Matemáticas financieras básicas con excel

  • Finanzas
  • 34 minutos de lectura
1. PORCENTAJE
Calcular el tanto por ciento de una
cantidad A significa encontrar una
cantidad B de forma que A y B estén
en la misma proporción que 100 y t.
Entonces se verifica:
t
100
B
A=
Por lo tanto, conociendo sólo dos de
estos datos se puede conocer el
tercero:
Entonces, a fórmula general para
calcular el porcentaje es:
Porcentaje = C* i
Si encuentra algún grado de
dificultad, pruebe razonar el
problema utilizando la regla de tres
simple.
Ejercicio 1
En este caso, vamos a utilizar la
fórmula general.
Calcular el 20% de 50.
También se puede razonar la
solución con regla de 3 simple : si el
100% es 50, el 20% será X.
100% --> 50
20% --> X
Con X = 50 * 20 / 100
= 50 * 0.2
= 50 * 20%
= 10
Ejercicio 2
Calcular el 80% de 25.
También se puede razonar la
solución con regla de 3 simple : si el
100% es 25, el 80% será X.
100% --> 25
80% --> X
Con X = 25 * 80 / 100
= 25 * 0.8
= 25 * 80%
= 20
Ejercicio 3
No necesariamente debemos
calcular siempre el porcentaje.
Podemos calcular cualquiera de los
elementos de la fórmula
presentada:
Porcentaje = C* i
En estos casos, podemos trabajar
matemáticamente en la fórmula
hasta despejar la incógnita:
C = Porcentaje / i
i = Porcentaje / C
O bien podemos lograr que Excel
haga este trabajo por nosotros.
Siempre que se utilice este
procedimiento, es vital contar con
un buen modelo matemático..
Si el 20% de un importe es 30,
calcular el importe.
Puede calcularse con la misma
fórmula utilizando el comando
Herramientas, Buscar objetivo:
Suponiendo que seguimos
trabajando con la misma hoja:
0DWHPiWLFDVILQDQFLHUDVEiVLFDVFRQH[FHO
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 2 JUAN JOSE QUINTEROS
Al elegir Aceptar aparece este
cuadro, indicándonos que se ha
encontrado una solución:
Al elegir Aceptar, la hoja queda así:
O sea que el número que nosotros
buscamos es 150.
Lo que hace el comando Buscar
objetivo es, a partir de un modelo,
despejar la incógnita por nosotros.
También se puede razonar la
solución con regla de 3 simple : si el
20% es 30, el 100% será X.
20% --> 30
100% --> X
Con X = 30 * 100 / 20
= 30 * 5
= 150
Ejercicio 4
A veces necesitamos adicionar un
porcentaje a un importe dado. Un
ejemplo clásico es el Impuesto al
Valor Agregado (IVA), que se
calcula como un porcentaje del
precio.
El precio de un producto sin IVA es
$200. Calcular el precio con un IVA
del 21%.
También se puede razonar la
solución con regla de 3 simple : si el
100% es 200, el 121% (100% + 21%)
será X.
100% --> 200
121% --> X
Con X = 200 * 121 / 100
= 200 * 1.21
= 242
Ejercicio 5
En algunas circunstancias,
conocemos el precio final (que
incluye el IVA) y necesitamos
discriminar los conceptos que lo
integran (ya sea por razones
impositivas o contables).
Si el precio final de un producto con
un IVA del 21% es $363, discriminar
el IVA y el precio neto.
Partiendo de esta hoja:
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 3 JUAN JOSE QUINTEROS
También se puede razonar la
solución con regla de 3 simple : si el
121% es 363, el 100% será X
121% --> 363
100% --> X
Con X = 363 * 100 / 1.21
= 300
Ejercicio 6
¿Alguna vez concurrió a una
farmacia a comprar un
medicamento a través de una obra
social?
El precio final de un remedio es $30.
El comprador es afiliado a una obra
social que se hace cargo del 40%
del total. Calcular cuánto debe
abonar el comprador.
Ejercicio 7
En su afán de conquistar clientes,
algunas farmacias ofrecen
descuentos adicionales por pago en
efectivo, además del descuento de
las obras sociales.
Sobre la base del ejemplo anterior,
calcular cuánto debe pagar el
comprador, si además sobre el
importe que le corresponde abonar
se le efectúa un descuento del 5%.
Ejercicio 8
En algunos países las reglas
impositivas varían con cierta
frecuencia. Muchas de esas veces se
modifica la alícuota del Impuesto al
Valor Agregado, y se deben
modificar las listas de precios,
ajustándolas a las nuevas
condiciones.
El precio final de un artículo es $66
e incluye un IVA del 21%. Si el
gobierno dispone incrementar la
tasa del impuesto al 22%, calcular el
nuevo precio final.
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 4 JUAN JOSE QUINTEROS
Ejercicio 9
A veces las empresas de tarjetas de
crédito cobran a los comerciantes
adheridos al sistema un porcentaje
bastante alto, razón por la cual
estos últimos se ven obligados a
cobrar a sus clientes una parte de
este costo cuando abonan con
tarjeta de crédito.
Un producto tiene un precio final
de $20 y al pagar con tarjeta de
crédito se hace un recargo del 10%.
