Introducción a las matemáticas financieras

  • Finanzas
  • 16 minutos de lectura
INTRODUCCION A LA MATEMATICA FINANCIERA
Matemática Financiera
Interés
El interés en un préstamo es el valor tiempo del dinero (el costo de la no disponibilidad en el tiempo de
ese dinero)
C= Capital M= Monto I= Interés VP= Valor Presente VF= Valor Futuro
Un capital depositado el día 0 genera a lo largo del tiempo un interés, de la suma de estos valores
resulta el monto.
VP + I = VF M = C + I Valor Actual = Valor Presente Valor Nominal = Valor Futuro
Tasa Efectiva de Interés:
Tasa Efectiva de Interés:
(i) Es el interés que genera una unidad monetaria durante una unidad de tiempo
Tasa Efectiva de Descuento
Tasa Efectiva de Descuento
(d) Es el descuento realizado por adelantar una unidad monetaria una unidad de tiempo
Interés Simple
Interés Simple
Genera interés en una unidad de tiempo cualquiera sea ella
(i) Tasa de interés simple
Tiempo
Interés
Descuento
Capital
_V P
Monto
VF
Tiempo
Interés0
_V P
N
VF
Momento 1 N = 1
I01 = VP. i I01 = interés del período 0 – 1
VF1 = VP + VP . i
Momento 2 N = 2
I12 = VP + VP . i
VF2 = VP + VP . i + VP . i = VP (1 + 2i)
.
.
.
.
Momento N N = N
VFN = VP ( 1+ N . i )
Ejemplo
VP = 10.000
Interés Mensual = 30%
N= 2 (meses)
VF = 10.000 ( 1 + 2 x 0,3 )= 16.000
Interés Compuesto
Interés Compuesto
Genera interés durante una unidad de tiempo, es el valor de la colocación al comienzo de cada unidad
de tiempo el que se está analizando el que genera interés, es de esta manera que se produce la
capitalización de los intereses. Al final de cada período los intereses forman parte del capital.
Tiempo
Interés0
_V P
N
VF
Momento 1 N = 1
I01 = VP. i I01 = interés del período 0 – 1
VF1 = VP + I01 = VP + VP. I = VP ( 1 + i )
Momento 2 N = 2
I12 = VF1 + VP . i = VP ( 1 + i ) i
VF2 = VF1 + I12 = VP ( 1 + i ) + VP ( 1 + i ) i = VP ( 1 + i )2
.
.
.
.
Momento N N = N
VFN = VP ( 1+ i )N
Ejemplo
VP = 10.000
Interés Mensual = 30%
N= 2 (meses)
VF = 10.000 ( 1 + 2 x 0,3 )= 16.000
N = 0 VFS = VFC = VP
N < 0 < 1 VFS > VFC
N = 1 VFS = VFC = VP ( 1 + i )
N > 1 VFS < VFC
Ejemplo
I. Compuesto
I. Simple
Tiempo
$
0
1 año
VP = 10.000
I Semestral = 20 %
N = 1 Año = 2 Semestres
VF = 10.000 ( 1 + 0,2 ) 2 = 14.400
Descuento
Descuento Comercial Simple
Descuento Comercial Simple
La tasa efectiva de descuento se aplica para cada unidad de tiempo ( cualquiera sea ella ) sobre el
momento “N”
VP = VF ( 1 – N . d )
D = VF - VP
D = VF – VF ( 1 – N . d ) = VF . N . d
Ejemplo
VF = 10.000
Plazo = 6 meses N = 6
Tasa = 5% mensual d = 0,05
VP = 10.000 ( 1- 6 . 0,05 ) = 7000
Descuento Comercial Compuesto
Descuento Comercial Compuesto
La taza efectiva de descuento se aplica sobre el valor final de cada unidad de tiempo que se quiere
retroceder.
VP = VF ( 1 – d )nd = VF – VP
d = VF – VF (1 –d ) n = VF x 1 - ( 1 – d ) n
Tiempo
Descuento0
_V P
N
VF
Ejemplo
VF = 10.000
Plazo = 6 meses N = 6
Taza = 5 % efectiva mensual d = 0,05
VP = 10.000 ( 1 – 0,05 ) 6 = 7350,92
Descuento Racional Simple
Descuento Racional Simple
La tasa efectiva de descuento se aplica para cada unidad de tiempo cualquiera sea ella sobre el valor en
ese momento.
