Ejercicios de probabilidad y distribución

  • Economía
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Problemario de Probabilidad
Contenido
Variables Aleatorias discretas..................................................................................................1
Distribución binomial..............................................................................................................5
Distribución de Poisson...........................................................................................................7
Distribución hipergeométrica................................................................................................10
Distribución geométrica........................................................................................................13
Variables aleatorias continuas...............................................................................................15
Distribución uniforme...........................................................................................................20
Distribución normal..............................................................................................................21
Aproximación de la distribución Normal a la Binomial.......................................................25
Distribución Exponencial......................................................................................................26
Resumen................................................................................................................................28
Autor Ing. Iván Escalona.......................................................................................................30
Variables Aleatorias discretas
1. Sea X una Variable Aleatoria que representa la demanda de horas extras en una empresa. La
experiencia muestra que esta demanda se comporta de acuerdo a la siguiente función de
probabilidad,
=+
=
parte otraen 0
4,3,2,1 )12(
)( xx
xf
Encuentre la distribución de probabilidad y la distribución acumulada.
2. Un lote de 7 lámparas contiene dos defectuosas. Un restaurante adquiere tres de estas lámparas.
Sea x el número de lámparas defectuosas. Encuentre la distribución de x. Grafique.
3. Se lanza un dado dos veces, si en los lanzamientos aparece el mismo número un jugador gana $
11, en caso contrario pierde $ 7 ¿Cuál es el valor esperado de este juego?
4. Una urna contiene 5 bolas rojas y 7 verdes. Se sacan tres bolas una tras otra sin sustitución, si un
jugador gana $ 3 por cada bola roja y $ 1 por cada bola verde. ¿Cuánto se debería pagar por el
derecho a jugar para que este juego sea justo? SOLUCIÓN:
5. Si en el problema anterior las tres bolas se extraen con sustitución. ¿Cuándo sería el pago por el
derecho a jugar para que el juego sea justo?
6. A continuación se presenta una función de probabilidad, de la variable aleatoria x, el mero de
errores de escritura en una página.
0 1 2 3
P(x) 0.40 0.35 0.16 0.09
a) Encuentre la distribución acumulada para x,
b) El valor esperado
c) La varianza
d) La desviación estándar
7. En una escuela se aplica una prueba psicológica y una de las opciones consiste en hacer
corresponder tres preguntas con tres respuestas. Si un estudiante contesta las tres respuestas sin
repetición en las columnas aleatoriamente, encuentre la distribución de probabilidad para x, el
número de respuestas correctas. SOLUCIÓN:
8. En el problema 7, construya su función de distribución acumulada y calcule la desviación
estándar. SOLUCIÓN:
9. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta x está dada por
=+
=
parte otraen 0
3,2,1,0 si )12(
)( xx
xf
Determine la función de distribución acumulada, la media, la varianza y la desviación estándar.
10. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta x está dada por
=+
=
parte otraen 0
5,4,3,2,1 5/)12(
)( xx
xj
Determine:
a) F(x)
b) Su desviación estándar;
11. La función de probabilidad de una Variable aleatoria discreta x está dada por:
=
=
+
=
parte otraen 0
9,8,7,6 si
20
10
5,4,3,2,1 si
50
2
)( x
x
x
x
xf
Determine la desviación estándar.
12. En un estudio de mercado, se encontró que el número de yoghurts de 100 g consumidos por una
familia varía de uno a cuatro. Sea x una variable aleatoria que representa el número de yoghurts de
100 g consumidos diariamente por una familia. El estudio de mercado mostró que la función de
probabilidad de x, está dada por:
=
=
parte otraen 0
4,3,2,1 50/)2(
)(
2
xxx
xj
Determine la desviación estándar,
13. Sea x la variable aleatoria que representa la demanda semanal de una revista de modas en un
expendio. La experiencia muestra que la demanda de este artículo es una variable aleatoria que tiene
la función de probabilidad dada por:
=
=
parte otraen 0
6,5,4,3 10/)7(
)( xx
xj
a) Encuentre la función de probabilidad acumulada,
b) Determine el valor esperado
14. Sea x una variable aleatoria que representa los componentes defectuosos en el armado de
televisores. La función de probabilidad de x está dada por,
a) Encuentre la distribución acumulada y desviación estándar
16. Una empresa de alimentos con la entrada de TLC, necesita modernizar si maquinaria para ser
más competitiva pero no tienen el suficiente capital, por lo que decide ofrecer bonos, los cuales
vencen al cabo de varios años. La distribución acumulada de x el número de año al vencimiento
para un bono elegido al azar, es:
=
=
<
=
7 si 1
3 si 6/3
1 si 6/1
1 si 0
)(
x
x
x
x
xF
Encuentre:
a) P(x = 6), b) P(x > 4), c) P(2.1 < x < 6)
17. En la zona sureste del país en la época de lluvias por lo general los caminos se hacen
intransitable. Después de azotar un ciclón es necesario llevar ayuda alimenticia y médica a la
población B desde la población A, para ir de estas poblaciones partiendo de A, hay dos caminos, en
el primero existe un puente y en el segundo existen dos puentes, para que estos caminos sean
transitable que los puentes esté en buen estado, la probabilidad de que los puentes se encuentren en
servicio es de 0.7 y su funcionalidad es independiente ya que están construidos con características
diferentes. Encuentre la distribución de probabilidad para x, el número de caminos posibles
transitables para ir de la población A, a la población B después de haber partido la ayuda.
18. Con el problema de colera en la República Mexicana la secretaria de salud implementó medidas
preventivas de control principalmente en el agua potable de un municipio del cual llegaron informes
a esta secretaria de que no cloraban el agua, encontraron dos contaminantes el del cólera y otro
menor, los datos obtenidos son los siguientes, el 10% de los depósitos examinados no se encontró
contaminante alguno, el 30% tenía la bacteria del cólera y el 70% tenía el contaminante menor. Si
se elige un depósito al azar de este municipio, encuentre la distribución de probabilidad para x, el
número de contaminante encontrados en el depósito.
19. Una variable aleatoria discreta x tienen la función de probabilidad f (x) donde
=
=
forma otraen 0
3,2,1
2
1
)(
x
xsik
xf
a) Determine k
b) Encuentre media y varianza de x
c) Encuentre F(x)
20. La demanda de cierto tipo de alcohol es –1, 0, +1, +2 por a con la probabilidades respectivas
de 1/5, 1/10, 2/5, 3/10. Una demanda de –1 implica que se regresa una unidad. Encuentre la
demanda esperada y la varianza. Dibuje la función de distribución de probabilidades.
21- Un políticos tiene tres trabajadores hombres y tres trabajadores mujeres. Desea elegir dos
trabajadores para una labor especial y decide seleccionar al azar. Sea x el número de hombres en su
selección.
a) ¿Cuál es el recorrido de x?
b) Calcule la fdo y grafíquela
c) Calcule la FDA, haga su gráfica
22. En una lotería se rifará un millón de pesos, si son mil boletos, cada uno vale 10,000 pesos y si
una persona compra 2 encuentre:
a) La varianza
b) La FDA si la variable aleatoria es la ganancia
23. Sea x una Variable aleatoria que representa el número de caras menos el números de águilas en
dos lanzamientos de una moneda, si esta moneda está cargada de tal manera que es doblemente
probable que ocurra una cara que una águila, encuentre su distribución de probabilidad.
Distribución binomial
1. Un comerciante de verduras de la colonia Granjas México tienen conocimiento de 2/3 de una caja
de mango está descompuesta o tiene “lunares”. Si se eligen 4 mangos al azar por un comprador,
encuentre la probabilidad de que. A) Los 4 estén descompuestos o tengan lunares, b) de 1 a 3 estén
descompuestos o tengan lunares.
2. En un estudio sociológico, se encontró que 60% de los consumidores de tacos callejeros
enferman de amibiasis, se seleccionan al azar 8 adictos a los tacos callejeros, encuentre la
probabilidad de que, a) tres exactamente tengan amibiasis, b) Por lo menos 5 tengan amibiasis.
