Matemáticas financieras

Autor: Roberto Cristiano Mata

MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS 

12-2005

Matemáticas Financieras UNIDAD I.- INTERÉS SIMPLE INTERÉS SIMPLE: Es el que proporciona un capital sin agregar rédito vencido, dicho de otra manera es el que devenga un capital sin tener en cuenta los intereses

MONTO SIMPLE: Se define como el valor acumulado del capital. Es la suma del capital más el interés su ecuación es: M = C + I

CAPITAL: También se le denomina valor actual o presente del dinero, inversión inicial, hacienda. 

TASA DE INTERÉS: Es el precio del dinero que normalmente se indica en tanto por ciento (%), es una operación comercial donde se hace uso de un capital o de cualquier activo. 

TIPO DE INTERÉS: Interés simple y compuesto

PLAZO O TIEMPO: Es el que normalmente se especifica en el documento o contrato puede ser cualquier unidad de tiempo; días, meses, años, etc.

DESCUENTO: Es la disminución que se hace a una cantidad por pagarse antes de su vencimiento. Es el cobro anticipado de un valor que se vence en el futuro.

TIPOS DE DESCUENTO:

DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE INTERÉS: El valor presente C de una cantidad M con vencimiento en una fecha posterior, puede ser interpretado como el valor descontado de M. 


A este tipo de descuento se le conoce como descuento racional. Dr= M - C

DESCUENTO SIMPLE A UNA TASA DE DESCUENTO: La tasa de descuento se define como la razón del descuento dado en la unidad se tiempo (en este caso un año) al capital sobre el cual esta dado el descuento. La tasa de descuento anual se expresa como un porcentaje. Conocido también como descuento bancario. 

FORMULA: D = M d t

FECHA FOCAL: Es la fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las diferentes operaciones, dicho de otra manera es la fecha que se escoge para la equivalencia

ECUACIONES EQUIVALENTES: Es aquel que nos sirve para conocer el monto del capital, invertido en un tiempo especifico y con una cierta tasa de interés.

El valor total de las operaciones de adeudo debe ser igual a las operaciones de pago.

De las cuales tres de las operaciones serán las que se conocerán su valor y uno permanecerá en incógnita la cual será despejada, después de esto se conocerá su valor y se equilibrará la ecuación.

UNIDAD II.- INTERÉS COMPUESTO

INTERÉS COMPUESTO: Se le conoce como interés sobre interés, se define como la capitalización de los intereses al término de su vencimiento

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN: Es el intervalo de tiempo convenido y se calcula mediante la siguiente ecuación: n = ma.m

Donde:

n= numero de periodos
ma = número de años
m= frecuencia de capitalización

FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN: Es el número de veces en un año que de interés se suma al capital

MONTO COMPUESTO: Es el total, el capital, incluyendo los interés, capitalizables; dicho de otra forma es el capital más los intereses capitalizados

MONTO COMPUESTO DE INTERÉS FRACCIONARIO: Existen dos formas para calcularlo:

a) Utilizando el calculo del monto compuesto más el monto simple
b) El segundo método es calculándolo de manera fraccionaria

TASA NOMINAL: Es aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar la moneda por inflación.

TASA EFECTIVA: Es cuando el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual.

TASA EQUIVALENTE: Cuando dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización producen el mismo interés compuesto al cabo de un año. 

Son las que se pagan al final del periodo, las que teniendo diferente convertibilidad producen un mismo monto.

UNIDAD III.- ANUALIDADES

ANUALIDAD: Conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de 
tiempo.

EJEMPLO DE ANUALIDADES: 

Pagos mensuales por renta 
Cobro quincenal o semanal por sueldo 
Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito 
Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida 

PLAZO DE UNA ANUALIDAD: Es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer pago y el final.

RENTA: Es el nombre que se da al pago periódico que se hace

 

2.- MONTO, VALOR ACTUAL
3.- RENTA, PLAZO E INTERÉS

UNIDAD IV.- ANUALIDADES ANTICIPADAS

1.- INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS
2.- MONTO, VALOR ACTUAL
3.- RENTA, PLAZO E INTERÉS

EJERCICIO DE TASA NOMINAL

1.- ¿A que tasa nominal convertible trimestralmente, un capital de $30000.00 crecerá a $100,000.00 en cinco años?