Calcular el importe por el que debe
integrarse el cupón de la tarjeta de
crédito.
Ejercicio 10
Debido a la misma situación
descripta en el ejercicio anterior,
algunos comerciantes deciden
cobrar a sus clientes el total de la
comisión que les retiene la entidad
tarjeta de crédito.
Una empresa de tarjeta de crédito
efectúa un descuento del 8% sobre
el valor del cupón para abonar al
comerciante. Si el comerciante no
quiere perder dinero y trasladar
dicho costo al comprador , ¿cuál
debería ser el porcentaje de recargo
sobre el precio de lista de $20 al
momento de confeccionar el cupón?
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 1 JUAN JOSE QUINTEROS
2. INTERES SIMPLE
Consiste en calcular intereses sobre
una cantidad fija determinada en el
origen.
Los intereses NO se capitalizan.
La fórmula que se aplica es:
F = P(1+i* n)
donde:
F = valor futuro
P = valor presente
i = tasa de interés
n = tiempo
Gráficamente
0 n
| |
P à F
Entre i y n debe haber coherencia.
Ej: si el tiempo se expresa en meses,
la tasa debe ser mensual; si el
tiempo se expresa en bimestres, la
tasa debe ser bimestral.
En este caso, da lo mismo adecuar la
tasa al tiempo o adecuar el tiempo
a la tasa.
La diferencia entre F y P es el interés
generado por P.
I=F-P
Determinacn de la fórmula
Suponiendo un diagrama de
tiempo:
0 1 2 // n
| | | |
P F
1 F
2 F
n
El interés generado por una suma P
en un período cualquiera es igual a
P* i.
I=P* i
Al momento 1:
0 1
| |
P F
1 = P + P* i
F1 = P (1 + i)
Al momento 2
1 2
| |
F1 F2=F1+P*i
F2=P(1+i)+Pi
F2=P(1+i+i)
F2=P(1+2i)
Generalizando, al momento n
// n
| |
Fn=P(1+i* n)
Ejercicio 1
Probemos con un ejemplo para
aplicar la fórmula determinada.
Calcular el valor futuro de $100
colocados al 2% mensual durante 3
meses.
Respuesta: $106
Ejercicio 2
En el cálculo de intereses,
generalmente se manejan dos tipos
de plazos:
a) año comercial: se supone que el
o tiene 360 días
b) año bancario: se supone que el
o tiene 365 días
Calcular el valor futuro de $150
colocados al 12% anual durante 6
meses (año comercial)
Observe cómo en este caso
expresamos el plazo enos, para
usar la tasa anual.
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 2 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: $159
Ejercicio 3
Calcular el valor futuro de $150
colocados al 12% anual durante 6
meses (año bancario)
Observe cómo en este caso
expresamos el plazo enos, para
usar la tasa anual.
Respuesta: $158.88
Ejercicio 4
No necesariamente debemos
calcular siempre F. Podemos calcular
cualquiera de los elementos de la
fórmula presentada.
En estos casos, podemos trabajar
matemáticamente en la fórmula
hasta despejar la incógnita:
O bien podemos lograr que Excel
haga este trabajo por nosotros.
Siempre que se utilice este
procedimiento, es vital contar con
un buen modelo matemático..
A qué tasa de interés se depositó un
importe de $50 que al cabo de 4
meses se convirtió en $60 (año
comercial).
Respuesta: al 5% mensual.
Ejercicio 5
Para buscar un elemento de la
fórmula distinto de F el
procedimiento es el mismo, sin
importar si elo es comercial o
bancario.
A qué tasa de interés anual se
depositó un importe de $25 que al
cabo de 6 meses se convirtió en $35
(año comercial).
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 3 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: al 80% anual.
Ejercicio 6
Ahora probemos con obtener una
tasa de interés.
Calcular el plazo en meses a que fue
colocado un importe de $50 que a
una tasa del 2% mensual se
convirtió en $80 (año comercial).
Respuesta: 30 meses.
Ejercicio 7
Obtengamos el plazo.
Calcular el plazo enos a que fue
colocado un importe de $75 que a
una tasa del 3.50% mensual se
convirtió en $190 (año bancario).
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 4 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: 3.60os.
Ejercicio 8
Ahora veamos cómo calcular P.
Calcular la cuantía de un depósito
efectuado al 2% mensual durante 9
meses que se convirtió en $90.
Respuesta: $76.27
Ejercicio 9
Aquí adecuamos el plazo a la tasa
de interés.
¿Cuál será el monto con interés
simple sobre $75 con una tasa de
interés del 24% anual durante
medioo.
Respuesta: $84
Ejercicio 10
Comparemos cálculos utilizando
o bancario (o interés exacto) y
o comercial (o interés ordinario):
Hallar el interés simple sobre $ 200
con una tasa de inte rés del 25%
anual durante 50 días. Expresar las
respuestas con interés simple exacto
(365 días) e interés simple ordinario
(360 días).
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 5 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: con interés simple
exacto $6.85
ordinario $6.94
Ejercicio 11
Calculemos el plazo a partir de
fechas.
Hallar el interés simple sobre $ 1.500
con una tasa de interés del 26%
anual del 10 de marzo de 1996 al 21
de mayo de 1996 (año bancario).