3. Según una encuesta de una revista ¼, del total de empresas metal-mecánica de un estado x de la
República Mexicana, acostumbran a desperdiciar a sus trabajadores antes de cumplir un
determinado periodo de tiempo para que no adquieran la cabse y sean sindicalizados. Se
seleccionan 6 empresas al azar, calcular la probabilidad de encontrar, a) de 2 a 5 de estas empresas,
b) Menos de tres empresas
4. Una de las medidas de control de calidad de un amortiguador para automóvil, es probarlo en los
baches de la avenida Ermita Iztapalapa, se encontró que el 20% de los amortiguadores sometidos
a la prueba presentaban fuga de aceite y por lo tanto están defectuosos. Si se instalan 20 de estos
amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 estén defectuosos, b) más de 5 estén defectuosos.
C) de 3 a 6 amortiguadores estén defectuosos.
5. La probabilidad de que un paciente se recupere de una operación para extirpar un tumor cerebral
es del 90%. Hallar la probabilidad de que se recuperen cinco de siete pacientes que esperan turno
para ser operados.
6. Un ingeniero Industrial que labora en el departamento de control de calidad de una empresa
eléctrica, inspecciona una muestra al azar de tres alternadores de unos lotes. Si el 15% de los
alternadores del lote están defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno
sea defectuoso, b) uno sea defectuosos, c) al menos dos sean defectuosos?
7. Un ingeniero en transportes informa que el 75% de la veces los trolebuses de una ruta determina
en el DF llegan a su central con retraso de por lo menos veinte minutos en las horas pico, debido al
intenso tráfico vehicular. Si se eligen 9 trolebuses, hallar la probabilidad de que menos de 4 arriben
fuera de su horario.
8. La probabilidad de que compact disk, dure al menos un año sin que falle es de 0.95, calcular la
probabilidad de que en 15 de estos aparatos, a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren
menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.
9. La empresa empacadora de piñas LA IDEAL afirma que el 85% de las que llegan están listas para
ser procesadas. Calcular la probabilidad de que 20 piñas que llegaron, a) 15 están listas para ser
procesadas, b) a lo más 16 están para ser procesadas, c) al menos 18 están listas para ser procesadas.
10. La probabilidad de que un estudiante de ingeniería apruebe un examen de matemática es de0.30,
utilizando la formula de distribución binomial encuentre la probabilidad de que 4 de 10 estudiantes
aprueben el examen.
11. Una compañía de exploración gana un contrato con petróleos mexicanos para perforar pozos,
esta compañía tiene estadísticas que le indican que en el 10% de los pozos de prueba que perfora
encuentra un depósito de gas natural. Si perfora 5 pozos, hallar la probabilidad de que en al menos
en 2 se encuentre gas natural.
12. En una urna se encuentran 7 pelotas azules y 3 verdes, se sacan 5 pelotas con reemplazo. Sea x
el número de pelotas azules que se sacan, calcular la media y varianza de esta distribución.
13. Se sabe que x es una variable aleatoria binomial con un media igual a 8 y una desviación
estándar de 2. Encontrar la distribución de probabilidad de x.
14. Sea x una variable aleatoria binomial. Hallar la distribución de probabilidad de x si µ = 4 y n=
10.
15. Una encuesta realizada en la UPIICSA del IPN con los estudiantes de la carrera de Lic. En
Administración industrial acerca de la importancia de las matemáticas para ellos, reveló que el 80%
de los entrevistados consideran que no les sirven para nada. Según esta encuesta ¿Cuál es la
probabilidad de que por lo menos 4 de los 10 siguientes entrevistadores al azar sea de esta opinión?
16. Una línea de coches de una cierta marca fue construida con el distribuidor hacia abajo, la
compañía que los fabricó encontró en un estudio que hizo que el 30% de estos, al pasar por calles
encharcadas se paraban por haberse mojado el distribuidor. Si 15 de estos coches son puestos a
prueba en calles encharcadas, hallar la probabilidad de que a) de 4 a 7 se paren, b) menos de 5
paren.
17. La Probabilidad de que un motor recién ajustado tire aceite en los primeros 100 km por lo
retenes es de 0.05. Si 10 automóviles se ajustan en un taller mecánico. Hallar la probabilidad de
que, a) menos de 4 tire aceite por retenes, b) ninguno tire aceites por los retenes, c) al menos 2 tiren
aceite por los retenes, d) la desviación de la distribución de probabilidad.
18. La probabilidad de que un número se presente a asesoría durante el semestre en alguna
asignatura de la academia de matemáticas con el profesor que el corresponde es de 0.01. Si un
profesor de una determinada materia tiene 50 alumnos hallar la probabilidad de que se presenten a
asesoría durante el semestre, a) al menos 4 alumnos, b) más de 5 alumnos, c) ningún alumno.
19. Una prestigiada agencia realizó una encuesta entre los residente de la población de Amatlán
Veracruz, acerca de sus preferencia para votar por uno de los dos candidatos a alcalde, esta encuesta
mostró que el 40% de los ciudadano tienen intención de votar por el candidato Nabor.
Calcular la probabilidad de que más de 5 de las siguientes 20 personas entrevistadas tengan
intención de votar por Nabor.
20. Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del problema 16.
21. Si 6 de 18 viejas vecindades en una ciudad violan el código de construcción. ¿Cuál es la
probabilidad de que un inspector de vecindades, que selecciona aleatoriamente cuatro de ellos para
construcción, descubra que:
a) ninguna de las viejas vecindades viola el código de construcción
b) una viola el código de construcción
c) dos violan el código de construcción
d) Al menos tres violan el código de construcción
22. En cierta ciudad, se da hecho que los altos impuestos son la causa del 75% de todas las quiebras
personales. Empléese la distribución binomial para calcular la probabilidad de que los gastos
médicos sean la causa de dos de las cuatro próximas quiebras personales registradas en toda la
ciudad en tal ciudad.
23. Una despachador de cierta ruta de microbuses informa que el 75% de las veces los microbuses
de esa ruta llegan a su terminal con un retraso de por lo menos 20 minutos en las horas pico debido
al intenso tráfico vehicular, si se eligen 9 microbuses, hallar la probabilidad de que menos de 4
arriben fuerza de su horario.
24. al probar una cierta clase de droga en 100 estudiantes se encontró que 25 de ellos perdieron el
hábito de copiar en los exámenes. De los siguientes 15 estudiantes que prueban esa droga obtenga la
probabilidad de que:
a) Exactamente 8 pierdan el hábito de copiar e) Más de 5 pierdan el hábito de copiar
b) De 3 a 6 inclusive pierda el hábito de copiar f) Calcule el valor esperado y la varianza
c) De 3 a 6 pierda el hábito de copiar
d) Menos de 4 pierdan el hábito de copiar
Distribución de Poisson
1. En un crucero un oficial de tránsito hacen en promedio 3 infracciones diarias. Hallar la
probabilidad de que un día cualquiera levante, a) exactamente 5 infracciones, b) menos de tres
infracciones, c) por lo menos 2 infracciones.
2. Una cajera novata de un tienda de autoservicio se equivoca en promedio 2 veces en el cobro por
día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, a) tenga 4 o más equivocaciones, b) no
tenga ninguna equivocación?
3. En un estudio de inventario realizado en un tienda de importación se determinó que se pierden
en promedio 5 artículo por día- ¿cuál es la probabilidad de que en un día determinado dichos
artículos, a) se pierdan en una cantidad mayor que 5, b) no se pierda ninguno?
4. La probabilidad de que un apersona muera de cólera o tifoidea por comer sopes en la calle es de
0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las siguientes 2000 personas que
contrajeron estas enfermedades por comer sopes en la calle.
5. La secretaría de Hacienda estima que en promedio una de 1,000 personas comete un fraude al
elaborar su declaración de impuestos. Se seleccionan al azar y examinan 10,000 declaraciones,
obtenga la probabilidad de que a lo más 8 tengan la mala costumbre de defraudar a Hacienda.
6. el número de descomposiciones que sufre una copiadora en un semana, tienen una distribución de
Poisson con λ = 0.3. Calcular la probabilidad de que no tenga ninguna descompostura en dos
semanas consecutivas.
7. Un detector de partículas, detecta en promedio 5 partículas por cada milisegundo. ¿Cuál es la
probabilidad de que se detecten, a) 8 partículas en 3 ms, b) 2 partículas de 0.5 ms?