VP = VF D = VP . N . d
1+N.d
VP = VF – d D = VF – VP
VP = VF – N . d . VP
VP + N . d . VP = VF D = VF - VF
1+N . d
VP ( 1 + N . d ) = VF
D = VF ( 1 + N . d ) – VF
( 1+ n . d )
D= VF N . d
1 + N . d
Ejemplo:
VF = 10.000
I Mensual = 0,05 VP = 10.000 = 7692, 31
N = 6 1+ 6 x 0,05
VP
Descuento Racional Compuesto
Descuento Racional Compuesto
La tasa efectiva se aplica al valor del comienzo de la unidad de tiempo que se quiere retroceder.
VP = VF D = VF - VP
( 1 + d ) N
D = VF - VF
( 1 + d )N
D = VF – 1 - 1
( 1 + d ) N
Ejemplo
VF = 10.000
d mensual = 0,05 VP = 10.000 = 7.462,15
n = 6 ( 1 + 0,05 ) 6
Equivalencia de Tasas
Se dice que dos tasas son equivalentes cuando a iguales valores presentes luego de igual cantidad de
tiempo se transforman en valores futuros iguales donde tienen dos características 1) entre las distintas
tasas involucradas en una única formula de calculo 2) entre las tasas correspondientes a distintas
formulas de calculo de interés o descuento.
DCS (d) IS (i)
( d ) VP = VF ( 1 – N . d ) VF = VP ( 1 + N . i )
VF = VP
(1 – N . d )
VP ( 1 + N . i ) = VP
1 – N . d
1 + N. i = 1
1 – N . d
A valores presentes iguales con tiempos iguales las tazas son iguales
i = d d = i
( 1 – N . d ) 1 + N . i
Ejemplo
I efectivo mensual = 0,05
N = 6
I simple
I = 0,05 = 0,0 715 o 7,15%
(1 – 0,05 x 6 )
d = 0,0715 = 0,05
1 – 6 * 0,0715
d = I
Tipos de Tasas
Tasa Interés Simple
Tasa Interés Simple
Es la que al final de un período se aplica únicamente sobre el capital inicial, Capital constante durante
el tiempo de la operación financiera, así como los intereses devengados al final de cada período
(devengado es lo que ocurre en cada período)
Tasa Interés Compuesto
Tasa Interés Compuesto
Es la tasa de interés que al final de cada período se aplica tanto al capital anterior como a los intereses
devengados al final de ese período. Esto equivale a decir que es la operación donde los intereses
generan interés, mediante el sistema de capitalización.
Ejemplo
VP = 500.000
I trimestral = 8% i = 0,08
Plazo = 1 año n = 4
Is = VFs = 500.000 ( 1 + 4 . 0,08 ) = 660.000
Ic = VFc = 500.000 ( 1 + 0,08 )4 = 680.224,50
Tasa Efectiva
Tasa Efectiva
Es la tasa de interés que realmente se aplica en el período de capitalización sobre un capital para
calcular los intereses.
La tasa de interés efectiva se identifica por que solamente aparece la parte numérica seguida del
período de capitalización o liquidación de intereses.
Por ejemplo se dice una tasa de interés del 3%, mensual del 9 %, trimestral del 15 %, semestral o del 32
%, anual pero ellas no son equivalentes
Tasa de Interés Nominal
Tasa de Interés Nominal
Es la tasa de interés que expresada anualmente capitaliza varias veces al año, por esa razón la tasa
nominal no refleja la realidad en cuanto a los intereses devengados anualmente y de aquí su nombre.
A diferencia de la tasa efectiva que sí nos indica el verdadero interés devengado por un capital al final
del período respectivo.
Sin embargo en la mayor parte de las operaciones financieras se utiliza la tasa nominal para expresar el
tipo de interés que debe pagarse o cobrarse en esa operación. Esto implica que para realizar los cálculos
de operaciones financieras lo primero que debe hacerse es convertir esta tasa nominal a tasa efectiva en
cada período de capitalización por que como ya se anotó solamente debemos utilizar la tasa efectiva
por período.
