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
El analista económico, busca la productividad de las alternativas de inversión (carga cada
unidad monetaria con la responsabilidad de ganar un costo de capital). Para ello requerimos
tasas mínimas atractivas de rendimiento que garanticen utilidades para cuando llevemos a cabo
el cierre del período.
20. Solución de los problemas
Para la solución de los problemas, primero aplicamos el método formulístico y seguidamente las
funciones financieras de Excel (que la denominaremos únicamente como LA FUNCION),
siguiendo un proceso básico:
1º Identificación y ordenamiento de los datos,
2º Aplicación de la fórmula o fórmulas y,
3º Empleo de las funciones financieras de Excel.
Cuando operamos con porcentajes, lo hacemos en su expresión decimal (0.20), por ejemplo
20% = 0.20 (20/100), que es la forma correcta de trabajar con las fórmulas.
En las matemáticas financieras tratamos de encontrar la variable entre cinco, dadas tres de
ellas; en todos los problemas el elemento común es el tiempo t. De los cinco elementos
restantes, VA, VF, C, n, e i, cada problema contendrá al menos cuatro en donde mínimo tres de
ellos son conocidos. Para determinar la variable desconocida es necesario mantener válida la
equivalencia entre flujos de caja.
El éxito para la solución de un caso o ejercicio, parte de la correcta clasificación de datos, solo
así es posible identificar la notación o función financiera a utilizar.
Los resultados de las operaciones lo expresamos generalmente con cinco o cuatro decimales, en
el caso de los factores o índices. Las respuestas finales de los ejercicios vienen con dos
decimales. En ambos casos los resultados los redondeamos por exceso o por defecto.
21. Interpolación
Según el diccionario de la RAE: Interpolar es calcular el valor aproximado de una magnitud en
un intervalo cuando conocemos algunos de los valores que toma a uno y otro lado de dicho
intervalo.
En la vida real, encontramos situaciones carentes de información que permiten determinar
valores dependientes (y), en función de una o más variables independientes. Es aquí cuando
utilizamos la interpolación. Los métodos más utilizados son: método lineal, logaritmo y el
exponencial.
Sólo aplicaremos la interpolación lineal, debido a su sencillez y gran utilidad. La interpolación
lineal implica la utilización de la ecuación de la recta.
cm
x
y
+
=
y = Variable Dependiente
x = Variable Independiente
m = Pendiente de la recta
c = Coeficiente de posición
La manera de utilizar esta fórmula, es calculándola a partir de dos puntos. Para ello utilizamos la
ecuación de la pendiente. Graficando el método lineal, obtenemos:
12
12
xx
yy
m
=
Veamos lo expuesto con algunos ejemplos, en los cuales operamos aplicando las tablas
financieras T2 y T3; para ilustración del lector adjuntamos la tabla T1.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Efectuamos la solución de problemas de este grupo utilizando la respectiva fórmula de la tasa de
interés.
EJERCICIO 5 (Tasa de rendimiento de una inversión)
Existe la posibilidad de invertir, abonando ocho cuotas iguales de UM 5,000 cada una y, al
efectuar el último pago tendremos la posibilidad de obtener una suma de UM 48,600. ¿Cuál es la
tasa de interés de esta inversión?
Solución:
VF = 48,600; C = 5,000; n = 8; i = ?
Con la tabla
CVFT=
3
, encontramos el factor:
9.72
5,000
48,600 ==
3
T
Con n = 8 y el factor 9.72 en T3 ubicamos la fila 8 del n, nos desplazamos a la derecha y
encontramos los factores 9.5491 y 9.8975, debajo de las columnas del 5% y 6% respectivamente.
Para encontrar la tasa de interés (i) con mayor grado de precisión efectuaremos un conjunto de
operaciones para obtener a partir de las tablas financieras valores muy aproximados a la tasa de
interés buscada. Graficando, tenemos:
(9,72 - 9,5491)
9.5491 9.72 9.8975
(0,06 - 0,05)
(9,8975 - 9,5491)
(i - 0,05)
5% i6%
Determinamos el valor de i, por interpolación a través de la proporción entre la diferencia del valor
central (9.72) menos el valor inferior (9.5491), dividiendo el resultado entre la diferencia de los
factores extremos (9.8975 - 9.5491), finalmente con esta relación establecemos la igualdad con los
intereses:
, despejando i obtenemos:
0.3484
0.1709
0.010.05 +=i
5.49% ó 0.549 3)0.01(0.4950.05 =+=i
Respuesta:
Graficando al factor 9.72 le corresponde la tasa de interés de 5.49%.
EJERCICIO 6 (Tasa de rendimiento de una inversión)
Necesitamos saber el rendimiento sobre la inversión de UM 228,000, considerando el rendimiento
de esta inversión como UM 32,000 al final de cada año durante 10 años.
Solución:
VA = 228,000; C = 32,000; n = 10; i =?
Con la tabla, encontramos el factor:
7.125
32,000
228,000 ==
2
T
0.050.06
0.05
9.5491 - 9.8975
9.5491 - 9.72
=i
CVAT=
2
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Aplicando el procedimiento establecido, en la tabla T2, ubicamos los factores 7.3601 y 7.0236
debajo de las columnas del 6% y 7% respectivamente.
2º Graficamos el ejercicio:
6% i7%
7.3601 7.125 7.0236
3º Interpolando, en forma similar al ejercicio anterior, obtenemos:
, despejando i tenemos:
0.3365
0.12351
0.010.06 +=i
6.37% ó 0.0637 25)0.01(0.3370.06 =+=i
Respuesta:
El rendimiento de la inversión de UM 228,000 es de 6.37% anual.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
Tasas de Interés
Ejercicio 7 (Tasa de interés real)
Calcule el interés real pagado en el año 89, si sabemos que la tasa efectiva anual cobrada por el
banco en esa época era del 48%, la tasa de inflación anual era del 55%.
Solución:
TEA = 0.48; Φ= 0.55 anual; ireal = ?
(1 0.48)
[3] 1 -0.0452
(1 0.55)
i
real
+
=−=
+
Respuesta:
El interés real anual al año 89 fue negativo (-4.52%).
Ejercicio 8 (Tasa de interés corriente)
Si deseamos obtener la rentabilidad real del 12% anual, y estimamos la inflación acumulada
como 10% en ese mismo período ¿A cuánto ascendería la tasa de interés ajustada por la
inflación?
Solución:
i = 0.12; Φ= 0.10 anual; ic = ?
[
2
]
(
10.12
)(
10.10
)
1 0.2320
c
i =+ ∗+ =
Respuesta:
La tasa ajustada por la inflación o tasa de interés corriente (ic) debe ser de 23.20% anual.
0.060.07
0.06
7.3601 - 7.0236
7.3601 - 7.125
=i
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Ejercicio 9 (Tasa de interés real)
¿Cuál será la tasa de interés real, correspondiente a la tasa corriente efectiva anual de 28%, si
durante este período la inflación fue del 15%?
Solución:
Ic = 0.28; Φ = 0.15; i=?
(1+0.28)
[3] = -1 0.1130
(1+0.15)
i=
r
Respuesta:
Esto quiere decir, que en términos reales tenemos pérdidas en capacidad adquisitiva de 28% -
11,30% = 16,7%. La tasa de interés real es de 11.30%.
Ejercicio 10 (Tasas anuales)
Calcular las tasas anuales de: a) 5% semestral; b) 4% cuatrimestral; c) 7% trimestral; d) 3%
mensual. Calculando las tasas anuales:
a) 5% semestral : 5% * 2 = 10% anual
b) 4% cuatrimestral : 4% * 3 = 12% anual
c) 7% trimestral : 7% * 4 = 28% anual
d) 3% mensual : 3% * 12 = 36% anual
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
22. Fundamentos Matemáticos
A continuación pasamos a desarrollar las operaciones matemáticas más utilizadas en el texto,
como son los exponentes, la radicación y los logaritmos.
22.1. Exponentes
Operación matemática en el que se basa el interés compuesto y todas las fórmulas derivadas de
ella.
La aplicación de los exponentes es la potenciación, que consiste en repetir un número base tantas
veces como indica otro número llamado exponente, el resultado se conoce como potencia. Si
denotamos a la base con la literal «x» y al exponente o potencia con la literal «n» la operación de
potenciación se representara como:
Base
Exponente
POTENCIA
n
x=
La expresión xn se lee como «x elevado a n». Si n es un número entero positivo:
xn = x * x * x * x...* ...x, n veces.
Ejemplo:
1. Si x = 2 y n = 4, entonces 24 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16
2. Si x = (1 + i) y n = 4, entonces x4 = (1 + i)4
y si asignamos a i un valor, por ejemplo 7% (siete por ciento, 7/100, indica que el entero se ha
dividido en cien partes y hemos tomado siete, esto equivale en una expresión de tanto por uno a
0.07), la expresión sería:
(1 + i)4 = (1+0.07)4 = 1.3108
En Excel para elevar un número a una potencia, debemos utilizar el operador « ^ » o la función
potencia para realizar esta operación. Para obtener el operador «^» en Excel, pulsar
simultáneamente ALT seguido del número 94.
Ejemplo:
Fórmula Resultado
=2^4 16
=8^3 512
Ejemplo de aplicación:
(11) VF = VA (1 + i)n
22.1.2. Teoría de los signos
1º. Toda cantidad positiva o negativa elevado a una potencia par es positiva,
2º. Toda cantidad elevada a una potencia impar conserva su propio signo
1º 2º
2
2
n
n
+=+
−=+
21
21
n
n
+
+
+=+
−=
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
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22.1.3. Reglas en el uso de los exponentes
22.1.3.1. Exponente cero, negativo
a) Exponente cero.- Por definición matemática, todo número real distinto de cero, elevado al
exponente cero es igual a 1.
0
1, 0xx=≠
b) Exponente negativo.- Por definición matemática, todo número real distinto de cero elevado a
un exponente negativo, es igual a la fracción de 1 dividido por dicho número elevado a su
exponente con signo positivo:
=≠
1, 0 siendo n un entero positivo
n
n
xx
x
A la inversa, toda fracción, cuyo denominador es un número real distinto de cero, elevado a una
potencia con signo negativo, es igual a dicho número elevado a la misma potencia con exponente
positivo:
1, 0 siendo n un entero positivo
n
n
xx
x
=≠
Ejemplo de aplicación:
[]
()
12 1
n
VF
VA =
+i
22.1.3.2. Producto de potencias de bases iguales
Veamos el siguiente producto de potencias:
22 * 24 = 4 * 16
si descomponemos 4 y 16 como productos consecutivos de 2 obtendríamos:
22 * 24 = (2 * 2) (2 * 2* 2* 2) = 2 * 2 * 2 * 2* 2* 2
al reagruparlos podemos expresarlo como:
22 * 24 = 2 * 2 * 2 * 2* 2* 2 = 26
Así, generalizando podemos decir que
xm * xn = xm + n
El producto o multiplicación de dos potencias de igual base, es igual a la base común elevada a la
suma de los exponentes.
22.1.3.3. División de dos potencias de igual base
Veamos la siguiente división de potencias:
22 /24 = 4/16
Si descomponemos 4 y 16 como productos consecutivos y cancelamos términos semejantes
obtendríamos:
22 / 24 = (
2
*
2
) /(
2
*
2
*
2
*
2
) = 1 / (
2
*
2
)
Al reagruparlos y tomando en cuenta la definición del exponente negativo tendremos que:
22 /24 = 1 / (*) =1/22 = 2-2=22-4
Así, generalizando podemos decir que
÷= =
m
mn mn
n
x
x
xx
x
.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
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La división o cociente de dos potencias de igual base, es igual a la base común elevada a la
diferencia o resta de los exponentes (restamos del exponente del numerador el exponente del
denominador).
22.1.3.4. Potencia de una Potencia
Veamos la siguiente potencia de potencias:
(22)3 = (4)2=4*4*4=64
si descomponemos 4 como productos consecutivos de 2 obtendríamos:
(22 )2 = (2*2)*(2*2)*(2*2)=2*2*2*2*2*2
al reagruparlos podemos expresarlo como:
(22)2 = 2*2*2*2*2*2=26=22*3
así entonces generalizando, tenemos que:
( xm )n = xm * n
La potencia de una potencia, es igual a la base elevada al producto de los exponentes.
22.1.3.5. Potencia del producto de dos factores
Veamos la siguiente potencia de productos: (2*3)2 = 62 = 36
si descomponemos el 6 en dos factores tendríamos por ejemplo:
(2 * 3)2 = (2 * 3) (2 * 3) = 2 * 3 * 2 * 3
los cuales al reagruparlos podemos expresarlo como:
(2 * 2) (3 * 3), o bien 22 * 32 = 4 * 9 = 36
Así, generalizando podemos decir que:
(x * y)n = xn * yn
El producto de dos factores elevados a una potencia, es igual al producto de los factores elevados
a dicha potencia.
22.1.3.6. Potencia del cociente de dos factores
Veamos la siguiente potencia del cociente de dos factores:
2
2
424
2==
Y utilizando las propiedades antes mencionadas tenemos que:
22
22
2
1111161
44 4 4
22224
∗∗
∗=∗ = = =
Generalizando decimos que:
nn
n
x
x
yy
=
El cociente de dos factores elevados a una potencia, es igual al cociente de los factores elevados a
dicha potencia.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
-n
1 =
m
nm nm mn
n
nn
nnn
n
n
n
n
x
xx x x
x
xx
xy x y yy
yx
xyx
x
+−
∗= =
∗=∗ =
=
22.2. Radicación
Operación matemática utilizada en las matemáticas financieras para determinar la tasa de interés
del monto compuesto, cuando operamos con cantidades únicas.
La raíz, enésima de un número real, x, es otro número, y, cuya potencia enésima es x. Denotamos
la operación de radicación mediante la expresión:
Indice
Signo de
operación
C antidad subradical o radicando
n
x
Donde, es llamado radical, x es el radicando y n el índice de la raíz. El índice es un número
entero mayor que
1: 2n
.
La raíz de índice dos es la raíz cuadrada y se escribe obviando el índice: .
La raíz de índice tres es la raíz cúbica.
Si el índice es par, x es positivo, existiendo dos raíces enésimas reales de x, una positiva y otra
negativa. Pero la expresión
n
x
sólo esta referida a la positiva. Es decir, las dos raíces n-ésimas
de x son
n
x
y
n
x
. Sin embargo, los números reales negativos carecen de raíz real de índice par.
