Tasas de interés

Autor: Fernando A. Catelotti

Matemáticas financieras y evaluación de proyectos

07-2006

En general, se denomina tasa de interés al porcentaje de capital o principal, expresado en centésimas, que se paga por la utilización de éste en una determinada unidad de tiempo (normalmente un año).

La tasa de interés corriente o del mercado se calcula fundamentalmente atendiendo a la relación entre la oferta de dinero y la demanda de los prestatarios. Cuando la oferta de dinero disponible para la inversión aumenta más rápido que las necesidades de los prestatarios, los tipos de interés tienden a caer. Análogamente, los tipos de interés tienden a aumentar cuando la demanda de fondos para invertir crece más rápido que la oferta de fondos disponibles a la que se enfrentan esas demandas.

Retomando el tema que nos concierne, la existencia de tres clases distintas de capitalización requiere el empleo de diversas tasas de interés que se adecuen a cada clase en particular, definiendo las mismas a partir de supuestos establecidos previamente. Así encontramos:

I. Capitalización periódica

· Tasa nominal (i): Conocida también como tanto por uno o simplemente como tasa de interés, es la ganancia que genera un capital de $1 en un año; o sea, es igual a la centésima parte de la razón o tanto por ciento (ganancia producida por un capital de $100 en un año).

También podemos definirla como la tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación financiera; ello quiere decir que la capitalización se produce en el período en que está indicada la tasa.

Generalizando, cuando el tiempo n y el período en que está expresada la tasa i coinciden con la capitalización, se dice que la tasa i es nominal.

La misma aparece en la fórmula de monto a interés compuesto M1 = C (1 + i) n.

· Tasa efectiva (i’): Es el tanto por uno que, aplicado a un capital C en n períodos, produce un monto M2 igual al que se obtiene utilizando la tasa proporcional m veces en cada uno de los n períodos con capitalización subperiódica.

Aparece en la fórmula de monto M2 = C (1 + i’) n, de modo que M2 = M3. Partiendo de esta última igualdad, podemos expresar la tasa efectiva en función de la tasa proporcional:

M2 = M3
C (1 + i’) n = C (1 + i/m) n m
1 + i’ = (1 + i/m) m (Simplificamos C y n.)
i’ = (1 + i/m) m – 1 (Despejamos i’.)

II. Capitalización subperiódica

· Tasa proporcional (i/m): Cuando la capitalización se hace cada fracción de tiempo m veces menor que el período considerado n, se toma una tasa m veces menor también; esta última resulta del cociente entre la tasa nominal i y la cantidad de subperíodos m, y es la tasa corrientemente llamada proporcional. Así, por ejemplo, las tasas proporcionales al i por 1 anual son: para el semestre, el i/2; para el trimestre, el i/4; para el mes, el i/12 por 1; etc.
Se aplica en la fórmula de monto M3 = C (1 + i/m) n m.

· Tasas equivalentes (im): Son aquellas que, correspondiendo a períodos de capitalización distintos, hacen adquirir a capitales iguales valores definitivos, también iguales, al cabo de un mismo tiempo.

También puede definírselas como tasas subperiódicas que, capitalizando m veces en el período, producen al final del mismo iguales montos que con capitalización periódica y tasa nominal.

La tasa equivalente se utiliza en la fórmula de monto M4 = C (1 + im) n m, de modo que M1 = M4. Esta última igualdad nos permite expresar la tasa equivalente en función de la tasa nominal:

M4 = M1
C (1 + im) n m = C (1 + i) n
(1 + im) m = 1 + i (Simplificamos C y n.)
im = (1 + i) 1/m – 1 (Despejamos im.)

III. Capitalización continua

· Tasa nominal (i): Ídem tasa nominal, capitalización periódica. No obstante, en este caso no aparece en la base del factor de capitalización, sino en el exponente de la fórmula de monto a interés continuo M5 = C e i n. Se obtiene así el máximo monto posible.

· Tasa instantánea (d): Es aquella que, aplicada a un capital C en n períodos con capitalización continua, produce el mismo monto (M6) que el obtenido al utilizar la tasa nominal i en el mismo tiempo y con el mismo capital pero con capitalización periódica (M1).

Utilizando términos de Cálculo Diferencial, decimos también que es la variación de $1 en un instante.

Se emplea en la fórmula de monto a interés continuo M6 = C e d n, de forma tal que M1 = M6. Podemos expresar la tasa instantánea (constante) en función de la tasa nominal:

M6 = M1
C e d n = C (1 + i) n
e d = 1 + i (Simplificamos C y n.)
d ln e = ln (1 + i) (Aplicamos ln miembro a miembro.)
d = ln (1 + i) (Como ln e = 1, d queda despejada.) [1]

Bibliografía consultada

o José González Galé, “Intereses y Anualidades Ciertas”, Ediciones Macchi.
o Murioni-Trossero, “Manual de Cálculo Financiero”, Ediciones Macchi, 1999.
o Miguel M. Tajani, “Matemática Financiera”, Cesarini Hnos. – Editores, 1986.
o Apuntes de clase.
o Textos varios de economía.