Apuntes de matemáticas financieras. Interés simple, interés compuesto, anualidades y amortizaciones

  • Finanzas
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En el siguiente cuadernillo se desarrollan algunos temas de la unidad 1 (subtemas
1.1, 1.1.1 y 1.1.3), tales como: importancia de las matemáticas financieras,
concepto y cálculo del tasa de interés simple así como del interés compuesto; de
la unidad 2 (subtema 2.1) se incluye la definición y aplicación del descuento
comercial; de la unidad 3 (subtemas 3.1, 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3, 3.2, 3.2.1 y 3.2.2) se
atienden las anualidades simples en sus diferentes modalidades: vencidas,
anticipadas y diferidas así como definición y elaboración de las tablas de
amortización. El programa corresponde a la asignatura de Matemáticas
Financieras (CPC-1032), que forma parte del tercer semestre de la carrera de
Contaduría Pública.
Los ejemplos incluidos han sido recopilados de diversos textos de Matemáticas
Financieras; sin embargo, la mayor parte de ellos han sido modificados, en cuanto
a su redacción, con la intención de hacerlos más fáciles de comprender e
interpretar. Se espera en otro semestre desarrollar un cuadernillo de ejercicios que
sirva para ejercitar los temas presentados.
Cabe señalar que en este cuadernillo, se desarrollan con mayor amplitud los
subtemas de Interés simple e Interés compuesto así como los de anualidades,
debido a que en ellos se establecen las bases para desarrollar un pensamiento
matemático que permita comprender los subtemas siguientes.
quedan pendientes por ser temas que serán tratados con mayor amplitud en otro
cuadernillo.
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1.1 IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS EN EL
PERFIL DEL CONTADOR PÚBLICO
COMPETENCIA A DESARROLLAR: En esta unidad, la competencia que logra
desarrollar el estudiante es que conoce analiza y evalúa los fundamentos de las
matemáticas financieras para la toma de decisiones. y el impacto que tiene el valor
del dinero a través del tiempo y su equivalencia por medio de los diversos factores
de capitalización
Las matemáticas financieras son un tipo de matemática aplicada que aspira a
lograr el máximo beneficio como comprador y los más atractivos rendimientos
como inversionista. Como comprador, máximo beneficio al conseguir dinero
prestado, en efectivo, bienes o en servicios y a los que disponen de capital, para
prestarlo, es decir, invertirlo si genera intereses y otros beneficios.
Además, al aplicar los métodos de valoración del dinero en el tiempo, se podrán
interpretar los resultados para tomar decisiones efectivas que reditúen los
máximos beneficios de los intereses y objetivos económicos y financieros de los
entes económicos.
Es importante aclarar que los temas relativos a Cetes y Mercado de valores,
quedan pendientes por ser temas que serán tratados con mayor amplitud en otro
cuadernillo.
INTERÉS SIMPLE
Es la cantidad que se paga por el uso de dinero ajeno, o bien, el dinero que se
gana por dejar nuestro dinero a disposición de terceras personas (bancos,
préstamos personales) a través de depósitos en cuentas de ahorros o de
préstamos. Además cabe señalar que en este tipo de interés únicamente el capital
gana intereses por todo el tiempo que dura la transacción.
El interés es el importe pagado por hacer uso de dinero solicitado como préstamo,
o bien, la cantidad que se obtiene por la inversión de algún capital.
Si designamos C a cierta cantidad de dinero en una fecha dada, a la que
llamaremos momento cero, cuyo valor aumenta a S en una fecha posterior,
entonces, tenemos que
=
Donde
K= Es el capital inicial que sirve de base para generar intereses, ya sea por
un préstamo o por una inversión.
I= Es el importe que se paga por el uso del dinero.
t= Tiempo. Es el número de periodos (años, meses, días, etc.) que
permanece prestado o invertido el capital.
i= Tasa de interés. Es la razón del interés devengado respecto al capital
inicial; es decir, es la cantidad que al multiplicarse por el capital inicial da
como resultado el interés devengado en un periodo de tiempo determinado.
RMULAS
=
Si despejamos K, i y t tendremos las
siguientes fórmulas:
=