8. Se estiman que en promedio en uno de cada 4,000 vuelos de una línea tiene un accidente. Si en
el transcurso de un año esta línea 2,000 vuelos, ¿Cuál es la probabilidad de que en el lapso de 3
años le ocurra, a) un accidente a algún avión de esta compañía, b) 5 accidentes de esta línea aérea?
9. Se considera que en promedio 2 personas que deben declarar y pagar impuestos en una aduana,
no lo hacen. Calcular las probabilidades siguientes considerando que lo anterior sucede en un lapso
de tiempo de 3 días, a) 3 personas pasan sin declarar en el transcurso de un día, b) 3 personas pasa
sin declarar en el transcurso de 3 días, c) 3 personas pasan sin declarar en el transcurso de 6 días.
10. En taller tipográfico se producen libros de matemáticas y se sabe que en promedio se producen
libros defectuosos en una razón de 21 por cada 10,000 libros, los defectuosos consisten en hojas en
blanco, mala encuadernación, cortes y rebajas incorrectas etc. Calcular la probabilidad de que en
una edición de un libro con 50,000 ejemplares se tengan 50 defectuosos.
11. Una compañía de seguros se dedica a asegurar cosechas de maíz, frijol y arroz, en promedio al
año se pierde 17 de cada 500 cosechas aseguradas. Si la compañía decide asegurar 1,000 cosechas,
¿Cual es la probabilidad de que se pierdan 25 cosechas?
12. En una fábrica de ropa el gerente de producción, tiene estadísticas que le indican que en
promedio existe un defecto en cierta tela que produce por cada rollo, calcular la probabilidad de
que, a) tenga un defecto un rollo seleccionado al azar, b) no tenga ningún defecto un rollo
seleccionado al azar, c) no se encuentre ningún defecto en dos rollos seleccionado al azar, d) se
encuentren 3 defectos en un total de 4 rollos seleccionado al azar.
13. Una fábrica de chocolates detectó que el 2% de sus envolturas de un chocolate en especial no
lleva pilón. Si se eligen 400 de dichas envoltura:
a) ¿Cuántas envolturas sin pilón se esperaría encontrar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de hallar a lo más 5 envoltura sin pilón?
c) ¿Cuál es la probabilidad de hallar al menos 5 envoltura sin pilón?
14. La probabilidad de que una persona muera de cáncer es de 0.0003. Si se hace la autopsia a
20,000 cadáveres. ¿Cuál es la probabilidad de que, a) nadie haya muerto de Cáncer, b) Por lo menos
dos hayan muerto de Cáncer, c) Más de 6 hayan muerto de Cáncer?
15. Suponga que en promedio una secretaria comete 3 errores de mecanografía por página.
Encuentre la probabilidad de que en una página tenga, a) exactamente 5 errores, b) al menos 4
errores.
16. En una agencia automotriz se sabe que en promedio dos de cada 100 clientes regresan a
reclamar algún defecto visible que tiene el automóvil, esto ocurre en un tiempo de un mes. Sobre
esta base si se vende 100 autos calcular la probabilidad de que, a) más de 3 clientes regresen a
reclamar en el lapso de un mes, b) 4 clientes regresen a reclamar en el lapso de un mes, c) calcular
la media y la varianza.
17. En una compañía aseguradora existen estadísticas que revelan que cada año promedio 1 de cada
1,000 conductores asegurados tienen una colisión fuerte (Pérdida total). Si una compañía en
particular tiene 500 automóviles asegurados, calcular la probabilidad de que colisionen, a) 4
conductores asegurados, b) por lo menos dos conductores asegurados colisionen, c) más de dos
conductores asegurados.
18. En una población de la sierra de Guerrero donde la contaminación es prácticamente nula, la
probabilidad de que una persona contraiga una infección respiratoria es de 0.0004. Calcular la
probabilidad de que a lo más 5 de 10,000 personas que se sometan a un análisis médico haya
contraído la enfermedad.
19. Un fabricante de video grabadoras sabe que el 10% tiene algún defecto, si un tienda de aparato
electrónicos adquiere 50 videos grabadoras, hallar la probabilidad de que, a) Cuatro estén
defectuosas, b) a los más 3 son defectuosas.
20. En un estacionamiento en la central de abastos se tienen dos entradas, en la primera llegan en
promedio 4 vehículo cada hora y por la segunda 5 vehículos cada hora, la llegada de vehículo a
estas entradas son independiente. Calcular la probabilidad de que lleguen más de 7 automóviles en
una hora.
Distribución hipergeométrica
1- Un fabricante de automóviles compra bombas de gasolina a una compañía que las fabrica bajo
normas específicas de calidad. El fabricante recibe un lote de 100 bombas de gasolina para
automóvil, selecciona cinco al azar y las prueba,, si encuentra que a lo más una es defectuosa acepta
el pedido, hallar la probabilidad de que lote sea rechazado si en realidad contiene 7 bombas
defectuosas.
2. Un cargamento de 80 bicicletas de carrera contienen 5 defectuosas, cuatro de ellas son
seleccionadas al azar y embarcadas a un distribuidor, hallar la probabilidad de que este embarque
tenga una defectuosa.
3. Una sociedad de egresados de Física y Matemáticas, está considerando para sus tres encuentros
anuales doce ciudades del país como futura sedes, seis se encuentran en el sureste de México. Para
que no exista favoritismo la selección se hace al azar. Si ninguna de la ciudades puede ser elegida
más de una vez, hallar la probabilidad de que, a) ninguno de los encuentros se celebre en el sureste
de México, b) a lo más dos encuentros se celebren en el sureste de México.
4. En un examen de E.T.S. de matemáticas en la cual se presentan 32 estudiantes se sospecha que
hay tres suplantadores, el jefe de la academia decide tomar seis credenciales al azar para verificar la
autenticidad de estas. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren, a) a lo más dos suplantadores,
b) dos suplantadores?
5. Es común que en los exámenes de probabilidad y Estadística II algunos estudiantes que no se
prepararon adecuadamente traten de utilizar los llamados “acordeones” para recordar todas las
fórmulas, estos estudiantes escriben sus acordeones por lo general en la tablas estadísticas, los
cuales fácilmente detectados por un profesor cuidadoso. Considérese un grupo de 40 alumnos, tres
de los cuales escribieron sus acordeones en las tablas estadísticas, el profesor confiando en la
honestidad de sus estudiantes decide revisar aleatoriamente las tablas de siete de ellos. ¿Cuál es la
probabilidad de que detecte a los infractores?
6. Una industria editorial busca en la sección amarilla a sus futuros proveedores, el encargado de
este trabajo por flojera decide hablar por teléfono sólo a tres para cotización precios de un cierto
material, de un total de seis, dos dan el precio más barato del D.F. ¿Cuál es la probabilidad de que
haya hablado, a) a unos de los proveedores que dan el precio más barato, b) al menos a uno de los
proveedores que den el precio más barato?
7. En un estante de un supermercado un cliente observa que sólo quedan diez focos de una oferta,
selecciona cuatro para llevarlo a su casa, pero del lote de diez tres no funcionan. ¿Cuál es la
probabilidad de que, a) todos los seleccionados funcionen, b) por lo menos dos no funcionen?
8. Se estima que 20 de cada 50 personas residentes en la delegación Iztacalco están en contra del
cobro del nuevo impuesto para la adquisición de vehículo usados. Se entrevista a 15 personas y se
les pide su opinión, ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 7 no estén a favor del nuevo impuesto?
9. Se sabe que de 150 empleados de la Secretaria de Protección y Vialidad de algunas delegaciones:
30 son corruptos y exigen “mordidas” en los trámites de placas, cambio de propietario y licencias
de manejo, La contraloría interna de esa Secretaría decide abrir una investigación para detectar a
algunos malos elementos y aplicarles las sanciones correspondientes para que los restantes se
corrijan. Un inspector selecciona 10 nombres al azar de los 150 empleados. Calcular la probabilidad
de que por lo menos 3 sean malos elementos.
10. Un cargamento de 120 pantalones tiene 5 defectuosos. Si 3 pantalones son seleccionados
aleatoriamente y empacado para un cliente, encuentre la probabilidad de que al cliente le toque uno
defectuoso.
