Impuestos en un modelo de equilibrio general con Gobierno

Experimento Computacional en un Modelo de
Equilibrio General con Gobierno.1
Introducción
El presente trabajo tiene como objetivo hacer un análisis de estática comparativa, con
respecto a los múltiples efectos que tienen los impuestos dentro de una economía.
Para llevar a cabo este cometido, se desarrolla un modelo de crecimiento Neoclásico
(de Ramsey), en donde se introduce un “gobierno”. Se obtienen inicialmente las
condiciones de equilibrio dentro del modelo para luego experimentar como
evolucionan las variables reales ante cambios de las alícutas impositivas.
El proceso utilizado para cuantificar las variables ex - ante y ex - post cambio de la
política tributaria se enmarcan en la simulación.
Se utilizan programas creados en Matlab, con el fin de darle vida a esta economía de
“laboratorio”; y se calibran los parámetros de acuerdo a los datos de la realidad
Argentina. En función de ello se obtienen los efectos de política económica sobre las
variables relevantes.
Se analizan dentro de este trabajo los efectos de las diferentes tasas sobre la
distribución del ingreso y sobre la recaudación pública en busca de cuantificar la
magnitud de las alícuotas en donde la “Curva de Laffer se torna con pendiente
negativa.
El trabajo se organiza de la siguiente manera: se comienza con la descripción del
modelo; luego se derivan de manera analítica las condiciones de óptimo de cada uno
de los agentes representativos.
Seguidamente se obtienen los valores de equilibrio (en estado estacionario) de las
variables del modelo. Y se lleva a cabo una demostración, también analítica, de los
efectos de un impuesto sobre las variables en el modelo.
A continuación, se desarrollan múltiples experimentos en MATLAB que nos permiten
extender las conclusiones iniciales; al tiempo que posibilitan cuantificar los valores de
las variables en equilibrio.
Por último se expresan las conclusiones, en donde se resumen todos los resultados
obtenidos a lo largo del trabajo.
1 Este trabajo se realizó en base a un paper escrito conjuntamente por el autor con Castroff Carolina y
María Victoria Sarjanovich como coautoras; todos los errores y omisiones son responsabilidad del autor.
1. Marco Teórico: Modelo de Crecimiento Neoclásico con Gobierno.
El modelo de crecimiento neoclásico busca endogeneizar la tasa de ahorro establecida
en el modelo de Solow como resultado de un comportamiento optimizador de los
agentes.
Este modelo es el primer paso para reconstruir la teoría macroeconómica a partir de
los fundamentos microeconómicos.
Se plantea una economía con tres sectores: familias, firmas y gobierno. En donde este
último tiene un rol redistributivo y produce bienes públicos que no producen ninguna
utilidad para el consumidor.
Si al modelo se le agregara algún fenómeno de perturbación (v.g. dentro de la función
de producción) que no sea previsto por el agente representativo, la política fiscal del
gobierno puede apuntar a estabilizar la economía.
1.1 Presentación del Modelo:
Para llegar a un Equilibrio General Competitivo cada sector resuelve:
Problema de las Familias
La familia representativa maximiza su bienestar. Se supone que tanto la tasa de
crecimiento poblacional (n) como la oferta laboral son exógenas (el modelo está
expresado en términos de capital por unidad de trabajador efectivo).
La función de utilidad para cada período t es
1
1
( ) , 0
1
t
t
c
u c
θ
θ
θ
= >
Sea β es el factor de descuento temporal (0<β<1), la función de utilidad intertemporal
se define como:
1
0
1
1
tt
c
U
θ
βθ
=
Además, la familia debe satisfacer en cada período t la siguiente restricción
presupuestaria
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
c t i t l t k t t t t
c i w r k t
τ τ τ τ π
+ + + = + − + +
Donde tt son las transferencias per cápita que hace el sector público entre las familias,
τc es la alícuota de IVA, τi la alícuota de impuesto sobre la inversión, τl las cargas
sociales, τk el impuesto sobre el rendimiento al capital.
El salario (wt) es el que se paga por trabajador efectivo.
Hay que tener en cuenta que la familia es dueña de la firma por lo que le corresponde
sus beneficios, pero al existir rendimientos constates los beneficios son cero, por ello
2
de aquí en adelante se omitirá la expresión πdentro de la restricción presupuestaria
de la familia representativa.
La familia es dueña del stock de capital de la economía. Éste evoluciona de acuerdo a
la siguiente ley:
( )
1
1 , 0 1
t t t
K K I
δ δ
+
= + < <
Expresando esta ecuación en diferencias en rminos per cápita, es decir, dividiendo
ambos miembros por AtLt:
( )
1
(1 )(1 ) 1 , 0 1
t t t
n k k i
σ δ δ
+
+ + = + < <
Ya que:
1 1 1 1
1
1 1
(1 )(1 )
t t t t
t
t t t t t t
K K L A n k
A L A L L A
σ
+ + + + +
+ +
= = + +
Donde σ es la tasa de crecimiento (exógena) del producto bruto y “n” es la tasa de
crecimiento (exógena) de la población.
En conclusión el problema de la familia representativa es:
( ) ( ) ( ) ( )
. . 1 1 1 1
c t i t l t k t t t
s a c i w r k t
τ τ τ τ
+ + + = + − +
( )
1
(1 )(1 ) 1
t t t
n k k i
σ δ
+
+ + = − +
Problema de las Firmas
La firma representativa maximiza beneficios contratando el capital y el trabajo a las
familias. Produce el único bien de la economía de acuerdo a la siguiente función de
producción con rendimientos constantes a escala:
1
1
, 0 1 .
: (1 )
t t t
t t
Y A K L donde A representa los shocks de productividad
Luego A A
α α
α
σ
+
= < <
= +
Dividiendo miembro a miembro por AtLt:
, 0 1
t t
y k
α
α
= < <
Donde kt es el capital por trabajador efectivo existente en la economía en el período t.
Entonces el problema de la firma representativa es:
max
t t t t t
y w r k
π
= −
3
. .
t t
s a y k
α
=
Problema del Gobierno
El gobierno gasta en bienes públicos y redistribuye ingresos con el resultado de la
recaudación impositiva. Los bienes públicos no afectan el nivel de utilidad de las
familias. Por lo tanto, el gobierno simplemente debe cumplir en cada período t la
siguiente restricción presupuestaria.
t t c t i t l t k t t
g t c i w r k
τ τ τ τ
+ = + + +
1.2 Un equilibrio general competitivo (EGC) para esta economía se define como:
i Dado un ko > 0, unos precios w t, r t , y un conjunto de alícuotas
, , ,
c i l k
τ τ τ τ
; las secuencias c t, i t , y t , k t+1 se obtienen resolviendo el problema de
las familias:
( ) ( ) ( ) ( )
. . 1 1 1 1
c t i t l t k t t t
s a c i w r k t
τ τ τ τ
+ + + = + − +
( )
1
(1 )(1 ) 1
t t t
n k k i
σ δ
+
+ + = − +
ii En cada período t; dados w t, r t,, se resuelve el problema de las firmas para
obtener y t , k t:
max
t t t t t
y w r k
π
= −
. .
t t
s a y k
α
=
iii El gobierno simplemente debe cumplir en cada período t la siguiente
restricción presupuestaria.
t t c t i t l t k t t
g t c i w r k
τ τ τ τ
+ = + + +
iv Condición de factibilidad (igualación de oferta y demanda):
t t t t
y c i g
= + +
Como consecuencia de que los impuestos introducen distorsiones en la economía, no
puede encontrarse una equivalencia entre el Pareto Óptimo y el EGC. Por ello en este
modelo se resuelve directamente el EGC.
4
1.3 EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO.
i) Problema de las Familias
( ) ( ) ( ) ( )
. . 1 1 1 1
c t i t l t k t t t
s a c i w r k t
τ τ τ τ
+ + + = + − +
( )
1
(1 )(1 ) 1
t t t
n k k i
σ δ
+
+ + = − +
Resolviendo a través de Lagrange:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
1 2 1
0
11 1 1 1 1 (1 ) (1 )
1
tt
t l t k t t t c t i t t t t t
c
L w r k t c i k i n k
θ
β λ τ τ τ τ λ δ σ
θ
+
 