=

=

NOTA. Para aplicar las fórmulas anteriores, es preciso que los datos de la tasa de interés y el
tiempo se refieran a la misma unidad de medida, es decir, si el interés es anual, el tiempo se
expresará anualmente; si el tiempo se encuentra expresado mensualmente, habrá que obtener el
interés por mes.
i = 12% 
t = 4 
Entonces para utilizarlos en las
fórmulas quedará de la
siguiente manera:
i = .12 
t = 4
12 = .33 ñ
Tanto i como t quedan
expresadas en la misma
unidad de medida, es decir, en
años.
INTERÉS SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO
Con respecto a este punto, debemos señalar que el interés simple exacto,
considera, para hacer sus cálculos, una base de tiempo de 365 para un año y de
30 y 31 días según lo marcado en el calendario para cada mes. Por su parte el
interés simple ordinario, que es el más utilizado, considera una base de tiempo de
360 días para el año y de 30 días para los meses.
EJEMPLO. Determinar el interés simple exacto y ordinario sobre $2,000.00 al 5%
durante 50 días.
TIEMPO EXACTO
Datos:
K= 2,000
i= 5% anual
t= 50 días
I= ?
Convertir los días a años:
t = 50
365
t = .1369 años
Resolución
=
= 2,000
(
.05
)
(.1369)
= $13.69
TIEMPO ORDINARIO
Datos:
K= 2,000
i= 5% anual
t= 50 días
I= ?
Convertir los días a años:
t = 50
360
t = .1388 años
Resolución
=
= 2,000(.05)(.1388)
= $13.88
LCULO DEL TIEMPO
El tiempo se puede calcular de 2 maneras:
EJEMPLO: Determinar en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido del
20 de junio de 1970 y el 24 de agosto del mismo año.
Exacta: Consiste en calcular el tiempo sumando los días, de acuerdo con el
calendario, que faltan para finalizar el mes que indica la fecha inicial, más los días
de los meses intermedios y por último sumar los días transcurridos en el mes que
indica la fecha final.
Días que faltan para que concluya junio
10
31
Días que han transcurrido del agosto
24
65 días
Aproximada: En este caso, se realiza una resta de la fecha final menos la fecha
inicial.
Día Mes año
-
24
08
1970
20
06
1970
4
2
0
2 meses con 4 dias = 64 dias
MONTO SIMPLE
El monto es el valor que adquiere una cantidad invertida, a lo largo de un tiempo y
es denominado como valor futuro o monto.
=
=+
=+ ()
=(+)
Donde M = monto
EJEMPLO: Una persona deposita $15,000.00 en un fondo de inversiones que
garantiza un rendimiento de 2.8% mensual. Si la persona retira su depósito 24
días después ¿Cuál será la cantidad que recibirá (monto)? ¿Cuál será el valor del
interés?
Datos:
K= 15,000
i= 2.8 % mensual
t= 24 días
I= ?
M= ?
Convertir los días a años:
t = 24
30
t = .8 años
Resolución
=
=15,000(.028)(.8)
=15,000(.0224)
I = 336.00
=15,000.00 +336.00
=15,336.00
VALOR PRESENTE SIMPLE
Es la cantidad inicial con la que se realiza una inversión o préstamo, misma que
representa la base sobre la cual se generan los intereses y es denotada por C.
=
(+)
Donde K = Capital o Valor presente
EJEMPLO: ¿Qué capital inicial producirá un monto de $75,000.00 a la tasa de
interés del 8.5% anual, durante 4 meses?
Datos:
K= ?
i= 8.5 % anual
t= 4 meses
M= 75,000.00
Convertir los días a años:
t = 4
12
t =. .33 años
Resolución
K =
(+)
K = 75,000
(+.  (. ))
K = 75,000
(.)
K = 72,933.54
ECUACIONES DE VALOR A INTERÉS SIMPLE
Una Ecuación de valor es una igualdad entre dos o más conjuntos de
obligaciones, valuadas todas en una misma fecha llamada Fecha Focal o fecha
de valuación. También puede ser definida como el replanteamiento o
renegociación de varias operaciones financieras, expresándolas en una operación
única.
EJEMPLO: El Sr. Pérez firmó dos documentos: uno por $5,000.00 que se vence
en un año y otro por $1,000.00 con vencimiento en 3 años. En un nuevo arreglo,
acordó pagar $7500.00 ahora y el resto dentro de 4 años. Si se considera como
fecha focal el año cuarto ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final de dicho periodo,
suponiendo un rendimiento del 5% anual?
=(+)
5001 + .05(3)+ 1,000(1 + .05(1)=
500(1.15)+ 1,000((1.05)=
575 + 1,050.00 =
1, 625 900 =
=
750(1 + .05(4)+
750((1.2)+
900 +
INTERÉS COMPUESTO
Se le llama interés compuesto al Interés que se convierte en capital en cada
periodo de conversión (capitalización). En el interés compuesto los intereses que
se van generando se agregan al capital en periodos de tiempo, previamente
establecidos, esto significa que el capital no es constante a través del tiempo.
El interés simple tiene la propiedad de que el capital inicial permanece constante
durante el plazo del préstamo. Sin embargo cuando un capital se invierte durante
varios períodos y al final de cada periodo se agregan los intereses obtenidos del
capital y se reinvierten, entonces lo que se observa es que se están calculando
intereses sobre intereses, es en este caso que hablamos de interés compuesto.
Cada vez que se realiza una operación puede requerirse hacer cálculos para
determinar el valor que se recibirá después de transcurrido un periodo de tiempo,
para lo que se deberá sumar al capital inicial todos los intereses calculados al final
de cada uno de los periodos contemplados en el lapso de tiempo indicado, a esto
se le denomina MONTO COMPUESTO.
EJEMPLO: Se deposita un capital de $1,000.00 a una tasa de interés del 3%
anual, si no se retira el depósito y los intereses se reinvierten, cada año, durante 3
años. ¿Cuál será el monto compuesto al final de esos 3 años y qué cantidad
representa los intereses?
Datos: Fórmulas
Resolución
k=1,000.00
i= 3% anual
t=1 año
M=?
=
=+
= 1,000.00(.03)(1)
= 1,000.00(.03)
=30
= 1,000.00 +30
= 1,030.00(.03)(1)
= 1,000.00(.03)
=30.90
= 1,030.00 +30
= 1,060.92(.03)(1)
= 1,060.92(.03)
=31.82
= 1,060.92 +31.82
= 1,030.00
= 1,060.90
=,.
Nota: El cálculo también puede realizarse, más breve, utilizando la fórmula S=C(1+it) que se verá
más adelante.
El interés compuesto se usa principalmente para los depósitos en los bancos y en
las asociaciones de préstamos y ahorros. Estas empresas utilizan el dinero
depositado para hacer préstamos a personas individuales o a negocios. Cuando
se deposita el dinero en un banco, el depositante está prestando dinero al banco
por un tiempo indefinido, a fin de ganar intereses.
CONCEPTOS BÁSICOS
Periodo de Capitalización o conversión. Es el intervalo de tiempo convenido, en
la obligación, para capitalizar los intereses; dicho intervalo puede ser anual,
semestral, trimestral, mensual, etc.
Frecuencia de Capitalización o Conversión. Número de veces que, en un año,
el interés se suma al capital.
=
#
Donde:
fc= frecuencia de conversión
#mc= número de meses que abarca el periodo de conversión
EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión (fc) para un depósito bancario
que paga el 5% de interés capitalizable trimestralmente?
Datos:
#mc=3
=12
3= 4
Tasa de interés por periodo
=