11. Una empresa que manufactura autoestéreo utilizados un sistema de aceptación para ciertos
productos antes de que sean enviados. El método utilizado es de doble etapa. Se preparan cajas de
25 artículos para su embarque y se prueba una muestra de 3 para localizar defectuosos. Si se halla
un defectuoso en la muestra de 3 para localizar defectuosos. Si se halla un defectuoso en la muestra,
se regresa la caja completa para su reposición, si no se halla ninguno defectuoso la carga se envía a
su destino. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga sólo unos defectuosos y sea devuelta para su
reposición?
12. Una empresa empacadora de alimentos y de productos pesqueros, evalúa su proceso de
inspección con respecto a 50 productos, el proceso consiste en seleccionar una muestra de 5 y dar
por buena una remesa, si se halla que no más de 2 son defectuosos. ¿Qué proporción de envíos con
20% de defectuosos podrá ser aceptada?
13. Un falluquero para evitar el pago de impuesto sobre la Renta agrega 6 televisores nuevos en un
lote que contienen 9 televisores descompuestos y usados. Si el policía aduanal selecciona 3 de estos
televisores para su inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que el falluquero sea detectado?
14. Los falluqueros de los tianguis por lo general se abastecen de artículos con bajo control de
calidad, un falluquero tienen 12 linternas de manos para su venta en un tianguis, 9 están buenas y
las restantes presentan algún defecto, si una persona que visita el tianguis selecciona 4 linternas,
¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellas estén defectuosas?
15. A raíz de los temblores de 1985 en el D.F. se establecieron nuevos códigos de construcción y se
obligó a los constructores a respetarlos. Si 8 de 24 nuevos edificios violan el código de
construcción, ¿cuál es la probabilidad de que un inspector que selecciona al azar 5 de ellos descubra
que, a) ninguno viola el código, b) tres violan el código, c) al menos dos violan el código de
construcción.
16. De los 20 proyectos presentados por un grupo de investigadores de una Universidad, 12 son del
área de informática y los restantes del área tecnológica. Si tres de estos proyectos son cancelados
por recorte de presupuesto, esta cancelación se realizó al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que, a)
dos de los proyectos cancelados sean del área tecnológica, b) a lo más uno sea del área tecnológica?
17. En una encuesta a 80 personas con edad para votar, realizada por el equipo de campaña de un
candidato a alcalde para un municipio en el estado de México, reveló que el 40% tiene intención de
votar por él. Si 4 de estas personas se seleccionan al azar y se les pide su opinión. ¿Cuál es la
probabilidad de que a) más de 1 tenga intención de votar por él? B) más de 1 pero menos de 4
tengan intención de votar por él?
18. Las autoridades del D.F y el Estado de México están en pláticas que la colonia San Felipe de
Jesús pase a jurisdicción del Estado de México. Si se encuesta a 2,000 residentes de una sección de
esta colonia y la mitad de ellos se oponen a la anexión. ¿Cuál es la Probabilidad de que en una
muestra aleatoria de 10 personas, por lo menos 2 estén a favor del proyecto de anexión?
19. En la clase de Introducción a la Ingeniería Industrial el maestro acostumbra a pasar a exponer a
los alumnos en equipos de tres seleccionados a la hora de clase, 9 alumnos aún no han expuesto uno
de ellos no preparó el tema, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiantes que no preparó la clase
sea escogido, suponiendo una selección aleatoria entre los 9?
20. ¿Cuál es la probabilidad de que un portero de un cine se rehusé a dejar entrar a 2 menores de
edad, ya que se exhibe una película sólo para adultos, su al revisar sus identificaciones de 4
personas entre un grupo de 8, tres de los cuales no son mayores de edad?
21. En una caja hay 5 envases de un litro de leche de los cuales 4 de ellos contienen leche fresca. Si
se seleccionan al azar 2 envases, ¿Cual es la probabilidad de obtener exactamente a) 2 litros de
leche fresca, b) un litro de leche fresca?
22. Un poli, antinarcóticos inspecciona una muestra aleatoria de 3 autos de cada lote de 24 que
están listos para ser embarcados. Si un lote contiene 6 autos en los que se esconde droga. ¿Cuáles
son la probabilidades de que la muestra del inspector contenga a ninguna de los autos con droga, b)
solamente uno de los autos con droga, c) al menos dos autos con droga?
23. Un cargamento de 120 perros contiene cinco con rabia, si tres de ellos son seleccionados
aleatoriamente y embarcados para un cliente, encuéntrese la probabilidad de que al cliente le toque
un perro con rabia, utilizando, a) la fórmula de la distribución hipergeométrica, b) la fórmula de la
distribución binomial como una aproximación.
24. Se regresan las máquinas fotocopiadoras al proveedor para que la limpie y las devuelva, de
acuerdo con el convenio de arrendamiento. Si no se llevan a cabo las reparaciones principales como
resultado, algunos clientes reciben máquinas que funcionan mal. Entre 8 fotocopiadoras usadas que
se suministraron, 3 funcionan mal. Un cliente desea rentar cuatro máquinas rápidamente y se le
mandan sin verificarlas. Calcular la probabilidad que el cliente reciba, a) Ninguna de las máquinas
que trabajen mal, b) por lo menos una de las máquinas que trabajan mal, c) Tres máquinas que
trabajan mal.
Distribución geométrica
1. La probabilidad de que una persona se contagia al saludar de un beso a sus
compañeros de un grupo es de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que se contagia
al saludar el tercero?
2. El 70% de los aspirantes a un trabajo ha estudiado en el CONALEP. A todos ellos se le entrevista
y se les hace una prueba de conocimiento, uno tras otro. Si los aspirantes se seleccionan al azar,
determine la probabilidad de que encuentre al primer aspirante proveniente del CONALEP en la
quinta entrevista.
3. Un buscador de tesoros excavará una serie de hoyos en un área determinada, con una técnica sólo
conocida por él, para encontrar un tesoro, la probabilidad de éxito es de 0.2. Hallar la probabilidad
de que le tesoro, a) sea encontrado al excavar el tercer hoyo, b) no sea encontrado si sólo tiene
ánimo de excavar 10 hoyos.
4- Los expedientes de una compañía de helados indica que la probabilidad de que uno de sus
congeladores requiera reparación en el plazo de un año es de 0.20. Si se realiza una revisión de
todos sus refrigerados. ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto que se revise sea el primer
congelador que necesite ser reparado?
5. Un policía experto en tiro de pistola, se jacta que el 95% de las veces acierta en el blanco. Hallar
la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto tiro.
6. Muchos alumnos a la hora de inscribirse a un nuevo se dejan llevar por lo comentarios referentes
a los profesores del departamento de matemáticas, la probabilidad de que un estudiante lo crea es
del 80%. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer estudiante que oye el comentario es el primero
que los cree?
7. Se considera que muchas veces al comprar en el tianguis no se da el pero completo, la
probabilidad de que una báscula esalterada y no de él peso completo es del 5 %. Un inspector de
la Secretaria de Comercio se presenta a revisar la báscula de un tianguis x. Hallar la probabilidad de
que la sexta báscula revisada sea la primera en estar alterada.
8. Un estudiante que no sea ha preparado para el examen final de Filosofía, debe contestar 20
reactivos, toda pregunta tiene 5 posibles respuestas, una es la correcta. Si decide contestar en orden
calcula la probabilidad de que obtenga su primera respuesta correcta, a) en la pregunta cinco, b) en
la décima pregunta.
9. Un inspector de la Secretaria de Consumidor decide visitar establecimiento para verificar una
denuncia de que no se respetan los precios oficiales, para esto decide organizar las visitas en un
orden determinado. Como estos establecimientos distribuyen diversos productos la probabilidad de
que le inspector detecte irregularidades es del 8%, hallar la probabilidad de que por lo menos
detecte la primera irregularidad a partir de la tercera visita.
10. Se estima que el 70% de los aficionados al “Basket Ball” en la República Mexinaca apoya a los
Lakers de Los Ángeles. Se entrevista a una grupo de aficionados al azar, ¿Cuál es la probabilidad de
que se tenga que entrevistar a) a cuatro personas, para encontrar al primero aficionado que apoya a
los Lakers, b) a al menos cuatro para encontrar al primer aficionado que apoya a los Lakers?