Respuesta: $76.93
Ejercicio 12
Calculemos P a partir de la fórmula
general.
Encontrar el valor presente, con una
tasa de interés del 3.2% mensual de
interés con vencimiento de 9 meses,
para un saldo final de $ 1.500
Respuesta: $1164.60
Ejercicio 13
Otro ejercicio para calcular P.
¿Qué suma debe ser invertida con
una tasa de interés del 3% mensual
para tener $ 1.000 después de 8
meses?
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 6 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: $806.45
Ejercicio 14
Como en el interés simple los
intereses se calculan siempre sobre
el importe inicial, no interesa con
qué frecuencia se cobran/pagan.
¿Cuánto producirían $ 125 colocados
al 32% de interés anual durante dos
os, si el cobro de intereses se hace
trimestralmente.
Respuesta: $10 por trimestre.
Ejercicio 15
Cuando la incógnita es la tasa de
interés.
A qué tasa de interés anual hay que
colocar $ 80 para que en 7 meses se
conviertan en $ 121.
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 7 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: 87.86% anual
Ejercicio 16
Calculando n. Observe que al
utilizar una tasa de interés mensual,
el resultado de n estará expresado
en meses.
Durante cuánto tiempo estuvo
invertido un capital de $ 100 para
que con una tasa de interés del 3%
mensual pr odujera $ 87 de
intereses.
Respuesta: 29 meses.
Ejercicio 17
Calcular n tiene sus particularidades.
A qué tasa de interés simple estuvo
invertido un capital de $ 240 para
que en dosos, 4 meses y 27 días
pr odujera, $ 85,90 de intereses.
Trabajar cono comercial.
Respuesta: 0.041% diario
Ejercicio 18
Recuerde que el monto de intereses
se obtiene restando P de F.
Cierto capital invertido al 2.5%
mensual simple después de 7 meses
se convirtió en $ 88,75. Cuáles son
sus intereses ?
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 8 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: $13.2
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 1 JUAN JOSE QUINTEROS
3. INTERES COM PUESTO
Consiste en calcular intereses sobre
una cantidad determinada por el
monto acumulado hasta el período
anterior.
Los intereses se capitalizan.
La fórmula que se aplica es:
F = P(1+i)n
donde:
F = valor futuro
P = valor presente
i = tasa de interés
n = tiempo
Gráficamente
0 n
| |
P F
Entre i y n debe haber coherencia,
debiendo estar expresados en
unidades coherentes. Ej: si el tiempo
se expresa en meses, la tasa debe
ser mensual; si el tiempo se expresa
en bimestres, la tasa debe ser
bimestral.
En este caso, NO da lo mismo
adecuar la tasa al tiempo o adecuar
el tiempo a la tasa.
Corresponde que tanto el tiempo
como la tasa se adecuen al período
de capitalización.
La diferencia entre F y P es el interés
generado por P.
I=F-P
Determinacn de la fórmula
En primer lugar, se analizan los
casos de PAGOS UNICOS.
Suponiendo un diagrama de
tiempo:
0 1 2 // n
| | | |
El interés generado por una suma P
en un período cualquiera es igual a
P* i.
I=P* i
Al momento 1:
0 1
| |
P F1 = P + P* i
F1 = P (1+i)
Al momento 2:
1 2
| |
F1 F2 = F
1
+ F
1
* i
F2 = F
1
(1+i)
F2 = P (1+i) (1+i)
F2 = P (1+i)2
Al momento n:
// n
| |
Fn = P (1+i)n
Alternativas para resolver
El usuario dispone de dos formas de
resolver los ejercicios:
1. Utilizando la fórmula general y el
comando Herramientas, Buscar
Objetivo
2. Utilizando funciones:
NPER(tasa; pago; va; vf; tipo)
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)
VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)
VF(tasa;nper;pago;va;tipo)
donde:
n = NPER
i = TASA
P = VA
F = VF
o lo que es lo mismo:
VF = VA (1+TASA)NPER
En el segundo caso, deberá tener en
cuenta la regla de los signos, según
la cual los ingresos se representan
con un signo positivo y los egresos
con un signo negativo.
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 2 JUAN JOSE QUINTEROS
Gráficamente:
|
|
| n
0 |
|
|
|
0 |
| n
|
Algunos de los ejercicios siguientes
serán resueltos con ambos métodos,
para comparar las metodologías.
Ejercicio 1
Una persona deposita $ 200 con una
tasa de interés del 9% trimestral y
capitalización trimestral el 30 de
noviembre de 1995. Cuánto habrá
acumulado el 30 de noviembre del
o 2005 ? Resolver cono
comercial.
1995 // 2005
-200 ¿?
Respuesta: $6608.91
Ejercicio 2
Una persona deposita $ 200 con una
tasa de interés del 9% trimestral y
capitalización trimestral el 30 de
noviembre de 1995. Cuánto habrá
acumulado el 30 de noviembre del
o 2005 ? Resolver cono
comercial.
1995 // 2005
-200 ¿?
Respuesta: $6281.88
Ejercicio 3
Cuál será el monto proyectado a 10
os si se ahorran $ 200 hoy, $ 500
en dosos y $ 100 en 4 años, con
una tasa de interés del 26% de
interés anual.