Ejemplos
Ej.1: 36% nominal anual capitalizable trimestralmente
Es distinto a
Ej.2: 36% nominal anual capitalizable cuatrimestralmente
Es distinto a
Ej.3: 36% nominal trimestral
(i) = Tasa Efectiva
(j) = Tasa Nominal
(m) = No de Capitalizaciones
i = j / m
Ej.1:
i = 0,36 = i trimestral = 9 %
4
Ej.2:
i = 0,36 = i cuatrimestral = 12 %
3
Ej.3:
30 % nominal trimestral
J4 = 0,3 i = 0,09 i = j / m i = j / 4 = 0,3 /
4
Para VP = 100 calculamos el VF anual ( resultado por cada 100 unidades monetarias )
VF = 100 ( 1 + 0,09) 4 = 141,16 expresado porcentualmente 41,16%
Equivalencia
Equivalencia
VF = VP ( 1+ i ) nVF = ( i + j ) m . n
m
VP (1 + i ) n = VP ( 1 + jm )m . n
m
( 1 + i ) n = ( 1 + jm )mn
m
( 1 + i ) = ( 1 + jm )m
m
Ejemplo
Qué tasa efectiva anual de interés es equivalente a una tasa nominal anual del 48% capitalizable
mensualmente.
J12 = 48%
( 1 + i ) = ( 1 + 0,48 )12
12
i = 0,6010 i = 60,10% anual
Qué tasa efectiva bimensual de interés es equivalente a una tasa nominal anual del 48% capitalizable
mensualmente.
i = (1 + (0,48 )2) - 1 i = 0,016 i = 16 % bimensual
12
Incidencia de la Inflación en las Tasas
Inflación: Es el aumento sostenido de los precios
La tasa efectiva de inflación es el crecimiento que sufre el precio de una determinada canasta de bienes
y servicios expresado en tanto por 1 durante una unidad de tiempo.
Tasa Efectiva Mensual
Período Tasa
1 0,0491
2 0,0631
3 0,067
Tasa de Interés Real
Tasa de Interés Real
Tiene dos partes la tasa de inflación ( h ) esperada y la tasa que recompense el sacrificio de no disponer
del dinero un determinado plazo.
( i ) Tasa de interés efectiva a la que se realiza el préstamo
( h ) Tasa efectiva de inflación esperada
( r ) Tasa efectiva real
Teorema de Fisher
( 1 + i ) = (1 + h ) ( 1 + r )
r = 1 + i - 1 = i - h
1 + h 1 + h
Ejemplo
Cual es la tasa efectiva real de una colocación a un año que se realiza a la tasa efectiva anual del 80 %
si se espera que la tasa de inflación anual en ese período sea en el orden del 65%
n = 1 año
i = 80%
n = 65 % r = i – h = 0,8 – 0, 65 = 0,0909
r = 9,09% 1 + h 1+ 0, 65
(1+0,0491)(1+0,0631)(1+0,067) =
1,190695= 19,065%
Rentas
Es un conjunto de prestaciones con vencimientos diversos cada uno de los cuales se denominan
términos o cuota de la renta. También lo podemos definir como una sucesión de pagos o cobros con
vencimientos en épocas equidistantes o intervalos regulares, el período como intervalo de tiempo que
media entre dos pagos consecutivos.
La duración de una renta es el numero o cantidad de términos o cuotas.
Rentas ciertas _ Se conocen todos los elementos de antemano
Rentas aleatorias o contingentes _ Pueden variar de acuerdo con circunstancias que no se pueden
controlar de antemano
A cada instante en la linea de tiempo se asigna un No Real denominado ( t )
Para los calculos de renta se trabaja con días comerciales y año comercial 30 días al mes y 360 días al
año.
Valor de una Renta
Valor de una Renta
Es una cifra monetaria de magnitud relativa que adquiere su verdadero significado cuando está referido
a un determinado instante de tiempo. Por ejemplo decir $100 no tiene sentido si no se especifica el
momento que esa cifra puede estar disponible, hoy, mañana, o dentro de un año.
Dos cifras expresadas en diferentes momentos son en términos financieros heterogéneas, no
comparables a si mismas salvo que se tome una regla funcional que permita definir una relación de
equivalencia de tal manera que homogeneice esas cifras.
