Distribuciones de probabilidad y cómo calcularlas con MINITAB

  • Economía
  • 21 minutos de lectura
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Definición
Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden
representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo.
Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro,
constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se
puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las
tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.
Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede
tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al
azar), y puede ser de dos tipos:
1. Variable aleatoria discreta (x). Porque solo puede tomar valores enteros y
un número finito de ellos. Por ejemplo:
x Variable que define el número de alumnos aprobados en la materia
de probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3…ó los 40).
PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)
a) 0≤p(xi)1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los
valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y
menores o iguales a 1.
a) p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a
cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.
Ejemplo para variable aleatoria discreta
Se tiene una moneda que al lanzarla puede dar sólo dos resultados: o cara
(50%), o cruz (50%).
La siguiente tabla muestra los posibles resultados de lanzar dos veces una
moneda:
PRIMER
LANZAMIENTO
SEGUNDO
LANZAMIENTO
NUMERO DE
CARAS EN 2
LANZAMIENTOS
PROBABILIDAD
DE LOS 4
RESULTADOS
POSIBLES
CARA
CARA
2
0.5 X 0.5 = 0.25
CARA
CRUZ
1
0.5 X 0.5 = 0.25
CRUZ
CARA
1
0.5 X 0.5 = 0.25
CRUZ
CRUZ
0
0.5 X 0.5 = 0.25
Al realizar la tabla de distribución del número posible de caras que resulta
de lanzar una moneda dos veces, se obtiene:
NÚMERO DE
CARAS
LANZAMIENTOS
PROBABILIDAD DE
ESTE RESULTADO
P(CARA)
0
(CRUZ, CRUZ)
0.25
1
(CARA, CRUZ)
+
(CRUZ, CARA)
0.50
2
(CARA, CARA)
0.25
NOTA: Esta tabla no representa el resultado real de lanzar una moneda dos
veces sino la del resultado teórico es decir representa la forma en que se
espera se comporte el experimento de lanzar dos veces una moneda.
2. Variable aleatoria continua (x). Porque puede tomar tanto valores enteros
como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo
intervalo.
Por ejemplo:
x Variable que define la concentración en gramos de plata de algunas
muestras de mineral (14.8 gr., 12.1, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, ,
)
PROPIEDADES DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (X)
p(x)0 Las probabilidades asociadas a cada uno de
los valores que toma x deben ser mayores o iguales a
cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de
probabilidad deberá tomar solo valores mayores o
iguales a cero.
El área definida bajo la función de densidad de
probabilidad deberá ser de 1.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE LAS VARIABLES ALEATORIAS
(LAS MAS UTILIZADAS)
Distribución Binomial
Distribución de Poisson
Distribución Normal
DISTRIBUCION BINOMIAL
La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable
aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.
Esta distribución corresponde a la realización de un experimento aleatorio que
cumple con las siguientes condiciones:
* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A,
llamado éxito, o su contrario A’, llamado fracaso.
* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los
resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una
prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P,
entonces p(A’) = 1 p = q
* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.
Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo
de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.
En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de
fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la
distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:
Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han
construido tablas para algunos valores de n y p que facilitan el trabajo.
Calculo de la distribución de probabilidad binomial por tres métodos:
n!
x!(n x)!
pX qn - X
a) Utilización del Minitab 15.
b) Utilización de la fórmula
c) Utilización de las tablas binomiales
Por ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma
moneda 6 veces ?
Donde:
P(X) es la probabilidad de ocurrencia del evento
p es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) (0.5)
q es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) y se define
como
q = 1 p (0.50)
X = ocurrencia del evento o éxitos deseados = 2 (para efectos de la tabla
binomial tómese como r)
n = número de intentos = 6
a) Cálculo de la
distribución de
probabilidad binomial
utilizando el Minitab 15.
Titular la columna C1 como X
y en el renglón 1 columna 1
se coloca el número 2 (el
cual representa el número de
ocurrencia del evento, ya que
se desea saber la
probabilidad de que caigan
exactamente dos caras).
(Referirse a la figura 1)
Seleccionar: Calc /
Probability Distributions /
Binomial
P(X=x) =
n!
x!(n x)!
pX qn - X
P(X=x) =
n!
x!(n x)!
pX qn - X
figura 1
En seguida aparecerá la ventana
“Binomial Distribution”
(“Distribucion Binomial”).