0 2 4 10
-200 -500 -100 ¿?
Respuesta: $5593.68
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 3 JUAN JOSE QUINTEROS
Ejercicio 4
Un líder sindical se encuentra
discutiendo un pliego de peticiones
y está interesado en averiguar
cuánto valdrá d entro de dosos el
pasaje, ya que el aumento mensual
en el transporte es del 1% mensual y
el pasaje cuesta hoy $ 800.
Respuesta: $1015.79
Ejercicio 5
Se ha colocado un capital de $ 150
al 2% mensual durante 240 meses.
Se quiere saber cuál será la cant idad
obtenida una vez se termine dicho
tiempo.
Respuesta: 17383,31
Ejercicio 6
Durante cuánto tiempo estuvo
invert ido un capital de $ 180 para
que al 25% anual de interés
produjera un monto de $ 250,57.
Respuesta: 1.48os
Ejercicio 7
Cuál será el total de intereses de un
capital de $ 1.500 puesto a una tasa
del 32% anual durante 10os.
Respuesta: $22589.65
Ejercicio 8
Qué suma se podrá acumular en 10
os invirtiendo ahora $ 400 en un
fondo de capitalización que paga el
23% los 5 primerosos y el 24%
anual los últimos 5 años.
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 4 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: $3301.37
Ejercicio 9
Se quiere saber a que tasa de
interés anual estuvo invertido un
capital de $ 149,50 para que en 40
os se convirtiera en $ 580,96,
incluyendo los intereses.
Respuesta: 3.45%
Ejercicio 10
Una persona toma un préstamo de
$ 200, a tres meses, con una tasa de
interés del 2% mensual pagaderos
al vencimiento. En el contrato se
estipula que en caso de mora, el
deudor debe pagar el 3% mensual
sobre saldo vencido. Qué suma
tendrá que pagar si cancela a los
tres meses y 20 días ?
Respuesta: $216.47
Ejercicio 11
Si un inversionista deposita hoy $
2.000, $ 5.000 dentro de tresos y
$ 7.000 dentro de cincoos, en
cuánto tiempo ascenderá su
inversión total a $ 38.000, si la tasa
de interés anual es del 22%?
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 5 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: 3.27os
Ejercicio 12
Cuánto dinero estaría dispuesto a
gastar ahora para evitar gastar $
5.000 dentro de 7os, si la tasa de
int erés es del 28% anual.
Respuesta: $888.18
Ejercicio 13
Durante cuánto tiempo estuvo
invertido un capital de $ 220 para
que al 21% anual de interés
produjera $ 672,99?
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 6 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: 5.87os
Ejercicio 14
La compía Todo Rico reali una
inversión de $1.345 hace uno en
un nuevo proceso de producción y
ha obtenido hasta la fecha
beneficios por $ 250. A que tasa de
interés mensual se hubiera debido
colocar este din ero en una entidad
financiera para obtener los mismos
beneficios.
Respuesta: 1.43%
Ejercicio 15
Si $100 son equivalentes a $128 con
una tasa de interés simple anual y
en tresos; haciendo la misma
inversión con una tasa de interés
compuesto del 28.8% anual, en
cuanto tiempo se dará la
equivalencia económica?
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 7 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: 2.77os
Ejercicio 16
Se plantea invertir $1.000 ahora y
$4.000 dentro de tresos, para
retirar $800 en dosos y $6.200,00
dentro de cincoos. Con cuanto
dinero con tará al fina lizar el décimo
o si la tasa de interés es del 25%
anual?
800 6200
0 2 3 5 10
-1000 -4000 ?
Respuesta: $4697
Determinacn de la fórmula
En segundo lugar, se analizan los
casos de CUOTAS UNIFORMES
Suponiendo un diagrama de
tiempo:
0 1 2 // n
| | | |
C1
C2 Cn
Se trata de averiguar el valor de
todas las C debidamente
actualizadas hasta el momento n.
Al momento n:
0 1 2 // n
| | | |
C1 C(1+i)n-1
C2 C(1+i)n
Cn
F = C(1+i)n-1
+ C(1+i)n + ... + Cn
F= C (1+i)n-1
i
Ejercicio 17
Una propuesta de modificación de un
proceso productivo requiere de una
inversn de $ 1.850 dentro de tres
os. ¿Qué ahorros anuales deben
hacerse para recuperar este gasto en
siete os, con el primer ahorro al
final del año en curso, si se contempla
una tasa de interés del 32% anual?
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 8 JUAN JOSE QUINTEROS
Respuesta: $300.42
Ejercicio 18
Ud. acude al fondo de préstamos de
la empresa en la cual trabaja y
encuentra que tienen un fondo de
emergencia cuyo re glamento
est ablece que los créditos serán al
12% anual y hasta 36 cuotas. La
cantidad que le van a prestar depende
de la cuota. a) Si le prestan $ 500,
cuáles serán las cuotas? b) Si sus
cuotas son $ 10, cuál sería el valor del
préstamo?
a) Respuesta: $16.61
b) Respuesta: $301.08
Ejercicio 19
Una máquina que cuenta hoy $ 4.000
puede producir in gresos de $234
anuales. Si se planea vender la
máquina dentro de seis años y con
una tasa de interés del 24% anual,
por cuanto debe venderse la máquina
para justificar la inversión?