11. El 25% de los estudiantes que aspiran a hacer el servicio social en la
academia de matemáticas de cierta escuela son experto en programación
computacional. El jefe de las academias de matemáticas entrevista uno tras
otro a los aspirantes, los cuales son seleccionados aleatoriamente. Encuentre la
probabilidad de que el quinto aspirante entrevistado sea el primero con
conocimientos de programación.
12. Un inspector de la SECOFI, ha encontrado que 6 de 10 tiendas que visita presentan
irregularidades. Si el inspector visita una serie de tiendas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que, a)
la primera tienda con irregularidades que visite sea la segunda, b) la primera tienda con
irregularidades fuera encontrada después de revisar la cuarta?
13. Los expediente de los pacientes de un dentista, indica que la probabilidad de que uno de ellos
regresa a consulta en el plazo de un año es de 20%. Hallar la probabilidad de que el sexto paciente
examinado sea el primero que regresó en el mismo año.
14. En un concurso de tiro de participante acierta el 90% de las veces, hallar la probabilidad de que
falle por primera vez en el décimo disparo.
15. En una fábrica de tornillos se tiene calculado la probabilidad máxima de desviación del
diámetro de una serie de tornillos en particular en 5% Hallar la probabilidad de que el cuarto
tornillo sometido a prueba sea el primero en mostrar esa desviación.
16. Un pasante de la carrera de Ingeniería Industrial pretende titularse por examen general de
conocimientos. El número de veces que se aplica es un conjunto de eventos independientes con una
probabilidad de aprobar del 40%. Hallar la probabilidad de que no se necesite más de 3 intentos
para aprobar el examen.
17. De acuerdo a una encuesta realizada por una compañía, se estima que el 70% de una población
con derecho a voto tienen preferencia por el candidato A. Si se entrevista a un grupo de personas al
azar, hallar la probabilidad de que a la tercer persona que se encueste sea el primer votante que
prefiere al candidato A.
18. Un estudiante que es afecto a copiar en los exámenes, tiene una probabilidad de que lo
sorprendan del 25%. Hallar la probabilidad de que lo atrapen por primera vez en su tercer examen.
19. La secretaría de Comercio recibió una denuncia de que en un mercado en particular la básculas
están alteradas, si la probabilidad de que una de estas báscula este alterada es del 3%, hallar la
probabilidad de que un inspector enviado para este efecto detecte que la sexta de la báscula
examinada sea la primera en mostrar alteraciones.
20. En nuestro medio es muy común soltar un borrego (rumor), la probabilidad de que una persona
los crea es de 0.6. Hallar la probabilidad de que la tercera persona que lo escucha sea la primera que
lo crea.
21. Un policía experto recibe un soborno el 95% de las veces que cree observar una infracción a
cierto reglamento. ¿Cuál es la probabilidad de que no reciba soborno por primera vez en su décimo
quinto intento?
22. Sesenta por ciento de la población de consumidores prefieres refrescos con gas. Se entrevista a
un grupo de ellos, ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar exactamente a cinco
personas antes de encontrar a una que prefiera refresco con gas? ¿Y qué entrevistar por lo menos a
cinco personas?
23. Si la tercera parte de las persona que llegan tarde a cierto evento son negros, calcular la
probabilidad de que, a) La primera persona que llega tarde a ese evento sea negro, b) Si asisten 10
personas a la reunión, la segunda persona que llega tarde a ese evento es negro.
Variables aleatorias continuas
1. Sea X una variable aleatoria continua, con función de densidad definida por
=
lado otroen 0
3 1 si
4
1
)( xx
xf
a) Compruebe que es F.D.P.
b) Encuentre F (x)
c) P (1.5 < x < 2)
2. Sea X una variable aleatoria continua, con función de densidad definida por
=
lado otroen 0
2 1 si
3
2
)( xx
xf
Calcule V (x).
3. Sea f (x) una variable aleatoria continua, cuya función de densidad está definida por
=
lado otroen 0
5 1 si
12
1
)( xx
xf
a) Encuentre F(x)
b) P (2 < x < 4).
4. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad está definida por
=
lado otroen 0
6 1 si
5
1
)( xx
xf
a) Encuentre F (x)
b) P (1 < x < 5)
c) P (3 < x < 5).
5. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad está definida por
=
lado otroen 0
1 0 si 4
)(
3
xx
xf
a) encuentre F (x)
b) P (0.5 < x < 0.9).
6. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función está dada por
<+
=
lado otroen 0
3 0 si 3/5
0 3- si 3/5
)( xx
xx
xf
Compruebe que es una función de densidad.
7. Sea X una variable aleatoria continua, cuya función está dada por
<+
=
lado otroen 0
5 4 si 3/5
4 2 si 3/5
)( xx
xx
xf
Compruebe que es una función de densidad.
8. Sea X una variable aleatoria continua, con función de densidad
=
lado otroen 0
1 si 77.14
)(
2
xe
xf
x
a) Compruebe que es F.D.P.
b) P (1.1 < x < 1.3)
9. Sea X una variable aleatoria continua, con función de densidad
=
lado otroen 0
0 si 5
)(
5
xe
xf
x
a) Compruebe que es F.D.P.
b) Encuentre P (x < 0.3)
c) Encuentre P (x > 0.6)
d) Encuentre P (0.2 < x < 0.4).
10. Sea X una variable aleatoria continua, con función
=
lado otroen 0
2.4 si
)(
3
xke
xf
x
Encuentre el valor de k, para el cual f (x) es F.D.P.
11. Sea X una variable aleatoria continua, con función
<
=
lado otroen 0
2 0 si 05.0
0 2 -si .050
)( xkx
x
xf
a) Para qué valores de k, f (x) es una F.D.P.
b) Encuentre F (x)
c) Encuentre V (x)
12. Sea X una variable aleatoria continua, con función
( )
<
=
lado otroen 0
5 3 si 5
3 0 si
)(
2
xxk
xkx
xf
a) Encuentre el valor de k, para el cual f (x) es F.D.P.
b) Encuentre F (x).
13. Sea X una variable aleatoria continua, con función
( )
=
lado otroen 0
2 1- si 4
)( xxk
xf
a) Encuentre el valor de k, para el cual f (x) es F.D.P.
b) Encuentre V (x).
14. Sea X una variable aleatoria continua, con función de distribución acumulada
<
=
0 si 1
0 si 0
)(
6
xe
x
xf
x
a) Encuentre f (x)
b) Encuentre P (1 < x < 1.5).
15. Sea X una variable aleatoria continua de distribución acumulada
<
=
0 si 0
0 si 1
)(
8
x
xe
xF
x
a) Encuentre V (x), b) Encuentre f (x)
16. Sea una variable aleatoria continua, con función de distribución acumulada
>
+
<+
<
=
2 si 1
4 3 si 74
2
3 2 si 22
2
2 si 0
)(
2
2
x
xx
x
xx
x
x
xF
a) Encuentre f (x)
b) Encuentre P (2.4 < x < 3.5)
17. Sea X una variable aleatoria continua, con función de densidad
<
=
lado otroen 0
6 5 si 6
5 4 si 4
)( xx
xx
xf
a) Encuentre F (x), b) Encuentre V (x)
Distribución uniforme
1. El tiempo de vida de una locomotora de ferrocarril, se comporta según un modelo uniforme
continuo en el intervalo [5, 13] años. Hallar la Probabilidad de que se recuperen los gastos de
inversión, si por lo menos funciona 8 años.
2. Sea X una variable aleatoria continua, distribuida uniformemente en el intervalo cerrado [0, t].
Obtenga el valor de t, si se sabe que P (X < 2) = 0.4
3. Un grupo de investigadores interesados en estudiar el Río Usumacinta, encontró que de
profundidad varía de un día a otro uniformemente entre 12 y 15 metros.
a) Calcule la probabilidad de que en la siguiente medición se obtenga menos de 13 metros.
b) ¿Cuál es la profundidad promedio del Río?
c) Obtenga la desviación estándar (σ) para esta distribución
4. Un satélite que ha cumplido su ciclo en órbita alrededor de la Tierra está a punto de caer en ella,
los especialistas calcularon su caída en algún lugar entre los puntos P y Q, si su comportamiento
es uniforme calcular la probabilidad de que, a) Caiga más cerca de P que de Q, b) la distancia
con respecto a P sea dos veces más larga con respecto a Q.