Por ejemplo, 25 tiene dos raíces cuadradas, 5 y –5, pues 52 = 25 y (-5)2 = 25; y el número 10 tiene
dos raíces cuartas
4
10
y
4
10
. Sin embargo, –25 no tiene raíz cuadrada porque ningún número
real elevado al cuadrado da –25. Por lo mismo, –10 no tiene raíz cuarta.
Si el índice es impar, cualquiera sea el número real, x, tiene una única raíz n-ésima. Por
ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, la raíz cúbica de –8 es –2, y 20 tiene una única raíz cúbica
denominada
3
20
.
22.2.1. Reglas en el uso de los exponentes para la radicación
22.2.1.1. Forma exponencial de una raíz
La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma de potencia:
1
nn
xx=
Por tanto:
1m
mm
nmxnn
xxx x== =
22.2.1.2. Potencia de una raíz
Veamos la siguiente potencia de una raíz:
()
2
333
2
3222
222.2

==


Si utilizamos la regla del producto de potencias de bases iguales obtendremos:
()
33 33 3 2*3 3*2
22*
33*2
22 22 2 2 2
22.22222 2
+
======
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
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Así, generalizando podemos decir que
(
)
()==
p
nn
mmpmp
n
x
xx
La potencia de una raíz es igual a la raíz de la potencia de potencia.
22.2.1.3. Raíz de un producto
Veamos la siguiente raíz de un producto:
1
33
2*3 (2*3)=
Si utilizamos la regla de la potencia del producto de dos factores llegamos a la expresión:
111
3
33
333
2*3 (2*3) 2 *3 2* 3===
Así, generalizando podemos decir que:
**=
n
nn
x
yxy
La raíz del producto de dos factores es igual al producto de las raíces de los factores.
22.2.1.4. Raíz de un cociente
Veamos la siguiente raíz de un cociente
21
2*
33
=
Si aplicamos las reglas de la raíz de un producto y del exponente negativo obtendremos:
21 1 12
2* 2* 2*
33 3 33
== = =
Así entonces generalizando, tenemos que:
=


mnm
n
m
n
x
x
yy
El cociente de la raíz de dos factores, es igual al cociente de las raíces de los factores.
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
=


mnm
n
m
n
xx
yy
**=
n
nn
xy x y
()
()==
p
nnmmpmp
n
xxx
1m
mm
nm x nn
xxx x== =
22.3. Logaritmos
Utilizado para derivar las fórmulas del período (n) de composición del capital a partir de la
fórmula general del interés compuesto para pagos únicos o de anualidades.
Los logaritmos son de mucha utilidad en la elaboración de cálculos, debido al tiempo que se
ahorra. Actualmente, la mayoría de calculadoras de bolsillo y la plantilla Excel, permiten operar
con mucha rapidez los logaritmos, obviando el uso de las tablas y los procedimientos de cálculo
manual.
Si «N» y «b» son números positivos distintos de 1, entonces el logaritmo en base b del número
N, es el exponente «L» de la base b, tal que: bL = N L = logb N
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Ejemplos
a) log2 32 = 5, ya que, 25 = 32 y log5 125 = 3, ya que, 53 = 125
b) 3 = log2 8, implica que 23 = 8
Son comunes los llamados logaritmos neperianos cuya base es el número e = 2.718281829 y los
logaritmos comunes cuya base es 10. Para los propósitos del presente libro, utilizaremos los
logaritmos comunes escribiendo log N en vez de log10 N. Por definición tenemos:
log 1.000 = 3 ya que 103 = 1.000
log 10 = 1 ya que 101 = 10
log 1 = 0 ya que 100 = 1
log 0.10 = -1 ya que 10-1 = 0.10
22.3.1. Reglas en el uso de logaritmos
22.3.1.1. Logaritmo de un producto
Veamos el logaritmo del siguiente producto:
L=log ( 100* 1000)=log(100000)=5
Expresemos al logaritmo a través de su equivalente exponencial y utilicemos la regla de la
potencia del producto de dos factores para llegar a la expresión:
10L = 100* 1000=102 *103=102+3
Igualando exponentes es obvio que: L=2+3
Reemplazando a L a través del logaritmo que lo define y a 2 y 3 por sus logaritmos equivalentes
obtendremos:
log ( 100* 1000)=log (100)+log (1000)
Así, generalizando podemos decir que:
log ( A * B ) = log A + log B
El logaritmo del producto de dos o más números positivos es igual a la suma de los logaritmos de
los números.
22.3.1.2. Logaritmo de un cociente
Veamos el logaritmo del siguiente cociente:
L=log ( 1000/100)=log(10)=1
Expresemos al logaritmo a través de su equivalente exponencial y utilicemos la regla de la
potencia del cociente de dos factores para llegar a la expresión:
10L = 1000/100=103 /102=103-2
Igualando exponentes es obvio que:
L=3-2
Reemplazando a L a través del logaritmo que lo define y a 3 y 2 por sus logaritmos equivalentes
obtendremos:
log ( 1000/100)=log (1000)-log (100)
Así, generalizando podemos decir que:
log ( A / B ) = log A - log B
El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual a la diferencia del logaritmo del
numerador con el logaritmo del denominador.
22.3.1.3. Logaritmo de una potencia
Veamos el logaritmo de la siguiente potencia:
L=log ( 105)=5
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César Aching Guzmán
Expresemos al logaritmo a través de su equivalente exponencial y utilicemos la regla de la
potencia del cociente de dos factores para llegar a la expresión:
10L = 105
Igualando exponentes es obvio que: L=5
Reemplazando a L a través del logaritmo que lo define y a 5 por su logaritmo equivalentes
obtendremos:
log (105)=5log (10)
Así, generalizando podemos decir que: log An = n log A
El logaritmo de un número elevado a la potencia n, es n veces el logaritmo del número:
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
log ( A * B ) = log A + log B
log ( A / B ) = log A - log B
bL = N L = logb N
22.4. Progresiones aritméticas
De aplicación en el interés simple.
Una progresión aritmética es una sucesión de números, llamados términos, como pueden ser:
a) 4, 7, 10, 13, 16, 19, 21, 24
b) 40, 35, 30, 25, 20, 15
Como vemos en la sucesión a y b, los términos están separados por una misma cantidad,
llamada diferencia. Así tenemos en (a) una sucesión de 8 términos, el primero es 4 y cada uno de
los términos siguientes lo obtenemos sumando la diferencia común de 3, al término anterior. En
(b) tenemos 6 términos, el primero es 40 y cada uno de los términos siguientes lo obtenemos
sumando la diferencia común de -5 al término anterior.
Ahora vamos a generar una progresión aritmética de 7 términos, siendo x el primer término y d la
diferencia. La progresión será:
x, x + d, x + 2d, x + 3d, x + 4d, x + 5d, x + 6d
Asumimos que la progresión tiene n términos. El n-ésimo término, es decir, el último, sería l:
l = x + (n - 1)d
Luego podemos escribir la progresión como:
c) x, x + d, x + 2d, ... x + (n - 3)d, x + (n - 2)d, x + (n - 1)d ó
d) x, x + d, x + 2d, ..., (l - 2d), (l - d), l
Representando con s la suma de los términos de (d), tenemos que:
s = x + (x + d) + (x + 2d) + ... + (l - 2d) + (l - d) + l
o sea:
s = l + (l - d) + (l - 2d) + ... + (x + 2d) + (x + d) + x
Sumando término a término cada una de las expresiones anteriores tenemos:
2s = (x + l) + (x + l) + (x + l) + ...+ (x + l) + (x + l) + (x + l) = n(x + 1)
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Luego:
Es decir, la suma de una progresión aritmética es igual a la mitad del número de términos
multiplicado por la suma del primero y último términos.
Ejemplo
Encontrar el 12o. término y la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética:
x = 8; d = 6; n = 10; l = ?
l = x + (n - 1)d l = 8 + (10 - 1)6 = 62 y
10
s ( ) s = (8 62) 350
22
nxl=+ → +=
22.5. Progresión geométrica
De aplicación en el interés compuesto.
Una progresión geométrica es una sucesión de números, llamados términos, como son:
a) 4, -8, 16, -32, 64, -128, 256, -512, 1024, -2048
c) 729, 486, 324, 216, 144, 96, 64
En la cual cualquier término posterior al primero puede ser obtenido del anterior, multiplicándolo
por un número constante llamado razón (o cociente común). Así tenemos:
En (a) hay 10 términos; el primer término es 4 y cada uno de los términos siguientes lo obtenemos
multiplicando el anterior por la razón -2.
En (b) hay 7 términos; el primero es 729 y cada uno de los términos siguientes lo obtenemos del
anterior multiplicándolo por la razón 2/3.
Generando una progresión aritmética de 8 términos, en el que x es el primer término y r la
razón. La progresión es:
x, xr, xr2, xr3, xr4, xr5, xr6, xr7
Si asumimos que la progresión tiene n términos, el n-ésimo término l, es decir, el último sería:
l = xrn-1
Representamos por s la suma de los n primeros términos de la progresión geométrica.
x, xr, xr2, xr3, ... xrn-1
Es decir, que
s = x + xr + xr2 + xr3 + xr4 + ... + xrn-2 + xrn-1
s - rs = x + (xr - xr) + (xr2 - xr2) + (xr3 - xr3) + ... + (xrn-1 - xrn-1) - xrn
o sea que,
(1 - r)s = x - xrn
Y
cuando r 1 y
11
nn
xxr xr x
ss
rr
−−
==
−−
p
De las ecuaciones anteriores tenemos que: xl = xrn
Por lo cual las ecuaciones precedentes pueden ser escritas:
cuando r 1 y cuando r 1
11
xrl rlx
ss
rr
−−
==
−−
pf
Ejemplos:
a) Obtener el 15o. término y la suma de los 15 primeros términos de la progresión geométrica 5,
15, 45, 135, ...
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Solución:
x = 5; r = 3; n = 15; l = ?; s = ?
l = xrn-1, de donde l = 5*(3)15-1 = 23,915
(3 23,915)-5
Reemplazando valores, tenemos =35,870
13-1
rl x
sr
−∗
= 
b) Obtener la suma de los 15 primeros términos de la progresión geométrica 5, -15, 45, -135, ...
Solución:
x = 5; r = -3; n = 15; l = ?; s = ?
Reemplazando valores tenemos
15 1
55(3)
5,979
11(3)
n
xxr
sr
−−
= →=
−−
23. Funciones Financieras de Excel
23.1. Microsoft Excel Xp
Excel es la más potente hoja de cálculo que existe en el mercado. Combina perfectamente
potencia y facilidad de uso.
Excel de Microsoft Office Xp contiene 256 columnas, 65,536 filas (cuatro veces más filas que en
las versiones anteriores) y 16’777,216 celdas. Todo esto en una sola hoja de cálculo y un libro de
trabajo puede contener más de una hoja.
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23.2. Funciones
Las funciones son fórmulas predefinidas ejecutan cálculos utilizando valores específicos,
denominados argumentos, en orden determinado o estructura. Las funciones pueden utilizarse
para ejecutar operaciones simples o complejas.
23.3. Estructura de una función
Excel cuenta con una amplia gama de funciones integradas. Soporta fórmulas matriciales (tipo
especial de fórmulas, pueden hacer maravillas).
1. Estructura
La estructura de una función comienza por el signo igual (=) seguido por el nombre de la función,
paréntesis de apertura, los argumentos de la función separados por comas y paréntesis de cierre.
2. Nombre de función
Para obtener una lista de funciones disponibles, haga clic en una celda y presione MAYÚSC+F3.
3. Argumentos
Los argumentos pueden ser números, texto, valores lógicos como VERDADERO o FALSO,
matrices, valores de error como #N/A o referencias de celda. El argumento que designemos deberá
generar valor para el mismo. Los argumentos pueden ser también constantes, fórmulas u otras
funciones.
4. Información sobre herramientas de argumentos
Cuando escribamos la función, aparece una información sobre herramientas con su sintaxis y sus
argumentos. Por ejemplo, escriba =REDONDEAR y aparecerá la información. La información
sobre herramientas sólo aparece para las funciones integradas.
24. Escribir fórmulas
Cuando escriba fórmulas con funciones, el cuadro de diálogo Insertar función le ayudará a
introducir las funciones de la hoja de cálculo. A medida que introduzcamos funciones en la
fórmula, el cuadro de diálogo Insertar función irá mostrando el nombre de la función, cada uno
de sus argumentos, la descripción de la función y de cada argumento, el resultado actual de la
función y el resultado actual de toda la fórmula.
25. Crear una fórmula
Las fórmulas permiten que la hoja de cálculo sea justamente eso: hoja de cálculo.
Las fórmulas son ecuaciones que efectúan cálculos con los valores de la hoja de cálculo. Una
fórmula comienza por un signo igual (=). Por ejemplo, multiplicar 2 por 3 y, a continuación, sumar
5 al resultado. =5+2*3
26. Sugerencias
Para introducir la misma fórmula en un rango de celdas, seleccione en primer lugar el rango,
introduzca la fórmula y, a continuación, presione CTRL+ENTRAR.
Si está familiarizado con los argumentos de la función, puede utilizar la información sobre
herramientas de funciones que aparecen después de escribir el nombre de la función y el
paréntesis de apertura. Haga clic en el nombre de la función para ver el tema de la Ayuda
correspondiente a la función o haga clic en un nombre de argumento para seleccionar el
argumento correspondiente de la fórmula. Para ocultar la información sobre herramientas de
funciones, en el menú Herramientas haga clic en Opciones y desactive la casilla de verificación
Información sobre herramientas de funciones de la ficha General.
Si una función no está disponible y devuelve el error #¿NOMBRE?, instale y cargue el programa
de complementos Herramientas para análisis.
¿Cómo? :
En el menú Herramientas, elija Complementos.
En la lista Complementos disponibles, seleccione el cuadro Herramientas para análisis y, a
continuación, haga clic en Aceptar.
Si es necesario, siga las instrucciones del programa de instalación.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
27. En Excel sólo requerimos tres funciones para transformar entre sumas
de dinero VA, VF y C:
VF(tasa(i);nper(n);pago(C);va;tipo) para transformar VA a VF o C a VF
VA(tasa;nper;pago;vf;tipo) para transformar VF a VA o C a VA
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo) para transformar VA a C o VF a C
Es posible utilizar estas funciones con más de una variable. Así calculamos la cuota uniforme
equivalente a una suma inicial (VA o VF) y suma futura (VF). Es posible calcular el VA
equivalente a series de cuotas uniformes (pago C) y suma futura (VF), etc.