Respuesta: $11971.53
Ejercicio 20
Una organización que desea comprar
un vehículo que cuesta $ 7.800,
puede pagar $1.500 de contado y el
resto en doce meses. La financiera
XW acepta 12 cuot as de $550 y la
financiera XY ofrece financiar al
0.75% mensual. a) Cuál financiación
debe aceptar ? b) Qué interés
mensual cobra la financiera XW ? c)
Cuáles serían las cuotas en la
financiera XY ?
XW
XY
Respuestas:
a) Conviene XW por menor tasa
b) 0.72%
c) $550.94
Ejercicio 21
Una persona compró un auto en $
24.000 y acordó pagarlo en 36
me nsualidades iguales, a una tasa de
interés del 3% mensual . Determinar
el valor de la mensualidad.
Respuesta: $1099.29
Ejercicio 22
Un señor desea comprar un carro
deportivo que cuesta hoy $32.000.
Para tal fin abre una cuenta de
ahorros que reconoce una tasa de
interés del 2.6% mensual y empieza a
hacer depósitos desde hoy. Si el valor
del carro se incrementa en un 33%
anual, cuanto deberá depositar
mensualmente en la cuenta de
ahorros para comprar en carro en 5
os.
Respuesta: $306577.41
Ejercicio 23
Usted desea comprar un nuevo
computador, para lo cual cuenta con
$300, los cuales entregará como
cuota inicial, t omando un préstamo
para el resto. El modelo que usted
desea tiene un valor de $2.890, pero
el esquema de financiación exige que
se tome un seguro cuyo valor
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 9 JUAN JOSE QUINTEROS
asciende al 1.25% del valor inicial del
equipo, el cual puede pagarse en
cuotas men suales y debe tomarse en
el momento de comprar el computa-
dor. A cuanto ascenderían el valor de
las cuotas mensuales para cancelar el
préstamo en 24 meses con una tasa
de interés del 3.2% mensual.
Respuesta: $158.20
Ejercicio 24
Se realiza una inversión hoy de
$22.000, la cual se espera que
produ zca rendimientos anuales por
valor de $6.850 durante 6 os. Cual
es la tasa de interés del pro yecto?
Respuesta: 21%
Ejercicio 25
Una persona deposita $ 450 ahora en
una cuenta de ahorros que reconoce
una tasa de interés del 2.4% y se
propone retirar $65 mensuales,
empezando dentro de 8 meses. Por
cuanto tiempo se pueden realizar
retiros completos?
Respuesta: 9 meses (retiros
completos)
Ejercicio 26
Encabezado de un perdico local: 30
personas comparten premio. En el se
cuenta la historia de 30 trabajadores
de una fábrica que compraron en
compañía un boleto de lotería y
ganaron el premio mayor de $850, al
cual era necesario descontar el
impuesto de ganancia ocasional del
15% . Uno de los afortunados
ganad ores decid colocar su premio
en un plazo fijo a seis meses que le
rentaba el 31.5% anual con
capitalización semestral. Al cabo de
este tiempo tiene planeado iniciar su
propia empresa que requiere un
capital inicial de $ 42, para lo cual
piensa tomar un crédito con una tasa
de interés del 2.2% mensual y a 60
meses. A cuanto ascenderán las
cuotas mensuales de éste crédito?
Respuesta: $0.43
Ejercicio 27
En 1971 el franqueo de una carta era
de $2.50. En 1999 colocar por correo
la misma carta costaba $420. Que
incremento anual en el franqueo de
una carta se experimentó durante
este tiempo?
Respuesta: 20%
Ejercicio 28
Una fábrica compra un aditamento
para un equipo que re duce la
producción defectuosa en un 4.2% lo
que representa un ahorro de $1.320
anuales. Se celebra un contrato para
ven der toda la producción por cinco
os consecutivos. Luego de este
tiempo el aditamento mejorará la
producción defectuosa sólo en un
1.8% durante otros cinco os. Al
cabo de éste tiempo el aditamento
será totalmente inservible. Si se
requiere un retorno sobre la inversión
del 30.4% anual, cuanto estaría
dispuesto a pagar ahora por el
adit amento?
Respuesta: $3553.13
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 1 JUAN JOSE QUINTEROS
4. SISTEMA DE AMORTIZACION
FRANCES
El objetivo es analizar no sólo el
valor de las cuotas, sino su
composición, que varía de un
período a otro.
Cada cuota está compuesta por una
parte de capital y otra de interés.
En este sistema, el valor total de la
cuot a permanece constante, pero el
interés va diminuyendo a medida
que el capital aumenta.
Se pueden utilizar las funciones de
Excel para su cálculo.
Ejercicio 1
Una persona toma un préstamo de
$800 para devolver en 6 cuotas
mensuales con una tasa de interés
del 3% mensual. Calcular el valor y
composición de cada cuota.
Ejercicio 2
Una persona adquiere un bien cuyo
precio de contado es de $350, a
pagar en 5 cuotas mensuales al 2%
mensual. Calcular la composición de
cada cuota y graficar.