Donde:
i = tasa de interés anual
fc= frecuencia de conversión
EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión y la tasa interés por periodo (r)
al 60% anual capitalizable mensualmente, de una operación cualesquiera?
Datos:
i= 60%
=12
1=12
=.60
12 = .05
NOTAS: Es muy importante que para la solución de problemas de interés compuesto, el interés
anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo al periodo de capitalización que se
establezca.
Cada vez que se señala que la tasa de interés es capitalizable, se deberá convertir
la tasa anual a tasa de interés por periodo, es decir, aplicar la fórmula de tasa de
interés por periodo
Total de periodos: Número total de periodos que abarca la operación, es decir, la
cantidad de veces que se capitalizarán los intereses durante todo el tiempo que
dure la operación.
=(  ñ)()
Donde:
= 
#
n= Total de periodos
EJEMPLO: Determina la tasa de interés por periodo (r) y el número de periodos
de capitalización (n) para una inversión al 9% de interés compuesto anual, durante
10 años.
Datos:
i= 9% anual
t= 10 años
=12
12 = 1
=.
=
.09
=(10)(1)
=10
=120
12
=10
NOTA: Cada vez que calculen n, especificar si son semestres, trimestres, etc. Hacer lo mismo para
el caso de r.
MONTO COMPUESTO
Deducción de la fórmula
Año 1 K+Ki= K(1+i)
Año 2 K(1+i)+{K(1+i)}i = K(1+i)*(1+i)= K(1+i)
Año 3 K(1+i)+{K(1+i)}i+[{K(1+i)}i]i=K(1+i)
2
2*(1+i)= K(1+i)
Entonces al final de n años tendremos:
3
=(+)
Donde:
S= Monto compuesto
C= Capital o valor presente compuesto
r= tasa de interés por periodo
n= número total de periodos
EJEMPLO: Se deposita un capital de $1,000.00 a una tasa de interés del 3%
anual, si no se retira el depósito y los intereses se reinvierten, cada año, durante 3
años. ¿Cuál será el monto compuesto al final de esos 3 años y qué cantidad
representa los intereses?
Deducción de la fórmula del monto compuesto con ejemplo
Datos:
Conversiones
Resolución
C=1,000.00
i= 3% anual
t=1 año
#mc=12
S=?
S1
S=C(1+i)
2
S
=C(1+i)(1+i)
3=C(1+i)2
(1+i)
=(+)
= 1,000.00(1+.03)= 1,030.00
= 1,000.00(1 + .03)(1 + .03)= 1,060.90
= 1,000.00(1 + .03)(1 + .03)(1 + .03)= 1,092.72
=