28. Funciones Financieras
Aún con la rapidez que brinda la hoja de cálculo Excel, la solución de problemas complejos
requiere de tiempo y esfuerzo. Para conocer la operación real de estas funciones, en especial el
significado de las respuestas es de mucha utilidad el estudio concienzudo de los diferentes
capítulos del presente libro.
El tema de las funciones financieras lo dividimos en dos grandes grupos: 9. Funciones para
conversión de tasas de interés y 10. Funciones para series uniformes. Además, incluimos dos
funciones financieras utilizadas en la evaluación financiera de proyectos: VAN y TIR.
29. Funciones para conversión de tasas de interés
Dentro de este grupo clasificamos dos funciones que sirven para convertir tasas de interés
efectivas en nominales y viceversa. Los argumentos que utilizan las funciones financieras para
conversión de tasas son los siguientes:
Núm_per: Es el número de períodos de interés compuesto por año. (Cuando operamos con
TASA.NOMINAL).
Núm_per_año: Es el número de períodos de interés compuesto por año. (Cuando operamos con
INT.EFECTIVO).
Int_nominal: Es la tasa de interés nominal anual expresada en términos decimales.
Tasa_efectiva: Es la tasa de interés efectiva anual, es decir, la rentabilidad efectiva que
recibiríamos si los intereses fueran reinvertidos en las mismas condiciones por el tiempo que resta
del año.
Período de interés compuesto: Entendemos el tiempo transcurrido entre dos fechas de pago de
interés. En el caso de estas funciones suponemos que el interés pagado no es retirado ni
consumido, si no reinvertido por el tiempo restante del año.
29.1.INT.EFECTIVO
Devuelve la tasa efectiva del interés anual si conocemos la tasa de interés anual nominal y el
número de períodos de interés compuesto por año. De aplicación cuando los períodos de pago son
exactos.
Sintaxis
INT.EFECTIVO(int_nominal;núm_per_año)
Si alguno de los argumentos es menor o igual a cero o si el argumento núm_per_año es menor a
uno, la función devuelve el valor de error #¡NUM!
La respuesta obtenida viene enunciada en términos decimales y debe expresarse en formato de
porcentaje. Nunca divida ni multiplique por cien el resultado de estas funciones.
Esta función proporciona la tasa efectiva de interés del pago de intereses vencidos. Para intereses
anticipados debe calcularse la tasa efectiva aplicando la fórmula.
El argumento núm_per_año trunca a entero cuando los períodos son irregulares, hay que tener
especial cuidado con esta función, sólo produce resultados confiables cuando la cantidad de
períodos de pago en el año (núm_per_año) tiene valores exactos; por ejemplo: mensual (12),
trimestral (4), semestral (2) o anual (1).
El resultado proporcionado por esta función lo obtenemos también con la siguiente fórmula:
[]
43 = 1 1
j
im
m
+−
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Ejemplo 1: Cuando los períodos de pago son exactos y el resultado es confiable:
FECHA INICIAL : 15-03-2004
FECHA FINAL : 15-06-2004
TASA NOMINAL : 68% anual, compuesto trimestralmente
Solución:
n = (15/03/2004 - 15/06/2004) = 90/30 = 3, m = (12/3) = 4
Aplicando ambos métodos:
[]
4
0.68
43 = 1+ -1= 0.8739
4
i
Sintaxis
INT.EFECTIVO(int_nominal;núm_per_año)
int_nominal núm_per_año INT.EFECTIVO
0.68 4 0.8739
Ejemplo 2: Cuando los períodos de pago son inexactos y por lo tanto el resultado es
irreal.
FECHA INICIAL : 15-03-2004
FECHA FINAL : 15-06-2004
TASA NOMINAL : 68% anual, compuesto cada 2.20 meses
Solución:
n = (15/03/2004 - 21/05/2004) = 66/30 = 2.2, m = (12/2.2) = 5.2174
Aplicando ambos métodos:
[]
5.2174
0.68
43 = 1+ -1= 0.8739
5.2174
i
Sintaxis
INT.EFECTIVO(int_nominal;núm_per_año)
int_nominal núm_per_año INT.EFECTIVO
0.68 5.2174 0.8919
Observando ambos resultados, constatamos que son diferentes. En estos casos es recomendable
el uso de las fórmulas, sus resultados son más reales.
29.2. TASA.NOMINAL
Devuelve la tasa de interés nominal anual si conocemos la tasa efectiva y el número de períodos
de interés compuesto por año.
Sintaxis
TASA.NOMINAL(tasa_efectiva; núm_per)
El argumento núm_per se trunca a entero, hay que tener especial cuidado con esta función, sólo
produce resultados confiables cuando la cantidad de períodos de pago en el año (núm_per) tiene
valores exactos; por ejemplo: mensual (12), trimestral (4), semestral (2) o anual (1).
Si alguno de los argumentos es menor o igual a cero o si el argumento núm_per es menor a uno,
la función devuelve el valor de error #¡NUM!
La respuesta obtenida viene enunciada en términos decimales y debe expresarse en formato de
porcentaje. Nunca divida ni multiplique por cien el resultado de estas funciones.
Esta función proporciona la tasa nominal del pago de intereses vencidos. Para el interés
anticipado debe calcularse la tasa nominal aplicando la fórmula (B):
[]
B 1
ia
ia =
+iv
30. Funciones para el manejo de series uniformes
Presenta las funciones que sirven para resolver problemas en los cuales entre el valor inicial y el
valor final de un negocio existen pagos de cuotas o valores recibidos.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
En todas las funciones de series uniformes suponemos que los valores recibidos o pagados
durante el tiempo del negocio son reinvertidos razón por la cual debe restase del plazo total, en
las mismas condiciones existentes para la inversión original.
Un problema es de series uniformes cuando reúne las siguientes condiciones en su totalidad:
a) El monto de los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante
b) La periodicidad de los pagos efectuados dentro del tiempo de la inversión es constante
c) La tasa de interés de liquidación de pagos dentro del tiempo de la inversión es constante.
Los argumentos utilizados por las funciones financieras de series uniformes son los siguientes:
VA: Es el valor actual de la serie de pagos futuros iguales. Si este argumento es omitido, significa
que es 0.
Pago (C): Es el pago efectuado periódicamente y no cambia durante la vida de la anualidad. El
Pago incluye el capital y el interés pero no incluye ningún otro cargo o impuesto. Este argumento
debe tener signo contrario al de VA, para conservar las condiciones del flujo de caja: expresamos
los ingresos con signo positivo y los egresos con signo negativo.
Nper: Es la cantidad total de períodos en una anualidad; es decir, el plazo total del negocio.
Tasa (i): Es la tasa de interés por período. Tener en cuenta que no es la tasa anual, si no la tasa
nominal del período de pago expresada en términos decimales. Es importante mantener la
uniformidad en el uso de las unidades con las que especificamos Tasa y Nper.
VF: Es el valor futuro o el saldo en efectivo que desea lograrse después de efectuar el último pago.
Si el argumento VF es omitido, asumimos que el valor es 0.
Tipo: Es el número 0 ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencida y anticipada.
Defina tipo
Es cero (0) o omitido, cuando el pago de la cuota es vencida.
Ponemos 1, cuando el pago de la cuota es anticipada.
Período Especifica el número ordinal de la cuota y debe encontrarse en el intervalo comprendido
entre 1 y Nper.
Per_inicial y Per_final Especifica el número ordinal de la primera y la última cuota del período
en el cual analizaremos las cuotas pagadas.
Estimar Es la tasa de interés estimada para que Excel empiece las iteraciones en el cálculo de la
tasa de interés de series uniformes. Si el argumento Estimar es omitido, suponemos que es 10%.
30.1. VF
Permite calcular VF a partir de C o de VA. También sirve para calcular el valor de VF indicando si
es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si lo que queremos calcular es VF a partir de VA
omitimos el valor de C; si la cuota es vencida, omitimos el valor tipo.
Devuelve el valor futuro de la inversión, equivalente a los pagos periódicos uniformes a una tasa
de interés constante.
Sintaxis: VF(tasa;nper;pago;va;tipo)
El resultado proporcionado por esta función lo obtenemos también con la siguiente fórmula:
Por ejemplo:
Si ahorramos UM 350 mensuales durante 3 años en un banco que paga el 18% nominal anual y
deseamos saber cuánto dinero tendremos ahorrado al final de los 3 años:
[]
()
11
27 +i -
VF = C
i
n
Solución:
C = 350; n = (3*12) = 36; i = 0.015 (0.18/12); VF = ?
Aplicando ambos métodos, tenemos:
[]
()
36
1+0.015 -1
27 350 = UM 16,546.59
0.015
VF =
Sintaxis
VF(tasa;nper;pago;va;tipo)
TASA NPER PAGO VA TIPO VF
0.015 36 -350 16,546.59
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Ingresamos los datos en los argumentos de función en el orden indicado en el cuadro de la
sintaxis:
En la solución de los ejemplos y ejercicios en el presente libro, utilizaremos el formato
simplificado indicado en el cuadro de la Sintaxis, cuando operemos con la herramienta
Funciones Financieras de Excel. Esta metodología de ingresar los datos es aplicable a todas las
funciones de Excel, utilizadas en la obra, desde luego, cada con su propia persiana de
argumentos de función.
Hay tres aspectos a considerar en este ejemplo:
a) El interés incluido en el argumento Tasa debe estar en la misma unidad de tiempo utilizada
para el argumento Nper. En este caso, como son cuotas mensuales, la tasa de interés debe ser
mensual, es necesario dividir por doce la tasa anual nominal.
b) VA puede omitirse como apreciamos en el asistente para funciones y en la barra de fórmulas
automáticamente deja el espacio en la función, asumiéndolo como cero.
c) Si deseamos que las cifras en la hoja de cálculo sean positivas, introducimos el argumento
Pago con signo negativo, como apreciamos en el asistente para funciones (-350, en C2).
30.2. VA
Permite calcular VA a partir de C o de VF. También sirve para calcular el valor de VF indicando si
es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Para calcular VA a partir de VF, omitir el valor de
C; y cuando operemos con cuotas vencidas, omitir el valor tipo. Devuelve el valor actual de la
inversión. El valor actual es la suma de una serie de pagos a futuro. Por ejemplo, cuando
pedimos dinero prestado, la cantidad del préstamo es el valor actual para el prestamista.
La versión XP de Excel, recomienda el empleo de fx insertar función de la barra de fórmulas. Al
oprimir fx aparece el menú de funciones y escogemos la función buscada.
Esta función conserva las mismas observaciones efectuadas para VF.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
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Sintaxis: VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)
El resultado proporcionado por esta función lo obtenemos también con la siguiente fórmula:
[]
()
()
()
11
24 1
+i -
VA = C
i+i
n
n
Por ejemplo:
Si ahorramos UM 350 mensuales durante 3 años en un banco que paga el 18% nominal anual y
deseamos saber cuánto representan estas mensualidades al día de hoy.
Solución:
C = 350; n = (3*12) = 36; i = 0.015 (0.18/12); VA = ?
Aplicando ambos métodos, tenemos:
36
36
1.015 1
[24] 350 UM 9,681.24
0.015 1.015
VA
==
×
Sintaxis
VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)
Tasa Nper Pago VF Tipo VA
0.015 36 -350 9,681.24
30.3. PAGO
Calcula el pago de un préstamo basándose en pagos constantes y con la tasa de interés
constante.
Sintaxis:
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
Sugerencia: Para encontrar la cantidad total pagada durante el período del préstamo, multiplique
el valor devuelto por PAGO por el argumento nper.
El resultado proporcionado por esta función lo obtenemos también con la siguiente fórmula:
[]
()
(
)
()
1
25 11
i+i
C = VA
+i -
n
n
Por ejemplo:
Obtenemos un crédito de UM 10,000 para su pago en 24 cuotas trimestrales iguales, a la tasa
nominal anual de 36% por trimestre vencido:
Solución:
VA = 10,000; n = 24; i = (0.36/12) = 0.03; C = ?
Aplicando ambos métodos, tenemos:
[]
()
(
)
()
24
24
003 1 003
25 10 000 UM 590.47
1003 1
.+.
C= ,
+. -
=
Sintaxis
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
TASA NPER VA VF TIPO PAGO
0.03 24 -10,000 590.47
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
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En algunos casos puede darse la necesidad de requerir tanto el VA como el VF; como en el caso
del leasing, en el cual, además del valor inicial de un equipo tenemos cuotas mensuales iguales y
al final del pago existe la opción de compra para que el usuario adquiera el bien.
Por ejemplo:
En un leasing de UM 50,000 a 24 meses con la tasa de interés del 2.87% mensual y la opción de
compra del 12%, la función Pago para calcular la cuota mensual a pagar operaría de la siguiente
forma:
Solución:
VA = 50,000; i = 0.0287; n = 24; VF = 12%; C = ?
Sintaxis
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
TASA NPER VA VF TIPO PAGO
0.0287 24 -50,000 12% 3,088.32
30.4. TASA, calcula la tasa del período
Devuelve la tasa de interés por período de la anualidad. La TASA es calculada por iteración y
puede tener cero o más soluciones. Si los resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de
0,0000001 después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #¡NUM!.
Con esta función es posible calcular la tasa de interés, combinando no sólo VA y VF, sino también
VA y C, C y VF y VA, C y VF.
Por ser la tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva, para
convertir ésta tasa en tasa anual debe tenerse cuidado con la fórmula utilizada, dependiendo de
qué tasa queremos calcular: la tasa nominal o la tasa efectiva anual (TEA).
Sintaxis
TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)
Por ejmeplo:
VA = 5,000; n = 5; C = 1,250; i =?
Sintaxis
TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)
Nper Pago VA VF Tipo Tasa
5 -1,250.00 5,000 0.07931
Función utilizada para calcular la tasa periódica de las anualidades. No existen fórmulas para
obtener la tasa de las anualidades.
30.5. NPER
Devuelve la cantidad de períodos que debe tener la inversión para que sea equivalente a la serie
de pagos periódicos iguales.