Seleccionar Probability
En el campo de “Number
of trials” (Número de
intentos) colocar 6 (n)
En el campo de Event
probability” colocar 0.50
(probabilidad de éxito)
En el campo de “Input
column” colocar el
puntero del mouse y
automáticamente
aparecerá en el recuadro
de la izquierda C1 X el
cual se selecciona con el
puntero del mouse y
luego presionar “Select”
Una vez alimentado los
datos presionar “OK” .
Para obtener así el resultado.
La probabilidad de que caigan 2 caras en el lanzamiento de una moneda
6 veces es 0.234375.
Por lo tanto:
b) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando la fórmula
n!
x!(n x)!
pX qn - X
P(2 caras) = 0.234375
Al sustituir los valores en la fórmula se obtiene:
Resolviendo:
c) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando las tablas
binomiales.
Para una combinación de n y p, la entrada indica una probabilidad de
obtener un valor específico de r (ocurrencia del evento).
Para localizar la entrada, cuando p≤0.50, localizar el valor de p a lo
largo del encabezado de la tabla, y en la columna correspondiente
localizar n y r en el margen izquierdo.
Para localizar la entrada, cuando p≥0.50, localizar el valor de p en
la parte inferior de la tabla, y n y r arriba, en el margen derecho.
P(2 caras) =
720
2(24)
(.25) (0.0625)
P(2 caras) =
6!
2!(6 2)!
(0.52) (0.56 2)
P(2 caras) = 0.234375
P(2 caras) =
720
2(24)
(0.25) (0.0625)
Resolviendo el mismo ejemplo pero utilizando las tablas binomiales se tiene que:
p = 0.50, n = 6 y r = 2
Obteniendo resultado directo de tablas
NOTA: Para este caso en particular donde p = 0.50 se puede obtener el
resultado de las tablas trabajando como si p≤0.50 (encerrado en azul) o como si
p≥0.50 (encerrado en rojo)
DISTRIBUCION DE POISSON
La distribución de POISSON es también un caso particular de probabilidad de
variable aleatoria discreta, el cual debe su nombre a Siméon Denis Poisson
(1781-1840), un francés que la desarrolló a partir de los estudios que realizó
durante la última etapa de su vida.
Esta distribución se utiliza para describir ciertos procesos.
Características:
P(2 caras) = 0.2344
Tabla Binomial
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de
área, tiempo, pieza, etc:
- # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.
- # de bacterias por c m2 de cultivo
- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo,
área, o producto, la fórmula a utilizar es:
donde:
p(X) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de
ocurrencia de ellos es .
= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
e = 2.718 (base de logaritmo neperiano o natural)
X = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra
Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren
por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo
de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es
independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro
producto dado.
Calculo de la distribución de probabilidad de Poisson por tres métodos:
a) Utilización del Minitab 15.
b) Utilización de la fórmula
c) Utilización de las tablas de Poisson
P(X, ) =
X!
P(X, ) =
λ xe-λ
X!
Por ejemplo:
Si un banco recibe en promedio (=) 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son
las probabilidades de que reciba:
a) cuatro cheques sin fondo en un día dado (x),
b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
(e= 2.718281828)
a) Cálculo de la distribución
de probabilidad de Poisson
utilizando el Minitab 15.
Resolviendo para:
a) x = 4; = 6 cheques sin
fondo por día
Titular la columna C1 como X
y en el renglón 1 columna 1 se
coloca el número 4 (el cual
representa el número de
ocurrencia del evento, ya que
se desea saber la probabilidad
de que el banco reciba 4
cheques sin fondos en un día
dado). (Referirse a la figura 2)
Seleccionar: Calc / Probability Distributions / Poisson
En seguida aparecerá una ventana “Poisson Distribution” (“Distribución de
Poisson”).
Seleccionar Probability
En el campo de “Mean”
(media = ) colocar 6
(promedio de cheques
diarios recibidos sin
fondos)
figura 2
En el campo de “Input
column” colocar el
puntero del mouse y
automáticamente
aparecerá en el recuadro
de la izquierda C1 X.
Seleccionarlo con el
puntero del mouse y
presionar “Select”
Una vez alimentado los datos presionar “OK” .
Para obtener así el resultado.
a) Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin
fondo en un día dado es:
Resolviendo de igual manera para:
b) X=10; = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco
en dos días consecutivos.