La regla no es otra que la fórmula de interés compuesto
VP = ( VF – d ) n
0 1 2 3 4-1-2-3-4
Orig
en
31/12/
00
31/12/
99
31/12/
98
31/12/
01
31/12/
02
31/12/
03
VF 1 VF 2 VF 3
T =
1
T =
2
T =
3
Renta lleva a todos los momentos
El valor de una renta será una serie de prestaciones, una cantidad de unidades monetarias en un
instante de tiempo (t) equidistante en términos financieros al conjunto de cuotas que conforman esa
renta.
CK = Es la “K’esima” cuota de la renta ( pagos o cobros )
i = Es la tasa de interés efectiva del período del intervalo de tiempo
t = 1 = Es el primer pago o cobro.
Cuota T
C11
C22
Ckk
Cnn
El valor de una renta en el instante t se halla sumando los equivalentes financieros de cada cuota en ese
instante dad la tasa de interés ( i ) efectiva en el período y en función del interés compuesto
Ck (t,i) es el valor equidistante en el instante “t” de la “k esima” cuota
Ck (t,i) = Ck (1 + i )t-k
VP ( 1 + i )n = VF o VP = VF ( 1 + i )-n
Si t > k VF Se Capitaliza
Si t < k VP Se Actualiza
Período
im
0 1 2 3 k-1-2-3-4
C1 C2C3
n
Interva
lo
CkCn
T =1 Pago de la
1ª cuota
k=n k=n
R( t, n, i ) = Σ Ck (t,i) = Σ Ck ( 1 + i )t-k
k=1 k=1
Parámetro ( t )
VP de la r t < 1 actualizo
t n VF de las cuotas capitalizo
t < 0 VA renta diferida se entrega el bien con un pago diferido
t = 0 VA renta vencida
t = 1 renta adelantada se entrega el bien pagando la primer cuota
t < 1 < n renta anticipada
t n Luego de n cuotas se tienen los intereses.
Ejemplo
XX exige el pago de la primera cuota al mes de entrega del minicomponente, calcular el precio contado
a partir de los siguientes valores de las 3 cuotas, el interés efectivo es 5% mensual
C1 = 200 C2 = 300 C3 = 400
i = 0,05
t = 0
n = 3
0123
C1 C2C3
Actualiza
ción
T =1 Pago de la
1ª cuota
R ( 0; 3; 0,05 ) = 200 ( 1 + 0,05 )-1 + 300 ( 1 + 0,05 )-2 + 400 ( 1 + 0,05 )-3 = 802,12
Cual es el valor de la renta si la entrega de el bien es cuando se cancela la última cuota a iguales
condiciones
C1 = 200 C2 = 300 C3 = 400
i = 0,05
t = 3
n = 3
R ( 3; 3; 0,05) = 200 ( 1 + 0,05 )2 + 300 ( 1 + 0,05 )1 + 400 ( 1 + 0,05 )0 = 935,50
Cual es el valor de la renta si la primera cuota se paga a los 4 meses de haber recibido el
minicomponente?
C1 = 200 C2 = 300 C3 = 400
i = 0,05
t = -3
n = 3
R ( -3; 3; 0,05 ) = 200 ( 1 + 0,05 )-4 + 300 ( 1 + 0,05 )-5 + 400 ( 1 + 0,05 )-6 = 698,08
Y si la entrega se realiza cuando se paga la segunda cuota?