Sintaxis
NPER(tasa, pago, va, vf, tipo)
La unidad de tiempo consignada en la función Nper debe ser la misma que la utilizada en la tasa
de interés.
El resultado proporcionado por esta función lo obtenemos también con las siguientes fórmulas,
según los casos:
[]
()
[]
()
VA
VF 1- C
VA
23 = , 26 = ,
1+ 1
1
log i
log
nn
log i log i









+

MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
[]
()


∗+







+

VA
1- 1
C
28 =
1
1
log i
n
log i
Por ejemplo:
i = 0.06; C = 14,000; VA = 93,345.50; n =?
Sintaxis
NPER(tasa; pago; va; vf; tipo)
Tasa Pago VA VF Tipo n
0.06 14000 -93,345.50 8.7682
31. Funciones de Evaluación de proyectos
La evaluación financiera de proyectos consiste en la aplicación de algunos indicadores de
conveniencia económica al flujo de caja estimado de un negocio. En esta parte presentaremos
solamente las funciones financieras del Excel utilizadas en el presente libro como indicadores de
conveniencia económica (VAN y TIR). En Excel existen otras funciones financieras para este
propósito.
En un proyecto real el flujo de efectivo resultante no obedece a las series conocidas
(anualidades, gradientes, etc.), puesto que depende de cantidad de variables, por lo tanto no
existe una fórmula para calcular el valor presente neto o la tasa de retorno (las fórmulas del VAN
y la TIR insertos en el presente libro son solamente ilustrativas). Es necesario trabajar cada
componente del flujo como elemento independiente. Es aquí donde el Excel presenta un gran
aporte para la evaluación financiera de proyectos. Marcando la opción aceptar, obtenemos el VA
del flujo. Para el cálculo del VAN sumamos la celda donde está la inversión con signo negativo.
Los argumentos que utilizan las funciones de evaluación de proyectos VAN o VNA y TIR, son los
siguientes:
Tasa : Es la tasa de descuento utilizada para calcular el valor presente. Debe expresarse en el
mismo período que empleamos para la serie de datos.
Valor1, valor2: Son los rangos que contienen los valores (ingresos y egresos) a los cuales
calcularemos el valor presente. La función acepta hasta 29 rangos.
Valores: Rango que contiene los valores (flujo de caja) a los cuales deseamos calcular la tasa
interna de retorno. El argumento valores debe contener al menos un valor positivo y uno negativo
para calcular la tasa interna de retorno. Estos flujos de caja no tienen por que ser constantes,
como es el caso en una anualidad; sin embargo, los flujos de caja deben ocurrir en intervalos
regulares.
Estimar: Es el número estimado por el usuario que considera aproximará al resultado de TIR.
31.1. VNA o VAN
Calcula el valor actual neto de la inversión a partir de la tasa de descuento y pagos futuros
(valores negativos) e ingresos (valores positivos).
Sintaxis
VNA(tasa;valor1;valor2; ...)
Los valores incluidos en el flujo de caja no tienen que ser constantes. Esta es la principal
diferencia frente a la función VA, conserva la condición de que tanto la tasa de interés como la
periodicidad son constantes; es decir, todo el flujo de caja descuenta a la misma tasa y los
valores incluidos en él ocurren a intervalos iguales.
Dentro del rango del flujo de caja excluimos el valor presente ubicado en el período cero (0),
dicho valor está en UM de hoy. La inversión inicial de la celda con período 0 no ingresa en el
argumento valores, posteriormente restamos del resultado que arroje la función.
La fórmula relacionada con ésta función es:
23
14n
0
234n
FC FC
FC FC FC
[41] =++++ -I
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
VAN
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Por ejemplo:
Tenemos los siguientes flujos netos de un proyecto
AÑOS 012345
Flujos N etos -50,000 16,000 14,000 17,000 15,000 18,000
FLUJO DE CAJA
Aplicando la función VNA y con un costo de oportunidad del capital de 15% calculamos el VAN del
flujo precedente:
Sintaxis
VNA(tasa;valor1;valor2; ...)
AÑO Tasa 0 1 2 3 4 5 VAN
FLUJO 0.15 -50,000 16,000 14,000 17,000 15,000 18,000 3,202.31
El valor actual neto es un indicador sobre la conveniencia económica de la inversión, involucra la
subjetividad del inversionista, que debe seleccionar la tasa de interés para descontar el flujo de
caja. Al calcular con dos tasas diferentes obtenemos dos resultados, para evaluar estos casos
debe tenerse en cuenta que la respuesta esta expresada en UM del período cero y su significado
puede interpretarse de la siguiente manera:
a) VNA > 0, un resultado positivo indica que el negocio estudiado arroja rentabilidad superior
a la exigida por el inversionista, deducida la inversión, luego es conveniente llevar a cabo el
negocio.
b) VNA = 0, en caso de presentarse, un resultado igual a cero indica que el negocio arroja
rentabilidad igual a la exigida por el inversionista, la ejecución del proyecto es opcional.
c) VNA < 0, valor presente neto negativo no significa que el negocio estudiado arroje pérdidas,
únicamente la rentabilidad es inferior a la exigida por el inversionista y para él,
particularmente, no es conveniente el negocio.
De lo anterior concluimos cuando anunciemos el VNA de un proyecto debe aclararse cuál fue
la tasa de descuento utilizada para calcularlo, es decir, cuál fue el valor ingresado en el
argumento Tasa.
31.2. TIR
Devuelve la tasa interna de retorno (tasa de rentabilidad) de los flujos de caja representados por
los números del argumento valores. Estos flujos de caja no son constantes, como en las
anualidades. Sin embargo, los flujos de caja deben ocurrir en intervalos regulares, como meses o
años. La tasa interna de retorno equivale a la tasa de interés producida por un proyecto de
inversión con pagos (valores negativos) e ingresos (valores positivos) que ocurren en períodos
regulares.
Sintaxis
TIR(valores;estimar)
Para el cálculo de la función TIR incluimos en el rango de valores todo el flujo de caja y es
necesario que existan valores positivos y negativos. El argumento Estimar es opcional. En caso
de omitirse, el Excel asume la tasa inicial del 10%.
La fórmula relacionada con ésta función es:
23
14n
0234n
FC FC
FC FC FC
[ ] -I + + + + + =0
(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)
TIR
Por ejemplo:
Tenemos el siguiente flujo de caja de un proyecto:
0 123456
-60,000 8,000 15,000 15,000 15,000 20,000 28,000
Aplicando la función calculamos la TIR del proyecto:
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César Aching Guzmán
Sintaxis
TIR(valores;estimar)
0 12 3 456TIR
-60,000 8,000 15,000 15,000 15,000 20,000 28,000 0.1436
La TIR sólo involucra las condiciones particulares de un proyecto y no está afecta por la
subjetividad del inversionista. Sin embargo, dificultades de orden matemático llevan a desconfiar
de los resultados que arroja. Para ilustrar el caso presentamos el siguiente flujo.
012
-42,000 120,000 -80,000
Aplicando la función calculamos la TIR del proyecto:
Con el argumento estimar = 6%
Sintaxis
TIR(valores;estimar)
012TIR
-42,000 120,000 -80,000 0.0597
Con el argumento estimar = 35%
Sintaxis
TIR(valores;estimar)
012TIR
-42,000 120,000 -80,000 0.7974
Como apreciamos, ante el mismo flujo de caja la función TIR arroja dos resultados diferentes,
dependiendo del valor utilizado en el argumento Estimar. Es recomendable tener cuidado al
utilizar esta función, puede llevarnos a conclusiones erróneas.
Por otra parte, la TIR no toma en cuenta los costos de financiación ni la reinversión de utilidades
generadas al realizar la inversión. Es decir sólo está mostrando la rentabilidad por mantener en
un negocio el saldo no recuperado de la inversión inicial. Para resolver esta dificultad utilizamos
otra forma de calcular la TIR llamada la Tasa Verdadera de Rentabilidad (TVR) o la Tasa Interna
de Rendimiento Modificada (TIRM).
La TIRM: Devuelve la tasa interna de retorno modificada para una serie de flujos de caja
periódicos. TIRM toma en cuenta el costo de la inversión y el interés obtenido por la reinversión
del dinero.
Sintaxis
TIRM(valores;tasa_financiamiento;tasa_reinversión)
Valores es una matriz o una referencia a celdas que contienen números. Estos números
representan el flujo de caja, expresado en una serie de pagos (valores negativos) e ingresos
(valores positivos) efectuados en períodos regulares.
El argumento valores debe contener por lo menos un valor positivo y uno negativo para poder
calcular la tasa interna de retorno modificada. De lo contrario, TIRM devuelve el valor de error
#¡DIV/0!
Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, estos
valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor cero.
Tasa_financiamiento es la tasa de interés que se paga por el dinero utilizado en los flujos de
caja.
Tasa_reinversión es la tasa de interés obtenida por los flujos de caja a medida que se reinvierten.
Esta función en el presente libro es referencial, todos los casos son resueltpos aplicando la
función TIR.
32. Tablas de amortización
La tabla de amortización indica cómo el pago de una deuda está dividida entre interés y abono o
amortización de la deuda. Con la tabla de amortización podemos también establecer el saldo
pendiente al final de cada período. Igualmente podemos operar con la tabla de capitalización; la
diferencia radica en que en lugar de amortizar (disminuir la deuda), los ahorros y los intereses
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
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que ellos producen capitalizan luego, es posible calcular también el saldo acumulado del capital
ahorrado con sus intereses.
Con la ayuda de Excel, las tablas de amortización pueden elaborarse con variados esquemas de
pago, el límite lo impone la imaginación y capacidad del usuario. Algunos ejemplos son las cuotas
escalonadas del pago de deudas. La clave para manipular estos esquemas es hacer depender
todas las cuotas futuras de la primera cuota y construir el «modelo» en función de esa primera
cuota; hecho esto, hay que encontrar el valor de la primera cuota que haga cero el saldo final.
Esto es posible lograrlo con la opción de Excel que está en Herramientas del menú, llamada
Buscar objetivo.
Ajustar el valor de una celda para obtener un resultado específico para otra celda.
1. En el menú Herramientas, haga clic en Buscar objetivo.
2. En el cuadro Definir celda, escriba la referencia de la celda que contenga la fórmula
(fórmula: secuencia de valores, referencias de celda, nombres, funciones u operadores de
la celda que producen juntos un valor nuevo. Una fórmula comienza siempre con el signo
(=).) que desee resolver.
3. En el cuadro Con el valor, introduzca el resultado que desee.
4. En el cuadro Para cambiar la celda introduzca la referencia de la celda que contenga el
valor que desee ajustar. A esta celda debe hacer referencia la fórmula en la celda
especificada del cuadro Definir celda.
5. Haga clic en Aceptar.
Lo más conveniente al construir la tabla de amortización es su estructura básica, así:
1º Caso cuando fijamos la cuota o pago
SALDO
INICIAL
INTERÉS AM ORTIZACN PAGO SALDO FINAL
Saldo final
del período
anterior
Saldo inicial
por tasa de
interés
Pago menos
interés
Definida a
voluntad
Saldo inicial
menos
amortización
Por ejemplo: Un préstamo de UM 10,000 al 4.5% mensual, cuyos 6 pagos, se duplican cada dos
meses.
Solución:
VA=10,000; i = 0.045; n = 6; C1...6 = ?
La primera cuota puede ser cualquier valor; lo importante es que las demás cuotas (de la
segunda en adelante) dependan de la primera; de modo que cuando cambie la primera, las demás
cuotas y el resto de la tabla también cambien. Habrá que cambiar el valor de la primera cuota
hasta cuando el saldo final sea cero. Es posible hacer esto a mano, pero el computador lo hace
más rápido con la opción Buscar objetivo ya mencionada. Definimos la celda donde está el saldo
final del último período con el valor cero y pedimos que cambie la celda donde está la primera
cuota.
Operando con Buscar Objetivo de Excel.
1º. Elaboramos la tabla de amortización, como ilustramos en el extracto de la hoja de Excel.
En la columna E4 (Pago), ingresamos 10 un valor arbitrario, de la siguiente forma:
Celda E4 10 [Ingresamos a la celda sin poner el signo (=)]
Celda E5 =E4
Celda E6 =E5*2 (de acuerdo a la condición del problema).
Celda E7 =E6
Celda E8 =E7*2
Celda E9 =E8
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Cuando la tabla es de muchos períodos (filas) y no exista la condición doble o UM X más cada 2,
3, etc. cuotas; la forma más rápida de operar, es ingresar a la primera celda (PAGO) cualquier
número, luego ingresamos a la segunda celda (PAGO) el signo (=) y hacemos clic con el mouse en
la primera celda PAGO. Finalmente, colocamos el puntero en la 2º celda PAGO y del ángulo
inferior arrastramos el puntero en forma de cruz hasta la celda PAGO final de la tabla.
Aplicando la opción buscar objetivo obtenemos el valor de cada cuota:
AB C D E F
1
MES SALDO
INICIAL
INTES AMORTZ PAGO SALDO
FINAL
20 10,000.00
31 10,000.00 450.00 413.28 863.28 9,586.72
42 9,586.72 431.40 431.87 863.28 9,154.85
53 9,154.85 411.97 1,314.59 1,726.55 7,840.26
64 7,840.26 352.81 1,373.74 1,726.55 6,466.52
75 6,466.52 290.99 3,162.11 3,453.11 3,304.41
86 3,304.41 148.70 3,304.41 3,453.11 0.00
INTERES = SALDO INICIAL x 0.045
PAGO = BUSCAR OBJETIVO
AMORTIZACION = PAGO - INTERES
(=E3 - C3) ... (=E8 - C8)
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
2º Caso cuando fijamos el abono o amortización
Caso que confirma que la suma de las amortizaciones es igual a la deuda.