P(4 cheques sin fondo) = 0.133853
(13.39%)
Para obtener así el resultado.
b) Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba diez cheques sin fondo
en dos días consecutivos es:
b) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando la
fórmula
P(10 cheques sin fondo) = 0.104837
(10.4837%)
P(X, ) =
X!
Resolviendo para:
a) x = 4; = 6 cheques sin fondo por día y sustituyendo en la fórmula
Resolviendo:
Resolviendo de igual manera para:
b) X=10; = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en
dos días consecutivos.
Resolviendo:
c) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando las
tablas de Poisson
Valores directos para determinar probabilidades de Poisson.
Para un valor dado de λ, la entrada indica la probabilidad de obtener un
valor específico de X
P(X=4, =6 ) =
64 e-6
4!
P(X=4, =6 ) =
1296 x 0.0025
24
P(4 cheques sin fondo) = 0.133853
(13.39%)
P(X=10, =12 ) =
1210 e-12
10!
P(X=10, =12 ) =
61917364224 x 0.000006144212
3628800
P(10 cheques sin fondo) = 0.104837
(10.4837%)
Para el mismo ejemplo, resolviendo para:
.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin fondo en
un día dado?
Se tiene x = 4; = 6 cheques sin fondo por día; obteniendo resultado directo de
tablas :
Para el mismo ejemplo, resolviendo para:
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba diez cheques sin fondo en
dos días consecutivos?
Se tiene X=10; = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco
en dos días consecutivos, obteniendo resultado directo de tablas :
P(4 cheques sin fondo) = 0.1339
(13.39%)
DISTRIBUCION NORMAL
La distribución normal es también un caso particular de probabilidad de
variable aleatoria contínua, fue reconocida por primera vez por el francés
Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-
1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de
ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de
Gauss". La distribución de una variable normal está completamente
determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (σ). Con
esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:
P(10 cheques sin fondo) = 0.1048
(10.48%)
x
-α
f(x) =
1
σ√2π
e
(x - µ)
2
2σ
2
-
dx
que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos
Existen dos razones básicas por las cuales la distribución normal ocupa un lugar
tan prominente en la estadística:
Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran
número de situaciones en la que es necesario hacer inferencias
mediante la toma de muestras.
La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de
frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo
características humanas, resultados de procesos físicos y muchas
otras medidas de interés para los administradores, tanto en el
sector público como en el privado.
Propiedad:
No importa cuáles sean los valores de µ y σ para una distribución de
probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre es 1, de manera que
podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades.
Matemáticamente es verdad que:
1. Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población
normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar
de la media.
2. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población
normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones
estándar de la media.
3. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población
normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones
estándar de la media.
Relación entre el
área bajo la curva de
distribución normal
de probabilidad y la
distancia a la media
medida en
desviaciones
estándar.
Estas gráficas muestran tres formas diferentes de medir el área bajo la curva
normal. Sin embargo, muy pocas de las aplicaciones de la distribución normal de
probabilidad implican intervalos de exactamente (más o menos) 1, 2 ó 3
desviaciones estándar a partir de la media. Para estos casos existen tablas
estadísticas que indican porciones del área bajo la curva normal que están
contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar (más o menos)
a partir de la media.
Afortunadamente también se puede utilizar una distribución de probabilidad
normal estándar para encontrar áreas bajo cualquier curva normal. Con esta
tabla se determina el área o la probabilidad de que la variable aleatoria
distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la media.
Estas distancias están definidas en términos de desviaciones estándar.
Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos que
contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media
contendrán la misma fracción del área total bajo la curva para cualquier
distribución de probabilidad normal. Esto hace que sea posible usar solamente
una tabla de la distribución de probabilidad normal estándar.
El valor de z está derivado de la fórmula:
En la que:
x = valor de la variable aleatoria de interés.
µ = media de la distribución de la variable aleatoria.
σ = desviación estándar de la distribución.
z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la
distribución. (El uso de z es solamente un cambio de escala de medición
del eje horizontal)
Calculo de la distribución de probabilidad Normal por los métodos:
a) Utilización de las tablas de la distribución Normal.
b) Utilización del Minitab 15.
a) Cálculo de la distribución de probabilidad Normal utilizando las tablas
de distribución de probabilidad normal estándar
Ejemplo:
Hay un programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las
habilidades de supervisión de los supervisores de la línea de producción. Debido
a que el programa es autoadministrado, los supervisores requieren un número
diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores
Z =
x - µ
σ
Distribución normal que
ilustra la comparación de
los valores de z y las
desviaciones estándar.
indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 horas,
y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación
estándar de 100 horas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar requiera más de
500 horas para completar el programa de entrenamiento?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre
500 y 650 horas en completar el programa de entrenamiento?