Ejercicio 3
Ahora vamos a resolver el mismo
ejercicio anterior pero sin utilizar
funciones, solamente utilizando
fórmulas:
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 2 JUAN JOSE QUINTEROS
Ejercicio 4
Se compró un televisor en $ 450 a un
plazo de 8 mensualidades iguales. El
primer pago se hará un mes después
de haberlo adquirido. El comprador
cree posible que a los 4 meses pueda
pagar, además de la mensualidad,
una cantidad de $ 122,66 y que para
saldar su deuda, le gustaría seguir
pagando la misma mensualidad hasta
el final. Este pago adicional, hará que
disminuya el mero de
mensualidades. Calcule en qué fecha
calendario se termina de pagar el
televisor, si se adquirió el pasado 1 de
Marzo y la tasa de int erés que se
cobra es del 3% mensual.
Respuesta: termina de pagar el 01/09
Ejercicio 5
Se planea pagar un préstamo de $
200 en 36 cuotas mensuales iguales
con una tasa de interés del 3%
mensual. Luego de transcurridos 8
meses se toma otro préstamo de $82
con la misma tasa de int erés,
logrando que el banco le unifique y
refinancie el primer y segundo
préstamos tal que sean cancelados
con 26 pagos mensuales anticipados e
iguales, realizando el primer pago 3
meses después de recibir el segundo
préstamo. A cuanto ascenderán estas
cuotas?
Al momento 8, después de pagar la
cuota, el saldo del préstamo es
171.89.
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 3 JUAN JOSE QUINTEROS
Determinación del saldo al
momento 11
Determinación de la nueva cuota
adelantada
Respuesta: la nueva cuota es de
$15.07.
Ejercicio 6
Se toma un préstamo de $ 600 con un
banco que cobra una tasa de interés
del 2% mensual para ser pagado en
cuotas iguales durante 8 meses.
Luego de haber amortizado 3 cuotas
del crédito se negocia con el banco en
pagar el saldo restante en dos cuotas
iguales, la primera un mes después y
la se gunda al final del plazo pactado
inicialmente. Cual es el valor de estas
dos cuotas?
Después de haber amortizado 3
cuotas el saldo del préstamo es
$386.06.
Ahora se disa un modelo para
averiguar la composición y el valor
de cada una de las cuotas restantes.
Si las cuotas deben ser iguales, eso
significa que su diferencia (resta)
debe ser 0.
Respuesta: debe abonar dos cuotas
de $204.68.
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 1 JUAN JOSE QUINTEROS
5. SISTEMA DE AMORTIZACION
ALEM AN
El objetivo es analizar no sólo el
valor de las cuotas, sino su
composición, que varía de un
período a otro.
Cada cuota está compuesta por una
parte de capital y otra de interés.
En este sistema, el valor total de la
cuota disminuye con el tiempo, el
componente de capital se mantiene
constante pero el interés va
diminuyendo.
NO se pueden utilizar las funciones
de Excel para su cálculo,
forzosamente se deben utilizar
fórmulas.
Ejercicio 1
Una persona toma un préstamo de
$600 para devolver en 6 cuotas
mensuales con una tasa de interés
del 3% mensual. Calcular el valor y
composición de cada cuota.
Graficar.
Gráficamente:
Ejercicio 2
Una persona toma un préstamo por
$900 a reintegrar en 3 cuotas con
un interés del 5% mensual. Calcular
el valor de las cuotas con sistema de
amortización francés y alemán.
Comparar resultados.
Gráficamente:
Ejercicio 3
Un banco otorga un préstamo a un
cliente por $500 a reintegrar en 5
cuotas mensuales, con una tasa de
interés flotante que al momento del
POCKET ARITMETICA FINANCIERA 2 JUAN JOSE QUINTEROS
otorgamiento del 3% mensual.
Pagadas las 3 primeras cuotas, la
tasa de interés se incrementa al 6%
mensual, valor que se mantiene
hasta el final.
Gráficamente:
Como se observa, el incremento de
la tasa de interés produce un
quiebre de la tendencia
descendente de las cuotas. Ese
quiebre de la tendencia reconoce su
origen en la cuantía de los intereses.
Ejercicio 4
Un vendedor de artículos del hogar
realiza una venta a crédito de un
artículo en las siguientes
condiciones: monto de la venta =
$300, plazo de pago = 6 meses, tasa
de interés variable. La tasa de
interés fluctúa de esta manera:
durante las primeras 2 cuotas = 3%
mensual; durante las cuotas 3 y 4 =
2% mensual, durante las cuotas 5 y
6 = 1% mensual.
Calcular el cuadro de de volución de
las cuotas.
La disminución de la tasa de interés
acentúa la tendencia descendente
del monto total de las cuotas.
6. INDICES
Entre los distintos tipos de índices,
vamos a centrar el análisis en dos de
ellos:
a. Índices de precios
b. Índices de tasas de interés
a. Índices de precios
Estos índices son proporcionados
generalmente por instituciones
gubernamentales, tales como el
INDEC (Instituto Nacional de
Estadísticas y Censos).
Con respecto a ellos, últimamente
se ha generado entre la gente una
inquietud: ¿reflejan los índices de
precios la verdadera variación que
se observa en los precios?