SALDO
INICIAL
INTERÉS AM ORTIZACN PAGO SAL DO FIN AL
Saldo final
del período
anterior
Saldo inicial
por tasa de
interés
Definida a
voluntad
Amortización
más interés
Saldo inicial
menos
amortización
Considerando el ejemplo anterior con amortización constante:
Elaboramos la Tabla de Amortización
AB C D E F
1
MES SALDO
INICIAL
INTES AMORTZ PAGO SALDO
FINAL
20 10,000.00
31 10,000.00 450.00 1,666.67 2,116.67 8,333.33
42 8,333.33 375.00 1,666.67 2,041.67 6,666.67
53 6,666.67 300.00 1,666.67 1,966.67 5,000.00
64 5,000.00 225.00 1,666.67 1,891.67 3,333.33
75 3,333.33 150.00 1,666.67 1,816.67 1,666.67
86 1,666.67 75.00 1,666.67 1,741.67 0.00
INTERES = SALDO INICIAL x 0.045
AMORTIZACION = 10,000/6 = 1,666.67
PAGO = Amortización + Interés
(=C3 + D3) ... (=C8 + D8)
El ejemplo anterior con pagos en cuotas uniformes:
Solución:
VA = 10,000; i = 0.045; n = 6; C = ?
El pago C también es calculado aplicando la rmula [25], la función financiera PAGO o Buscar
Objetivo de Excel:
1,938.78 UM
10.045)(1
0.045)0.045(1
10,000 [25]
6
6
=
+
+
=C
Sintaxis
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
Tasa Nper VA VF Tipo PAGO
0.045 6 -10,000 1,938.78
Elaboramos la tabla de amortización, como ilustramos en el extracto de la hoja de Excel.
Aplicamos el proceso ya conocido y obtenemos la siguiente tabla:
AB C D E F
1
MES SALDO
INICIAL
INTES AMORTZ PAGO SALDO
FINAL
20 10,000.00
31 10,000.00 450.00 1,488.78 1,938.78 8,511.22
42 8,511.22 383.00 1,555.78 1,938.78 6,955.44
53 6,955.44 312.99 1,625.79 1,938.78 5,329.65
64 5,329.65 239.83 1,698.95 1,938.78 3,630.70
75 3,630.70 163.38 1,775.40 1,938.78 1,855.30
86 1,855.30 83.49 1,855.30 1,938.78 0.00
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Ejemplo de cuota o pagos escalonados es la liquidación de un préstamo de UM 5,000 a la tasa
del 3.8% mensual con cuotas que crecen UM 30 cada mes. El primer esquema sería:
Solución:
VA = 5,000; i = 0.038; n = 5; C =?
En la celda E3 (Pago), ingresamos un valor arbitrario, de la siguiente forma:
Celda E3 10 Celda E6 =E5+30
Celda E4 =E3+30 Celda E7 =E6+30
Celda E5 =E4+30 Celda E8 =E7+30
En buscar Objetivo:
Definir la celda : Con el mouse hacemos clic en la celda F8
con el valor : 0
para cambiar la celda : Con el mouse hacemos clic en la celda E3
Aplicando este procedimiento obtenemos la siguiente tabla:
AB C D E F
1
MES SALDO
INICIAL
INTES AMORTZ PAGO SALDO
FINAL
2
0 5,000.00
3
1 5,000.00 190.00 685.87 875.87 4,314.13
4
2 4,314.13 163.94 741.93 905.87 3,572.20
5
3 3,572.20 135.74 800.13 935.87 2,772.07
6
4 2,772.07 105.34 860.53 965.87 1,911.54
7
5 1,911.54 72.64 923.23 995.87 988.31
8
6 988.31 37.56 988.31 1,025.87 0.00
Con estos ejemplos demostramos que es posible construir tablas de amortización con cualquier
esquema de pagos y siempre podremos encontrar el saldo final igual a cero. El esquema de pagos
puede ser tal que la cuota sea menor que los intereses que deben pagarse; en este caso el saldo
final aumentará en lugar de disminuir.
33. Calcular la diferencia entre dos fechas
33.1. Calcular el número de días entre dos fechas
Utilice el operador de sustracción (-) o la función DIAS.LAB para realizar esta tarea.
FUNCION DIAS.LAB
Devuelve el número de días laborables entre fecha_inicial y fecha_final. Los días laborables no
incluyen los fines de semana ni otras fechas que se identifiquen en el argumento festivos. Utilice
DIAS.LAB para calcular el incremento de los beneficios acumulados de los empleados basándose
en el número de días trabajados durante un período específico.
Si esta función no está disponible y devuelve el error #¿NOMBRE?, instale y cargue el programa
de complementos Herramientas para análisis.
Sintaxis
DIAS.LAB(fecha_inicial;fecha_final;festivos)
Importante. Las fechas deben introducirse mediante la función FECHA o como resultado de otras
fórmulas o funciones. Por ejemplo, utilice FECHA(2008;5;23) para el día 23 de mayo de 2008.
Pueden producirse problemas si las fechas se introducen como texto.
Fecha_inicial es una fecha que representa la fecha inicial.
Fecha_final es una fecha que representa la fecha final.
Festivos es un rango opcional de una o varias fechas que deben excluirse del calendario laboral,
como los días festivos nacionales y locales. La lista puede ser un rango de celdas que contengan
las fechas o una constante matricial de los números de serie que representen las fechas.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Observaciones
Microsoft Excel almacena las fechas como números de serie secuenciales para que puedan
utilizarse en los cálculos. De forma predeterminada, el 1 de enero de 1900 es el número de
serie 1 y el 1 de enero de 2008 es el número de serie 39448 porque viene 39.448 días después
del 1 de enero de 1900. Microsoft Excel para Macintosh utiliza un sistema de fechas
predeterminado diferente.
Si uno de los argumentos no es una fecha válida DIAS.LAB devuelve el valor de error
#¡VALOR!. Ejemplo del ejercicio 78.
Sintaxis
DIAS.LAB(fecha_inicial;fecha_final;festivos)
Fecha inicial Fecha final Festivos DIAS
2003-05-15 2003-07-28 53
Nota: Para que el resultado sea en números (no en fechas), la celda días debe estar configurado
como número.
33.2. Calcular el número de meses entre dos fechas
Utilice las funciones MES y AÑO para realizar esta tarea.
FUNCION MES
Devuelve el mes de una fecha representada por un número de serie. El mes se expresa como
número entero comprendido entre 1 (enero) y 12 (diciembre).
Sintaxis
MES(núm_de_serie)
Núm_de_serie es la fecha del mes que intenta buscar. Las fechas deben introducirse mediante la
función FECHA o como resultados de otras fórmulas o funciones. Por ejemplo, utilice
FECHA(2008;5;23) para el día 23 de mayo de 2008. Pueden producirse problemas si las fechas se
introducen como texto.
Observaciones
Microsoft Excel almacena las fechas como números de serie secuenciales para que puedan
utilizarse en los cálculos. De forma predeterminada, el 1 de enero de 1900 es el número de serie 1
y el 1 de enero de 2008 es el número de serie 39448 porque viene 39.448 días después del 1 de
enero de 1900. Microsoft Excel para Macintosh utiliza un sistema de fechas predeterminado
diferente.
Los valores devueltos por las funciones AÑO, MES Y DIA serán valores gregorianos
independientemente del formato de visualización del valor de fecha suministrado. Por ejemplo, si
el formato de visualización de la fecha suministrada es Hijri, los valores devueltos para las
funciones AÑO, MES Y DIA serán valores asociados con la fecha gregoriana equivalente.
33.3. Calcular el número de años entre dos fechas
Utilice la función AÑO para esta tarea.
FUNCION AÑO
Devuelve el año correspondiente a una fecha. El año se devuelve como número entero
comprendido entre 1900 y 9999.
Sintaxis
AÑO(núm_de_serie)
Núm_de_serie es la fecha del año que desee buscar. Las fechas deben introducirse mediante la
función FECHA o como resultados de otras fórmulas o funciones. Por ejemplo, utilice
FECHA(2008;5;23) para el día 23 de mayo de 2008. Pueden producirse problemas si las fechas se
introducen como texto.
Observaciones
Microsoft Excel almacena las fechas como números de serie secuenciales para que puedan
utilizarse en los cálculos. De forma predeterminada, el 1 de enero de 1900 es el número de serie 1
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
y el 1 de enero de 2008 es el número de serie 39448 porque viene 39.448 días después del 1 de
enero de 1900. Microsoft Excel para Macintosh utiliza un sistema de fechas predeterminado
diferente.
Los valores que devuelven las funciones AÑO, MES Y DIA serán valores gregorianos
independientemente del formato de visualización del valor de fecha suministrado. Por ejemplo, si
el formato de visualización de la fecha suministrada es Hijri, los valores devueltos para las
funciones AÑO, MES Y DIA serán valores asociados con la fecha gregoriana equivalente.
Si no están disponibles estas funciones, instale y cargue el programa de complementos
Herramientas para análisis.
¿Cómo?
1. En el menú Herramientas, elija Complementos.
2. En la lista Complementos disponibles, seleccione el cuadro Herramientas para análisis y, a
continuación, haga clic en Aceptar.
3. Si es necesario, siga las instrucciones del programa de instalación.
Ejemplo de hoja de cálculo
El ejemplo puede resultar más fácil si lo copia en una hoja de cálculo en blanco.
¿Cómo?
1. Cree un libro o una hoja de cálculo en blanco.
2. Seleccione el ejemplo en el tema de Ayuda. No seleccione los encabezados de fila o de columna.
Seleccionar un ejemplo de la Ayuda
3. Presione CTRL+C.
4. En la hoja de cálculo, seleccione la celda A1 y presione CTRL+V.
5. Para alternar entre ver los resultados y ver las fórmulas que devuelven los resultados, presione
CTRL+‘ (acento grave) o, en el menú Herramientas, elija Auditoría de fórmulas y, a
continuación, haga clic en Modo de auditoría de fórmulas.
Nota Para ver las fechas como números, seleccione la celda y haga clic en Celdas en el menú
Formato.
34. Funciones matemáticas
34.1. POTENCIA
Devuelve el resultado de elevar el argumento número a una potencia.
Sintaxis
POTENCIA(número;potencia)
Número es el número base. Puede ser cualquier número real.
Potencia es el exponente al que desea elevar el número base.
Observación
Se puede utilizar el operador «^» en lugar de la función POTENCIA para indicar a qué potencia se
eleva el número base, por ejemplo 5^2.
Ejemplo: El ejemplo puede resultar más fácil de entender si lo copia en una hoja de cálculo en
blanco.
¿Cómo?
1. Cree un libro o una hoja de cálculo en blanco.
2. Seleccione el ejemplo en el tema de Ayuda. No seleccione los encabezados de fila o de
columna.
3. Seleccionar un ejemplo de la Ayuda
4. Presione CTRL+C.
5. En la hoja de cálculo, seleccione la celda A1 y presione CTRL+V.
6. Para alternar entre ver los resultados y ver las fórmulas que devuelven los resultados,
presione CTRL+‘ (acento grave) o, en el menú Herramientas, elija Auditoría de fórmulas y, a
continuación, haga clic en Modo de auditoría de fórmulas.
Del ejercicio 36:
=+=
5
[11] 20 000(1 0 20) UM 49,766.40VF , .
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
Sintaxis
POTENCIA(número;potencia)
Número Potencia Resultado VA VF
1,2 5 2,4883 20.000,00 49.766,40
34.2. Logaritmos
34.2.1. LOG
Devuelve el logaritmo de un número en la base especificada.
Sintaxis
LOG(número;base)
Número es el número real positivo cuyo logaritmo desea obtener.
Base es la base del logaritmo. Si base se omite, el valor predeterminado es 10.
Ejemplo
El ejemplo puede resultar más fácil de entender si lo copia en una hoja de cálculo en blanco.
¿Cómo?
1. Cree un libro o una hoja de cálculo en blanco.
2. Seleccione el ejemplo en el tema de Ayuda. No seleccione los encabezados de fila o de
columna.
Seleccionar un ejemplo de la Ayuda
1. Presione CTRL+C.
2. En la hoja de cálculo, seleccione la celda A1 y presione CTRL+V.
3. Para alternar entre ver los resultados y ver las fórmulas que devuelven los resultados,
presione CTRL+‘ (acento grave) o, en el menú Herramientas, elija Auditoría de fórmulas y, a
continuación, haga clic en Modo de auditoría de fórmulas.
34.2.2. LN
Devuelve el logaritmo natural (neperiano) de un número. Los logaritmos naturales son logaritmos
que se basan en la constante e (2,71828182845904).
Sintaxis
LN(número)
Número es el número real positivo cuyo logaritmo natural desea obtener.
Observación
LN es la función inversa de la función EXP.
Ejemplo
El ejemplo puede resultar más fácil de entender si lo copia en una hoja de cálculo en blanco.
¿Cómo?
1. Cree un libro o una hoja de cálculo en blanco.
2. Seleccione el ejemplo en el tema de Ayuda. No seleccione los encabezados de fila o de
columna.
Seleccionar un ejemplo de la Ayuda
1. Presione CTRL+C.
2. En la hoja de cálculo, seleccione la celda A1 y presione CTRL+V.
3. Para alternar entre ver los resultados y ver las fórmulas que devuelven los resultados,
presione CTRL+‘ (acento grave) o, en el menú Herramientas, elija Auditoría de fórmulas y, a
continuación, haga clic en Modo de auditoría de fórmulas.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo I
César Aching Guzmán
34.2.3. LOG10
Devuelve el logaritmo en base 10 de un número.
Sintaxis
LOG10(número)
Número es el número real positivo cuyo logaritmo en base 10 desea obtener.
Ejemplo
El ejemplo puede resultar más fácil de entender si lo copia en una hoja de cálculo en blanco.
¿Cómo?
1. Cree un libro o una hoja de cálculo en blanco.
2. Seleccione el ejemplo en el tema de Ayuda. No seleccione los encabezados de fila o de
columna.
Seleccionar un ejemplo de la Ayuda
1. Presione CTRL+C.
2. En la hoja de cálculo, seleccione la celda A1 y presione CTRL+V.
3. Para alternar entre ver los resultados y ver las fórmulas que devuelven los resultados,
presione CTRL+‘ (acento grave) o, en el menú Herramientas, elija Auditoría de fórmulas
y, a continuación, haga clic en Modo de auditoría de fórmulas.
Capítulo 2
Interés Simple e Interés Compuesto
El interés pagado y recibido puede considerarse como simple
o compuesto.
1. Interés Simple
El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En
consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la
retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es
calculado sobre la misma base.
Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la
tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un
momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos
menores de 1 año). Ver en éste Capítulo, numeral 2.3.
Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos
son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.
Fórmula general del interés simple:
[
]
(
)
5 1 VF = VA + n i
1.1. Valor actual
La longitud de una escalera es la misma contada de arriba abajo como de abajo arriba. El valor
futuro VF puede considerarse como la cima vista desde abajo y el valor actual VA como el fondo
visto desde arriba.