Resolviendo para:
a) Dibujando una gráfica
de distribución Normal
(campana de Gauss) se
puede observar que la
mitad del área bajo la
curva está localizada a
ambos lados de la media
de 500 horas. Por tanto,
se deduce que la
probabilidad de que la
variable aleatoria tome
un valor mayor a 500
es el área sombreada,
es decir, 0.5
Resolviendo ahora para:
b) Se tiene que: µ = 500 y σ = 100 y sustituyendo valores para la obtención de Z
Z =
x - µ
σ
650 - 500
Z =
100
Z = 1.5 desviaciones standard
Buscar Z = 1.50 en la tabla distribución de
probabilidad normal estándar.
Encontrando una probabilidad de 0.4332.
Por lo tanto, la probabilidad de que un
candidato escogido al azar requiera
entre 500 y 650 horas para terminar el
programa de entrenamiento es de
0.4332 es decir un 43.32%.
b) Cálculo de la distribución de probabilidad Normal utilizando Minitab 15.
Resolviendo para:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar requiera más de
500 horas para completar el programa de entrenamiento?
Tabla distribución de
probabilidad normal estándar
Para obtener la
gráfica de la
distribución de
probabilidad Normal
en minitab 15 se
selecciona:
Graph /
Probability
Distribution Plot…
En seguida aparecerá una ventana
“Probability Distribution Plot” (“Gráfica
de Distribución de Probabilidad”) con
el puntero seleccionar “View
Probability” (Vista de Probabilidad) y una vez seleccionado presionar OK.
En seguida aparecerá otra una ventana “Probability
Distribution Plot View Probability” (“Gráfica de
Distribución de Probabilidad Vista de Probabilidad”).
En la pestaña de Distribution:
En el campo de Distribution:”
seleccionar “Normal”
En el campo de “Mean” (media = )
colocar 500 (promedio de horas que se
lleva completar el programa)
En el campo de Standar deviation
colocar 100 (desviación estándar de la
variable)
En la pestaña de Shaded Area:
Con el puntero seleccionar “Probability”
Con el punetro seleccionar el “Right
Tail”
En el campo de Probability: colocar 0.5
(ya que para este caso la media ocupa
exactamente el punto más alto de la
curva por tanto la probabilidad es de 0.5)
Una vez alimentado los datos presionar “OK” .
El programa MIinitab arrojará la gráfica mostrada
.
Estos pasos descritos fue simplemente para mostrar la manera de graficarlo.
Resolviendo para:
b) ¿Cuál es la probabilidad de
que un candidato elegido al azar
se tome entre 500 y 650 horas
en completar el programa de
entrenamiento?
Para obtener la gráfica en
minitab seleccionar:
Graph / Probability
Distribution Plot…
En seguida aparecerá una ventana
“Probability Distribution Plot” (“Gráfica
de Distribución de Probabilidad”) con
el puntero seleccionar “View
Probability” (Vista de Probabilidad) y
una vez seleccionado presionar OK.
En seguida aparecerá otra una
ventana “Probability Distribution Plot
View Probability (“Gráfica de
Distribución de Probabilidad Vista
de Probabilidad”).
En la pestaña de Distribution:
En el campo de “Distribution:” seleccionar “Normal”
En el campo de Mean” (media = ) colocar 500 (promedio de
horas que se lleva completar el programa)
En el campo de Standar
deviation” colocamos 100
(desviación estándar de la
variable)
En la pestaña de Shaded Area:
Con el puntero seleccionar “X
Value”
Con el puntero seleccionar el
“Middle”
En el campo de X value 1:
colocar 500 (valor medio)
En el campo de X value 2: colocar 650 (valor de la probabilidad
que toma la vareable en ese punto)
Una vez alimentado los datos presionar “OK” .
El programa MIinitab arrojará la gráfica mostrada y el valor obtenido
Es decir, la probabilidad de que un candidato escogido al azar requiera entre
500 y 650 horas para terminar el programa de entrenamiento es de 0.433.
(43.30%)
CONCLUSIONES
El reto de la materia Estadística Aplicada a los Negocios, impartida por el Ing.