= + + + + + + + − + +
 
 
Condición de Primer Orden:
( )
1
1 0 (1)
t
t t c
t
Lc
c
θ
β λ τ
= + =
( )
1 2
1 0 (2)
t i t
t
L
i
λ τ λ
= + + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 1 2
1
1
1 1 (1 )(1 ) 0 (3)
1 1 1 1 0 (4)
t k t t t
t
l t k t t t c t i t
t
Lr n
k
Lw r k t c i
λ τ λ δ λ σ
τ τ τ τ
λ
+ + +
+
= + + + =
= − + + + + =
( )
1
2
1 (1 )(1 ) 0 (5)
t t t
t
Lk i n k
δ σ
λ
+
= + − + + =
Utilizando (1) y (2)
( ) ( )
( )
1 1
1
1 0 1
(6)
1
t t
t t c t t c
t
t
t
c
c c
c
θ θ
θ
β λ τ β λ τ
β
λτ
− −
+ = = +
=+
5
( ) ( )
1 2 1 2
1 0 1 (7)
t i t t i t
λ τ λ λ τ λ
+ + = + =
(6) y (7) en (3)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1
1 1 1 1 (1 )(1 ) 0
1 1 1
t t t
t t t
k t i i
c c c
c c c
r n
θ θ θ
β β β
τ τ δ τ σ
τ τ τ
+ − + −
+ +
+
+ + − + + + =
+ + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
1
1 1 1 1 (1 )(1 )
1 1 1
t t t
t t t
k t i i
c c c
c c c
r n
θ θ θ
β β β
τ τ δ τ σ
τ τ τ
+ − + −
+ +
+
+ + = + + +
+ + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1
1 1
1
1
1
1
1 (1 )(1 )
1 1 1 1
1 1
1 (1 )(1 )
11 1 1
1 1
t t
i
t t
k t i
t t
c
t c c t
t
i
t
k t i
t
c c
t
n
c c
r
c c
n
cr
c
θ θ
θ θ
θ
θ
τ σ
β β
τ τ δ τ
β τ τ β
τ σ
βτ τ δ
τ τ
β
+ − + −
+ +
+
− −
+ −
++
+ + +
+ + − = +
+ +
+ + +
+ + =
 
+ +
( )
( ) ( ) ( )
1
1
1 (1 )(1 ) (8)
1 1 1
i
t
tk t i
n
c
cr
θ
θ
τ σ
β
τ τ δ
+
+
+ + +
= + +
 
Donde esta última ecuación nos da la pauta de evolución del consumo a través de los
períodos; al tiempo que servirá posteriormente como determinante del stock de capital
en estado estacionario.
De (4) y (5) obtenemos el consumo como función del capital:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 1 1 1 , (1 )(1 ) 1
1 1 1 1 1 1 (1 )(1 )
c t l t k t t i t t t t
c t l t k t i t i t
c w r k i dado que i n k k
c w r k n k
τ τ τ τ σ δ
τ τ τ τ δ τ σ
+
+
+ = + + = + + − −
+ = + + + − + + +
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1
11 1 1 1 (1 )(1 ) (9)
1
t k t i t i t
c
c r k n k
τ τ δ τ σ
τ
+
= + + − + + +
 
 
+
ii) Problema de las Firmas
max
t t t t t
y w r k
π
= −
6
. .
t t
s a y k
α
=
Por sustitución
max
t t t t t
k w r k
α
Π =
Condición de Primer Orden:
( )
1 1
0 (10)
0 1 (11)
t t t t
t t t t t t t t
dk r k r
dk
k w r k w k k k
α α
α α α α
α α
α α
− −
Π= − = =
− − = = =
Donde puede observarse que la retribución al capital es igual a la productividad
marginal del capital per cápita; mientras que la retribución al trabajo es un residuo
entre el valor del producto (cuyo precio se normalizó) per cápita y el gasto total per
cápita en capital.
Reuniendo los resultados obtenidos hasta aquí en el problema de las familias, las
firmas y la restricción del gobierno:
( )
( ) ( ) ( )
1
1
1 (1 )(1 )
1 1 1
i
t
tk t i
n
c
cr
θ
θ
τ σ
β
τ τ δ
+
+
+ + +
= + +
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1
11 1 1 1 (1 )(1 )
1
t k t i t i t
c
c r k n k
τ τ δ τ σ
τ
+
= + + − + + +
 
