Los bonos como fuente de financiación: un acercamiento matemático a la realidad (II)

Autor: Giovanny E. Gómez

Clasificado en: INSTRUMENTOS, INVERSIONES, RIESGO Y FINANCIAMIENTO

09 / 2001

La emisión de bonos puede resultar más atractiva para los inversionistas, si se obtiene la opción de redimirlos más rápidamente, es por ello que el análisis matemático cobra una gran importancia en este sentido

Continuamos con la explicación matemática de una emisión de bonos dentro de la empresa.

TABLA PARA BONOS

Una tabla de bonos presenta todos los cambios que van ocurriendo en el valor en libros de un bono, desde la fecha de su adquisición, hasta la fecha de venta o, desde la fecha de emisión, hasta la fecha de redención. El valor en libros representa la suma que se tiene invertida en cada periodo.

Prima-Descuento

Cuando el precio de compra de un bono es mayor que el valor de redención, se dice que el bono es comprado con prima y si es menor se dice que es comprado con descuento

Ejemplo 1

Elaborar una tabla de inversión para un bono de valor nominal $1.000, redimible a 120 en 3 años, si paga un interés del 25% CS y una TIR es del 15% CS.

Solución

1. Se halla el precio de compra

P = Ran¬i + V (1+i)^-n

P = 125a6¬7.5% + 1.200 (1+0.075)^-6

P = $1.364.28

2. El valor inicial en libros es el precio de compra y el interes se calcula, aplicando la TIR al valor en libros. El cambio en el valor en libros es la diferencia entre el interés y el valor del cupón. Esta diferencia puede ser positiva o negativa.

n	Valor en libros	Interés	Valor cupón	Cambio valor en libros
1	$1.364.28	102.32	125	- 22.68
2	$1.341.60	100.62	125	- 24.38
3	$1.317.22	98.79	125	- 26.21
4	$1.291.01	96.83	125	- 28.17
5	$1.262.84	94.71	125	- 30.29
6	$1.232.55	92.44	125	- 32.55
	$1.000

Comentario: Por lo general la fecha de compra de un bono no coincide con el pago de un cupón, es decir, con la fecha de pago de un interés. entonces, el valor en libros debe ser ajustado, sufriendo un cambio en el periodo que se hace la transacción.

Ejemplo 2

Un bono de valor nominal $1.000 será redimido a la par el 1º de noviembre de 2001, paga intereses del 10% M.N y su TIR es 20% CS. Si es comprado el 20 de junio de 1999, hallar su precio de compra y elaborarla tabla para bonos.

Solución

1. Se Halla el precio de compra para el día 1º de mayo de 1999.

P = Ran¬i + V (1+i)^-n

P = 50a5¬10% + 1.000 (1+0.1)^-5

P = $810.46

2. Se calcula el precio entre el 1º mayo de 1999 al 20 de junio de 2001. Entre las dos fechas hay 50 días.

810.46 *(1 + 0.2 50 ) = $832.97

360

3. Se calcula la fracción a que tiene derecho el vendedor por haber tenido el bono por los 50 días. Se calcula en forma proporcional.

X = 50 * 50 = $13.89

180

4. Se calcula el valor en libros, que es el valor en la fecha de transacción, menos la comisión del vendedor.

832.97 - 13.89 = 819.08

5. Se elabora la tabla teniendo en cuenta que para el primer periodo , el valor en libros es $819.08 y que el interés de es 819.08 X 0.1 = 81.91, que es para todo el periodo como hasta el momento de la transacción solo han pasado 50 días y faltan 130 días, entonces se debe calcular el interés sobre el valor en libros en forma proporcional.

81.91 * 130 = $59.16

180

6. Se calcula el valor del cupón en forma proporcional para los 130 días.

50 * 130 = $36.11

180

Cuando la TIR es menor que la tasa K que sirve para calcular el interés, el bono será emitido con prima, y si es lo contrario, será descuento

7. La tabla se elabora así.

n	Valor en libros	Interés	Valor cupón	Cambio valor en libros
1	$819.08	59.16	36.11	- 23.05
2	$842.13	84.21	50	- 34.21
3	$876.34	87.63	50	- 37.63
4	$913.97	91.40	50	- 41.40
5	$955.37	95.54	50	- 45.54
	$1000.91

Nota: La diferencia es un error de aproximación en el primer periodo evaluado.

BONOS CON INTERÉS CRECIENTE

Este tipo de bono se presenta en un modelo que en épocas inflacionarias, puede tener una buena acogida entre los inversionistas.

Ejemplo 1

Un bono de valor nominal $1.000, redimible por $5.000 en 10 años, paga intereses trimestrales. Estos intereses siguen la ley de formación de un gradiente geométrico escalonado, así durante el primer año paga un interés del 24% trimestral y cada año siguiente, el valor del interés se incrementa en un 15%. ¿Cual debe ser el valor de emisión, si se desea que sobre la inversión gane un interés del 30% capitalizable trimestral.

Solución

1. Se calculan los intereses trimestrales correspondientes al primer año.

24% = 6%

0.06 *1000 = $60

2. Luego se calculan para los siguientes periodos.

3. Se halla el valor presente del bono por medio de la metodología de gradientes escalonados.

60s4¬7.5% = 268.38

4. Se calcula la tasa para el periodo del gradiente,, hallando la tasa efectiva anual.

(1+i)¹ = (1+0.075)⁴

i = 33.54%

5. Por último se calcula la formula de valor presente para el bono

P = 268.38 {(1 + 0.15)¹⁰ (1+0.3354)^-10 - 1} + 5.000 (1+0.3354)^-10