C1 = 200 C2 = 300 C3 = 400
i = 0,05
T =1 Pago de la
1ª cuota
0123
C1 C2C3
Capitaliza
ción
T =1 Pago de la
1ª cuota
0123
C1 C2C3
-1-2-3
848,
52
-4
-5 -6
T =1 Pago de la
1ª cuota
0123
C1 C2C3
-1-2-3
Factor de
t = 2
n = 3
R ( 2; 3; 0,05 ) = 200 ( 1 + 0,05 ) + 300 + 400 ( 1 + 0,05 )-1 = 890,05
Rentas Constantes
Rentas Constantes
Rente en el momento t con el interés i es la sumatoria de todas las cuotas de la 1 a n llevadas al
momento t
Es la sumatoria de k = 1 a k = n de Ck ( t , i )
k=n k=n k=n
R( t, n, i ) = Σ Ck (t,i) = Σ Ck ( 1 + i )t-k Ck Σ ( 1 + i )t-k
k=1 k=1 k=1
Es constante
en
este tipo de
rentas
Progresión
Suma de Progresión Geométrica
Σ = a 1 - qn ( Suma de Progresión Geométrica )
1-q a = 1er Termino de la sumatoria q = razón
R = ( t, n, i ) = Ck V( t, n, i )
V( t, n, i ) = 1 – ( 1 + i )–n ( 1 + i )t
i
R( t, n, i ) = Ck 1 – ( 1 + i )–n ( 1 + i )t
i
Ejemplo
La venta de un equipo de computación es en 48 cuotas de 95,85 donde la primera cuota es el mes de la
entrega del equipo la tasa es del 6% mensual efectiva
Calcular el precio contado
V( t, n, i ) = 1 – ( 1 + i )–n ( 1 + i )t
i
Ck = 95,85
n = 48 R ( 0,48; 0; 0,06) = 95,85 1 – ( 1,06 )–48 ( 1,06 )0 = U$S 1500,005
0,06
i = 0,06
t = 0
Calcular el precio contado si la primera cuota es contra entrega
Ck = 95,85
n = 48 R ( 0,48; 1; 0,06) = 95,85 1 – ( 1,06 )–48 ( 1,06 )1 = U$S 1590,058
0,06
Factor
de
Valuaci
ón
t = 1
i = 0,06
Planifico mis vacaciones y estimo un gasto de U$S 1000 y pienso depositar cada fin de més desde el 31
de agosto hasta fin de año, el banco paga el 1 % mensual.
Calcular el monto de cada depósito
Ck = ?
n = 5 10000 = Ck 1 – ( 1,01 )–5 ( 1,01 )5
0,01
t = 5
5,10
i = 0,01
Ck = 1000 / 5,10 = 196,04
R = 1000
Amortización de Deuda
Ck = Ak + Ik
α le presta a β $1000 durante 2 meses al 10 % efectivo mensual venciendo el plazo con la entrega. Al
pagar 1210 la deuda quedó saldada
1000 ( 1,10 )2 = 1210 = 1000 + 210
Si al mes de contraída la deuda β paga a cuenta $700 calcular los intereses y la reducción de la deuda
Prestamo
SI = 1000 ( saldo inicial )
i = 0,10
Primer Mes
1000 ( 0,10 ) = 100
SI + i = 1100
Cuota = ( 700 ) 100 intereses + 600 amortización
Saldo Final = 400
SF1 = SI2
Cuo
ta
Amortiza
ción
Inter
és
Amortiza
ción
Inter
és
Princip
Paga una segúnda cuota de 340 y una tercera de 110
Segundo Mes
SI2 = 400
i = 0,10
400 (0,10) = 40
SI + i = 440
Cuota = 340 40 intereses + 300 amortización
SF = 100
SF2 = SI3
Tercer mes
SI3 = 100
i = 10 %
100 (0,10) = 10
SI + i = 110
Cuota = 110 10 intereses + 100 amortización
SF = 0
K=n
Σ Ak = Total de la Deuda
K=1
Cuando Ck < Ik se llama amortización negativa, esto hace crecer el principal por lo que se incrementa la
deuda
Princip
Princip
Amortizaci
ones
Período SI Cuota Interés Amortización SF
1 1000 700 100 600 400
2 400 340 40 300 100
3 100 110 10 100 0
1150 150 1000
t = momento de análisis k = cantidad de cuotas pagas n = cantidad de cuotas S = saldo
S(t, n – k) indica el saldo en el momento n – k que es lo que queda por pagar
Ejemplo
Una deuda pagadera en 10 cuotas, se llevan pagadas 6 cuotas. Hallar el saldo adeudado al momento
que la cuota está recién paga.
t = 6 _ momento de análisis
k = 6 _ cuotas pagas
n = 10 _ cantidad de cuotas
S(6, 10 – 6) = S(6, 4)
S (t, n – k ) = R (t – k, n – k, i)
S( 6, 4) = R (0, 4, i)
01234567891
0
C6
C2C3C4C5
C1C7C8C9C1
0
Cuotas
Pagas
Cuotas
Impagas
Inversión
Es un proceso que consiste en la aplicación de fondos generalmente asociada a la obtención de activos
en la finalidad de obtener un beneficio, no necesariamente económico, que compense el sacrificio
impuesto por la disponibilidad de los fondos invertidos.