+
( )
1
1
t t
t t
r k
w k
α
α
α
α
=
= −
t t c t i t l t k t t
g t c i w r k
τ τ τ τ
+ = + + +
Resolviendo obtenemos:
( ) ( ) ( )
( )
1
1
1
1 1 1 (12)
1 (1 )(1 )
k t i
t
i
t
k
c
n
c
α
θ
θ
τ α τ δ
τ σ
β
+
+
 
+ +
 
=+ + +
( )
1
(1 )(1 ) 1 (13)
t t t t
c k n k k
α
σ δ
+
= − + + +
1.4 Estado Estacionario.
7
El estado estacionario es aquel punto donde todas las variables en términos per capita
efectivo permanecen constantes, en forma simbólica:
1 1 1 1
EE EE EE EE
t t t t t t t t
k k k y y y c c c i i i
+ + + +
= = = = = = ⇒ = =
Para que las variables en términos per capita permanezcan constantes, las variables
deben crecer a la suma de las tasas a la que crece la población y el producto, en
forma simbólica:
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
t t t t t t t t
K n K Y n Y C n C I n I
σ σ σ σ
+ + + +
= + + = + + = + + = + +
Utilizando la ecuación (12) obtenemos el capital per cápita de estado estacionario:
( ) ( ) ( )
( )
1
1 1 1
1
1 (1 )(1 )
k EE i
i
k
n
α
τ α τ δ
τ σ
β
 
+ +
 
=+ + +
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 (1 )(1 ) 1 1 1
i
k EE i
nk
α
τ σ τ α τ δ
β
+ + + = − + +
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 (1 )(1 ) 1
1 1 1
i
i EE
k
nk
α
τ σ τ δ
β τ α
+ + +
− + =
 
( )
( ) ( ) ( )
1
1
1(14)
1 (1 )(1 ) 1 1
k
EE
i
i
kn
α
τ α
τ σ τ δ
β
 
 
 
= 
+ + + − +
 
 
Alternativamente:
( )
( ) ( )
1
1
1(14')
(1 )(1 ) 1 1
k
EE
i
kn
α
β τ α
σ β τ δ
 
= 
+ + − +
 
Si aumenta el impuesto al capital o el impuesto a la inversión el capital de estado
estacionario disminuye:
( )
( ) ( )
1
10
1 (1 )(1 ) 1 1
k
EE
k i
k
n
α
α
β τ α
βα
τ α σ β τ δ
 
=− ≤
 
− + + + −
 
8
( ) ( ) ( )
( ) ( )
21
2
1 1 1 0
1{(1 )(1 ) 1 1 }
k
EE
ii
k
n
α
α
β δ β δ τ α
τ α σ β τ δ
 
− −
=− ≤
 
+ + − +
 
 
Comparando (14) con la solución de equilibrio pareteano, que se obtiene haciendo
todas las alícuotas impositivas iguales a cero (τc = τ i = τl = τk = 0), esta economía con
gobierno tiene un k menor al socialmente óptimo.
Equilibrio pareteano:
( )
1
1
(1 )(1 ) 1
P
EE
kn
α
α
σδ
β
 
 
 
=+ +
 
− −
 
 
donde kEE < k pEE
Si remplazamos (14) en la función de producción, podemos obtener el producto per
cápita de estado estacionario.
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1(15)
1 (1 )(1 ) 1 1
k
EE EE
i
i
y F k n
α
α
τ α
τ σ τ δ
β
 
 
 
= =  
+ + + − +
 
 
Como la producción depende directamente del capital per cápita, un aumento del
impuesto al capital o a la inversión disminuirá la producción por trabajador efectivo.
Utilizando (11), (13), (14) y (15) obtenemos el consumo de estado estacionario.
( )
1
:
EE EE EE EE EE
EE EE EE EE EE EE
k k i i k
luego c y i c y k
δ δ
δ
= − + =
= − = −
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 1
1 1 (16)
1 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 )
1 1 1 1
k k
ee
i i
i i
cn n
α
α α
τ α τ α
δ
τ σ τ σ
τ δ τ δ
β β
− −
 
 
− −
 
= −
 
+ + + + + +
− + − +
 
 
También se verifica que un aumento en los impuestos provoca una disminución del
consumo per cápita.
La inversión de estado estacionario la obtenemos remplazando (14) en la condición
de acumulación de capital:
( )
1
EE EE EE EE EE
k k i i k
δ δ
= − + =
9
( )
( ) ( ) ( )
1
1
1(17)
11 1
k
EE
i
i
i
α
τ α
δττ δ
β
 
 
 
=+
 
− +
 
 
El gasto público y las transferencias de estado estacionario se obtienen remplazando
los resultados anteriores en la restricción presupuestaria del gobierno
.
EE EE c EE i EE l EE k t EE
g t c i w r k
τ τ τ τ
+ = + + +
Donde:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 (1 )(1 ) 1 1
1
11
1 (1 )(1 ) 1 1
i
i
EE
k
k
EE
i
i
n
r
wn
α
α
τ σ τ δ
β
ατ α
τ α α
τ σ τ δ
β
+ + + − +
=
 
 
 
= −
 
+ + + − +
 
 
Un aumento de la alícuota al capital debería aumentar la retribución al mismo,
mientras que disminuye el salario de estado estacionario. Esto es así ya que al
aumentar la alícuota se desincentiva la acumulación de capital; ello implica una menor
relación capital trabajo en el estado estacionario y por ende una menor tasa marginal
de sustitución técnica entre los factores, llevando a que la productividad marginal del
capital aumente y la del trabajo disminuya, con la consecuente redistribución de
ingresos en favor del capital.
La tasa de ahorro en estado estacionario es:
( )
( ) ( ) ( )
1
( )
1 (1 )(1 )
( ) 1 1
EE EE
k
EE
EE
i
i
f k c
sn
f k
τ α
δτ σ τ δ
β
 