=
=.
=. 
=()()=
Utilizando fórmula de monto compuesto directa:
=(+)
= 1,000.00(1 + .03)
= 1,092.72
En este caso se calcula el valor de n de la siguiente manera:
= 
#
VARIACIONES EN EL LCULO DEL INTERÉS COMPUESTO
a) Cuando se tiene tiempo fraccionario
EJEMPLO. $10,000.00 permanecen en una cuenta que paga el 10% capitalizable
en forma trimestral durante 5 años y 3 meses. ¿Cuánto interés se ganará?
Datos:
Conversiones
Resolución
C=10,000.00
i=10% conv/trim
t=5 a 3m
#mc=3
S=?
I=?
=12
3
= 4
=.10
4= .025
=
63
3=21
=(+)
=10,000(1+.025)
=10,000(1.679)
=16,795.82
=
=16,795.82 10,000.00
= 6,795.82
VARIACIONES EN EL LCULO DEL INTERÉS COMPUESTO
b) Con fechas específicas de capitalización
En algunas operaciones financieras, se señalan expresamente las fechas de
capitalización en el año y todo dinero colocado entre fechas, gana interés simple
hasta la fecha inicial del periodo siguiente; todo dinero retirado entre fechas gana
interés simple, desde la fecha terminal del periodo anterior. Así
EJEMPLO: Alguien deposita $1,000.00 el 20 enero en una cuenta de ahorros que
ofrece el 6% capitalizable trimestralmente los días últimos del mes de Marzo,
Junio, Septiembre y Diciembre. ¿Calcula el monto que podrá retirar el 15 de
diciembre del año siguiente?
Datos:
Conversiones
Resolución
C=1,000.00
i=6% conv/trim
t=71 d
t=1.5 años
t=75 d
#mc=3
S=?
=12
3
= 4
=.06
4= .015
=18
3= 6
=(+)
= 1,000.00 1 + (. 0.06)71
360
= 1,000.001 + (.06)(.1972)
= 1,000.001 + (.0118)
= 1,000.00(1.0118)
= 1,011.66
=(+)
= 1,011.66(1 + .015)
= 1,011.66(1.093)
= 1,106.38
=(+)
= 1,106.38 1 + (. 0.06)75
360
= 1,106.381 + (. 0.06)(.2083)
= 1,106.38(1.0125)
= 1,120.21
En estos casos, el problema se divide en partes y se trata como un problema por
separado cada vez que se produce un cambio.
VARIACIONES EN EL LCULO DEL INTERÉS COMPUESTO
c) La tasa cambia durante el periodo que dura la operación
EJEMPLO. Se invirtieron $5,000.00 en un banco de ahorros a plazo de seis años.
Cuando se realizó el depósito, el banco estaba pagando el 8% capitalizable en
forma trimestral. Después de dos años y medio la tasa cambio al 8% capitalizable
en forma mensual. ¿Determina el monto e interés compuesto al finalizar los 6
años?
Datos:
Conversiones
Resolución
C=5,000.00
i=8% conv/trim
t=2.5 años
#mc=3
S=?
C=6,094.97
i=8%conv/mens
t=3.5 años
#mc=1
S=?
=12
3
= 4
=.08
4= .02
=(2.5)(4)=10
=12
1=12
=.08
12 = .006
=(3.5)(12)=42
=(+)
= 5,000.00(1 + .02)
= 5,000.00(1.2189)
= 6,094.97
=(+)
= 6,094.97(1 + .006)
= 6,094.97(1.3219)
= 8,056.94
=
= 8,056.94 5,000.00
= 3,056.94
En este caso los problemas también se dividen en partes. Cada vez que se realiza
un depósito este tiene que ser agregado al importe compuesto en el momento del
depósito para obtener el nuevo principal. El interés será igual al importe final
menos (el capital original más cualquier depósito realizado durante el periodo).
VARIACIONES EN EL CÁLCULO DEL INTERÉS COMPUESTO
d) Existe un depósito adicional durante el periodo
EJEMPLO. El primero de julio 1981 se efectuó un depósito de $4,000.00 en un
banco que pagaba el 6% de interés capitalizable en forma trimestral. El 1 enero
de 1983 se realizo un depósito adicional de $2,000.00 en la misma cuenta ¿Cuál
será el saldo en la cuenta el 1 enero de 1986? ¿Qué cantidad del saldo final
representa el interés compuesto?
Datos:
Conversiones
Resolución
C=4,000.00
i=6% conv/trim
t=1.5 años
#mc=3
S=?
C=4,373.77
i=6% conv/trim
t=3 años
#mc=3
S=?
=12
3
= 4
=.06
4= .015
=(1.5)(4)= 6
=12
3= 4
=.06
4= .015
=(3)(4)=12
=(+)
= 4,000.00(1 + .015)
= 4,000.00(1.0934)
= 4,373.77
al 1 de enero de 1983
más el depósito
4,373.77+ 2,000.00=
6,373.77
=(+)
= 6,373.77(1 + .015)
= 6,373.77(1.1956)
=,.
I = S (C+deposito adicional)
I = 7,620.59 (4,000 + 2,000)
I = 7,620.59 6,000.00
=,.
VALOR PRESENTE COMPUESTO
Es el capital inicial que debe ser invertido ahora a una determinada tasa de interés
para acumular un importe deseado al final de un periodo de tiempo definido.
FORMULAS
=
(+)
=(+)