El valor actual de una cantidad con vencimiento en el futuro, es el capital que a un tipo de
interés dado, en períodos también dados, ascenderá a la suma debida.
Si conocemos el monto para tiempo y tasa dados, el problema será entonces hallar el capital, en
realidad no es otra cosa que el valor actual del monto. Derivamos el VA de la fórmula general:
[6] =
(
1+
)
VF
VA ni
Siendo ésta la fórmula para el valor actual a interés simple, sirve no sólo para períodos de año,
sino para cualquier fracción del año.
El descuento es la inversa de la capitalización. Con ésta fórmula calculamos el capital equivalente
en un momento anterior de importe futuro.
Otras fórmulas derivadas de la fórmula general:
Si llamamos I a los intereses percibidos en el período considerado, convendremos:
[7] I=VF-VA
La diferencia entre VF y VA es el interés (I) generado por VA.
Y también, dada la fórmula general, obtenemos la fórmula del importe de los intereses:
I = VA(1+n*i) - VA = VA + VA*n* i - VA
[8] ∗∗I=VA n i
I = (principal)*(tasa de interés)*(número de períodos)
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo II
César Aching Guzmán
(Inversiones) I = monto total hoy - inversión original
(Préstamos) I = saldo de deuda - préstamo inicial
Con la fórmula [8] igual calculamos el interés (I) de una inversión o préstamo.
Sí sumamos el interés I al principal VA, el monto VF o valor futuro será.
[9] VF = VA+ I
o VF = VA(1+i*n)
Despejando éstas fórmulas obtenemos el tipo de interés y el plazo:
[10]
I
i=VA n
1
[11]
VF -
VA
i= n
[12]
I
n=VA i
[13]
VF -1
VA
n= i
El tipo de interés (i) y el plazo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés
es anual, el plazo debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el plazo irá en meses, etc.).
Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa.
Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses. En estas
fórmulas la tasa de interés (i) está indicada en forma decimal.
Nomenclatura:
I = Interés expresado en valores monetarios
VA = Valor actual, expresado en unidades monetarias
VF = Valor futuro, expresado en unidades monetarias
n = Periodo de capitalización, unidad de tiempo, años, meses, diario,...
i =Tasa de interés, porcentaje anual, mensual, diario, llamado también tasa de interés real.
Ejercicio 11 (VA a interés simple)
Encontrar el valor actual, al 5% de interés simple, de UM 1,800 con vencimiento en 9 meses.
Solución:
VF= 1,800; i = 0.05; n = 9/4; VA = ?
Ejercicio 12 (Interés simple - Inversión inicial)
¿Cuál fue nuestra inversión inicial, si hemos obtenido utilidades de UM 300, después de 8
meses, a interés simple y con el 48% de tasa anual?
Solución:
I = 300; n = 8 i = 0.04 (0.48/12); VA =?
1,800
[
6
]
UM 1,617.98
1 +(9 4×0.05)
==VA
[8] 300 = VA(0.04*8), de donde:
300 UM 937.50
0.04*8
==VA
Ejercicio 13 (VF a interés simple)
Si tenemos UM 10,000 y lo invertimos por un año con el 28% de interés anual. ¿Cuánto dinero
tendremos al finalizar el año?
Como es normal exigiremos la devolución del monto inicial incrementado algo más mensual, que
compense la pérdida del valor de la moneda, el riesgo corrido y el interés del dinero.
Generalmente es preferible utilizar el dinero en el presente y no en el futuro. El incremento es el
interés y es consecuencia de la capacidad que tiene el dinero de «producir más dinero”. El interés
como todo precio, depende del mercado y de las condiciones de cada negociación,
fundamentalmente del plazo y del riesgo.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo II
César Aching Guzmán
Solución:
VA = 10,000; i = 0.28; n = 1; VF =?
[5] VF = 10,000 (1+ 0.28%*1) = UM 12,800
Con este sencillo ejemplo demostramos que es indiferente recibir hoy UM 10,000 ó UM 12,800
dentro de un año.
Ejercicio 14 (VF a interés simple)
Necesitamos saber el monto que retiraríamos dentro de 4 años, sí hoy invertimos UM 2,000 al 8%
para el primer año con incrementos del 1% para los próximos tres años.
En estos casos no aplicamos directamente la fórmula general del interés simple, por cuanto el tipo
de interés en cada período es diferente. Debemos sumar al principal los intereses de cada período,
calculado siempre sobre el capital inicial pero a la tasa vigente en cada momento.
Solución:
VA = 2,000; n = 4; i1...4 = 0.08, 09, 0.10 y 0.11; VF =?
Al ejemplo corresponde la relación siguiente:
1234
VF = VA+ (VA× i ) + (VA× i ) + (VA× i ) + (VA× i )
=2,000+(2,000×0.08)+(2,000×0.09)+(2,000×0.10
)
+
(
2,000×0.11
)
= UM 2,760VF
Respuesta:
El monto a retirar es UM 2,760.00
Ejercicio 15 (Interés simple: interés y tasa de interés)
El día de hoy obtenemos un préstamo por UM 5,000 y después de un año pagamos UM 5,900.
Determinar el interés y la tasa de interés.
Solución:
VA = 5,000; n = 1; VF = 5,900; I =? i =?;
[7] I = 5,900 - 5,000 = UM 900
5,900 -1
5,000
[
11
]
= =0.18
1
i
Respuesta:
El interés es UM 900 y la tasa de interés 18%.
Ejercicio 16 (Interés simple ordinario y comercial)
Calcular el interés simple ordinario o comercial y exacto de un préstamo por UM 600 con una
tasa de interés del 15% durante un año.
Solución: (operamos en base anual)
VA = 600; nCOMERCIAL= 1; nEXACTO (30/365)*12 = 0.9863; i = 0.15; I =?
[8] I (ORDINARIO) = 600*0.15*1 = UM 90.00
[8] I (EXACTO) = 600*0.15*0.9863 = UM 88.77
Con el interés simple ordinario pagamos mayores cantidades de dinero que con el exacto, en
casos como éste, de sumas pequeñas, la diferencia es mínima; en montos mayores ésta puede
convertirse en fuente de pagos mayores. Por lo general los bancos y empresas de venta al crédito
operan aplicando el interés ordinario.
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo II
César Aching Guzmán
Ejercicio 17 (Interés y VF a interés simple)
Determinar los intereses y el capital final producido por UM 10,000 con una tasa del 18% en un
año.
Solución:
VA = 10,000; i = 0.18; n = 1; I =?
[5] I = 10,000*1*0.18 = UM 1,800
Calculado el importe de los intereses, es posible determinar el importe del capital final:
[7] VF = 10,000 + 1,800 = UM 11,800
Respuesta:
Los intereses producidos son UM 1,800 y el capital final UM 11,800.
Ejercicio 18 (Interés simple, tasa de interés, tasa periódica y tasa global)
En la fecha obtenemos un préstamo por UM 5,000 para ser pagado después de 3 años a UM
9,800. Deseamos saber: 1º El interés y 2º la tasa de interés periódica y global del préstamo.
Solución:
VA = 5,000; VF = 9,800; n = 3; I =?; i =?
1º Encontramos el interés con la fórmula [7]:
[7] I = 9,800 - 5,000 = UM 4,800
2º Con la fórmula [11] obtenemos la tasa periódica anual y global del préstamo:
9,800 -1
5,000
[
11
]
= ×100= 32% tasa anual
3
i
Aplicando la fórmula del rédito calculamos la tasa global:
9,800-5,000
[1] = = 0.96
5,000
i
Tasa global del préstamo
Respuesta:
El interés es UM 4,800, la tasa anual 32% y la tasa global 96%.
1.2. Tasas equivalentes
Generalmente las tasas de interés vienen expresadas en términos anuales; en la realidad no
siempre se presentan así, en la mayoría de veces, la acumulación de los intereses al capital inicial
es en períodos más pequeños (meses, trimestres, semestres, semanas, días, etc.).
Modificar la frecuencia de cálculo de intereses, ¿significa beneficio o perjuicio? A este respecto,
cualquiera sea el número de veces que los intereses son calculados, al final el importe total es el
mismo, es decir, los resultados finales de la negociación no varían.
Si cambiamos la frecuencia (m) de cálculo de los intereses debe cambiarse también el importe de
la tasa de interés aplicado en cada caso. Es así como surge el concepto de tasas equivalentes, que
significa: dos tasas expresadas en distintas unidades de tiempo, son equivalentes cuando
aplicadas a un capital inicial durante un período producen el mismo interés o capital final.
Ejercicio 19 (Tasa equivalentes)
Calcular el monto resultante de invertir UM 1,000 durante 4 años en las siguientes condiciones:
Solución: (m = número de períodos de capitalización)
VA = 1,000; iA...B = 0.15, 0.075 y 0.0125; n = 4; mA...B = 1, 2 y 12; VFA...B =?
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo II
César Aching Guzmán
a) Interés anual del 15%
[5] VFA = 1,000 x (1 + (4 x 0.15) ) = UM 1,600
b) Interés semestral del 7.5%
[5] VFB = 1,000 x (1 + 4 x 0.075 x 2) = UM 1,600
c) Interés mensual del 1.25%
[5] VFC = 1,000 x (1 + 4 x 0,0125 x 12) = UM 1,600
Ejercicio 20 (Tasa equivalentes)
Tipos equivalentes a tasas del 18% anual.
Base temporal Calculo Tasa
periódica
o 18/1 18.00%
Semestre 18/2 9.00%
Cuatrimestre 18/3 6.00%
Trimestre 18/4 4.50%
Mes 18/12 1.50%
Día 18/365 0.05%
El resultado obtenido es independiente del tipo de base temporal tomado. Sí expresamos el interés
en base semestral, el plazo irá en semestres, etc.
Base temporal lculo
[1] I = VA*i*n
Interés
o 10,000*0.18*1 1,800.00
Semestre 10,000*0.09*2 1,800.00
Cuatrimestre 10,000*0.06*3 1,800.00
Trimestre 10,000*0.045*4 1,800.00
Mes 10,000*0.015*12 1,800.00
Día 10,000*0.049315*365 1,800.00
1.3. Valor actual de deudas que devengan interés
En los casos de cálculo del importe futuro, es necesario conocer primero el monto total de la
cantidad a pagar. Cuando calculemos el valor actual de deudas que no devengan interés, el
monto total a pagar es el valor nominal de la deuda. Si por el contrario, buscamos el valor actual
de deudas que devengan interés, el monto total a pagar es igual al valor nominal de la deuda
más el interés acumulado.
Visto así, las deudas pueden clasificarse como: a) sin interés; y b) con interés. En el primer caso,
el valor futuro (VF) es el valor nominal de la deuda; en el segundo caso, el VF es igual al valor
nominal de la deuda más el interés acumulado durante la vigencia de la misma.
Ejercicio 21 (Pagaré)
Un empresario entregó su pagaré para pagar UM 5,000 dentro de un año con 8% de interés. A
simple vista la cantidad a abonar es:
5,000 + (0.08 * 5,000)= UM 5,400
El valor actual de UM 5,400 es:
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5,400 UM 5,000
1.08 =
Retornamos al inicio, esto es, el valor nominal de la deuda.
Cuando el tipo de interés para obtener el valor actual es diferente al de la deuda, el valor actual
será diferente del valor nominal de la deuda. En estos casos, efectuaremos dos operaciones
separadas y distintas:
1º. Calcular el VF, la cantidad total al vencimiento, utilizando la fórmula [5]; y
2º. Calculando el VA de esta cantidad VF al tipo designado de interés, por medio de la fórmula [6].
Ejercicio 22 (VA de un pagaré)
Un pequeño empresario tiene un pagaré por UM 2,000 con vencimiento a los 90 días, devenga el
6% de interés. Calcular el valor actual a la tasa del 8%.
Solución:
VA = 2,000; n = (3/12) 0.25; i = 0.06; VF =?
La solución de este caso es posible hacerlo en dos partes separadas:
1º Calculamos el monto a pagar a los 90 días, con la fórmula [5]:
[5] VF = 2,000 (1 + 0.25*0.06] = UM 2,030
Luego, el librador del pagaré pagará al vencimiento la suma de UM 2,030.
2º Calculamos el VA al 8% a pagar dentro de 90 días:
2,030
[6] = = UM 1,880
1.08
VA
Así, el valor actual al 8% del pagaré por UM 2,000, devenga el 6% de interés y vence a los 90 días
es UM 1,880.
Ejercicio 23 (VA de un pagaré con diferente tasa de interés)
Calcular el valor actual del mismo pagaré, si el precio del dinero es el 5%.
Solución:
VF = 2,030; n = 0.25; i = 0.05; VA =?
2,030
[6] = = UM 1,880
1.08
VA
Así, el valor actual del pagaré al 5% es UM 1,933.
1.4. Descuento
La tasa de descuento fijada por los bancos centrales por realizar el redescuento resulta de suma
importancia para la economía, pues ellas inciden sobre el conjunto de tasas de descuento y de
interés cobradas en un país durante períodos determinados.
La tasa de descuento es la razón del pago por el uso del dinero devuelto al liquidar la operación.
Descuento, es el proceso de deducir la tasa de interés a un capital determinado para encontrar
el valor presente de ese capital cuando el mismo es pagable a futuro. Del mismo modo, aplicamos
la palabra descuento a la cantidad sustraída del valor nominal de la letra de cambio u otra
promesa de pago, cuando cobramos la misma antes de su vencimiento. La proporción deducida, o
tasa de interés aplicada, es la tasa de descuento.
La operación de descontar forma parte de las actividades normales de los bancos. A estos acuden
los clientes a cobrar anticipadamente el monto de las obligaciones de sus acreedores; los bancos
entregan dichas cantidades a cambio de retener tasas de descuento, esto forma parte de sus
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ingresos. Los bancos comerciales, a su vez, necesitan descontar documentos, en este caso, son
tomados por el banco central, tal operación es denominada, redescuento.
1.4.1. Descuento Simple
Siendo el descuento un interés, este puede ser simple o compuesto. La persona (prestatario)
puede pagar a un prestamista el costo (precio) del préstamo al inicio del período o al final del
mismo. En el primer caso este precio recibe el nombre de descuento; en el segundo interés
respectivamente.