 
 
= =  
+ + + − +
 
 
De aquí surge que:
( ) ( ) ( )
0
1 (1 )(1 ) 1 1
EE
i
k
i
s
n
δα
τ σ
ττ δ
β
 
 
 
= −
 
+ + +
− +
 
 
10
( )
( ) ( ) ( )
2
(1 )(1 )
(1 ) { 1 }
0
1 (1 )(1 )
{ 1 1 }
k
EE
i
i
i
n
s
n
σ
δ τ α δ
β
τ σ
ττ δ
β
 
+ +
− −
 
 
= −
 
+ + +
− +
 
 
Por lo tanto cualquier aumento de las alícuotas a la inversión y/o la retribución al
capital tienen un efecto regresivo sobre la propensión marginal al ahorro, como así
también con respecto al ahorro total.
Esta conclusión puede llevar a pensar que en el modelo existe
ULTRARRACIONALIDAD; pero no es así. Ya que parte de lo recaudado con los
impuestos es devuelto en transferencias, por lo que el ahorro global de la economía
debe disminuír indefectiblemente (suponiendo que el gasto público es ahorro e
inversión llevado a cabo por el estado).
Por otro lado, nada asegura que el aumento de la recaudación sea idéntico a la
disminución del ahorro (inversión) privado(a). Inclusive se verá más adelante que los
cambios de alícuotas tienen un “Laffer” sobre la recaudación tributaria.
Por otro lado, se puede observar que en ninguna de las ecuaciones de equilibrio
derivadas hasta aquí aparecen las alícuotas de IVA o de las cargas sociales. Esto lleva
a pensar que en este modelo simple (donde no existe elección entre ocio y trabajo) la
mejor manera que tiene de recaudar el estado es a través de estos dos impuestos.
De esta forma no distorsiona los precios relativos de mercado, permitiendo que la
economía no salga del equilibrio de Pareto (de algún punto de la línea de contrato).
A riesgo de ser repetitivo, cabe recordar que esto es válido sólo en el marco en donde
el ocio no entra dentro de la función de utilidad; de esta forma el cambio en el precio
relativo entre ocio y consumo (producto de cambios en las respectivas alícuotas) no
alteran la desición de trabajo del agente representativo.
2. Experimento Computacional.
2.1 Convergencia al Estado Estacionario:
Se comienza analizando las cuestiones relativas a la convergencia hacia el estado
estacionario.
Para trabajar en este tema se parte del Euler en la ecuación (8):
( )
( ) ( ) ( )
1
1
1 (1 )(1 )
1 1 1
i
t
tk t i
n
c
cr
θ
θ
τ σ
β
τ τ δ
+
+
+ + +
= + +
 