5. Sea X una variable aleatoria con distribución
=
=
lado otroen 0
4,3,2,1 si
6
1
)( x
xf
a) Determine F(x), b) Calcule P (2 < x < 4) c) Calcule P(x > 5) d) Haga las gráficas de f (x) y F
(x). e) Encuentre la media µ y la varianza σ2.
6. En un moderno negocio de hamburguesas se despacha el refresco en vasos, con una variabilidad
uniforme entre 130 y 160 mililitros (ml).
a) Obtener un vaso que contenga a los más 140 ml.
b) ¿Cuántos ml. contiene en promedio un vaso?
c) Obtenga la varianza para esta distribución.
7. Un meteorólogo hace una medición del tiempo al azar, suponiendo que está distribuida
uniformemente en el intervalo [1, 4]. A) Calcule la probabilidad de que la medición este entre
5/2 y 3. b) Si se realizan 6 mediciones independientes, hallar la probabilidad de que
exactamente 3 de ellas estén entre 2 y 3.
8. Un punto se elige en un segmento de línea [1, 3]. Suponiendo que X es una variable aleatoria
continua distribuida uniformemente en este intervalo, encontrar f (x) y F (x).
9. Suponga que X es una variable aleatoria distribuida uniformemente en [-a, a] en donde a >
0, determinar a en los casos que sea posible:
a) P(x > 2) = 1/3, b) P(x > 2) = ½, c) P(x < ½) = 0.8, d) P(|x| < 2) = P(|x| > 2)
10. Una resistencia se comporta de acuerdo a una distribución continua entre 900 y 1,100 Ohms,
encuentre la probabilidad de que la resistencia, a) aguante a los más 950 ohms antes de
quemarse, b) este entre 950 y 1,050 ohms.
11. Sea X una variable aleatoria continua, referida al error cometido al determinar la densidad de
una substancia. Supóngase que X está distribuida uniformemente en el intervalo [-0.02, 0.02].
¿Cuál es la probabilidad de que el error cometido este, a) entre 0.010 y 0.014, b) entre –0.011 y
0.011?
12. El tiempo que tarda un autobús en ir de un destino A a un destino B y viceversa, está distribuido
uniformemente en un intervalo de 70 a 90 min. Hallar la probabilidad de que la duración del
viaje sea mayor a 85 minutos, si se sabe que el viaje dura más de 55 minutos.
13. Una variable aleatoria X está distribuida uniformemente, con media igual a uno y varianza tres.
Encuentre P ( -1 < x < 3).
14. Supóngase que la concentración de contaminación en la Ciudad de México (D.F.), se encuentra
distribuida uniformemente en el intervalo [40, 250] I.M.E.C.A. (Índice Metropolitano de la
Contaminación del Aire). Si se considera como tóxica una concentración de 150 I.M.E.C.A.s o
más. Hallar la probabilidad de que al hacerse una medición la concentración de contaminación
sea tóxica.
15. Sea X una variable aleatoria continua, con distribución uniforme en el intervalo cerrado [a, b]
Encuentre P (µ - σ < x < µ + σ).
16. Sea X una variable aleatoria continua, con distribución uniforme en el intervalo [a, b], a < b. Si
la media es igual a uno y la varianza es 12, encuentre los valores de a y b.
17. Demuestre que
( )
.
12
2
2
ab
=
σ
Distribución normal
1. En una carrera automovilística, las velocidades registradas tienen una media de 90 km/h. Con
una desviación estándar de 8 km/h. Si se supone normalidad, encuentre los porcentajes de
velocidad, a) mayores de 100 km/h, b) menores de 80 km/h, c) Que se encuentran entre 85 y 95
km/h.
2. El tiempo necesario para llenar un frasco de un producto es una variable aleatoria que sigue una
distribución normal, con una media de 10 minutos y una desviación estándar de un minuto.
Encuentre el tiempo de llenado del frasco de manera tal que la probabilidad de exceder esta sea
de 0.03.
3. Una fábrica de tornillos produce un tipo de tornillo con un diámetro promedio de 6.5 mm y una
desviación estándar de 1.5 mm, ¿cuál es la probabilidad de encontrar tornillos con diámetro a)
mayor que 7mm, y b) entre 6 y 7 mm? Suponga normalidad.
4. En invierno en la Sierra de Chihuahua la temperatura media diaria fue de 5ºC con una
desviación estándar de 2ºC. Si la distribución de las temperaturas diarias es aproximadamente
normal. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado la temperatura hubiera estado, a)
entre 3 y 6º C? b) a lo más de 4ºC ? c) Por lo menos de 5.5ºC?
5. Una empresa fabrica baleros con un diámetro de 2.006 cm y una desviación estándar de 0.02
cm. Estadística realizadas demostraron que todos los baleros fabricados con un diámetro de
1.95 cm hasta 2.03, son aceptados por los distribuidores fuera de estos se regresan a la fabrica.
¿Cuántos baleros de un grupo de 500 se espera que sean rechazados si el diámetro especificado
sigue una distribución normal?
6. En un aserradero se producen polines cuyo largo debe ser 2.12m en promedio, sin embargo si
estos polines se encuentran entre 2m y 2.24m se observa que se rechazan aproximadamente el
2.5% por exceder el largo superior y un 2.5% por no llegar al largo inferior. Suponiendo que las
longitudes están distribuidas normalmente, encuentre la desviación estándar de esta
distribución.
7. La vida útil de un refrigerador de una marca de prestigio es de 5 años en promedio con una
desviación estándar de 1.5 años. La garantía de estos aparatos es por un año, hallar la
probabilidad de que si se adquiere uno de estos refrigeradores se tenga que reclamar la
substitución.
8. El tiempo promedio que tarda un ciclista en recorrer una distancia del punto A al punto B es de
40 minutos, con una varianza de 16 minutos. Hallar la probabilidad de que, a) tarde al menos 45
minutos, b) tarde de 36 a 45 minutos. Suponga normalidad.
9. La vida útil de la pilar alcalinas de la marca E, tienen una media de 8.5 h con un desviación
estándar de 0.5 h, las pilas de la marca D (Duracel), tienen un media de 8.2 h y una desviación
estándar de 0.4 h, en ambas marcas la vida útil tiene una distribución normal. Si se elige una
pila de cada marca, ¿cuál es la probabilidad de que la marca E dure más de 8.25 h y la marca D
menos de 8.4 h?
10. Las pruebas que se han realizado en cierto componente electrónico han mostrado que tienen una
vida media de 20 h con una desviación estándar de 2 h, su distribución es normal. Hallar la
probabilidad de que si se eligiera una muestra de 5 de estos componentes a lo más dos fallen
antes de 16 h.
11. El tiempo que tarda un camión materialista entre la bodega de carga y la obra de construcción,
es aproximadamente normal con una media de 25 minutos y una desviación estándar de 4
minutos. A qué hora debe salir el camión de la bodega, para tener una probabilidad del 95% de
estar en la obra de construcción a la 10 de la mañana.
12. En un laboratorio médico se envasan ciertos medicamentos en sobre cuya distribución de pesos
sigue la distribución normal con una desviación estándar de 1.4 gramos. Si el 1% de los sobres
pesan más de 6 gramos. ¿Cuál es el valor de la media?
13. La fuente de sodas “EL CEREZO ROSA” ha instalado una máquina automática, regulable de
tal manera que la cantidad media de milk sea la que se desee, en cualquier caso esta cantidad
sigue la distribución normal con una desviación estándar de 5.2 ml.
a) si el nivel medio se ajusta a 303.9 ml. ¿Qué porcentaje de vasos de milk contendrá menos de
209 ml?
b) A qué nivel medio debe ajustarse la máquina para que sólo el 2.28% de los vasos contenga a los
más 205 ml?
14. El promedio de vida de una licuadora de la marca S (Sony) es de 4 años, con una desviación
estándar de un año, la fábrica repone sin cargo alguno al cliente todas las licuadoras que dejen
de funcionar dentro del tiempo de garantía. Si sólo se desea reponer el 2% de las licuadoras que
funcionen mal. ¿Qué tiempo de garantía se debe ofrecer? Suponga normalidad.