Descuento simple, es la operación financiera que tiene por objeto la representación de un capital
futuro por otro equivalente con vencimiento presente, a través de la aplicación de la fórmula del
descuento simple. Es un procedimiento inverso al de capitalización.
1.4.2. Particularidades de la operación
Los intereses no capitalizan, es decir que:
- Los intereses producidos no son restados del capital inicial para generar (y restar) nuevos
intereses en el futuro y,
- Por tanto a la tasa de interés vigente en cada período, los intereses los genera el mismo
capital a la tasa vigente en cada período.
- Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro conocido
(VF) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de esta
anticipación: duración de la operación (tiempo y el capital futuro) y la tasa de interés aplicada.
- El capital resultante de la operación de descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía
menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de
tener por anticipar su vencimiento. Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al
futuro implica incrementarle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento,
supondrá la disminución de esa misma cantidad porcentual.
Nomenclatura:
D : Descuento o rebaja.
DR : Descuento racional
DC : Descuento comercial
VN(VF) : Valor final o nominal, es el conocido valor futuro
VA : Valor actual, inicial o efectivo.
i ó d : Tasa de interés o descuento
A partir de éste numeral, los intereses serán “d” si éstos son cobrados por adelantado e “i” si son
cobrados a su vencimiento Considerar esta observación al usar las fórmulas para calcular Tasas
Equivalentes, tanto en operaciones a interés simple como a interés compuesto.
El valor actual (VA) es inferior al valor futuro (VF) y la diferencia entre ambos es el descuento (D).
Cumpliéndose la siguiente expresión:
[14] R
D = VF - VA
Como vimos, el descuento, es una disminución de intereses que experimenta un capital futuro
como consecuencia de adelantar su vencimiento, es calculado como el interés total de un
intervalo de tiempo. Cumpliéndose:
[14A] DR = VF* n* i
Dependiendo del capital considerado para el cálculo de los intereses, existen dos modalidades de
descuento:
- Descuento racional o matemático
- Descuento comercial o bancario.
Cualquiera sea la modalidad de descuento utilizado, el punto de partida siempre es un valor
futuro VF conocido, que debemos representar por un valor actual VA que tiene que ser calculado,
para lo cual es importante el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone.
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1.4.3. Descuento racional o matemático
La diferencia entre la cantidad a pagar y su valor actual recibe el nombre de descuento racional o
matemático, no es lo mismo que el descuento bancario. Designamos el descuento bancario
simplemente con la palabra descuento.
Calculamos el descuento racional, determinando el valor actual de la suma a la tasa indicada y
restando este VA de dicha cantidad. El resultado es el descuento racional.
El descuento racional es el interés simple. La incógnita buscada es el valor actual (capital inicial).
Es decir, el descuento racional es igual a la cantidad a pagar (VN) menos el valor actual [VA] del
capital. Luego:
I = D, fórmulas [7] y [8]
1.4.4. Descuento comercial
En este tipo de descuento, los intereses son calculados sobre el valor nominal VN empleando un
tipo de descuento d. Por esta razón, debemos determinar primero el descuento Dc y
posteriormente el valor actual VA o capital inicial.
El capital inicial es obtenido por diferencia entre el capital final (VN) y el descuento (Dc):
[15] c
D=VN*n*d
[15A] C
VA = VN- D [16] (1 )
VA = VN - n d
Ejercicio 24 (Descuento racional y comercial)
Deseamos anticipar al día de hoy un capital de UM 5,000 con vencimiento dentro de 2 años a una
tasa anual del 15%. Determinar el valor actual y el descuento de la operación financiera
Solución:
VN = 5,000; n = 2; i = 0.15; VA =?; DR =?
Primer tema:
Asumiendo que el capital sobre el que calculamos los intereses es el capital inicial (descuento
racional):
5,000
[6] = UM 3,846.15
(1+2*0.15)
=VA
[14] DR = 5,000 - 3,846 = UM 1,153.85
Segundo tema:
Asumiendo que el capital sobre el que calculamos los intereses es el nominal (descuento
comercial):
[15] DC = 5,000*2*0.15 = UM 1,500
[15A] VA = 5,000 - 1,500 = UM 3,500
o también:
[16] VA = 5,000(1 - 2*0.15) = UM 3,500
1.4.5. Tasa de interés y de descuento equivalentes
Si el tipo de interés (i) utilizado en el descuento racional coincide en número con el tipo de
descuento (d) aplicado para el descuento comercial, el resultado no es el mismo porque estamos
trabajando sobre capitales diferentes para el cálculo de intereses; razón por la cual el descuento
comercial será mayor al descuento racional (DC > DR), como apreciamos en el ejemplo 24.
Para hacer comparaciones, buscar una relación entre tipos de interés y de descuento que nos
resulte indiferentes una modalidad u otra; es necesario, encontrar una tasa de descuento
equivalente a uno de interés, para lo cual deberá cumplirse la igualdad entre ambas:
DC = DR.
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Las fórmulas que nos permiten cumplir con esta condición son:
[17] 1
i
d= +ni
Fórmula que nos permite conocer d a partir de i.
[18] 1
d
i= -nd
Fórmula que nos permite conocer i a partir de d.
Estas fórmulas son de aplicación sólo con tasas periódicas; aquellas tasas utilizadas en
determinado período para calcular el interés. La relación de equivalencia entre tasas de interés y
descuento, en el interés simple, es una función temporal, esto quiere decir, que una tasa de
descuento es equivalente a tantas tasas de interés como valores tome n de la operación y a la
inversa (no hay una relación de equivalencia única entre una i y un d).
Ejercicio 25 (Calculando la tasa de descuento)
Si consideramos en el ejemplo 24, que la tasa de interés es del 15% anual.
Calcular la tasa de descuento anual que haga equivalentes ambos tipos de descuento.
Solución:
i = 0.15; d =?
1º Calculamos la tasa de descuento anual equivalente:
0.15
[17] = 0.1154
1+2*0.15
d=
2º Luego calculamos el valor actual y el descuento considerando como tasa de interés el 15%
(descuento racional):
=5,000
[6] = UM 3,846.15
(1+2*0.15)
VA
[14] DR = 5,000 - 3,846 = UM 1,153.86
3º Calculamos el valor actual y el descuento considerando la tasa de descuento encontrada del
11.54% (descuento comercial):
[15] DC = 5,000*2*0.1154 = UM 1,153.86
[15A] VA = 5,000 - 1,154 = UM 3,846
o también:
[16] VA = 5,000(1 - 2*0.1154) = UM 3,846
1.4.6. Equivalencia financiera de capitales
Cuando disponemos de diversos capitales de importes diferentes, situados en distintos momentos
puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más atractivo desde el punto de vista financiero.
Para definir esto, es necesario compararlos, pero no basta fijarse solamente en los montos,
fundamentalmente debemos considerar, el instante donde están ubicados los capitales.
Como vimos, para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los
mismos en un mismo momento y ahí efectuamos la comparación.
Equivalencia financiera es el proceso de comparar dos o más capitales situados en distintos
momentos a una tasa dada, observando si tienen el mismo valor en el momento en que son
medidos. Para ello utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras de capitalización o
descuento.
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Principio de equivalencia de capitales
Si el principio de equivalencia se cumple en un momento concreto, no tiene por qué cumplirse en otro
(siendo lo normal que no se cumpla en ningún otro momento). Afectando esta condición la fecha en
que se haga el estudio comparativo, el mismo, que condicionará el resultado.
Dos capitales, VA1 y VA2, que vencen en los momentos n1 y n2 respectivamente, son equivalentes
cuando, comparados en un mismo momento n, tienen igual valor. Este principio es de aplicación
cualquiera sea el número de capitales que intervengan en la operación. Si dos o más capitales
son equivalentes resultará indiferente cualquiera de ellos, no existiendo preferencia por ninguno
en particular. Contrariamente, si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre el que tendremos
preferencia que nos llevará a elegirlo.
Aplicaciones del principio de equivalencia
El canje de uno o varios capitales por otro u otros de vencimiento y/o valores diferentes a los
anteriores, sólo puede llevarse a cabo si financieramente resultan ambas alternativas
equivalentes.
Para determinar si dos alternativas son financieramente equivalentes tendremos que valorar en
un mismo momento y precisar que posean iguales montos. Al momento de la valoración se le
conoce como época o fecha focal o simplemente como fecha de análisis. Para todo esto el
acreedor y el deudor deberán estar de acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales:
- Momento a partir del cual calculamos los vencimientos.
- Momento en el cual realizamos la equivalencia, sabiendo que al cambiar este dato varía el
resultado del problema.
- Tasa de valoración de la operación.
- Establecer si utilizamos la capitalización o el descuento.
Ocurrencias probables:
- Cálculo del capital común.
- Cálculo del vencimiento común.
- Cálculo del vencimiento medio.
Cálculo del capital común
Es el valor C de un capital único que vence en el momento n, conocido y que sustituye a varios
capitales C1, C2, …, Cn, con vencimientos en n1, n2, … , nn, respectivamente, todos ellos
conocidos en cuantías y tiempos.
Para calcularlo debemos valorarlos en un mismo momento a la tasa acordada, por una parte, los
capitales iniciales y, por otra, el capital único desconocido que los va a sustituir.
Ejercicio 26 (Cálculo del capital común - Capitalización simple)
Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con
vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear
las cuatro obligaciones en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendría
que abonar si la tasa de interés simple fuera de 15% anual.
Solución:
(10 - 3 = 7), (10 - 6 = 4), (10 - 8 = 2) y (11 - 10 = 1); i = 0.15/12 = 0.0125
VA = 1,000, 3,000 y 3,800; VF = 4,600; n = 7, 4, 2, 1; i = 0.0125; VF10 =?
Calculamos con la fecha focal en 10 meses, para ello aplicamos en forma combinada las fórmulas
[5] de capitalización y [6] de actualización:
()()()
()
10
4,600
1,000 1+ 7 × 0.0125 + 3,000 1+ 4 × 0.0125 + 3,800 1+ 2 × 0.0125 + =
1 + 1 × 0.0125 VF
10
1,088 + 3,150 + 3,895 + 4,543 =VF VF10 = 12,676
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Respuesta:
El monto a pagar por las cuatro obligaciones dentro de 10 meses es UM 12,676.
Cálculo del vencimiento común
Es el instante n en que vence un capital único C conocido, que suple a varios capitales C1, C2, …,
Cn, con vencimientos en n1, n2 … nn, todos ellos conocidos en valores y tiempos.
La condición a cumplir es:
Para determinar este vencimiento procedemos de la misma forma que en el caso del capital
común, siendo ahora la incógnita el momento donde se sitúa ese capital único.
Ejercicio 27 (Vencimiento común - Interés simple)
Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con
vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy
sustituir las cuatro obligaciones por una sola de UM 14,000. Determinar el momento del abono
con una tasa de interés simple de 15% anual. La fecha de análisis es el momento cero.
Solución:
VF1...4 = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; n1 ... 4 = 3, 6, 8 y 11; n =?
1º Hacemos la equivalencia en el momento cero, aplicando sucesivamente la fórmula [6] de
actualización:
1,000 3,000 3,800 4,600 14,000
[6] + + + =
(1+ 3×0.0125) (1+ 6×0.0125) (1+ 8×0.0125) (1+ 11×0.0125) (1+ ×0.0125)n
14,000
12,274 = 1+ × 0.0125n
14,000 -1
12,274
= 11.25 meses
0.0125
n=
2º Otra forma de solución es actualizar los valores futuros a la tasa y momentos conocidos,
sumarlos y con este valor actual total aplicar la fórmula (13) y obtendremos el momento buscado.
VFT = 14,000; i = 0.0125; VAT =?; n =?
T
1,000 3,000 3,800 4,600
[6] + + + = 12,274
(1+ 3×0.0125) (1+ 6×0.0125) (1+ 8×0.0125) (1+ 11×0.0125)
VA =
14,000 1
12 274
[13] = 11.25 0.25 30= 7.5 días
00125
=⇒
,
n.
Respuesta:
El momento de pago de las cuatros obligaciones en un solo monto es a 11 meses con 8 días.
Cálculo del vencimiento medio
Es el instante n en que vence un capital único C, conocido, que suple a varios capitales C1, C2,
…, Cn, con vencimientos en n1, n2, … ,nn, todos ellos conocidos.
La condición a cumplir es:
n
12
C = C + C + ...+ C
El cálculo es semejante al vencimiento común, lo único que varía es el valor del capital único que
suple al conjunto de capitales iniciales, que ahora debe ser igual a la suma aritmética de los
montos a los que reemplaza.
El vencimiento es una media aritmética de los vencimientos de los capitales iniciales, siendo el
importe de dichos capitales los factores de ponderación.
Ejercicio 28 (Vencimiento medio - Interés simple)
Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con
vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy
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sustituir las cuatro obligaciones por una sola. Determinar el monto y el momento de pago si la
tasa de interés simple fuera de 15% anual. La fecha de análisis es el momento cero.
Solución:
VF1...3 = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; n1 ... 3 = 3, 6, 8 y 11; n0 =?
1º Calculamos la media aritmética de los vencimientos de los capitales:
(1,000×3)+(3,000×6)+(3,800×8)+(4,600×11)
== 8.23 meses
1,000+3,000+3,800+4,600
n
0.23*30 = 6.9 días
2º Calculamos el valor actual de los capitales, actualizándolos al instante cero:
=
0
1,000 3,000 3,800 4,600
[6] + + + = 11,253.05
(1+ 3×0.0125) (1+ 6×0.0125) (1+ 8×0.0125) (1+ 11×0.0125)
VA
3º Calculamos el monto total a pagar en 8.23 meses, aplicando la fórmula [5]:
VA = 11,253.05; n = 8.23; i = 0.0125; VF =?
T
[5] =11,253.05*((1+(8.23*0.0125))= UM 12,410.71 VF
8 meses, 0.23*30 = 7 días
Respuesta:
El monto y momento de pago de las cuatros obligaciones en un solo monto es UM 12,410.71 en 8
meses y 7 días.
1.4.7. El descuento bancario
Es un procedimiento financiero que consiste en la presentación de un título de crédito en una
entidad financiera para que ésta anticipe su monto y efectué el cobro de la obligación. El tenedor
cede el título al banco y éste le abona su importe en dinero, descontando los gastos por los
servicios prestados.