Remplazando al consumo y a la tasa de interés por sus equivalentes:
t t t
c y i
= −
1
t t
k r
α
α
=
En lo que resta del análisis supondremos que toda la recaudación se destina a
transferencias, salvo que explícitamente se aclare, con el objeto de hacer más
sencillos los procesos numéricos que se resuelven con Matlab.
11
Como yt, it y rt dependen todos del capital; la ecuación (8) nos quedará como una
ecuación en diferencias de segundo orden no lineal en términos del stock de
capital.
Al ser una expresión no lineal los métodos de resolución clásicos de ecuaciones en
diferencia no son viables, por ello se recurre a métodos numéricos que aproximan
eficientemente la evolución de la variable en el tiempo hasta un punto cercano al
estado estacionario. Puede conocerse de esta manera la velocidad de convergencia
de la economía hacia su estado estacionario y cómo se modifica ésta ante cambios en
los parámetros exógenos.
Una vez descifrada la trayectoria para el capital; la trayectoria de las restantes
variables queda automáticamente determinada con las restantes ecuaciones del
modelo.
La ecuación (8) una vez remplazados el consumo y la tasa de interés en t = 0, puede
escribirse como:
0 1 2
( , , ) 0k k k
ψ
=
En t = 1:
1 2 3
( , , ) 0k k k
ψ
=
Y así sucesivamente hasta llegar a un período n suficientemente grande como para
que kn converja al valor de kss.
2 1
( , , ) 0
n n n n EE
k k k donde k k
ψ
− −
= ≈
Para poder ir resolviendo los algoritmos necesitamos establecer un valor de k0
arbitrario, y elegir un k1 específico de manera que la senda que se genera para la
variable k sea convergente con el tiempo.
El problema que surge con este procedimiento de “tanteoes que el modelo tiene una
convergencia de punto de silla; por ende es bastante difícil adivinar un valor para k1
que nos permita llegar al valor del capital en estado estacionario.
Cuando el valor de k1” es incorrecto, el consumo de estado estacionario tiende a
cero; mientras que la inversión de estado estacionario se hace igual al producto.
Para evitar este proceso tedioso de tanteo; se recurre al método de bisección
desarrollado por Grión2 con algunas modificaciones.
2.1.1 Calibración:
Antes de presentar los resultados obtenidos se explicitan los valores “calibrados” de
los parámetros en el modelo:
Tita (θ)0.2
Sigma (σ)0.01
Tauk (τk)(0.05, 0.1, 0.2)
Taul (τl)0.25
2 Ver bibliografía.
12
Tauc (τc)0.21
Taui (τi)(0.05, 0.1, 0.2)
Beta (β)0.95
Alfa (α)0.3
Ene (n) 0.03
Delta (δ)0.06
K01
La tasa de crecimiento poblacional se elige en función del valor histórico para la
Argentina; el valor de los shocks de productividad se eligen en función del valor
promedio del residuo de Solow a largo plazo para el país3. A continuación se muestran
las salidas de E-views de los valores estimados para el residuo (RESID) y de los
valores filtrados con el filtro de Hodrick y Prescott (HPTREND02) que confirman el
valor de 1% tomado en el trabajo.
-20
-10
0
10
20
30
20 30 40 50 60 70 80 90 00
RESID HPTREND02
3 Los datos fueron tomados de un trabajo previo del autor: “Análisis de la Productividad Total de los
Factores en Argentina en el Período 1913 – 2001”.Ver bibliografía.
13
0
2
4
6
8
10
12
14
-2.5 0.0 2.5
Series: HPDSOLOW
Sample 1914 2001
Observations 88
Mean 1.089034
Median 1.379363
Maximum 3.676731
Minimum -4.602494
Std. Dev. 1.550108
Skewness -1.047156
Kurtosis 4.181252
Jarque-Bera 21.19883
Probability 0.000025
La tasa de participación del capital en la economía se estima en un treinta por ciento,
en base al mismo trabajo arriba mencionado.
Se toman tres valores alternativos para las tasas impositivas a la inversión y al capital;
en base a cada uno de estos valores se estudiará la convergencia de la economía
hacia su estado estacionario.
Como se menciona más arriba, las tasas del impuesto al trabajo y la alícuota de IVA no
tienen importancia en la determinación de las variables en estado estacionario, ni de la
velocidad de convergencia hacia éste. Aún así se toma una alícuota de IVA del 21% y
de contribuciones a la seguridad social del 25%. Este último valor se explica por la
suma de los aportes patronales (16%) más un porcentaje de las contribuciones
personales, ya que el agente tiene expectativas de que todo lo que el estado le obligue
a ahorrar no lo podrá recuperar en un cien por ciento cuando se jubile (dada la
experiencia pasada y actual en el tema previsional en nuestro país).
Se supuso de manera arbitraria una tasa de depreciación del capital del seis por ciento
y un valor arbitrario para el stock de capital por trabajador efectivo en el período cero
de uno.
2.1.2 Trayectorias para diferentes tasas impositivas al capital.
Comenzaremos analizando la trayectoria4 de la economía hacia su estado estacionario
con cada una de las tasas impositivas al capital tomadas en la calibración:
4 En el apéndice A figuran los imputs del programa de convergencia.
14
0 5 10 15 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Diagrama de Fases
Capital
Consumo
tauk0 = 0.05
tauk = 0.1
tauk2 = 0.2
Como puede observarse en el diagrama de fases, el capital y el consumo tienden a
sus valores de estado estacionarios; y cuando la alícuota es menor, el valor final de las
variables es más grande.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
1
2
3
4
5
6
7Capital
tiempo
tauk0 = 0.05
tauk1 = 0.1
tauk2 = 0.2
Esto último queda confirmado en este gráfico, donde también se plasma que la
velocidad de convergencia es independiente del valor de la alícuota para el capital.
Una trayectoria idéntica tiene la variable ingreso; cuyo gráfico se omite para no
extender demasiado el tamaño del trabajo.
15
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6 Consumo
tiempo
tauk0 = 0.05
tauk1 = 0.1
tauk2 = 0.2
Se destaca que el consumo de estado estacionario es similar al margen del monto de
la alícuota al capital; sin embargo cuanto mayor sea esta alícuota, la trayectoria del
consumo hacia el estado estacionario estará más por encima de otras trayectorias con
menores alícuotas.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85 Inversión