EJEMPLO: ¿Cuánto debe depositarse en el banco si se decide obtener un monto
de $5,000.00 dentro de 3 años si la tasa de interés es del 20% anual convertible
semestralmente?
Datos:
Conversiones
Resolución
S=5,000.00
i=20% conv/sem
t=3 años
#mc=6
S=?
=12
6
= 2
=.20
2= .10
=(3)(2)= 6
=
(+)
=5,000.00
(1 + .10)
=5,000.00
(1.7715)
= 2,822.36
=(+)
= 5,000(1 + .10)
= 5,000(1.5644)
= 2,822.36
2.1 DESCUENTO SIMPLE
COMPETENCIA A DESARROLLAR: A lo largo de esta unidad el estudiante
entenderá los conceptos básicos del descuento simple, con el fin de que sean
aplicados a operaciones financieras de compra-venta de cetes y de factoraje
financiero.
El descuento simple es una operación de crédito que se lleva a cabo
principalmente en instituciones financieras. Consiste en adquirir letras de cambio o
pagarés de cuyo valor al vencimiento se descuenta una suma equivalente a los
intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha
de vencimiento. Con esta operación se anticipa el valor actual del documento.
Será importante distinguir la diferencia entre dos conceptos: solvencia y liquidez.
Ambos términos se refieren a capacidad de pago; sin embargo el primero se
refiere al mediano o largo plazo, mientras que el segundo es en el corto plazo.
En términos generales, el descuento de documentos puede ser definido como la
disminución del valor de un documento.
Una de las formas de calcular el descuento es catalogarlo como Bancario o
comercial, al que se le define como interés del valor nominal de un documento y
se determina mediante el interés entre el vencimiento de la deuda y la fecha de
descuento a cierta tasa, valuada esta sobre el valor nominal del documento. Se le
conoce también como interés pagado por adelantado porque se calcula con base
en el monto.
La fórmula para calcular el descuento es similar a la fórmula del interés simple, la
diferencia radica en que el valor tomado en cuenta para el cálculo del descuento
es el valor al vencimiento de la deuda.
FORMULA
=
Donde:
Dc= Descuento comercial
d= tasa de descuento
t= tiempo
S= monto
NOTA: Para encontrar la fórmula del descuento bancario, es necesario aplicar al valor nominal
sobre el cual se concede el descuento, la tasa de descuento correspondiente.
El valor presente del valor al vencimiento nominal, S, estará dado por la diferencia
entre ese valor menos el descuento obtenido, ie:
Deducción de fórmula
= S Dc
= S (Sdt)
= S(1 dt)
=()
Donde
C= valor presente o capital
Donde:
fi= fecha en que se firma el documento
ff= fecha de vencimiento del documento
fa= fecha en que se vende el documento
ta= intervalo de tiempo comprendido entre fa y ff
t= duración de la operación
EJEMPLO: Un banco aplica el 8% de descuento. Si un cliente firma un documento
cuyo valor al vencimiento es de $2,500.00 a 4 meses, sin intereses. ¿Qué
cantidad le dará el banco?
Procedimiento para calcular el descuento comercial, cuando el documento es vendido:
1) Obtener el valor al vencimiento del pagaré o documento de la operación original
Datos:
S= 2,500.00
d= 8% anual
t= 4 meses
2) Encontrar el valor descontado, utilizando la tasa de descuento convenida, para el periodo
comprendido entre el momento en que se efectúa el descuento y la fecha de vencimiento
del pagaré. Lo anterior se hace aplicando la fórmula del descuento comercial.
Fórmula
=Sdt
Resolución
= 2,500(.08)(
4
12)
= 2,500(.08)(.33)
= 2,500(.026)
=66.66
3) Se resta el descuento obtenido al valor de vencimiento del pagaré y así se obtiene el valor
recibido, es decir, C.
Fórmulas
= S Dc
Resolución
valor recibido por el cliente.
3.1 ANUALIDADES
COMPETENCIA A DESARROLLAR: Identificar la aplicación del valor del dinero a
través del tiempo en operaciones de anualidades y amortización de deudas.
Las anualidades son una serie de pagos iguales, realizados en forma periódica, es
decir, a intervalos de tiempo iguales. Las anualidades pueden clasificarse de la
siguiente manera:
Renta (R): Valor de cada pago periódico
ELEMENTOS DE LAS ANUALIDADES
Periodo de pago de la renta: Tiempo que se fija entre dos pagos sucesivos.
Tiempo o plazo de anualidad: Intervalo de tiempo que transcurre entre el
comienzo del primer periodo de pago y el final del último.
Renta Anual (S): Es la suma de los pagos realizados durante un año.
Tasa de una Anualidad (r): Tipo de interés que se fija y puede ser nominal o
efectiva.
ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDA
El monto V
MONTO
f
=(+)
de una anualidad, es la suma de los montos compuestos de los
distintos pagos, cada uno acumulado hasta el término del plazo. Su fórmula es la
siguiente
Donde
:
Vf
= Monto o valor futuro de una anualidad
EJEMPLO: Se deposita $1,000.00 al final de cada trimestre en un banco que paga
el 6% capitalizable en forma trimestral. ¿Cuánto habrá en depósito al finalizar un
año?
Datos:
Conversiones
Resolución
R=1,000.00
i=6% conv/trim
t=1 año
#mc=3
=?
=12
3
= 4
=.06
4= .015
=(1)(4)= 4
=(+)
= 1,000.00 (1 + .015)1
.015
= 1,000.00 (1.0613)1
.015
= 1,000.00 .0613
.015
= 1,000.004.09
= 4,090.90
Es el valor de cada pago periódico que se realiza a intervalos iguales de tiempo.
RENTA DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
=
(+)
Donde:
R= Valor de cada pago periódico
EJEMPLO: Calcular el valor de los depósitos semestrales vencidos necesarios
para que una cuenta de ahorros que paga el 8% con capitalización semestral,
brinde en 5 años un importe o fondo de $20,000.00
Datos:
Conversiones
Resolución
Vf
i=8% conv/sem
=20,000.00
t=5 años
#mc=6
R=?
=12
6
= 2
=.08
2= .04
=(5)(2)=10
=
(+)
=20,000.00(.04)
(1 + .04)1
=800
1.48 1
=800
48
= 1,665.81
Formula
PLAZO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
=