15. El peso que soporta una varilla especial para construcción, sigue la distribución normal, si en
promedio aguanta 25 toneladas antes de romperse con una varianza de 4 toneladas, a) ¿A qué
proporción de estas varillas aguantan un peso mayor de 27 Toneladas? b) Si las especificaciones
dadas por el fabricante requieren que todas las varillas aguanten un peso entre 22 y 28
toneladas. ¿Qué % de varillas se esperan rechazar? c) de acuerdo a lo especificado en el inciso
b, si se tiene un lote de 4,000 varillas, ¿cuántas se rechazarían?
16. El diámetro interior para un balero delantero de un automóvil de una marca W, está distribuido
normalmente con una medio de 5 cm y una varianza de 0.04 cm, ¿Cuál es la probabilidad de
que un balero tenga un diámetro interior, a) mayor a 5.04 cm? B) entre 4.98 y 5.02 cm?
17. El promedio de tiempo en que un coche de una marca japonesa empieza a dar problemas es 3.5
años con una desviación estándar de 0.5 años, un coche de fabricación alemana tiene una media
de 4 años con una desviación estándar de 0.4 años. En ambos casos el tiempo en que empiezan
a dar problemas, sigue una distribución normal. Si se elige al azar un automóvil de cada marca,
¿Cuál es la probabilidad de que la marca japonesa dure más de 3 años y la marca alemana a lo
más 4.2 años?
18. Se sabe que el tiempo que tarda un jefe de personal en entrevistar a una aspirante para una
vacante en su compañía sigue una distribución normal. Si el 10% de los entrevistados tardan
más de 60 minutos y el 4% duran menos de 35 minutos, hallar la media y la varianza.
19. La resistencia de los alambres que se usan en una computadora de una marca especial, está
distribuida normalmente. Si el 8% de estos alambres soportan una resistencia de más de 100
Ohms y el 25% soportan menos de 95 Ohms, encuentre la media y la desviación estándar.
20. En un aserradero se cortan árboles en trozos de 4m en promedio, con una desviación estándar
de 0.2m, estas longitudes están distribuidas normalmente.
a) Si se elige un lote de 500 trozos ¿Cuál será el número probable de estos que superen la longitud
de 4.1m?
b) Si se eligen 8 trozos ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 tengan una longitud mayor
de 4.1m?
21. Una compañía produce baleros con diámetros que tienen una distribución normal con una
media de 3.0005 mm, y una desviación estándar de 0.0010 mm. Las especificaciones requieren
que los diámetros estén en el intervalo 3.000 ± 0.0020 mm. Se rechazan los baleros que quedan
fuera del intervalo debiéndose volver a maquinar. ¿Qué fracción de la producción será
rechazado?
22. Para seleccionar a sus empleados, un comerciante usa una prueba que tiene una puntuación
promedioµ, una desviación estándar σ = 10. Suponga que la distribución de las puntuaciones es
normal; y que una puntuación mínima de 65 le permite al solicitante seguir siendo considerado
¿Cuál debe ser el valor deµ, si se quiere que aproximadamente el 2.5% de los solicitantes sigan
siendo considerados después de esta prueba?
23. Los diámetros promedio del grueso del diámetros de una gran número de tornillos se
distribuyen normalmente con un promedio igual a 2.4 cm y desviación estándar igual a 0.5 cm.
a) ¿Qué fracción de tornillos tendrá un diámetro promedio mayor que 3.0 cm?
b) Si los tornillos que tienen un promedio de diámetro igual o menor que 1.9 cm son desechados
¿Qué porcentaje se elimina?
c) Se supone que se selecciona al azar tres tornillos de entre todos ¿cuál es la probabilidad de que
los tres tengan diámetro promedio mayor que 3 cm?
24. Un estudio reporta que el 10% de los obreros de ciertos departamentos pesan 112 lb o menos, y
que 10% pesan 140lb o más. Suponga que esas frecuencias relativas pueden tomarse como
probabilidades y que la distribución de los pesos es una distribución normal. Encuentre la media
y la varianza de dicha distribución.
Aproximación de la distribución Normal a la Binomial
1. Una encuesta realizada por la dirección del agua potable entre los residentes de una ciudad
indica que el 20% desea que se le instale un medidor de agua por considerar que la cuota fija de
pago es superior al costo real de consumo. Si 100 residente solicitan su medidor de agua en
dicha ciudad. Hallar la probabilidad de que entre 17 y 19 inclusive, le instalen su medidor de
agua.
2. La probabilidad de que un foco falle antes de 1,200 horas es del 30%. Encuentre la probabilidad
de que un lote de 250 de estos focos, 60 fallen antes de 1,200 horas de uso continuo.
3. Un enfermo de leucemia, debido al avance en la medicina tiene una probabilidad del 45% de
recuperarse. Si de 90 personas que han contraído la enfermedad, encuentre la probabilidad de
que al menos 25 sobrevivan.
4. Los altos índices de contaminación ambiental en el D.F., ha ocasionado la fabricación para
aparatos reducirla, la probabilidad de realizar la venta de uno de estos equipos en la primera
entrevista es del 60%, si un vendedor entrevista a 80 posibles clientes. ¿Cuál es la probabilidad
de al menos 40 clientes efectúen una compra?
5. Un ingeniero Industrial cree que el 20% de la pérdida de trabajo horas hombre en la planta en
que labora, se debe a que los empleados no cumplen adecuadamente con su trabajo en el horario
asignado. Calcula la probabilidad de que 80 trabajadores investigados de esta fábrica de 14 a 20
incurran en esta irregularidad.
6. Una prueba de C.O.E. tiene 50 preguntas de opción múltiple con tres respuestas posibles. ¿Cuál
es la probabilidad de que un estudiante que no sabe nada conteste correctamente de 14 a 25
preguntas?
7. El gerente de una fábrica sabe que el 2% de los artículos que fabrica son defectuosos. Para
hacer una prueba de control de calidad se seleccionan 1,000 artículos aleatoriamente, ¿Cuál es
la probabilidad de que el número de artículos defectuosos, a) Sea mayor o igual a 14, b) Sea
menor de 10?
8. Un 30% de los estudiantes del I.P.N. son de provincia. Si se eligen aleatoriamente 200
estudiantes en una facultad determinada. ¿Cuál es la probabilidad de que a los más del 25% de
estos estudiantes sean de provincia?
9. Una compañía farmacéutica fabrica una medicina para bajar la presión arterial alta, afirma que
es efectiva en el 90% de los casos en los pacientes de este mal. El Seguro Social para verificar
esta afirmación utiliza una muestra de 150 individuos con presión alta y les da el medicamento,
si es efectivo en 128 enfermos o más se acepta. ¿Cuál es la probabilidad de, a) aceptarlo si la
efectividad es realmente 80%?, b) rechazarlo cuando la efectividad es menor o igual al 80%?
10. En una gasolinera en la que se aceptan tarjetas de crédito, el 30% de los usuarios la utilizan.
¿Cuál es la Probabilidad de que 300 clientes al menos 195 paguen en efectivo?
11. Una prueba de opción múltiple contiene 30 preguntas, cada una de ellas tiene 4 posibles
respuestas. Si un estudiante que no estudió contesta en forma aleatoria cada pregunta. ¿Cuál es
la probabilidad de que más de la mitad estén correctas?
12. Una fábrica produce bombas para desaguar lavadoras, debido a su equipo ya obsoleto, se sabe
que el 15% de su producción tiene alguna falla, se seleccionan 50 de estos aparatos
aleatoriamente para una prueba de control de calidad- ¿Cuál es la probabilidad de que por lo
menos 8 estén defectuosos?
13. En una encuesta realizada por una empresa, encontró que el 60% de los entrevistados utilizan
un automóvil de la marca W. Si se pregunta aleatoriamente a 100 personas con automóvil, que
marca tienen de automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 70 de este grupo tenga un
automóvil de la marca W?
14. Se sabe que el 15% de las lámparas que adquiere un municipio están defectuosas. En una
muestra aleatoria de 200 lámparas, hallar la probabilidad de que a los más 25 o al menos 40
estén defectuosas.