tiempo
tauk0 = 0.05
tauk1 = 0.1
tauk2 = 0.2
La inversión crece en el primer momento y luego desciende a tasas decrecientes hasta
su valor de estado estacionario. Mientras menor sea la tasa impositiva al capital,
mayor será la inversión de equilibrio en estado estacionario.
2.1.3 Trayectorias para diferentes tasas impositivas a la inversión.
16
0 5 10 15 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Diagrama de Fases
Capital
Consumo
taui0 = 0.05
taui = 0.1
taui2 = 0.2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
1
2
3
4
5
6
7Capital
tiempo
taui0 = 0.05
taui1 = 0.1
taui2 = 0.2
Nuevamente se observa como ambas variables tienden a su estado estacionario, y
cuando las alícuotas sean menores los valores de las variables en equilibrio serán
mayores. El gráfico para la trayectoria del ingreso se vuelve a omitir por ser parecido
con el de la trayectoria del capital.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4 Consumo
tiempo
taui0 = 0.05
taui1 = 0.1
taui2 = 0.2
El consumo de estado estacionario repite el comportamiento que tiene esta misma
variable cuando se aplica un impuesto al capital.
17
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9 Inversión
tiempo
taui0 = 0.05
taui1 = 0.1
taui2 = 0.2
Por último, la inversión crece inicialmente y luego decae a tasas decrecientes hasta
converger con su valor de estado estacionario.
Como resumen de lo expuesto hasta aquí, podemos decir que el comportamiento de
las variables en su movimiento hacia el estado estacionario es similar
independientemente de las alícuotas impositivas consideradas inicialmente, tanto en
su magnitud como en la variable que gravan.
Por otro lado, la velocidad de convergencia hacia el estado estacionario parece ser
independiente de la magnitud de las alícuotas.
2.2 Análisis de Tipo Laffer de las Variables en Estado Estacionario.
2.2.1 Valores iniciales de las Variables en Estado Estacionario:
Se resume en la siguiente tabla el valor de las variables en estado estacionario5;
tomando como fijas las siguientes alícuotas: τk = 0.1 y i =0.05.
------Valor de las Variables en Estado Estacionario--------
keess yeess ieess ceess geess reess weess
2.0599 1.2421 0.1854 1.0567 0.4858 0.1809 0.8695
Todas estas variables están expresadas en rminos de trabajadores efectivos, y por lo
tanto en estado estacionario no se ven alteradas.
La distribución del ingreso en equilibrio parece ser bastante correcta si uno mira el
valor de la retribución a cada uno de los factores. Para despejar dudas se calculan
algunos otros indicadores macro en estado estacionario que se presentan en la
siguiente tabla.
------Otros Datos--------
pago al capital pago al trabajo presión tributaria tasa ahorro
0.3354 0.6521 0.3911 0.1493
5 El imput del programa generado para calcular estos valores puede verse en el apéndice B.
18
Puede observarse que la presión tributaria de la economía Argentina en estado
estacionario es bastante alta; la tasa de ahorro bastante baja y que la distribución
efectiva del ingreso no es tan adecuada como cuando solo se miran las retribuciones.
2.2.2 Estática Comparativa en Estado Estacionario.
A continuación se presenta la evolución de las variables en estado estacionario6
analizadas anteriormente cuando varía una tasa impositiva.
2.2.2.1 Cambios en τk :
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5 Analisis tipo Laffer de las Variables Percapita
tauk
y
c
k
i
g
Todas las variables tienden a caer al aumentar la tasa impositiva al capital, con
excepción del gasto (recaudación) del estado; que tiene un comportamiento levemente
ascendente, maximizándose para una alícuota de τk = 0.35 (región económica), y
luego también cae monótonamente (región aritmética).
6 El imput del programa puede verse en el apéndice C.
19
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
5
10
15
20
w
r
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8 Análisis Distributivo
tauk
capital
trabajo
La retribución al trabajo cae constantemente y la del capital aumenta
exponencialmente; producto del desincentivo que se genera para acumular capital en
estado estacionario al aumentar la alícuota que grava a éste. Esto implica una
elevación de la productividad marginal del capital (y por ende de su retribución) y una
disminución de la productividad del trabajo.
Sin embargo, la brecha entre la retribución total al trabajo y al capital se mantiene
constante hasta valores muy elevados de la alícuota. Esto es, la distribución del
ingreso se mantiene constante para diferentes tasas impositivas en estado
estacionario.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
tauk
Otros Datos
presión tributaria
tasa de ahorro
La presión tributaria aumenta monótonamente; mientras que la tasa de ahorro tiende a
cero cuando la alícuota tiende a uno.
2.2.2.2 Cambios en τi :
20
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5 Analisis tipo Laffer de las Variables Percapita
taui
y
c
k
i
g
Se puede observar que aunque el estado copte todos los recursos destinados a la
inversión (τi = 1); las variables en estado estacionario no tienden a cero. El consumo
de estado estacionario tiende a igualarse al capital; y por ello el nivel de inversión
tiende a alcanzar sólo para cubrir las depreciaciones del capital en estado
estacionario.
El gasto (recaudación) del estado prácticamente no se ve alterado con los cambios en
la alícuota; con lo que el efecto de cambio proporcional de disminución en la base se
compensa con el aumento proporcional de la alícuota. El gasto se maximiza para τi =
0.15.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Analisis de Precios de Factores
taui
w
r
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 Alisis Distributivo
taui
capital
trabajo
21
En este caso el precio de ambos factores tiende a converger a medida que la alícuota
a la inversión aumenta. Mientras que la distribución de ingresos parece mantenerse
constante a lo largo de las diferentes tasas.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5 Otos Datos
taui
presión tributaria
tasa de ahorro