+
(+)
Donde:
n= plazo de la anualidad, ie, total de periodos que abarca la
operación.
EJEMPLO: ¿Cuántos pagos anuales completos de $1,896.70 deben cubrirse al fin
de cada periodo, con objeto de acumular, al 6% anual, la cantidad de $25,000.00?
Datos:
Conversiones
Resolución
R=1,896.70
i=6%
t=?
#mc=12
=25,000.00
=12
12
= 1
=.06
1= .06
=
log 25,000.00(.06)
1,896.70 + 1
log(1 + .06)
=
log 1,500.00
1,896.70 + 1
log(1 + .06)
=log{1.7908}
log(1 + .06)
=.2530
.02530
=. ñ
Es la suma de los valores actuales de las rentas.
VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
=(+)
Donde:
A= Valor actual o presente
EJEMPLO: ¿Cuál será el valor actual de una anualidad, si el importe de las rentas
depositadas es de $450.00, al final de cada uno de 7 trimestres, además la tasa
de interés es del 9% trimestral?
Datos:
Conversiones
Resolución
R=450
i=
t=
#mc=3
=?
=12
3
= 4
= .09
= 7 
=450 1(1 + .09)
.09
=450 1.5470
.09
=450 .4529
.09
=450{5.03}
=,.
Formula:
RENTA DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
=
(+)
Donde:
R= Valor de cada pago periódico
EJEMPLO: Una persona adquiere hoy a crédito una computadora que cuesta
$9,750.00 y acuerda pagarla en 4 mensualidades vencidas. ¿Cuánto deberá pagar
cada mes si le cobran el 3.5% mensual de interés?
Datos:
Conversiones
Resolución
=9,750.00
i=
t=
#mc=1
R=?
=12
1
=12
= .035
= 4
=9,750(.035)
1(1 + .035)

=341.25
1.8714
=341.25
.1285
=,.
Fórmula:
TIEMPO O PLAZO A VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
=
+
(+)
Donde:
n= plazo de la anualidad, ie, total de periodos
que abarca la operación.
EJEMPLO: ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $1,450.00 se tendrán que
realizar para saldar una deuda que vencía el día de hoy y cuyo importe es de
$8,000.00? El primer pago se realizará dentro de 2 meses y el interés es del 11 %
bimestral.
Datos:
Conversiones
Resolución
R=1,450.00
i=
t=?
#mc=2
=8,000.00
=12
2
= 6
= .11
=

+
(+)
=log 8,000.00(.11)
1,450.00 + 1
log(1.11)
=log 880
1,450.00 + 1
log(1.11)
=log{1.6068}
log(1.11)
={.4054}
.0453
=.