Juan Alejandro Garza Rodríguez, nos comprometió a aprender y a utilizar el
Minitab como una herramienta más.
Con los grandes avances tecnológicos hemos ahorrado tiempo para el análisis
estadístico, sin embargo la comprensión de la lógica que se utiliza para llegar a
la resolución del mismo es algo que nos ha llevado a este estudio, el cual ha
sido muy bien conducido por el Ing. Garza, quien nos imparte la asignatura.
Con el desarrollo de este proyecto y gracias a la comprensión de conceptos y el
manejo del programa Minitab entendimos que es una poderosa herramienta
estadística que bien aplicada nos podayudar a facilitar los cálculos para la
solución de problemas. Lo cual continúa con el propósito esencial: Ahorro de
costos y mejora continua en cualquier ámbito en que nos desarrollemos.
Aprendimos que no es limitativa el área en que nos desempeñemos en nuestro
trabajo ya que tanto en Ingeniería como Materiales, en Recursos Humanos
como en un Negocio Propio, en Comercio o en Industria, o bien por puro
pasatiempo en el panorama de la probabilidad estadística, estas herramientas
serán siempre de gran utilidad.
Para esta presentación aprendimos la aplicación y manejo de las Distribuciones
de Probabilidades más comunes, la Binomial, la de Poisson y finalmente la
distribución Normal.
Se investigó además de la utilización y funcionamiento del Minitab 15 el
razonamiento, cálculo manual y por tablas como el método original como se
realizaba, antes de que el Minitab existiera como tal.
Deseamos compartir esta compilación de información con alguien más que al
igual que nosotros tuvimos la necesidad de investigar y realizar un trabajo de
este tipo. Análisis y estudios que nos han abierto la mente así como nuestras
habilidades para desempeñarnos con mayor eficiencia en nuestras funciones
laborales y personales.
Gracias por tomarse el tiempo de revisar nuestras aportaciones.
BIBLIOGRAFIA
Estadística para Administradores. Sexta Edición. Richard I. Levin & David S.
Rubin. Editorial Prentice Hall. Capítulo 5 Probabilidad II: Distribuciones, pp.232 -
264
GE Lighting - AEA. Curso para Green Belts, Iniciativa Sies Sigma Semana #1.
Abril 1997.
Minitab 15 (versión de prueba obtenida de www.minitab.com).
MeetMinitabEs.pdf (obtenido de www.minitab.com)
Distribución de Probabilidades (información tomada de www.monografias.com,
http://www.monografias.com/trabajos29/distribucion-probabilidades/distribucion-
probabilidades.shtml)
Distribución Binomial (información tomada de www.wikipedia.com,
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial)
Distribución Normal (información tomada de www.wikipedia.com,
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal
Distribución de Poisson
(http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr
%20Poisson.htm)
MAESTRIA EN ADMINISTRACION Y LIDERAZGO
TEMA:
"DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD"
CATEDRATICO: ING. JUAN ALEJANDRO GARZA RODRIGUEZ
ASIGNATURA: ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS
ALUMNOS DE POSTGRADO:
LIC. NORMA IRENE SOLIS REYNA
LIC. JESUS DANIEL MARQUEZ MELENDEZ
LIC. ERIC CARDENAS CERVANTES
ING. JESUS GERARDO ARMIJO WONG
Cd. Acuña, Coah.; México a 27 de Febrero del 2008

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Solis Reyna Norma Irene. (2008, marzo 14). Distribuciones de probabilidad y cómo calcularlas con MINITAB. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/distribuciones-de-probabilidad-y-como-calcularlas-con-minitab/
Solis Reyna, Norma Irene. "Distribuciones de probabilidad y cómo calcularlas con MINITAB". GestioPolis. 14 marzo 2008. Web. <http://www.gestiopolis.com/distribuciones-de-probabilidad-y-como-calcularlas-con-minitab/>.
Solis Reyna, Norma Irene. "Distribuciones de probabilidad y cómo calcularlas con MINITAB". GestioPolis. marzo 14, 2008. Consultado el 1 de Agosto de 2015. http://www.gestiopolis.com/distribuciones-de-probabilidad-y-como-calcularlas-con-minitab/.
Solis Reyna, Norma Irene. Distribuciones de probabilidad y cómo calcularlas con MINITAB [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/distribuciones-de-probabilidad-y-como-calcularlas-con-minitab/> [Citado el 1 de Agosto de 2015].
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