La razón por la cual se plantean
este interrogante es muy simple:
los índices denotan aumentos
pequos de precios, mientras que
en las góndolas de los
supermercados los aumentos
observados son varias veces
superiores.
Para poder entender esta cuestión,
es preciso en primer lugar explicar
cómo se calcula un índice de
precios.
Cálculo de un índice de precios con
un único bien
A los fines didácticos
simplificaremos al extremo la
situación real.
Supongamos la existencia de una
economía con un único bien que
denominaremos Bien1 y
construyamos una hoja de cálculo:
Seguimos la evolución semanal de
los precios durante 3 meses, o lo
que es lo mismo durante 12
semanas (suponemos que cada mes
tiene 4 semanas).
Veamos qué observa la gente en las
góndolas:
- durante la semana 6, el precio de l
bien aumentó un 30%,
- en la semana 7 aumentó un 15.4%
y
- en la semana 8 aumentó un 20%;
- al final del segundo mes resulta
que la gente observa que durante
su transcurso el precio del bien
aumentó su precio de $100 a $180,
o sea que tuvo un incremento del
80%.
Ahora analicemos cómo se
construye un índice de precios: el
índice se construye con una
periodicidad mensual, utilizando
precios promedio.
Resulta que el precio promedio del
primer mes es $100, del segundo
mes es $140 y del tercer mes es
$180.
Según el índice, los precios
aumentaron durante el segundo
mes sólo un 40%.
Es entonces cuando la gente
comienza a sospechar acerca de su
veracidad, y es entonces cuando los
técnicos hablan del efecto
arrastre , porque a pesar que
durante el tercer mes el precio del
bien no varía, el índice muestra un
incremento del 29%, y explican que
durante el próximo mes se
terminará de reflejar
completamente el aumento del
precio en el índice.
Esto es peligroso, porque la
variación del índice de precios del
tercer mes muestra un aumento de
precios que en la realidad no
existió, lo que podría inducir a
algunas personas a incrementar
nuevamente los precios para
acompar al índice, hecho que
conduciría a una espiral
inflacionaria.
Una vez realizadas estas
aclaraciones, la gente espera al
final del tercer mes y hace este
cálculo: el índice aumentó primero
un 40% y luego un 29%, lo que
hace un total del 69%, ¿por qué, si
en realidad el precio del bien
aumentó un 80%?
¿Cómo se explica esto?
Resulta que como los cálculos de las
variaciones se realizan sobre los
precios promedios del mes
inmediato anterior, los incrementos
no se deben sumar sino multiplicar :
Variación total = [(1+0.40) x
(1+0.29)] 1 = 1.40 x 1.29 1 = 1.80
1 = 0.80 = 80%
A veces este hecho es utilizado
para minimizar psicológicamente el
impacto del aumento en los
precios.
En definitiva: la utilización de
precios promedios amortigua el
impacto de las variaciones en los
índices de precio, provocando
efectos arrastre para los períodos
posteriores.
Cálculo de un índice de precios con
dos bienes
Vamos a complicar un poco el
ejemplo, suponiendo ahora la
existencia de 2 bienes: Bien1 y
Bien2.
Veamos qué observa la gente en las
góndolas con respecto al Bien1:
- durante la semana 6, el precio del
bien aumentó un 30%,
- en la semana 7 aumentó un 15.4%
y
- en la semana 8 aumentó un 20%;
- al final del segundo mes resulta
que la gente observa que durante
su transcurso el precio del bien
aumentó su precio de $100 a $180,
o sea un incremento del 80%.
Veamos qué observa la gente en las
góndolas con respecto al Bien2:
durante la semana 6, el precio del
bien aumentó un 10%,
Aparece ahora el concepto de
canasta familiar, definido aquí
como la suma de los precios de los
bienes (en este caso Precio Bien1 +
Precio Bien2).
Al final del segundo mes, el precio
de la canasta familiar se
incrementó de $1.100 a $1.280,
mostrando un incremento sólo del
16.4%.
¿Qué paso? Lo que ocurre es que
los precios de los dos bienes
tomados para el cálculo no tienen
la misma incidencia: el precio del
Bien1 representa al principio sólo el
9% del precio de la canasta,
mientras que el precio del Bien2
representa el 91% de la canasta.
Entonces aunque el precio del
Bien1 se incremente mucho, en la
canasta total su incidencia es
pequa.
tese que al final del mes 3, el
precio del Bien1 representa el 14%
del precio de la canasta, mientras
que el precio del Bien2 representa
el 86% de la canasta; la diferencia
n continúa siendo muy grande.
Esto es lo que se conoce como
variación en la estructura relativa
de los precios: al principio una
unidad del Bien2 equivalía a 10
unidades del Bien1, mientras que al
final una unidad del Bien2
equivalía a 6.1 unidades del Bien1.
Es evidente que el Bien1 se valori
mucho más con respecto al Bien2.
En resumen: a mayor cantidad de
bienes que integran la canasta, más
elementos surgen que justifican la
diferencia entre los precios
observados en las góndolas y lo que
reflejan los índices de precios.
Intente el lector imaginar la
cantidad de bienes que integran
realme nte la canasta familiar y su
incidencia, sólo para darse una idea
de lo complicado de los cálculos.