M = C (1 + i)n 

100000 / 30000 = (1 + i)n 

Pero (1 + i)n = (1 + j/m)mn 

Donde n = 5 años, y n = 4

Así, (1 + j/4)20 = 100000 / 30000

(1 + j/4) = (3.333333)1/20 

j = 4{(3.333333)1/20 - 1)}

j = 4(1.062048 – 1)

j = 0.24819

Se requiere una tasa nominal de 24.82% convertible trimestralmente para que un capital de $3,000.00 se convierta en un monto de $10,000.00 en un plazo de 5 años. 

EJERCICIO TASA EFECTIVA:

1.- ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1000.00, pactado a 18% de interés anual convertible mensualmente?

M = 1000 (1+0.015)12

M = 1000(1.195618)

M = 1195.62ç

I = M – C

I = 1195.62 – 1000

I = 195.62

i = I / C

i = 195.62 / 1000

i = 0.1956 

La tasa efectiva de interés ganada es de 19.56%

La tasa equivalente a una tasa anual de 18% convertible mensualmente es de 19.56% convertible anualmente.

La relación entre ambas tasa puede verse como sigue: sea i la tasa efectiva de interés, j la tasa de interés nominal, y m el número de periodos de capitalización al año.

Se ha estableció que ambas tasas son equivalentes si producen el mismo interés al cabo de un año.

Por lo tanto C (1 + i) = C(1 + j/m)m

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre C, tenemos:

(1 + i) =(1 + j/m)m 

i =(1 + j/m)m - 1

Retomado el ejemplo anterior: 

i = (1 + 0.18 / 12)12 – 1

i = (1 + 0.015)12 – 1

i = (1.195618) – 1

i = 0.195618

i = 19.56 % 

Calcular el monto de $10,000.00 prestados al 8% de interés anual,

Durante 9 años capitalizables semestralmente.

Datos: Formula:

na*m

M = ? M = C(1+j/m)

C = $10,000.00

j = 8% Sustitución: 

9*2

m = 12 meses/año M =$10,000(1+ 0.08/2)

18 

na = 9 años M = $10,000(1.04)

M = $10,000(2.025)

M = $20,250.00

EJERCICIOS DE TASA EQUIVALENTE:

¿Cuál es la Tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250,000.00 que se pacta a 18% de interés anual? Y se convierte:

a) Mensual Datos:
b)Trimestral C = $250,000.00
c)Semestral j = 18% = 0.18
m = a) 12
b) 4
c) 2
na = 1

DESARROLLO

 Se ha establecido que ambas tasas son Equivalentes si producen un mismo 
interés al cabo de un año

Nota: Los números en rojos son potencias.

Determinar la tasa nominal i convertible trimestralmente, que produce un rendimiento anual del 40%.

En esta caso la tasa de interés efectiva es ya conocida (puede ser la tasa de inflación esperada en Un año), y se desea conocer la tasa nominal j convertible 
trimestralmente que producirá dicho rendimiento.
 

Fórmulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples, 
ciertas, vencidas e inmediatas:


Monto
M= R[ (1+i)n - 1]
------------
i

Valor Actual
C = R[ 1- (1+i)-n]
------------
i


Donde:

R = Renta o pago por periodo
M = Monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos 
los pagos al final de las operaciones.
n = número de anualidades, periodos o pagos.
C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total de los pagos en el momento presente.
i = tasa de interés efectiva
m = número de capitalización 
j = tasa de interés nominal 
Na = Número de años

Solución de Problemas

Monto

Ejercicio 1. Que cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $ 100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente.