Se tiene la presencia de fondos como requisito esencial, un tiempo y un flujo de pagos o fondos que se
localizan en distintos instantes de tiempo. Pueden ser bonos, maquinaria, renovación y reposición,
inversión por expansión, etc.
Puede ser de carácter público o privado, jurídico o físico.
Lo que se busca es poder valorar distintas inversiones.
VPN = Valor presente neto (neto = ingresos – costos = ingreso neto)
VAN = Valor actual neto
TIR = Tasa de Rentabilidad o Tasa Interna de Retorno
VPNP = Valor presente neto promedio
TCC = tasa costo capital = i
VPN Valor Presente Neto
VPN Valor Presente Neto
Llamaremos VPN de la inversión a la cantidad de dinero equivalente a términos financieros al conjunto
de pagos o cobros que representan el conjunto de fondos de la inversión. ( equivalentes para la tasa de
cobro de capital ) dicho VPN se calcula al momento del desembolso inicial o instante cero.
Conocemos TCC = i
K=n
VPN = I0 + Σ Ik (1 + i)-k = I0 + R (0, n, i)
K=1
R
Inversión
en el
momento
0
0123456789n
I6
I2I3I4I5
I1I7I8I9In
VP
N
Σ
Ejemplo
Compro una camioneta para repartir golosinas, la camioneta cuesta 50.000 unidades monetarias
Año Pagos Cobros In
0 50.000 0 - 50.000
1 5.000 12.000 7.000
2 6.000 15.000 9.000
3 8.000 20.000 12.000
4 8.000 55.000 47.000
TCC o i = 9 % efectivo anual
VPN = -50.000 + 7.000 + 9.000 + 12.000 + 47.000 = 6559,32
(1,09)0 (1,09)1 (1,09)1 (1,09)1 (1,09)1
TIR Tasa Interna de Retorno
TIR Tasa Interna de Retorno
Según el criterio del VPN la opción a invertir se decidirá según que valor presente de los ingresos
menos los egresos de caja actualizados a la tasa de costos de capital
La forma de calcular a que tasa se reproducen los fondos invertidos para luego analizar si esa tasa es o
no suficiente como para considerar conveniente la inversión
Ejemplo
Para un capital de $ 100.000
opción 1 colocación en un Banco al 68 % efectivo anual
opción 2 préstamo a un tercero paga el primer año $ 90.000 y el segundo $ 160.000
R (0, 2, r ) = 100.000 100.000 = 90.000 + 160.000
( 1+ r ) ( 1+r )2
0 = -100.000 + 90.000 + 160.000 = 79,2572%
(1 + r) (1+ r)2
79,2572 % > 68 % por lo que la opción 2 es mas conveniente
Gananci
a
Contabl
I0
k = n
Σ Ik
K=0
R
Se llama tasa de rentabilidad o TIR de una inversión a la tasa por la cual el VPN de una inversión se
hace 0, la tasa queda definida como efectiva en el período en que se definen los ingresos netos, y
conviene invertir en la medida que la tas que ofrece la inversión (R) supera la TCC (i) definidas ambas
en la misma unidad de tiempo.
Es la tasa por la cual se iguala el valor presente de los cobros con el valor presente de los pagos.
VPN > 0 conviene invertir VPN = 0 indiferente VPN < 0 no conviene invertir
R > i conviene invertir R = i indiferente R < i no conviene invertir
Para un solo proyecto
Si VPN > 0 tasa 0 i < R
VPN ( i ) = 0 i = R
VPN ( i ) < 0 1 > R
i
VPN
i < r

Compártelo con tu mundo

Escrito por:

Cita esta página
Genta David. (2006, mayo 5). Introducción a las matemáticas financieras. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/introduccion-a-las-matematicas-financieras/
Genta, David. "Introducción a las matemáticas financieras". GestioPolis. 5 mayo 2006. Web. <http://www.gestiopolis.com/introduccion-a-las-matematicas-financieras/>.
Genta, David. "Introducción a las matemáticas financieras". GestioPolis. mayo 5, 2006. Consultado el 5 de Agosto de 2015. http://www.gestiopolis.com/introduccion-a-las-matematicas-financieras/.
Genta, David. Introducción a las matemáticas financieras [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/introduccion-a-las-matematicas-financieras/> [Citado el 5 de Agosto de 2015].
Copiar
Imagen del encabezado cortesía de archeon en Flickr