ANUALIDADES ANTICIPADAS
Una anualidad anticipada, es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o
vencen, al principio del periodo de pago.
En los negocios, es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al comienzo
de cada periodo; tal es el caso de la renta de terrenos, edificios y oficinas, cuyo
alquiler se paga a principio de periodo.
MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
 =(+)
(+)
Donde:

= Monto de la anualidad anticipada
EJEMPLO: Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $500.00 al principio de
cada mes. Si la cuenta paga el 2.3% mensual de interés ¿Cuánto habrá ahorrado
durante el primer año?
Datos:
Conversiones
Resolución
R=500.00
i=
t=1 año
#mc=1
=?
=12
1
=12
= .023
=(1)(12)=12

=(+)
(+)
 =500 (1 + .023)1
.023 (1
+ .023)
 =500 (1.3137)1
.023 (1.023)
 =500 .3137
.023 (1.023)
 =50013.06406(1.023)

=500(13.9543)
 =,.

=(+)
+
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
Donde:

= Valor actual o presente
de una anualidad
anticipada
EJEMPLO: Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar
$750.00 de renta, al inicio de cada mes. Como desea librarse del compromiso
mensual de la renta decide proponer una renta anual equivalente y también
anticipada. Si se calculan los intereses a razón del 37.44% convertible
mensualmente, ¿Cl será el valor de la renta anual?
Datos:
Conversiones
Resolución
R=750
i= 37.44%
t=1
#mc=1
=?
=12
1
=12
=.3744
12 = .0312
=(1)(12)=12

=(+)
+
 =750 1(1 + .0312)
.0312 + 1
 =750 1(1.0312)
.0312 + 1
 =750 1(.71322)
.0312 + 1
 =750 .2867
.0312 + 1
 =750{9.1914 + 1}

=750{10.19}
 =,.
ANUALIDAD DIFERIDA
Es aquella cuyo plazo comienza a correr después de transcurrido un intervalo de
tiempo, es decir, no coincide la fecha inicial de la anualidad con la fecha del primer
pago
DURACION. Es el tiempo que transcurre entre el comienzo del intervalo de
aplazamiento y el final del plazo de la anualidad.
INTERVALO DE APLAZAMIENTO. Número de periodos que transcurren entre la
fecha inicial a fecha de valoración de la anualidad y la fecha del primer pago
menos uno y es denotado por m.
EJEMPLO: Si suponemos que dentro de 2 años se efectuara el primer pago de
una anualidad diferida de R pesos por semestre y cuyo plazo es 3 años tendremos
la siguiente representación gráfica:
NOTA: por lo general las anualidades diferidas se analizan como anualidades ordinarias o
vencidas, por ello en los planteamientos, al hablar de una anualidad diferida, será tratada como
vencida y se utilizarán las fórmulas ya revisadas.
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA
Fórmula:
 =(+)
(+)
Donde:

= valor presente de una anualidad diferida
EJEMPLO: Calcula el valor actual de una renta de $5,000.00 semestrales, si el
primer pago debe recibirse dentro de 2 años y el último dentro de 6 años.
Considera la tasa de interés del 8% convertible semestralmente.
Datos:
Conversiones
Resolución
R=5,000.00
i= 8% conv/sem
t=
#mc=6
=?
=12
6
= 2
=.08
2= .04
= 9
m
=4-1=3

=(+)
(+)
 = 5,000 1(1 + .04)
.04 (1 + .04)
 = 5,000 1(.7025)
.04 (.8889)
 = 5,000 .2974
.04 (.8889)
 = 5,000{7.43}(.8889)