En un diagrama de tiempo y valor lo anterior nos quedaría de la siguiente manera:

Al ser una tasa anual convertible mensualmente tenemos:

36/100/12 = .03 i = .03 n = 6

Como lo que se trata es de conocer lo que se acumula en un lapso de tiempo (en este caso 6 meses y en lo que existe una cantidad constante "anualidad " a abonarse a la operación) por lo tanto estamos hablando de conocer un monto y en consecuencia la fórmula que utilizaremos es:


M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 100 000 [ ( 1 + .03 )6 - 1 ]
------------ ----------------
i .03


Luego tenemos que 100 000 [6.468409] = 646 840.98

Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la fórmula de interés compuesto donde tenemos: M = C (1 + i )n 

Observando el diagrama de tiempo y valor de la parte superior podemos deducir que los primeros 100, 000 pesos ganan interés por meses, los siguientes por 4,3,2,1 y los últimos no ganan interés sino que solo se suman al monto por lo cual podemos decir :

M = 100 000 ( 1 + .03 )5 = 115 927
M = 100 000 ( 1 + .03 )4 = 112 551
M = 100 000 ( 1 + .03 )3 = 109 273
M = 100 000 ( 1 + .03 )2 = 106 090
M = 100 000 ( 1 + .03 )1 = 103 000
-----------
546 841


+ 100 000 los últimos 100 000 que no ganan interés tenemos 646 841 (esto esta redondeado por los cual es diferente al valor obtenido arriba en 2 centavos).

Una manera más de realizar lo anterior seria mediante la fórmula del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre más el depósito (100 000) que se hacen al final de cada semestre:

Tiempo

Cantidad

Monto

Final 1er mes

100 000

100 000

Final 2do mes

100 000(1+ .03)1+100 000

203 000

Final 3er mes

203 000(1 + .03)1 + 100 000

309090

Final 4to mes

309090(1 + .03)1 + 100 000

418 362.7

Final 5to mes

418 362.7(1 + .03)1 + 100 000

530 913.58

Final 6to mes

530 913.58 (1 + .03)1 + 100 000

646 840.98

Ejercicio 2. Cual es el monto de $ 2 000 semestrales depositados durante cuatro años y medio en una cuenta bancaria que rinde 28% capitalizable semestralmente.

R = 2 000 n = 4.5/2 = 9 i = 28/100/2 = .14 y utilizando la fórmula para calcular el monto en operaciones que implican anualidades tenemos:

M = R[ (1 + i )n - 1 ] M = 2 000 [ ( 1 + 0.14)9 - 1 ]
------------ ----------------
i 0.14

De donde tenemos M = 2000 (16.085348 ) = 32 170.69

Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la fórmula de interés compuesto donde tenemos: M = C (1 + i )n 
 

Fórmula

Monto

M = 2000 (1+.14)8

5 705.17 n es igual a 8 porque los depósitos se hacen al final de cada semestre o sea que hasta que transcurre el primer semestre se realiza el primer deposito.

M = 2000 (1+.14)7

5 004.53

M = 2000 (1+.14)6

4 389.94

M = 2000 (1+.14)5

3 850.82

M = 2000 (1+.14)4

3 377.92

M = 2000 (1+.14)3

2 963 .08

M = 2000 (1+.14)2

2 599.2

M = 2000 (1+.14)1

2 280.00

Total

30 170 .69

mas los 2000 del último semestre que no ganan interés

32 170.69 cantidad igual a la obtenida con la fórmula del monto en anualidades

 Una manera más de realizar lo anterior seria mediante la fórmula del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre más el deposito
(2 000) que se hacen al final de cada semestre:

Tiempo

Cantidad

Monto

Final 1er semestre

2 000

2 000

Final 2do semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

4 280

Final 3er semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

6 879.2

Final 4to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

9 842.28

Final 5to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

13 220 .20

Final 6to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

17 071.03

Final 7to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

21 460.98

Final 8to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

26 465.52

Final 9to semestre

2 000(1+ 0.14)1+ 2000

 

Valor actual

Ejercicio 3. Cual es el valor actual de una renta de $450 pesos depositados al final de cada uno de 7 trimestres si la tasa de interés es del 9% trimestral.