Distribución Exponencial
1. En el conmutador de una compañía se reciben llamadas telefónicas a una razón de 3 llamadas
por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran al menos 20 minutos antes de la siguiente
llamada?
2. Las fallas de un equipo de radar siguen la distribución exponencial, el promedio de fallas es de
una por cada hora 300 horas. Si se tiene una probabilidad del 96% de que no exista una avería
en un intervalo de tiempo mayor o igual a t, calcule el tiempo para esta probabilidad.
3. Una fábrica de llantas para automóviles garantiza que duran dos años en promedio, si el
desgaste de estas llantas sigue la distribución exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que una
llanta dure menos de 4 años?
4. En los bancos Mexicanos a instituido el sistema “unicola” para atender a los clientes, el
tiempo de espera sigue una distribución exponencial con una medio de 10 minutos. Determinar
la probabilidad de que un cliente sea atendido en menos de 9 minutos en al menos 6 de los 8
días siguientes.
5. Según estadísticas que se han llevado a cabo un molino de trigo se descompone en promedio
una vez cada dos años ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente descompostura sea dentro de
6 meses?
6. De acuerdo a la escala de Richter la magnitud de un terremoto en la ciudad de México, se
supone que sigue la distribución exponencial con un promedio de 1 cada 10 años. ¿Cuál es la
probabilidad de que un terremoto supere el 7.5 de esta escala, la magnitud del gran terremoto de
1985 ocurrido en la ciudad?
7. El tiempo de espera en una cola de banco con ideas modernas, para ser atendido sigue una
distribución exponencial y en promedio es de un cliente cada 10 minutos. Calcule la
probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a 9 minutos.
8. En una clínica de la Cruz Roja, el tiempo entre llamadas de emergencia que se reciben en las
primeras horas de un día cualquiera sigue una distribución exponencial con un tiempo medio de
una hora entre llamadas. Calcule la probabilidad de que entre dos llamadas transcurran menos
de tres horas.
9. Una terminal de computadoras está conectada a una de si un estudiante la utiliza, el tiempo de
respuesta de la computadora central sigue una distribución exponencial con un tiempo
promedio de 4 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran a los más 6 segundos para
la llegada de la respuesta?
10. Un ciudadano contrató un servicio de alarma con una compañía del ramo. Si la alarma se activa,
el tiempo de respuesta de la compañía sigue una distribución exponencial con una respuesta de
20 minutos en promedio. Determine la probabilidad de que la respuesta de la compañía tarde al
menos 17 minutos.
11. El tiempo que tarda un empleado en tomar un pedido de un cliente en un restaurante que da
servicio en su coche, sigue una distribución exponencial con una respuesta de atención al
cliente de 4 minutos en promedio. ¿Qué probabilidad hay de que de los 4 clientes siguientes al
menos dos deban esperar menos de 4 minutos?
12. La llegada de los trenes del metro (Indios Verdes – Universidad) a la estación Basílica sigue una
distribución uniforme en el intervalo [0, 5] y la llegada de los trenes (Martín Carrera Rosario)
a esta misma estación siguen una distribución exponencial con parámetro λ. Encuentre el valor
del parámetro λ si var(I-V) = var(M – R)
13. Una compañía que produce tarjetas de video para P.C. sabe que el tiempo de vida de estas, sigue
una distribución exponencial con una vida medio de 10 años. Si el fabricante no quiere
reemplazar más del 8% de su producto, determine este tiempo de garantía al mes más cercano.
14. En la estación del metro Pantitlan en la Ciudad de México, el tiempo de llegada de los trenes
sigue una distribución exponencial con 10 minutos en promedio por llegada. Determinar la
probabilidad de que un usuario tenga que esperar más de 6 minutos la llegada de un tren.
15. Una compañía que fabrica focos para un fin determinado sabe que el tiempo de vida de estos
sigue una distribución exponencial con una vida media de 7 años, la compañía quiere
determinar un tiempo de garantía de tal manera que no tenga que reemplazar más del 10% de
los focos. Determinar este tiempo de garantía, aproxime al mes más cercano.
Resumen
Distribución uniforme de Probabilidad
Una variable aleatoria X está distribuida uniformemente en a < x < b si su función de
densidad es
=
forma otra de 0
)/(1
)( bxaab
xf
y la distribución se llama distribución uniforme.
La función de distribución está dada por
<
<
==
bx
bxaabax
ax
xXPxF
1
)/()(
0
)()(
La media y la varianza son respectivamente
( ) ( )
2
2
12
1
2
1abba
=+=
σµ
Distribución Normal de Probabilidad y Aproximación a la Binomial
Uno de los más importantes ejemplos de una distribución de probabilidad continua es la
distribución normal, algunas veces denominada la distribución gaussiana.
La función de densidad para la distribución está dada por
( )
<<=
xexf
x
-
2
1
)(
2
2
2/
σµ
πσ
donde µ y σ son la media y la desviación típica respectivamente.
PROPIEDADES:
1.
1)(
=
dxxf
2. f (x) > 0 x
3.
0)(y 0)(
==
−∞
xflimxflim
xx
4. f [(x +µ)] = f [- (x - µ)]. La densidad es simétrica alrededor de µ.
5. El valor máximo de f ocurre en x = µ
6. Los puntos de inflexión de f están en x = µ ± σ
La función de distribución correspondientes está dada por
( )
==
xx
dvexXPxF
2
2
2/
2
1
)()(
σµ
πσ
En este caso decimos que la variable aleatoria X está normalmente distribuida con media µ y
varianza σ2.
La distribución normal estándar correspondiente es Φ, donde
( )
=Φ
zu
duez
2/
2
2
1
π
Si hacemos que Z sea la variable normalizada correspondiente a X, es decir si hacemos
σ
µ
=
X
Z
entonces la media o el valor esperado de Z es 0 y la varianza es 1.
Si n es muy grande y ni p y ni q están muy próximas a cero, la distribución binomial puede
aproximarse estrechamente a la distribución normal con variable tipificada dada por
npq
npX
Z
=
Aquí X es la variable aleatoria que da el número de éxitos en n pruebas de Bernoulli y p es la
probabilidad de éxitos. La aproximación es tanto mejor conforme aumenta n, y en el límite es total.
3.8 Teorema de Chebyshev
Distribución Exponencial
La distribución exponencial tiene función de densidad
=
caso otroen 0
0
)( xe
xf
x
λ
λ
donde λ es una constante positiva real.
El valor esperado y la varianza de la distribución exponencial son
2
/1 /1)(
λλ
==
V(x)xE
Autor Ing. Iván Escalona
Consultor Logística, Teléfono Móvil: 044 55 18 25 40 61 (México)
Ingeniero Industrial
resnick_halliday@yahoo.com.mx, ivan_escalona@hotmail.com
Nota: Si deseas agregar un comentario o si tienes alguna duda o queja sobre algún(os) trabajo(s)
publicado(s), puedes escribirme a los correos que se indican, indicándome que trabajo fue el que
revisaste escribiendo el título del trabajo(s), también de dónde eres y a que te dedicas (si estudias, o
trabajas) Siendo específico, también la edad, si no los indicas en el mail, borraré el correo y no
podré ayudarte, gracias.
- Estudios Universitarios: Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y
Administrativas (U.P.I.I.C.S.A.) del Instituto Politécnico Nacional (I.P.N.)
- Centro Escolar Patoyac, (Incorporado a la UNAM)
Origen: México

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Escalona Moreno Ivan. (2006, enero 2). Ejercicios de probabilidad y distribución. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/ejercicios-de-probabilidad-y-distribucion/
Escalona Moreno, Ivan. "Ejercicios de probabilidad y distribución". GestioPolis. 2 enero 2006. Web. <http://www.gestiopolis.com/ejercicios-de-probabilidad-y-distribucion/>.
Escalona Moreno, Ivan. "Ejercicios de probabilidad y distribución". GestioPolis. enero 2, 2006. Consultado el 2 de Septiembre de 2015. http://www.gestiopolis.com/ejercicios-de-probabilidad-y-distribucion/.
Escalona Moreno, Ivan. Ejercicios de probabilidad y distribución [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/ejercicios-de-probabilidad-y-distribucion/> [Citado el 2 de Septiembre de 2015].
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