Clasificación
Según el título de crédito presentado a descuento, distinguimos:
Descuento bancario. Cuando el título es una letra de cambio.
Descuento comercial. Cuando las letras proceden de una venta o de una prestación de servicios
que constituyen la actividad habitual del cedente.
Descuento financiero. Cuando las letras son la instrumentalización de un préstamo concedido por
el banco a su cliente.
Descuento no cambiario. Cuando tratamos con cualquier otro derecho de cobro (pagarés,
certificaciones de obra, facturas, recibos, etc.).
1.4.8. Valoración financiera del descuento
El efectivo líquido, es la cantidad anticipada por el banco al cliente, el mismo que calculamos
restando del importe de la letra (valor nominal) los gastos originados por la operación de
descuento, compuesto por intereses, comisiones y otros gastos.
Intereses.- Cantidad cobrada por la anticipación del importe de la letra. Calculada en función del
valor nominal descontado, por el tiempo que anticipa su vencimiento y el tipo de interés aplicado
por la entidad financiera.
Comisiones.- Llamado también quebranto o daño, es la cantidad cobrada por el banco por la
cobranza de la letra.
Obtenida tomando la mayor de las siguientes cantidades:
- Un porcentaje sobre el nominal.
- Una cantidad fija (mínimo).
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Otros gastos.- Son los denominados suplidos, pueden incluir los portes y el correo, según la tarifa
postal.
Ejercicio 29 (Descuento de una letra)
Debemos descontar una letra de UM 10,000 faltando 60 días para su vencimiento, la tasa de
descuento anual es del 48%, la comisión de cobranza es el 3.8% y otros gastos UM 4.00.
Determinar el importe efectivo recibido por el cliente:
i = 0.48/12 = 0.04; n = 60/30 = 2
Valor Nominal de la letra 10,000
Intereses [10,000*0.04*2)] 800
Comisiones [10,000*0.035) 380
Otros gastos 4
Total Gastos 1,184
Efe cti vo re ci bi do 8,816
1.4.9. Descuento de deudas que devengan interés
Para descontar pagarés o documentos que devengan interés es necesario calcular primero el
monto nominal, es decir, el valor nominal más el interés y descontar después la suma. Este tipo
de cálculo es recomendado, incluso cuando el tipo de descuento es igual a la tasa de interés.
Ejercicio 30 (Descontando un pagaré)
El Banco descontó el 5 de Mayo del 2004 un pagaré por UM 10,000 que tenía esta misma fecha.
Devengaba el 6% de interés y vencía el 5 de junio del mismo año. Si el tipo de descuento del
Banco es también del 6% mensual, ¿cuál es el descuento retenido por el Banco?
Solución:
1º Aplicando Excel calculamos la fecha exacta de la operación financiera:
F. VENCIMIENTO F. INICIO DIAS
05/06/2004 05/05/2004 31
VA = 10,000; n = 1; i = 0.06; VF =?
[5] VF = 10,000[1+(0.06*1)] = UM 10,600
2º Calculamos el descuento, VF = VN:
VN = 10,600; n = 1; d = 0.06; DC =?
[15] DC = 10,600*1*0.06 = UM 636.00
Respuesta:
Luego el descuento sobre este pagaré es UM 636.00
Ejercicio 31 (Valor líquido de un pagaré)
Calcular el valor líquido de un pagaré de UM 3,800, que devenga el 6% de interés mensual y
vence a los 90 días, si el tipo de descuento es de 7.5% también mensual.
Solución:
1º Calculamos el monto a pagar dentro de 3 meses:
VA = 3,800; n = (90/30) = 3; i = 0.06; VF =?
[5] VF = 3,800*(1 + (3*0.06)) = UM 4,484.00
2º Descontamos este monto al 7.5%:
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VN = 4,484; n = 3; d = 0.075; VA =?
[16] VA = 4,484*(1 - (3*0.075)) = UM 3,475.10
Respuesta:
El valor líquido del pagaré es UM 3,475.10
En la práctica financiera, obtenemos el valor líquido descontando por el número efectivo de días
en el período de tres meses.
Ejercicio 32 (Calculando la fecha de vencimiento de un pagaré)
Un empresario tiene un pagaré de UM 4,500 que no devenga interés y vence el 20 de diciembre.
Negocia con su banco el descuento al 6% mensual. Calcular la fecha a partir de la cual el valor
líquido del pagaré no será inferior a UM 4,350.
Solución:
VF = 4,500; VA = 4,350; d = 0.06; n = t/360; t =?; VF =?
(
)
[16] 1 VA = VN - n d
Reemplazando n por t/360, obtenemos:
∗ − → →
ttt
[16] 1 360 360 360
VA = VF d VA = VF- d VF d VF = VF- VA
=∗∗
t multiplicando por 360
360
VF- VA
dV F
=
360(VF-VA)
, sustituyendo valores:
dVF
t
360(4,500-4,350)= 200
0.06*4,500
=t
Es decir, si el empresario descuenta el pagaré 200 días antes del vencimiento recibirá por lo
menos UM 4,350. La fecha es el 20 de julio, fecha buscada.
30 - 20 de dic. = 10 días
(200 + 10) = 210/30 = 7 meses
Ejercicio 33 (Tipo de descuento de un pagaré)
Un pagaré de UM 2,800, no devenga interés con vencimiento a los 5 meses, descontado en el
Banco. El valor líquido ascendía a UM 2,680. Calcular el tipo de descuento utilizado.
Solución:
VA = 2,680; VN = 2,800; n = (5/12) = 0.4166; d =?
1º Calculamos el tipo de interés de la operación financiera:
2,800 1
2,680
[11] = 0.1075
0.4167
i
=
2º Determinamos la tasa de descuento utilizada:
0.1075
[17] = 0.1029
1 0 4166 0 1075
d..
=
+∗
MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES – Capítulo II
César Aching Guzmán
Respuesta:
El tipo de descuento fue de 10.29%.
Ejercicio 34 (Tasa equivalente al tipo de descuento dado)
El Gerente de una compañía presenta al Banco para descuento, un pagaré de UM 2,500, sin
interés, con vencimiento dentro de 90 días. El tipo de descuento del Banco es el 48% anual con
capitalización trimestral. ¿Qué tasa de interés cobra el banco? En otras palabras, ¿qué tasa de
interés es equivalente al tipo de descuento dado?
Solución:
1º Calculamos la tasa periódica trimestral que cobra el banco:
0.48/4 = 0.12 trimestral
2º Calculamos la cantidad cobrada por el banco por concepto de descuento:
VN = 2,500; d = 0.12; n = 1; DC = ?
[15] DC = 2,500*1*0.12 = UM 300
3º Calculamos el valor líquido del pagaré:
VN = 2,500; DC = 300; VA =?
[15A] VA = 2,500 - 300 = UM 2,200
4º Calculamos la tasa de interés equivalente al descuento de 12% trimestral:
d = 0.12; n = 1; i =?
0.12
[18] = 0.1364
1-1*0.12
i=
Descuento: 0.1364*4*100 = 54.56% equivalente al 48% anual
5º Calculamos el valor actual y el descuento considerando como tasa de interés el 0.13636
trimestral aplicando el descuento racional, para compararlo con el descuento comercial
calculado:
=2,500
[6] = UM 2,200
(1+1*0.13636)
VA
[14] DR = 2,500 - 2,200 = UM 300
En ambos casos los resultados son idénticos, con lo que queda demostrada la equivalencia de la
tasa con el descuento.
Respuesta:
La tasa de interés equivalente al descuento de 12% es 13.64% trimestral, tasa que nos
proporciona el mismo descuento comercial y racional.
Ejercicio 35 (Tipo de descuento equivalente a la tasa dada)
El señor Rojas presenta en su Banco un pagaré por UM 4,000, que devenga el 5% de interés
semestral con vencimiento dentro de 6 meses. Calcular el tipo de descuento que debe cargar el
Banco para que el dinero recibido como descuento sea igual al interés sobre el pagaré y el señor
Rojas reciba UM 4,000 como valor líquido. ¿Qué tipo de descuento es equivalente a la tasa de
interés del 5% semestral?
Solución:
1º Calculamos el descuento equivalente a la tasa del 5% semestral:
i = 0.05; n = 1; i =?
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César Aching Guzmán
0.05
[17] = 0.0476
1+1*0.05
d =
2º Calculamos el descuento bancario:
[15] DC = 4,000*1*0.0476 = UM 190.40
Despejando VN en [15A] VN = 4,000 + 190.40 = UM 4,190.40
Luego el señor Rojas recibirá como valor líquido:
VN = 4,190.40; DC = 190.40; VA =?
[15] VA = 4,190.40 - 190.40 = UM 4,000
Respuesta:
El tipo de descuento equivalente al 5% semestral es 4.76%.
Ejercicio 36 (De aplicación)
Una Caja Rural de Ahorro y Crédito presta UM 8,000 por ocho meses al 52% anual. Determinar a
qué tipo de descuento equivale esta tasa de interés.
Solución:
1º Calculamos la tasa periódica: 0.52/12 = 0.0433 mensual
i = 0.0433; n = 8; d =?
==
+
0.0433
[
17
]
0.0322
1 8*0.0433
d
j = 0.0322*12 = 0.3864
Respuesta:
La tasa del 52% anual equivale a la tasa de descuento del 38.64% anual.
2. Interés Compuesto
El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y
evaluación financiera de los movimientos de dinero.
El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la
aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización
del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los
intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y
pasan a convertirse en nuevo capital.
Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial
con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés
compuesto.
El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización.
La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse
en capital, por acumulación.
Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:
1º. El capital original (P o VA)
2º. La tasa de interés por período (i)
3º. El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).
Por ejemplo:
Sí invertimos una cantidad durante 5½ años al 8% convertible semestralmente, obtenemos:
El período de conversión es : 6 meses
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La frecuencia de conversión será : 2 (un año tiene 2 semestres)
0.04
2
0.08
==
conversn de frecuencia
interés de tasa
Entonces el número de períodos de conversión es:
(número de años)*(frecuencia de conversión) = 5½ x 2 = 11
Fórmulas del Interés Compuesto:
La fórmula general del interés compuesto es sencilla de obtener:
VA0,
VA1 = VA0 + VA0i = VA0 (1+i),
VA2 = VA0 (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)2
VA3 = VA0 (1+i) (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)3
Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interés compuesto:
[19]
n
VF VA(1 i)=+
Fórmula para el cálculo del monto (capital final) a interés compuesto. Para n años, transforma el
valor actual en valor futuro.
1n-1 n
VF
VA
2 ...
El factor (1 + i)n es conocido como Factor de Acumulación o Factor Simple de Capitalización
(FSC), al cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor es
multiplicado por VA, obtendremos el valor futuro VF de la inversión inicial VA después de n años,
a la tasa i de interés.
Tanto la fórmula del interés simple como la del compuesto, proporcionan idéntico resultado
para el valor n = 1.
VF = VA(1+ni) = VF = VA(1+i)n
VA(1+1i) = VA(1+i)1
VA(1+i) = VA(1+i)
Si llamamos I al interés total percibido, obtenemos:
I = VF - VA luego I = VF - VA = VA(1+i)n - VA
Simplificando obtenemos la fórmula de capitalización compuesta para calcular los intereses:
[20] (1 ) 1
n
IVA i=+
Con esta fórmula obtenemos el interés (I) compuesto, cuando conocemos VA, i y n.
Ejercicio 37 (Calculando el interés y el VF compuestos)
Determinar los intereses y el capital final producido por UM 50,000 al 15% de interés durante 1
año.
Solución:
VA = 50,000; i = 0.15; n = 1; I =?; VF =?
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Calculamos el interés y el VF:
7,500 UM 10.15)(150,000 [20]
1
=+=I
(19) VF = 50,000*(1+0.15) = UM 57,500
Para el cálculo de I podemos también aplicar la fórmula (7):
[7] I = 57,500 - 50,000 = UM 7,500
Respuesta:
El interés compuesto es UM 7,500 y el monto acumulado
2.1. Valor actual a interés compuesto
La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital en un
momento posterior.
Dijimos en el numeral 1.1, pág. 101, de éste Capítulo, la longitud de la escalera es la misma
contada de abajo hacia arriba como de arriba abajo. En el interés compuesto cuanto más arriba
miramos, más alto es cada escalón sucesivo y si nos paramos arriba y miramos hacia abajo, esto
es, hacia el valor actual, cada sucesivo escalón es algo más bajo que el anterior.
De la ecuación [19] obtenemos la fórmula del valor actual a interés compuesto:
n
i
VF
VA )(1
[21] +
=
También expresamos como:
n
iVFVA
+= )(1
Conocemos a la expresión entre corchetes como el Factor Simple de Actualización (FSA) o el factor
VA/VF. Permite determinar el VA (capital inicial) de la cantidad futura VF dada, después de n
períodos de composición a la tasa de interés i.
La expresión valor futuro significa el valor de un pago futuro en fecha determinada antes del
vencimiento. Cuanto menos tiempo falta para el vencimiento, mayor es el valor actual del monto
adeudado, y, en la fecha del vencimiento, el valor actual es equivalente al monto por pagar. Para
comprobar uno cualquiera de esos valores actuales, basta hallar si a la tasa indicada, en el
tiempo expuesto, el valor actual es la cantidad adeudada.
De la ecuación [19] obtenemos también, las fórmulas [22] y [23] para determinar los valores de i
(dado VA, VF y n) y n (dado VA, VF e i).
1 [22] =
n
VA
VF
i
)(1
[23] ilog
VA
VF
log
n+
=
Con la fórmula [22] obtenemos la tasa del período de capitalización. Con la fórmula [23]
calculamos la duración de la operación financiera.
En este caso, no da lo mismo adecuar la tasa al tiempo o adecuar el tiempo a la tasa. Tanto el
tiempo como la tasa de interés deben adecuarse al período de capitalización. Si el tiempo está en
meses, la tasa debe ser mensual; si el tiempo está en bimestres, la tasa debe ser bimestral.
Ejercicio 38 (VA a interés compuesto)
Tenemos una obligación por UM 12,000, a ser liquidado dentro de 10 años. ¿Cuánto
invertiremos hoy al 9% anual, con el objeto de poder cumplir con el pago de la deuda?
Solución:
VF = 12,000; i = 0.9; n = 10; VA =?
==
+
10
12,000
[21] UM 5,068.93
(1 0.09)
VA