la presión tributaria aumenta constantemente; ya que al principio la recaudación
(gasto) aumenta y el producto cae, pero cuando la recaudación disminuye el producto
cae más rápido y por ello la presión tributaria sigue aumentando.
Por último, la tasa de ahorro disminuye continuamente.
3. Conclusiones.
Se plantearon inicialmente los problemas que resuelven cada uno de los agentes del
modelo en forma separada; a partir de estas condiciones se derivaron los valores de
las variables en estado estacionario.
Posteriormente se observó que cuando existe un gobierno que cobra impuestos; la
magnitud de las variables en estado estacionario son menores de lo que ocurre
cuando no hay estado.
Quedó plasmado que los impuestos al trabajo y la alícuota de IVA no alteraban el
equilibrio en estado estacionario. Sin embargo esto depende de que no se introduzca
el ocio dentro de la función de utilidad.
A continuación se demostró que un aumento en las tasas que gravan a la retribución al
capital o a la inversión tienen un efecto negativo sobre las variables del modelo.
Para complementar estas conclusiones se creó un programa en MATLAB que simula
el comportamiento de la economía Argentina. Se calibró el modelo acorde a los datos
de la realidad local y se corrieron varios experimentos.
Inicialmente se demostró de manera cuantitativa como afectaban diferentes alícuotas
impositivas a las trayectorias de las variables hacia su estado estacionario. Si bien era
conocido que el efecto de una mayor alícuota reduciría el valor de la variable en
estado estacionario; pudo comprobarse que la velocidad de convergencia es
independiente de la magnitud de la alícuota tenida en cuenta.
22
Luego se dejaron de lado las cuestiones de convergencia para evaluar los valores de
las variables en el equilibrio.Pudo verse que la distribución del ingreso no es tan
adecuada y que la presión tributaria roza los cuarenta puntos en equilibrio; cifra
bastante alta.
Para hablar del nivel de bienestar comparado de los ciudadanos de nuestro país
debería correrse el mismo programa con los parámetros calibrados en base a la
realidad de otra región y comparar estos valores.
Finalmente se llevó a cabo un análisis de estática comparativa, donde se muestra la
evolución de las variables en el tiempo ante cambios en las alícuotas impositivas.
La conclusión más importante es que la distribución del ingreso se mantiene constante
a los largo de las variaciones en la alícuota.
Se observa que cuando la alícuota al capital tiende a uno; la economía se contrae
hasta anularse. Esto no ocurre con el impuesto a la inversión, que lleva a la economía
hasta el punto en donde el consumo de estado estacionario se hace igual al capital
existente en equilibrio.
Se comprobó que la presión tributaria aumenta monótonamente en ambos casos y que
la tasa de ahorro cae en ambos casos. Esto último descarta la hipótesis de
ultrarracionalidad en el modelo.
También se corrobora la existencia de efectos de tipo “Laffer” sobre la recaudación
(gasto) pública, y se derivaron las magnitudes de las alícuotas a partir de las cuales el
efecto aritmético es mayor al efecto económico.
BIBLIOGRAA.
Argandoña, A., Gámez, C. y Mochón, F.(1997): Macroeconomía Avanzada II”,.
Mc Graw Hill.
Berghoeing, Raphael (1998): “Notas en Experimentos Computacionales y Teoría
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Castroff C., Martos G., Sarjanovich, M. (2004): “Modelo de Crecimiento
Neoclásico”; trabajo final de Macroeconomía II, UNC.
Chiang Alpha (1995): “Elements of Dynamic Optimization”; Mc Graw Hill.
23
Chiang Alpha (1998): “Métodos Fundamentales de Economía Matemática”; Mc
Graw Hill.
Grión Néstor C. (2003): “Economía Computacional con Matlab”; Notas preparadas
para el curso de Economía Avanzada I, Doctorado de Ciencias Económicas, UNC.
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World Economy”; The MIT Press.
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Argentina en el Período 1913 – 2001”; trabjo presentado en la cátedra Macroeconomía
I, UNC.
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Macroeconomics“; The MIT Press.
Urrutia, Carlos (1996): “Notas de Macroeconomía”; Documentos Docentes,
ILADES/Georgetown University, Chile.
Urrutia, Carlos (1998): Métodos Numéricos para Resolver Modelos
Macroeconómicos Dinámicos”; Documentos Docentes, ILADES/Georgetown
University, Chile.
APÉNDICES
APENDICE “A”: Trayectoria de las variables hacia el estado estacionario.
function [yt,ct,it,kt,m]=
seriestk(k0,c0,a,d,b,tita,n,sigma,tauk,taui,z);
kt=zeros(n,1);
ct=zeros(n,1);
kt(1)=k0;
ct(1)=c0;
n2=n;
for i=1:(n-1)
kt(i+1)= (kt(i)^a + (1-d)*kt(i) - ct(i))/(1+z)*(1+sigma);
ct(i+1) = ct(i)*(b*((1-tauk)*a*kt(i+1)^(a-1) + (1+taui)*(1-
d))/(1+taui)*(1+z)*(1+sigma))^(1/tita);
dc=ct(i+1)-ct(i);
dk=kt(i+1)-kt(i);
if (dc/dk)<0;
n2=i;
break
end
end
m=[n2 dk];
kt= kt(1:n2);
ct= ct(1:n2);
yt=kt.^a;
it = yt - ct;
24
Algoritmo de Bisección
function [yt,ct,it,kt,n2]=
series2tk(k0,a,d,b,tita,n,sigma,tauk,taui,z);
% Se procede a formar un algoritmo mediante el método de
bisección para encontrar el nivel de c0 óptimo (z es la tasa de
crecimiento poblaciomal)%
kee= (a*(1-tauk)/((1+z)*(1+sigma)*(1+taui)/b-(1+d)*(1 +
taui)))^(1/(1-a));
c1 = k0^a + (1-d)*k0 -kee;
c2=k0^a - d*k0;
ci=(c1>0)*c1;
cs=(c2>0)*c2;
if cs<ci;
cc=ci;
ci=cs;
cs=cc;
end;
dc=1;
while (1);
c0 = (ci+cs)/2;
[yt,ct,it,kt,m]=
seriestk(k0,c0,a,d,b,tita,n,sigma,tauk,taui,z);
if m(1)==n
break;
elseif dc<1.e-14
disp('Convergencia no alcanzada')
disp('n máximo:')
disp(m(1))
break;
elseif (sign(m(2))<=0);
cs=c0;
else
ci=c0;
end
dc = cs - ci;
end
n2 = m(1);
%Modelo de Crecimiento Neoclásico%
%Diferentes Estados Estacionarios para Parámetros Diferentes%
a=0.3;
d=0.06;
b=0.95;
taui=0.1;
tauk0=0.05;
tauk1=0.1;
tauk2=0.2;
z=0.03;
sigma=0.01;
tita=0.2;
k0=1;
n=45;
%----Modelos Alternativos-----%
25
[yt1,ct1,it1,kt1,n1]=
series2tk(k0,a,d,b,tita,n,sigma,tauk0,taui,z);
[yt2,ct2,it2,kt2,n2]=
series2tk(k0,a,d,b,tita,n,sigma,tauk1,taui,z);
[yt3,ct3,it3,kt3,n3]=
series2tk(k0,a,d,b,tita,n,sigma,tauk2,taui,z);
t1= 1:n1;
t2= 1:n2;