Respuesta al interrogante inicial
Este trabajo comentó con la frase:
Últimamente se ha generado
entre la gente una inquietud:
¿reflejan los índices de pre cios la
verdadera variación que se observa
en los precios? .
La respuesta es contundente: sí, los
índices de precios reflejan la
verdadera variación que se observa
en los precios.
Lo que pasa es que las técnicas
aplicadas para construir los índices
de precios y calcular las variaciones
no son tan sencillas; la mayoría de
la gente las desconoce y por eso
manifiestan su desconfianza.
Nota: la metodología de los
cálculos utilizada en este trabajo
no es la misma que exactamente se
aplica en la realidad; ha sido
simplificada al extremo para
demostrar las cuestiones más
impactantes.
b. Índices de tasas de interés
Son índices que se generan a partir
de una tasa de interés; tienen por
objeto simplificar el cálculo de los
intereses, sobre todo cuando la tasa
de interés tiene muchas variaciones.
c. Particularidades del cálculo
En general, para actualizar un valor
en base a un índice, se utiliza esta
fórmula:
Valor * Índice Actual = Valor
Actualizado
Índice Anterior
Sin embargo, algunos índice s tienen
sus particularidades.
Por ejemplo:
Coeficiente de Estabilización de
Referencia (CER)
Se calcula conforme la resolución
47/2002 del Ministerio de Economía.
Para obligaciones de pago
periódico, el monto a ajustar a la
fecha de cada vencimiento se
recalcula dividiendo el va lor del
" CER" del día anterior al
vencimiento del pertinente
concepto por el valor del " CER" del
día anterior al vencimiento
inmediato anterior (Comunicación
" A" 3507 del Banco Central de la
República Argentina).
Índice para Uso de la Justicia
Fue establecido por comunicado
14290 del Banco Central de la
República Argentina.
En dicha norma se establece que
para calcular la variación entre dos
fechas, debe utilizarse la siguiente
fórmula:
i ={[( (100 + T
m) / (100 + To)] - 1 } *
100
donde:
i = tasa de interés expresada en
tanto por ciento.
Tm = valor del índice
correspondiente al día hasta el cual
deben devengarse
intereses.
To = valor del índice
correspondiente al día anterior a
partir del cual se devengan los
intereses.
/ = división;+ = suma;- = resta;* =
multiplicación
Ejercicio 1
Un comerciante observa que sus
clientes abonan sus deudas con un
atraso, razón por la cual decide
cobrar un interés por mora del 5%
mensual. Por razones organizativas,
decide que aquellos que paguen
con un atraso de hasta 10 días
pagarán ante el cajero con un
simple recargo, mientras que
aquellos que superen ese atraso
deberán conversar previamente con
el contador. Dado que el cajero no
tiene conocimientos de finanzas,
solicita que se elabore un índice
diario de manera que el cajero
multiplique la deuda por el índice
correspondiente a los días de atraso
y automáticamente conozca el
importe a cobrar. Utilice el esquema
de interés simple.
Ejercicio 2
Un comerciante observa que sus
clientes abonan sus deudas con un
atraso, razón por la cual decide
cobrar un interés por mora del 5%
mensual. Por razones organizativas,
decide que aquellos que paguen
con un atraso de hasta 10 días
pagarán ante el cajero con un
simple recargo, mientras que
aquellos que superen ese atraso
deberán conversar previamente con
el contador. Dado que el cajero no
tiene conocimientos de finanzas,
solicita que se elabore un índice
diario de manera que el cajero
multiplique la deuda por el índice
correspondiente a los días de atraso
y automáticamente conozca el
importe a cobrar. Utilice el esquema
de interés compuesto.
Ejercicio 3
A partir de la siguiente tabla de
cotizaciones de una moneda
extranjera, construya un índice que
represente sus variaciones:
Compruebe si el índice es correcto,
obteniendo la var iación de la
cotización entre el día 9 y el día 6 a
partir de los precios y a partir del
índice.
Comprobación:
Ejercicio 4
Actualice una deuda de $1000 con
el Coeficiente de Estabilización de
Referencia, desde el día 05/05/02
hasta el día 05/11/02. Calcule el
porcentaje de la variación.
Ejercicio 5
Calcular con el índice del
Comunicado 14290 del BCRA, el
valor de un importe al día 07/10/02,
desde el día 08/05/02.

Como complemento te sugerimos el siguiente video-curso (13 videos, 9 horas), impartido por el profesor José Manuel Brotons de la Universidad Miguel Hernández de Elche, a través del cual podrás apreciar de primera mano cómo aplicar la hoja de cálculo en la solución de problemas de matemáticas financieras.

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Quinteros Juan José. (2002, diciembre 11). Matemáticas financieras básicas con excel. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-basicas-con-excel/
Quinteros, Juan José. "Matemáticas financieras básicas con excel". GestioPolis. 11 diciembre 2002. Web. <http://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-basicas-con-excel/>.
Quinteros, Juan José. "Matemáticas financieras básicas con excel". GestioPolis. diciembre 11, 2002. Consultado el 27 de Abril de 2015. http://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-basicas-con-excel/.
Quinteros, Juan José. Matemáticas financieras básicas con excel [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/matematicas-financieras-basicas-con-excel/> [Citado el 27 de Abril de 2015].
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