= 5,000(. 6.60)
 =,.
El monto se puede calcular como el de una anualidad vencida (para conocer la
forma de calcularlo, remitirse al ejercicio de la página 24) , y en este caso el
posponerla ya no tiene efecto sobre el comportamiento de la anualidad. Es por ello
que la consideración de si la anualidad es diferida o inmediata, carece de interés
cuando lo que se requiere determinar es el monto.
MONTO DE UNA ANUALIDAD DIRERIDA
3.2 AMORTIZACIÓN
La amortización es una forma de liquidar o reducir paulatinamente una deuda
mediante pagos periódicos, generalmente iguales, que cubren tanto una parte del
interés como una parte del valor total de la deuda (capital original).
EJEMPLO: Si hoy se adquiere una deuda de $5,000.00 con intereses al 5%
convertible semestralmente que se va a amortizar en 6 pagos semestrales en los
próximos 3 años, el primero al término de 6 meses.
a) Señala que tipo de anualidad es: Dado que el primer pago se realiza
después de los primeros 6 meses de la operación, se deduce que es
vencida
b) Anota los datos
c) Hallar el valor de los pagos parciales y
d) Elaborar la tabla de amortización
Datos:
Conversiones
Resolución
=5,000.00
i=5% conv/sem
t=3 años
#mc=6
R=?
=12
6
= 2
=.05
2= .025
=(3)(2)= 6
=
(+)

=5,000.00(.025)
1(1 + .025)
=125
1(.8622)
=125
.1377
=.
TABLA DE AMORTIZACIÓN
A B C D E
PERIODO
VALOR DEL
PAGO
INTERES CONTENIDO EN
EL PAGO
CAPITAL CONTENIDO EN
EL PAGO
CAPITAL PAGADO
ACUMULADO
SALDO
INSOLUTO
E*r A-B C+D*
Capital
inicial -D
0 5,000.00
1
907.75
125.00
782.75
782.75
4,217.25
2 907.75 105.43 802.32 1,585.07 3,414.93
3 907.75 85.37 822.38 2,407.45 2,592.55
4
907.75
64.81
842.94
3,250.38
1,749.62
5 907.75 43.74 864.01 4,114.39 885.61
6 907.75 22.14 885.61 5,000.00 0.00
35
BIBLIOGRAFÍ A
Portus Govinden, Lincoyan. Matemáticas Financieras. McGraw Hill
Ayres, Frank. Matemáticas Financieras. McGraw Hill
Díaz Mata, Alfredo. Matemáticas Financieras. McGraw HillToledano y Castillo.
Mario. Matemáticas Financieras. CECSA.
Highland, Esther. Matemáticas Financieras. Prentice Hall
Villalobos, José Luis. Matemáticas Financieras. Pearson.
2013. AÑO DEL BICENTENARIO DE LOS SENTIMIENTOS DE LA NACIÓN
ELABORO:L.A.E. MARIA DE LA LUZ MARTINEZ LEON
LA PAZ, MARZO 2013
1
ÍNDICE
Introducción
2
Importancia de las Matemáticas Financieras
Tema : 1.1, 1.1.1
3
Interés Simple Tema:1.1.3
4
Interés simple exacto y ordinario
6
Cálculo del tiempo
7
Monto simple
8
Valor presente simple
9
Ecuaciones de valor a interés simple
10
Interés compuesto Tema:1.1.3
11
Monto compuesto
14
Variaciones en el cálculo del interés compuesto
15
Valor presente compuesto
19
Descuento Simple Tema: 2.1
20
Anualidades Tema:3.1, 3.1.1, 3.1.2
23
Anualidades vencidas Tema:3.1.3
24
Anualidades anticipadas Tema:3.1.3
29
Anualidades diferidas Tema: 3.1.3
31
Amortización Tema: 3.2, 3.2.1, 3.2.2
34
Bibliografía
35

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Martínez León María de la Luz. (2015, agosto 14). Apuntes de matemáticas financieras. Interés simple, interés compuesto, anualidades y amortizaciones. Recuperado de http://www.gestiopolis.com/apuntes-de-matematicas-financieras-interes-simple-interes-compuesto-anualidades-y-amortizaciones/
Martínez León, María de la Luz. "Apuntes de matemáticas financieras. Interés simple, interés compuesto, anualidades y amortizaciones". GestioPolis. 14 agosto 2015. Web. <http://www.gestiopolis.com/apuntes-de-matematicas-financieras-interes-simple-interes-compuesto-anualidades-y-amortizaciones/>.
Martínez León, María de la Luz. "Apuntes de matemáticas financieras. Interés simple, interés compuesto, anualidades y amortizaciones". GestioPolis. agosto 14, 2015. Consultado el 9 de Diciembre de 2016. http://www.gestiopolis.com/apuntes-de-matematicas-financieras-interes-simple-interes-compuesto-anualidades-y-amortizaciones/.
Martínez León, María de la Luz. Apuntes de matemáticas financieras. Interés simple, interés compuesto, anualidades y amortizaciones [en línea]. <http://www.gestiopolis.com/apuntes-de-matematicas-financieras-interes-simple-interes-compuesto-anualidades-y-amortizaciones/> [Citado el 9 de Diciembre de 2016].
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