t3= 1:n3;
%Gráfico%
%Fases%
kee=(a*(1-tauk)/((1+taui)*(1+z)*(1+sigma)/b -
(1+taui)*(1+d)))^(1/(1-a))
cee=kee^a -d*kee;
k=linspace(0,1.3*kee,100)';
c1=k.^a + (1-d).*k - kee;
c2=k.^a - d.*k;
figure(1)
plot(kt1,ct1,'*-',kt2,ct2,'d-',kt3,ct3,'o-',k,c1,k,c2);
axis([0 (1.3*kee) 0 (1.3*cee)])
title('Diagrama de Fases');
xlabel('Capital');
ylabel('Consumo');
legend('tauk0 = 0.05','tauk = 0.1','tauk2 = 0.2');
%Gráfico para las variables reales
figure(2)
plot(t1,yt1,'*-',t2,yt2,'d-',t3,yt3,'o-')
title('Ingreso');
xlabel('tiempo');
legend('tauk0 = 0.05','tauk1 = 0.1','tauk2 = 0.2');
figure(3)
plot(t1,ct1,'*-',t2,ct2,'d-',t3,ct3,'o-')
title('Consumo');
xlabel('tiempo');
legend('tauk0 = 0.05','tauk1 = 0.1','tauk2 = 0.2');
figure(4)
plot(t1,it1,'*-',t2,it2,'d-',t3,it3,'o-')
title('Inversión');
xlabel('tiempo');
legend('tauk0 = 0.05','tauk1 = 0.1','tauk2 = 0.2');
figure(5)
plot(t1,kt1,'*-',t2,kt2,'d-',t3,kt3,'o-')
title('Capital');
xlabel('tiempo');
legend('tauk0 = 0.05','tauk1 = 0.1','tauk2 = 0.2');
Para obtener la trayectoria de las variables cuando varía el impuesto a la inversión, se
utilizaron los mismos programas con las correspondientes modificaciones.
26
APÉNDICE B: Variables en equilibrio.
%Valores en Estado Estacionario%
function keess = ss(tauc,tauk,taul,taui,n,d,a,b,tita,sigma);
%---Parámetros Calibrados---%
tauc=0.21; %imp al consumo
taui=0.05; %imp a la inversión
taul=0.25; %imp al trabajo
tauk=0.1; %imp al capital
n=0.03; %tasa de crecimiento de la población
d=0.06; %tasa depreciación
a=0.3; %Elasticidad producto del factor capital
b=0.95; %tasa de descuento social
tita=0.8; %Elasticidad de la utiliada marginal con respecto
al consumo
sigma=0.01; %Tasa de crecimiento del producto
%--- Restantes Variables en Estado Estacionario ---%
keess=(((1+n)*(1 + sigma)*(1+taui)/b - (1-d)*(1+taui))/(a*(1-
tauk)))^(1/(a-1));
yeess= keess^a;
ieess= keess*(d+n);
ceess= yeess - ieess;
reess= a*keess^(a-1);
weess= yeess - reess*keess;
geess= tauk*keess*reess + tauc*ceess + taul*weess + taui*ieess;
%--- Distribución de Recursos es Estado Estacionario ---%
retribalcap= (1-tauk)*reess*keess;
retribaltrab= (1-taul)*weess;
prestributar= geess/yeess;
tasaahorro= (yeess-ceess)/yeess;
%--- Salidas y Gráficos ---%
disp('------Valor de las Variables en Estado
Estacionario--------');
disp(' keess yeess ieess ceess geess reess
weess');
disp([keess yeess ieess ceess geess reess weess]);
disp('------Otros Datos--------');
disp('retrib cap retrib trab pres trib tasa ahorro');
disp([retribalcap retribaltrab prestributar tasaahorro]);
APÉNDICE “C”: Análisis Laffer.
27
%---Parámetros Calibrados---%
tauc=0.21; %imp al consumo
tauk=0.05; %imp a la inversión
taul=0.25; %imp al trabajo
n=0.03; %tasa de crecimiento de la población
d=0.06; %tasa depreciación
a=0.3; %Elasticidad producto del factor capital
b=0.95; %tasa de descuento social
tita=0.8; %Elasticidad de la utiliada marginal con respecto
al consumo
sigma=0.01; %Tasa de crecimiento del producto
%---Bucle para el Consumo y el Capital en Estado Estacionario
para dif tasas a la Inv---%
m=50;
taui= linspace(0.01,0.99,m)'; %vector con diferentes tasas
(equidistantes) para el capital
keess= zeros(m,1);
for i=1:m
keess(i,1)=(((1+n)*(1 + sigma)*(1+taui(i))/b - (1-
d)*(1+taui(i)))/(a*(1-tauk)))^(1/(a-1));
ceess(i,1)=(((1+n)*(1 + sigma)*(1+taui(i))/b - (1-
d)*(1+taui(i)))/(a*(1-tauk)))^(a/(a-1)) -d*(((1+n)*(1+taui(i))/b
- (1-d)*(1+taui(i)))/(a*(1-tauk)))^(1/(a-1));
end
%--- Restantes Variables en Estado Estacionario ---%
yeess= keess.^a;
ieess= keess.*(d+n);
reess= a*keess.^(a-1);
weess= yeess - reess.*keess;
geess= tauk*keess.*reess + tauc*ceess + taul*weess +
taui.*ieess;
%--- Distribución de Recursos es Estado Estacionario ---%
retribalcap= (1-tauk)*reess.*keess;
retribaltrab= (1-taul)*weess;
prestributar= geess./yeess;
tasaahorro= (yeess-ceess)./yeess;
%--- Salidas y Gráficos ---%
disp('------Valor de las Variables en Estado
Estacionario--------');
disp(' keess yeess ieess ceess geess
reess weess taui');
disp([keess yeess ieess ceess geess reess weess taui]);
figure(1)
plot(taui,[yeess ceess keess ieess geess])
legend(['y';'c';'k';'i';'g'])
28
title('Analisis tipo Laffer de las Variables Percapita')
xlabel('taui')
figure(2)
subplot(2,1,1)
plot(taui,[weess reess])
legend(['w';'r'])
title('Analisis de Precios de Factores')
xlabel('taui')
subplot(2,1,2)
plot(taui,[retribalcap retribaltrab])
title('Análisis Distributivo')
xlabel('taui')
legend(['capital';'trabajo'])
figure (3)
plot(taui,[prestributar tasaahorro])
title('Otos Datos')
xlabel('taui')
legend(['prestrib';'tasaahorro'])
%--- Valores Máximos para las Variables en Estado Estacionario
---%
productomaximo=max(yeess);
gastomaximo=max(geess);
consumomaximo=max(ceess);
inversionmaxima=max(ieess);
capitalmaximo=max(keess);
disp('--- Valores Máximos de las Variables para cada Alícuota
---')
disp(' yeess keess ceess ieess geess')
disp([productomaximo capitalmaximo consumomaximo inversionmaxima
gastomaximo])
Para el caso del impuesto al capital se utilizó el mismo bucle con las respectivas
modificaciones del caso.
29

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Gabriel Martos. (2005, febrero 25). Impuestos en un modelo de equilibrio general con Gobierno. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/impuestos-en-un-modelo-de-equilibrio-general-con-gobierno/
Gabriel, Martos. "Impuestos en un modelo de equilibrio general con Gobierno". GestioPolis. 25 febrero 2005. Web. <http://www.gestiopolis.com/impuestos-en-un-modelo-de-equilibrio-general-con-gobierno/>.
Gabriel, Martos. "Impuestos en un modelo de equilibrio general con Gobierno". GestioPolis. febrero 25, 2005. Consultado el 4 de Septiembre de 2015. http://www.gestiopolis.com/impuestos-en-un-modelo-de-equilibrio-general-con-gobierno/.
Gabriel, Martos. Impuestos en un modelo de equilibrio general con Gobierno [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/impuestos-en-un-modelo-de-equilibrio-general-con-gobierno/> [Citado el 4 de Septiembre de 2015].
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