Evaluación de alternativas de inversión: análisis matemático y financiero de proyectos (III)

Autor: Giovanny E. Gómez

MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

11 / 2001  

Anterior: MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO (VPN) - MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO INCREMENTAL 

La Tasa Interna de Retorno es la rentabilidad de los dineros que permanecen invertidos en un proyecto

MÉTODO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) 

Este método consiste en encontrar una tasa de interés en la cual se cumplen las condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de inversión. Tiene como ventaja frente a otras metodologías como la del Valor Presente Neto (VPN) o el Valor Presente Neto Incremental (VPNI) por que en este se elimina el cálculo de la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), esto le da una característica favorable en su utilización por parte de los administradores financieros.

La Tasa Interna de Retorno es aquélla tasa que está ganando un interés sobre el saldo no recuperado de la inversión en cualquier momento de la duración del proyecto. En la medida de las condiciones y alcance del proyecto estos deben evaluarse de acuerdo a sus características, con unos sencillos ejemplos se expondrán sus fundamentos.    

Tasa Interna de retorno

Esta es una herramienta de gran utilidad para la toma de decisiones financiera dentro de las organizaciones

Evaluación de proyectos individuales

EJEMPLO

Un terreno con una serie de recursos arbóreos produce por su explotación $100.000 mensuales, al final de cada mes durante un año; al final de este tiempo, el terreno podrá ser vendido en $800.000. Si el precio de compra es de $1.500.000, hallar la Tasa Interna de Retorno (TIR).

SOLUCIÓN

1. Primero se dibuja la línea de tiempo.

2. Luego se plantea una ecuación de valor en el punto cero.

-1.500.000 + 100.000 a12¬i + 800.000 (1 + i)-1 = 0

stLa forma más sencilla de resolver este tipo de ecuación es escoger dos valores para i no muy lejanos, de forma tal que, al hacerlos cálculos con uno de ellos, el valor de la función sea positivo y con el otro sea negativo. Este método es conocido como interpolación.

3. Se resuelve la ecuación con tasas diferentes que la acerquen a cero.

A. Se toma al azar una tasa de interés i = 3% y se reemplaza en la ecuación de valor.

-1.500.000 + 100.000 a12¬3% + 800.000 (1 +0.03)-1 = 56.504

B. Ahora se toma una tasa de interés mas alta para buscar un valor negativo y aproximarse al valor cero. En este caso tomemos i = 4% y se reemplaza con en la ecuación de valor

-1.500.000 + 100.000 a12¬4% + 800.000 (1 +0.04)-1 = -61.815

4. Ahora se sabe que el valor de la tasa de interés se encuentra entre los rangos del 3% y el 4%, se realiza entonces la interpolación matemática para hallar el valor que se busca.

A. Si el 3% produce un valor del $56.504 y el 4% uno de - 61.815 la tasa de interés para cero se hallaría así:

B. Se utiliza la proporción entre diferencias que se correspondan:

                             3 - 4    =    56.504 - (- 61.815)  

                              3 - i                56.504 - 0

C. se despeja y calcula el valor para la tasa de interés, que en este caso sería i = 3.464%, que representaría la tasa efectiva mensual de retorno.

La TIR con reinversión es diferente en su concepción con referencia a la TIR de proyectos individuales, ya que mientras avanza el proyecto los desembolsos quedan reinvertidos a la tasa TIO

Evaluación de proyectos individuales con análisis de reinversión 

EJEMPLO

Una compañía le propone al gobierno construir un puente cuyo costo inicial es de $1.000.000 y necesita de $100.000 al final de cada año, como costos de mantenimiento y  $500.000 por la cuota de amortización, con lo cual al final de este tiempo e puente será propiedad del estado. Si la TIO de la compañía es del 2.5% efectivo mensual, se pide determinar cual es la verdadera rentabilidad del proyecto con reinversión de los dineros que va liberando el proyecto,

SOLUCIÓN

1. Se realiza la gráfica del problema

2. Puesto que los $500.000 y los $100.000 se encuentran enfrentados en el mismo periodo de tiempo la gráfica se podría simplificar a:

 

 

3. Teniendo claro lo anterior, se plantea y soluciona la ecuación de valor por medio dela metodología de la TIR

-1.000.000 + 400.000 a5¬i = 0

A. Se utiliza una tasa de interés i = 28%

-1.000.000 + 400.000 a5¬28% = 12.802

B. Se utiliza una tasa de interes i = 30 %

-1.000.000 + 400.000 a5¬30% = - 25.772

4. Se utiliza la interpolación matemática para hallar la tasa de interés que se busca.

5. Se utiliza la proporción entre diferencias que se correspondan:

                 28 - 30    =    12.802 - (- 25.772)

                  28 - i                12.802 - 0

Se tiene entonces que, la tasa de interés sería i = 28.664%, que representaría la tasa efectiva mensual de retorno.

Pero en este ejemplo también se debe tener en cuenta los desembolsos reinvertidos a la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO) entonces, si la TIO de la compañía es del 2.5% se tiene que:

6. Al calcular las tasas equivalentes y despejando i

(1 +0.025)12 = (1 +i)1

La tasa de interés sería i = 34.489% efectivo anual.

Ahora analizando la TIR del proyecto sin reinversión es del 28.664% y la TIO es del 34.489%, se concluye que el proyecto sin reinversión de intereses no es recomendable; sin embargo, al incluir la inversión de intereses se debe tener en cuenta que el proyecto devuelve $400.000 al final de cada año los cuales podrían ser reinvertidos a la Tasa TIO. Por lo tanto habrá que calcular el valor final para esta serie de pagos anuales de $400.000 cada uno.

7. Se realiza la gráfica de la línea de tiempo.

8. Se calcula la ecuación de valor de la serie de pagos, pero ahora evaluada con la tasa i = 34.488%, para hallar el valor con reinversión de la TIO

 400.000 s5¬34.488% = 3.943.055,86

En conclusión $1.000.000 invertidos hoy en el puente se convertirán al final de cinco años con reinversión de intereses en $3.943.055,86, por lo tanto su verdadera rentabilidad sería:

9. Línea de tiempo

10. Al hallar la tasa de interes en la ecuación de valor se obtiene:

 3.943.055,86 = 1.000.000 (1 +i)5

En este caso la i = 31.57 con reinversión.

Se observa entonces que la tasa de interés y por ende la rentabilidad total del proyecto con reinversión aumenta, pero esta no sobrepasa el 34.49%  efectivo anual que es equivalente a la TIO del 2.5% efectivo mensual.

 

Giovanny E. Gómez

giogosarrobagestiopolis.com

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