Debemos de entender como valor actual la cantidad de dinero que a una tasa del 9% trimestral nos permitiera obtener $450 pesos cada trimestre. O sea que si sumamos los 450 de cada trimestre obtenemos 3150 y lo que estamos buscando es una cantidad menor que mas los intereses nos permita obtener estos 450 por trimestre.

C = ?
R = 450
i = 0.09
n = 7

C = R[ 1- (1+i)-n ] C = 450 [1 - ( 1 + .09)-7 ]
----------- --------------
i 0.09

Lo cual nos da 450 (5.03295284) = 2 264.82 que es el valor que estamos buscando o sea la respuesta a este ejercicio.

Comprobación:

Utilizando la fórmula del interés compuesto para calcular un capital o valor actual tenemos:

Fórmula

Capital

C = 450
-----
(1 + .09)1

412.84

C = 450
-----
(1 + .09)2

378.76

C = 450
-----
(1 + .09)3

347.48

C = 450
-----
(1 + .09)4

318.79

C = 450
-----
(1 + .09)5

292.47

C = 450
-----
(1 + .09)6

268.32

C = 450
-----
(1 + .09)7

246.16

Total

2 264.82 que es la misma cantidad obtenida por medio de la fórmula de anualidades

Ejercicio 4. Que es más conveniente para comprar un automóvil:

Pagar $ 26,000 de contado o 

b) $13,000 de enganche y $ 1300 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el interés se calcula a razón del 42% convertible mensualmente.

Para resolver este problema debemos ver el valor actual del enganche y los 12 abonos mensuales a esa tasa de interés y compararlos contra el pago de contado.

R = 1300
n = 12
i = 42/100/12 = 0.035

Utilizando la formula del valor actual en anualidades tenemos:

C = R[ 1- (1+i)-n ] 1300[ 1 - (1+0.035)-12]
----------- ------------------
i 0.035

C = 1300 (9.663334) lo cual nos da 12 562.34, si a esto sumamos el enganche 13,000 tenemos 25,562.34 que es menor que el pago de contado y por lo tanto es mas conveniente esta opción. 

Ejercicio 5. Encuéntrese el importe pagado, en valor actual por un aparato electrónico por el cual se entrego un enganche de $ 1 400 pesos, se hicieron 7 pagos mensuales vencidos por $ 160 y un ultimo pago al final del octavo mes por $ 230, si se considera un interés del 27% anual con capitalización mensual.

Para resolver este problema nos damos cuenta que el enganche es valor actual así que necesitamos conocer el valor actual de cada uno de los siete pagos (iguales 160) y el octavo que es mayor para lo cual haremos uso de la formula que nos permite calcular el valor actual de anualidades y la formula que nos permite conocer el valor actual de un monto (230) a una tasa de interés ( 27% anual convertible mensualmente) en un lapso de tiempo (8).

Solución es igual a:

a) El enganche
b) El valor actual de la anualidad con renta de 160
c) El valor actual del pago final

b) Usando la formula para el calculo de anualidades tenemos

i = 27/100/12 = 0.0225
n = 12

C = R[ 1- (1+i)-n ] 160[ 1 - (1+0.0225)-7]
----------- ------------------
i 0.0225

C = 160 ( 6.410246) = 1025.64

c ) Usando la fórmula para calculo de capital o valor actual del 
interés compuesto tenemos:


C = M 230 230
------ -------- --------
(1 + i )n (1 + 0.0225)8 1.19483114

C = 192.50

Sumando los tres importes tenemos 1400 + 1025.64 +192.50 = $ 2 618.14
que corresponde al valor actual pagado por el aparato electrónico.

¿QUE SON LAS ANUALIDADES ANTICIPADAS?

Son aquellas en la que los pagos se hacen al principio del periodo 

Como por ejemplo:

El pago mensual que se hace cuando se renta una casa, ya que primero se pago y luego se habita el inmueble.

Otro concepto es "Son aquellas en las que se conoce con certeza las fechas de los períodos".
 

Roberto Cristiano Mata promurelarrobaprodigy.net.mx  

 

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